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cALcuLo PARA INGENIERoS

Todos los derechos reservados. Queda prohibida, salvo excepci6n prevista en la ley, cualquierforma de reproducci6rg distribuci6n, comunicaci6n prlbtica y hansforriraci6n de esta obra sin cJntarcon la autorizaci6n de los autores y/o editores. La infracci6n de los derechos mencionados puedeser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual.

@ Daniel Franco Lei+ Esther Gil Cid, Luis Manuel Ruiz Virumbrales

O EDITORIAL SANZ Y TORRE9 S. L.c/ Pinos Alta,49 - 28029 Madrid8902400 415 -913L45599www.sanzytolTes.comlibreria@sanzytorres.comwww.sanA/torres.com/ editorialeditorial@sanzytorres.com

ISBN: 978-84 -92948 -25 -gDep6sito legal: M-7537 4-2010

Imagen de portada: ]ohann Carl FriedrichGaussComposici6n:Ana Diaz Hemdndez, Daniel Franco Leis, Esther Gil cid, Elvira Hern6nd ez GarcIaImpresi6n:Edigrafos, S. A. c/ Yolta,2, pol. Ind. San Marcos, 2g906 Getafe (Madrid)Encuademaci6n:Felipe Mdndez,S' A' cif Del Carb6n, 6 y 8, Pol. Ind. SanJos6 de Valderas ZZ}g:rll,egan6s (Madrid)

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-=-.,-\

VI INDICE GENERAL

2.4.2. Mdtodo de Newton2.4.3. puntos fijos de funciones

2.5. Teoremas de Rolle y del valor medio

84

88

92

92

93

94

96

98

101

2.5.1.. Motivaci6n2.5.2. Teorema de Rolle2.5.3. Teorema del valor medio2.5.4. Funcionesmon6tonas

Ej ercicios de Autoevaluaci6n

Aplicaciones de la derivada

Ej ercicios de Autoevaluaci6n

4. Integral de Riemann4.1. Definici6n de integral de Riemann

4.1.1. Motivaci6n4.1.2. Integral definida4.1,.3. Integral indefinida

4.2. Teoremas fundamentales .

4.2.1. Motivaci6n4.2.2. Teoremas fundamentales del Ciilculo

3.1. El Teorema de Taylor3.1.1. Motivaci6n3.7.2. Derivadas sucesivas3.1.3. El Teorema de Taylor

3.2. Aplicaciones a series y sucesiones de fuciones3-2.'J,. Motivaci6n3.2.2. Derivaci6n de sucesiones de funciones3.2.9. Funciones analiticas

3.3. Interpolaci6n polin6mica .

3.3.1. Motivaci6n3:3.2. Interpolaci6n

3.4. Optimizaci6n. Extremos relativos y absolutos3.4.1,. Motivaci6n3.4.2. Extremos absolutos3.4.3. Extremos relativos

3.5. Concavidad y convexidad .

3.5.1. Motivaci6n

,r^_-,r l_t , Concavidad y convexidad

102/L02102105

111

171.

111

115

r171.77

732

1,32

133

737

118

723t23123128

139

740140

740I45146146

746

iuolcE GENERAL vrr

.[.3. Cdlculo de integrales4.3.1. Motivaci6n

&{1-3.2. Algunas t6cnicas de integraci6nIntegraci6n num6rica4.4.1. Motivaci6n1-4.2. Lrtegraci6nnum6rica

e5- Paso al limite en integraci6n

150

150

150

1.67

1.67

L68175

175

187

188

188

188

194198

198

199

204214

21.4

214219

221

221.

221

224

224

23L232

232232

240

4.5.1. Motivaci6n

S, Funciones de varias variables5-1- El espacio IR' .

5.1.1. Motivaci6n5.L.2. El espacio IR". Primeras definiciones5.1.3. Coordenadas polares, cilindricas y esf6ricas

52 Funciones de varias variables5-2.7. Motivaci6n5.2.2. Funci6n de varias variables5.2.3. Limite de una funci6n en un punto. Continuidad

5-3. Derivada parcial. Gradiente5.3.1. Motivaci6n5.3.2. Derivada parcial5.3.3. GradienteDerivadas de orden superior5.4.1.. Motivaci6n5.4.2. Derivadas de orden superiorDerivada direccional5.5.1. Motivaci6n

6. Aplicaciones de la diferencial6.1. Diferencial de una funci6n

6.1..1.. Motivaci6n6.1..2. Funci6n diferenciable. Plano tangente

6.2. Regla de la cadena. Teorema del valor medio

1.5.2. Integrales impropias 175.1.5.3. Sucesiones funcionales e integrabilidad . 183

Hiercicios de Autoevaluaci6n 185

l-{-

5.5.

5.5.2. Definici6n de derivada direccional . . . 225Eiercicios de Autoevaluaci6n 229

vrrr ixucr GENERAL

6.2.1. Motivaci6ir6.2.2. Regla de la cadena

6.2.3. Teorema del valor medio6.3. Teorema de la funci6n implicita

6.3.1,. Motivaci6n6.3.2. Teorema de la funci6n implicita

6.4. Valores extremos6.4;1". Motivaci6n . .l . .

6.4.2. Extremos absolutos. Extremos relativos6.5. Extremoscondicionados . . . i

6.5.1. Motivaci6n6.5.2. M6todo de los multiplicadores de Lagrange

Ei ercicios de Autoevaluaci6n

Soluciones eiercicios de autoevaluaci6n

indice de Figuras

indice Alfab6tico

240240246250250250258258259

269

269

270

278

28L

289

En este capitulo comienza su estudio delcdlculo inJinitesimal. En esenciaesta rama de las matemdticas obtiene informaci6n realizando un procesoconocido como paso aI limite. Para poder realizar este proceso es necesariotrabajar con los nfmeros reales puesto que los racionales no gozan de pro-piedades suficientes al no verificar el Axioma del supremo que estudiare-mos muy pronto.

El siguiente diagrama describe esquem6ticamente el capitulo. Como ve,despu6s de estudiar los nfmeros reales, introduciremos los conceptos desucesi6n y serie de nrimeros reales. Ambos conceptos est6n estrechamenterelacionados y nos llevar6n a la idea de convergencia y suma infinita. Acontinuaci6n estudiaremos las funciones y veremos que es posible realizarpasos al limites al acercarnos tanto como queramos a un punto o al infini-to. A partir del limite en un punto llegaremos al concepto de continuidad.Finalmente, generalizaremos los conceptos de sucesi6n y serie de nrimerosa sucesi6n y serie de funciones viendo c6mo podemos definir dos tipos deconvergencia y sus propiedades.

11

12 Cnriruro 1 / El paso al lfmite

Curso 0, Se encuen-tra en la piigina:http://ocw.innova. uned.es/matematicas-industriales/

1.1. El espacio R

1.1".1. Motivaci6n

Introducci6n

Nuestro primer contacto con el cdlculo infinitesimal ser6 a trav6s de los

ntimeros reales. No es casualidad. Los nfmeros reales son los adecuados

para medir magnitudes del mundo real y Por lo tanto forman la base so-

bre la que trabajaremos. Aunque no vamos a construir el conjunto de los

nfmeros reales de forma rigurosa, presentaremos algunas de las propieda-

des que poseen y que los diferencian de los nrimeros racionales.

Orientaciones

Este tema deberia ser de rePaso patala mayoria de los lectores. Si no

puede seguirlo necesita mejorar su PreParaci6n matemdtica, por ejemplo,

consultando el Curso 0 de la UNED.

Obietivos

Al finalizar esta parte del libro entender6 la necesidad de considerar

nrimeros reales y algunas de las propiedades m6s importantes que verifi-

can. Prestaremos especial atenci6n al Axioma del supremo Porque eS umpieza clave para el desarrollo del cdlculo infinitesimal. Pero por ejemplo,

tambi6n veremos c6mo el valor absoluto permite medir distancias y definirintervalos.

1,,L.2. Los nrimeros reales

Los nfmeros naturales, N : {7,2,3,...}, sirven para contar; los nGmeros enteros, Z: {...,-2 - 1,0,2,...}, permiten realizar operacionee

con nrimeros naturales en las que se pueda quedar a deber, es decir, resta$

los nrimeros racionales, Q : {oa t P,Q € Z, q I 0}, abren el camino

de las proporciones. Utilizando los nfmeros anteriores podemos describfo

multitud de fen6menos naturales y de la vida cotidiana. Sin embargo, yu

hace mucho tiempo que los cientlficos observaron que eran necesarios mfunfmeros. Veamos un ejemplo. Consideremos el tridngulo de la Figura l-L

IF

1.1EIespacio IR. 13

Figura 1".1: Triiingulo rect6ngulo de base y altura 1.

Aplicando el Teorema de Pit6goras obtenemos que la hipotenusa de ese

tri6ngulo verifica

h2:12 +L2.

Por lo tanto,la longitud de la hipotenusa del tridngulo es h : /2. Noes dificil demostrar que tal longitud no es un nfmero racional y por 1o

tanto es un ejemplo de magnitud real que no puede ser descrita con losconjuntos de nfmeros N, Z o Q. Podriamos construir un nuevo conjuntode nrimeros que incluyese a las raices, cuadradas o de orden u,tperior ({2,{2,...), de nrimeros racionales. Pero pronto veriamos que nos siguen fal-tando ntimeros, puesto qlrer,la relaci6n universal entre la longitud de unacircunferencia y su didmetro, no perteneceria a ese nuevo conjunto.

El conjunto que estamos buscando es el conjunto de nfmeros realesque denotaremos por IR. y al que pertenecen lZ y

" . Los nrimeros racionales

son un subconjunto propio de IR con Io cual tenemos la siguiente cadena deinclusiones

NcZcQclR.

Adem6s, el complementario de Q en IR, es decir, el conjunto formadopor los ntimeros de IR que no son racionales, se denota por II y estd formadopor los llamados nfmeros irracionales.

Belleza matem6tica. Siest6 interesado puede en-contrar la prueba de lairracionalidad de vD en el li-bro Apologia de un Matumrtilcode G.H. Hardy, en dondeaparece como ejemplo debelleza matem6tica.

La construcci6n rigurosade R queda fuera de losobjetivos de este curso. Sinembargo, debe saber queesa construcci6n estd es-

trechamente ligada al cdlculoinfinitesimal puesto que se

puede realizar completandoQ con los limites de ciertassucesiones de nfmerosracionales.

L4 Clpiruro 1 / El paso al limite

Maxima: $ se escribe "3/5";el nf mero ?T' se escribe"%opi"; el n0mero e se es-cribe "7oe"; tE se escribe"sqrt(2)"; 32 se escribe "3^2";In 2 se escribe "log(2)".

Los nfmeros reales se pueden representar grdficamente como los pun-tos de una recta. A esa recta se la llama recta real o recta de los nfmerosreales.

-t -tn2 rt eiTI o | | e | | o I o lo

-3-2-70123

Figura 1.2: Recta real con algunos elementos representados.

Operaciones

En IR se pueden definir las mismas operaciones que ya utilizdbamoscon los nrimeros racionales y que le daban a estos riltimos una estructuraalgebraica, es decir,las operaciones internas de suma y producto. Con esasdos operaciones IR tiene la misma estructura que Q.

Por otro lado, dados dos elementos r, g pertenecientes a IR tambi6n esposible ordenarlos. Intuitivamente r serd menor o igual que g (escribiremosr < A) si la representaci6n de r en la recta real estd a la izquierda de la de

A o r : A.De forma similar r serd menor queA (escribiremos r < gr) sila representaci6n de r en la recta real est6 a la izquierda de la de g. Comoes habitual, llamaremos nfmeros negativos a los que son menores que 0 ypositivos a los que son mayores.

Elnnnnro 1.1. A la vista de la Figura1,.2 2son correctas las siguientes de-sigualdades e<T) L1e, -ln2<-$Z

La primera y la segunda son correctas puesto que e estd a la izquierdade n y a la derecha de 1. La tercera es incorrecta puesto que - ln 2 no estd ala izquierda de -t. r

El siguiente resultado establece las propiedades del orden que acabamosde introducir.

