cap. 4 centros de gravedad estudiar

Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-1

Cap. 4 Centro de Gravedad Un caso particular de fuerzas paralelas son las fuerzas gravitacionales que actan sobre cada partcula que conforma un cuerpo. Se denomina centro de gravedad al punto de paso de la resultante de dichas fuerzas gravitacionales

iWr

iWr

: El centro de gravedad G es una propiedad del cuerpo (asociada a sus caractersticas fsicas y geomtricas) y es independiente de su posicin en el espacio. Es decir, la ubicacin del centro de gravedad G no cambia con la posicin que tenga el cuerpo en el espacio tridimensional.

1Wr

2Wr

iWr n

Wr

3Wr

uWr

u

4Wr

irr

Grr

Sea el sistema de fuerzas paralelas nWWWr

Lrr

,,, 21 asociadas a los pesos de las masas que componen el cuerpo rgido en estudio. Como hemos visto en el

captulo 2, dicho sistema se puede reemplazar por una nica fuerza. Dicha fuerza nica, que ser el peso total del cuerpo, pasar por el centro de gravedad.

nmmm ,,, 21 L

Por equivalencia de sistemas: III RR

rr = : =i

iI WR

rr

rr

WR II =es decir: =

iiWW

rr

== uWuWuW ii )( (4.1) = iWW IIOIO M : uWM

rr = ruWrWrM iiiii

iiIO )( === rrrrr (4.2)

uWruWrWrM GGGIIO === rr

rrr (4.3)

de (4.2) y (4.3): WrWr Gii

rr =)( de donde:

WWr

r iiG= rr

de (4.1): =

i

iiG W

Wrr

rr (4.4)

Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo



Sean ),,( iiii zyxr =r ),,( GGGG zyxr =r Entonces, las coordenadas del centro de gravedad estarn dadas por las siguientes expresiones:

=

i

iiG W

Wxx ;

=i

iiG W

Wyy ;

=i

iiG W

Wzz (4.5)

Para el caso de cuerpos continuos podemos escribir las expresiones (4.5) adaptndolas convenientemente:

=

dW

dWxxG ;

=dW

dWyyG ;

=dW

dWzzG (4.6)

Si consideramos el caso de cuerpos homogneos, es decir, cuerpos con densidad

constante: gmW = dmgdW = dVgdW = dVm = dVdm =

en (4.6):

==

dVg

dVgx

dW

dWxxG

=dV

dVxxG (4.7)

y anlogamente: =

dV

dVyyG ;

=dV

dVzzG (4.8)

Este resultado muestra claramente que en el caso de cuerpos homogneos, la posicin de su centro de gravedad es independiente de las caractersticas fsicas del material (densidad) y slo depende de la geometra del cuerpo. Este punto es una especie de centro geomtrico y se denomina centroide.

irr


De acuerdo a las expresiones (4.7) y (4.8) sus coordenadas sern:

=

dV

dVxx ;

=dV

dVyyG ;

=dV

dVzzG (4.9)

El centro de gravedad es una propiedad fsica, el centroide es propiedad geomtrica. Las expresiones que acabamos de deducir nos permitirn calcular la posicin del centro de gravedad y del centroide de cualquier cuerpo. Sin embargo, en las expresiones (4.6) y (4.9) se puede ver claramente que habr que resolver integrales mltiples. A continuacin estudiaremos algunos casos en que, dependiendo de geometras particulares (placas, alambres, etc.), dichas integrales se pueden convertir en algunos casos a integrales simples. 4.1 Aplicacin a placas planas de espesor constante

Las coordenadas del centro de gravedad estn dadas por:

=

dW

dWxxG ;

=dW

dWyyG (4.10)

Sea t el espesor de la placa y el peso especfico del material. El elemento diferencial de placa mostrado pesar:

dAtgdVdW == ( es la densidad del material)

entonces, en (4.10):

