CLCULO VECTORIAL APLICADO A LA INGENIERA CIVIL

En la ingeniera civil, una de las principales aplicaciones del clculo vectorial se encuentra en la rama del diseo de vas y carreteras, ms especficamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transicin y la curva como tal.

En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transicin, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se intentara explicar y hacer un especial nfasis en las curvas de transicin, es decir, con curvatura variable.Dentro de las aplicaciones del clculo vectorial a la ingeniera civil, es posible encontrar numerosos ejemplos en Latinoamrica, en especial en la parte geomtrica. A manera de ejemplo, se puede nombrar la optimizacin del rea agrcola en los andenes incas, donde se presenta claramente un ejemplo de curvas de contorno y de maximizacin del rea.Tambin se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construccin de caminos a travs de pasos de montaas, aqu se puede ver una clara influencia y utilizacin de los mnimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemticas son una creacin de la humanidad y por lo tanto sus usos estn completamente dirigidos al provecho de la humanidad.A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemtica en la civilizacin egipcia para la construccin de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispnicas utilizaron la geometra en gran cantidad por ejemplo en la construccin o creacin de los andenes incas o las pirmides mayas.En la realidad de nuestra cotidianidad las matemticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las ctedras donde se ensean las matemticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun as como en todo no se debe generalizar en ningn momento y hay numerosos ejemplos de educadores que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana a l.Como ejemplo, los estudiantes que se encuentran ubicados en las zonas rurales deben aprender sobre aplicaciones relativas a su realidad, como por ejemplo, aprender a medir la tierra o aproximar el volumen de troncos cortados. Estos ejemplos no deben ser exclusivos de localidades como estas sino que deben hacer parte de un ncleo general de aplicaciones que deben hacer parte de la enseanza de las matemticas en cualquier lugar del mundo.Las matemticas que son impartidas en Latinoamrica estn muy influenciadas por bibliografas extranjeras, alejando de esta manera al estudiante de la realidad que debera interesarle. Estos paradigmas se deben romper con el fin de que el estudiante pueda sentirse cada vez ms motivado hacia el estudio de las matemticas y que as pueda desempearse mucho mejor en las asignaturas correspondientes.Es muy comn encontrar en varios textos de enseanza de las matemticas, que los enunciados de la mayora de los ejercicios, hacen referencia a una realidad a veces muy lejana como naves espaciales o maximizacin de lucros en grandes empresas. Obviamente, los textos no se deben hacer a un lado e ignorar la revolucin cientfico-tecnolgica que ha tenido lugar en la raza humana, pero los temas que se deben tratar, deben enfrentar al estudiante con problemas de su propia realidad, y deben tratar temas desde los ms simples hasta los ms complejos.El clculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad. Dentro de los numerosos ejemplos del uso del clculo vectorial en Latinoamrica, podemos destacar los andenes incas, que fueron una serie de terrazas que sirvieron para mejorar considerablemente la agricultura de la cultura inca en pocas prehispnicas.La catedral de Maringa en Brasil y su forma cnica son otro gran ejemplo del uso del clculo y de la geometra en la realidad latinoamericana. Tambin podemos encontrar aplicaciones al clculo vectorial en las montaas, cumbres, lagos y en general en toda la parte de la orografa que sirvi de mucha ayuda a todas las civilizaciones para tomar decisiones crticas a la hora de construir sus creaciones.La aproximacin de los espejos de una baha nos ofrece otra gran muestra de aplicaciones del clculo vectorial.En las siguientes imgenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura en la vida real.

Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aqu se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseo tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se excedan los valores mximos planteados por la reglamentacin.

Las altas velocidades de los automviles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en estos trazados.

Construccin de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseo preliminar. En este diseo la curvatura juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al conductor.

Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio geomtrico que debi tener lugar durante su diseo y construccin.

En este caso se ve un claro ejemplo de curvatura en una carretera (esta es la carretera de Covadonga - mollepata ubicada en nuestra ciudad)

Esta curva es conocida como clotoide la cual es fundamental para el diseo de carreteras y sus aplicaciones

Clotoide, la curva que rige la seguridad en carreteras y ferrocarrilesLos primeros trazados de carreteras y vas frreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades ms altas, se produca una incmoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. Los ingenieros comenzaron a buscar una solucin, y la encontraron en las matemticas y la fsica. Imaginemos que se tiene quedisear una autova o una va frrea de alta velocidad. Seguro que se intentar que haya todas las rectas posibles, perotambin se tendr que hacer alguna curva. Y como la ms sencilla de todas es la circunferencia, lo ms fcil es ir empalmando tramos rectos conarcosde circunferencia. Algo parecido a unacinta transportadora.

