cap 2 - parte 3 - caida libre

Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula

2.9 CAÍDA LIBRE

El ejemplo más común de movimiento con aceleración

constante es el de la caída de un objeto bajo la influencia

de la atracción gravitacional de la Tierra. Según cuenta

una leyenda, fue Galileo Galilei el que descubrió este

hecho, al soltar dos cuerpos de diferente peso desde lo

alto de la Torre de Pisa. Contradiciendo la concepción de

la época acerca del movimiento, los dos cuerpos llegaron

al suelo al mismo tiempo.

Sea cierto o no este relato, experimentos modernos, en

cámaras de vacío, diseñados para evitar la resistencia del

aire, muestran que cerca de la tierra, todos los cuerpos

caen con la misma aceleración. Esta aceleración de los cuerpos, cuando caen libremente por acción de la

gravedad, se denomina aceleración de la gravedad y se le representa por el símbolo g. Cerca de la

superficie de la tierra su magnitud es aproximadamente 9,8m/s2 y está dirigida hacia el centro de la Tierra.

Dado que el movimiento de caída libre es simplemente un caso particular del movimiento rectilíneo con

aceleración constante, podemos aplicar las fórmulas estudiadas anteriormente para describir su

movimiento. Sin embargo estableceremos en este caso una convención sobre la elección del sistema de

referencia. Tomaremos siempre el eje de coordenadas de modo que su eje positivo apunte hacia arriba

(saliendo de la tierra).

La grafica adjunta ilustra, la elección de un eje saliendo de

tierra. Nótese que la Tierra, la representamos localmente por

una línea horizontal. El eje debe ser perpendicular a esta línea.

La elección de este eje significa que la aceleración de la

gravedad tendrá siempre el valor –g. Gráficamente la

representaremos por un vector apuntando hacia abajo.

Por otro lado tenemos que el desplazamiento y la velocidad se

representaran gráficamente por vectores, que apuntan hacia

arriba, si son cantidades positivas, y que apuntan hacia abajo,

si son negativas.

Teniendo en consideración la discusión anterior, las ecuaciones que nos dan la posición y velocidad de un

cuerpo en caída libre resultan:

La aceleración de la gravedad se puede medir con

un plano inclinado, tal como razonó Galileo Galilei.

Laboratorio de Física de la PUCP


2

0 0 0

1

2f fy y v t gt v v gt

De igual manera las otras dos ecuaciones, útiles en la solución de problemas resultan:

0 2 2

0 0 0( ) 2 ( )2

f

f f f

v vy y t v v g y y

Nótese que en estas relaciones, todas las variables presentes con excepción de g tienen signo. Desde

luego, g es simplemente 9,8m/s2.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Como primer problema demostraremos dos propiedades interesantes de un cuerpo en caída libre.

Supongamos que se lanza un objeto desde el piso hacia arriba, y que tras alcanzar su altura máxima el

objeto cae nuevamente a tierra. Demostrar que a partir de un punto cualquiera de su movimiento:

a) El tiempo que le toma subir hasta la parte más alta y el tiempo que le toma bajar nuevamente al

mismo punto, son iguales.

b) La rapidez con la que sube y la rapidez con la que baja, en el instante en que pasa por dicho punto,

son iguales.

SOLUCIÓN:

a. Consideremos como origen de coordenadas O, un punto arbitrario del eje, y como origen temporal, el

instante en que la partícula pasa subiendo por este punto O.

O


El tiempo que le toma llegar al punto más alto lo obtenemos igualando a cero la velocidad:

2 20 /fv v gt t v g

El tiempo que le toma regresar al mismo punto lo obtenemos igualando a cero la posición:

2

2 2

10 0 2 /

2v t gt t v g

De estas dos ecuaciones concluimos, que el tiempo que le toma subir desde el punto O hasta el punto

más alto, y el tiempo que le tomó bajar al mismo punto, resultan ser guales.

b. Reemplazando el valor de t de bajada en la ecuación de la velocidad, tenemos

20 3 2 2

2( )f

vv v gt v v g v

g

lo que nos muestra que la rapidez de bajada, es la misma que la de subida. Dado que el punto O es

arbitrario, esto sigue siendo válido en el piso: v1 = v4.

2. Si se lanza verticalmente una pelota hacia arriba, con una velocidad de inicial de 30m/s, para el

movimiento se pide determinar:

a) ¿Cuánto tiempo tarda el cuerpo en llegar al punto más alto de su trayectoria?

b) ¿Cuál será la velocidad del cuerpo 2s después del lanzamiento?

c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el cuerpo?

d) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire, si se atrapa la pelota a la misma altura inicial?