===

dAtg

dAxtg

dAtg

dAtgx

dW

dWxxG

=

dA

dAxxG

y anlogamente

=dA

dAyyG

(4.11)

donde, en general, la densidad es: = ),( yx . En la realidad, por cuestiones de fabricacin de los materiales, stos tienen normalmente densidad constante. Considerando este hecho podemos obtener de (4.11) las coordenadas del centroide:

=

dA

dAxx ;

=dA

dAyy (4.12)



Expresiones en las que: es el primer momento o momento esttico del rea A con respecto al eje y.

dAx es el primer momento o momento esttico del rea A

con respecto al eje x. dAy

Nota: En general, las integrales de rea son integrales dobles. Sin embargo ellas se

pueden convertir en integrales simples escogiendo un elemento diferencial adecuado, como lo veremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.1: Ubicar el centroide del rea mostrada.

O

y

x

(x, y)

dx

yC

dA

y = f (x)

xCa

Fig. 4-4

Gi

Solucin 1: tomando un elemento diferencial paralelo al eje de las ordenadas.

=

dA

dAxx C ;

=dA

dAyy C

xxC = 2/yyC =

dxydA =

==

dxy

dxyxx =

a

a

dxy

dxyx

0

0 a dxyxA 01

=== aa

a

dxyA

dxy

dxy

dxy

dxyy

y0

2

0

0

2

212

1

2

Solucin 2: Tomando un elemento diferencial paralelo al eje de las abscisas

2

xaxxC+=

2

xa += yyC = dyxadA )( =




=

dA

dAxx

C = =

+

dyxa

dyxaxa

)(

)()(21

b

b

dyxa

dyxaxa

0

0

22

)(

)()(21

=

dA

dAyy

C =

b

b

dyxa

dyxay

0

0

)(

)(

Ejemplo 4.2: Calcular la ordenada del centroide del tringulo escaleno mostrado.

Solucin: Para el elemento diferencial mostrado: dybdA = por semejanza de tringulos:

hyh

bb = )( yh

hbb =

es decir: dyyhhbdA )( =

Sabemos que: A

dAyy C=

reemplazando: hb

dyyhyhb

hb

dyyhhby

y

hh

)2/1(

)(

)2/1(

)(00

=

=

h

yyhh 0

32

2 322

=

3hy =

y

h

b


Ejemplo 4.3: Calcular la posicin del centroide del semicrculo de radio R.

dyyRdyxdA 2222 ==

y

R

A

dyyRy

dA

dAyy

R

C

34

20

22

=

==

De otra forma, haciendo cambio de variable:

senRy = dRdy cos=

adems, para los lmites de integracin: 00 == y 2/ == Ry

2/

cos)cos(2

2

2/

0

R

dRRsenR

dA

dAyy C

== = 2/

0

232 cos2

2 dsenRR

Ry

34=

Utilizacin de coordenadas polares Segn sea el caso, podra ser ms conveniente utilizar coordenadas polares para el clculo de la posicin de un centroide. A continuacin mostraremos las caractersticas de dicha utilizacin.

Para el rea diferencial mostrada:

)(rr =

rrC 32=

cos32 rxC =

senryC 32=

drrdrdA 221)(

21 ==

= drA 221



A

dr

A

drr

dA

Adxx C

=== cos31

21cos

32 32

(4.13)

adems: A

dr

A

drr

dA

Adyy C

=== sen31

21sen

32 32

(4.14)

Ejemplo 4.4: Hallar la posicin del centroide del rea que encierra el lazo mostrado.

y

x45

r = sen 2

Fig. 4-11

G

O

Sabemos que:

=

dr

drx

2

3

21

cos31

=

dr

dry

2

3

21

sen31

entonces:

= 2/0

2

2/

0

3

2sen21

cos)2sen(31

d

dx 105

128= m388,0=x

Por simetra del rea del lazo con respecto al eje yx = : m388,0=y Ejemplo 4.5: Calcular la posicin del centroide del semicrculo de radio R utilizando

coordenadas polares. Solucin: Sabemos que la ordenada del centroide en coordenadas polares est dada por:

y

2

32

2

sen3

21

sen31

2

3

0

20

3

2

3

2

1

2

1

R

R

dR

dR

dR

dRy

===

Ry34=



Ejemplo 4.6: Calcular la posicin del centroide del cuarto de crculo de radio R. Utilizando la expresin para centroide en coordenadas polares e integrando convenientemente:

y

x

( )

