1.- Magnetismo: Imáns naturais! 2

2.- Forza magnética sobre unha carga en movemento. Definición de B. Forza de Lorentz ! 2

2.1.- Partícula sometida a un campo magnético constante y uniforme! 3

3.- Forza entre cargas en movemento. Campo magnético creado por unha carga! 4

4.- Experiencia de Oersted.! 5

5.- Lei de Biot e Savart! 6

5.1.- Campo creado por unha espira circular nun punto polo que pasa o eixe da espira.! 6

5.2.- Campo creado por un fío recto e infinito! 7

6.- Lei de Ampere! 7

6.1.- Aplicacións! 7

7.- Forza entre correntes. Lei de Laplace! 9

7.1.- Momento magnético! 9

8.- Fluxo magnético! 10

9.- Magnetismo na materia! 10

9.1.- Tipos de materiais magnéticos! 12

CAMPO MAGNÉTICO

1

• 1.- Magnetismo: Imáns naturais! Outro tipo de forzas de carácter non mecánico que se observan na natureza son as denominadas forzas magnéticas.! O fenómeno descubriuse por primeira vez en Magnesia (Turquía). Algúns corpos naturais presentan a propiedade de atraer anacos de ferro. A tales corpos dáselles o nome de imáns naturais e a propiedade que teñen recibe o nome de magnetismo.! Ademais dos imáns naturais, existen outras substancias que poden adquirir o magnetismo de forma artificial. Estes corpos denomínanse imáns artificiais. Ás substancias que son fortemente atraídas por os imáns chamanse ferromagnéticas, ás que so son atraídas moi débilmente ( de forma impercepitble a nosa vista) son paramagnéticas, e ás que non son afectadas de ninghuna forma ou son débilmente repelidas por un imán son diamagnéticas.  ! Os imáns teñen as seguintes propiedades:

1. Todo imán presenta a máxima atracción nos extremos, que reciben o nome de pólos magnéticos. Entre os pólos existe unha rexión onde o imán non exerce ningunha forza.

2. Un imán ten dous pólos que se coñecen cos nomes de Norte e Sur, xa que se orientan segundo os polos xeográficos (non coinciden exactamente) da Terra, que é un imán natural. Pólos de igual nome repélense, de distinto nome atráense. As liñas de campo saen dun pólo e entran noutro.

3. Un imán por moito que se rompa sempre terá dous pólos.

A Terra posúe un imán natural interno que xera un campo magnético que a rodea a ela e sérvenos de pantalla contra a radiación. A existencia do imán terrestre é consecuencia de que o núcleo terrestre está formado por un interno, sólido, e outro externo, líquido. O núcleo interno xira respecto ao externo orixinando una dínamo.

• 2.- Forza magnética sobre unha carga en movemento. Definición de B. Forza de Lorentz

O feito de que as forzas magnéticas sexan forzas de acción a distancia permite recorrer á idea física de campo para describir a influencia dun imán ou dun conxunto de imanes sobre o espazo que lles rodea. Do mesmo xeito que no caso do campo eléctrico, recórrese á noción de liñas de forza para representar a estrutura do campo. En cada punto as liñas de forza do campo magnético indican a dirección na que se orientará unha pequena brújula (considerada como un elemento de proba) situada en tal punto. Así as limaduras de ferro espolvoreadas sobre un imán oriéntanse ao longo das liñas de forza do campo magnético correspondente e o espectro

CAMPO MAGNÉTICO

2

magnético resultante proporciona unha representación espacial do campo. Por convenio admítese que as liñas de forza saen do polo Norte e diríxense ao polo Sur.Como sucede noutros campos de forza, o campo magnético queda definido matemáticamente se se coñece o valor que toma en cada punto unha magnitude vectorial que recibe o nome de intensidade de campo. A intensidade do campo magnético, denominada tamen inducción magnética, represéntase pola letra B e é un vector tal que en cada punto coincide en dirección e sentido cos da liña de forza magnética correspondente. As brújulas, ao alinearse ao longo das liñas de forza do campo magnético, indican a dirección e o sentido da intensidade do campo B.A obtención dunha expresión para B derívase da observación experimental do que lle sucede a unha carga q en movemento en presenza dun campo magnético. Se a carga estivese en repouso non se apreciaría ningunha forza mutua; con todo, se a carga q móvese dentro do campo creado por un imán obsérvase como a súa traxectoria se curva, o cal indica que unha forza magnética Fm estase exercendo sobre ela. Do estudo experimental deste fenómeno dedúcese que:a) Fm é tanto maior canto maior é a magnitude da carga q e o seu sentido depende do signo da carga.b) Fm é tanto maior canto maior é a velocidade v da carga q.c) Fm faise máxima cando a carga móvese nunha dirección perpendicular ás liñas de forza e resulta nula cando se move paralelamente a ela.d) A dirección da forza magnética nun punto resulta perpendicular ao plano definido polas liñas de forza a nivel dese punto e pola dirección do movemento da carga q, ou o que é o mesmo, Fm é perpendicular ao plano formado polos vectores B e v.! Polo tanto a forza magnética é proporcional á carga q é á súa velocidade, sendo a súa dirección perpendicular á do movemento, de xeito que se pode escribir