SOLUCIÓN


a. Tomamos como punto de referencia, el punto A en que se suelta la pelota, y como origen temporal, el

instante en que se suelta la pelota.

En el punto más alto B, la velocidad de la bola es cero, luego tenemos

0 0 30 9.8 0 3.06v v gt t t s

b. Usando nuevamente la ecuación para la velocidad:

30 9.8(2) 10.4 /f fv v m s

c. Primero calculamos el desplazamiento, para esto se podría usar el tiempo hallado anteriormente y

reemplazarlo en la ley de movimiento. Podemos obviar usar el tiempo usando:

2 2 2

0 02 ( ) 0 30 2(9.8)( 0) 0 45.9f f f fv v g y y y y y m

Finalmente, notemos que todo el trayecto es de subida, y por lo tanto este desplazamiento

corresponde a la altura máxima.

d. En el instante que vuelve al punto A, la posición es nuevamente cero, según nuestro SR. Luego usando

la ley de movimiento, tenemos

2 2

0 0

1 10 0 30 (9.8) 6.1

2 2fy y v t gt t t t s


Notemos que la solución trivial t = 0s, corresponde al instante inicial en el que fue lanzada la pelota.

3. Se lanza una piedra, verticalmente hacia arriba, desde el borde de la azotea de un edificio. La velocidad

inicial es de 15m/s. Calcular:

a) La posición de la piedra 1s y 4s después de lanzarla.

b) La velocidad de la piedra 1s y 4s después de lanzarla.

c) La velocidad cuando la piedra está 5m encima de la azotea.

SOLUCIÓN

a. Tomando como origen de coordenadas y origen temporal, el punto e instante de lanzamiento, tal

como muestra en la figura:

Luego, para hallar las posiciones pedidas calculamos primero la posición de la piedra para un tiempo

arbitrario t:


2 2

0 0

1 115 (9,8)

2 2f fy y v t gt y t t

Reemplazando la ecuación anterior t = 1s, tenemos que yf = 10.1m, es decir, la piedra está 10.1m

encima de la azotea. Del mismo modo, reemplazando, t = 4s; tenemos yf = –18.4m, es decir la piedra

está 18.4m debajo de la azotea.

b. Primero hallamos, la velocidad para cualquier instante:

0 15 9.8f fv v gt v t

Luego tenemos, para t = 1s, vf = 5.2m/s (la piedra está subiendo) y para t = 4s, vf = –24.2m/s (la piedra

está bajando).

c. Para hallar la velocidad de la piedra cuando está 5m arriba de la azotea, usamos:

2 2 2 2

0 02 ( ) (15) 2(9,8)(5 0) 11.3 / 11.3 /f f f f fv v g y y v v m s ó v m s

La pelota pasa dos veces por ese punto, una subiendo y otra bajando. La velocidad de subida es

11.3m/s, y de bajada, –11.3m/s, según nuestra convención.


Preguntas Conceptuales

Responde las siguientes preguntas justificando tus respuestas.

1. Desde la azotea de un edificio se lanza una bola hacia arriba con velocidad v0. ¿Cuál es la aceleración

media de la bola desde que se lanza hasta que regresa al punto de partida?

2. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba con una velocidad desconocida. Se sabe que la pelota

recorre una misma distancia durante el primer y el sexto segundo de su movimiento. ¿Cuál fue la

velocidad inicial (en función de la aceleración de la gravedad) con la que la pelota fue lanzada hacia

arriba?

3. Desde la azotea de un edificio se lanza una bola hacia arriba con velocidad v0. ¿Cuál es la velocidad

media de la bola desde que se lanza hasta que regresa al punto de partida?

4. Se lanza dos monedas verticalmente hacia arriba. La primera es lanzada con velocidad v0 y alcanza una

altura máxima h. Si la segunda moneda se demoró el triple del tiempo que le tomó a la primera

moneda en alcanzar su altura máxima H, ¿es correcto afirmar que H = 3h?

5. Se lanza una partícula verticalmente hacia arriba y regresa al punto de partida T segundos después.

¿Cuánto vale la velocidad media de la partícula entre 0 y T segundos?

6. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. En el punto más alto de la trayectoria la aceleración

vale cero. ¿Es esto correcto?

Ejercicios

1. Un cuerpo, inicialmente en reposo, cae desde una altura de 80m. Calcular cuánto tardará en caer y con

qué velocidad llegará al suelo.