I

1.1 El espacio R l

E;rnnrro L.2. Utllizando las propiedades anteriores mostremos qtrc r I yjunto con z I ut implica r I z I y + w.

Sumando z en primera desigualdad y utilizando la relaci6n del ordencon la suma resulta r I z 4 lJ + z.Sumando 3l en la segunda desigualdadresulta z -fy 1w I z. Ahora, puesto queU I z : z *?lpor serla suma com-mutativa, podemos utllizar la propiedad transitiva para obtener la relaci6nbuscadarlzl7+uD. r

Valor absoluto

Por lo tanto, el valor absoluto de un nrimero real es un nfmero positivosiempre que el nfmero no sea 0. Griificamente, el valor absoluto de r se

corresponde con la distancia entre ese nfmero r y elO en la recta real. Ex-tendiendo este hecho llegamos al concepto de distanciapara dos nfmerosreales cualesquiera.

Entre las propiedades del valor absoluto caben destacar las siguientes.

Maxima: el valor absoluto r

2, 2j , se escribe "abs(2)'.

Distanciaentrerei

*1, - gl,

ra

16 Capfruro 1 / El paso al limite

Contraeiemplo. Si queremosdemostrar que una afirma-ci6n no es cierta en general,es suficiente encontrar un ca-so en el que no se cumpla, es

decir, un contraejemplo.

Infinito. El simbolo oo se leeinfinito y si tiene un signomenos delante menos infinito.

E;rnapro 1.3. Razonemos la veracidad o falsedad de la siguiente afirma-ci6n: r < s implica l"l < lal.

La afirmaci6n indica que si un nfmero es menor que otro su distanciaal cero es menor que la distancia al cero del mayor, lo cual, si tenemos encuenta a los nfmeros negativos, parece falso.

Para demostrar la falsedad es suficiente encontrar un par de valorespara los que no se cumpla. Si por ejemplo tomamos r : -2 e A : I resultaque-2 < 1,pero l-21:2 > 1: l1l.

Animamos al lector a que represente los valores anteriores y otros en Iarecta real y observe lo que ocurre al considerar su valor absoluto. r

Intervalos

Los intervalos son los subconjuntos de la recta real formados por unasora pieza. Por lo tanto, intuitivamente, los segmentos de la recta real y lassemirrectas son intervalos.

A partir de a y b nfmeros reales con o, < b, rrtilizando la relaci6n de or-den, podemos definir los siguientes intervalos que coinciden con distintostipos de segmentos entre a y b:

(a,b) : {r e IR : a 1r l-b} (Intervalo abierto),

la,b) :{z e IR : a I r I b} (Intervalocerrado),

la,b): {re IR:alrq[], (a,bl:{re IR:a<r<b}.

Los nfmeros o y b reciben el nombre de extremos del intervalo.Por otro lado, a partir de un ntimero rear a podemos definir los siguien-

tes intervalos que coihciden con semirrectas que parten de a:

(o, -) : {r e IR : o < r} (Intervalo abierto),

lI

I

F

1.1 El espacio lR. W

[o, *) : {r e IR. : a ( r} (Intervalo cerrado),

[-oo, r) : {r e lR. : r < o} (Intervalo abierto),

(--, o] : {r € IR : z < a} (Intervalo cerrado).

Grdficamente los intervalos se representan mediante par6ntesis y cor-

chetes sobre la recta real. En la Figura 1.3 aparecen rePresentados los inter-valos (-f , - In2) y (e,r).

Figura 1.3: Intervalos (-t, - ln 2) y (e,rl'

Para los intervalos definidos a partir de dos ntimeros reales, a y b con

a l b,podemos calcular el punto medio del intervalo, que es

a*b2

A este punto medio tambi6n se Ie llama centro del intervalo y a la distancia

desde 6l a cualquier extremo del intervalo se conoce como radio del inter-

valo y su valor "t lg#. si damos Ia vuelta al procedimiento que hemos

seguido para definir el centro y el radio podremos definir intervalos dados

su punto medio c y su radio r siendo r ) 0:

("- r,c*r), ("-r,clr], l"-r,c1-r), l"-r,c*r].Puesto que lr - cl es la distancia entre el punto r y eI punto c/ no es

dificit comprobar que los intervalos cerrados y abiertos con centro c y radio

r pueden describirse utilizando el valor absoluto del siguiente modo:

("-r,c*r) : {r e IR : lr-cl < r} y lc-r,clrl: {r e IR : lr -cl 3r}.Eynvrruo 1.4. Dado el intervalo abierto (1,4) calculemos su centro, radio ydescribdmoslo utilizando el valor absoluto.

Elcentro delintervalo (1,4) esc: +:9 ytnradio r : 14- tl:8.Por lo tanto, utilizando el valor absoluto tenemos que

(r.4\:1".m'l 51 3l, r (-rl'zJI

Intervalos degeneradm.Tambi6n son inten'alcla,al: {o},(o,"):0f(-oo, oo) : ng.

Radio y centro de un inten'alo (o, b)

radio<+

L:rtervalo dado su centro c yradio r > 0

c-r c* r

18 Cepirurol / El al l(mite

Eyrvrnro 1.5. Los puntos quq se encuentran a distancia menor o igual quefr aA punto -1 forman un intervalo. Calcul6moslo.

Recordando que la distancia se define a partir del valor absoluto tenl-mos que los puntos que se encuentran a distancia menor o igual que rt detpunto -1 son los pertenecientes a

{rem:lr-(-1)l .3}.[ ' ' ''-10J'Por lo tanto, el conjunto coincide con el intervalo cerrado de centro -1 yradio ft,es decir,

I

Conjuntos acotados. Axioma del supremo

Al final de este apartado descubriremos la propiedad mds importantede los nfmeros reales frente a los racionales. pero para llegar a ella necesi-tamos algunas definiciones.

[-'- rt,-,. +] : [-]; -*]

Eynvrnro 1.5. Mostremos que el ndmero rt "s

una cota superior para lossubconjuntos

A:{reQ:22<7} y B:{reR:12<7}.Efectivamente, puesto que tanto los elementos de A como los de B veri-

flcan 12 1 7, se tiene que l"l < {f ,luego r < /7. rEn el ejemplo anterior podemos observar qrc \n / A,porque est6 for-

mado por nrimeros racionales, pero rt e g.

!

-I

I

Claramente, dado un nfmero c que es una cota superior para un sub-conjunto A, cualquier otro nfmero mayor que c tambi6n es una cota su-perior. Por lo tanto, si hay una cota superioq, entonces hay infinitas. pero,no para todos los subconjuntos de nrimeros reales podremos encontrar unacota superior.

Eluunro L.7. Mostremos que N c IR. no tiene cotas superiores.

Razonemos por reducci6n al absurdo. supongamos que N si tiene cotassuperiores y tratemos de llegar a una contradicci6n. Si c fuese una cota su-perior para N se tendria n I cpara todo n € N lo que resulta imposible.Porque si existiese esa cota superior,la podriamos escribir en formato deci-mal y tomar su parte entera que seria un nfmero natural. sumando 2 a esenrimero natural obtendriamos otro numero natural mds grande que la cotasuperior lo que representa una contradicci6n. r

Daremos un nombre a los conjuntos que tienen la propiedad de poseeral menos una cota superior.

De forma aniiloga a 1o anterior introducimos las siguientes definiciones.

Reducci6n al absurdo. Siqueremos demostrar que al-go no puede ocurrir podemos suponer que ocr[Te 1-

buscar una contradicci6n quenos indique que la premisade partida era falsa.

Tambi6n daremos nombre a los conjuntos que tienen cotas superiores einferiores.

EyEuno 1.8. Estudiemos la acotaci6n de N c IR.

' Cluru-"nte 0 es una cota inferior para N, por lo que N est6 acotadoinferiormente. Pero no superiormente como vimos en el Ejempro1..7.por lotanto, N no est6 acotado. I

20 Clpiruro 1 / El paso al limite

EJEMPLo 1.9. Estudiemos la acotaci6n del intervalo [n,3e2].

El intervalo [n, 3e2] es un conjunto acotado Porque fl-es una cota inferior

y 3e2 es una cota superior. r

Tal y como hemos visto, si conocemos una cota superior para un con-

junto, podemos encontrar un ntimero infinito de cotas superiores, todas

ellas mayores que la conocida. Luego si conoci6semos la cota superior mds

pequefla conoceriamos todas las cotas superiores. Llamaremos supremo de

A ala menor de las cotas superiores de A, o con mds precisi6n'

De forma similar, llamaremos infimo de A a la mayor de las cotas infe-

riores de A.

De la propia definici6n se deduce que el supremo o el infimo de un

conjunto ,4. si existen serdn rinicos. Para comprobarlo suPonga que existen

dos nrimeros distintos que son supremo de un cierto conjunto A y busque

una contradicci6n. Pero cuidado, no todos los conjuntos tienen supremo

y/o infimo. Ve6mos unos ejemplos.

E;urrpro 1.10. Los intervalos (-1,1), (-1,1], [-1,1) y [-1,1] tienen como

supremo 1 y como infimo -1. rEIEMPIo 1.1-L. Para A: {r e Q: ,2 < 7} severifica inf A: -tf;VsupA:\/7. :

!t

I

1.L Elespacio IR 2'1.

ElnuPro 1.L2. Los nrimeros naturales verifican inf N : 1, sin embargo,sup N no existe. Por otro lado, el conjunto de los nfmeros enteros Z noposee ni supremo ni infimo. r

E1nunro1.13. Elconjunto A: {r € Q: r <7} notieneinfimo,perosupA:7. r

O dicho de un modo mds directo: el supremo siempre existe para un sub-

conjunto no vacio de ndmeros reales acotado superiormente. (Aqui, como en los contratos,

la letrapequefla tambi6n cuenta).

El Axioma del supremo es la propiedad mds importante de los nrimerosreales anunciada al principio de la secci6n. Es muy probable que el lec-

tor se haya quedado decepcionado y dude de la importancia del Axiomadel supremo debido a su sencillez. Tal vez esperaba algo parecido a: losnfmeros reales tienen la propiedad de pasar de 0 a 100 en menos de tressegundos y ctuzar el Atliintico a nado a diario. Bueno, no estaria mal. Pero

recordemos que estamos hablando de nrimeros, y pese a que puede pareceruna propiedad fdcil de cumplir no 1o es: ninguno de los conjuntos N, Z, Qo II la cumplen sin ayuda de IR.. Esta riltima afirmaci6n necesita ser matiza-da. Lo que, por ejemplo Q no cumple, es que dado el subconjunto acotadosuperiormente A : {r € Q ' "a

< 7} no es posible encontrar un nfmeroracional que sea sup,4, o sea, que pese a existir infinitas cotas superioresracionales no existe la mds pequefla de todas ellas en Q.

Los conjuntos acotados inferiormente verifican una propiedad an6logaal Axioma del supremo. En lugar de repetir uno de los dos enunciadosdados antes presentaremos uno equivalente y m6s corto.

El Axioma del supremoes clave para demostrarmuchos de los resultadosque aparecerdn en las sec-

ciones y capitulos siguientes,aunque debido a que omi-tiremos la mayoria de lasdemostraciones el lector nopodril apreciarlo.

Esto es, si A est6 acotado inferiormente, entonces inf A es un nrimeroreal y por lo tanto existe.

22 Cnpfruro 1 / El paso al lfmite

1..2. Sucesiones

1.2.1. Motivaci6n

Introducci6n

En esta parte del texto comprobaremos c6mo las matemdticas permitena seres finitos como nosotros manejar, comprender y manipular procesosinfinitos. Las sucesiones serdn las protagonistas de esta segunda parte de

la secci6n y su convergencia un concepto muy importante puesto que su

adecuada comprensi6n facilitar6 al lector eI seguimiento de las pr6ximassecciones y capitulos.

Orientaciones

Para dominar el c6lculo de limites es necesario hacer muchos ejercicios.

Aqui encontrard algunos ejemplos pero sin duda deberd complementar suformaci6n realizando otros muchos.

