calculoi-coleccionproblemas-tema3

7/25/2019 calculoi-coleccionproblemas-tema3

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E. T. S. de Ingenieros IndustrialesDepartamento de Matematicas

Calculo I

Calculo integral – Coleccion de problemas

1. Calcular las siguientes primitivas “inmediatas”:

1.1.

7x5 + 6x−√ 21.2.

2

3√

x2 + 3 4√

x3

1.3. x√ x

2 + 3x2 3√

x

1.4. x√ x+ 3√

x2

6 5√ x3

1.5.

1x3

+ 3x2 − 3

x5

1.6.

11+x2 − 1√

4−4x2

1.7.

e2x − 3√ 2sen2 x

1.8.

cos x sen5 x

1.9.

e2x

1+e2x

1.10. senx√

cosx

1.11.

tan x

1.12.

senx1+cos2 x

1.13. 5√ x√

x

1.14. x5−x21+x6

1.15. e1/x

x2

1.16.

x 7√

3− 2x2

1.17.

sen(3x − 2) + ex−3

5

1.18. 1

√ 2−3x

1.19.

xx2+25

1.20.

47x−2 − 1cos2(2x)

1.21. sen(2x)

2+cos(2x)

1.22.

1x2+4



Calculo integral – Version 2013a

1.23.

ex√ 1−e2x .

1.24.

xe−x2

1.25.

cos3 x sen x

1.26. 2senxcos5 x

1.27.

3x2+1(x3+x+2)2+1

1.28.

5x+24x2+9

1.29.

tg2 x

1.30.

1x ln x

1.31.

2x+3x+4x+5x

6x

1.32. cos(√ x)√ x

1.33.

1tg( x

5)

2. Calcular las siguientes primitivas de funciones racionales:

2.1. x2−5x+9x2−5x+6

2.2.

5x3+2x3−5x2+4x

2.3.

x2−8x+7(x2−3x−10)2

2.4.

2x−33x(x2+1)

2.5.

x+12x2+8x+26

2.6. x2+1x4−x2

2.7.

1(x4−1)2

2.8.

x4−2x2+2(x2−2x+2)2

.

3. Calcular las siguientes primitivas utilizando la formula de integracion por partes:

3.1.

ln x

3.2.

arctg x

3.3. x sen x

3.4.

eax cos(bx)

3.5.

x2 ln x

3.6.

xe−x

4. Calcular las siguientes integrales trigonometricas:

4.1.

sen5 x

2




4.2.

cos3 x

4.3.

tg2

(5x)4.4.

1√ senx cos3 x

4.5.

sen(3x)cos(5x)

4.6.

sen x sen(2x) sen(3x)

4.7.

11+senx+cosx

4.8.

cosx1+cosx

4.9.

11+2cosx

4.10. tg x

1+cosx

5. Calcular las siguientes integrales:5.1.

(x2 + 1)e2x

5.2.

x2 ln 1+x1−x

5.3.

x( arcsen x)2

5.4.

x5

a3−x3

5.5.

arcsen

x2+x

5.6.

ln2 x

5.7.

xex sen x

5.8. 2ex+1

2ex−1

5.9. √

x2 − 2x4

5.10.

1√ x(1+x)

5.11.

1x2(4−x2)1/2

5.12.

3√

x2 + 2

5.13.

1−x1+x

1/3(1 + x−2)

5.14. √

2ax− x2

5.15. 1

(1+x2

)

√ 1−x

2

5.16.

1x2(4+x2)1/2

5.17. √

16− x2

5.18. 1+tg x

1−tg x dx

5.19.

sen4 xdx.

5.20. 3senx+cosxsenx+cosx dx.

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6. Sea una funcion f ∈ C (R) que satisface la ecuacion

x

0f (t)dt = −1

2 + x2 + x sen2x + 1

2 cos2x.

Calcular f (π4 ) y f ′(π4 ).

7. Demostrar que si f es integrable entonces

π2

0f (sen x)dx =

π2

0f (cos x) dx

8. Encuentra la primitiva de las siguientes funciones

8.1. f (x) = 1, x > 0,

0, x ≤ 0,

8.2. f (x) =

x2 + 1, x > 1,x3 − 1, x ≤ 1;

8.3. f (x) = (x− 1)2 |x|1/3 ,

8.4. f (x) =

x + 1, x ≤ −1,0, |x| ≤ 1,

−x + 7, x > 1,

8.5. f (x) = |x|.9. Calcula la primitiva correspondiente y el valor de la integral

2

1

ex√ 1 − e2x

dx

10. Calcular el lımite

limx→0

1

x3

x0

t2

1 + t4dt

11. Encontrar los extremos de la funcion

F (x) =

x20

1 + t3

1/3dt

12. Sea f una funcion continua. Calcular la derivada segunda de la funcion

F (x) =

x0

xf (t)dt.

