campo eléctrico
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24/03/2015
Electricidad y Magnetismo
El Campo Eléctrico
24/03/2015
Definición
El vector de campo eléctrico en un punto del espacio, es la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva situada en ese punto, dividida por la magnitud de la carga de prueba
¿Les recuerda algo?
E = F q0
(2.1)
24/03/2015
Advierta que... E es el campo producido por una carga externa a la
carga de prueba
La dirección de E es la dirección de F (hemos supuesto q0 positiva)
En un punto dado existe un campo eléctrico si una carga de prueba en reposo en ese punto experimenta una fuerza eléctrica
E existe haya o no una carga de prueba
Si se conoce E en un punto dado, se puede calcular la fuerza eléctrica sobre cualquier carga situada en ese punto usando la ecuación 2.1
24/03/2015
Advierta que... La ecuación 2.1 supone que la carga de prueba no interfiere con la distribución de cargas que origina el campo
No interfiere, la fuerza es igual en A, B y C
q >> q0
A
B C
F
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Advierta que...
Interfiere
A
q ~ q0
F
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De acuerdo a Coulomb...
F21 = ke q q0
r2 r ^
según la definición de campo eléctrico... F
q0 E =
luego... q E = ke r2
r ^
Donde: q = carga que origina
el campo q0 = carga de prueba
r ^
(2.2)
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Recordemos que... La fuerza ejercida por un grupo de cargas sobre una carga de prueba q0 es:
F0 = F1 + ....... + Fn luego...
es decir, el campo eléctrico originado por un grupo de cargas es igual a la suma de los campos originados por cada carga individual (Principio de Superposición)
Ei = Σ ke E = F0 q0
= Σ Fi q0 i = 0
n = Σ i = 0
n qi
ri2
ri ^
i = 0
n
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Ejemplo
Entre dos placas metálicas cargadas... se sitúa una esfera de poliestireno (plumavit) ¿cuál será el movimiento de la esfera y qué pasa con la carga de las placas?
24/03/2015
Fuerza eléctrica sobre un protón
Encuentre la fuerza eléctrica que actúa sobre un protón situado en un campo eléctrico de 2,0 x 104 N/C, dirigido a lo largo del eje X positivo
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Fuerza eléctrica sobre un protón Como nos cantaba nuestra madre en la cuna... la carga del protón es
+e = 1,6 x 10 -19 C
luego... F = eE = (1,6 x 10-19 C)(2,0 x 104i N/C)
= 3,2 x 10-15 i N
24/03/2015
0,30 m
0,40
m
P
Campo eléctrico debido a 2 cargas
¿E(x,y)? Una carga q1 = 7,0 µC se sitúa en el origen y una segunda carga q2 = -5,0 µC se coloca en x = 0,30 m. Encuentre el campo eléctrico en P(x,y), con: x = 0,0 y = 0,40
q1 q2
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0,30 m
0,40
m
P φ θ
θ
E1 E
E2
Campo eléctrico debido a 2 cargas
q1 q2
E1 = ke q1 r1
2
E2 = ke q2 r2
2
= (8,99 x 109)(7,0 x 10-6/(0,40)2
= 3,9 x 105 N/C
= 1,8 x 105 N/C
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Campo eléctrico debido a 2 cargas
0,30 m
0,40
m
φ θ
θ
E1 E
E2
P
q1 q2
E1 tiene sólo una componente en y.
E1 = 3,9 x 105 j N/C
E2 = (1,1 x 105 i - 1,4 x 105 j) N/C
por superposición:
E = (1,1 x 105 i + 2,5 x 105 j) N/C
E2 tiene una componente x dada por E2cosθ = (3/5)E2 y una componente y dada por: -E2senθ = (4/5)E2, luego...
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a a
y
x
y
P
Campo eléctrico de un dipolo Un dipolo eléctrico está constituido por una carga positiva q y una carga negativa -q separadas por una distancia 2a
-q q
Calcule el campo eléctrico a lo largo del eje y, en el punto P. Suponga que y >> a
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Campo eléctrico de un dipolo E1 = E2 (Cargas iguales y opuestas,
P equidistante de ambas)
-q q a a
y
x
y
P
r θ θ
E1
E2
θ
θ E ke
q r2
= ke q
y2 + a2
Las componentes y de E1 y E2 se cancelan. Las componentes x son iguales, pues ambas están sobre el eje x, por lo tanto...
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Campo eléctrico de un dipolo
-q q a a
y
x
y
P
r
θ
θ
θ θ
E1
E2
E
E es paralelo al eje x y tiene una magnitud 2E1cosθ. En la figura vemos que: cosθ = a/r = a/(a2 + y2)1/2, luego...
E = 2E1cosθ
ke q
y2 + a2 = 2
a (y2 + a2)1/2
ke qa
(y2 + a2)3/2 = 2
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Campo eléctrico de un dipolo
-q q a a
y
x
y
P
r
θ
θ
θ θ
E1
E2
E
Dado que y >> a... ke
qa y3
E = 2
E decae rápidamente a lo largo del eje y, esto se debe a que a grandes distancias las cargas parecen superponerse y de esta manera las cargas opuestas casi se cancelan entre sí. La variación de 1/r3 también ocurre para grandes distancias a lo largo del eje x y para un punto distante en general
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Campo eléctrico de una distribución de carga continua
∆q
∆ E
P
Si las distancias entre las cargas de un grupo son muy pequeñas comparadas con la distancia al punto donde se quiere calcular el campo eléctrico...
se habla de una distribución continua de cargas
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Campo eléctrico de una distribución de carga continua
El elemento de campo ∆ E originado en P por el elemento de carga ∆ q es:
∆ E = ke ∆ q r2
r ̂
∆q
P
∆ E
r
r ̂
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Campo eléctrico de una distribución de carga continua El campo total E originado en P por todos los elementos de carga ∆ q es:
∆q
P
∆ E
r
r ̂
∆ E ≈ ke Σ ∆ qi ri
2 ri ^
i
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Campo eléctrico de una distribución de carga continua
Y en el límite, cuando ∆ qi → 0 es:
∆q
P
∆ E
r
r ̂
E = ke ∫ dq r2
r ̂
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Densidades de carga continua
Una carga distribuida uniformemente en un volumen V, tiene una densidad de carga volumétrica:
Una carga distribuida uniformemente sobre una superficie A, tiene una densidad de carga superficial:
ρ = Q / V
σ = Q / A
Una carga distribuida uniformemente sobre línea de longitud l, tiene una densidad de carga lineal:
λ = Q / l
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Densidades de carga continua Si la carga se distribuye de manera no uniforme en un volumen, superficie o línea debemos expresar las densidades de carga como:
ρ = d Q / d V σ = d Q / d A
λ = d Q / d l
Donde dQ es la cantidad de carga en un elemento infinitesimal de volumen, superficie o longitud
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P L D
x
x
y
Campo eléctrico debido a una barra cargada uniformemente
d x
dE
d q = λ d x
λ = d q / d x Carga total = Q, positiva
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Campo eléctrico debido a una barra cargada uniformemente
P L
d x
D dE
x
d q = λ d x
x
y
Dado que la carga está distribuida uniformemente, λ = cte. = Q/L
d E = ke d q x2
d x x2
= keλ
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Campo eléctrico debido a una barra cargada uniformemente
P L
d x
D dE
x
d q = λ d x
x
y
Luego, integrando entre D y L + D, obtenemos:
d x x2
E = keλ ∫ D
L + D
= keλ 1 x [ ] -
D
L + D =
keQ
D(L+D)