4

cos3

2

sen3

21

sen31

2

2/0

3

2/

0

2

2/

0

3

2

3

2

1

2

1

R

R

dR

dR

dR

dRy

===

Ry

34=

Ejemplo 4.7: Calcular la posicin del centroide del sector circular de radio R mostrado. Utilizando nuevamente la expresin para centroide en coordenadas polares e integrando:

x

2

3

2

3

2

3 sen3

2

c3

21

c31

2

1

2

1

R

R

dR

dosR

dR

dosRx

+

+

+

===

3sen2 Rx =

A continuacin se muestran las propiedades geomtricas de algunas superficies planas bastante utilizadas en diversos aspectos de la ingeniera:



Tabla 4.1 reas y centroides de superficies planas.

Nombre Superficie x y rea

Tringulo

----- 3h

2bh

Tringulo rectngulo

3b

3h

2hb

Cuarto de crculo 3

4 R 34 R

4

2R

Semicrculo 0 34 R

2

2R

Cuarto de elipse

34 a 3

4b 4

ba

Semielipse 0 34b

2ab

Semiparbola 83a

53h

32 ha

Parbola

0 5

3h 3

4 ha

Seno parablico

43a

103h

3ha

Seno genrico ann

++

21 h

nn

++

241

1+n

ha

h

b/2

G

b/2

y

b

h Gy

x

G RGRy

x OO

Gy

O

Gb

xO a

y

O

h

xO

a

GG

a

ax

Gy

2xky =h

O

ax

Gy

nxky =h

O



Tabla 4.1 reas y centroides de superficies planas (continuacin).

Nombre Figura x y rea

Sector circular

32 senR 0 2r

Trapecio ------ hbaba

++ 2

31 ( )bah +

21

G

R

x

O

a

b

hGy

4.2 Aplicacin al centro de gravedad de placas compuestas En algunos casos se puede descomponer cuerpos (volmenes, reas, lneas) en otros similares mucho ms simples de analizar. A continuacin analizaremos una placa plana. La idea central es descomponer el rea compuesta en n partes de geometra sencilla. Por ejemplo, de la siguiente manera:

Para calcular las coordenadas de su centro de gravedad podemos utilizar las expresiones mostradas en (4.5):

=

i

iiGG W

Wxx ;

=i

iiGG W

Wyy (4.15)

donde: e son las coordenadas del centro de gravedad de la i-sima parte y coinciden con las coordenadas

iGx iGy

ix e iy de su centroide, pues cada parte elegida es, lgicamente, homognea.

es el peso de cada parte. iW



Puesto que conocemos las caractersticas fsicas y geomtricas (material, rea y posicin del centroide) de cada una des las partes componentes, podemos llenar la siguiente tabla:

Elemento iA i iii AW = ix iy iiG Wx iiG Wy 1

2

3

M iW ii Wx ii Wy

donde: ii g =i

es el peso especfico por unidad de rea de cada parte [N/m2, lb/pulg2], es la densidad de cada parte [kg/m2, UTM/pulg2]

Las coordenadas del centro de gravedad de la placa compuesta sern:

i

iiG W

Wxx

= ; i

iiG W

Wyy

= (4.16)

Si todas las partes que conforman el conjunto tienen el mismo peso especfico , entonces:

xA

AxA

AxA

Axx

i

ii

i

ii

i

iiG ====

)(

entonces: =

i

ii

AAx

x ; =

i

ii

AAy

y (4.17)

El punto ( x , y ) recibe el nombre de centroide. Para calcularlo bastar llenar la siguiente tabla:

Elemento iA ix iy ii Ax ii Ay

1

2

3

M

iA ii Ax ii Ay

Nota 1: En el caso de cuerpos compuestos homogneos el centro de gravedad coincide

con el centroide). Nota 2: observar que las coordenadas del centroide son independientes de las

caractersticas del material (densidad, peso especfico)




Ejemplo 4.8: Calcular la posicin del centroide de la placa plana mostrada.

