cálculo proposicional

Download Cálculo Proposicional

Post on 30-Dec-2015

23 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Cálculo Proposicional. INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES (REVALIDACIÓN). temario. El sistema MIU El sistema mg Sistemas formales La equivalencia La negación, discrepancia, y false Técnicas de demostración y principios La disyunción La conjunción - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Clculo Proposicional

Clculo ProposicionalINGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES(REVALIDACIN)1temarioEl sistema MIU El sistema mg Sistemas formales La equivalencia La negacin, discrepancia, y false Tcnicas de demostracin y principiosLa disyuncin La conjuncin Usando la Regla dorada Usando lemas La implicacin Prueba de teoremas en donde participa la implicacinLa Regla de Leibniz como axioma2CALCULO PROPOSICIONALEl clculo proposicional est orientado a la programacin, por lo cual provee herramientas para el manejo efectivo de frmulas lgicas de tamao considerable, con la finalidad de introducir un sistema para construir demostraciones que involucren expresiones de la lgica proposicional.3objetivoEl objetivo de un sistema formal consiste en explicitar un lenguaje a travs del cual se realizarn demostraciones y tambin definir las reglas para realizarlas. Esto permite tener una nocin muy precisa de lo que se entiende por una demostracin, como as tambin la posibilidad de precisar la sintaxis y la semntica.4El sistema MIUVamos a suponer que disponemos solamente de tres letras del alfabeto: M, I, U. La sucesin de estas letras o smbolos uno tras otro constituye una cadena. En toda cadena, las letras estn situadas en un orden establecido, por ejemplo las cadenas MI e IM son dos cadenas diferentes.Algunas de las cadenas que pueden formarse con los smbolos M, I y U son: MU UIM MUUMUU UIIMIUUIMMIIUMIIUM5reglasProponemos a continuacin un juego en donde el jugador tiene en su poder la cadena MI y mediante una serie de reglas precisas debe producir otras cadenas. Si bien las cadenas mencionadas arriba son todas cadenas legtimas (pues pueden construirse con los smbolos disponibles) an no pertenecen a la coleccin privada del jugador, ste slo dispone de MI, y slo a travs de las reglas que enunciaremos puede ampliar su coleccin. He aqu la primera regla:

Regla 1: Si se tiene una cadena cuya ltima letra es I, se le puede agregar una U al final.6Para enunciar la segunda regla se recurrir al concepto de variable, entendiendo que con la letra x no se amplia la cantidad de smbolos disponibles en el juego sino que se llamar x a una cadena determinada que s fue construida con los smbolos permitidos.Regla 2: Supongamos que se tiene la cadena Mx, entonces puede agregarse la cadena Mxx a la coleccin.Veamos unos ejemplos de la aplicacin de esta regla: Dado MIU se puede obtener MIUIU Dado MUM se puede obtener MUMUM Dado MU se puede obtener MUU7Observemos que esta regla no dice que MUU est en poder del jugador, sino que lo est si antes estuvo MU. Es decir, primero es necesario obtener MU para luego incorporar MUU.Regla 3: Si en una cadena de la coleccin aparece la secuencia III, puede elaborarse una nueva cadena sustituyendo III por U.Ejemplos: Dado UMIIIMU se puede construir UMUMU Dado MIIII se puede construir MIU o tambin MUI Dado IIMII no podemos aplicando esta regla construir nada, los smbolos III deben serconsecutivos Dado MIII se elabora MU8Regla 4: Si aparece UU en el interior de una cadena, est permitido eliminarlo y formar as otra cadena.

Dado UUU, se obtiene U Dado MUUUIII se obtiene MUIII9Esto es todo lo que hay que saber para obtener cadenas en la coleccin de cada jugador, las cadenas generadas mediante el empleo de las reglas mencionadas se llaman teoremas. El sentido del trmino teorema es aqu distinto al que es comn en matemtica, que llama de esa manera a las afirmaciones formuladas en lenguaje corriente cuya veracidad ha sido probada por medio de una demostracin rigurosa.En los sistemas formales, en cambio, no hay necesidad de considerar a los teoremas como afirmaciones, sino que stos son simplemente una cadena de smbolos y por otra parte, no son demostrados sino producidos, como si los elaborara una mquina de acuerdo a determinadas reglas predefinidas.10Cuando comenzamos este juego dijimos que MI es una cadena disponible para el jugador, en este sentido MI es entonces un teorema, pero en realidad no fue necesario aplicar ninguna de las reglas mencionadas para conseguirlo.Distinguimos entonces a los teoremas que estn disponibles desde el comienzo del juego llamndolos axiomas. Un sistema formal puede tener cero, uno, varios o infinitos axiomas. Todo sistema formal cuenta con reglas de derivacin de smbolos tales como las cuatro reglas del sistema MIU. Estas reglas son denominadas reglas de inferencia. Por ltimo el concepto que ilustraremos ahora es el de derivacin. Lo que sigue es una derivacin del sistema MIU:11(1) MI axioma

(2) MII de (1) y Regla 2

( (3) MIIII de (2) y Regla 2(4) MIIIIU de (3) y Regla 1(5) MUIU de (4) y Regla 3(6) MUIUUIU de (5) y Regla 2(6) MUIIU de (6) y Regla 412Una derivacin de un teorema es una demostracin explcita y paso a paso del modo enque se ha producido el mismo, de acuerdo a los axiomas y las reglas de inferencia del sistema formal. En el ejemplo anterior podemos decir que hemos probado MUIIU o bien que se ha derivado MUIIU dentro del sistema MIU. Por lo tanto MUIIU es un teorema del sistema MIU.13Vamos a plantear ahora un acertijo:Es MU un teorema del sistema MIU?

