cap. 2. vc funciones de var compleja - mapeo.doc

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnálisis de Variable Compleja

Luis Alberto Cadogan – Prof. Ingeniero Capítulo 2: Funciones de Var. Compleja – Mapeo

1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA............................................................................................21.1. Coordenadas complejas conjugadas..............................................................................................................22. HOJAS o SUPERFICIES DE RIEMANN.................................................................................................72.1. Puntos de ramificación, cortes de rama.........................................................................................................73. FUNCIONES ELEMENTALES...............................................................................................................123.1. La función exponencial................................................................................................................................123.2. Funciones Trigonométricas..........................................................................................................................123.3. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas....................................................................................................133.4. Función Logarítmica....................................................................................................................................143.5. Funciones Trigonométricas inversas............................................................................................................153.6. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas......................................................................................174. TRANSFORMACIÓN – MAPEO............................................................................................................204.1. Transformaciones en el Plano complejo......................................................................................................20

Cap. 2 – 1



1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.

Z = X + iY es una variable compleja posicionada en el Plano Z y w = F(Z) es una

función de variable compleja posicionada en el Plano .

El intervalo de variación de Z es el conjunto S denominado Dominio de Z.

w = F(Z) = U(X; Y) + iV(X; Y); está formada por dos funciones reales; el conjunto

de todos los valores de la función se conoce como Rango de f(Z).

Cap 2-Ejerc.1. Determinar U(X; Y) y V(X; Y), Para:

1.1. w = F(Z) = 3Z,

F(Z) = 3(X + iY) = 3X + i3Y. U(X; Y) = 3X. V(X; Y) = 3Y.

1.2. F(Z) = Z2.

; U(X; Y) = X2 – Y2. V(X; Y) = 2XY.

1.3. . Determinar U y V.

U(X; Y) = 2X3 – 6XY2 – 3X. V(X; Y) = 6X2Y– 2Y3 – 3Y.

1.1. Coordenadas complejas conjugadas.

Dado: Z = X + iY su complejo conjugado será: Z* = X – iY. Podemos obtener X

e Y en función de Z y de su conjugado Z*.

Cap 2-Ejerc.2. Escribir: (X; Y) = 2X + Y – 5, en términos de las coordenadas: Z y Z*:

Cap. 2 – 2

Plano Z

X

Y

Plano w

u

v

Z0

F(Z)

w0



(1 + i2)Z + (– 1 + i2)Z* = i10 Ecuación de la Recta en el Plano Z.

Cap 2-Ejerc.3. Escribir la ecuación X2 + Y2 = 36; en términos de las coordenadas

conjugadas.

ZZ* = 36 Circunferencia en el plano Z con r = 6 y centro en C(0; 0).

Cap 2-Ejerc.4. Dada la función: A(X; Y) = 2X(1 – Y) + i(2Y + X2 – Y2). Verificar que

expresada en términos de Z y Z* es: B(Z; Z*) = 2Z + iZ2.

Cap 2-Ejerc.5. Escribir la Ecuación General de la Circunferencia en el plano XY:

X2 + Y2 + DX + EY + F = 0, en función de Z y Z*.

1 F.

* + *Z*0 Ecucación de la circunferencia en el plano

Z.

si 0 la ecuación resultante es:

*Z*0 Ecuación de la Recta en el plano Z.

Cap 2-Ejerc.6. Transformación del Plano Z al Plano w, de la función unívoca:

= F(Z) = Z2.

Cap. 2 – 3



6.1. Encontrar U(X; Y) y V(X;Y).

F(Z) = (X + iY)2 = (X2 – Y2) + i 2XY U = X2 – Y2 V = 2XY.

6.2. Representar cada punto Z0 en el Plano Z y su respectiva imagen en el Plano w:

Z1 = – 2 – i w1 = 3 + i4

Z2 = 1 – i2 w2 = – 3 – i4

Z3 = 1 + i w3 = i2

Z4 = –1 w4 = 1.

La transformación no es biyectiva. + Z y – Z se transforman en el mismo w.

6.3. Análisis para el caso de que U(X;Y) = Kn y V(X; Y) = Cn.

Para este caso en el Plano w tendremos: U(X;Y) = Kn: Familia de rectas verticales

y las gráficas correpondientes en el Plano Z son hipérbolas (familias de hipérbolas):

X2 – Y2 = 1 Hipérbola con el eje real sobre el eje X.

X2 – Y2 = Kn; Kn > 0 dan familias de hipérbolas con el eje real sobre el eje X.