Solucin: descomponiendo de la siguiente manera:

Para el semicrculo inclinado de radio 23=R tenemos:

73,922

34113 ==

Rx cm

27,422

3433 =+=

Ry cm

Ahora llenaremos la siguiente tabla:

Elemento iA [cm2] ix [cm] iy [cm] ii Ax ii Ay

1 168 7 6 1176 1008

2 36 2 8 72 288

3 (-) 9 9,73 4,27 -275,11 -120,73 4 (-) 18 12 2 -216 -36

157,73 612,89 1139,27

de donde: = i iiAAx

x 89,373,15789,612 ==x cm

=

i

ii

AAy

y 22,773,15727,1139 ==y cm

R

34


4.3 Aplicacin a centros de gravedad de alambres planos

Formulacin general: =

dW

dWxxG ;

=dW

dWyyG

y

x

y = f (x)

Fig. 4-21

x

y ),( yxdl

O

Sea a la seccin transversal constante del alambre y ),( yx = su densidad. Entonces el peso del elemento diferencial de longitud ser: ld dW = dVg = ldag

==

ll

ll

d

dx

dag

dagxxG

==

ll

ll

d

dy

dag

dagyyG

Si la densidad del alambre es constante, entonces:

xd

dxxG ==

ll

As: =

ll

d

dxx ;

=ll

d

dyy (4.18)

Si la ecuacin del alambre est dada en coordenadas cartesianas )(xfy = :

22 dydxd +=l

dxdxdy

dxdx 22

+

=

dxdxdyd

2

1

+=l (4.19)


),( yxdl


Nota 1: En algunos casos podra ser ms conveniente hacer:

dydydxd

2

1

+=l Nota 2: Si el alambre es tridimensional, se puede proceder de manera completamente

anloga: 222 dzdydxd ++=l . En este caso podra resultar ventajoso trabajar con las ecuaciones paramtricas de la curva que representa al alambre.

Ejemplo 4.9: Alambre en forma de un cuarto de circunferencia:

=

ll

d

dxx

C

donde: cosRxC = dRd =l

== 2/0

2/

RdL l

2/

cos1

2/

0

22/

0

R

senRdRR

Lx

== Rx 2=

y

x

ld

Por simetra con respecto a la recta yx = : Ry 2=

Ejemplo 4.10: Alambre en forma de semicircunferencia.

== l

ll

dyLd

dyy C

C 1

donde: senRyC = dRd =l

=== RdRdL 0

l

== 0 sen11 dRRR

dyL

y C l

0cos

= R

Ry 2=


y

ld


Ejemplo 4.11: Hallar el centro de gravedad de un arco de circunferencia:

O

Fig. 4-27

y

x

R

R

O

y

x

d

R

R

G

x Fig. 4-28

ld

=

ll

d

dxx

C

donde: cosRxC = dRd =l

RdRdL 2===

+

+

l

RsenR

L

dRRx

22

cos2

=

=

+

v senRx =

Nota: Con este resultado podemos comprobar el resultado obtenido para la

semicircunferencia ( 2/ = ):

2/

)2/(

senRsenRy == Ry 2=

A continuacin mostraremos los centroides de algunas curvas sencillas: Tabla 4.2 Centroides de lneas curvas planas.

