Calibracin Esttica de Resortes

Calibracin Esttica de Resortes5

Laboratorio de Fsica Mecnica No.2

RESUMEN Determinacin experimental de la constante de los resortes de la Ley de Hooke a travs de 4 experimentos realizados con dos resortes diferentes. Interpretacin de graficas, demostracin y corroboracin de las formulas planteadas para sistemas de resortes en serie y en paralelo, y determinacin analtica de la constante de los resortes a travs de los datos experimentales.

PALABRAS CLAVE Ley de Hooke, Diagrama de cuerpo libre, Longitud natural, variacin, mtodo de mnimos cuadrados.

FUNDAMENTO TERICO Cuando se fija un resorte a un techo fijo, este presenta una longitud natural sin tener nada colgando de el. Una vez un peso es colgado de su extremo, el resorte sufre una deformacin momentnea y adopta una longitud diferente a la inicial, esta variacin es directamente proporcional al peso colgado como se ve experimentalmente: si se cuelga mas peso, mayor ser la deformacin que sufre el resorte, a dicha variacin de la longitud la denotamos como: x y a la longitud del resorte como Lo. De esta manera se puede plantear:

F x

Donde F es el peso colgado el resorte y es la variacin de la longitud: L f L o.Figura 1. Muestra experimental de la proporcionalidad de la fuerza ejercida sobre el resorte y la longitud de su elongacin.

Si se hacen varias pruebas con un mismo resorte, y se tiene una tabla donde se relacione el peso colgado en cada intento y la deformacin sufrida por el resorte, y a la vez se hace una grfica donde se confronten Fuerza o Peso (eje vertical) contra la deformacin (eje horizontal), obtendremos una nube dispersa de puntos sin una relacin lineal (aparentemente), sin embargo, si conseguimos la tendencia central y obtenemos una lnea recta, su ecuacin es en teora nuestra frmula para relacionar la fuerza ejercida sobre un resorte y su deformacin. La ecuacin pendiente-intercepto de una lnea recta que pasa por el origen es:

Y=mX (1)

Donde Y sera la fuerza, X sera la deformacin sufrida por el resorte y m sera la pendiente de dicha recta que representa la

constante de proporcionalidad. Luego si llamamos k a la pendiente de dicha recta, se obtiene:

F=kX (2)

Frmula conocida como Ley de Hooke. Para hallar dicha pendiente se puede usar el mtodo de mnimos cuadrados (analticamente) o por medio de un paquete que lo calcule automticamente (En este caso, Microsoft Office Excel).

MONTAJE EXPERIMENTAL

1 Se fija un resorte al soporte fijo y se mide su longitud natural. Luego se cuelgan diez (10) masas distintas debidamente pesadas con una balanza y se miden respectivamente las diez (10) diferentes elongaciones (Ver Figura 2).

Figura 2 Montaje experimental. Montaje del resorte en el soporte, colocacin de masa y medicin de variacin de longitud.

2 Se repite el experimento anterior con otro resorte diferente al primero y con masas diferentes, realizando otra vez las mediciones.

3 Se realiza el montaje en paralelo con los dos resortes utilizados anteriormente, realizando las mediciones con masas diferentes (Ver Figura 3).

Figura 3 Montaje en Paralelo. Montaje de los dos resortes en Paralelo, colocacin de masa y medicin de variacin de longitud.

4 Se realiza el montaje en serie con los dos resortes utilizados anteriormente, realizando las mediciones con masas diferentes (Ver Figura 4).

Figura 4 Montaje en Serie. Montaje de los dos resortes en Serie, colocacin de masa y medicin de variacin de longitud.

5 Se disean tablas para registrar los valores obtenidos de peso y variacin de longitud en cada experimento realizado. (Ver tablas 1, 2, 3 y 4).

TABLA 1TABLA 2

Peso (N)x (m)Peso (N)x (m)

0.70010.0041.89920.003

0.89190.0122.08540.005

1.08480.0212.27650.007

1.24650.0312.43820.009

1.40820.0392.5970.012

1.56890.0472.78810.015

1.760.0572.94290.017

1.89920.0653.10660.02

2.08540.0733.24080.021

2.27650.0843.40150.023

Tabla 1 Datos tomados para el Resorte 1.Tabla 2 Datos tomados para el Resorte 2.

TABLA 3TABLA 4

Peso (N)x (m)Peso (N)x (m)

1.89920.0020.70.006

2.08540.0040.8920.014

2.27650.0051.0850.024

2.43820.0061.2460.033

2.5970.0071.4080.051

2.78810.0091.5690.065

2.94290.011.760.072

3.10660.0121.8990.076

3.24080.0132.0850.087

3.40150.0162.2780.1

Tabla 3 Datos tomados para el Montaje en Paralelo.Tabla 4 Datos tomados para el Montaje en Serie.

6 Se realizan las grficas correspondientes, descritas en el fundamento terico, a la tabla 1 (Ver Anexo 1) obteniendo la pendiente (m) mediante el mtodo de mnimos cuadrados; y a las tablas 1,2, 3 y 4 (Ver Grficas 1, 2 , 3 y 4) y se haya la pendiente (m) automticamente a travs de Microsoft Office Excel.