X2 – Y2 = – 1 Y2 – X2 = 1 Hipérbola con el eje real sobre el eje Y.

Kn < 0 dan familias de hipérbolas con el eje real sobre el eje Y.

Para V(X; Y) = Cn, tendremos en el Plano w rectas horizontales y las gráficas

correspondientes en el Plano Z son hipérbolas equiláteras (familias de hipérbolas

equiláteras): V (X;Y) = 2XY

Cap. 2 – 4

iw 431

iw 432

14 w

iw 23 iz 13

iz 212 iz 21

14 zx

y

Plano z

2)( zzf

u

vPlano w

Z2 = X2 – Y2 + i 2XY



XY = C1; XY = C2; XY = C3; XY = C4;

6.4. ¿En que curvas se transforman rectas verticales en el Plano Z al Plano w?.

Rectas verticales en el Plano Z: X = K Z = K + i Y

U(X; Y) = X2 – Y2 = K2 – Y2 despejamos Y: .

V(X; Y) = 2XY = 2KY

elevamos al cuadrado:

V2 = – 4K2 (U – K2) Parábola abierta hacia la izquierda con vértice en (K2; 0)

y foco en el origen. { (y – k)2 = 4a2 (x – h2)}

6.5. ¿En que curvas se transforman rectas horizontales en el Plano Z al Plano w?.

Rectas horizontales en el Plano Z: Y = K Z = X + iK

U = X2 – Y2 = X2 – K2

V = 2XY = 2XK.

V2 = 4K2 (U + K2) Ecuación de una Parábola abierta hacia la derecha con

vértice en (– K2; 0) y foco en el origen.

Cap. 2 – 5

– 2 – 1 0 1 1

– 2

– 1

0

2

1



Cap 2-Ejerc.7. ¿En que curva se transforma la cia F(X; Y): X2 + Y2 = 4 centrada en el

origen?.

F(X; Y): X2 + Y2 = 4. Z(t) = 2(cost + isent) = 2(X + iY).

U = 4cos(2) V = 4sen(2).

La imagen traza una circunferencia dando dos vueltas (2). Si el radio de la

circunferencia original fuese 1, la imagen será una circunferencia de radio 1 y que

gira más rápido que la original.

Cap 2-Ejerc.8. Para la función: w = F(Z) = Z3; Encontrar U(X; Y) y V(X; Y).

w = (X + iY)3 = X3 + i3X2Y – 3XY2 – iY3 = (X3 – 3XY2) + i(3X2Y – Y3)

U(X; Y) = (X3 – 3XY2) V(X; Y) = (3X2Y – Y3)

Cap 2-Ejerc.9. Para la función: w = F(Z) = Z2 + 3Z;

9.1. Encontrar U(X; Y); V(X; Y).

w = (X + iY)2 + 3(X + iY) = X2 – Y2 + i2XY + 3X + i3Y

w = (X2 – Y2 + 3X) + iY(2X + 3).

9.2. El dominio de variación de Z. D: (– ; ).

9.3. Evaluarla en el punto: Z = 3 – i 2. F(Z) = 14 – i18

Cap. 2 – 6

x

y

u

v



Cap 2-Ejerc.10. Función Inversa: Para que exista la función inversa; la función dada debe

ser Inyectiva y Sobreyectiva simultáneamente, en ese caso se dice que la

función es Biyectiva.

Si w = F(Z) entonces Z = G(w) = F–1(W).

2. HOJAS o SUPERFICIES DE RIEMANN.

2.1. Puntos de ramificación, cortes de rama.

Z traza un camino en el Plano Z y la función uniforme (para cada Z un solo valor de

w): w = f(Z) = U + iV, traza su camino en el Plano w. Si w es función multiforme

(n valores de w para cada Z), salvo en los puntos de ramificación donde varios

valores de w pueden ser iguales, un solo Plano w ya no basta para representar w.

Cap 2-Ejerc.11. Para , Considerar la Función Multívoca: .

Entonces Si: .

En una posición arbitraria 0, tenemos w0: .

Primer Giro ( gira una vuelta completa) – Rama 1 de w: 0 < < 2.

F(Z) sufre una crisis de identidad.

2º Giro – Rama 2 de w: 0 < < 4.

se repite el valor

inicial de la función. La misma tiene dos

ramas, siendo el punto de ramificación

de : Z = 0, el origen.

Z0 es un punto de ramificación de F(Z), al trazar una curva cerrada alrededor de él

el valor de F(Z) no regresa a su valor original, de modo que F(Z) varía de forma

continua a medida que recorremos la curva. F(Z) no tiene por que ser continua o

existir en el punto de ramificación. En la superficie de Riemann F(Z) está

univaluada, es unívoca. Cada rama corresponde a un piso a una hoja de Riemann.

Cap. 2 – 7



Este camino continuo no nos genera problemas.

¿Cuál es la diferencia? Rodear el origen Z = 0 nos genera

la crisis, es en este caso un punto de

ramificación de .

¿Qué ocurre si damos dos vueltas alrededor del origen?.

tiene dos hojas de Riemann:

De 0 2: estamos en una rama, Rama

1.

De 2 4: estamos en otra rama, Rama 2.

Para , función de 2 Ramas, se necesitan 2 Planos w; y para una función de n

Ramas hacen falta n Planos w.

Riemann en lugar de usar n Planos w diferentes, introdujo una superficie de n hojas,

y sobre cada hoja la función multiforme es uniforme, a cada "lugar" sobre la

superficie corresponde un valor, y sólo uno de la función representada, luego

Riemann unió los n planos en un plano único. Colocó n planos uno sobre otro; cada

uno de estos planos, u hojas, se asocia con una rama particular de w, y mientras Z se

mueva en una hoja particular, la correspondiente rama de la función es recorrida por

w y como Z pasa de una hoja a otra, las ramas se cambian una en otra, hasta que,

habiendo recorrido Z todas las hojas y vuelto a su posición inicial, la rama original se

restablece.

El paso de Z de una hoja a otra es efectuado por medio de “puentes”, que unen

puntos de ramificación a lo largo de un determinado atajo que proporciona el paso de

una hoja a otra, la vista transversal será de la siguiente forma:

Cap. 2 – 8



imaginar un labio de la hoja superior unido al labio opuesto de la hoja inferior, y lo

mismo para el otro labio de la hoja superior.

Una superficie de Riemann con dos hojas conectadas por una línea (corte), si

caminamos alrededor del corte permanecemos dentro del mismo espacio, pero si

atravesamos el corte pasamos de una hoja a la otra. En la superficie de Riemann w

está univaluada. Cada rama corresponde a un piso u hoja de Riemman.

Las hojas no están unidas por atajos al azar (que pueden ser trazados en muchas

formas por determinados puntos de ramificación), sino ligadas de modo tal que,

Cap. 2 – 9

Hoja Superior

Hoja Superior

Hoja Inferior Hoja Inferior

Puente



cuando Z atraviesa la superficie de n hojas pasando de una hoja a otra, el

comportamiento analítico de w es descripto consecuentemente. A este circuito del

plano Z corresponde, sobre la superficie de Riemann de n hojas, el paso de una hoja

a otra y el intercambio resultante de las ramas de w.

Existen muchas formas en que la variable puede trasladarse en la superficie de

Riemann de n hojas, pasando de una hoja a otra. Para cada una de éstas formas

corresponde un intercambio particular de las ramas de w que puede ser simbolizado

escribiendo, una tras otra, letras que denotan las diversas ramas intercambiadas.

Para , tenemos: w0: posición inicial, w1: luego de la 1ª vuelta y w2 luego de la

2ª vuelta cuando w se reencuentra.

Las superficies de Riemann no son fáciles de representar gráficamente, se

realizan representaciones sistemáticas de conexión entre las hojas, asi como los

químicos escriben una fórmula de un compuesto de carbono para representar en

forma esquemática el comportamiento químico del compuesto, sin que eso suponga

que representa la verdadera disposición espacial de los átomos en el compuesto.

Riemann hizo considerables progresos por medio de sus superficies y su topología,

siendo una cuestión de este tipo conseguir que los atajos sean imaginados en forma

tal que hagan equivalente a un plano la superficie de n hojas.

Cap. 2 – 10



Cap. 2 – 11

uv

w

Superficie de Riemann para



Cap 2-Ejerc.12. Verificar que la función: w = F(Z) = , tendrá tres ramas.

; Para 0, tenemos w0: .

1er Giro: 0 < < 2: .

2º Giro: 0 < < 4: .

3er Giro: 0 < < 6: .

Cap 2-Ejerc.13. Para Verificar que: , tendrá 5 ramas.

En una posición arbitraria 0, tenemos w0: .

1er Giro 0 < < 2: .

2º Giro 0 < < 4: .

3er Giro 0 < < 6: .

4º Giro 0 < < 8: .