Obietivos

Tras el estudio del texto, comprenderd los conceptos de sucesi6n, suce-

si6n acotada, sucesi6n mon6tona y, muy especialmente, sucesi6n conver-gente. Ademds establecer6 relaciones entre esos conceptos y serd capaz de

utilizar resultados para demostrar la convergencia o no convergencia deuna sucesi6n y en su caso para calcular su lfmite.

1.2.2. Sucesiones

Comencemos definiendo el objeto matemdtico que estudiaremos du-rante esta secci6n.

I

i

i

I

I

I

I

l

II&il

I

t

F

t

E;Etrtnro L.14. La aplicaci6n a: N -+ IR definida por a(n) : ?r es una suce-si6n constante que fnicamente toma el valor a'. rEyEunro I".15. La aplicaci6n a,: N -+ lR definida por a(n) : 2n - 1 es unasucesi6n que toma como valores los nfmeros impares: a(f ) : L a(2) : 3,

a(3) : 5, ... r

1.2 Sucesiones 23

Lo habitual es referirse a los elementos pertenecientes a la imagen de lasucesi6n a: N -+ lR como t6rminos de la sucesi6n y en lugar de denotarlospor a(1), a(2), a(3),...utlIizar la forma at, e2, as,...) asi, al es el primert6rmino de la sucesi6ny a7 es el s6ptimo. En caso de poder definir todoslos t6rminos de la sucesi6n mediante una f6rmula, por ejemplo an : Inn,dicha f6rmula recibe el nombre de t6rmino general. Tampoco es habitualreferirse a las sucesiones utilizando la notaci6n o: N -+ IR sino que se utilizala mds corta {arr}.

Sucesiones convergentes

La siguiente definici6n expresa matemiiticamente la propiedad que po-seen aquellas sucesiones cuyos t6rminos se aproximan a un nfmero tantocomo se quiera.

Intentemos profundizar algo mds en el significado de la definici6n an-terior. Asi, si afirmamos que una sucesi6n tiene limite I estamos garanti-zando que para cualquier cantidad (e > 0), sea grande o pequefra, seremoscapaces de encontrar un t6rmino de la sucesi6n a partir del cual todos lost6rminos siguientes distan del limite menos que la cantidad e dada. O sea,

cualquier intervalo abierto que contiene al limite l, tambi6n contiene a to-dos los t6rminos de la sucesi6n, salvo quizits, a un nfmero finito de ellos.

E;ErraPro 1.16. Toda sucesi6n constante an : c es convergente y se verifica

]y5o.: "'Efectivamente, dado cualquier e > 0 se tiene

lo" - "l:0 ( e

para todo n e N. r

E;runo 1.17. Comprobemos, utilizando la definici6n, que lfm 1 : 0.n-+@ rz

Maxima: definimos la suce-si6n de t6rmino general a, :I con "a[n]:='lln".

En ocasiones utilizaremos le-tras griegas: e,5, p,0,9 quese leen epsil6n, delta, ro, teta yf respectivamente.

Maxima: para saber siuna sucesi6n es conver-gente y calcular su limiteutilizamos la instrucci6n"limit(a[n],n,inf)" que nosdevuelve un nf mero en casode ser convergente.

L4 Capfrurol / El

".r"Jl1i".:Tffcemos por calcular la diferencia entre el limite y los t6rmi_

lo,-ol:11-ol :1lnln

Ahora sea € > 0. Como queremos que lan_ 0l : : = , para todos losn mayores que un nafural N que debemos encont arfobr".rru-os que essuficiente que tal l/ verifique

ya que para todo n ) N se tiene -1_ < fet prtmer nuto.ar ^:r;r:r:,13;r'''

Asi el l/ que buscamos puede ser

al limite

(e <+ I < I'r.

Si s : ffi, basta con tomar ltr: 7007;y si e : I2,bastacon ly' : 1.f

7

t/ <e

1

1V

Demostrar la unicidad dellimite es sencillo utilizandoque:

probar quep + e equiva_le a probar que18 =+lP (no Iimplica no p).

Esta es la receta de la de_mostraci6n para que el lectorrnteresado la cocine:(1) Suponga que existen doslimites distintos que estdn aunadistanciaZ > 0.

tz)-]9me, : + y aplique ladefinici6n de lirnite para cadauno de los dos.(3) Pruebe que la sucesi6n nopuede converger usando queL:F-ml :lt_an*an_,rll<ll-a.l*lm_o^1.

Gracias a la siguiente definici6n, entre otras cosas, estableceremos una:ff*:.J""_""T::1i:::i::^:1""*ncia, esto es, una condici6n que nece_sariamente todas las sucesi.r.." .^:;:-::'^::^"^:"'

urta LL'r.('clon que nece-

sucesi6n,,o ru ".,*i,:18:H::H;Tl:ffi*ren. por ro tanL, si una

La anunciada condici6n necesaria para la convergenciu ur tu uffi

El- lecinroco de la propiedad anterior no g" .F

r I (-1)r] e" qonrcAn es cierto. Por ejemplo, la suce-tt6i jj-t),") es acotadu p"ro,.,o ", "or",rrergente.

ffi *:f ::T',fr:::"::::t:i,1"?io"existenteentreacotaci6ny::il:11T:'lll.1l_*l:presentemosargunos.";;i;;;:*#';:ii"la la hora de calcular limites.

1.2 Sucesiones 25

E;EIrtnro 1.L8. Calculemos fi- 1 udhzando el resultado anterior.n-+cxtn,2

Puesto que para todo n e N se tiene

0< 11n

y hemos visto que J{g* : 0, aplicando la Propiedad del emparedado te-

nemos gue,qL$ : 0. r

Elsvrpro 1.19. Calculemos ffS.La funci6n coseno solamente toma valores en l-1,1], por lo tanto la

es acotada. Adem6s, ti- 1 : 0. Por lon-+@fL

Recordemos que n! es el fac-torial del nrimero natural n, ycoincide con el producto detodos los naturales menoreso iguales que rl, es decir, n! :n . (n - l).. .2. 1. Por con-venio se establece 0! : 1. EnMaxima 7. es"7r.i'

sucesi6n{"*,(Tffi) }

que el limite anterior existe y es 0. I

El reciproco de la Proposici6n 1.2 es cierto si I : 0. Pero no en general,como muestra el siguiente ejemplo.

26 Capiruro 1 / El paso al limite

E;rvrrro L.20. Lasucesi6n {l(-1)" + }l} converge a 1 pero {(-1)" + }} no

es convergente.

A continuaci6n aparecen representados gr6ficamente los diez primerost6rminos de ambas sucesiones.

{(-1)'+ *}

{l(-1)'*t*tr

E;rvrro 1.21. verifiquemos que lim vn? + n + r : r.a*" rr'l-& n2 - n 11Si aplicamos la Proposici6n 1.3 directamente encontramos problemas,

pero si antes dividimos entre n2 el numerador y el denominador se tiene

IVeamos ahora c6mo podemos oPerar con limites.

Observaci6n. Si tenemosun cociente de expresionespolin6micas, entonces di-vidir por el monomio demayor grado el numeradory el denominador simplificalos pasos al limite.

11H^2(+n+,r : r^'*4*nl:

n-+6:, nz-nl I n-+oof _]+i

/ 1 1\;l* t'*;* a )

/ t 1\J-%(t-;+a)

11Iim2* lim -* Iim "n-+oo n-+@Tl, n +6)n'

1Ilfml- lim:f lfm "n +oo n-+6'TL n >(xn'

-,

I

L.2 Sucesiones 27

Lfmites infinitos

Los problemas a los que nos referimos en el p6rrafo anterior tienenque ver con el infinito, que matemiiticamente se denota por oo. Debido anuestra naturaleza, no es un concepto sencillo y el hecho de que cualquiermatemiitico afirme sin pestaflear que existen infinitos tipos de infinito deberesultar al menos intrigante para el profano.

A continuaci6n afladiremos a la recta real dos elementos, -oo y oo/ conlas propiedades que esperariamos del infinito.

Hasta ahora hemos considerado sucesiones que convergen a un nrimeroreal. Ahora vamos a caractetizar las sucesiones que se aproximan a too.

Esto es, )y:""": oo si para cualquier cantidad e.) 0 solamente hay unnrimero finito de t6rminos de la sucesi6n menores que €.

El simbolo too significa: oo obien -oo y se lee mhs o menos

infinito.

28 Ceriruro t / El paso al limite

Elrnnrro L.22. Cornprobemos que J55(rr" - n) : *.Dado e > 0 buscamos un ly' ) 0 que garantice n2 - n ) e para todo

n ) N. Puesto que n2 - rL : n(n - L) > n para todo n ) l, es suficiente

tomar l/ > mdx{1,e},ya que si n} N

,2 -n:n(n- 1) > n) N ) mrix{l,e} > e.

I

Como es sencillo pfobar que lfmrr-- n : e elresultado anteriornos in-

dica que si en un limite de una sucesi6n sustituimos n pol oo en su t6rminogeneral, entonces el valor del limite coincide con el valor que obtengamos

al operar con oo segrin las reglas dadas en la Definici6n L.L2.

E;r*rno 1.23. Calculemos )*"'.Sustituyendo n por oo en el t6rmino general obtenemos oo2 que la defini-

ci6n'l,.12nos indica que vale oo. Por 1o tanto, )!2r' : *.

Pero no todas las operaciones estdn definidas para todos los elemen-

tos de IR y al sustituir n pot oo podemos encontrarnos con problemas. Las

siguientes expresiones no est6n definidas y reciben el nombre de indeter-

0 too0' too

E;eurro 1.24. Calculemos ]yy(n2 - n).

Al sustituir n pot oo vemos que se trata de una indeterminaci6n deltipo oo - oo. Podemos esperar que el n2 ctezcamucho m6s rdpido hacia oo

mlnaclones:

I

a#

L.2 Sucesiones Z

Si_ Para ver que es asi murtipricamos y dividimos por er conjugado detr-a

hln2-n) :ts-' ,

rrrtFmos ante un limite de la forma lfm,r*_ anb, con {a.,}f on t.rminos positivos, podemos transformarlo en un rimite

mediante la siguiente igualdad.

F'oilo necesitamos adelantar argo que abordaremos en detallet Flerros cambiado el limite de una exponencial por la expo_Eil de ur limite. ase puede hacer esto siempre? La ."rol"r," ",

Ir"uHf1r_t" ^:"*f;lamos.viene dada por'unu rurr"ion continua (encm I@) : e'). aeu€ funciones tienen esa "*u"tu.i#il;;",1",ig'ulentes que el lector debe conocer: polin6micas, trigonomEtricas, expo_r rciales,logaritmicas.

EpruruoL25. Calculemos lfm ln1.?z-+m nU(dizarrdo ta prcpiedad. descrita en el pfu rafo anterior

-lrr-r-r lnl:ln tim 1:-oo.,z-+oo n n_+6 n,

E;euruo 1.26. Calculemos rm a.n)a yyn

Utilizando (1.L) resulta

]*#: eli*'**n'ln(f) - e*'(--) : e-m : 0'

1

0

Si la indeterminaci6n oc - xprocede de un t6rmino gerretal an - bn, entonces suele seruna buena idea multiplicary dividir por el coniugado,an * bn.

Recordemos que eln. : rpara x > 0 y que lna6 :b .lna.

r

r

30 Ceriruro 1 / El paso al limite

Volvamos a los limites de Ia forma limrr-- o,rb' con {arr} una sucesi6ncon t6rminos positivos. Si en ellos sustituimos n por cc es fdcil ver que lassiguientes expresiones

oo, 1t*, @0,

nos llevan a la indeterminaci6n *oo . 0. Es por ello que es habitual afladira las cuatro indeterminaciones que presentamos anteriormente las tres queacabamos de ver y establecer como indeterminaciones la siguiente lista desiete expresiones.

Sucesiones mon6tonas

Hemos estudiado sucesiones que convergen a un nfmero y sucesionesque tienden a *oo. Ahora introduciremos ciertas clases de sucesiones quetienen todos sus t6rminos ordenados.

Evidentemente, cualquier sucesi6n estrictamente decreciente (o crecien-te) es en particular decreciente (o creciente). Un par de ejemplos nos ayu-dar6n a entender mejor las definiciones anteriores.

ElEturro t.27. Ctalquier sucesi6n constante, por ejemplo {4}, es mon6tonaporque es creciente y decreciente. Sin embargo, no es ni estrictamente cre-ciente ni estrictamente decreciente. r

Grifficamente, sobre la rectareal, las sucesiones crecientescolocan cada t6rmino siem-pre a la derecha del anteriory las decrecientes a la izquier-da.

E;rvtruo 1.28. Comprobemos que la sucesi6n {a,,}, siendo a,,.

trictamente decreciente.

Efectivamente,paran€Nsetiene &n-;I : t an*1-

1

rLCS CS-

I1

- - 0,n.n

I

-

L.2 Sucesiones 31

volvamos ahora sobre algo que dejamos pendiente hace un par de pdgi-nas: la relaci6n entre acotaci6n y convergencia.

Para la clase de sucesiones mon6tonas los conceptos de acotaci6n y con-vergencia coinciden puesto que se verifica lo siguiente.

Utilizando el resultado anterior es posible demostrar el siguiente quenos permitir6 calcular limites con indeterminaci6n del tipo 1+-.

2:e.

IEl siguiente resultado es muy ritil para el c6lculo de limites de cocientes

de sucesiones.

Eyrnanro 1..29. Catculemos et limite,q (r . #)Recordando las propiedades de las potencias se tiene

Ji% (' . #)^': lyr(('. #)-) : (,'* (,* #).)

32 Capiruro 1 / El paso al limite

En la actualidad hay una re-vista especializada, The Fi-bonacci Quarterly, que se cen-tra en el estudio de lasmatem6ticas relativas a estasucesi6n. Por cierto, la for-ma que hemos utilizado paradefinirla recibe el nombre deforma recursiva.

E;uuero 1.30. Calculemos 1,11 H.ija2+4+...+(2n+2)'Definamos {on} : { 1 + 3 + . . . * (2n* L) } y {a,} : {2 + 4+.. . + (2n + 2) }--

Es sencillo comprobar que {2+4+ ' . .-l(2n*2)} es una sucesi6n mon6tonaque tiende a oo.

Por otro lado,

an*I - anllm- :

n-+x [n11 - bn

: li^2'*3:r.n-+x 2n l4

E..t^..^^^ 1!^ 1+3+...+(2n+1) _1Entonces, illii

-

lrrlv'IrLLu/;3A2+4+...+en+D- '' r

Hemos dedicado muchos esfuerzos al estudio de las propiedades delas sucesiones convergentes o acotadas. Sin embargo, existen sucesionesno acotadas (y por lo tanto no convergentes) con propiedades sorpren-dentes. Por ejemplo, la sucesi6n definida mediante &r : I, &2 : 7 y &n :an-r I an-2 par6. todo n ) 2 se llama sucesi6n de Fibonacci en honor delmatemdtico italiano que la estudi6 a principios del siglo XIII. Los primerost6rminos de la sucesi6n aparecen a continuaci6n

1,112,3,5,8,. . .

L.3. Series

1.3.L. Motivaci6n

Si hoy te doy un euro, maflana medio, y dia tras diala mitad del diaanterior. iCudnto dinero necesitar6 para hacer frente a ese pago infinito?Y qu6 ocurre si soy un poco mds generoso y hoy te doy un euro, pasadomedio, al dia siguiente un tercio, al dia siguiente un cuarto y asi dia trasdia.

Introducci6n

Las series que nos disponemos a estudiar son los modelos matemdticosde sumas de infinitos t6rminos. Por muy rdpido que sumemos no pode-

1! 1+...+(2(n +1)+1) - (1+...+ (2n+L))uur;:a 2+ ... + (2(n +1) + 2) - (2 + ... + (2n + 2))

,!_-- 1 +3 + . " + (2n+3) - 1 - 3 - ... - (2n+ t))tllll;:A 2 + 4 + . " + (2n + 4) - 2 - 4 - ... - (2n + 2))

'(

.J** ,,, =/

!

L.3 Series 33

mos hacer frente a sumas de infinitos t6rminos. pero sf sabemos sumar unconjunto finito de tdrminos. Este hecho y haber establecido una forma depaso al lfmite para sucesiones en la secci6n anterior nos permitir6 llegar a lasuma infinita mediante un paso al limite en una sucesi6n de sumas finitasque si sabemos hacer.

Orientaciones

Las series de nrimeros reales est6n estrechamente ligadas a las sucesi6nde nfmeros reales. Haber asimilado los conceptos y resultados tratados enlas secciones anteriores es indispensable para poder seguir esta secci6n deforma fluida.

Objetivos

Al finalizar el estudio de esta parte tendr 6 claro el concepto de serie denfmeros reales y de serie convergente y divergente. Adem is sabr6, aplicarcriterios que garantizan su convergencia dependiendo de sus caracteristi-cas.

1.3.2. Series

A partir de una sucesi6n {a,r} podemos definir otra {s,} de la formasiguiente

SL: AI, S2: A1 I A2, 53 : 01 + A2 + AS, ,r:f OO.

i:1

La sucesi6n {s,} se llama sucesi6n de sumas parciales de {a,r} y paracada k suma los t6rminos de {ar} desde el primero hasta el k-6simo.

Notaci6n. La suma at I az -...I an se escribe

n

\- ",ZJ -'i:7

y se lee suma de a; desde quei vale t hasta que vale n. LaIetra griega sigma mayiscula

I indica que es una suma vel indice z se llama indice derecorrido.

Pese a la definici6n anterior, no utilizaremos ra notaci6n ({o,}, {",})para referimos a las series sino que emplearemos la mds tradicional e in-

tuitiva D",. Esta notaci6n tiene un pequeflo inconveniente que veremosn:7

despu6s de introducir el concepto de serie convergente.

34 Cnpiruro 1 / El paso al limite

Si tenemos definidosnfmeros an para n )> p € Zpodemos definir DT_oo"de forma similar a comodefinimos DTro*. Asi, porejemplo, podremos hablar de

D}oo. si tenemos definidoel nrimero as.

Estamos cometiendo el siguiente abuso de notaci6n. La expresi6n

i",n:l

denota tanto la serie que puede ser convergente o no, como de existir, lasuma de 6sta que es un nfmero fijo. Normalmente el contexto aclarar6 sinos referimos a la serie o a la suma de la serie y cuando sea necesario 1o

pondremos de manifiesto.

E;nruruo 1.31-. Dada la sucesi6n constante {or} : {1, 1,1,. .. } ru sucesi6nde sumas parciales €s s1 - 7, s2 : 1 f 1 : 2, ..., sn: D, esto es, la sucesi6n

{"}. rE;nvtnro 1.32. Calculemos la sucesi6n de sumas parciales de la serie arit-

oo

m6tica D".n:l

Un t6rmino gen6rico de la sucesi6n de surnas parciales es

sn:1-+2+...+(r-1) *no 1o que es lo mismo si le damos Ia vuelta a los sumandos

sn:TL+(n-1) +...+2+I.Si sumames en las dos igualdades anteriores los t6rminos que ocupan

la misma posici6n tenemos

2sn: (1+n) +(2+n-t) +...+ (n-t+2)+ (n+1) :n(n*I).Despejando

n(n + I)on_

2

L.3 Series 35

La sucesi6n {sr} no es convergente y la serie no es sumable o diver-gente. rElntvrrro L.33. Para r I L fljo calculemos el t6rmino general de la sucesi6n

de sumas parciales de la serie geom6trica Dr".n:7

Un argumento similar al del ejemplo anterior nos ayudar6. Tenemos

sn:r+12+...1vn-L17n

y multiplicando ambos miembros de la igualdad por r

TSn : 12 + Ts + ... + rn 1 ynl7.

Si restamos las dos igualdades anteriores llegamos a

(7 - r) sn : r I 12 + . . . I rn-r I rn - (r2 + r3 + . . . + rn + rnrl) : r - rntr.

Despejando'r' - 'rn*I

on- 7-r

Es sencillo ver que lim sr, : a' .-si lrl < 1. La sucesi6n no es conver-n-+@ I-rgente si lrl > 1. La constante r a partir de la cual se define la serie se conocecomo raz6n de la serie geom6trica. r

En estos primeros ejemplos el c61cu1o del tdrmino general de la sucesi6nde sumas parciales es posible. Sin embargo, esto no siempre ocurre asi. Espor ello que buscaremos condiciones suficientes y necesarias para que unaserie sea convergente en funci6n de su t6rmino general.

O dicho de otro modo, ri j{g an # O,entonces D",es divergente.

La propied ad'1.6se suele utilizar para probar {"1t una serie no es con-vergente.

36 Cepfrurol / El al limite

E;rvrrro

gentes.

n-+oo

L.34. Estudiemos si las series I " _ , y I(-1)" son conver-

n:l n:l

Por un lado lim :- : r + 0 y la serie no puede converger. por otrolado, lim (- 1)"i',1?ft1"1y la serie tampoco converge. I

Sin embargo, el que la sucesi6n {ar} de la serie converja a cero no esuna condici6n suficiente para que la serie sea sumable.

E;ruero 1.35. La r"ri" i I verifica li I ^

a ' '*; : o Pero no es sumable'

Para entenderla raz6npor la cual no es sumable estudiamos la sucesi6nde sumas parciales {sr,}.

Observamos eue s1 : I, s2:

- _ 1-1--.1-1D4-r-r-3-4

s6:s3+1+l45y como siempre ocurre

s2n : sn* r,*, + ". + 2n) t" *rrr> snl r,tenemos eue s2n ) s", + ]. for lo tanto no es convergente ya que si lo fuese,y su limite valiese l, obtendriamos la contradicci6nl > t + l. r

7+|:q-tt,_111 1>1+r+ +* 4:tr+i,111+Otss*36:ss*2,

1.3 Series 37

Series de t6rminos no negativos

Los siguientes tres resultados son relativos a series de t6rminos no ne-

gativos, esto es, series de la forma Do, con o,, ) 0 para todo n.n,:1

Parattilizar el Criterio de comparaci6n es necesario conocer series con-vergentes y divergentes. A las presentadas hasta ahora afladimos dos muyimportantes:

I I El paso al limite

Ahora presentaremos unos ejemplos de aplicaci6n de los tres criteriospero antes debemos volver a recordar que solamente se pueden aplicar a

series de t6rminos no negativos. Ademds, el primero de ellos es el mds ge-

neral (en realidad los otros dos se deducen de 6l), Pero no resulta c6modo

de utilizar. La elecci6n del Criterio de la niz o del cociente para estudiaruna serie vendr6 dada por la forma de la serie pero es bueno saber que:

erie es con-

;ente se le:ardcter de

E;uurro 1.36. Estudiemos el cardcter de la serie i+n:I

oc

sabemos qrr" i (+)" es convergente por tratarse de una serie geo-

m6trica deraz6n?il;;t absoluto menor que 1. Ademds paran 2 1se

tienecos2 n 1

2n -2n.a cos2 r}

El Criterio de comparaci6n garantiza que L 2 converge. rn:1

E1u*rno 1.37. Estudiemos si la serie |#res

convergente.

Aplicaremos el Criterio del cociente.

n*lrm Yij : Ifm

nlt :nj& rt' n-+6 3n

3

Por lo tanto ! fr ", "orrrrergente.n:7'

Elnurro 1.38. Estudiemos el cardcter de la serie if*- 1)"n:l

Utilizaremos el Criterio deIaniz.

1

-<1.3

I

lim2-+OO

: lfm (n-t-1-1:0(1.(r[i - t)"

I

I

1.3 Series 39

Por lo turtt" f ( fn - \' es convergente.n:7

I

I

Series de t6rminos sin signo constante

Si los t6rminos de una serie cambian de signo al calcular la sucesi6n desumas parciales en ocasiones afladiremos una cantidad positiva y en otrasrestaremos una cantidad positiva. Este hecho deberia hacernos intuir quela convergencia de este tipo de series debe ser mds sencilla que para las det6rminos de signo constante que solamente afladen o restan. Aclaremos enqu6 sentido esto es asi.

