MXIMOS Y MNIMOS

1. Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. El rea total de la caja es 48m2. Hallar las dimensiones de la caja de mximo volumen que cumpla estos requerimientos.2. Encontrar la altura del cono recto de mayor volumen que pueda inscribirse en una esfera de radio R. 3. De una caja cuadrada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.4. Un rectngulo a de tener un rea de 64m2. Hallar sus dimensiones, de forma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mnima.5. Hallar los puntos de la hiprbola ms prximos al punto (0,1)6. En un cono circular recto de radio R, se inscribe un cilindro circular recto. Hallar el radio del cilindro para que:a) Su volumen sea mximo.b) Su rea lateral sea mxima.6. Una estatua de 6m de altura tiene su base a 2m del nivel del ojo de un observador. A que distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ngulo sustendido desde su ojo por la estatua sea mximo.7. Dada la recta , encontrar las dimensiones del rectngulo de rea mxima con uno de sus lados sobre esta recta y cuyos otros dos vrtices estn en los semiejes coordenados.8. Un ro tiene un codo de 135 (ver figura) un granjero desea construir un corral bordeado dos lados por el ro y los otros por 1Km de valle ABC. Hallar las dimensiones de corral de rea mxima.

9. Encontrar el rea del mayor tringulo issceles que tenga un perimetro de 18m.10. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por P(3,4) y forma con el primer cuadrante un tringulo de rea mnima.11. Una hoja de papel tiene Acm2 de material impreso, con mrgenes superior e inferior de 4cm y mrgenes laterales de 2cm. Determinar cuales deben ser las dimensiones de la hoja para que se use la menor cantidad de papel.12. Determinar la mxima superficie lateral del cilindro recto que puede ser inscrito en un cono circular recto de altura H y radio R.13. Un alambre de longitud L es cortado en dos partes, con una parte se forma un cuadrado y con la otra una circunferencia. De que modo debe ser cortado para que la suma de las reas sea mxima.14. Se quiere construir un jardin que tenga la forma de un sector circular con un permetro de 30m. Hallar el jardin de mayor superficie.15. Se tiene una hoja rectangular de papel, de lados 8 y 15. Se desea hacer con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadrados y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, afin de que el volumen sea el mayor posible.16. Un punto mvil P describe la curva , . Determinar la distancia mnima de P al origen. 17. Hallar un punto sobre la parbola , tal que la recta tangente en el segundo cuadrante, determine un tringulo de rea mnima (con los ejes coordenados).18. Hallar las dimensiones del rectngulo de mayor rea y con los lados paralelos a los ejes coordenados que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parbolas: .19. Dados los puntos A(1,4) y B(3,0) en la elipse , hallar un vrtice C tal que el rea del tringulo ABC sea mxima.20. Un cuadrado de altura 1,4m cuelga de la pared de modo que su borde est 1,8m por encima del radio de la vista de un observador. A qu distancia de la pared debe colocarse el observador para que su posicin sea la ms verntajosa para contemplar el cuadro. (ngulo visual el mayor posible).21. Hallar el rea del mayor rectngulo que tienes su base inferior en el eje X y con los vtices en la curva .22. Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones una para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equiltero. Cmo debera cortarse el alambre:a) Para que la suma de las dos reas sea mximab) que la suma de las dos reas sea mnima23. Dado un sector circular de radio R, si el permetro mide 100m Qu valor del radio R producur un rea mxima?24. Hallar la base de un trapecio issceles de base 12m y lados 5m si su rea es mxima.25. Hallar los puntos sobre la curva que estn:a) Ms cercanas al origenb) Ms alejadas del origen26. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado de su profundidad. Encontrar las dimensiones de la viga ms resiente que pueda ser cortada de un tronco, en forma de un cilindro recto de radio a.27. Un cono es cortado por un plano paralelo a su base. A qu distancia debe ser hecho el corte, para que el cono recto de base en la seccin determinada y de vrtice en el centro del cono dado, tenga volumen mximo.28. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Demostrar que entre todos los cuadrados inscritos en el cuadrado dado, el de rea mnima tiene lados de longitud 29. Tres ciudades estn situadas en los vrtices de un tringulo issceles. Las ciudades B y C que distan entre s 16 millas estm situadas en la base, en tanto que A es el tercer vrtice y a una distancia de 10 millas de la base. A qu distancia de A sobre la altura del tringulo, se debe ubicar una instalacin de bombeo de manera que se emplee la menor longitud de caerias para abastecer de agua a las tres ciudades?30. Encontrar las dimensiones del rectngulo de rea mxima que se puede inscribir en el rectngulo cuyas dimensiones son 10 y 15cm (los catetos). Dos lados del rectngulo estn sobre el cateto del tringulo.31. Se traza la tangente en un punto de la elipse de forma que el segmento de ella interceptado por los ejes coordenados sea mnimo. Demostrar que la longitud de dicho segmento es 9.32. Una persona esta en un bote a 3 millas del punto ms cercano a la playa y desea alcanzar en el menor tiempo posible una caseta de la playa, situada a una distancia de 5 millas en la perpendicular a ala recta que una la posicin del bote y el punto de la playa, suponiendo que puede caminar a razn de 5 millas por hora y remar a la velocidad de 4 millas por hora. Determinar el lugar donde debe descender a tierra.33. Un fabricante desea disear una caja abierta con base cuadrada y un rea de 108 m2 se superficie Qu dimensiones producen la caja de mximo volumen?34. Una pgina rectangular ha de contener 24 cm2 de texto, con mrgenes superior e inferior de 1,5 cm y laterales de 1cm Qu dimensiones de la pgina requieren la mnima cantidad de papel?RAZON DE CAMBIO RELACIONADAS:1. Un globo est siendo inflado en tal forma que su volumen aumneta a razn de 36 m3/min A qu razn aumenta el dimetro cuando ste tiene 12m?2. Un hombre de 1,8m de estatura camina hacia un edificio a razn de 1,5m/seg. Si hay una lmpara sobre el suelo a 15m del edificio Con qu rapidez se acorta la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 6m del mismo?3. Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150m sabiendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 20m/seg de forma horizontal. Hallar, la velociadad a la que se suelta el hilo cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250m del muchacho.4. Dentro de un tanque cnico est entrando agua a razn constante de 3m3/seg. El radio del cono es de 5m y su altura es de 4m, encontrar:a) La velocidad con la que asciende la superficie libre del agua, cuando est a una profundidad de 2m.b) La razn de cambio respecto al tiempo de la velociada de subida cuando la profundidad del agua es 2m (considere el vrtice del cono hacia abajo)5. Una lmpara est a 15 pies sobre una recta horizontal. Si un hombre de 6 pies de altura camina alejndose de la luz a razn de 9 pies/seg Con qu rapidez se alarga su sombra?6. En una pila cnica se est dejando caer arena a razn de 10 m3/seg. Si la altura de la pila es siempre el doble del radio de la base En qu razn aumenta la altura cuando la pila tiene 2m de altura?7. Un punto se mueve sobre la prate superior de la parbola semicbica de tal manera que hace que su abscisa aumente en 5m/seg cuando con qu rapidez cambia la ordenada?8. Un punto se mueve sobre la parbola de manera que la abscisa aumenta uniformemente 2cm/seg. En qu punto aumenta la abscisa y la ordenada a la misma razn.9. En un instante dado la longitud de un cateto de un tringulo rectngulo es de 10m y est aumentando a razn de 1m/min y el otro cateto es de 12m y esta disminuyendo a razn de 2m/min. Hallar la razn de cambio respecto al tiempo del ngulo agudo opuesto al cateto que en ese instante mide 12m.10. Un baln esfrico est siendo inflado. Hallar la razn de cambio del rea respecto al radio, en el instante en que el radio es 10cm.11. Un avin estvolando paralelo al suelo a una altura de 3 mil metros y a una velocidad constante de 12 Km/min. Si el avin vuela directamente sobre una ciudad A qu razn cambia la distancia de la lnea de vuelo entre el avin y la ciudad 20 segundos despus?12. Dos vehculos, uno se dirige hacia el Este a una velocidad de 26 Km/h y el otro hacia el Norte a una velocidad de 13 Km/h, estn viajando hacia la interseccin de dos carreteras Con qu velocidad se aproximan los dos vehculos uno con respecto del otro, en el instante en que el primero de ellos est a 5 Km y el segundo a 12 Km.

