cálculo vectorial

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  • UNIVERSIDADE DE LISBOA

    F A C U L D A D E D E A R Q U I T E C T U R A

    Complementos de

    Matemtica e Estatstica

    Clculo Vectorial

    SUSANA ROSADO

    JORGE MANUEL TAVARES RIBEIRO

    ANTNIO JOS VINAGRE

    2004, 2013

    FA - UL, LISBOA

  • Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

    No Plano: P (x1 ; x2) 2 dimenses Espao em R2

    No Espao: P (x1 ; x2 ; x3 ) 3 dimenses Espao em R3

    Generalizando: P (x1 ; x2 ; x3 ......... xn ) n dimenses Espao em Rn

    - Direco de uma recta:

    Duas ou mais rectas tm a mesma direco se so paralelas

    - Sentido de uma recta orientada: r

    Ao segmento de recta corresponde o

    segmento orientado de A para B AB

    A

    B

  • - Direco

    - Sentido

    - Comprimento (mdulo ou Norma)

    - Ponto de aplicao

    Vector um segmento orientado

    caracterizado por:

    - Vector:

    Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    r

    A

    B

    ABuAB

    A recta r

    orientada de A para B

    s A

    B

    BAvBA

    A recta s

    orientada de B para A

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • - Vectores Equipolentes

    Ao conjunto de vectores com a mesma DIRECO, o mesmo SENTIDO e o

    mesmo COMPRIMENTO, designam-se VECTORES EQUIPOLENTES.

    - Soma de um Ponto com um Vector

    Dados um ponto A e um vector aplicado a A. u

    BuA ABu

    Representa-se um Vector pela diferena entre os pontos EXTREMIDADE e ORIGEM

    Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    uAB

    Somando ao ponto A o vector , obtm-se o ponto B (extremidade do

    segmento orientado ).

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • - Soma de dois Vectores

    A soma de dois ou mais vectores um Vector com ORIGEM na origem do

    primeiro e EXTREMIDADE na extremidade do segundo.

    Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    A

    B

    u

    C

    v

    vu

    ACvuBCABvu

    Somando os vectores e e sendo e , vem: u v ABu BCv

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • - Produto de um Nmero Real (Escalar) por um Vector

    Conclui-se assim que:

    A multiplicao de um nmero real (escalar) por um vector, outro vector.

    1. Com a mesma DIRECO;

    2. Com o mesmo SENTIDO ou o contrrio, consoante o escalar positivo ou negativo e

    3. Cujo MDULO o produto do mdulo do escalar, pelo mdulo do vector. ukuk .

    Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    Se multiplicarmos o vector pelo escalar 3, obtm-se o vector u u3

    Se multiplicarmos o vector pelo escalar (- 2), obtm-se o vector u u2

    Se multiplicarmos o vector pelo escalar , obtm-se o vector u u2

    1

    2

    1

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • - Vector Simtrico

    Um vector Simtrico de um vector o vector , vector com a mesma

    DIRECO, o SENTIDO contrrio e o mesmo COMPRIMENTO (Mdulo ou

    Norma).

    u u

    Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    u u

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    - Diferena de dois vectores

    A diferena dos vectores e , o vector que se obtm somando ao

    vector , o simtrico do vector u

    u

    v

    v

    ADvuvu

    A

    B

    u

    C

    v

    vu

    v

    D

    vu

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • - Norma ou Mdulo de um Vector

    - Versor de um Vector

    um Vector com a mesma DIRECO e SENTIDO do vector dado e cujo

    Mdulo igual UNIDADE.

    O Mdulo de um vector , o COMPRIMENTO do segmento

    orientado . Sendo representa-se o mdulo por: AB ABu

    ABu

    ABu

    Sendo um vector, o Versor representa-se por, , e assim tem-se: u uvers

    u

    uuversuversuu .

    Vector Unitrio um vector cujo Mdulo igual unidade.

    Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Considere-se um Sistema de 3 eixos no espao, no necessariamente ortogonais

    (eixo dos xx ou das abcissas), (eixo dos yy ou das ordenadas), (eixo dos zz ou eixo das cotas)

    Clculo Vectorial Espao Tridimensional

    Sendo P um ponto no espao a 3 Dimenses, espao R3, projectando o ponto P sobre o plano

    (xoy) segundo a direco do eixo dos zz, obtm-se o ponto A. Pelo ponto A tiram-se

    paralelas aos eixos das abcissas e ordenadas e obtm-se os pontos B e C.

    a abcissa do ponto P.

    a ordenada do ponto P.

    a cota do ponto P.

    OB

    OC

    AP

    Coordenadas do ponto P (a,b,c)

    cAPbOCaOB ; ;

    A C

    B

    P

    O x

    y

    z

    C

    B

    A

    O x

    y

    z

    P (a,b,c)

    a

    b c

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Clculo Vectorial Espao Tridimensional

    - Vectores Colineares

    Dois vectores que tenham a mesma

    direco chamam-se COLINEARES.

    - Combinao Linear de Vectores

    Considerem-se n vectores aplicados em A e sejam k1, k2, kn, n escalares. nvvv ,..., 21

    vku

    C

    B

    A

    v

    Se existir um vector aplicado em A tal que:

    Diz-se que o vector uma COMBINAO LINEAR dos n vectores.

    u

    u

    nn vkvkvku .......2211

    u

    u

    nn vkvkvku 2211

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Clculo Vectorial Espao Tridimensional

    - Vectores Complanares

    Desde que dois vectores e no sejam colineares, qualquer vector se

    pode exprimir em e , isto , qualquer vector do plano uma

    COMBINAO LINEAR dos vectores e .

    u

    u

    u

    v

    v

    v

    w

    Nestas condies igual a soma de e multiplicados por escalares. w u v

    Vectores sobre o mesmo plano:

    so complanares

    no so colineares

    wvu ,,

    veu vkukw 21

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Clculo Vectorial Espao Tridimensional

    - Referenciais Cartesianos e Ortonormais

    21

    2 .. : eyexuR 3213 ... : ezeyexuR

    Qualquer vector do plano e do espao uma COMBINAO LINEAR dos vectores base

    multiplicados por escalares que so as coordenadas do ponto extremidade. 321 , , eee

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • O PRODUTO INTERNO de e representa-se por:

    Por definio tem-se ento: .

    u v

    0 , cos.. | vuvu

    n

    i

    iivuvuvu1

    | ou .

    Clculo Vectorial Produto Interno ou Produto Escalar de Vectores

    O PRODUTO INTERNO de dois vectores um escalar e igual ao produto dos mdulos dos

    dois vectores pelo co-seno do ngulo por eles formado.

    Num espao vectorial Real E est definido um Produto Interno,

    quando a cada par de vectores e pertencentes a E est

    associado um escalar com:

    u v

    v | u

    000.4

    00.3

    ||.2

    .1

    2121

    |

    u seu | u

    R, com vuvu v | uu

    u| v v | u

    212121

    - Interpretao geomtrica:

    A

    B

    C

    u

    v

    B

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Clculo Vectorial Produto Interno ou Produto Escalar de Vectores

    - Norma de um Vector:

    - Propriedades da Norma de um Vector :

    n real no negativo

    Vector unitrio , normado ou normalizado

    So vectores ortogonais ou perpendiculares

    uuuuu 2

    |

    u u se 1

    v e u vu se 0|

    R , . . )

    )

    00 0 0 )

    uuc

    MinkowskideouTriangulardedesigualdavuvub

    euseua

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial

  • Clculo Vectorial Distncia entre dois vectores

    - Distncia entre dois vectores :

    - Propriedades:

    vuvud ,

    w,vdu,vdw,ud) d

    u,vdv,uc) d

    u,ub) d

    vu se v,ua) d

    0

    0

    COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial