calidad

1

Cartas especiales de control

2

Cartas especiales de control Carta de sumas acumuladas CuSum

Carta de promedios móviles ponderadas exponencialmente

Carta de promedios móviles simples

3

Cartas de sumas acumuladas CuSum

4

Gráfica de Sumas acumuladas ( CuSum )

- Se usa para registrar al centro del proceso.- Se corre en tándem (una tras otra)- Es más sensible que la gráfica X al movimiento de los

pequeños cambios sostenidos en el centro del proceso. - Es más sensible que la gráfica X al movimiento de

separación gradual del centro del proceso.- Es menos sensible que la gráfica X al desplazamiento

grande e único del centro del proceso.- Se puede aplicar a las Xs o a las Xs individuales

- Sus parámetros clásicos son h = 4; k = 0.5

5

Carta de sumas acumuladas CuSum Son más eficientes que las cartas de Shewhart

para detectar pequeños corrimientos en la media del proceso (2 sigmas o menos)

Para crear la carta Cusum se colectan m subgrupos de muestras, cada una de tamaño n y se calcula la media de cada muestra Xi-media. Después se determina Sm o S’m de las ecuaciones siguientes:

0 01

'0

1

( )... . . .

1( )... . tan . . .

m

ii

m

i XiX

Sm X media en control estimada

S m X desv es dar de las medias

6

Carta de sumas acumuladas CuSum – Con Máscara en V

La carta de control CuSum se obtiene graficando los valores de Sm o S’m como función de m.

Si el proceso permanece centrado, la carta tenderá hacia el valor de la media 0

Si el proceso se corre gradualmente hacia arriba o hacia abajo, será indicado en la carta. Su sensibilidad está determinada por los parámetros k y h.

Una forma de identificar si el proceso sale de control es con una mascara en V cuyo origen se coloca en el último punto de suma acumulada determinado y observando que ninguno de los puntos anteriores se salga, de otra forma tomar acción

7

Carta CuSum – parámetros de la máscara en V

h = Intervalo de decisión – Valor medio del ancho de máscara en el punto de origen

k = Corrimiento a ser detectado en sigmas – Pendiente de los brazos de la máscara en V

f = Respuesta inicial rápida - Identifica puntos fuera de control en el arranque

T = Meta o especificación nominal; n = Tamaño de subgrupo

Ci = Valor de los 2 lados de la máscara en el tiempo iC0 = 0Ci = Ci - 1 + (i - T)Puntos graficados de la máscara = Ci Pendiente de la máscara en V = k / raiz (n)Ancho de máscara en el origen = 2h / raiz (n) Origen de la máscara en V = pPor omisión Xmedia = µ, Sp/c4(d) = , T = 0, h = 4, k = .5, p = m

8

Ejemplo de carta Cusum con Máscara en V

1- 4.925

2- 4.675

3- 4.725

4- 4.350

5- 5.350

6- 5.225

7- 4.770

8- 4.525

9- 5.225

10- 4.600

11- 4.625

12- 5.150

13- 5.325

14- 4.945

15- 5.025

16- 5.223

151050

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0

Subgroup Number

Cum

ulat

ive

Sum

CUSUM Chart for Cusum

Target = 5, sigma = 1, h = 2, k =0.5, Vmask

9

Continuación de ejemplo – con máscara en V

20100

5

0

-5

0

Subgroup Number

Cum

ulat

ive

Sum

CUSUM Chart for Cusum17. 5.463

18. 5.875

19. 6.237

20. 6.841

Agregando 4Puntos adicionalesSe observa que seSalen los puntos 16, 17 y 18Requiriendo acción

Target = 5, sigma = 1, h = 2, k =0.5, Vmask

10

Carta CuSum– Sólo un Límite inferior o superior

CIi = valor del nivel bajo de la Cusum de un lado inferior en tiempo i

CSi = valor del nivel alto de la Cusum de un lado superior en tiempo i

Datos graficados = CIi, CSi

Línea central = 0

0 0CL CU fn

1

1

min 0,

min 0,

i i

i i

CIi CI x T kn

CSi CS x T kn

LIC hn

LSC hn

01

0

1 0

1 0

( )

.

. .