Lei de Lorentz onde B é o campo creado polo imán. Para determinar B por esta ecuación temos que realizar dúas medicións con velocidades perpendiculares.

�

B = Fqv

A unidade de B no S.I. é o Tesla

! Definición de B: o campo B nun punto é a forza exercida sobre a unidade de carga que se mova con velocidade unidade en dirección perpendicular ao campo e á forza. ! Como a forza magnética é perpendicular ao movemento, non realiza traballo, polo tanto non produce variacións na velocidade, a súa enerxía cinética é constante, pero si produce variacións na súa traxectoria, porque curva a traxectoria.

! 2.1.- Partícula sometida a un campo magnético constante y uniforme

Supoñamos que temos unha carga que entra nun campo magnético cunha certa velocidade e de tal forma que ou campo magnético sexa perpendicular a dita velocidade. ¿Como se moverá no seo deste campo?. Como en todo momento a forza é perpendicular á traxectoria, porque así o esixe a lei de Lorentz, teremos que a carga describirá unha circunferencia, xa que estará sometida a unha forza que creará unha aceleración normal constante e unha aceleración

F = qv ×

B

CAMPO MAGNÉTICO

3

tangencial nula. Podemos igualar a forza centrípeta deste movemento coa forza magnética

 

Radio da circunferencia descrita pola carga sometida a un campo magnético. Unha aplicación práctica é o ciclotrón.

Se a carga se somete a un campo eléctrico e a un campo magnético, a forza total sobre a carga é:

F = q(v ×

B+E)

se a forza total é cero, o efecto eléctrico é compensado polo efecto magnético.

F = q(v ×

B+E)

F =0⇒ v ×

B = −

E⇒

E =B× v

• 3.- Forza entre cargas en movemento. Campo magnético creado por unha carga! Se un imán exerce unha forza sobre unha carga en movemento, tamén pode pensarse que dúas cargas en movemento exercen entre si unha forza magnética

Consideremos dúas cargas puntuais q1 y q2 situadas no baleiro con velocidades v1 y v2

respecto a un observador. Consideramos asvelocidades menores que as da luz.

!

Experimentalmente atópase:

F12 = Km

q1q2r2v2 × (

v1 × r̂12 )

forza exercida pola carga 1 sobre a carga 2.A constante Km depende do sistema de unidades elixido e da natureza do medio, no baleiro e en unidades do S.I.

Km =µ04π

F12 =

µ04πq1q2r2v2 × (

v1 × r̂12 )

CAMPO MAGNÉTICO

4

Fm = Fc

qvB = m v2

R⇒ R =

mvqB

La forza magnética non verifica a lei de acción-reacción

F21 =

µ04πq1q2r2v1 × (

v2 × r̂21)

v2 × (

v1 × r̂12 ) ≠ −v1 × (v2 × r̂21)

Se v1 ↑↑ r̂12 ⇒F12 =

0 pero

F21 ≠

0

La forza magnética entre dos cargas se puede escribir de la siguiente forma:

F12 =

µ04πq1q2r2v2 × (

v1 × r̂12 ) = q2v2 × (

µ04πq1r2v1 × r̂12 )

! A expresión que está entre parénteses non depende de q2 e v2 , senón que soamente depende de q1 , v1 e do punto onde se atope q2 e, se a comparamos coa expresión

F = qv ×

B podemos definir B para unha carga en movemento a

B1 =

µ04πq1v1 × r̂1r2

A expresión B denomínase inducción magnética ou densidade de fluxo magnético, pois toda carga en movemento produce unha perturbación nos puntos do espazo que a rodea.! Se temos n cargas en movemento, o vector B é:

B =

µ04π

qivi × r̂iri2

i=1

n

∑

! O vector B é direccional, ten un produto vectorial, e polo tanto é non conservativo e non ten fontes escalares. Ten fontes vectoriais, cargas en movemento (correntes) e as súas liñas de campo son fechadas.

