calculos sobre utm

8/13/2019 Calculos Sobre UTM

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SOLUCIN DE PROBLEMASGEODSICOS Y TOPOGRFICOS

SOBRE EL PLANO DE LAPROYECCIN UTM

Problemas de Geodesia y Cartografa Matemtica:Proyeccin UTM

David Hernndez LpezCarmen Femenia Ribera

Diciembre 1998________________________________________________________________________________

Departamento de Ingeniera Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra


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Geodesia y Cartografa Matemtica __ndice

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Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra

-SOLUCIN DE PROBLEMAS GEODSICOS Y TOPOGRFICOSSOBRE EL PLANO DE LA PROYECCIN UTM-

Problemas de Geodesia y Cartografa Matemtica: Proyeccin UTM

0) Clculos geodsicos auxiliares Problemas deaplicacin del Tema 2: Geodesia y Cartografa Matemtica.

1) Radiacin Solucin del Problema Directo de la Geodesiasobre la Proyeccin UTM.

2) Problema Inverso de la Geodesia Solucin delProblema Inverso de la Geodesia en Proyeccin UTM. Clculo

de acimutes.

3) Interseccin de Distancias.

4) Interseccin Directa.

5) Interseccin Inversa.

6) Clculo de Hansen.

7) Poligonal.


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ _______ntroduccin

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Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra

La realizacin de esta publicacin parte de la necesidad de la existencia

de una publicacin sobre problemas de Geodesia y Cartografa Matemtica;

existen gran cantidad de libros sobre geodesia, llenos de frmulas con sus

correspondientes demostraciones, pero son muy pocos aquellos casos donde se

aplican estas frmulas y se dan las soluciones.

En esta publicacin se pretende que el lector pueda resolver sus propios

problemas aplicando las distintas frmulas, y que pueda comprobar si su

solucin es la correcta.

Esta publicacin de problemas es un complemento a otro libro ya publicado

por David Hernndez Lpez: Geodesia y Cartografa Matemtica SPUPV-97.937

(Departamento de Ingeniera Cartogrfica, Geodesia y Fotogrametra). Todas

las referencias a frmulas que aqu aparecen son respecto a este libro

(realizado como documento bsico para la asignatura del mismo nombreimpartida en la carrera de Ingeniera Tcnica Topogrfica).

Toda esta publicacin se fundamenta en la Proyeccin UTM, aunque podra

realizarse para cualquier otra proyeccin. En todos los problemas aqu

expuestos, siempre se parte sobre una distancia y/o una lectura angular

medida sobre el elipsoide, siguiendo la lnea geodsica. Todos estos

observables iniciales son datos procedentes de las mediciones en campo,

aunque hay que tener en cuenta que en algunos casos hay que considerar las

distintas correcciones para reducir los observables medidos (ngulos y

distancias) a los observables sobre el elipsoide. En los problemas se

realizan las correspondientes correcciones para pasar el observable medido

sobre la lnea geodsica en el elipsoide al observable proyectado en el

plano, en esta caso al plano en proyeccin UTM. Adems de las soluciones,

se intentan explicar los pasos a seguir para resolver el problemacorrectamente.


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Clculos geodsicos auxiliares


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ ________ __Clculos geodsicosauxiliares: N1

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Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra Pgina O-2

PROBLEMA DE GEODESIA Y CARTOGRAFA MATEMTICA Nmero 1

Problema de Clculos geodsicos auxiliares en Proyeccin UTM========================================================================

Sean los siguientes vrtices de la Red Geodsica espaola, cuya situacin

aproximada se desprende del siguiente croquis.

DATOS DE PARTIDA========================================================================

COORDENADAS GEODSICAS DE PARTIDA EN EL SISTEMA WGS84

Punto Latitud Longitud Altura Elipsoidal h-----------------------------------------------------------------------1-BAOS 36.42070337 -2.50267739 67.5932-CORRAL 40.49007808 -5.36526511 1066.0003-LAGOA 43.33158706 -8.14256201 364.3344-SALOU 41.03343188 1.10121658 129.3585-FARO 43.19170007 -2.00344814 255.6816-CARCHE 38.25396946 -1.09503671 1424.348

Coordenadas geodsicas en pseudosexagesimal.Ejemplo: 39.34285317 en pseudosexagesimal equivale a 39 grados, 34

minutos y 28.5317 segundos sexagesimales.


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COORDENADAS TRIDIMENSIONALES DE PARTIDA EN EL SISTEMA ED50

Punto Coordenada X Coordenada Y Coordenada Z----------------------------------------------------------------1-BAOS 5113670.317 -253636.022 3791086.9892-CORRAL 4811602.300 -472905.533 4147867.809

3-LAGOA 4582283.056 -663493.888 4372714.4254-SALOU 4815423.849 98449.079 4167614.3565-FARO 4644942.114 -162879.127 4353840.4066-CARCHE 5003224.804 -101551.017 3943749.765

Se pide, en ambos sistemas de referencia WGS84 y ED50:

1) Sistema WGS84: Transformacin de coordenadas geodsicas (latitud ,longitud y altura elipsoidal h), a coordenadas tridimensionales (X,Y y Z) de todos los puntos.

Sistema ED50:Transformacin de coordenadas tridimensionales (X, Y y

Z), a coordenadas geodsicas (latitud , longitud y alturaelipsoidal h) de todos los puntos.

2) Determinacin en cada punto de los siguientes radios de curvatura:- Radio de curvatura de la elipse meridiana

- Radio de curvatura del primer vertical, o gran normal

- Radio medio de curvatura Rm

- Radio de la seccin normal de acimut geodsico 45

3) Determinacin de la distancia correspondiente al arco de paralelo delpunto 1 al resto, en el paralelo del punto 1.

4) Determinacin de la distancia correspondiente al arco de meridiano delpunto 1 al resto, en el meridiano del punto 1.

5) Determinacin de la distancia espacial entre todos los puntos.

Sistemas de coordenadas geodsicas y tridimensionales


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SOLUCIN: Sistema de Referencia WGS84-----------------------------------------

1) Transformacin a cartesianas tridimensionales

Se pasa de coordenadas geodsicas (latitud, longitud y altura elipsoidal)

a coordenadas tridimensionales (X, Y y Z) utilizando las frmulas Cap.II-26.Previamente se tiene que calcular:

- Radio de curvatura del primer vertical, o gran normal mediante lafrmula Cap.II-21. Este dato se pide posteriormente en el apartado 2.