El siguiente resultado establece la relaci6n entre convergencia absolutay convergencia para una serie.

E;ruruo 1.39. Estudiemos la convergencia y la convergencia absoluta de3 cos,) ..n:I

40 Capiruro 1, / El paso al limite

Como la funci6n coseno toma valores positivos y negativos no podemos

aplicar los criterios anteriores al no tratarse de una serie de t6rminos posi-

tivos. _ m

La serie es absolutamente convergente porque lffl t # t 2# *

una serie convergente. Adem6s, debido a la propiedad 1.8la convergencia

absoluta implica la convergencia de la serie. r

Terminamos esta parte del texto dedicada a series de nrimeros reales

estudiando un caso particular de series con t6rmino general sin signo conrtante.

EJuruno 1.40. La serie f (-1)" es alternada.n:t

Para las series alternadas la condici6n necesaria de convergencia se curvierte tambi6n en suficiente si afiadimos una hip6tesis adecuada.

ETEMPLO 1.4L. Estudiemos la convergencia y la convergencia absoluta de

,$(-t)"/.n,n:L

Tomando valores absolutos se tiene DL, lqf l : DLr |. como

sabemos que Ia serie !p, f no es convergente obtenemos que !p, -,gPno es absolutamente convergente.

por otro lado, la serie es alternada y la sucesi* {lqtl} : {*} *decreciente. Ademds,lirnn-*trY :0' Utitizando el criterio de Leibniz

resulta gue DLr 9f "t convergente. r

I

1.4 Limites y continuidad 4l

L.4; Limites y continuidad

l.4Jl,. Motivaci6n

Introducci6n

Las sucesiones, que ya hemos estudiado, son ritiles para modelar fen6-menos que ocurren en tiempos discretos, por ejemplo, la evoluci6n de lapoblaci6n de una especie de aflo en aflo. Pero hay otros fen6mbr,o, qrr"ocurren en tiempos continuos y de los que necesitamos conocer el compor-tamiento en instantes determinados. Por este motivo, generalizaremos enesta secci6n el concepto de sucesi6n al de funci6n.

El hecho de que las funciones est6n definidas en lR, y no rinicamente enN, nos permitird considerar limites en puntos, empleando ideas similaresa las utilizadas para definir el concepto de sucesi6n convergente. A par-tir de ahf llegaremos a la continuidad que es una de las propiedades miisdeseables para los fen6menos que ocurren en tiempos continuos.

Orientaciones

Nuevamente, este tema deberia ser de repaso. El lector deberia tenercierta experiencia en el manejo de funciones y sin duda conocer algunasde las propiedades m6s importantes y la representaci6n grilhca de algunasfunciones elementales como: trigonom6tricas y sus inversas (cos trt sentr,tgr,, arc cos r, etc.), potenciales (zo), exponenciales (2* , e' , e-") y logaritmi-cas (ln r, Iogls r). Si no posee ese bagaje, no podr6 seguir el texto, por 1o quele recomendamos que consulte el Curso 0 de la UNED.

Pero, aunque sea asi, no se confie. Los temas tratados son el fruto desiglos de trabajo y algunos resultaron enormemente dificiles de asimilarpara la comunidad cientifica.

Objetivos

Al finalizar la secci6n conocerd algunas de las propiedades mds impor-tantes de las funciones continuas. Para conseguirlo, antes deberemos cono-cer los diversos tipos de limites que se pueden definir para una funci6n.

Convenio. En este texto elargumento de las funcionestrigonom6tricas estd expre-sado en radianes. Es decir,sen2r :0 pero sen 360 I 0.

42 Cariruro 1 / El paso al limite

Maxima. Definiremos fun-ciones con "f(x):= expre-sion;", por ejemplo, "f(x):=sqrt(abs(x+'l));". Si quere-mos conocer el valor de

/(-5) escribimos "f(-5);".

Grdficamente, la existenciade limite en un punto anos indica que para cualquierbanda horizontal determina-daporl-ryl+epode-mos encontrar un intervalo

Qt - 6,a + 6) tal que la gr6fi-ca de la funci6n restringi-daa(a-6,ala)\{"}estd en la banda horizontal.

1,.4.2. Limites de funciones

Funciones reales de una variable real /

Comenzamos en esta secci6n el estudio del objeto matem6tico protago-nista del Chlculo lnJinitesimal; Las funciones reales de variable real, esto es,

aplicaciones f : D C IR -+ lR. en donde D recibe el nombre de dominio de /y f (D) : {f (r) : r e D} el de imagen de /. En este texto, tal y como es ha-bitual en la literatura, cuando no se especifique el dominio de una funci6nse entendere que consideramos el mayor conjunto en el que puede estardefinida.

Si la imagen de una funci6n es un conjunto acotado se dice que la fun-ci6n es acotada.

La grilfrca de un funci6n es una representaci6n en el plano rg de lospuntos de la forma (r, f (n)). Debemos notar que los valores de / no sonesos puntos (r, f (r)) e IR2 sino las proyecciones de ellos sobre el eje y.

Limite en un punto

La siguiente definici6n de limite de una funci6n en un punto le recor-dar6 a la que ya vimos para sucesiones convergentes.

No hemos impuesto ninguna condici6n sobre el punto a en la definici6nanterior. Sin embargo, para que tenga sentido es necesario suponer quecualquier conjunto de la forma (o - 5,a + 6) \ {o} : (o - 6,a) U (a,o + d)

(d > 0) tenga intersecci6n no vacia con el dominio de /.

E;rtrrrcr 1.42. Dada una funci6n definida en (0,1) U {2}, tiene sentidohablar del limite de la funci6n en cualquier elemento del intervalo [0,1]pero no er:.2, o en ningrin otro elemento de lR.

La Definici6n 1.18 nos indica que una funci6n tiene lfmite I en a si lospuntos pr6ximos a o tienen imdgenes pr6ximas a L Por 1o tanto, no deberiasorprendernos que si el limite en un punto a es positivo, entonces la funci6ndeba ser positiva para valores suficientemente cercanos al punto a, excluidoel propio a. O lo que es lo mismo, que se verifica el siguiente resultado.

L )

1.4 Limites y continuidad 43

;Qu6 ocurrir6 si el limite fuese negativo en lugar de positivo en el puntoa? Pues que podriamos garantizat qlJe para valores suficientemente pr6xi-mos al punto a, excluido el propio a,Ia funci6n tomard valores negativos.

Antes de meternos de lleno en el cdlculo de limites utilizaremos repre-sentaciones grdficas para intentar contestar si una funci6n tiene limite.

EJruruo 1.43. La funci6n f (r) :r*1, r { 0,2, r :0, tiene limite 1 en 0.

-rl\, r)0,

La grifica de f (r) aparece a

que si r se aproxima a 0 (pero rcontinuaci6n y en ella podemos apreciar

I 0),los valores f (r) se aproximan a 1.

Demostraci6n de la uni-cidad. Para la verificaci6nde este resultado se puedeaplicar la misma receta quepresentamos en el caso delimites de sucesiones.

Maxima representa la gr6ficade 1- lrl en (-3, 3) mediante"plot2d(1 -abs(x),[x,-3,3]) ;"

-

1: sen-rEJrunro 1,.44. La funci6n "f I (0, oo;

no tiene limite en 0.

La gr6hca aparece a continuaci6n.

-+ IR definida mediante f (r)

M Capiruro 1 / El paso al lfmite

l

Maxima calculade f(r) en a"lim(f(x),x,a);"

Como vemos,la funci6n oscila cadavez m6s rdpido si nos acercamosa cero y dichas oscilaciones tienen amplitud constante 2. Por Io tanto, lafunci6n no se aproxima a ningrin punto I e lR. r

el limite Al igual que ocurri6 en el caso de sucesiones los siguiente resultadosmediante serdn de utilidad a la hora de calcular limites.

Dado que el lfmite es un concepto local: s6lo interviene la definici6nde la funci6n cerca del punto a. La propiedad anterior admite la siguientegeneralizaci6n.

!Il

L.4 Lfmites y continuidad 45

Limites infinitos,limites laterales y lfmites en el infinito

Ahora estableceremos algunas definiciones de limites md,s. Comenzamos

con los limites infinitos.

En IR utilizaremos las operaciones que ya conocemos y pol supuesto las

indeterminaciones siguen siendo las mismas

EIEMPLo 1..45. Lafunci6n f (r): \ verifical5,h: *

Observe su representaci6n gtdfica en la figura al margen'

Justo despu6s de dar la definici6n de limite de una funci6n en un punto

a indicamos que pala que tenga sentido considerar tal limite es necesario

que el dominio D de la funci6n interseque a (a - 6, a) U (a,a I d) para todo

d > 0. si el dominio D de la funci6n tiene valores en (a - 5,o) podremos

definir el limite por la izquLierda en a,,y si D tiene valores en (4, a * d) po-

dremos definir el limite por la derecha, en el sentido que vamos introducir'

Pero antes necesitamos una nueva definici6n.

46 Cnpfruro 1, / El paso al limite

Maxima calcula lirn f(r)x+a-l

mediante "lim(f(x),x,a,plus);"

Y ,tu, f (") mediante

"lim(f (x),x,a, minus);"

En otras palabras, para calcular el limite por la derecha de a nos res-

tringimos a los puntos del dominio de la funci6n que son mayores qlre ayal hacerlo por la izquierda a los que son menores que a. Por 1o tanto, unafunci6n puede tener limites laterales y no tener limite.

E;nunro 1..46. Lafunci6n f (r) :1 verifica "tl3,;

Ver la grdhca de la funci6n al margen.

1:ooV llm -:-OO.' r-+O- I

I

El siguiente resultado relaciona los limites laterales y el limite en unpunto.

Por riltimo, establecemos lo que se entiende por limite en el infinito ydejamos al lector establecer de forma rigurosa la definici6n de limite in-finito en el infinito, que tras las definiciones anteriores y la anunciada nodeberia resultarle dificil.

Eynturro L.47. Calculemos )!Lf @) y,{T"" f (r)paralafunci6ndadapor

12-r+LJ\r): rr+I .

I

1.4 Lfmites y continuidad {t

Dividiendo por el monomio de mayor grado resulta

11tip /(r) - lim " o',!t - Hm

r-J:!:r.r--+oo r_+oo r.+I f__+oo l++

)

ydeformaaniiloga \' - I ") - \ ,lc o\ nt ,

1 1 "'ze l<1 ___J__

lfm ' '*2 -l

tt"'..'

z-+-oo 1- - t'l*

"Maxima utiliza "uncF (mdefinido) e "ind" (no definftbpero no acotado) pardinformar del comportamienhque detecta. En el prirnercaso no es capaz de calcukel limite, en el segundoel limite no existe y hfunci6n no es acotada. E!e-cute "limit(exp(x),x,infli,"limit(sin(x),x,inl);' y"limit(x*sin(x),x,inf);" paracomprobar qu6 ocurre.

I

Asfntotas

Las representaciones grdficas que hemos manejado hasta ahora dejanclaro que el comportamiento de una funci6n puede ser verdaderamentecomplicado. Es por ello, que siempre es una buena noticia conocer exis-tencia de una recta a la que se acerca tanto como queramos la grdfica dela funci6n. Dichas rectas reciben el nombre de asfntotas de la funci6n. Porsupuesto, no todas las funciones tienen asintotas pero sin quererlo, o talvez queri6ndolo, ya hemos estudiado algunas que si las tienen.

Asi, cualquier funci6n que verifique "l*

f (*) : b tendrd como asintota

horizontal a la recta A : b. De forma similar, cualquier funci6n que veri-fiqt",{T_ f@) : b tendrd como asintota horizontal a la recta U : b (vea

la representaci6n grdfica delEjemplol.47). Perotodaviarrrils,si f (r) poseeuna asin{ota horizontal debe ocurrir que al menos uno de los lfmites en elinfinito eiiste.

