1Cu a d e r n i llod e p r oc e d im ie n t os p a r a ela p r e n d iza j eCO NLACOLABO RACIN D E V c t o r Ma n u e lMor a Go n z l e z(Ver s in p a r a fa s e in ic ia l)CLCULO INTEGRAL2C LC ULO INTEG RALCuadernillo de procedimientos para el Aprendizaje2000. Secretara de Educacin Pblica/Direccin General del BachilleratoCOSTO DE RECUPERACIN $ 12.003NDICEPresentacin........................................................................................................................................................... 5UNIDAD I. La integral como rea bajo una curva................................................................................... 71.1. Integral..............................................................................................................................................................81.1.1. reas por aproximacin de lmites de sumas......................................................................................... 81.1.2. Suma de Riemann......................................................................................................................................... 111.1.3. Integral definida........................................................................................................................................... 111.1.4. Teorema fundamental del clculo............................................................................................................. 141.1.5. Antiderivadas................................................................................................................................................. 161.1.6. Clculo del rea de regiones comprendidas entre dos curvas............................................................ 16Qu he aprendido?................................................................................................................................................. 19Quiero saber ms...................................................................................................................................................... 22UNIDAD II. La integral indefinida................................................................................................................232.1. Integral indefinida...........................................................................................................................................242.1.1. Antiderivada...................................................................................................................................................242.1.2.Reglas bsicas de integracin................................................................................................................... 25Qu he aprendido?................................................................................................................................................. 28Quiero saber ms...................................................................................................................................................... 29UNIDAD III. Mtodos de integracin..........................................................................................................303.1. Mtodos de integracin.................................................................................................................................313.1.1.Mtodo de Integracin por sustitucin.................................................................................................313.1.2.Mtodo de integracin por partes........................................................................................................... 323.1.3.Aplicacin de los mtodos de integracin por sustitucin y de integracin porpartes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonomtricas................................................... 34Qu he aprendido?................................................................................................................................................. 38Quiero saber ms...................................................................................................................................................... 40UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral.....................................................................................................414.1. Clculo de volmenes......................................................................................................................................424.2. Aplicaciones del Clculo Integral en la Geometra.................................................................................484.3. Aplicacin del Clculo Integral en la Fsica..............................................................................................504.4. Determinacin del trabajo fsico realizado por una fuerz......................................................................55Qu he aprendido?.................................................................................................................................................56Quiero saber ms......................................................................................................................................................5745PRESENTACINCLCULO INTEGRALLa presente gua de aprendizaje de Clculo Integral tiene como propsito ayudaralestudianteinscritoenlamodalidaddeeducacinmediasuperioradistanciapara que, mediante el estudio independiente y a travs de las actividades que seplantean, vaya adquiriendo paulatinamente el conocimiento suficiente del clculointegralylogre,entonces,aplicarlocomounaherramientasumamentetilypoderosa en el anlisis de diversos fenmenos y en la resolucin de problemassencillos.ElprogramadelaAsignaturacomprendecuatrounidades.EnlaunidadI,sesientan las bases del clculo integral relacionndolo de manera esencial con elclculo diferencial a travs del teorema fundamental del clculo. Estudiaremos alaIntegralcomosumayalavez,comoladeterminacindelreaque,enunintervalo especfico, se desarrolla bajo la curva representativa de una funcin. Lasuma de Riemann se convertir en un auxiliar muy valioso para poder llegar a ladeterminacin del rea bajo la curva. La unidad concluye con una aplicacin de loaprendido enla determinacin del rea entre dos curvas.LaintegralindefinidaseestudiaenlaUnidadII,entendiendoyaplicandopreviamentelasantiderivadasylallamadaconstantedeintegracin.Aprenderemos algunas de las reglas bsicas de la integracin para poder resolveralgunos problemas elementales.Los mtodos de integracin por partes y el de sustitucin se estudian en la terceraUnidad. El dominio de los mencionados mtodos se aplicar en la integracin defunciones algebraicas, potencias y funciones trigonomtricas.Por ultimo, en la Unidad IV se estudiarn algunas de