• 4.- Experiencia de Oersted.! O físico danés Oersted realizou no ano 1820 un descubrimento crucial que relacionou corrente (cargas en movemento) e magnetismo. Colocou un compás (agulla imantada) cerca dun fío condutor; cando pasaba corrente eléctrica polo fío, a agulla cambiaba a súa orientación e poñíase perpendicular ao fío.

CAMPO MAGNÉTICO

5

• 5.- Lei de Biot e Savart! ! O campo magnético B creado por unha carga en movemento é:

B =

µ04πqv × r̂r2

! Se temos unha corrente de intensidade I. Cal é o campo creado por ela?. O campo creado por un elemento de carga, dq contido nun elemento de volume, nun punto do espazo é:

dB =

µ04πdqv × r̂r2

=µ04πIdtv × r̂r2

=µ04πIvdt × r̂r2

vdt = d

l

dB =

µ04πI dl × r̂r2

Para calcular o campo B creado pola corrente de intensidade I hai que sumar todos os elementos de campo creados polos elementos de carga, é dicir, hai que integrar para toda a lonxitude do fío.

B =

µ04πI dl × r̂r2l∫

Esta expresión coñecese co nome de Lei de Biot e Savart

Como o campo magnético non é conservativo, é decir, que non ten fontes escalares de campo, as liñas de campo teñen que ser pechadas

! 5.1.- Campo creado por unha espira circular nun punto polo que pasa o eixe da espira.

dB =

µ0

4πI dl × r̂r2 , d

l e r̂ son perpendiculares ⇒ dB =

µ0

4πI dlr2

a compoñente z é: dBz = dBcosα = dBsenβ = dB Rr

integrando para toda a espira

Bz = dB Rr∫ =

µ0

4πI dlr20

2πR

∫Rr=

µ0

4πI 2πR

r2

Rr=µ0

2I R2

R2 + z2( )3

se nos atopamos no centro da espira z = 0

Bz =µ0I2R

CAMPO MAGNÉTICO

6

! 5.2.- Campo creado por un fío recto e infinito

β = 180 −α ⇒ senα = senβ, β+θ=90 ⇒ senβ=cosθ

a = r cosθ ⇒ r = acosθ

l = a tagθ ⇒ dl=a 1cos2θ

dθ

dB =

µ0

4πI dl × r̂r2 , d

l × r̂ = dl senβ

dB =µ0

4πI dl senβ

r2 =µ0

4πIa 1

cos2θdθ cosθ

a2

cos2θ

dB =µ04π

Iacosθdθ

Integrando para todo o fío,é decir entre -π2

e π2

B =µ04π

Iacosθ dθ

−π2

π2∫ =

µ0I2πa

α

β

θa

rl

I

⊗ B

• 6.- Lei de Ampere! As cargas en movemento producen campos magnéticos. Agora trataremos de descubrir as leis que determinan de que modo se crean tales campos magnéticos. A pregunta é: dada unha corrente, que campo magnético se produce?. A resposta a esta pregunta logrouse experimentando e por un razoamento teórico realizado por Ampere.! A lei de Ampere di que a circulación do campo B a través dunha liña fechada é proporcional á intensidade que circula por esa liña.

B $ dl

l# = noI

Só se aplica no caso de que a corrente sexa estacionaria, é dicir, non existe acumulación de carga nun punto.

Esta lei serviranos para determinar o campo en circunstancias especiais que representan certas simetrías simples.

! 6.1.- AplicaciónsA) SOLENOIDE: supoñamos que temos unha bobina longa envolta en espiral ben xunta, como mostra a fig. A unha bobina deste tipo dáselle o nome de solenoide.

2t2t = 0

CAMPO MAGNÉTICO

7

Experimentalmente obsérvase que cando un solenoide é moi longo comparado co seu diámetro, o campo externo é moi pequeno comparado co campo interno. Utilizando precisamente este feito, xunto coa lei de Ampere, podemos calcular a intensidade do campo no interior.