5º Giro 0 < < 10:

Después de 5 giros el ciclo se repite

Si el camino no encierra el origen el aumento en el arg(Z) es 0 y el aumento en

arg(w) también es 0 así: w = w0 sin importar la cantidad de vueltas.

El primer giro: 0 < 2 Es el intervalo principal o rama principal de la función

multívoca.

La función: w = F(Z) = , tendrá n ramas, n hojas de Riemann. Si F(Z) no posee

puntos de ramificación la superficie de Riemann coincide con el plano complejo.

Cap. 2 – 12



3. FUNCIONES ELEMENTALES.

Combinaciones de: Exponenciales, Logaritmos, Constantes, una variable, y raíces de

ecuaciones usando las cuatro operaciones elementales (+ – × ÷). Las funciones

trigonométricas; trigonométricas hiperbólicas y sus inversas son consideradas como

funciones elementales.

ejemplo de una función elemental.

Una función NO ELEMENTAL es la función error: .

3.1. La función exponencial.

Cap 2-Ejerc.14. Para la Función exponencial: w = eZ . Identificar: U(X;Y) y V(X;Y).

e(X + iY) = e(X + iY) = eX e iY = eXcosY + ieXsenY = U(X; Y) + iV(X; Y).

Cap 2-Ejerc.15. Probar que: .

LCDD.

3.2. Funciones Trigonométricas.

Definimos las funciones trigonométricas circulares utilizando la relación de Euler:

; ; ;

; ;

.

sen2Z + cos2Z = 1 ; 1 + tg2Z = sec2Z; 1 + cotg2Z = cosec2Z.

.

.

Cap. 2 – 13



3.3. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.

.

.

.

cosh2Z – senh2Z = 1

1 – tgh2Z = sech2Z coth2Z – 1 = cosech2Z

senh(– Z) = – senhZ cosh(–Z) = coshZ tgh(– Z) = – tghZ

senh(Z1 ± Z2) = senh Z1.cosh Z2 ± senh Z2.cosh Z1

cosh(Z1 ± Z2) = cosh Z1.cosh Z2 ± senh Z1.senh Z2

Cap 2-Ejerc.16. Demostrar las siguientes relaciones:

16.1. sen(iZ) = isenh(Z). .

16.2. cos(iZ) = cosh(Z). .

16.3. senh(iZ) = i sen(Z) .

16.4. cosh(iZ) = cos(Z). .

16.5. tg(iZ) = itgh(Z). .

16.6. tgh(iZ) = itg(Z). .

3.4. Función Logarítmica.

Cap. 2 – 14



: función multivaluada (tiene k ramas, tiene

infinitas ramas) se define: La Rama Principal de w para k = 0:

w = LnR + i 0 < 2.

Cap 2-Ejerc.17. Expresar w = LnZ, como una función F(Z) multivaluada.

.

17.1. Verificar que Z = 0 es un punto de ramificación de F(Z).

Iniciamos el estudio de w en Z0 0: w0 = Ln(Z0) = LnR + i0.

Luego de un giro completo: = 0 + 2, retorno al punto de partida tenemos:

w1 = Ln R + i(0 + 2) valor diferente al original por lo tanto estamos en otra

rama de la función. Por lo tanto Z = 0 es un punto de ramificación de la F(Z).

Otro giro completo: = 0 + 4: w2 = Ln Z0 + i(0 + 4) otra rama.

17.2. Encontrar la rama principal para:

; k = 0: = 0,35 + i5,5 = 5,5186,35º.

17.3. Encontrar la rama principal para Z = (4 + i3)3+i.

w = LnZ = (3 + i)Ln(5ei37º) = (3 + i){Ln5 + i(37º + k360º)}; para K = 0:

.

Cap 2-Ejerc.18. Si Z = aw Determinar: .

Ln(Z) = wLn(a) .

Cap. 2 – 15



Cap 2-Ejerc.19. Determinar para:

19.1. Z = ii. w = Ln(Z) = iLn(i) = iLn(ei ),

La rama principal, k = 0: .

19.2. .

. Rama principal, k = 0: w = – 1,57 + i 2,08.

3.5. Funciones Trigonométricas inversas.

Cap 2-Ejerc.20. Encontrar la expresión equivalente para = arcsenZ = sen–1Z.

Si = arcsenZ Z = sen

multiplicamos por eiw: Ec. de segundo grado en eiw.

; se toma el signo (+); rama principal y

aplicamos Ln:

Cap 2-Ejerc.21. Resolver la ecuación:

21.1. cosZ = 5. Z = arccos(5).

x

Ec. de 2º grado en eiZ.