2 2

0. . . .

i

i i jj

C S x K

media objetivo

media no aceptable

K kn

Ci cuando cambia el signo

11

Cata CuSum – sólo un Límite superior o inferior

2

1

0

-1

-2

2

-2

20100

Subgroup Number

Cum

ulat

ive

Sum

Upper CUSUM

Lower CUSUM

CUSUM Chart for Cusum1- 4.925

2- 4.675

3- 4.725

4- 4.350

5- 5.350

6- 5.225

7- 4.770

8- 4.525

9- 5.225

10- 4.600

11- 4.625

12- 5.150

13- 5.325

14- 4.945

15- 5.025

16- 5.223

17. 5.463

18. 5.875

19. 6.237

20. 6.841

Target = 5, sigma = 1, h = 2, k =0.5, One SidedFIR = 1 sigma, Reset after each signal

12

Carta CuSum – Forma tabular para un solo límite inf. ó sup. Los límites para cada valor se calculan dependiendo de si es

hacia el lado superior Sh o hacia el inferior Sl

Como ejemplo si K = 0.5 y µ0 = 10 y X1 = 9.45, Sh(1) = max [0, 9.45 – 10.5 + 0] = 0 etc..

Cuando Sh(i) toma un valor negativo, se regresa a cero y continua el proceso, si excede el límite superior de control H en este caso indica que el proceso está fuera de control

0

0

( ) max 0, ( ) ( 1)

( ) max 0, ( ) ( 1)

(0) (0) 0

. . . . . . . . . . 0

H i H

L i H

H L

H L

S i x K S i

S i x K S i

S S

N y N No periodos en que Sh o Sl son

13

Carta CuSum – Forma tabular para un solo límite inf. ó sup.

0

0

( ) max 0, ( ) ( 1)

( ) max 0, ( ) ( 1)

H i H

L i H

S i x K S i

S i x K S i

Periodo Xi Xi-10.5 Sh(i) Nh

1 9.45 -1.05 0 0

2 7.99 -2.51 0 0

3 9.29 -1.21 0 0

4 11.66 1.16 1.16 1

5 12.16 1.66 2.82 2

6 10.18 -0.32 2.50 3

7 8.04 -2.46 0.004 4

8 11.46 0.96 1.00 5

9 9.20 -1.30 0 0

En este caso elValor de H es 5

H

Máscara en V

14

Carta EWMA de promedios móviles ponderados exponencialmente

15

Carta de Promedios Móviles Ponderados Exponencialmente (EWMA) Monitorea un proceso promediando los datos

de tal forma que les da cada vez menos peso conforme son removidos en el tiempo

En la carta de Shewhart la decisión en relación al estado de control del proceso en cierto instante t depende de la medición más reciente y de los límites de control

En la carta EWMA la decisión depende del estadístico EWMA que es el promedio ponderado exponencial de los datos.

16

Carta de Promedios Móviles Ponderados Exponencialmente (EWMA) Es más sensible que la gráfica X al movimiento de

los pequeños cambios sostenidos en la media del proceso.

Es más sensible que la gráfica X al movimiento de separación gradual de la media del proceso.

Es menos sensible que la gráfica X a desplazamientos grandes de la media del proceso.

Se puede aplicar a las Xs o a las Xs individuales.

17

Carta de Promedios Móviles Ponderados Exponencialmente (EWMA) Seleccionando un factor de ponderación la carta puede ser

sensible a corrimientos graduales pequeños en la media del proceso. El estadístico EWMA es:

EWMAo es la media (meta) de los datos históricos S es la desviación estándar de los datos históricos para n

grande Yt es la observación en el tiempo t n es el número de observaciones monitoreadas incluyendo 0 0 < <=1 es una constante que determina la memoria de

EWMA

1

22

(1 ) 1,2,..,

2

t t t

EWMA

EWMA Y EWMA t n

SS

n

18

Carta de Promedios Móviles Ponderados Exponencialmente (EWMA) determina la tasa en la cual los datos “antiguos” entran

en el cálculo del estadístico EWMA.

Un valor de =1 indica que sólo el último dato será incluido (carta Shewhart).