- Primera excentricidad, obtenida de la definicin del elipsoide.

Punto Coordenada X Coordenada Y Coordenada Z----------------------------------------------------------

1 5113592.226 -253743.945 3790966.5302 4811519.747 -473013.662 4147751.3163 4582189.887 -663606.124 4372595.6814 4815344.260 98348.568 4167495.6065 4644857.018 -162979.416 4353721.730

6 5003145.166 -101655.246 3943629.937

2) Clculo de radios de curvatura

Se calculan los siguientes radios de curvatura:

- Radio de curvatura de la elipse meridiana , mediante la frmulaCap.II-25.

- Radio de curvatura del primer vertical, o gran normal , mediante lafrmula Cap.II-21.

- Radio medio de curvatura Rm, mediante la frmula Rm= (* )1/2

- Radio de la seccin normal de acimut geodsico 45. Corresponde alTeorema de Euler, frmula Cap.II-94 Cap.II-116 donde A = 45

Punto Rm R45---------------------------------------------------------1 6358230.968 6385776.262 6371988.730 6371973.8462 6362717.517 6387277.904 6374985.883 6374974.0553 6365764.237 6388297.235 6377020.784 6377010.8314 6362986.162 6387367.796 6375165.323 6375153.6685 6365503.837 6388210.126 6376846.875 6376836.7696 6360094.240 6386399.982 6373233.539 6373219.967

3) Clculo longitud de arco de paralelo del punto 1 al restoPrimero se realiza el clculo del radio del paralelo en el punto 1,

mediante la frmula:

r1= * cos 1

Radio del paralelo r: 5119829.736

Posteriormente se calcula el incremento de longitud geodsica, restandolas dos longitudes (considerando su valor absoluto).

Finalmente se calcula la longitud del arco de paralelo Si1, mediante la

frmula:

Si1= Incremento * r1


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Punto Incremento Longitud Arco Paralelo-------------------------------------------------------

2 -2.46258772 247865.7993 -5.23588462 482503.9454 4.00389397 358398.0915 0.49522925 74273.592

6 1.40364068 149833.486

4) Clculo longitud de arco de meridiano del punto 1 al resto

Se calcula el incremento de latitud geodsica.Para el clculo de la longitud del arco de meridiano se utiliza la

frmula Apndice IV-9. Esta frmula nos da la Longitud Arco Meridiano desdecada punto al ecuador en el meridiano sobre el que tratamos. Por ello secalcula el valor para los seis puntos y luego se restan del valor del punto1 (considerando el valor absoluto).

Longitud Arco Meridiano Punto 1: 4063435.342

Punto Incremento Longitud Arco Meridiano--------------------------------------------------------

2 4.06537471 456802.4763 6.51088369 760878.2944 4.21272851 483749.3555 6.37099670 734989.5416 1.43326609 191536.820

5) Clculo de la distancia espacial entre todos los puntos

La distancia espacial entre los puntos se calcula a partir de lascoordenadas tridimensionales de cada par de puntos, mediante la frmula:

Di1= ((Xi X1)

2+ (Yi Y1)2* (Zi Z1)

2)1/2

Punto Pto.6 Pto.5 Pto.4 Pto.3 Pto.2-------------------------------------------------------------------------1 242147.974 738000.211 595562.870 888069.773 516354.8932 465073.018 407825.343 571716.068 373460.3863 822802.374 504886.617 822801.286

4 354099.624 363370.8635 548002.1266


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SOLUCIN: Sistema de Referencia ED50----------------------------------------

1) Transformacin a coordenadas geodsicas

Se pasa de las coordenadas tridimensionales a las coordenadas geodsicas,

mediante las frmulas Cap.II-28

Punto Latitud Longitud Altura Elipsoidal h------------------------------------------------------------------

1 36.42115960 -2.50222755 -20.6022 40.49050503 -5.36477156 984.2803 43.33199154 -8.14200768 293.6264 41.03384157 1.10163997 57.2525 43.19209406 -2.00299010 188.3516 38.25440590 -1.09460052 1343.765

El resto de los apartados se calculan igual que en el caso anterior, pero

teniendo en cuenta de que los datos se encuentran referenciados respecto aotro sistema de referencia con valores distintos en los parmetros que lodefinen.

2) Clculo de radios de curvatura

Punto Rm R45---------------------------------------------------------1 6358398.060 6386060.361 6372214.200 6372199.1892 6362903.699 6387568.418 6375224.130 6375212.2023 6365963.369 6388592.098 6377267.696 6377257.6604 6363173.438 6387658.679 6375404.304 6375392.5495 6365701.823 6388504.605 6377093.022 6377082.829

6 6360269.239 6386686.739 6373464.302 6373450.614

3) Clculo longitud de arco de paralelo del punto 1 al resto

Radio del paralelo r: 5119973.094

Punto Incremento Longitud Arco Paralelo-------------------------------------------------------

2 -2.46254401 247861.8903 -5.23578013 482491.5194 4.00386752 358401.5615 0.49523745 74277.707

6 1.40362703 149834.294

4) Clculo longitud de arco de meridiano del punto 1 al resto

Longitud Arco Meridiano Punto 1: 4063641.933

Punto Incremento Longitud Arco Meridiano--------------------------------------------------------

2 4.06534543 456806.1293 6.51083194 760884.2194 4.21268197 483748.4755 6.37093446 734991.4206 1.43324630 191535.870


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5) Clculo de la distancia espacial entre todos los puntos

Punto Pto.6 Pto.5 Pto.4 Pto.3 Pto.2-------------------------------------------------------------------------1 242144.550 737993.463 595556.657 888057.636 516349.4552 465067.240 407819.446 571708.513 373453.125

3 822789.417 504873.771 822786.5774 354096.868 363368.4015 547998.1366


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Problema de Clculo de latitudes crecientes en Proyeccin UTM========================================================================

Con los vrtices de la Red Geodsica espaola utilizados en el problema

anterior se pretende realizar el paso de latitudes geodsicas a latitudescrecientes y a la inversa.