Parece que as fueron los primeros trazadosy,como los primeros carros y trenes no iban a mucha velocidad, todo iba como la seda. Pero la cosa cambi cuando los vehculos fueron capaces de alcanzar velocidades mayores. Al entrar en la curva, en las uniones entre tramos, se notaba una sbitasacudida. As que los ingenieros comenzaron a estudiar qu pasaba y cmo se poda solucionar. La respuesta es fcil de entender y slo se necesita dos componentes. El primero viene de la geometra y es elradio de curvatura, un concepto bastante intuitivo.Para una circunferencia, el radio de curvatura es simplemente elradiode la circunferencia.Para una recta puedes pensar que sta es una circunferencia muy grande, de radio infinito. As el radio de curvatura de una recta ser infinito.El segundo componente viene de la fsica y es lafuerza centrfuga, cuyo significado es an ms intuitivo.Adems se sabe que la fuerza es "masa por aceleracin" y,simplificando un poco, la fuerza centrfuga resulta ser lo siguiente:F=mv2/rDondemes lamasa,ves lavelocidadyres el radio de curvatura.Por un lado tienes la masa y la velocidad, que en la frmula aparecen multiplicando. As que cuanto ms grandes sean, mayor ser la fuerza centrfuga. Lo cual tiene lgica; puesto que si se va ms deprisa, la fuerza centrfuga ser mayor, lo mismo que si se tiene mayor masa.Por otro lado se tiene el radio de curvatura, que en la frmula aparece dividiendo. As que cuanto ms grande sea, menor ser la fuerza centrfuga. Tiene lgica; en una recta el radio de curvatura es infinito, as que ("dividiendo entre infinito") en una recta la fuerza centrfuga es cero. Tambin se sabe que, a igual velocidad, la fuerza centrfuga es menor en una curva "ms abierta" (con mayor radio) que en otra "ms cerrada".Ahora veremos qu pasa en las uniones entre recta y circunferencia.En esos puntos el radio de curvaturarpasa de ser infinito a ser un nmero ms o menos pequeo (el radioRde la circunferencia). As que en el denominador de la frmula haba un descenso brusco y por eso se produca un aumento brusco de la fuerza centrfuga.Repasando la frmulaF=mv2/r se tiene:La masam, multiplicando. Disminuir sta requerira adelgazar el vehculo y sus ocupantes y es algo que difcilmente puede ocurrir.La velocidadv, multiplicando (adems al cuadrado). Se podra ir ms despacio, pero entonces se tardaras ms y eso es algo desfavorable.El radio de curvaturar, dividiendo. El de la recta es infinito, no se puede cambiar. Se podra aumentar el radio de la circunferencia, pero entonces (como en la imagen anterior) las rectas seran ms cortas y tampoco es favorable.Por lo tanto se tiene que introducir unacurva de transicinentre la recta y la circunferencia. Adems sera ptimo que, en esa transicin, el radio de curvaturarfuera disminuyendosuavementedesde el infinito de la recta hasta el radioRde la circunferencia.Segn la frmula, eso hara que la fuerza centrfuga cambiara de manera suave, en lugar de hacerlo bruscamente.

El radio de curvaturary la distanciadrecorrida son inversamente proporcionales. Eso significa que su producto siempre el mismo nmero.Justo esta propiedad es la que define a lacurva clotoide, donde su ecuacin es precisamentedr=C2(dondeCes una constante, que se pone al cuadrado para facilitar el proceso del dibujo).

Por eso en las carreteras y ferrocarriles las curvas suelen encadenar tramos de rectaclotoide circunferencia clotoide recta. De ese modola fuerza centrfuga va cambiando gradualmente y puedes girar el volante de forma progresiva, en vez de tener que hacerlo bruscamente.

