UNIVERSIDAD FERMÍN TORO.VICE-RECTORADO ACADEMICO.

FACULTAD DE INGENIERIA.ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES

ESTRUCTURA DISCRETA

Bachiller: Luis TorresC.I: 25.138.740

Prof.: Domingo Méndez Sección: saia A

Hay tantas definiciones y contenidos para denotar o explicar lo que son las proposiciones, pero es tan simple como decir que es la afirmación o la negación de algo. En esta primera unidad utilizaremos las proposiciones para varios conceptos, y le asignáremos un valor de “1” si es Verdadero y “0” si es Falso.

V=1

F=0

Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL.

PROPOSICIONES

Operaciones Veritativas

Los Conectivos u Operadores Lógicos nos permiten a través de símbolos o conectivos realizar varias acciones para las proposiciones, se le denominara proposiciones simples si no tiene operadores lógicos, y si los tiene se denominara como molecular o compuesta. En la siguiente tabla veremos esos símbolos o conectivos.

Conectiva Expresión en ellenguaje natural

Ejemplo Simbología

Negación No No está lloviendo. ~Conjunción y Está lloviendo y está

nublado.^

Disyunción o Está lloviendo o está soleado.

v

Condicional Si… entonces Si está soleado, entonces es de día.

→

Bicondicional Si y solo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.

↔

Conectivos lógicos Negación. Si la proposición es

verdadera su negación es falsa, y si la proposición es falsa, su negación será verdadera. Su símbolo es “~”.

La conjunción de dos proposiciones es una proposición compuesta que resulta verdadera cuando lo son las dos proposiciones simples que la constituyen, y falsa en caso contrario, es decir, cuando alguna de las dos es falsa.

Disyunción.Se dice que el término de enlace “^” (o) tiene dos sentidos:

Incluyente: En el sentido incluyente hay una tercera posibilidad de que se cumplan las dos condiciones. Su símbolo es “v”.

Excluyente: En este sentido solamente puede ocurrir una o la otra de las posibilidades. Su símbolo es “v”.

Conectivos lógicos

Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→”. La proposición que aparece entre las palabras “Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.

La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así: “ ”.

Tablas de verdad de las formas proposicionales

Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposiciones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:

Contradicción. aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Tablas de verdad de las formas proposicionales

Tautologías. aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Leyes del Algebra de Proposiciones 1. Leyes Idempotentes

1.1. pÚ p º p 1.2. pÙ p º p

2. Leyes Asociativas 2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) 2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)

3. Leyes Conmutativas

3.1. P Ú q º q Ú p 3.2. P Ù q º q Ù p

4. Leyes Distributivas 4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r) 4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)

5. Leyes de Identidad 5.1. P Ú F º P 5.2. P Ù F º F5.3. P Ú V º V 5.4. P Ù V º P

6. Leyes de Complementación

6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido) 6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)6.3. ~ ~ P º P (doble negación) 6.4. ~ V º F, ~ F º V

7. Leyes De Morgan 7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q 7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q

Equivalencia e Implicación lógica Equivalencias lógicas.

Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Se denota: P Ξ Q o P ↔ Q Se lee: “P es equivalente a Q” o viceversa.

La implicación en la lógica

indica que tiene que ocurrir un evento intermedio para llegar a otro evento final. No necesariamente debe ocurrir en ambos sentidos, para eso es la doble implicación, se denota con una flecha

Ejemplo de una implicación: En el béisbol.

Anotar una carrera implica que pases por tercera base.

Pero. Pasar por tercera base no implica que anotes una carrera. Esto es lo que quiero decir, que no es necesario que sea en ambos sentidos.

Métodos de Demostración Demostración Directa

En la demostración directa debemos probar una implicación:

P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Demostración Indirecta

Dentro de este método veremos dos formas de demostración:

Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p→C nos proporciona la Ley del contrarrecíproco: P →C = ~ C → ~ P.

Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que p Þ C, se prueba que ~ C Þ ~ P.

Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p Þ q es tautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~ q) Þ (r ^ ~ r) siendo r una proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

Circuitos Lógicos

Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:

Estas representaciones nos servirán de base para la correspondencia entre los circuitos y las proposiciones.