DATOS DE PARTIDA========================================================================

LATITUDES GEODSICAS DE PARTIDA EN EL SISTEMA ED50

Punto Latitud ---------------------------1-BAOS 36.421159602-CORRAL 40.490505033-LAGOA 43.331991544-SALOU 41.033841575-FARO 43.192094066-CARCHE 38.25440590



SISTEMA DE REFERENCIA

ED50-----

Europeam Datum 1950Superficie de referencia: Elipsoide de Hayford

- Semieje mayor a = 6378388 m.

- Semieje menor b= a (a * f)

- Aplanamiento f = (a b)/a = 1/297

-Primera excentricidad e2= (a2 b2)/a2

- Segunda excentricidad e2= (a2 b2)/b2


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PASO DE LATITUD GEODSICA A CRECIENTE

------------------------------------------

Se pasa de la latitud geodsica a la latitud creciente de manera directamediante la frmula Apndice II-3.

Punto Geodsica Creciente(rad) Creciente(psexa)-------------------------------------------------------------1 36.42115960 0.685493658080 39.16332165672 40.49050503 0.777262909996 44.32019835333 43.33199154 0.841521347866 48.12562377704 41.03384157 0.782846566023 44.51136952625 43.19209406 0.835939510328 47.53449011326 38.25440590 0.723333551786 41.2638254911

A partir de la latitud geodsica en cada uno de los 6 puntos se calculala latitud creciente, primero en radianes y luego en pseudosexagesimal.

PASO DE LATITUD CRECIENTE A GEODSICA

------------------------------------------

Para realizar este paso es necesario recurrir a un proceso iterativoconvergente explicado en el Apndice II, apartado 2.3. de la publicacin deGeodesia y Cartografa Matemtica. En este caso nos limitamos a dar losvalores de las latitudes en iteraciones sucesivas.

Punto Creciente(rad) Iteracin Geodsica(rad) Geodsica(psexa) Dif.ant.(seg.sexa)------------------------------------------------------------------------------------------

1 0.685493658080 0 0.637364249404 36.31058134121 0.640578055968 36.4208708600 1102.89518824282 0.640591993839 36.4211583493 2.87489227863 0.640592054214 36.4211595946 0.01245314734 0.640592054475 36.4211596000 0.00005394305 0.640592054476 36.4211596000 0.0000002337

2 0.777262909996 0 0.709076149361 40.37374545621 0.712396817054 40.4902391441 1124.93687832902 0.712409657792 40.4905040033 2.64859243013 0.712409707375 40.4905050260 0.01022723354 0.712409707567 40.4905050300 0.0000394910

5 0.712409707568 40.4905050300 0.0000001525

3 0.841521347866 0 0.756821431478 43.21456259271 0.760175500253 43.3317452274 1131.82634614872 0.760187399529 43.3319906675 2.45440187713 0.760187441678 43.3319915369 0.00869366974 0.760187441827 43.3319915400 0.00003079345 0.760187441827 43.3319915400 0.0000001091

4 0.782846566023 0 0.713306234899 40.52099723361 0.716631090026 41.0335772935 1125.80059840602 0.716643853400 41.0338405570 2.63263488293 0.716643902325 41.0338415661 0.0100915000

4 0.716643902512 41.0338415700 0.00003868295 0.716643902513 41.0338415700 0.0000001483


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Punto Creciente(rad) Iteracin Geodsica(rad) Geodsica(psexa) Dif.ant.(seg.sexa)------------------------------------------------------------------------------------------

5 0.835939510328 0 0.752755536803 43.07469749501 0.756107949404 43.1918459686 1131.48473543352 0.756119934284 43.1920931745 2.47205908453 0.756119977063 43.1920940568 0.0088236837

4 0.756119977215 43.1920940600 0.00003149475 0.756119977216 43.1920940600 0.0000001125

6 0.723333551786 0 0.667430533616 38.14274297001 0.670697338663 38.2541256610 1113.82691018122 0.670710868836 38.2544047408 2.79079845493 0.670710924802 38.2544058952 0.01154375034 0.670710925033 38.2544059000 0.00004774895 0.670710925034 38.2544059000 0.0000001975

A partir de la latitud creciente en cada uno de los 6 puntos se calculala latitud geodsica, primero en radianes y luego en pseudosexagesimal.

Dif.ant.(seg.sexa) es la diferencia en segundos sexagesimales entre lalatitud geodsica de una iteracin y la anterior.

Al final se puede ver que las latitudes geodsicas obtenidas en lasltimas iteraciones coinciden con los datos de partida del problema.


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Radiacin


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Geodesia y Cartografa Matemtica_______ ___Problemas deRadiacin

Problemas de Radiacinen Proyeccin UTM=========================================================================

Se pretende realizar una descripcin de todos los pasos a llevar a cabo

para el correcto clculo de una radiacin sobre el plano de la proyeccin

U.T.M. El fundamento, metodologa y propsito de la radiacin puede ser

consultado en cualquier tratado de mtodos topogrficos.

Bsicamente, la radiacin es un mtodo topogrfico que pretende dar

coordenadas a una vrtice a partir de otro de coordenadas conocidas en el

que se estaciona una estacin total y se toman lecturas horizontales a otro

de coordenadas conocidas y al punto incgnita, as como la distancia a ste

ltimo.

En los distintos ejemplos que se desarrollarn a continuacin el

planteamiento del problema ser similar. Se dispone de un vrtice nmero 1,

vrtice estacin, de coordenadas U.T.M. conocidas y desde el que se observa

a otro, vrtice nmero 2, tambin de coordenadas U.T.M. conocidas. El

vrtice a determinar es el numerado como 3. Las observaciones, referidas a

lneas geodsicas sobre el elipsoide, de las que se dispone son de dos

tipos: lecturas horizontales (L12, y L13, correspondiendo el primer nmero

al vrtice estacin y el segundo al visado) y distancias (s13).

Dentro del caso objeto de estudio se han desarrollado un total de 4

ejemplos con el objeto de cubrir las posibles dudas que se le pueden

plantear al alumno.

Los pasos a seguir para resolver cualquier radiacin sobre el plano de

la proyeccin U.T.M. son los siguientes:

En el vrtice inicial.

En primer lugar se debe calcular la desorientacin cartogrfica de latransformada de la geodsica:

( ) ( ) RRcgcg

L1

11

=

Para ello es preciso calcular el acimut cartogrfico de la transformada

de la geodsica de la referencia, a travs de la reduccin angular de la

cuerda:

( ) ( ) RRccR

cg dT111 +=

resultando como la suma del acimut cartogrfico de la cuerda y la

reduccin angular de la cuerda.