Ahora se muestra el porcentaje de error presente entre el valor de la pendiente obtenida por el mtodo de mnimos cuadrados y la obtenida por Excel para el resorte 1.

% Error = ( | Kt Ke | / Kt ) x 100 ( | 19.47 19.82 | / 19.47 ) x 100 = 1.8 %

Grfica 1 Correspondiente a la Tabla 1 (Datos para Resorte 1).

Grfica 2 Correspondiente a la Tabla 2 (Datos para Resorte 2).

Grfica 3 Correspondiente a la Tabla 3 (Datos para Montaje en Paralelo).

Grfica 4 Correspondiente a la Tabla 4 (Datos para Montaje en Serie).

De las anteriores grficas obtuvimos los siguientes resultados:

RESORTE 1 RESORTE 2 m=19.478 m=71,171 b=0,648 b=0,994

Siendo m la pendiente y b el intercepto con el eje vertical, de las curvas de los respectivos resortes 1 y 2.As mismo m del resorte 1 es igual a la constante de elasticidad K1=19,478 N/m; mientras que m del resorte 2 es igual a K2=71,171 N/m.

7 Mediante un anlisis fsico de cuerpo libre, se determinaron las ecuaciones de las constantes de los arreglos en paralelo y en serie:

Resortes en Serie FR Feq

m m

W W (a) (b)

Figura 5. Diagrama de cuerpo libre de un objeto colgando de un montaje de resortes en serie.

El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (serie y equivalente) es el que aparece en la figura 5. En ambos casos debe prevalecer la condicin de equilibrio: F = 0

Debe notarse que ambos resortes en serie estn sometidos a la misma fuerza, esto significa que

FR = K1x1 = K2x2

Donde x1 y x2 son las deformaciones sufridas por los resortes 1 y 2 respectivamente, las cuales se obtienen a partir de la ecuacin anterior como:

x1= x2=

La deformacin xeq es igual a la suma de las dos deformaciones x1 y x2 de los resortes en serie

xeq = x1 + x2

Pero tenemos que xeq es tambin:

xeq =

Luego se tiene que:

Y por ende:

Luego,

15,292 N/m

Resortes en Paralelo

FR1 FR2 Feq

m m

W W (a) (b)

Figura2. Diagrama de cuerpo libre de un objeto colgando de un montaje en paralelo.

El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (paralelo y equivalente) es el que aparece en la figura 2 .En ambos casos debe prevalecer la condicin de equilibrio, por lo que se tiene que:

Debe notarse que ambos sistemas tienen la misma posicin de equilibrio, por lo que la deformacin de todos los resortes es la misma.

xeq = x1 = x2

Sustituyendo, se llega a la expresin:

K1x1 + K2x2 = Keq eq

O bien,K1 + K2 = Keq

Keq = 90.649 N/m

8 Por ultimo se dispone mostrarse el porcentaje de error entre Keq obtenido experimentalmente y la terica del sistema de resortes en paralelo:

% Error = ( | Kteo Kexp | / Kteo ) x 100 = ( | 113.33 90.641 | / 113.33 ) x 100 = 20.02 %

Tambin se halla el porcentaje de error entre el Keq experimental y Keq terica, esta vez del sistema de resortes en serie:

% Error = ( | Kteo Kexp | / Kteo ) x 100 = ( | 16.002 15.29 | / 16.002 ) x 100 = 4.46 %

FUENTES DE ERROR

1. Imprecisin en la medida de la longitud natural y la variacin, tanto por el error absoluto dado por la imprecisin del instrumento como de la persona al momento de realizar la medicin.2. Posibles deformaciones temporales muy pequeas pero causantes de la imprecisin de los resortes.3. Leve inclinacin del soporte fijo de donde colgaban los resortes, tambin causantes de la imprecisin a la reaccin del resorte, la cual no seria totalmente al peso neto del objeto sino a una de sus componentes.

CONCLUSIONES

1. Se han obtenido de manera grfica como analticamente la constante de elasticidad de la ley de Hooke, para ambos resortes, y adems se han comprobado dos formulas que relacionan, en un arreglo de dos resortes, la fuerza total ejercida por el sistema con las fuerzas realizadas por cada resorte individual, obteniendo que en un sistema en serie la constante del resorte equivalente es producto de las constantes de los dos resortes dividido entre la suma de los mismos; Y para un sistema en paralelo se tiene que la constante del resorte equivalente es la suma de las constantes individuales de los resortes.2. Se sugiere utilizar un Pie de Rey, debidamente montado en el soporte, el cual debe estar correctamente ajustado en forma horizontal. Adems se sugiere utilizar masas de pesos parecidos para lograr que el experimento sea menos dispendioso.3. El modelo que plantea la ley de Hooke, a la vez que las ecuaciones para el arreglo en serie y en paralelo, tienen total validez, incluso los datos experimentales demostraron acercarse bastante a los tericos.4. Las constantes consideradas tericas son un supuesto, ya que son valores hallados mediante frmulas en las que se utilizaron datos experimentales, es decir, estos valores, tcnicamente, no seran tericos.

REFERENCIAS [1] http://virtual1.medellin.unal.edu.co/moodle/ [2] Raymon A. Serway, Fsica, 4 edicin, Editorial Mc Graw-Hill