48 Capiruro L / El paso al limite

En resumen, la recta U : b es una asintota horizontal.'si y s6lo si

,IT"" f (r) - b: o y/o jggf(r) - b:0.

Por otro lado, una condici6n necesaria y suficiente Para que tr : a' sea

una asintota vertical para f (r) es que

,tu f ("): too Y/o "14

f {"1: too'

Tantolafunci6n f (*): j como f (r): $ tienen dr:0 como asintota

vertical (vea las gr6ficas de los Ejemplos \a5 y 1'.aQ.

Asi pues las asintotas verticales y horizontales de una funci6n son rectas

(verticales u horizontales) a las que se acerca la funci6n tanto como quera-

mos. Pero en el plano, donde se representala gr6fica de f : D -+ lR no s61o

existen rectas horizontales y verticales, tambi6n las hay oblicuas.

Necesariamente, si una ,f tiene una asintota oblicua verificard

)*f ("): *oo Y/o ,{T-./(') : *-'

Pero esto no es suficiente, ya que por ejemplo f (r) : "l"l no tiene asinto-

tasyverificu,lg f(r): "{T_

f@):*.La recta A : nt'r* b con m + }es una asintota oblicua si y s6lo si

,S/(") -(^**b):s y/o "{T."

f (") - (mr * b) : o'

Pero fij6monos que para poder calcular la caracterizaci6n anterior nece-

sitamos conocer rnpatatratar de calcular b. El siguiente resultado nos indi-ca c6mo calcular rn.

Un contraejemplo que mues-tra que la condici6n dada en

la Proposici6n 1.12 es nece-

saria pero no suficiente es lafunci6n dada por l@) : r +sen rt .

El ciilculo de estas riltimas asintotas es el que probablemente despierta

m6s desasosiego puesto que todavia no hemos presentado ningdn ejemplo.

Pero eso tiene f6cil soluci6n.oor"Ir'lI

EJrunro 1.48. Estudiemos las asintotas de /(r) : 12+7No existen asintotas verticales Porque para cualquier nrimero a se tiene

i lrro"*u*.'!'-a3+a2+L., ":; r2+I a2+L

\? -! ! l:r

I

'"t. lmrumffi''a ,-,

1.4 Limites y continuidad 49

Por otro lado, es f6cil probar que (vea Ejemplo 1.47)

t, 13+12+rllTll

-:OC

yz-+@ rz * L

r,3+12+IIlm -- , _ --w,n-+-6 f" I I

por lo tanto tampoco existen asintotas horizontales y se verifica la condi-ci6n necesaria para la existencia de asintotas oblicuas.

Para estudiar la existencia de asintotas oblicuas estudiaremos en pri-

mer lugar si existe el limite ,t^ f (") .En caso de existir, su valor ser6 lau-+oo rpendiente rn de la posible asintota oblicua.

a! f@) 1. t#P #+r2+llim "' : Iim. u-+oo f ,r-+oo f z-+oo fr + f

Ahora comprobamos si para este valor de m : 1 el limite Iim f (r) -rnres finito.

rs +12 +rlfm -

-r: limz-+oo f"+I z-+oo

f ("):d##

13+12 +1- 13-r12 +7

12-r+l: litn ,.. :1.z-+oo r. + I

Por lo tanto, ]gLtX# - @ -r1) : 0 y en consecuencia la recta

a : r * 1 es una asintota oblicua para la funci6n.El estudio de la existencia de asintota oblicua al acercarnos a -oo es

similar al que acabamos de realizar y arroja como resultado que tambi6nen ese caso A : fr l1 es una asintota oblicua. Se recomienda al lector queconfirme este hecho.

A:r+I,.i

50 Capirurol / El al lfmite

Si hemos definido en Maxi-ma dos funciones f (") V g@)que se pueden componer, sucomposici6n h : 9 o/ se de-fine mediante "h(x):= S(f(x));"

Utilizando t6cnicas similares a las empleadas enlimites de sucesiones esposible calcular muchos limites de funciones. sin embargo, en el pr6ximocapitulo presentaremos una herramienta que en muchas ocasiones simpli-fica los cdlculos. Se tlata de la Regla de r-"H6pital.

1.4.3. Funciones continuas

Continuidad en un punto

utilizando el concepto de limite damos nombre a las funciones para lasque existe limite en un punto, estdn definidas en dicho punto y el valor dellimite y la funci6n coinciden.

De la Proposici6n '1,.11, y la Definici6n 1.20 se deduce inmediatamente elsiguiente resultado.

Ahora veremos c6mo se comporta la continuidad ante la composici6nde funciones. Recordemos que si tenemos dos funciones f : D c IR -+ IR

y g, f (D) -+ IR podemos definir una funci6n que recibe el nombre de /compuesta con 9 y que se denota por g o f dadapor g o f : D c JR -+ IR,

donde (g " f)(") : g(f(a)).

Continuidad en un intervalo. Propiedades

Las funciones que son continuas en todos los puntos de un intervalocerrado tienen propiedades interesantes que estudiaremos en breve peroantes necesitamos establecer una definici6n.

1.4 Limites y continuidad 5l

En caso de no especificar el conjunto I en el que una funci6n es conti-nua se entender6 que 1o es en su dominio de definici6n.

utilizando la propiedad anterior se puede probar de forma sencilla elsiguiente resultado que ademds la contiene como caso particular.

En otras palabras, si una funci1n continua en un interoalo toma dos aalores,entonces toma todos los aalores comprendidos entre ellos.

Los teoremas anteriores pueden adaptarse a intervalos no cerrados yacotados cambiando las hip6tesis sobre los valores en los extremos porhip6tesis sobre limites. Por ejemplo, el Teorema de Bolzano sigue siendovdlido si consideramos una funci6n / definida en un intervalo de la forma(a,b),fa,b) o la,oo), exigiendo, en lugar de f (a) . f (b) < 0,

,14 f 1"1 ]+f (*) <0, f ("). )g_f (,) <0,

o f (a) "Iry

/(") < 0.

Esto es, unafunci1n continua en un interaalo cerrado y acotado es acotada yademds alcanza en dicho interaalo los rsalores mdximo y minimo. O en otras pa-labras, la imagen de funci1n continua con dominio un interaalo cerrado y acotadoes tambi1n un interaalo cercado y acotado. La Proposici6n 1.15 se conoce comoTeorema de Bolzano-weierstrass y no debe confundirse con eI Teorema deBolzano.

Recuerde que el valor de unafunci6n en un punto r es laimagen de ese punto, es de-cir, f (r).

52 Clpiruro 1 / El paso al lfmite

El resultado anterior no s6lo se apoya en la continuidad de la funci6nsino que las propiedades del intervalo cerrado y acotado [a, b] son impres-cindibles. Por ejemplo, f (") : r-L es continua en (0,1) pero no acotada.

M6todo de bisecci6n

En este apartado vamos autllizar el Teorema de Bolzano que ya ha estu-diado para resolver de forma aproximada ecuaciones. El lector debe saberc6mo resolver algunas ecuaciones de una variable. Por ejemplo,para

2r2+r- 7:0,

basta aplicar la conocida f6rmula para el ciilculo de las raices de un poli-nomio de orden dos

-1+/1+8

para conocer de forma exacta las dos soluciones de la ecuaci6n

r:-7 y tr: 1

,Sin embargo, no existen m6todos generales parala resoluci6n de ecua-

ciones de forma exacta y es necesario utilizar herramientas que permitanaproximar las soluciones. Este tipo de herramientas reciben el nombre dem6todos num6ricos. Aunque eran conocidos con anterioridad, desde laaparici6n de los ordenadores han mostrado todo su potencial y se han vuel-to imprescindibles para muchos trabajos cientificos y t6cnicos.

En el caso de la resoluci6n de ecuaciones los m6todos num6ricos cons-truyen una sucesi6n de soluciones aproximadas que converge a una solu-ci6n real de la ecuaci6n. Este tipo de procesos reciben elnombre de procesositerativos.

Queremos resolver la ecuaci6n

f(r) : o

donde / es una funci6n dada. Si / es continua en el intervalo [a, b] y

f(a)'f(b)<0,

entonces el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos unasoluci6n de la ecuaci6n en (a, b).

-1+3:-4'

Caza mayor. En clave de hu-mor el m6todo de la bisec-ci6n explica c6mo cazar unLe6n que sabemos que se

encuentra en el desierto delS5hara. Divida el desierto endos partes, y vdllelas. El le6ntiene que estar en una delas dos partes. Vuelva a di-vidir esa parte en dos y repi-ta el proceso construyendovallas que dividan en dos lazona en la que est6 el le6n.Tendrd al le6n encerrado poruna valla tan pequefla co-mo quiera. ;Y sin pegar niun solo tirol Puede encon-trar otras formas de caza ma-yor en H. Pfrann, A con-tribution to the mathemati-cal theory of big game hunt-ing, American MathematicalMonttrly 45 (1938) 446-447.

i

I

I

1.4 Limites y continuidad Slt

En la primera iteraci6n el m6todo de bisecci6n calcula el punto mediodelintervalo a*b

Cl:

y evalfa la funci6n en ese punto. Tenemos tres posibilidades excluyentes:

. f (ct): 0, por tanto c1 es soluci6n de la ecuaci6n y hemos terminado(en la pr6ctica esta situaci6n no suele ocurrir).

. f (cr) . f (") < 0. Luego podemos aplicar el Teorema de Bolzano en elintervalo lo,"t] y concluir que existe al menos una soluci6n en (a, c1)

con la ventaja de que el intervalo [a, c1] mide exactamente la mitadque el inicial [a, b].

. f (ct) . f (b) < 0. Luego podemos aplicar el teorema de Bolzano en el

intervalo l"t,b] y concluir que existe al menos una soluci6n en (c1, b)

con la ventaja de que el intervalo lc1,b] mide exactamente la mitadque el inicial [o, b].

Si estamos en cualquiera de los dos riltimos casos podemos calcular el

punto medio del nuevo intervalo que llamar€filos c2 y repetir el procedi-miento. Continuando este proceso se construye una sucesi6n {c,.,}, formadapor los puntos medios de los intervalos, que aproxima a una soluci6n de la

ecuaci6n.El m6todo es muy sencillo de implementar en un ordenador' Ademds,

tras la primera iteraci6n sabemos llue c1 : + y Por tanto el error al apro-

ximar una soluci6n i en el intervalo la,bl sefi.

l"r - *l .u#,tras n iteraciones el error ser6

1""-rl<

Como consecuencia de la f6rmula anterior, es posible conocer a prioriel nfmero de mdximo de iteraciones que vamos a necesitar para conseguirun error menor que un valor establecidb. Efectivamente, si queremos que

el error sea menor que un nfmero e ) 0, como

b-a2

Maxima no tiene unafunclhdefinida para logaritmos enbase distinta del n0rnero c.Pero podemos definirlas Qforma sencilla, por eiemplbpara base 2 bastarfa tpcer"log2(x) := log(x) / loS(2)'

+.€ e nltog2(")

54 Cepiruro 1 / El paso al limite

es suficiente que el nrimero de iteraciones n supere el valor del logaritmenbase dos de f .

Eluvrpro 1.49. Calqulemos una soluci6n aproximada de la ecuaci6n

e-n:tr (1.2

en el intervalo [0, 1] con un error menor de 0,1.

En primer lugar reescribimos (1.2) en la forma f (*) :0, esto es,

!'/' e-r-r:o'1=

y tenemos que "f (r) : e-* - r.Comprobamos que / verifica las condiciones del Teorema de Bolzan,

en [0,1]. Efectivamente, f es claramente continua y

/(o) :eo o:1) o f (1) :"-1 - 1= -0,632 <0.

Como consecuencia sabemos que existe al menos una soluci6n de l,

ecuaci6n y podemos ttilizar el m6todo de bisecci6n.Antes de comenzar el proceso de bisecci6n veamos cudntas iteracione

tendremos que realizar como miiximo:

1-02 <e :0'1 Ie :=<-2" <+ 10<2" <+ n)3.