A continuacin se calcula el acimut cartogrfico de la transformadade la geodsica al siguiente punto de la poligonal:

( ) ( ) 211

2

1Lcgcg +=

El siguiente paso consiste en proyectar la longitud de la lneageodsica con el mdulo de deformacin lineal puntual del vrtice 1:

( ) 211

2

1

' skDcc =


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Geodesia y Cartografa Matemtica_______ ___Problemas deRadiacin

Ya es posible calcular unas primeras coordenadas del vrtice nmero 2:

( ) ( )

( ) ( )( )2

1

2

1

'

1

1

2

2

1

2

1

'

1

1

2

cos

sen

cgccc

cgccc

Dyy

Dxx

+=

+=

A continuacin se procede a obtener el acimut cartogrfico de lacuerda a travs de la reduccin angular de la cuerda:

( ) ( ) 21

2

1

2

1 dTcgcc =

Se obtiene la longitud de la geodsica proyectada con el mdulo dedeformacin lineal correspondiente a la lnea 1-2, (Simpson):

( ) 21212

1 skDcc =

Se obtienen unas segundas coordenadas que pueden ser consideradascomo definitivas (se podra iterar el proceso para comprobar que la

variacin sera despreciable):

( ) ( )

( ) ( )( )21

2

112

2

1

2

112

cos

sen

ccccc

ccccc

Dyy

Dxx

+=

+=

En los ejemplos tambin se ha resuelto por el problema directo de la

geodesia, mtodo exacto, para que el alumno pueda tener constancia de los

errores que introduce el clculo sobre la proyeccin U.T.M.

La conclusin final que debe obtener el alumno es que el clculo sobre

la proyeccin U.T.M. de la radiacin, o problema directo de la geodesia,

es un mtodo alternativo de perfecta validez. Los errores finales, tras

una nica iteracin, son muy pequeos y totalmente despreciables si se

tiene en cuenta la precisin con la que los observables utilizados

pueden llegar a ser medidos.


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ _____________ Problema deRadiacin: N1

___________________________________________________________________________________________________

Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra Pgina I-4


Problema de Radiacin en Proyeccin UTM========================================================================

Vamos a resolver el problema Directo de la Geodesia.

DATOS DE PARTIDA========================================================================

COORDENADAS UTM DE PARTIDA

Puntos conocidos en ED50 (Superficie de referencia=Elipsoide de Hayford).

Punto X. U.T.M. Y. U.T.M. HUSO-----------------------------------------------------------------Punto 1 720478.006 4404082.474 30Punto 2 724835.704 4434215.362 30

Coordenadas en metros.

OBSERVACIONES DE LA RADIACIN SOBRE EL ELIPSOIDE DE HAYFORD

Pto. Estacin Pto. Visado Lectura Horizontal Distancia--------------------------------------------------------------------------

Punto 1 Punto 2 304.72931Punto 1 Punto 3 9.73240 10658.3320

Magnitudes lineales en metros y angulares en centesimales.

RESOLUCIN DEL PROBLEMA========================================================================

CLCULO DE COORDENADAS GEODSICAS

Se pasa de un punto sobre la proyeccin al correspondiente sobre elelipsoide.

Para realizar esta transformacin se utilizan las frmulas Cap.IV-44,Cap. IV-45 y Cap.IV-55; se utilizarn las formulas de las paginas 8 y 9 delApndice V extendidas a la Pennsula Ibrica y las Baleares.

Punto Latitud Longitud-------------------------------------

1 39.4526894503 -0.25351468812 40.0139123506 -0.2154875500

Magnitudes angulares en pseudo-decimal-sexagesimal.


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SOLUCIN POR PROBLEMA DIRECTO DE LA GEODESIA

Acimut geodsico de 1 a 2 por problema inverso de la geodesia:A.G.12 = 10.97791 g.cente.

Desorientacin de la geodsica en 1.

D.G.1 = -293.75140 g.cente.

Acimut geodsico de 1 a 3.A.G.13 = 115.98100 g.cente.

Coordenadas geodsicas:LATITUD. 3 = 39.440082890 m.LONGITUD.3 = -0.182160022 m.

X.U.T.M. 3 = 730876.4350 m.Y.U.T.M. 3 = 4401732.0857 m.

SOLUCIN POR CARTOGRAFA MATEMTICA

Punto estacin 1.Acimut cartogrfico de la cuerda de 1 a 2.A.C.C.12 = 9.14315 g.cente.

Reduccin angular de la cuerda de 1 a 2.R.A.C.12 = 52.63624 s.cente.

Lectura horizontal de 1 a 2 sobre el elipsoide.L.HOR.12 = 304.72931 g.cente.

Desorientacin cartogrfica de la geodsica en 1.D.C.G.1 = -295.58089 g.cente.


Acimut cartogrfico de la geodsica de 1 a 3.A.C.G.13 = 114.15151 g.cente.

Longitud de la lnea geodsica de 1 a 3 sobre el elipsoide.L.L.G.13 = 10658.3320 m.

Modulo de deformacin lineal puntual en 1.KP.UTM-1 = 1.000198455

Longitud de la geodsica proyectada con el m.d.l. del punto 1.L.P.KP = 10660.4472 m.

Coordenadas iniciales :X.U.T.M. 3 = 730876.1513 m.Y.U.T.M. 3 = 4401732.2167 m.LATITUD. 3 = 39.440083342 m.LONGITUD.3 = -0.182161196 m.

Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodsia:Error X.U.T.M. 3 = 0.2837 m.Error Y.U.T.M. 3 = -0.1309 m.


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------------Primera iteracin

Reduccin angular de la cuerda de 1 a 3.R.A.C.13 = -4.14290 s.cente.

Acimut cartogrfico de la cuerda de 1 a 3.

A.C.C.13 = 114.15192 g.cente.

Modulo de deformacin lineal de la distancia de 1 a 3.KD.UTM-13= 1.000227136

Longitud de la geodsica proyectada con el m.d.l. de la distancia.L.P.KD = 10660.7529 m.Coordenadas en la primera iteracin:

X.U.T.M. 3 = 730876.4341 m.Y.U.T.M. 3 = 4401732.0816 m.LATITUD. 3 = 39.440082876 m.LONGITUD.3 = -0.182160026 m.

Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodsia:Error X.U.T.M. 3 = 0.0008 m.Error Y.U.T.M. 3 = 0.0041 m.

------------Segunda iteracin


Acimut cartogrfico de la cuerda de 1 a 3.A.C.C.13 = 114.15192 g.cente.

Modulo de deformacin lineal de la distancia de 1 a 3.KD.UTM-13= 1.000227137

Longitud de la geodsica proyectada con el m.d.l. de la distancia.L.P.KD = 10660.7529 m.

Coordenadas en la segunda iteracin :X.U.T.M. 3 = 730876.4341 m.Y.U.T.M. 3 = 4401732.0816 m.LATITUD. 3 = 39.440082876 m.LONGITUD.3 = -0.182160026 m.

Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodsia:Error X.U.T.M. 3 = 0.0008 m.Error Y.U.T.M. 3 = 0.0041 m.


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DATOS DE PARTIDA========================================================================














1 40.2324578165 -3.25351469132 40.2824132355 -3.2537875491



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D.G.1 = 106.24860 g.cente.

Acimut geodesico de 1 a 3.A.G.13 = 201.98100 g.cente.


X.U.T.M. 3 = 463111.4721 m.Y.U.T.M. 3 = 4451894.9002 m.





Desorientacin cartogrfica de la geodsica en 1.D.C.G.1 = 106.55563 g.cente.




Mdulo de deformacin lineal puntual en 1.KP.UTM-1 = 0.999616124



Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodesia:Error X.U.T.M. 3 = 0.1682 m.Error Y.U.T.M. 3 = -0.0121 m.


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A.C.C.13 = 202.28748 g.cente.

Mdulo de deformacin lineal de la distancia de 1 a 3.KD.UTM-13= 0.999616435


Coordenadas en la primera iteracin:X.U.T.M. 3 = 463111.4720 m.Y.U.T.M. 3 = 4451894.9002 m.LATITUD. 3 = 40.125749165 m.LONGITUD.3 = -3.260060887 m.







Coordenadas en la segunda iteracin:X.U.T.M. 3 = 463111.4720 m.Y.U.T.M. 3 = 4451894.9002 m.LATITUD. 3 = 40.125749165 m.LONGITUD.3 = -3.260060887 m.

Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodesia:Error X.U.T.M. 3 = 0.0001 m.

Error Y.U.T.M. 3 = -0.0000 m.


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DATOS DE PARTIDA========================================================================














1 38.3845645500 -2.11119876042 38.3000087618 -2.1113459856



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D.G.1 = -0.04010 g.cente.



X.U.T.M. 3 = 570920.9694 m.Y.U.T.M. 3 = 4291200.9478 m.





Desorientacin cartogrfica de la geodsica en 1.D.C.G.1 = -0.60449 g.cente.







Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodesia:Error X.U.T.M. 3 = -0.1541 m.Error Y.U.T.M. 3 = 0.0032 m.


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A.C.C.13 = 0.66636 g.cente.












Error Y.U.T.M. 3 = -0.0000 m.


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DATOS DE PARTIDA========================================================================














1 39.4256984506 -0.23521478992 40.0534783510 -0.2522222221



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D.G.1 = 36.36360 g.cente.



X.U.T.M. 3 = 701511.0803 m.Y.U.T.M. 3 = 4398904.8544 m.





Desorientacin cartogrfica de la geodsica en 1.D.C.G.1 = 34.51538 g.cente.







Diferencia respecto obtenidas por p.d.geodesia:Error X.U.T.M. 3 = 1.2338 m.Error Y.U.T.M. 3 = 0.0610 m.


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A.C.C.13 = 298.15189 g.cente.












Error Y.U.T.M. 3 = -0.0109 m.


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Problema Inverso de laGeodesia


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ _________ ____Problema de InterseccinInversa: N1

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Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra Pgina V-4


Problema de Interseccin Inversa en Proyeccin UTM========================================================================

En este tipo de problemas se tienen que determinar las coordenadas

geodsicas (latitud y longitud) y coordenadas UTM de un punto a partir deotros tres de coordenadas conocidas. Estas coordenadas pueden ser tantogeodsicas como UTM sobre la proyeccin. A partir de un punto de estacin ycon lecturas angulares a otros 3 puntos, se resuelve el problema deinterseccin inversa en el plano en proyeccin UTM.

Se tienen los observables de las lecturas angulares sobre el elipsoide,medidas sobre la lnea geodsica, a las cuales hay que aplicar la reduccinangular de la cuerda.

Esta reduccin angular de la cuerda sirve para transformar la lecturaangular sobre el elipsoide en lectura angular proyectada sobre el plano enproyeccin UTM. La problemtica angular radica en que a partir del acimutgeodsico de la lnea geodsica sobre el elipsoide se pueda obtener elacimut cartogrfico de la cuerda sobre la proyeccin.

Una vez proyectados todos los observables en el plano, se procede alclculo del cuarto punto a determinar.

Una vez obtenidas sus coordenadas UTM se realiza el problema inverso(Paso de coordenadas UTM a geodsicas).

DATOS DE PARTIDA========================================================================

Partimos de las coordenadas geodsicas de tres puntos.

COORDENADAS GEODSICAS DE PARTIDA

Punto Latitud Longitud

--------------------------------------1 39.21241369 -0.191395812 39.24053980 -0.240274853 39.25251332 -0.23194492



Como vemos la longitud tiene signo negativo, por tanto los tres puntosdeben estar al oeste (W) del meridiano de Greenwich.

OBSERVACIONES ANGULARES REDUCIDAS AL ELIPSOIDE

Desde el punto 4 a determinar visamos a otros tres puntos de coordenadasconocidas (Puntos 1, 2 y 3) y obtenemos unas lecturas angulares, estaslecturas no son acimutes, y estn ledas sobre la lnea geodsica. Paradeterminar las coordenadas del punto 4 en la proyeccin UTM se deben tenerlecturas angulares sobre la cuerda y no sobre la tangente a la lneageodsica, por ello posteriormente se realiza la correccin por reduccinangular de la cuerda.

Punto de Estacin Punto Visado Lectura horizontal----------------------------------------------------

4 1 182.881264 2 243.042944 3 257.82440

Lecturas en graduacin centesimal.