Nombre Figura x y Longitud

Cuarto de circunferencia

R2 R2

2R

Semi-circunferencia 0

R2 R

Arco de circunferencia

senR

0 R2

G RGRy

x OO

G

R

x

O




4.4 Aplicacin a centros de gravedad de alambres compuestos Para calcular las coordenadas de su centro de gravedad podemos utilizar las expresiones generales mostradas en (4.5):

=

i

iiGG W

Wxx ;

=i

iiGG W

Wyy ;

=i

iiGG W

Wzz (4.20)

donde: , y son las coordenadas del centro de gravedad de la i-sima parte y que coinciden con las coordenadas

iGx iGy iGz


es el peso de cada parte. iW Puesto que conocemos las caractersticas fsicas y geomtricas (material, rea y posicin del centroide) de cada una des las partes componentes, podemos llenar la siguiente tabla:

Elemento il i iiiW l= ix iy iz ii Wx ii Wy ii Wz 1

2

3

M iW ii Wx ii Wy ii Wz

donde: ii g = es el peso especfico por unidad de longitud de cada parte [N/m,

lb/pulg], i es la densidad de cada parte [kg/m] Las coordenadas del centro de gravedad sern:

i

iiG W

Wxx

= ; i

iiG W

Wyy

= ; i

iiG W

Wzz

= (4.21) Si todas las partes son del mismo material (y por consiguiente tienen la misma densidad, o lo que es lo mismo, el mismo peso especfico), entonces:

xxxx

xi

ii

i

ii

i

iiG ====

ll

ll

ll

)(

y as: =

i

iixx ll

; =

i

iiyy ll

; =

i

iizz ll

(4.22)

El punto de coordenadas ),,( recibe el nombre de centroide. Para calcularlo bastar llenar la siguiente tabla:

zyx


Elemento il ix iy iz iix l iiy l iiz l

1

2

3

M il iix l iiy l iiz l

Nota: En el caso de cuerpos compuestos por partes del mismo material, el centro de

gravedad coincide con el centroide. Si este es el caso, las coordenadas del centro de gravedad son independientes de las caractersticas fsicas del material (densidad, peso especfico)

Ejemplo 4.12:

Calcular la posicin del centro de gravedad del alambre mostrado. El material del alambre es acero con peso especfico

. N/cm102,1 3= Solucin: Dado que todo el alambre es del mismo material, entonces el centro de gravedad coincidir con el centroide. Entonces calcularemos la posicin de este ltimo.

Elemento il [cm] ix [cm] iy [cm] iz [cm] iix l iiy l iiz l

1 (AO) 5 2(5) / 0 5 50 0 25 2 (OB) 6 0 3 0 0 18 0

3 (BC) 10 4 3 0 40 30 0

31,71 90,0 48,0 78,54

= i iix

x ll

83,271,310,90 ==x cm

= i iiy

y ll

51,171,310,48 ==y cm

= i iiz

z ll

48,271,3154,78 ==z cm



4.5 Aplicacin a centros de gravedad de slidos

A continuacin estudiaremos ms detalladamente la aplicacin de las expresiones deducidas al inicio del captulo a slidos homogneos de geometra relativamente sencilla.

O

irr

dm (x, y, z)

dW

Fig. 4-30

Sabemos que el peso del diferencial de masa mostrado en la figura est dado por: dVgdW = El peso del cuerpo ser: = dVgW

Adems, segn la expresin (4.6) las coordenadas de su centro de gravedad estn dadas por:

=

dW

dWxxG ;

=dW

dWyyG ;

=dW

dWzzG (4.23)

Las coordenadas de su centroide estn dadas por:

=

dV

dVxx ;

=dV

dVyy ;

=dV

dVzz (4.24)

Sabemos tambin que si un slido es homogneo, las coordenadas del centro de gravedad coinciden con las coordenadas del centroide. Ahora, dado que el diferencial de volumen est dado por , entonces las integrales de (4.24) son mltiples. Sin embargo, para ciertos slidos (prismas, de revolucin, etc.), dichas integrales pueden reducirse a integrales simples.

dzdydxdV =

Slido generado por la rotacin de una curva alrededor de un eje:

Tomemos dV = A(x) dx

221)( yxA = [ en radianes]

dxydV 22=

entonces:

== a

a

C

dxy

dxyx

dV

dVxx

0

2

0

2

2

2

Anlogamente: =

dV

dVyy C y

=dV

dVzz C .



Consideraciones de simetra: 1. Si un slido posee un plano de simetra el centroide est localizado en dicho

plano.