9,89 0,101

iZ1 = Ln(9,89) Z1 = – i2,29. iZ2 = Ln(0,101) Z2 = i2,29.

Verificación: .

Cap. 2 – 16



Cap 2-Ejerc.22. Resolver la ecuación: senZ = 2.

.

senXcoshY = 2 coshY = 2 Y = 1,3169

cosXsenhY = 0 cosX = 0 X = /2.

Cap 2-Ejerc.23. Calcular Z para senZ = 10.

iZ1 = Ln(i20)Z1 = /2 – i3

iZ2 = Ln(0) No existe.

Cap 2-Ejerc.24. Calcular: = arcsen(1 + i) =.

Cap 2-Ejerc.25. Verificar que:

25.1. .

25.2. .

25.3. .

25.4. .

25.5. .

Cap. 2 – 17



3.6. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.

Cap 2-Ejerc.26. Encontrar la expresión equivalente para = argsenhZ = senh–1Z.

Si = argsenhZ entonces Z = senh

multiplicamos por ew.

ecuación de segundo grado en ew.

se deduce de luego Aplicamos Ln

Cap 2-Ejerc.27. Verificar que:

27.1. .

27.2. .

27.3. .

27.4.

27.5. .

Cap. 2 – 18



Cap 2-Ejerc.28. Para la función compleja: :

28.1. Verificar que Z = i; y Z = – i, son puntos de ramificación.

camino cerrado C1, en sentido positivo (anti

horario) alrededor de + i, sin que el

mismo contenga a – i.

.

Consideramos un valor particular de Z y

tendremos: y si da

un giro completo y permanece fijo:

; w queda:

.

Cambia el valor de w por que se produce un cambio de rama en Z = i.

Ahora da un giro completo y permanece fijo:

Ahora seguimos un camino cerrado

C2, en sentido positivo (anti

horario) alrededor de – i, sin

que el mismo contenga a + i.

.

Cambia el valor de w por

que se produce un cambio de

rama en Z = – i.

Con esto se verifica que Z1 = + i y Z2 = – i; son puntos de ramificación de F(Z).

: Cambio.

Para C1: y

Para C2: y

Cap. 2 – 19

i

– i

i

– i



En ambos casos w no retorna a su valor original por que Z = + i y Z = – i son puntos

de ramificación de w.

Cap. 2 – 20



28.2. Demostrar que una vuelta completa alrededor de ambos puntos no produce cambios.

Si y dan un giro completo tendremos: y w queda:

. No cambia de valor; no se produce cambio de rama.

28.3. Determinar las ramas de la función .

En ambos gráficos las líneas no pueden ser cruzadas y nos restringen a una rama en

donde la función es unívoca.

El Plano Z consta de 2 hojas superpuestas cortadas a lo largo de la rama (lados

opuestos se pegan para formar la superficie de Riemann) un giro completo alrededor

de + i nos lleva de una rama a la otra y si damos un giro completo alrededor de los

dos puntos + i y de – i no se cambia de rama.

Cap. 2 – 21

i

– i

i

– i

i

– i



4. TRANSFORMACIÓN – MAPEO.

Mapeo (del inglés map) transformación, relación matemática, también se usa la

palabra como verbo: mapear.

Muchas veces en el análisis de un determinado problema podemos simplificar las

cosas realizando una transformación adecuada en el plano complejo.

4.1. Transformaciones en el Plano complejo.

Cap 2-Ejerc.29. Análisis de la transformación: = aZ + b.

29.1. Translación: Si a = 1 Tenemos una Traslación, debido a “b= b1 + ib2”.

= (X + iY) + b1 + ib2 = (X + b1) + i(Y + b2).

29.2. Para b = 2 + i; determinar la traslación correspondiente.

= Z + b = Z + 2 + i = (X + 2) + i (1 + Y).

Plano Z Plano w

A = 2 + i A’ = 4 + i2

B = 3 + i B’ = 5 + i2

C = 3 + i3 C’ = 5 + i4

29.3. Mapeo Identidad si: a = 1 (real puro) y b = 0, tenemos: = Z.

29.4. Rotación en sentido contrario al reloj

Si a = i .

Giro de 90º en sentido contrario de las agujas del reloj.

29.5. Contracción Uniforme: y |a| < 1.

. Se produce una rotación y una contracción, el módulo

de Z se reduce de tamaño.