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Antes de comenzar cualquier problema de este tipo es conveniente dibujarla posicin relativa que ocupan cada uno de los puntos. En una primeraaproximacin podemos dibujar los 4 puntos, con las coordenadas geodsicas o

con las coordenadas UTM. Dibuja aqu los puntos:

CLCULO DE COORDENADAS UTM

Aplicamos el problema directo (Paso de coordenadas geodsicas a UTM) alos 3 puntos de coordenadas geodsicas conocidas (Puntos 1, 2 y 3).

Pasamos de un punto sobre el elipsoide al correspondiente sobre el planode proyeccin.

Para realizar esta transformacin utilizamos las frmulas Cap.IV-27 yCap.IV-28; nosotros utilizaremos las frmulas de las paginas 5 y 6 delApndice V extendidas a la Pennsula Ibrica y las Baleares.

Punto X. U.T.M. Y. U.T.M. HUSO----------------------------------------------1 730876.3765 4359860.4086 302 723820.0619 4364630.7108 303 724784.7054 4367119.2327 30

CLCULO DE UNAS PRIMERAS COORDENADAS---------Mtodo de Interseccin Inversa:

Con las lecturas horizontales medidas y con las coordenadas UTM de los 3puntos se calcula por interseccin inversa unas primeras coordenadasaproximadas del punto 4.

* Clculo de los Angulos 2-4-1 y 3-4-2:A partir de las lecturas horizontales desde el punto de estacin 4 a cada

uno de los puntos visados.- Angulo 2-4-1 = 60.16168 grados centesimales- Angulo 3-4-2 = 14.78146 grados centesimalesCon las coordenadas UTM de los tres puntos 1, 2 y 3 se pueden calcular

las distancias y los acimutes que existen entre ellos.

* Clculo de las primeras coordenadas UTM:Con todos estos valores de ngulos y distancias se procede al clculo de

las primeras coordenadas UTM del punto 4 mediante interseccin inversa.

- Coordenada X4 = 732267.776 m.- Coordenada Y4 = 4368966.002 m.

* Clculo de las coordenadas geodsicas:Se resuelve el problema inverso (Paso de coordenadas UTM a coordenadas

geodsicas): Con las primeras coordenadas UTM del punto 4 se calculan lasprimeras coordenadas geodsicas de dicho punto:

Para realizar esta transformacin se utilizan las formulas Cap.IV-44,Cap.IV-45 y Cap.IV-55 que extendidas a la Pennsula Ibrica y las Balearesse recurre a las frmulas de las paginas 8 y 9 del Apndice V.

- Coordenada latitud4 = 39.26178319 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = -0.18045156 grados pseudosexagesimalesEl cuarto punto obtenido tambin se encuentra al oeste (W) del meridiano

de Greenwich (signo negativo en la longitud), y tambin pertenece al huso30.


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CLCULO DE COORDENADAS DEFINITIVAS-----------Mtodo de Interseccin de distancias:

Con los datos obtenidos de un primer calculo se pasan a determinar losvalores de los observables angulares sobre el plano.

Con estos nuevos valores (lecturas angulares corregidas de la reduccin

angular de la cuerda) se calculan las coordenadas UTM y las coordenadasgeodsicas definitivas.Como vemos se realiza un proceso iterativo, aplicando las mismas frmulas

de interseccin inversa en cada uno de los pasos, pero con valoresdistintos en los observables angulares, procedentes de correcciones a laslecturas angulares iniciales.

En nuestro caso nos basta con una nica iteracin para dar con lasolucin correcta; los resultados obtenidos llegan a diferir pocosmilmetros de los reales, si se quiere se puede realizar otra iteracinpara ajustar ms la solucin, aunque no es necesario.

* Clculo de la reduccin angular de la cuerda:Se calcula la reduccin angular de la cuerda para cada una de las tres

direcciones, es decir para cada una de las lecturas angulares, en el puntoorigen.

Se utilizan las coordenadas UTM de los puntos 1, 2 y 3; y las coordenadasaproximadas del punto 4 obtenidas anteriormente. Con estos datos seresuelve el problema utilizando la frmula Cap.IV-95.

Como latitud media se utiliza el punto medio de la cuerda; primero secalcula el punto medio con las coordenadas UTM de los extremos, y luego sepasan estas coordenadas UTM a coordenadas geodsicas.

En nuestro caso se calculan las desviaciones de la cuerda en las lecturasangulares 4-1, 4-2 y 4-3.

- De 4 a 1 = -16.62 segundos centesimales- De 4 a 2 = -7.83 segundos centesimales- De 4 a 3 = -3.34 segundos centesimales

* Clculo de ngulos corregidos de reduccin angular de la cuerda:Se determina el valor para las lecturas angulares las lneas geodsicas

proyectadas aplicando a las lecturas horizontales de las geodsicas lareduccin angular de la cuerda en cada una de ellas. A la lectura angularsobre la lnea geodsica se le resta la reduccin de la cuerda, paraobtener la lectura angular en la proyeccin.

Con estas lecturas se obtienen los ngulos ya corregidos.- Angulo 2-4-1 = 60.16080 grados centesimales- Angulo 3-4-2 = 14.78101 grados centesimales

* Clculo de las coordenadas UTM definitivas:Al tratarse de una iteracin aplicamos las mismas frmulas utilizadas en

el apartado anterior del clculo de las primeras coordenadas.

A partir de las coordenadas UTM de los tres puntos y de los ngulos yacorregidos proyectados sobre el plano se pueden obtener las coordenadas UTMdefinitivas del punto 4.


* Clculo de las coordenadas geodsicas definitivas:Con las coordenadas UTM definitivas del punto 4 se calculan las

coordenadas geodsicas definitivas de dicho punto (Punto 4):- Coordenada latitud4 = 39.26178420 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = -0.18045222 grados pseudosexagesimales

Al final hemos obtenido unas coordenadas UTM y unas coordenadas

geodsicas para el Punto 4, despus de aplicar las convenientescorrecciones a los observables de las lecturas angulares.


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DATOS DE PARTIDA========================================================================

Partimos de las coordenadas geodsicas de 3 vrtices de la R.O.I.