2. Un hombre sostiene un florero fuera de una ventana a 12m del piso. Si lo lanza hacia arriba con una

rapidez de 5m/s, ¿cuánto tarda el florero en llegar al piso y cuál es su rapidez antes de chocar con el

piso?

3. Desde una altura de 25m se arroja una piedra hacia abajo en línea recta con una velocidad inicial de

20m/s. Hallar el tiempo que tarda en llegar al piso.

4. A un cuerpo que asciende libremente le resta un segundo en alcanzar su altura máxima. ¿Qué

velocidad tiene? ¿Qué distancia le falta recorrer?

5. Desde lo alto de un edificio de 300m, se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de 98m/s.

Calcular:

a) Su máxima elevación respecto del piso.

b) El tiempo que tardará en alcanzar esta altura.

c) La velocidad que tendrá al caer al suelo.

d) El tiempo que empleará en caer al suelo.

6. Un cuerpo se suelta desde una altura de 10 m, demorando un tiempo T en su caída. ¿Desde qué altura

se debe soltar para que demore en caer un tiempo T2?

7. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, ¿cuál es su altura máxima, si al alcanzar los 2/3 de

esta altura posee una velocidad de 10m/s?

8. Dos monedas se lanzan verticalmente, ambas con una rapidez inicial de 10 m/s desde una altura de 60

m sobre el suelo. La moneda A se lanza hacia arriba, mientras que la moneda B se lanza hacia abajo.

¿Con qué diferencias de tiempo tocan ambas monedas el suelo?

9. Una esfera es lanzada hacia arriba, desde la azotea de un edificio de altura H, con una velocidad inicial

de magnitud vo.

a) Hallar la altura máxima alcanzada por la esfera, medida desde el piso.

b) Hallar en cuánto tiempo, desde que fue lanzada, llega al piso.

c) Dibujar las gráficas velocidad-tiempo y posición-tiempo, considerando como origen el nivel de la

azotea.


10. Una roca es expulsada verticalmente hacia arriba por un volcán con una rapidez inicial de 40 m/s.

Cuando la roca está bajando a 20 m/s, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento se encuentra?

Problemas

1. Se deja caer un cuerpo y, simultáneamente, se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de

1m/s. ¿En qué instante la distancia entre ellos es de 18m?

2. Una moneda se suelta desde lo alto de una torre y se conoce que los últimos 25m los recorre en un

segundo. ¿Cuánto tiempo se demoró en caer la moneda y desde que altura se soltó?

3. Se lanza un objeto hacia abajo. Si luego del primer segundo desciende 7,5m, hallar la distancia que

desciende entre t = 1s y t = 2s.

4. Dos piedras son lanzadas de un edificio. Si una es soltada y luego de 2s se lanza la otra con velocidad de

5m/s hacia abajo, ¿en qué tiempo la velocidad de la primera será el doble de la segunda, a partir del

instante que es lanzada la primera piedra?

5. Desde una altura de 5m se deja caer un objeto. En ese mismo instante desde el piso se lanza un objeto

hacia arriba con cierta velocidad inicial v0. Hallar el valor de v0, si se sabe que al momento de

encontrarse ambos objetos tienen velocidades de módulos iguales.

6. Desde la ventana del tercer piso de un edificio, un muchacho ve pasar una pelota luego de 3s que es

lanzada desde el piso. Después de 9s vuelve a pasar la pelota delante de él, pero de bajada. ¿Cuál es la

velocidad inicial de la pelota?

7. Desde el primer piso de un edificio se lanza un objeto A hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Dos

segundos después se suelta un objeto B desde la azotea del edificio. Cuando los dos objetos se cruzan,

su rapidez es la misma. Hallar:

a) El tiempo que tardaron en cruzarse desde que se lanzó A.

a) La altura del edificio.


b) La máxima altura alcanzada por A, medida respecto del primer piso.

c) En un mismo diagrama trazar las gráficas v – t para ambos objetos desde el instante en que se

lanzó A hasta el momento en que alcanzó su altura máxima. Indicar el instante en que ambos

objetos tienen la misma rapidez.

8. Desde el borde de la azotea de un edificio un estudiante lanza verticalmente una pelota azul con una

velocidad desconocida. Transcurridos 2 s el estudiante deja caer una pelota roja desde el mismo

punto. Otro estudiante que se encuentra al pie del edificio observa que la pelota roja llegó primero al

suelo y que la pelota azul tocó el suelo 2 s después que la roja. ¿Con qué velocidad fue lanzada la

pelota azul?