las aplicaciones de la integral,en primer lugar calculando volmenes de figuras regulares o irregulares y despusen situaciones tan variadas como la determinacin del centro de masa de un objeto,la velocidad del flujo sanguneo, la presin hidrosttica sobre la cortina de unapresa, el clculo del trabajo efectuado en un sistema fsico, etctera.Como siempre, para poder abordar con xito y provecho todos los contenidos delcurso es necesario que el estudiante posea una excelente disposicin al trabajo,puesto que en este caso, como en otras reas de la vida, es la nica manera detriunfar.Porotroladoesfundamentalqueseleandetenidamentelostextosmarcados en las actividades y que se tenga siempre a la mano un cuaderno paratomar las notas pertinentes as como una calculadora cientfica para efectuar losclculosnecesarios.Sugerimosirrealizando,simultneamentealalectura,losejercicios marcados en el texto y repetirlos una y otra vez hasta que se logre undominiosuficientedeltema,puestoqueenelclculo,msimportantequeelmemorizar los procesos o las frmulas es el entender qu es lo que se est haciendoy hacia dnde se pretende llegar. En caso de que haya dudas habr que volversobre el texto y solicitar la ayuda del Asesor.Por ltimo, puesto que siempre son bienvenidas y provechosas las observacionesque respecto al presente trabajo pudieran tenerse, les suplicamos hacerlas llegara la Coordinacin de Educacin Media Superior a Distancia. De antemano, gracias.6Ubicacin de la asignaturaLaasignaturadeClculoIntegralseimparteenelVIbloqueyformapartetantodelcampodeconocimientodelasmatemticascomodelreapropedutica,raznporlacualnosolamentecomplementa la formacin del estudiante de la modalidad sino que tambin le prepara para abordarestudios superiores en diversas ramas del conocimiento. Por otro lado cabe sealar que con ClculoIntegral se cierra el campo de conocimiento matemtico que comprende desde Matemticas I, II, IIIy IV hasta Clculo Diferencial incluyendo asimismo, la presente asignatura.Objetivo de la asignaturaAplicar el Clculo Integral a travs del anlisis del comportamiento grfico de una funcin y determinarelreabajadeunacurvautilizandolosdistintosmtodosdeintegracin,paralaresolucindeproblemas.7UNIDAD I UNIDAD IUNIDAD I UNIDAD I UNIDAD ILA INTEGRAL COMO REA BAJO UNA CURVAObjetivo de la Unidad:Aplicarlaintegraldefinida,atravsdelaaproximacinsucesiva de las reas de regiones en el plano y la antiderivadade funciones polinomiales, para resolver problemas sencillosen las diferentes reas del conocimiento.QU VOY A APRENDER?Al inicio del curso de Clculo Diferencial se introdujo el concepto de la derivada con el auxiliodesurepresentacingeomtricacomolapendienteaunacurva.Enlapresenteunidadcomenzaremos tambin, de una manera intuitiva, a comprender qu es la integral al interpretarlacomo el rea bajo la curva representativa de una funcin.De manera previa se estudiar lanotacin sigma o sumatoria para aplicarlo a la medicin de reas por aproximacin de lmitesde sumas. Una manera muy apropiada de lograrlo se conoce como suma de Riemann. Una vezentendido lo anterior se podr entender y aplicar la integral definida adems de evaluar lasllamadas antiderivadas que son precisamente las operaciones inversas a la diferenciacin.Alterminarelestudiodelapresenteunidad,debersestarcapacitadoparapodercalcularreasderegionescomprendidasentredoscurvasdetalsuertequeenfrentesconxitolaresolucin de algunos problemas sencillos.El estudio de esta unidad requiere, por tu parte, que ests muy atento a las explicaciones queproporciona el autor del texto que estaremos usando y, por otra parte, que hagas el esfuerzo deresolverporcuentapropia,siesnecesarioconlaayudadelasesor,losproblemasquetesugeriremos y para los cuales hemos presentado, en algunos casos, no solo las soluciones, sinotambinlosdesarrollosconlasanotacionesqueconsideramospertinentesparatumejorcomprensin del proceso.Las actividades para la seccin cmo aprendo? estn referidas siempre, salvo que se indique locontrario, al siguiente texto:Stewart, James.Clculo, trascendentes tempranas. Mxico, International Thomson Editores, 1998.81.1. INTEGRALObjetivo:Determinarlaantiderivadadefuncionespolinomiales,atravsdelanlisisdelarelacinentrelaantiderivada y el rea bajo la curva, para la solucin de problemas sencillos.1.1.1. reas por aproximacin de lmites de sumasDespusdeefectuarunalecturaatentaycuidadosadelaspginas322ala326dellibro de Stewart, James.Clculo, trascendentes tempranas. Mxico,International ThomsonEditores, 1998. realiza las siguientes actividades:1. Copia en tu cuaderno el esquema de la notacin de sumatoria y escribe cmo se denota elinicio y el trmino de la suma y cul es el signo empleado para la sumatoria, (de qu idiomaproviene?).2. Al revisar los ejemplos de la pagina 323 del libro citado, toma nota de la forma en que se vansustituyendo los trminos dentro de la funcin indicada al realizar la suma. Intenta expresarpor escrito, con tus propias palabras, el proceso empleado.3. Anota en el siguiente cuadro los teoremas correspondientes a la sumatoria junto con unejemplo ilustrativo.CMO APRENDO?TEOREMAS DE LA SUMATORIATeorema Ejemplo94. Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios tomados del texto de Stewart seccin 5.1y despus intenta resolver los que se encuentran bajo el mismo nombre en la seccin Quhe aprendido?En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma desumatoria, los siguientes ejemplos intentan aclarar cmo se procede:Por ejemplo, en la siguiente suma:7 6 5 4 3 + + + + puedes darte cuenta de que el trminoiniciales3,portantoi=3yeltrminofinales7.Porotroladolafuncinenlacualseinsertarn los trminos es la raz cuadrada, por ello la suma puede expresarse como sigue:71 iiAhora consideremos la siguiente suma: 122334451920+ + + ++ ... el trmino inicial es i = 1 y eltrmino final es i = 19, la variacin que se presenta es que el denominador es mayor por unaunidad que el numerador, por ello, una posible representacin de la sumatoria es:iii+1119Ejemplos de aproximacin por lmites de sumasPrimer ejemplo: Empleando la aproximacin por lmite de sumas, determina el valor delrea bajo la curva de la siguiente funcin:2x 16 f(x) 1.[ ] 0.4 intervalopuntos de particin 0 1 , , , ,234';puntoxi* dentro del i-simo intervalo: extremo izquierdoEjemplos de como desarrollar una sumatoria11131415161716ii+= + + ++ +== 11+ 1+ 12+1+ 13+1 + 14+1+ 15+ 1+16+1 12i3i == + +463 3 34 5 6x x x x xkk == + + +585 6 7 8Observa que el trmino iniciales i=1 y el trmino final esi = 6, por lo que al sustituir enla expresin tenemos lasolucin como se muestra.10En primer lugar hacemos:4 = x3 x 2 x 1 x x4=3= 0 =0 2 1y calculamos de la siguiente manera:1 = 3 - 4 x1 = 2 - 3 x1 = 1 - 2 x1 = 0 - 1 x4321 Por consiguiente, la norma de la particin se determina como sigue: P = max,,,1 1 1 1 1';