Punto Latitud Longitud

-----------------------------------------------------------------Cabes Bord (Punto 1) 39.37319127 -0.22410709Picayo (Punto 2) 39.38437707 -0.18501280Muntanya de la Pata (Punto 3) 39.35311067 -0.18144379



Como vemos la longitud tiene signo negativo, por tanto los tres puntosdeben estar al oeste (W) del meridiano de Greenwich.


Desde el punto 4 a determinar se visan a tres vrtices de la R.O.I.,puntos de coordenadas conocidas (Puntos 1, 2 y 3) y se obtienen unaslecturas angulares, estas lecturas no son acimutes, y estn ledas sobre lalnea geodsica. Para determinar las coordenadas del punto 4 en laproyeccin UTM se deben tener lecturas angulares sobre la cuerda y no sobrela tangente a la lnea geodsica, por ello posteriormente se realiza lacorreccin por reduccin angular de la cuerda.


4 1 208.560164 2 247.157824 3 295.43810



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- Coordenada latitud4 = 39.35323692 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = -0.23141993 grados pseudosexagesimalesEl cuarto punto obtenido tambin se encuentra al oeste (W) del meridiano

de Greenwich (signo negativo en la longitud), y tambin pertenece al huso30.


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- De 4 a 1 = 6.56 segundos centesimales- De 4 a 2 = 10.85 segundos centesimales- De 4 a 3 = 0.31 segundos centesimales









coordenadas geodsicas definitivas de dicho punto (Punto 4):- Coordenada latitud4 = 39.35323841 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = -0.23142039 grados pseudosexagesimales




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DATOS DE PARTIDA========================================================================

Partimos de las coordenadas geodsicas de 3 vrtices de la Red GeodsicaNacional.


Punto Latitud Longitud-----------------------------------------------------------------Montg (Punto 1) 38.48159788 0.07500546Gata de Gorgos (Punto 2) 38.46280225 0.05062638Picachos (Punto 3) 38.48356100 0.02353529



Como vemos la longitud tiene signo positivo, por tanto los tres puntosdeben estar al este (E) del meridiano de Greenwich.


Desde el punto 4 a determinar se visan a tres vrtices de la RedGeodsica Nacional, puntos de coordenadas conocidas (Puntos 1, 2 y 3) y seobtienen unas lecturas angulares, estas lecturas no son acimutes, y estnledas sobre la lnea geodsica. Para determinar las coordenadas del punto4 en la proyeccin UTM se deben tener lecturas angulares sobre la cuerda yno sobre la tangente a la lnea geodsica, por ello posteriormente serealiza la correccin por reduccin angular de la cuerda.


4 1 334.121384 2 345.276724 3 356.36602



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- Coordenada latitud4 = 39.00044249 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = 0.05381679 grados pseudosexagesimalesEl cuarto punto obtenido tambin se encuentra al este (E) del meridiano

de Greenwich (signo positivo en la longitud), y tambin pertenece al huso31.


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- De 4 a 1 = 43.34 segundos centesimales- De 4 a 2 = 49.94 segundos centesimales- De 4 a 3 = 42.09 segundos centesimales









coordenadas geodsicas definitivas de dicho punto (Punto 4):- Coordenada latitud4 = 39.00044223 gados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = 0.05382568 grados pseudosexagesimales




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DATOS DE PARTIDA========================================================================


Se parte de las coordenadas UTM de tres puntos, y de las lecturasangulares sobre el elipsoide medidas desde el cuarto punto a determinar

(Punto 4).Como vemos en este caso se trabaja en el huso 31, es decir al Este (E)del meridiano de Greenwich. Es conveniente trabajar en coordenadas UTM deun mismo huso, aunque los puntos estn en husos distintos.

Punto X. U.T.M. Y. U.T.M. HUSO------------------------------------------------

1 248701.5600 4303720.1050 312 249200.0220 4303652.9810 313 248798.3400 4303311.9880 31


Desde el punto 4 a determinar se visan a tres vrtices de la RedGeodsica Nacional, puntos de coordenadas conocidas (Puntos 1, 2 y 3) y seobtienen unas lecturas angulares, estas lecturas no son acimutes, y estnledas sobre la lnea geodsica. Para determinar las coordenadas del punto4 en la proyeccin UTM se deben tener lecturas angulares sobre la cuerda yno sobre la tangente a la lnea geodsica, por ello posteriormente serealiza la correccin por reduccin angular de la cuerda.


4 1 80.609604 2 81.217944 3 83.66206



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con las coordenadas UTM.Dibuja aqu los puntos:


Se calculan la longitud y la latitud de los puntos de coordenadas UTM yaconocidas.

Se aplica el problema inverso (Paso de coordenadas UTM a geodsicas) alos 3 puntos de coordenadas UTM conocidas (Puntos 1, 2 y 3).



Punto Latitud Longitud--------------------------------------

1 38.50448202 0.061643492 38.50431573 0.063717413 38.50316969 0.06209806



Los puntos se encuentran al Este del meridiano de Greenwich (longitudpositiva).


Con las lecturas horizontales medidas y con las coordenadas UTM de los 3

puntos se calcula por interseccin inversa unas primeras coordenadasaproximadas del punto 4.


uno de los puntos visados.- Angulo 2-4-1 = 0.60834 grados centesimales- Angulo 3-4-2 = 2.44412 grados centesimales

Si tenemos en cuenta los ngulos obtenidos, vemos que la solucinadoptada al configurar los tringulos es un claro ejemplo de lo que no sedebe hacer, los ngulos son excesivamente pequeos para obtener una buenasolucin; de todos modos en el caso que nos ocupa, obtener la proyeccinUTM, se puede continuar con el problema.

Con las coordenadas UTM de los tres puntos 1, 2 y 3 se pueden calcularlas distancias y los acimutes que existen entre ellos.


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las primeras coordenadas UTM del punto 4 mediante interseccin inversa.- Coordenada X4 = 240213.655 m.- Coordenada Y4 = 4303399.259 m.

* Clculo de las coordenadas geodsicas:Se resuelve el problema inverso (Paso de coordenadas UTM a coordenadasgeodsicas): Con las primeras coordenadas UTM del punto 4 se calculan lasprimeras coordenadas geodsicas de dicho punto:


- Coordenada latitud4 = 38.50255550 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = 0.00252421 grados pseudosexagesimales

El cuarto punto obtenido tambin se encuentra al este (E) del meridianode Greenwich (signo positivo en la longitud), y tambin pertenece al huso31.