13. Una lmpara est colgada a 3,5 m sobre una recta horizontal. Un hombre de 1,5 m de altura camina alejndose de la luz a razn de 24 m/min Con qu rapidez se alarga su sombra?14. Una cometa que est a 24m de altura sobre el nivel del suelo se aleja horizontalmente a una velocidad de 5/3 m/s del nio que la sostiene A qu velocidad el nio est soltando la cuerda, cuando la cuerda mide 30m?15. Un cao vierte agua en un cono recto circular invertido a razn de 18 m3/s. La altura del cono es 5/2 de su dimetro A qu rapidez sube el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 12 m el cono?16. En cierto instante las tres dimensiones de un paraleleppedo rectangular son 6, 8 y 10 cm, y estn creciendo en las razones de 0,2 ; 0,3 y 0,1 cm/s respectivamente Con qu rapidez est creciendo el volumen?17. Un grifo vierte agua en un depsito hemisfrico de dimetro de 16 cm a la razn de 12 cm3/s. Hallar la rapidez con la que se eleva la superficie del aguaa) Cuando el nivel del agua alcanza la mitad de la altura del depsitob) Cuando el agua empieza a derramarse.18. Un automvil viaja a una velocidad constante de 90 Km/h sobre una pista circular en cuyo centro O hay una luz A qu velocidad se mueve la sombra del automvil sobre una valla tangente a la pista en un punto P, cuando ha recorrido 1/6 de la pista desde P?19. Un abrevadero horizontal de 16m de largo y sus extremos son trapecios con una altura de 4 m, base menor de 4 m y base mayor de 6 m. Se vierte agua en el abrevadero a razn de 8m/min Con qu rapidez crece el nivel del agua cuando est a 2 m de profundidad?20. El radio de la base de un cono est creciendo a una razn de cm/min y la altura est decreciendo a una razn de 4 cm/min Con qu rapidez cambia el rea de la superficie del cono, cuando el radio es 5 cm y la altura es 12 cm?21. Un punto P se mueve a lo largo de la parbola de manera que su abscisa crece a una razn constante de 4 m/s. Si la proyeccin de P sobre el eje X es M Con qu rapidez el rea del tringulo OMP est cambiando cuando P tiene su abscisa en ?22. Un recipiente tiene 12 m de largo y sus extremos son tringulos invertidos que miden 3 m de altura y 3 m de base. Se vierte agua en el recipiente a razn de 2 m3/min Con qu rapdez aumneta el nivel del agua, cuando el agua tiene 1m de profundidad?23. Una mujer que trota con rapidez constante de 10 Km/h pasa por un punto P hacia el Norte. Diez minutos ms trade un hombre que trota a razn constante de 9 Km/h pasa por el mismo punto hacia el Este Cun rpido vara la distancia entre los trotadores veinte minutos despus de que el hombre pasa por P?24. Un faro se localiza en una pequea isla a 2 Km de una costa recta. El haz luminoso del faro gira a una velocidad constante de 6 grados por segundo Con qu rapidez va desplazndose el rayo de luz a lo largo de la costa en un punto que se encuentra a 3 Km del punto costero ms cercano al faro?25. Un aeroplano de 105 Kg de masa vuela en lnea recta, al tiempo en que se forma hielo en los bordes delanteros de sus alas a una razn constante de 30 Kg/h.a) Cul es la razn de cambio de la cantidad de movimiento del avn, si vuela a 800 Km/h?b) Cul es la razn de cambio de la cantidad de movimiento del avin cuando , si en ese instante su velocidad es de 750 Km/h y aumneta a razn de 20 Km/h?26. El volumen de una caja rectangular es . Si se sabe que cada lado aumenta a razn constante de 10 cm/min, encuentre la razn a la cual aumenta el volumen cuando 27. Una placa en forma de tringulo equiltero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razn constante de 2 cm/h Con qu rapidez crece el rea cuando cada lado mide 8 cm?28. Un bote navega hacia el acantilado vertical que se muestra en la figura Cmo estn relacionadas las razones de cambio de x, s y ?