2. Si tiene 2 planos de simetra el centroide est sobre la lnea de interseccin. 3. Si tiene 3 planos de simetra el centroide coincide con el punto de

interseccin de los tres planos. Si en particular una curva plana gira 360:

Para el disco diferencial:

2)( yxA = )(xfy = dxxAdV )(= = dxy 2

=

dV

dVxx C =

a

a

dxy

dxyx

0

2

0

2

Por simetra: 0== zy Ejemplo 4.18: Semiesfera

dxydV 2=

222 Ryx =+

222 xRy =

=

dV

dVxx

== a dxxRdVV0

22 )( 332 RV =

== aC dxxRxVdVxVx 022 )(11 Rx

83=

Por simetra: 0=y



Ejemplo 4.14: Pirmide (cono) con cualquier tipo de rea de base.

Tomaremos dzAdV z= Si los elementos diferenciales son discos paralelos a la base, los centros de gravedad de cada uno de dichos discos estn situados en la recta zOG y el CG del volumen total tambin est sobre la lnea zOG . Falta hallar solamente z .

Por semejanza geomtrica: 22)(

hzh

AA

B

z = 22)(

hzhAA Bz

=

z

== dVz

VdV

dVzz 1

3

)(

02

2 hAdzh

zhAdVV Bh

B === dz

hzhAz

VdVz

Vz

h

B 2

2

0

)(11 == 4hz = Ejemplo 4.15: Semicono circular recto.

Para el elemento diferencial:

dxrdV 22= xxC =

34ryC =

ha

xr =

=

dV

dVxx C

62

22

0

hadxxhaV

h =

= ==

h

c dxxhax

VdVx

Vx

0

2

211 hx

43=

Anlogamente: == dxxhahaxVdVyVyh

C

2

0 23411

ay =



Comprobacin: El centroide del semicono circular recto estar sobre la recta que une los centroides de los elementos diferenciales:

yx

ah =

34

ay =

Gz

Ox

y

zR

Gz

Ox

y

z

h

R

V

A continuacin se muestra una tabla con algunas propiedades geomtricas (volumen, posicin del centroide) de algunos volmenes comnmente utilizados en ingeniera:

x

y 34 a

Tabla 4.3 Centroides de volmenes.

Nombre Figura z Volumen

Semiesfera

83R 3

32 R

Cualquier tipo de cono

oblicuo (*)

4h hAbase3

1

Cono recto 4h ha2

31

Pirmide oblicua con cualquier tipo

de base (*)

4h hAbase3

1

Gz

Ox

z

y

h

V

G zO

x

z

y

h

V




Gz

Ox

y

z

a

h

Gz

Ox

y

z

a

h

Tabla 4.1 Centroides de volmenes (continuacin).

Nombre Figura z Volumen

Pirmide recta de base rectangular

4h hba

31

Semielipsoide de revolucin 8

3h ha232

Paraboloide de revolucin

3h ha 2

21

4.7 Aplicacin a volmenes compuestos Para calcular las coordenadas de su centro de gravedad podemos utilizar las expresiones generales mostradas en (4.5):

=

i

iiGG W

Wxx ;

=i

iiGG W

Wyy ;

=i

iiGG W

Wzz (4.25)

donde: , y son las coordenadas del centro de gravedad de la i-sima parte y coinciden con las coordenadas

iGx iGy iGz


es el peso de cada parte. iW Puesto que conocemos las caractersticas fsicas y geomtricas (material, rea y posicin del centroide) de cada una des las partes componentes, podemos llenar la siguiente tabla:

Gz

V

x

z

y

h

a

b O


Elemento iV i iii VW = ix iy iz ii Wx ii Wy ii Wz 1

2

3

M

iW ii Wx ii Wy ii Wz donde ii g = el peso especfico de cada parte [N/m3, lb/pulg3] y i es la densidad

respectiva [kg/m3]. Las coordenadas del centro de gravedad sern:

i

iiG W

Wxx

= ; i

iiG W

Wyy

= ; i

iiG W

Wzz

= (4.26) Si todas las partes son del mismo material, y por consiguiente tienen la misma densidad, entonces:

xV

VxV

VxV

Vxx

i

ii

i

ii

i

iiG ====

)(

y as: =

i

ii

VVx

x ; =

i

ii

VVy

y ; =

i

ii

VVz

z (4.27)