Sustituyendo y procediendo a calcular la suma, tenemos:

f xi if x f x f x f xi o + + +41 2 3 4 0 1 2 3 (*) ( ) ( ) ( ) ( ) x = 16 (1) + 15 (1) + 12 (1) + 7 (1)= 50Ahora, verifica tu aprendizaje resolviendo los ejercicios que encontrars en la seccinQu he aprendido?Compara tus resultados con las soluciones. Si no coinciden vuelve arepasar e insiste hasta llegar a la solucin correcta.111.1.2. Suma de RiemannLee de la pagina 328 a la 335 del libro Stewart, James. Op. cit. A partir de la lectura teproponemos las siguientes actividades:1. Asigna valores entre 0 y 1 para la funcin y = x2, elabora la tabla correspondiente y enpapel cuadriculadotraza la curva que representa a la funcin (te sugerimos que para laescala de cada eje, le asignes a cada cuadrito el valor de 0.05 unidades). Ahora intenta unaaproximacin a la medida del rea bajo la curva dentro del intervalo marcado, contando loscuadritos que quedan dentro de dicho espacio (si seguiste la sugerencia, cada cuadrito tendrcomo superficie 0.0025 unidades). Compara tu estimacin con los resultados de la suma deRiemannqueaparececomosolucindelejemplo1(p.328)yrespondelassiguientespreguntas:a) Qu tanto te pudiste aproximar?b) Qu dificultades tuviste para lograr que tu estimacin fuese lo ms exacta posible?c) Qu tanto se acerc al resultado de la suma de Riemann?2. Anota en tu cuaderno los conceptos de particin de un intervalo, norma de la particin y elsignificado de xi* . Explica, con tus palabras, cul es la repercusin en la medicin del reabajo la curva al considerar a xi* en el extremo derecho, en el extremo izquierdo o en elpunto medio del subintervalo Dxi.:, despus responde:a)Elreaestimadasermsgrandequeelreareal?,omspequea?,Justificatusrespuestas.3. Escribe en tu cuaderno tu apreciacin en torno a que es lo que suceder con el ancho de losrectngulos de aproximacin cuando la norma de la particin (|| P ||) tiende a cero.1.1.3. Integral definidaLee de la pgina 336 a la 344 del libro de Stewart, James.Op. cit., y partiendo de lainformacin que proporciona, realiza las siguientes actividades:1. Anota en tu cuaderno la definicin de una integral definida y explica la relacin entre ella yla Suma de Riemann.2. Completa el siguiente cuadro:ELEMENTOS DE LA INTEGRAL DEFINIDAElemento Smbolo representativoIntegralIntegrandoLmite superiorLmite inferior 123. Responde en tu cuaderno: La integral siempre representa a un rea? Justifica tu respuesta.4. Escribe los criterios para considerar a una funcin integrable.5. Explica las ventajas de seguir la regla del punto medio para la medicin del rea bajo lacurva.6. Copia en tu cuaderno y tambin en una ficha de trabajo las propiedades de la integral.7. Revisa los siguientes ejemplos para la evaluacin de integrales definidas poniendo especialatencin en los procedimientos:Ejemplo 1. Evala la integral dentro de los lmites que se establecen:21211 2+ -221x1-11 -x 1 + 2 -x= dx x=--