29. La resistencia total en un circuito elctrico en paralelo que consta de dos resistores con resistencias R1 y R2 est dada por 1/R =1/R1+1/R2. Cada resistencia vara en el tiempo Cmo estn relacionadas sus razones de cambio?30. Un insecto va a lo largo de la grfica , en donde se miden en centmetros. Si la abscisa x vara a razn constante de 3 cm/min Cun rpido est variando la ordenada en el punto (2,13)?31. Una piedra soltada en un estanque tranquilo produce una onda circular. Si el radio de la onda aumenta a razn constante de 2 m/sa) Con qu rapidez aumenta el dimetro?b) Con qu rapidez crece la circunferencia?c) Cun rpidamente crece el rea cuando el radio es de 3m?d) Con qu rapidez aumenta el rea cuando su valor es 8 m2?

31. Un tanque de aceite en forma de cilindro circular de radio igual a 8m se est llenando segn una razn constante de 10 m3/min Con qu rapidez sube el nivel del aceite?

32. Cuando un depsito de agua cilndrico es de 40 m de dimetro se descarga, el nivel del agua disminuye a razn constante de 3/2 m/min Con qu rapidez est disminuyendo el volumen del agua?

33. Un abrevadero de 20 m de largo tiene sus extremos verticales en forma de tringulos equilteros. Si se le bombea agua a razn constante de 4 m3/min Con qu rapidez est subiendo el nivel del agua cuando est a 1 m de altura sobre el fondo?

34. Un abrevadero con extremos verticales en forma de trapecio tiene las dimensiones que se muestran en la figura. Si se le bombea agua a razn constante de m3/s Con qu rapidez est subiendo el nivel del agua cuando est a m sobre el fondo?

35. El agua escapa por la parte inferior del depsito cnico que se muestra en la figura, a razn constante de 1 m3/min Con qu rapidez vara el nivel del agua cuando su altura sobre el fondo es de 6 m? A qu razn cambia el radio del espejo de agua en ese instante? 36. Una persona de 5 pie de estatura se aleja de un poste de alumbrado de 20 pies de altura a razn constante de 3 pie/s

a) Con qu razn aumneta la longitud de la sombra de la persona?b) Cun rapidamente se aleja la punta de su sombra de la base del poste?

37. Una escalera de 15 pie se apoya sobre un muro de una casa. El pie de la escalera se serpara de la base del muro a razn constante de 2 pie/min. A qu razn se desliza la parte superior de la escalera cuando el muro de la misma est a 5 pie del muro?

38. Un avin que vuela paralelo al nivel del suelo a una velocidad constante de 600 Km/h, se aproxima a una estacin de radar. Si la altitud del avin es de 2 Km Con qu rapidez decrece la distancia entre el avin y la estacin cuando la distancia horizontal entre ellos es de 1,5 Km?

39. Un avin a una altitud de 4 Km pasa directamente sobre un telescopio de rastreo que se encuentra en tierra. Cuando el ngulo de elevacin es de 60, se observa que dicho ngulo decrece a razn de 30 por minuto. Cul es la velocidad del avin?

40. Un telescopio de rastreo, localizado a 1,25 Km del punto de lanzamiento de un cohete, sigue a ste, que asciende verticalmente. Cuando el ngulo de elevacin es de 60, dicho ngulo aumenta a razn de 3 por segundo. A qu velocidad se mueve el cohete en ese instante?

41. El volumen comprendido entre dos esferas concntricas se est ensanchando. El radio de la esfera exterior crece a razn constante de 2 m/h, mientras que el radio de la esfera interna decrece con rapidez constante de m/h A qu razn est variando el volumen cuando el radio exterior es de 3 m y el radio interior de 1 m?

42. Dos buques petroleros parten de la misma terminal flotante. Uno de ellos zarpa al medio da hacia el Este a un velocidad de 10 nudos. E l otro buque zarpa a la 1:00 pm hacia el norte a una velocidad de 15 nudos A qu razn est variando la distancia entre los dos barcos a las 2:00 pm?

43. A las 8:00 am un barco S1 debe estar a 20 Km al Norte de un barco S2. El barco S1 navega hacia el sur a una velocidad de 9 Km/h y el barco S2 navega hacia el Oeste a una velocidad de 12 Km/h. A qu razn vara la distancia entre los dos barcos a las 9:20 am?

44. La arena del reloj cnico que se muestra en la figura fluye de la mitad superior a la mitad inferior, a una razn constante de 4 cm3/s. Suponga que, a cualquier hora, la altura del cmulo inferior de arena es h y que tiene la forma de un cono truncado. Exprese la razn a la cual h aumenta en trminos de h.