13. Calcular la derivada de la funcion

f (x) =

x1

√ xt

1 + t4 dt

y utilizarla para calcular f ′(1).

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14. Encontrar una funcion f y una constante c tales que

x

ctf (t)dt = sen x− x cos x− 1

2x2.

15. Demostrar que si f ∈ C [a, b] entonces existe un c ∈ [a, b] tal que ba f (x)dx = f (c) (b − a).

16. Demostrar que la funcion y(x) = 1a

x0 f (t)sen a(x − t)dt es solucion de la ecuacion diferencial

y′′ + a2y = f (x) satisfaciendo ademas las condiciones y(0) = y ′(0) = 0.

17. Calcular la integral definida I = 2−1(x − 1)2|x|1/3dx.

18. Demostrar que

e log 2≤

2e

e

dx

log x ≤e.

19. Sea I n = 10

1− x2

ndx.

19.1. Demostrar que (2n + 1)I n = 2nI n−1.

19.2. Encontrar I 2, I 3, I 4 e I 5.

20. Demostrar que el area bajo la grafica y = 1x en el intervalo [a, b] es la misma que en el intervalo

[ka,kb] para cualquier k > 0.

21. Dadas las parabolas x = y2 y 4− x = (y − 2)2, calcular:

21.1. ´Area comprendida entre ambas parabolas.

21.2. Volumen del cuerpo de revolucion generado al rotar el area anterior alrededor del eje y = 0.

22. Calcular el volumen del solido que se genera al hacer girar en torno al eje X la regi on comprendidaentre las funciones siguientes

22.1. f (x) = x2, g(x) =√

x, x ∈ [0, 1].

22.2. f (x) = x, g(x) =√

1− x2, x ∈ [0, 1].

23. Dibujar las graficas de f (x) = √

x y g(x) = x2 en el intervalo [0,2]. Hallar un numero t tal que

cuando la region comprendida entre f y g en el intervalo [0, t] gira en torno al eje X genera un solidode volumen V = 1

3πt3.

24. Calcular el volumen de un elipsoide de revolucion de semiejes a y b. Aplicar el resultado para calcularel volumen de una esfera de radio R.

25. ¿Que volumen de material se quita de una esfera de radio 2r cuando se atraviesa con un taladro,formando un agujero centrado de radio r?

26. Hallar la longitud de una elipse de semiejes a y b a partir de su definicion. Particularizar para el casode la circunferencia.

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27. Se desea disenar una boveda para una estacion de ferrocarril utilizando unas vigas de forma senoidalcomo las de la figura. La altura de la b oveda desde el punto de apoyo es de 5 metros y la distanciaentre los apoyos es de 6 metros. Se pide.

27.1. Escribir la longitud de la viga mediante una integral.

27.2. Calcular la longitud de la viga utilizando el metodo de los trapecios con 6 divisiones para elintervalo de integracion.

28. Hallar la longitud de la curva definida por la funcion f (x) = x3

3 + 14x en el intervalo x ∈ [1, 2].

29. Dibujar y encontrar la longitud de la curva definida por las ecuaciones parametricas x(t) = t

−sen t,

y(t) = 1− cos t con t ∈ [0, 2π].

30. Hallar el area de la superficie obtenida al hacer girar la curva y = √

x en el intervalo x ∈ [0, 1] entorno al eje X.

31. Demostrar que si se corta una pieza de pan esferica en rebanadas de igual anchura todas tienen lamisma cantidad de corteza.

32. Dada la funcion

F (x) =

x1

et

t dt

32.1. Calcular el polinomio de Taylor T 3(x) de F (x) en torno a x = 1 hasta potencias de orden(x − 1)4.

32.2. Calcular el valor de F (1.5) mediante el metodo de los trapecios con n = 10 y dar una cota parael error del resultado ¿Que proporcionara mejor aproximacion a F (1.5), el resultado anterior oT 3(1.5)?

32.3. Discutir si existen F (−1) y F (∞).

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33. El tiempo que tarda un tsunami en recorrer una distancia L partiendo de un epicentro situado enx = 0 viene dado por la expresion

T =

L0

1

v(x)dx

donde v(x) =

gd(x) es la velocidad del tsunami en un punto dado, siendo d es la profundidad delfondo marino en metros y g la aceleracion de la gravedad. Se pide utilizar la regla de los trapecioscon h=5 km para calcular el tiempo que tarda un tsunami en llegar a la costa para el perfil del fondomarino de la figura.

Línea de costa

x (km)

Epicentro

d (m)

504030200 10

0

-1000

-500

-1500

34. La integral de Fresnel, C (x) es una funcion trascendente que hace honor a Augustin-Jean Fresnelque es utilizada en distintos campos, y que se define segun la siguiente expresion integral:

C (x) = x0

cos(t2)dt.