Teniendo en cuenta la carretera Covadonga mollepata se podra calcular el radio de curvatura con datos suficientes asumidos adems de que es clara aplicacin de la mecnica vectorial en la ingeniera civil

A continuacin se mostraran los pasos para analizar el radio de curvatura en una carretera

1. Examinamos un ejemplo del mundo real relacionado con el radiode una curvatura (en este caso la carretera Covadonga - mollepata).Imaginamosque estamos conduciendo a travs de este camino curvo, forzndonos a tomar el volante en una posicin determinada. Si en el punto A del camino se mantuviera el volante en una posicin fija, el automvil viajara en crculo. Dicho crculo es la curvatura de la funcin en el punto A, y suradioes elradiode la curvatura.

2. Derivar la ecuacin delradiode una curvatura para una funcin f(x). Esta ecuacin debe derivarse con clculo diferencial y est dada por

p(x) = (1 + f '(x) ^2) ^ (3/2)/f ''(x)

Donde x es la coordenada x de un punto en la curva, f '(x) es la primeraderivadade f(x) y f '' (x) es la segundaderivadade f(x).

3. Determinar las restricciones para f(x). Debe ser diferenciable, y suderivadatambin debe ser diferenciable. Debido a que el denominador es f '' (x), esta funcin tambin debe ser diferente de cero.4. Calculamos elradiode la curvatura para una funcin especfica. Si f(x) = x^2, entonces f '(x) = 2x y f '' (x) = 2. Por lo tanto,

P(x) = (1 + f ' (x) ^2) ^ (3/2)/f '' (x) = (1 + (2x) ^2) ^ (3/2)/2

= (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2. Por lo tanto, elradiode la curvatura para la curva y = x^2

Est dado por P = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2.

5. Interpretamos la ecuacin P = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2. En el punto (0,0), p = (1 + 4x^2) ^ (3/2)/2 = (1 + 0)/2 = . Elradiode la curvatura de la funcin y = x^2 en el punto (0,0) es y su centro es (0,2).

De esta manera visualizando carreteras en la vida real se puede calcular el radio de curvatura que es parte del estudio en el clculo vectorial que se aprecia en el curso, adems teniendo esta vez en cuenta como se generan estas carreteras a partir de una clotoide.

Las integrales dobles, triples, circulares, teoremas de Stokes y dems tambin son parte de las aplicaciones que tiene el clculo vectorial en la ingeniera civil.El teorema de Stokes es una generalizacin de teorema fundamental del Clculo para varias variables y se aplica principalmente en Fsica, aparte de la Mecnica de Fluidos tambin se puede aplicar en el campo elctrico, que viene a ser parte, especialmente la mecnica de fluidos de nuestra carrera en s.

Otro claro ejemplo relacionado con lo anterior, imaginemos una superficie circular que puede ser claramente la curvatura de una carretera o en 3d para la elaboracin de una montaa rusa o las mismas carreteras en bajada y subida continua, entonces asumiendo datos sujetos a restricciones simples podemos verificar el teorema de Stokes en el clculo integral vectorial:

Si F = (x, y, z) y S es la superficie z = x + y, z 1.

Parametrizamos la superficie S1:X (u, v) = (u, v, 0), u + v 1Calculamos n:Xu= (1, 0,0)Xv= (0, 1,0)n = Xu Xv=E1-E2E3

100

010

n = (0, 0,1)n apunta hacia z > 0.Hallamos el rotF:

rot F =E1-E2E3

/x/y/z

xyz

rot F = (y/y - x/z,- y/x + z/z, x/x + z/y) = (1 - 0,-0 + 1,1 - 0)

rot F = (1, 1,1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

SCrot F.dS =S1rot F.dS =D(1, 1,1). (0, 0,1).du.dv =Ddu.dv

Pasando a sistema de coordenadas polares:u = r.cos v = r.sen |J| = r 0 r 10 2.

Ddu.dv =Dr.dr.d

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S1, es decir S:

C = (cos t, sin t, 1), 0 t 2.

Preparamos las partes de la integral:C = (-sin t, cos t, 0)F(C (t)) = (1, cos t, sin t)Planteamos la integral del primer miembro:

Como vemos el teorema de Stokes nos ayuda a calcular superficies en el espacio.Espacios que pueden variar en forma infinita.Como apreciamos el clculo vectorial es indispensable en la ingeniera civil ya que rige parte importante de la misma, centrndose ms en las aplicaciones en carreteras que por obvias razones son las que ms abundancia tiene en el campo de la construccin regido por el clculo vectorial.