14El sistema mgPara ampliar la perspectiva sobre sistemas formales presentamos ahora otro sistema tambin presentado por Douglas R. Hofstadter en Gdel, Escher, Bach. El sistema mg cuenta con tressmbolos:m gEs decir las letras m y g y el guin.El sistema mg tiene una cantidad infinita de axiomas, en consecuencia vamos a definir los axiomas a travs de lo que se conoce como un esquema de axioma. Es decir, una especie de matriz que moldea todos los axiomas del sistema y de este modo pone a nuestra disposicin un procedimiento que permite determinar si una cadena dada de los smbolos m, g y constituye un axioma. Para esto recurrimos nuevamente al concepto de variable, y esta vez con x estaremos indicando una secuencia de guiones.15Definicin xmgx es un axioma, siempre que con x estemos representando una cadena de guiones.Por ejemplo la cadena mg es un axioma, mientras que la cadena xmgx no es un axioma puesto que x no pertenece a los smbolos disponibles en el sistema mg.El sistema mg tiene solamente una regla de inferencia.

16Regla 1: Si x, y y z representan cadenas de guiones y xmygz es un teorema entonces tambin es un teorema xmygz.Por ejemplo: si x vale , y vale y z vale , la regla nos dice que:Si mg es un teorema, entonces mg es un teorema.Tal como ocurre siempre con las reglas de inferencia, sta establece una vinculacin entre la teoremidad de ambas cadenas, pero no afirma la teoremidad de ninguna de ellas por s misma. Pero supongamos que se nos presenta el problema:Ejemplo: Determinar si mg es un teorema. Solucin Primero, observemos que no se trata de un axioma, pues el esquema establece que xmgx es un axioma para x cadena de guiones, y de acuerdo a la forma de la cadena mg esto no puede ocurrir. Ahora analicemos si fue posible obtener mg usando la regla de inferencia 1, pero en ese caso x vale , y vale y z no representa ningn guin, y es claro que ningn axioma es de la forma xmyg en el sistema mg. Con lo cual la cadena mg no es un teorema.17Observemos que esta regla slo produce cadenas ms largas, con lo cual es posible establecer cules cadenas ms cortas estn en condiciones de ser antecesoras de la cadena en cuestin. De este modo el problema se reduce a determinar si alguna de estas nuevas cadenas ms breves es un teorema y cada una de estas ltimas puede ser sometida al mismo proceso, lo peor que puede ocurrir es la proliferacin de cadenas ms breves. Si se contina con este proceso se lograr llegar muy cerca de la fuente de todos los teoremas: el esquema de axioma, entonces o bien se descubre que una de las cadenas cortas aparecidas es un axioma o bien se llega a la conclusin que ninguna de las cadenas ms reducidas es un axioma y tampoco permiten ser reducidas de acuerdo a la regla. Es decir, el sistema mg cuenta con un proceso de decisin sobre la teoremidad de una cadena dada. Un sistema formal que nos indique cmo elaborar teoremas ms prolongados a partir de otros ms breves, pero nunca lo inverso, es seguro que incluye un proceso de decisin aplicable a sus teoremas.18

Funcin Inyectiva

19Una manera sencilla de entenderlo seria:

20Una funcin f : XY es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente una implicacin directa de lo anterior, es que en una funcin biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto tambin se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.

Si f es una funcin biyectiva, entonces su funcin inversa f -1 existe y tambin es biyectiva.EjemploLa funcin:f(x) = 6x + 9es biyectiva.Luego, su inversa:f-1(y)= y-9 6tambin lo es.

21FuncionesInyectivaNo inyectivaSobreyectivaNo sobreyectiva

22Supongamos ahora que realizamos una biyeccin entre palabras y smbolos del sistema mg:m msg igual a uno dos tresetc.esta correspondencia entre palabra y smbolo, tiene un nombre: interpretacin.La cadena mg es un teorema de acuerdo a lo que vimos en el problema 2, y de acuerdo a la biyeccin dada en la tabla de arriba, podra enunciarse diciendo dos ms tres es igual a cinco, en tanto que la cadena analizada en el problema 1 no es un teorema y puede enunciarse dos ms tres no es igual a uno.23En la tabla 3.1 vimos una interpretacin de los smbolos del sistema mg, que constituye un nivel inferior de nuestra biyeccin, por otra parte, en un nivel ms alto se sita la correspondencia entre proposiciones verdaderas y teoremas. Pero debe tenerse en cuenta que esta correspondencia de nivel superior puede no ser advertida si no se establece previamente una interpretacin de los smbolos. Sera ms preciso entonces hablar de correspondencia entre proposiciones verdaderas y