Se pide

34.1. Calcula una aproximacion al valor de C (1) mediante la regla de Simpson compuesta con n = 4.

34.2. Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden en torno a x = 0 para C (x) y utilızalo paracalcular C (1). Compara el resultado con el del apartado anterior y discute cual de las dosaproximaciones esperas que sea mas correcta.

35. Discute la convergencia de la integral impropia

∞

1

log x

(1 + x2)2 dx

36. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:

36.1. ∞−∞

11+x2 dx,

36.2. ∞−∞ e−|x| dx,

36.3. ∞2

1+6 cos 2xx2+3x3 dx

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37. ¿Por que no es cierto el siguiente resultado?

1

−1

1

x2 dx = − 1

x

1

−1

= −1− 1 = −2

38. Estudiar la convergencia de la integral

+∞−∞

1

1 + x2 + x4dx

39. Decidir la convergencia de las integrales impropias siguientes:

39.1. ∞1

log x(1+x2)2 dx,

39.2. ∞−∞

11+x2+x4 dx,

39.3. 20

1+x2√ 2−x

dx,

39.4. ∞−∞

senx1+x4 dx.

40. Discutir el caracter de la integral impropia

∞1

1√ 1 + x2

dx,

41. Discutir el caracter de la integral impropia

∞0

x

1 + x4dx.

En el caso de que sea convergente encontrar el valor de la misma.

42. Consideremos la funcion y = 1/x en el intervalo x ∈ [1,∞). Al girar sobre el eje x esta curva generaun solido de revolucion que viene desde el infinito hasta x = 1. Debido a esto y a su forma querecuerda una trompeta de las que a veces se asocian a las imagenes populares de los angeles, a estesolido se le llama a veces la trompeta del arc angel San Gabriel.

42.1. Calcula la superficie de la trompeta.

42.2. Calcula el volumen contenido por la trompeta de Gabriel.

42.3. ¿Puede llenarse de aire la trompeta? ¿Puede pintarse?

El primero que realizo este calculo fue Evangelista Torriceli (1608-1647, fue entre otras cosas elinventor del barometro). Para ello utilizo una variante de la integracion (el metodo de indivisibles)ideado por un coetaneo suyo, Bonaventura Cavaleri. El resultado de Torriceli dio origen a una largacontroversia filosofica.

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43. Una empresa de ingenierıa quımica quiere determinar la cantidad de calor que es necesaria para elevarla temperatura de un determinado material desde -100o hasta 200o C. Se sabe que la caracterısticanecesaria para llevar a cabo este calculo es la capacidad calorıfica c. Para este material determinadola capacidad calorıfica viene dada por

c(T ) = 0.132 + 1.56 × 10−4T + 2.64 × 10−7T 2

y su masa es 1 kg. La cantidad de calor viene dada por la siguiente f ormula

△H = m

T 2T 1

c(T )dT

Se pide:

43.1. Calcular la cantidad de calor necesaria, segun los datos del enunciado, de forma exacta.43.2. Calcular la cantidad de calor necesaria, segun los datos del enunciado, de forma numerica,

utilizando el metodo de los trapecios, con los siguientes pasos: h = 50, 10, 5, 1, 0.05. Calculael error cometido con el metodo para cada paso.

43.3. Calcular la cantidad de calor necesaria, segun los datos del enunciado, de forma numerica,utilizando el metodo de Simpson, con n = 6. Calcula el error cometido con este metodo ycomparalo con los errores obtenidos en el apartado anterior.

44. Se desea calcular la integral

I =

2−2

x2e−x2dx

con error menor de 10−3 mediante la formula de trapecios compuesta. Indicar cual es el numeromınimo de divisiones del intervalo [−2, 2] que nos garantiza este resultado.

45. Se desea calcular la integral

I =

1−1

e−x2dx

con error menor de 10−4. Indicar cual es el numero mınimo de divisiones del intervalo [−1, 1] quenos garantiza este resultado empleando la formula de trapecios compuesta.

46. Se desea aproximar la integral ∞0

e−x2dx

46.1. Proporciona una estimacion del valor de esta integral utilizando la formula de trapecios com-puesta.

46.2. ¿Como procederıas para acotar el error que se comete en la aproximacion anterior?

47. Calcular las integrales de las funciones f (x) = sen 4x en [0, π] y f (x) = e−x

1+ex en [−2, 2] para distintasparticiones del intervalo mediante la regla de Simpson compuesta. Comparar los resultados con losvalores exactos obtenidos mediante el calculo de la primitiva.

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48. Acotar el error que se comete al calcular la integral I =

1−1 e−x2dx mediante la regla de los trapecios

usando diez divisiones del intervalo (n = 10). ¿Podrıas estimar el error que se comete en este calculoutilizando la informacion de cual es el resultado con n = 5?

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