El punto ( x , y , z ) recibe el nombre de centroide. Para calcularlo bastar llenar la siguiente tabla:

Elemento iV ix iy iz ii Vx ii Vy ii Vz

1

2

3

M

iV ii Vx ii Vy ii Vz Nota: Si todas las partes que componen el cuerpo en estudio son del mismo material

homogneo, entonces las coordenadas del centro de gravedad coinciden con las del centroide y son independientes de las caractersticas del material (densidad, peso especfico)




Ejemplo 4.16: El slido mostrado segn una seccin longitudinal consta de un cilindro con una cavidad semiesfrica y est rematado por un cono. a) Localizar el centroide del volumen compuesto

si el radio de la cavidad semiesfrica es 140=R mm, la longitud de la parte cilndrica

es L = 250 mm y la altura del cono recto es h 300=h mm.

b) Localizar el centro de gravedad si el cilindro es de acero y el remate cnico de aluminio. Se sabe que:

ac = 7870 kgf/m3; al = 2770 kgf/m3

Solucin: Dado que se trata de un slido de revolucin, bastar calcular z y . Gz

Elemento Vi [mm3] iz

[mm]i

[kgf/mm3]iii VW =

[kgf] iiVz ii Wz

Cilindro 62 1039,15250140 = 125 9107870 121,12 6101924 15139,91

Cono 62 1015,63001403

= 325 9102770 17,04 6101999 5536,54

Semiesfera 63 1075,5)140(32 = 52,5 9107870 - 45,25

6109,301

-2375,76

6108,15 92,91 6103621 18300,7 a) Centroide: )0( == yx

= i iiVVz

z 2,229108,15103621

6

6

==z mm

b) Centro de gravedad: xG = yG = 0

= i iiG WWz

z 19791,92

7,30018 ==Gz mm


Ejemplo 4.17:

Se construye un soporte con chapas de latn ( lat = 0,0858 N/cm3, cuarto de crculo con agujero circular) y aluminio ( alu = 0,0272 N/cm3, tringulo), ambas de 12,5 mm de espesor, segn se indica en la figura. Considerando que la chapa de aluminio est sobre la chapa de latn se pide determinar el peso y centro de gravedad del soporte.

z

y

x

160

100

15

16040

16040

30

10

Fig. 4-40

Fig. 4-41

Solucin: Dividiremos el soporte en tres partes y luego indicaremos sus caractersticas en la siguiente tabla:

item iV

[cm3] i

[N/cm3] iii VW =

[N] ix

[cm] iy

[cm] iz

[cm] ii Wx

[N-cm] ii Wy

[N-cm] ii Wz

[N-cm]

1 316,4 0,0272 8,606 0,625 7,5 8,75 5,379 64,545 75,303

2 497,01 0,0858 42,64 9,55 9,55 0,625 407,212 407,212 26,65

3 55,22 0,0858 4,74 8,8 7,5 0,625 41,712 35,55 2,963

46,506 370,879 436,207 98,99

donde: 4,31625,1)5,22()5,22(21

1 ==V cm3

01,49725,1)5,22(4

22 == V cm3

22,5525,1)5,7(4

23 == V cm3

de la tabla: peso del soporte Wi = 46,506 N

y adems: 975,7506,46879,370 ===

i

iiG W

Wxx cm

38,9506,46207,436 ===

i

iiG W

Wyy cm

129,2506,4699,98 ===

i

iiG W

Wzz cm




Ejemplo 4.18: Dos placas idnticas de forma trapezoidal de material sinttico con peso especfico 02,01 = N/cm3 estn unidas a una placa rectangular de otro material sinttico con peso especfico 01,02 = N/cm3 y dimensiones

cm. Se pide calcular la mnima dimensin de a para que el conjunto no se voltee sobre la superficie horizontal sobre la que est en reposo. Calcule luego el peso total del conjunto y la posicin de su centro de gravedad.