29.6. Dilatación Uniforme: y |a| > 1.

. Se produce una rotación y una dilatación, el módulo

de Z aumenta de tamaño.

En general = aZ es una Rotación más una dilatación o una contracción.

Cap. 2 – 22



Cap 2-Ejerc.30. Para el triángulo en el Plano Z cuyos vértices son: Z1 = 1 + i; Z2 = 2 + i3 y

Z3 = 3 + i; determinar su imagen en el Plano bajo el mapeo: = Z – i.

Z1 = 1 + i; 1 = 1. Z2 = 2 + i3; 2 = 2 + i2. Z3 = 3 + i; 3 = 3.

Imagen en Plano es otro triángulo cuyos vértices son: 1 = 1; 2 = 2 + i2 y 3 = 3.

Cap 2-Ejerc.31. Hallar la imagen en el Plano para el paralelogramo en el Plano Z cuyos

vértices son: Z1 = 1 + i; Z2 = 2 + i2; Z3 = 4 + i2 y Z4 = 3 + i bajo el mapeo:

.

Z1 = 1 + i; . Z2 = 2 + i2; 2 = - 1 + i.

Z3 = 4 + i2; 3 = - 1 + i2. Z4 = 3 + i; .

Imagen en Plano es otro paralelogramo de vértices: .

Cap 2-Ejerc.32. Graficar la función = iZ + (1 + i).

Z1 = 0; = 1 + i Z2 = 1; = 1 + i2

Z3 = 1 + i; = i2 Z4 = i; = i.

Tenemos que: a = i, produce una rotación, y b = 1 + i, produce una traslación.

Cap 2-Ejerc.33. Determinar: U(X; Y) y V(X;Y).

33.1. = i2Z + Z*. U = (X – 2Y) V = (2X – Y).

33.2. = Z2 + 2Z; para Z = 3 + i. U = 14 V = 8.

Cap. 2 – 23

u u

v v



Cap 2-Ejerc.34. Para . .

34.1. Establece una correspondencia entre los puntos no nulos de los Planos Z y .

34.2. Determinar U(X; Y) y V(X; Y).

. .

34.3. Determinar X(U; V) e Y(U; V).

; .

34.4. Encontrar la imagen de la recta X = c.

Completamos el cuadrado del binomio:

Ec. de una cia; y pasa por el origen.

34.5. El semi plano X > c se transforma en el interior del círculo.

34.6. Encontrar la imagen de la recta X = 0.

X = 0: recta vertical (pasa por el origen) recta u = 0 pasa por el origen.

34.7. Encontrar la imagen de la recta Y = c.

34.8. Encontrar la imagen de la recta Y = 0.

Y = 0: recta horizontal (pasa por el origen) recta v = 0 pasa por el origen.

Líneas que pasan por el origen se convierten en líneas que pasan por el origen.

Z = R . La transformación es biyectiva excluyendo al origen.

Cap. 2 – 24



a(X2 + Y2) + bX + cY + d = 0Si: (a; b; c; d R) y ; representa un círculo

(a 0) o una recta (a = 0); u y v cumplen con la ecuación:

d(u2 + v2) + bu – cv + a = 0; que representa un círculo o una recta.

En forma general = 1/Z transforma círculos y rectas en círculos y rectas.

Un círculo (a 0) que no pasa por el origen (d 0) en el Plano Z se transforma en el

Plano en un círculo que no pasa por el origen.

Un círculo (a 0) que pasa por el origen (d = 0) en el Plano Z se transforma en el

Plano en una recta que no pasa por el origen.

Una recta (a = 0) que no pasa por el origen (d 0) en el Plano Z se transforma en el

Plano en un círculo que pasa por el origen.

Una recta (a = 0) que pasa por el origen (d = 0) en el Plano Z se transforma en el Plano

en una recta que pasa por el origen.

Cap 2-Ejerc.35. Transformación bilineal o de Moebiüs: .

(ad – bc 0; a, b; c; d C ). La transformación inversa es tambien bilineal:

La transformación no está definida para Z = – d/c; y lo

mismo ocurre con w = a/c para la inversa.

Z’ = cZ + d

Z’’ = 1/Z’

Una Transformación bilineal puede escribirse como una composición de

transformaciones lineales y la transformación 1/Z; transforma el conjunto de círculos

y líneas en si mismo.

Cap. 2 – 25

cap. 2. vc funciones de var compleja - mapeo.doc

Documents

coordenadas

puntos de

superficies

funciones

cuyos vrtices

el mdulo de

resolver la

funciones