0'1

Entonces hay que determinar 4 puntos medios.Primero dividimos el intervalo (0,1) por su punto medio, {lue €s c1 =

T : 0,5. El valor de / es

/ (0,5) - e-0,5 - 0.5 = 0,107 > 0

y como^/-(l) < 0, continuamos con el intervalo (0,5,1). Su punto medio e;

c2: =E:0,75.Enestepunto,

f (0,75) x -0,278 < 0yelr,.r"rrointerval<es (0,5, 0,75). Su punto medio es c3 : 0,62b y a[i

f (0,625) r -0,898 x 10-1

que es negativo, por lo que continuamos con el intervalo (0,5,0,625). Epunto medio de este intervalo es c4 - 0,563 (hemos redondeado y, por esoes un valor aproximado).

L.5 Sucesiones y series de funciones 55

En la siguiente tabla estiin los resultados parciales de los valores de losextremos del intervalo considerado en cada paso (a,b), el valor de / enestos extremos, el punto medio del intervalo c y su valor por /.

Paso a b f (") f (b) Punto medio c1 0 1 1 -0,632 (r+0)/z:o,s2 0,5 I 0,107 -0,632 (t + 0,5) 12: 0,75

3 0,5 0,75 0,107 -0,278 (0,5 + 0,75)12:0,6254 0,5 0,625 0,107 -0,0898 (0,5 + 0,625) l2 = 0,563

I

1.5. Sucesiones y series de funciones

L.5.1. Motivaci6n

Introducci6n

Hemos definido sucesiones y funciones de nrimeros reales. Ahora nos

planteamos definir sucesiones de funciones. Al igual que se define el nri-mero e mediante el limite de una sucesi6n hay ocasiones en las que es fun-damental definir una funci6n mediante el limite de otras funciones. Porejemplo, cuando Fourier, coet6neo de Napole6n, resolvi6 el problema de

la distribuci6n del calor en una barra metdlica utiliz6 sucesiones y series

funcionales.

Orientaciones

Si ha adquirido los conceptos tratados hasta el momento lo que vamosa presentar a continuaci6n no deberia resultarle complicado. Si no es asi,

repase los temas sobre sucesiones y series de nfmeros reales porque es muyprobable que una nueva lectura le ayude a avanzar con paso mds firmeaqui.

Objetivos

Tras el estudio de este capitulo .otroce.d los conceptos de sucesi6n yserie funcional. Ademds entenderd las diferencias y relaci6n entre la con-vergencia puntual y la uniforme.

Maxima dispone de un co-mando que realiza el m6todode bisecci6n que acabamosde presentar, si queremosencontrar un cero de lafunci6n f(") en el inter-valo (o, b) escribimos "find-root(f(x),x,a,b);"

55 Cnpirurol / El al limite

"1,,5.2. Sucesiones de funciones

Convergencia puntual '

Cuando nos encontlamos ante una sucesi6n cuyos tdrminos son fun-

ciones de la variable real r denominamos a estas Sucesiones, sucesiones de

funciones o sucesiones funcionales; es grande la importancia y muchas las

aplicaciones de las sucesiones de funciones. Citaremos s61o una, que con-

siste en construir nuevas funciones y exPlesal funciones mediante el paso

al limite en estas sucesiones de funciones'

Una importante diferencia con las sucesiones de nfmeros reales, que

estudiamos en el primer capitulo, es que en estas sucesiones definiremos

dos clases de convergencia. La convergencia puntual y la convergencia

uniforme.Las condiciones para la convergencia uniforme Son m6s exigentes que

las de la puntual, por lo que la convergencia uniforme es mds fuerte que la

puntual,lo que implicar6, entre otras cosas, que transmite mds ProPiedadelde las funciones t6rminos (continuidad, derivabilidad, etc.) a la funci6r

limite.

Las funciones ft, fz, ..., fn se denominan t6rminos de la sucesi6n. Er

caso de poder definir todos los t6rminos de una sucesi6n mediante uru

f6rmula, por ejemplo f.(r) : rln(n f 1), dicha f6rmula recibe el nombr<

de t6rmino general.A lo largo de este este capitulo en lugar de referirnos a la sucesi6n fun'

cional {/,,} donde cada fn asigna a cada r e D el valor f"(r), escribiremot

porbrevedad la sucesi6n funcional {f"(r)}, n € D. El lector debe notar qur

estamos realizando un abuso de notaci6n puesto que /'(r) es un ntimer<

para cada r y no una funci6n.

EJnrunro L.50. La sucesi6n de funciones {/"(")} : {*}como elementos las funciones constantes dadas por fi(z)..', f"(*) : LlnPara r € IR"

parar€lR,tienr: l, fz(r) : l12

I

1.5 Sucesiones y series de funciones 57

Eyrnaruo 1.5L. La sucesi6n de funciones {sen(nr)} para r e [0,1], tienecomo elementos las funciones dadas por f1(r) : sen r, fz(r) : sen 2tr, .. .,

f"(r) : sen(nr) para r € [0, 1]. rAl igual que ocurria con las sucesiones de nfmeros reales nos vamos

a plantear c6mo averiguar el comportamiento de una sucesi6n funcionalcuando rz tiende a infinito.

Por lo tanto {/"} converge puntualmente en D a f si para todo r e Dse verifica

)ry;f"@) : f (r)-

Una primera cuesti6n que se nos plantea es la conservaci6n de la con-tinuidad al pasar al limite. Es decir, si todas las funciones fr, fz,. .. , fn,. . .

que conforman la sucesi6n son continuas y la sucesi6n funcional {/r} con-verge puntualmente, entonces asu limite f seft tambi6n continua?

Veamos algrin ejemplo de sucesiones funcionales con convergencia pun-tual.

E;nuno 1.52. Consideremos Ia sucesi6n funcional {f"(")} con ,r € 10, 1]

dada por f"(r) : rn para r, € N.

Para que la sucesi6n tenga limite puntual debe existir lfm,,--yoo f.(*) :limrr-oo rn para todo r € [0, 1]. Claramente , si tr : 0, el limite anteriorexistey es 0porque limrr-- f"(0): lfmrr--'oo0:0; sir:1, ellimite existey es 1 porque limrr--'oo f"(7) : lfmr--y- 1 : 1. Por otro lado, si 0 < r < 1

sabemos que lim,r-oo :t:n : 0. Por 1o tanto, la sucesi6n funcional convergepuntualmente y su limite es

/(") : { ?; o,=:"r. r,

/'Fijemonos en que las funciones ft, fz,. . . , fr,. . . son continuas, sin em-

bargo,la funci6n limite / no lo es. La siguiente figura muestra la grdfica dealgunos elementos de la sucesi6n y de su limite puntual.

58 Cepfruro 1 / El paso al lfmite

IEl Ejemplo 1.52 contesta a la cuesti6n planteada en la piigina anterior,

resultando lo siguiente.

En el pr6ximo apartado introduciremos una nueva definici6n de con-vergencia, m6s exigente que la puntual, y que si conserva la continuidadtras el paso al limite.

Convergencia uniforme

Expondremos a continuaci6n la definici6n de convergencia uniforme.

Teniendo en cuenta que

lf"@) - f@)l < sup {lf"@) - f@)l}n€D

i

l

1.5 Sucesiones y series de funciones 59

es sencillo comprobar la siguiente relaci6n entre los dos conceptos de con-vergencia que hemos presentado para sucesiones funcionales.

En los pr6ximos ejemplos veremos que el reciproco del Teorema 1.5 noes cierto, es decir,la convergencia puntual no implica la uniforme. Por otrolado, el Teorema 1.5 nos ayuda a establecer c6mo estudiar la convergen-cia uniforme: esfudiamos la convergencia puntual, si no existe, tampocotendremos convergencia uniforme; si existe, utilizamos la funci6n limiteobtenida para estudiar la convergencia uniforme.

Elnrrno L.53. Sea f,(*) : ry Estudiemos la convergencia puntual yuniforme de {/,(r)} en R.

Abordamos primero la convergencia puntual. Claramente, si tr : 0,

,f" (0) : 0 para todo n. Luego lim,,-yoo./"(0) : 0.

Por otro lado, si fijamos cualquier r + 0, resulta

1i1yf,(,) :JS.#:0,

porque el seno toma valores entre -1 y 1 y la sucesi6" {#} converge a 0.

En resumen, Iimrr-- f*(*) : 0 para todo r € IR y en consecuencia

{f .(")} converge puntualmente a la funci6n f (r) : 0 en 10, oo).

Estudiemos la convergencia uniforme. Construimos:

lf,(r) - f@)l : lf,(r)- 0l : l#lDebemos averiguar el valor supremo de la expresi6n anterior para r e

IR, que previsiblemente depender6 de n, y posteriormente estudiar el limitede ese supremo al hacer tender n a infinito. A veces, ser6 sencillo el c6lculodel supremo; otras, deberemos recurrir a conocimientos sobre cdlculo deextremos, que veremos mds adelante en este texto.

En el caso que nos ocupa, utilizamos que lsen rl < 7 para todo r € IR, yen consecuencia

1< r'sup {l/,(r) - /(")l}: l#lze [0,oo)

60 Cnpfruro 1 / El paso al limite

En principio, no hemos calculado el supremo, pero hemos acotado su

valor por exceso mediante una sucesi6n que converge a 0. Como ademds se

trata de un supremo de un conjunto de nfmeros en valor absoluto resulta

0< sup {lf"@)-f@)l}ze [0,oo)

Y aplicando la Propiedad del emparedado obtenemos que

J*":,tL ,{lr"@) - /(")l} : o'

Luego { f ̂ (")) converge uniformemente a la funci6n f (*) : 0 en [0, oo).

La figura que aparece a continuaci6n muestra la grilfrca de algunos elemen-tos de la sucesi6n y c6mo se aproximan a la funci6n constante .f (r) : 0 en

el semieje positivo.

-Como adelantamos,la convergencia uniforme conserva la continuidad.

Conviene resaltar que la condici6n de convergencia uniforme no es

necesaria para que la funci6n limite sea continua. En los siguientes ejem-

plos estudiaremos sucesiones de funciones continuas que convergen pun-tualmente a funciones continuas y sin embargo no existe convergencia uni-forme.

1< r'

I

I

m

LF

:

iIt

i,.r'*t'itifi.-T:F!MT..4$l: rr#q

1,.5 Sucesiones y series de funciones 6l

E;Eunro 1.54. Estudiemos la convergencia puntual y funcional de la suce-si6n {/"} dada por

{f,(")}: {u'"ts1} en IR.

Comenzamos con la convergencia puntual, puesto que

lfm arc tg!:arctg lim 9: arctg0:0?1,-+OO n n-+@ n

para todo , € IR, tenemos que la sucesi6n converge puntualmente a la fun-ci6n llmite f (*) :0.

Pasamos a estudiar si la convergencia puntual es tambi6n uniforme.Para ello construimos:

lf,(*) - f (")l: larcts ; -rl: l*.r* ilEn este caso es sencillo comprobar que:

larc ts f I = ::n larc

ts (;)l: ;Y como

#*i: i + o

no hay convergencia uniforme.

E;ruruo 1.55. Sea la sucesi6n de funciones dada por

nrf"(r):TTnrir, z€R.

Todas ellas son continuas y convergen puntualmente a f (*) : 0 paratodo z e IR.

Por otro lado, observando la expresi6n de las funciones /r, tenemos que

fn(*) : ;Luego

sup l/,(r) - r(dt- lr (*) - ol : ;,y la sucesi6n no converge uniformemente. En la siguiente figura aparecenlas griificas de los primeros elementos de la sucesi6n y podemos observarque siempre toman el valor 0,5 y -0,5.

I

62 Cepfruro 1 / El paso al limite

ISe puede dar una interpretaci6n grdfica a la convergencia uniforme.

Cuando nos encontramos ante una convergencia uniforme y dibujamos lasgrdficasde/* €y f - econ6 > 0,6stasdefinenunabandacentradaenlagrilftca de la funci6n limite /.