1020

Solucin: Primero calcularemos la posicin del centroide de una de las placas trapezoidales, el cual, dado que cada placa es homognea, coincide con su centro de gravedad:

Elemento iA [cm2]

iy [cm]

iz [cm] ii

yA ii zA

a20

2a 10 210 a 200 a

a10150 315 aa +

532 += a 3

40)5

32()10150( + aa

750503

20 2 ++= aa 3

40)10150( a

a3

4002000 =

15010 +a 75050310 2 ++ aa 20003200 +a

15010

750503

10 2

+++

== aaa

AyA

yi

ii 15

75531 2

+++

=a

aay

15010

20003

200

++

== aa

AzA

zi

ii 15

2003

20

++

=a

az

Con estos resultados podemos calcular la posicin del centro de gravedad del conjunto.

Elemento iV [cm3] i [N/cm3] iii VW = [N] iGy [cm] iGi yW

)1)(20)(15(

21 a+

= 15010 +a 0,02

0,02 ( 15010 +a )= 32,0 +a 15

75531 2

+++

a

aa15

151 2 ++ aa

15010 +a 0,02 32,0 +a

15

75531 2

+++

a

aa15

151 2 ++ aa

10 (1) (20) = 200 0,01 2 0,5 1

2)32,0(2 ++a 1)15151(2 2 +++ aa


Las coordenadas del centro de gravedad sern:

i

iGiG W

yWy = 84,0

312152

2)32,0(2

1)15151(2 22

+++

=+++++

=a

aa

a

aayG

La condicin para el equilibrio del cuerpo ser: ayG

es decir: aa

aayG +

++=

84,0

312152 2

)84,0(312152 2 +++ aaaa

025,1165,222 + aa de donde: cm 332,4a Finalmente:

Elemento iii VW = iGy iGz iiG Wy iiG Wz

3,866 5,324 11,839 20,58 45,770

3,866 5,324 11,839 20,58 45,770

2 0,5 10 1 20

9,733 42,165 111,539

Las coordenadas del centro de gravedad sern:

733,9165,42== i i

iGG W

Wyy 332,4=Gy cm

133,9539,111== i i

iGG W

Wzz 460,11=Gz cm




Ejemplo 4.19: Calcular la posicin del centro de gravedad de la pieza mostrada sabiendo que est compuesta por tres placas con los siguientes pesos especficos:

Placa rectangular: [N/cm2] 3108,7 Plancha rolada: [N/cm2] 3107,2 Placa semicircular: [N/cm2] 3109,8

Solucin: Por simetra . 0=Gx Plancha rolada semicilndrica

rea: 2400)60(2 == RA [cm2]

Centroide: 80)40(22

2 === Ry [cm]

Placa semicircular

y

Fig. 4-47

y

x

r = 30 cmG

y

O

rea: 4502

)30(2

22

3 === rA [cm2]

Centroide: 40

3)30(4

34

3 === ry [cm]

Elemento iA [cm2] i [N/cm2] iii AW = [N] iy [cm] iz [cm] ii Wy [N-cm] ii Wz

[N-cm]

2400 3108,7 18,72 0 100 0 1872

2400 3107,2 20,36 - /80 40 -518,46 814,4

450 3109,8 12,58 /40 0 160,17 0

51,66 -358,29 2683,4

= i iiG WWy

y 94,666,51

29,358 ==Gy cm

= i iiG WWz

z 94,5166,51

4,2683 ==Gz cm

Ejemplo 4.1: Ubicar el centroide del rea mostrada.Solucin 2: Tomando un elemento diferencial paralelo al eje de las abscisasSuperficie

reaFigura

rea4.2 Aplicacin al centro de gravedad de placas compuestasLongitud4.5 Aplicacin a centros de gravedad de slidos

4.7 Aplicacin a volmenes compuestos

cap. 4 centros de gravedad estudiar

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