Con estos nuevos valores (lecturas angulares corregidas de la reduccinangular de la cuerda) se calculan las coordenadas UTM y las coordenadasgeodsicas definitivas.

Como vemos se realiza un proceso iterativo, aplicando las mismas frmulasde interseccin inversa en cada uno de los pasos, pero con valoresdistintos en los observables angulares, procedentes de correcciones a laslecturas angulares iniciales.







- De 4 a 1 = -0.65 segundos centesimales- De 4 a 2 = -0.51 segundos centesimales- De 4 a 3 = 0.18 segundos centesimales


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el apartado anterior del clculo de las primeras coordenadas.A partir de las coordenadas UTM de los tres puntos y de los ngulos ya

corregidos proyectados sobre el plano se pueden obtener las coordenadas UTMdefinitivas del punto 4.



coordenadas geodsicas definitivas de dicho punto (Punto 4):- Coordenada latitud4 = 38.50255543 grados pseudosexagesimales- Coordenada longitud4 = 0.00252324 grados pseudosexagesimales

Al final hemos obtenido unas coordenadas UTM y unas coordenadasgeodsicas para el Punto 4, despus de aplicar las convenientescorrecciones a los observables de las lecturas angulares.


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Interseccin deDistancias


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ _________ ___Problemas de Interseccinde distancias

Problemas de Interseccin de distanciasen Proyeccin UTM==============================================================================

En este tipo de problemas de Interseccin de distancias se tienen que

determinar las coordenadas geodsicas (latitud y longitud) y coordenadas

UTM de un punto a partir de otros dos de coordenadas conocidas (geodsicas

o en proyeccin UTM). A partir del punto de estacin (punto de coordenadas

a determinar) y con lecturas distanciomtricas (longitudes de la lnea

geodsica medidas sobre el elipsoide) a los dos puntos de coordenadas

conocidas, se resuelve el problema de Interseccin de distancias en el

plano en proyeccin UTM

Pasos a seguir:

Clculo del mdulo de deformacin lineal puntual=k1 en los dos puntos

de coordenadas conocidas. Se tienen los observables de las distancias

sobre el elipsoide, medidas sobre la lnea geodsica (datos obtenidos

directamente de campo), a las cuales hay que aplicar una determinada

correccin para pasarlas al plano en proyeccin UTM. En una primera

aproximacin esta correccin corresponde al mdulo de deformacin

puntual (k1), considerando tan solo uno de los extremos de cada

direccin medida.

Clculo de distancias de la lnea geodsica proyectada. Multiplicando

cada lectura distanciomtrica (2 lecturas por punto de estacin) por

su correspondiente k1 puntual.

Clculo de una primeras coordenadas UTM aproximadas del punto a

determinar mediante el mtodo de Interseccin de distancias (Problema

de Mtodos Topogrficos), a partir de las dos lecturas

distanciomtricas con sus primeras correcciones (para pasarlas a la

proyeccin) y de las coordenadas UTM de los otros dos puntos.

Siempre habrn 2 posibles soluciones dependiendo de la posicin que

ocupe este tercer punto con respecto a los otros dos. Se define la

solucin a tomar.

Clculo del mdulo de deformacin lineal para longitudes finitas=kd, apartir de las coordenadas (fijas y aproximadas) de los dos extremos de

cada una de las dos direcciones. El coeficiente de anamorfosis lineal

(k) sirve para transformar la distancia sobre el elipsoide en

distancia proyectada sobre el plano en proyeccin UTM.

Clculo de distancias de la lnea geodsica proyectada. Multiplicando

cada lectura distanciomtrica (2 lecturas por punto de estacin) por

su correspondiente kd lineal

Clculo por Interseccin de distancias en el plano (mismo proceso

anterior) de las coordenadas en proyeccin UTM definitivas,

considerando las lecturas distanciomtricas ya corregidas (observables

proyectados en el plano).


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ ________ _____Problemas de Interseccinde distancias

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Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra Pgina III-3

Interseccin de Distanciasen Proyeccin UTM

Punto 1:Punto de coordenadas conocidas

Punto 2:Punto de coordenadas conocidas

Punto 3:Punto de coordenadas desconocidas a determinar; obtenido

despus de aplicar las distancias corregidas por el mdulo de

deformacin (k).

Punto 3':Punto obtenido sin aplicar las distancias corregidas por

el mdulo de deformacin (k).


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Geodesia y Cartografa Matemtica____ _____________Problema de Interseccin dedistancias: N1

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Dep. Ing. Geodsica, Cartogrfica y Fotogrametra Pgina III-4


Problema de Interseccin de Distancias en Proyeccin UTM========================================================================


geodsicas (latitud y longitud) y coordenadas UTM de un punto a partir deotros dos de coordenadas conocidas.

Estas coordenadas pueden ser tanto geodsicas como UTM sobre laproyeccin.

Se tienen los observables de las distancias sobre el elipsoide, medidassobre la lnea geodsica, a las cuales hay que aplicar el mdulo dedeformacin lineal (k)

Este coeficiente de anamorfosis lineal (k) servir para transformar ladistancia sobre el elipsoide en distancia proyectada sobre el plano enproyeccin UTM.

Una vez proyectados todos los observables en el plano, se procede alcalculo por trigonometra del tercer punto a determinar. En estos casossiempre habrn 2 posibles soluciones dependiendo de la posicin que ocupe

este tercer punto con respecto a los otros dos.Una vez obtenidas sus coordenadas UTM se realiza el problema inverso

(Paso de coordenadas UTM a geodsicas).

DATOS DE PARTIDA========================================================================

Partimos de las coordenadas geodsicas de 2 vrtices pertenecientes a laR.O.I.: Vrtices Picayo (Punto 1) y Cabes Bord (Punto 2) en el trminomunicipal de Sagunto, y de las distancias sobre el elipsoide medidas desdeel tercer punto a determinar, correspondiente a otro vrtice de la R.O.I.llamado Muntanya de la Pata (Punto 3), en el trmino municipal del Puig.


Punto Latitud Longitud---------------------------------------------------------Picayo (Punto 1) 39.38437707 -0.18501280Cabes Bord (Punto 2) 39.37319127 -0.22410790

Coordenadas geodsicas en pseudosexagesim

calculos sobre utm

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