9. Desde el suelo se lanza una canica verticalmente hacia arriba con velocidad v0. En el mismo instante,

una segunda canica se deja caer desde una altura H directamente encima del punto de lanzamiento de

la primera. Obtenga el valor de H en términos de v0 de modo que, cuando choquen las canicas, la

primera esté en su punto más alto.

10. Un estudiante lanza verticalmente hacia arriba y desde el suelo una moneda con una rapidez inicial

desconocida. La altura máxima que alcanza la moneda es H, medida desde el suelo. Además el

estudiante registra el tiempo t1 que la moneda tarda en subir desde el suelo hasta H/2 y el tiempo t2

que la moneda tarda en subir desde H/2 hasta H. Determine la razón de tiempos t2/t1.

11. Un cohete experimental, inicialmente en reposo, despega desde el piso impulsado por un motor que le

comunica una aceleración ascendente neta de 4,9 m/s2 (constante). Transcurridos 5 s, el motor sufre

una falla y deja de funcionar. En ese mismo instante, un objeto que se encuentra 98 m arriba del

punto de lanzamiento del cohete se deja caer libremente. Considere t = 0 s cuando deja de funcionar

el motor del cohete.

a) Determinar la ley de movimiento del cohete y del objeto, a partir del instante en que deja de

funcionar el motor (t = 0 s)

b) ¿En qué instante y a qué altura del suelo chocará el cohete con el objeto?

c) Justo antes de la colisión, el cohete estará subiendo o bajando? Justifique su respuesta.

d) Hacer un diagrama v–t para el cohete y para el objeto, a partir del instante en que deja de

funcionar el motor del cohete (t = 0 s).

12. Desde el borde de la azotea de un edificio, un estudiante de física suelta una moneda y observa que

recorre la altura de una ventana de 1,4 m de longitud en 0,1 segundos. ¿Cuánto tardó la moneda,

desde que se soltó, en llegar a la parte superior de dicha ventana?


13. Se suelta una moneda desde la azotea de un edificio de altura H. En el mismo instante, una segunda

moneda se lanza verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle, de modo que tenga velocidad

cero cuando llegue al nivel de la azotea. ¿Qué rapidez tendrá cada moneda cuando ambas se crucen?

14. Una persona se deja caer de un edificio de altura H desconocida. Cuando ha caído un tercio de la altura

del edificio enciende un cohete de frenado que le da una desaceleración de magnitud igual a la mitad

de la aceleración de la gravedad de modo que llega al piso con velocidad cero. El tiempo que pasa

desde que se deja caer hasta que llega al suelo es de 6 s. Hallar:

a) La altura H del edificio.

b) La velocidad que tiene en el instante en que enciende el cohete de frenado.

c) El tiempo que actúa el cohete de frenado desde su encendido hasta que llega al suelo.


Respuestas a los Ejercicios

1. 4,04 s; -39,6 m/s

2. 2,16 s; -16,1 m/s

3. 1,0 s

4. 9,8 m/s, 4,9 m

5.

a) 790 m

b) 10 s

c) –124,4 m/s

d) 22,7 s

6. 20,4 m

7. 15,3 m

8. 2,04 s

9.

a) 2

0 /(2 )H v g

b) 2

0 0/ 2 /v g v gH g

c) ---

10. 61,22 m

Respuestas a los Problemas

1. 18 s

2. 3,06 s; 45,9 m

3. 17,5 m

4. 2,98 s


5. 9,89 m/s

6. 73,5 m/s

7. ---

8. 28 m/s

9. 2

0 /v g

10. 2,41

11.

a) Cohete: y = 25g/4 + 5gt/2 - gt2/2

Objeto: y = 10g - gt2/2

b) 1,5 s

c) Subiendo. v es positiva.

d) ---

12. 1,378 s

13. (1 1/ 2)

/ 2

gh

gh

14.

a) 58,8 m

b) -19,6 m/s

c) 4 s

1. 10 m/s; 1,26 s

2. 0,2 rad/s

3. 31,4 rad/s

4. 0,67 rad/s

5. 0,5 rad/s


Respuestas a los problemas

1. 4 s

2. 359/360

3. 1/6

4. 7,96 m

5. 4R

6. 3,3 vueltas

7.

a) 1,28 s

b) 3,93 s

c) 0,96 s

cap 2 - parte 3 - caida libre

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