Un valor grande de da más peso a datos recientes y menos peso a datos antiguos. Un valor pequeño de da más peso a datos antiguos

Un valor común para es 0.2 para detectar cambios 1 y de 0.4 para detectar cambios de 2

19

Carta de Promedios Móviles Ponderados Exponencialmente (EWMA)

Los límites de control se determinan como sigue:

La carta EWMA requiere que se obtengan datos históricos del proceso para calcular la Media y desviación estándar representativas del mismo para continuar el monitoreo, asumiendo que estuvo en control al colectar los datos

Para los primeros valores de X, la desviación estándar S se calcula como:

0

0

3

3EWMA

EWMA

LSC EWMA s

LIC EWMA s

22 2 21 (1 )

2t

EWMA

SS S

n

20


Ejemplo: Si EWMAo = 50 y s = 2.0539, = 0.3 entonces se tiene:

50 3(0.4201)(2.0539) 52.5884

50 3(0.4201)(2.0539) 47.4115

LSC

LIC

Y 52 47 53 49.3 50.1 47 51

EWMA

50

50.6

49.5

50.56

50.18

50.16

49.12

49.75

21

Carta EWMA del ejemplo

20100

53

52

51

50

49

48

47

Sample Number

EW

MA

EWMA Chart for X

Mean=50

UCL=52.59

LCL=47.41

Xewma

1- 52.0

2- 47.0

3- 53.0

4- 49.3

5- 50.1

6- 47.0

7- 51.0

8- 50.1

9- 51.2

10- 50.5

11- 49.6

12- 47.6

13- 49.9

14- 51.3

15- 47.8

22

Carta EWMA Los puntos a graficar son los siguientes :

Observa que Z es un promedio ponderado de X i y de todas las Xs anteriores.

La típica forma de una gráfica EWMA se muestra a continuación.

Z0 = XZ1 = X1 + (1- ) Z0

Z2 = X2 + (1- ) Z1

Z3 = X3 + (1- ) Z2

Z4 = X4 + (1- ) Z3

Con Z = EWMA

=

Los cálculos, especialmente de los límites de control, son tan complejos que normalmente este tipo de gráfica se realiza por medio de un paquete de computo.

UCL

subgrupo

LCL

XII

_

_

_

_

1 2 3 4 5 6

23


Si la desviación estándar se estima de la carta X-R entonces los límites de control se determinan como sigue:

2

2

(2 )

(2 )

LSC X A R

LIC X A R

24


Esta carta proporciona un PRONOSTICO del siguiente valor de la media, lo cual es muy importante para el caso de control automatizado.

Los límites de control permiten detectar cuando se requiere un ajuste y la diferencia entre el valor pronosticado y la media meta permiten identificar de cuanto debe ser el ajuste

25


Se puede desarrollar una ecuación para el clásico control PROPORCIONAL, INTEGRAL y DIFERENCIAL (PID). Donde los parámetros de las lambdas 1, 2 y 3 se seleccionan para obtener el mejor desempeño de pronóstico

Si e representa el error entre el valor real y pronósticado en el periodo t se tiene:

1 1 2 31

t

t t t t j tj

Z EWMA Z e e e

1t t te X z

26

Carta de control de promedios móviles

27

Carta de control de Promedios Móviles Monitorea un proceso promediando los últimos

W datos. Con valores individuales se usa W = 2

Tiene una sensibilidad intermedia entre las cartas de control de Shewhart y las cartas EWMA o Cusum para detectar pequeñas corridas graduales en la media del proceso

Suponiendo que se colectan muestras de tamaño n y se obtienen sus respectivas medias Xi. La media móvil promedio de amplitud W en el tiempo t se define como sigue:

28

Carta de control de Promedios Móviles

El procedimiento de control consiste en calcular la nueva media móvil Mt cada vez que haya una nueva media muestral, graficando Mt en la carta, si excede los límites de control el proceso está fuera de control

En general la magnitud del corrimiento que se quiere detectar esta inversamente relacionado con W, ente mayor sea W se podr´na detectar corrimientos más pequeños

1 1

2

......

( )

3 3. .0

3 3. .0

t t t wt

x x xM

w

Var Mtnw

LSC x para n t w LSC xnw nt

LIC x para n t w LIC xnw nt

29

Ejemplo de carta de promedios móviles

Xmm

1- 10.5

2- 6.0

3- 10.0

4- 11.0

5- 12.5

6- 9.5

7- 6.0

8- 10.0

9- 10.5

10- 14.5

11- 9.5

12- 12.0

13- 12.5

14- 10.5

15- 8.0

151050

15

10

5

Sample Number

Mov

ing

Ave

rage

Moving Average Chart for Xmm

Mean=10

UCL=12.12

LCL=7.879

calidad

Business