Llamando U, (f) la colecci6n de todas las funciones cuyas gr6ficas estdncontenidas en esta banda, la convergencia uniforme de f, -+ f se puedeestablecer diciendo que para cada e > 0, existe un ns tal que para todon ) no todas las f n est6n incluidas en U, (f). Con otras palabras, construidala banda f + e y f - e, apartir de un valor ns, todos los t6rminos de lasucesi6n a partir de ns, {fn}r>no, deben estar contenidos en la mencionadabanda si la convergencia es uniforme.

L.5.3. Series de funciones

De la misma forma que definimos las series de nfmeros reales a partirde las sucesiones de ntimeros reales, ahora introduciremos las series fun-cionales.

A partir de una sucesi6n funcional {/"} er D podemos definir otra {fl',}con el mismo dominio de la forma siguiente

nFz: h t fz, Fs: ft -t fz * fs, tr*:\ fe .

i.:t

La sucesi6n funcional {F"} se llama sucesi6n funcional de sumas par-ciales de {f.} y para cada n suma los t6rminos de {/,} desde el primerohasta el n-6simo.

F1

LY

Ii, l l,rtiilriirllitirirlllllilffill'rilHffilll!1il11ffiMl]iflffififfi

I

L.5 Sucesiones y series de funciones 63

Como ya ocurri6 en el tema dedicado a las series de nrimeros, pese a ladefinici6n anterior, no utilizaremos la notaci6n ({f"},{4}) para referirnosa las series funcionales sino que emplearemos la m6s tradicional e intuitivaoo oo

D t"en D o \, f,{"), x: € D. Recuerde que si tenemosdefinidas funciones fn paran>p€Zpodemosdefinir)-:- - f. de forma similara como definimos D7, f-Asi, por ejemplo, podremoshablar de D}o f. si ten-emos definida la funci6n /s.

Lo que quiere decir que para cada nconverge a F(r).

Al igual que hicimos en la secci6nconvergencia absoluta y su relaci6n con

€ D la serie num6dca\i, f"(r)

dedicada a series establecemos laIa convergencia puntual.

El siguiente resultado es consecuencia inmediata de que, como sabe-mos,la convergencia absoluta garantice la convergencia para series de nri-meros reales.

Por riltimo, definiremos la convergencia uniforme.

A la vista de estas definiciones y las propiedades que estudiamos parasucesiones funcionales tenemos que si la serie una funciones converge uni-formemente en D c IR tambi6n converge puntualmente en D.

64 Capiruro 1 / El paso al lfmite

Veamos a continuaci6n eI criterio de Weierstrass que establece una con-dici6n suficiente para Ia convergencia absoluta y uniforme de una seriefuncional.

A continuaci6n veremos un ejemplo sencillo en el que estudiaremos laconvergencia de una serie funcional.

E;nvrruo 1.56. Dada la sucesi6n de funciones {/"} siendo

(n:0,7,2,...)

nos proPonemos:

1. Estudiar la naturaleza de las series num6ricas DLo f" e), DLo /" (1)y en caso de ser convergentes obtener su suma.

2. Estudiar la convergencia puntual en [0,1] de la serie de funciones

DLo fn asi como la convergencia uniforme.

3. Estudiar la convergencia uniforme en 11,t].

Resolveremos el ejemplo apartado por apartado.

1. Sin mds que sustituir resulta

ittol ::+:: 0

T:0,

luego la serie num6rica ILo /,(0) es convergente y su suma es 0.

L.5 Sucesiones y series de funciones 55

De forma similar

ir't,):n:0

3"-l e-l\2 "" -t=

luego la serie num6rica DLo /"(1) es convergente y su suma es e.

2. Comencemos con la convergencia puntual. En el apartado anterior yahemos estudiado el comportamiento Para r: 0 y r : l. Si r e (0, 1)

resulta una serie geom6trica deraz6n ! < t y por tanto

@

\, f"t") :n:o

Luego la serie converge puntualmente en el conjunto [0,1] a la fun-ci6n

( o, r:0,s@):\e", r€(0.1] .

Como todas y cada una de las funciones fr(r) : # son continuas

en [0,1] y la funci6n g, ala que convergen puntualmente, no lo es,

tenemos que la convergencia no puede ser uniforme.

3. Utilizaremos el criterio de Weiestrass. La monotonia de la funci6nexponencial hace que en el intervalo lj, r] se verifique ("t)" { ("')" ,

luego #* < -+.-,lo que implicaa \e_)._ ("r). r r

le"-ll e-1r-r /

-I e"* l' e"lz '

Ahora bien, la serie de t6rmino general # "" convergente por ser

una serie geom6trica deraz6n en valor absoluto menor que 1, y aplicando el criterio de Weiestrass tenemos que'la serie lpo /," es uni-formemente convergente en [1, t].

e'-7 : er.

66 Clpfruro 1 / El paso al lfmite

Series de potencias \Dedicaremos este apartado a estudiar un tipo concreto de series fun-

cionales, llamadas series de potencias, en las que la sucesi6n funcional quedefine a la serie es f"(r) : ar(r - ,o)" para cierto rs f1jo y an € iR paratodo n.

Una serie de potencias ILo an(r - 16)' queda definida cuando se

conocen &n Y :Lo.El cambio de variable A : r - 16 transforma una seriecentrada €fl rs €n otra centrada en 0 con los mismos coeficientes

io"''n:0

Por este motivo, estudiaremos en este apartado las series centradas en 0.

Basiindonos en esta proposici6n, las series de potencias centradas en 0se pueden clasificar en:

Tipo L. Series de potencias que convergen s61o para el valor 0 de r. No es

de aplicaci6n la proposici6n anterior.

Tipo 2. Series de potencias que convergen en intervalos del tipo (-7,7),l-l,l), ?l,ll,l-l,.yl con ? e (0, oo), y no convergen para valoresde z tales que lzl ) 7. Estas series son absoluta y uniformementeconvergentes en cualquier intervalo l-k,k] con k < l pero la con-vergencia en los puntos -.1 o ^1, si tiene Iugar, puede ser absoluta ono.

i

t_

I-

1.5 Sucesiones y series de funciones 67

Tipo 3 Series de potencias que convergen para todo valor real de r; sonabsolutamente convergentes en todo punto de IR y uniformementeconvergentes en cualquier intervalo de IR..

Las series del tipo 1 se llaman series de potencias con radio de conver-gencia nulo. Las series del tipo 2 tienen radio de convergencia 1 e (0, -).Las series del tipo 3 tienen radio de convergencia infinito. Al intervalo for-mado por los puntos en los que una serie de potencias es puntualmenteconvergente lo llamaremos intervalo de convergencia.

EJEurro 1,.57. Lar".l" i nlrn converge rinicamente en r :0.n:o

Efectivamente, si r + }tenemos

nl!!nb" : cp

luego el t6rmino general no tiende a cero. Es del tipo 1.

E;rurro 1.58. La ,".i" i rn paracada valor de r da lugar a una serie

geom6trica de r az6n igu!l-! r.

Si lrl < 1, la serie DLo r' es convergente y su suma "r fr; si lzl > 1

resulta una serie cuyo t6rmino general no tiende a cero, es una serie deltipo 2 con radio de convergencia igual a 1, el intervalo de convergencia es(-1, 1) ya que en el punto -1 es una serie oscilante y en el 1 es divergente.

Recordemos que una condi-ci6n necesaria para la conver-gencia de una serie era que sut6rmino general convergiesea0.

Recuerde que los criteriosdel cociente y la rau se apli-can a series num6ricas det6rminos positivos.

6 ^fz

Eyruruo 1.59. Estudiemos de que tipo es la serie r,#n:0

Aplicando eI criterio de la nu al valor absoluto del t6rmino generalobservamos que para cualquier r fijo

tim lEy: Hm l'l : o.n-+oo ! ?In n-+@ n

Por lo tanto,la serie es absolutamente convergente para cualquier valor,luego es una serie del tipo 3 que es absblutamente convergente en todopunto de IR y uniformemente convergente en cualquier intervalo cerrado yacotado de IR..

-

L,

I

I

<-r

68 Cariruro L / El paso al limite

EJuunro 1.60. Veamos que la serie t +r' es convergente en el inter-

valo (-1,1]. n:o

Primero demostraremos que el radio de convergencia es 1, es decir,que la serie es absolutamente convergente para lrl < 1 y divergente para

l"l > l.Construimos la serie DLo la#*l: DLo *1"1" y aplicamos el

criterio del cociente, hacemos b,: *l*1" y tenemos

n l*1"*' _ rL t_t:--:-- n+I-W - nqt*t'igualdad anterior resulta

bn+I n'," '- lim lrl :lrl.bn. n-+oo 2, { | '

Luego por el criterio del cociente esta serie converge para l"l < 1 ydiverge para lrl > 1.

De ello se deduce que la serie original DLo ?1)" "" es absolutamente

convergente para l"l < 1 y divergente para l"l > 1. En otras palabras: elradio de convergencia es 1.

Veamos ahora qu6 ocurre en los extremos del intervalo r : -1y r : l.En r : -1, sin miis que sustituir resulta

m / 1\n , Sf,';.(-1)":L;n=0 n=0

que es la serie arm6nica, que, como sabemos, diverge.

Enr :1, sin mds que sustituir obtenemos DLo e#,que es una seriealternada convergente por el criterio de Leibniz.

Luego la serie DLo Gf)" ," es absolutamente convergente para lrl <1, divergente en -1 y convergente en 1. El intervalo de convergencia es

bn+r

bn

Tomando limites en la

limri-+oo

IAntes de pasar a enunciar criterios que ser6n de gran utilidad para el

c6lculo del radio de convergencia de series de potencias, conviene que ellector recuerde que las series de potencias DLo antrn son un caso particu-lar de series de funciones y como antrn sonfunciones continuas en IR, resul-ta que la funci6n suma de una serie de potencias es continua en el interiordel intervalo de convergencia puesto que alli la convergencia es uniforme.

i

I

'r*rd,

!

1,.5 Sucesiones y series de funciones e

Los siguiente criterios nos ayudan a calcular el radio de convergenciaestudiando el comportamiento de los coeficientes de la serie de potencias.

E;nvmro 1.5L. obtengamos el radio de convergencia de la serie de poten-cias: i""

f'--'3+t'Puesto que

)gLVEf:,lgL "'t1-tV lst+tl

: 11llm -: -.n-+oo 3 3'

aplicando el Criterio de la raiz el radio de convergencia es I : ! - 3 yel intervalo de convergencia (lverifiquelo!) ser6 el conjunto de punlos talesque lrl < 3. T

E;E*mo 1-.62. Obtengamos el radio de convergencia de la serie de poten-cias:

if"+1)(r _ 2)'.n-0

Puesto que

rimantl: lim '17:1.n-+(x) o,n n-+6 n

aplicando el Criterio del cociente el radio de convergencia es 7 : 1 y elintervalo de convergencia (lverifiquelo!) serd el conjunto de puntos talesquelr-21<1.

70 Capiruro 1 / El paso al limite

Ejercicios de Autoevaluaci6n

Determinese si las siguientes afirmaciones son verdad.eras:

1. El centro y el radio del intervalo [-1,3] son 1 y 2 respectivamente.

2. Todo subconjunto acotado A de nrimeros reales verifica sup A e ,4.

3. Una sucesi6n de nfmeros reales puede ser a la vez no convergente yacotada.

a. Si {la"l} converge, entonces tambi6n converge {4,",}.

5. Sabiendo que an * 0 V i ",es convergente, se verifica

n:7

limn-+@

(L+ar)"*:".

6. La serie i(-t)"'*n! ""convergente por el Criterio de Leibniz.

n:7

fSi f y g son funciones continuls en a, entonces es continua I en a.

g

Sea / continua en el intervalo cerrado y acotado 1. El m6todo de la

bisecci6n puede aplicarse a la ecuaci6n f (r) : 0 en 1 siempre que

exista un c € l tal que /(") : 0.

La convergencia uniformemente garantiza la convergencia puntual.

oo

Sea ! an(r -rs)n. Si )4^:-: 3, entonces el radio de convergen-n:o n--+cn an+\

1cia de la serie de potencias es

d.

7.

B.

9.

10.

tE