Como o campo está localizado no interior e por simetría, as súas liñas deben ser paralelas ao eixe. Aplicamos a lei de Ampere á liña da fig. Esta liña fechada percorre a distancia L dentro do solenoide, onde o campo é constante, logo continua perpendicularmente ao campo e finalmente retorna poa parte externa, onde o campo es desprezable, e as liñas de campo ao saír do solenoide dispérsanse. A integral de liña do campo B sobre esta curva é precisamente B. L

B= l

noNIB $ dll# = B l = noNI

De xeito que N é o nº de espiras na lonxitude L do solenoide e definindo n como o nº de espiras por unidade de lonxitude.

n = l

N

obtemos

B= nonI

B) CABLE COAXIALa) Entre os dous cables

Eliximos como liña de ampere unha circunferencia, polo que o campo é constante en todos os puntos da liña e tamén paralelo. A intensidade que pasa pola liña de Ampere es I

B ⋅dl = B ⋅dl = B dl = B2πr∫∫∫

B↑↑ d

l B = cte

! ! ! ! B =

µoI2πr

b) Fóra do cable! Neste caso a intensidade total é cero, polo que non hai campo magnético.

CAMPO MAGNÉTICO

8

• 7.- Forza entre correntes. Lei de Laplace ! Consideremos dous fíos de corrente polos que circulan intensidades I1 e I2. Imos calcular a forza que exerce a corrente 1 sobre a 2. Aplicando a Lei de Biot e Savart calculamos o campo magnético creado pola corrente 1 sobre un punto do circuíto 2. Consideremos un elemento de corrente do circuíto 2, que contén un elemento de carga dq2. A forza sobre a carga vén dada pola Lei de Lorentz.

dF12 = dq2

v2 ×B1

dF12 = I2dt v2 ×

B1 = I2d

l2 ×B1

Para calcular a forza sobre o fío hai que sumar para todas as forzas exercidas sobre cada elemento de lonxitude, é dicir integrar para todo o fío.

F12 = I2 d

l2∫ ×B1

Se o campo magnético é constante en todo o fío( caso dun imán ou dous fios paralelos), a expresión da forza é:

F12 = I2

l2 ×B1

Se substituímos o campo magnético pola expresión de Biot e Savart, obtemos a ecuación de La Place:

F12 = I2 d

l2 ×

µ04π1∫2∫ I1

dl1 × r̂12r122

Definimos un amperio como a intensidade de corrente que, circulando por dous condutores paralelos separados entre si por un metro de distancia, produce sobre cada un deles unha forza de 2.10-7 N por unidade de lonxitude do condutor.

! 7.1.- Momento magnéticoConsideremos unha espira rectangular ríxida, que pode xirar respeto a un eixo vertical, pola que circula unha corrente de intensidade I e que se atopa situada nunha rexión do espazo onde

CAMPO MAGNÉTICO

9

existe un campo magnético B constante, que forma un ángulo a. As forzas sobre os lados horizontais de lonxitude b valen F1 = I b B sen a, mesma dirección e sentido oposto, polo que a resultante vale cero. As forzas sobre os lados verticais de lonxitude a valen F = I a B e orixinan un par de forzas. O momento total sobre a espira vale

M = I ab B sen(90-a)= I S B sen(90-a) Definimos momento magnético da espira

o sentido vén dado pola corrente segundo a regra da man dereita e a dirección é normal á espira.Se temos N espiras o momento magnético é o momento dunha espira por NO momento do par de forzas que se exerce sobre a espira é:

M = mx B

Unha expira de corrente ao orientarse por se soa nun campo magnético recórdanos a acción da agulla dunha bruxula en tal campo. Unha cara de expíra a compórtase como o polo norte e a outra como polo sur. Os imáns rectos e expíras de corrente poden considerarse como dipolos magnéticos.! A expira non xirará se o momento magnético e o campo magnético son paralelos, é dicir, B perpendicular á espira.

• 8.- Fluxo magnéticoDefinimos fluxo magnético a través dunha superficie elemental a:

para calcular o fluxo para toda a superficie hai que sumar todas as contribucións do fluxo ele-mental, é decir, integramos para toda a superficie

O fluxo do campo magnético para unha superficie cerrada é cero, o número de liñas que entran é igual as que saen da superficie pechada, o campo magnético no é conservativo, non ten fon-tes escalares de campo ten fontes vectoriais e, as liñas de campo son pechadas.• 9.- Magnetismo na materiaA materia esta formada por átomos e, en primeira aproximación, os átomos están formados por núcleo e electróns, estes últimos están en movemento orbital ao redor do núcleo, move-mento que dá lugar a unha corrente que denominamos corrente atómica.! Cada unha destas correntes é un pequeno circuíto pechado de dimensións atómicas e po-de describirse por un dipolo magnético cuxo momento dipolar designamos por m

rI

Dado que o electrón da unha volta no tempo

a intensidade da corrente I virá dada por

CAMPO MAGNÉTICO

10

O momento angular correspondente ao movemento orbital é

de aí

teñen sentidos opostosOs electróns tamén teñen un momento dipolar debido ao spin

! O momento angular total dun átomo é a suma vectorial dos momentos angulares dos seus electróns, desprézase os momentos angulares dos núcleos por ser moito menores, de aí un átomo un ion ou unha molécula cuxo momento angular sexa cero non terá momento dipolar magnético. Se non é cero, terá un momento dipolar magnético permanente.! Que ocorre cando un campo magnético actúa sobre un átomo? Ao estar os átomos cons-tituídos por electróns en movemento, coma se fosen circuítos eléctricos, aparecen nestes mo-mentos magnéticos de sentido oposto ao campo aplicado, debido á lei de Faraday-Lenz. Este fenómeno denomínase efecto Diamagnético, e como aparece en todos os átomos, teñan ou non momento magnético preexistente, pódese dicir que o diamagnétismo é unha propiedade xeral da sustancia. Con todo, se os átomos teñen un momento magnético preexistente, o efec-to diamagnético queda enmascarado por outro efecto contrario, que consiste en que o campo aplicado tende a orientar estes átomos-imáns no mesmo sentido, imanándose o corpo no sen-tido do campo aplicado.! Defínese vector imanación M como o momento magnético por unidade de volume no pun-to considerado

! Se M ten o mesmo valor en todos os puntos da materia dise que está atópase uniforme-mente imanada, se é nulo en todos os puntos, a materia está desimanada. Un medio magnéticamente permeable ideal é aquel que non está imanado en ausencia de co-rrentes eléctricas reais exteriores, pero cando existen adquire unha imanación proporcional ao campo producido por ditas correntes reais.

con x, adimensional, denomiada susceptibilidad magnética do medio

CAMPO MAGNÉTICO

11

! 9.1.- Tipos de materiais magnéticosAnalizaremos os mais sinxelosa) Diamagnetismo.- Os átomos ou as moléculas das sustancias diamagnéticas teñen un mo-

mento magnético nulo, polo que ao actuar sobre eles un campo magnético, adquiren unha imanación M en sentido contrario ao campo aplicado. Se a sustancia é isótropa M é propor-cional a B de modo que x é constante e negativa. Por tratarse dun fenómeno atómico x para a maioría das sustancias diamagneticas é practicamente independente da temperatura.Son sustancias diamagnéticas: alcol, cobre, prata, bismuto, etc.

b) Paramagnetismo.- Estas sustancias teñen un momento magnético resultante, que tenderá a orientarse no sentido do campo aplicado. Así a sustancia se imana, enmascarandose a súa diamagnetismo que é, en xeral, máis pequeno. Para valores non moi grandes de B, M é pro-porcional a B e x é constante e positiva. Nestas sustancias x depende da temperatura da forma:

Son sustancias paramagnéticas: platino, aluminio, osíxeno, etcc) Ferromagnetismo.- Para cinco elementos Fe, Co, Nin, Gd e Dy, e para unha gran variedade de aliaxes destes e outros elementos ocorre un efecto especial que permite un alto grao de aliña-mento magnético. Nestes materiais, denominados ferromagnétismo, ocorre unha interacción entre os átomos adxacentes chamada axuste por intercambio (efecto cuántico), axustándose os momentos magnéticos nun ríxido paralelismo. Se a temperatura elévase por encima dun cer-to valor crítico Tc (temperatura de Curie) os materiais vólvense paramagnéticos.Un anaco de sustancia ferromagnética pode parecer desimanada. Isto é debido a que o anaco está subdividido en pequenos recintos, denominados dominios, cada un dos cales está imanado.

¿Que ocorre ao aplicar un campo magnético? Aumenta o volume dos dominios con imanación en dirección paralela ao campo externo, chegando a ter unha imanación global non nula. Este proceso coñécese como imanación por desprazamento de fronteiras entre dominios, quedando a sustancia con imanación permanente.

CAMPO MAGNÉTICO

12