212221- =11-21-=+- =Ejemplo 2.=+- = + -21212122121225212dx xdx 4 dx x 5 = dx3 + 4xdx - x 5 3)dx 4x (5x3

]++ ==3(1) 2(1) -35(1)- 3(2) 2(2) -35(2)3x + 2x -35x 23232123

+ - -+ - =39 36 35 318 324 340

326=38-334=En primer lugar evaluamos la integral ymarcamos los lmites dentro de los cuales sest calculando su valor.Sustituimos los valores en la expresinencontrada.Y este es el resultado final.13Ejemplo 3.10+ - = + -23y62y10ydy3y) 2y (y2 6 105 910

154115193038304530103030233110123y3y10y102 6 10= = =+ - =-+ - =+ - =141.1.4. Teorema fundamental del clculoLeedelapgina347ala355dellibrodeStewart,James.Op.cit.,ytrabajaenlassiguientes actividades:1. Anota en tu cuaderno las definiciones de la primera y segunda parte del teorema fundamentaldel Clculo junto con un ejemplo ilustrativo y tus notas personales sobre el significado y laaplicacin de cada parte del teorema mencionado.2. Responde en tu cuaderno:a) Por qu razn se le da a este teorema el nombre de Teorema Fundamental del Clculo?b) De qu manera se relaciona a la derivacin y a la integracin?3. Observa los siguientes ejemplos correspondientes a la primera parte del teorema fundamentaldel clculo:Ejemplo 1.Aplicando la primera parte del teorema fundamental del Clculo, determina laderivada de las siguientes funciones:a)g(x) = 1x (t2-1)20 dt b) g(x) = tx211 + dtcomo f(t) = (t2-1)20 es continua, tenemospuesto que f(t) = t21 + es continuag(x) = (x2 - 1)20 que es la solucin. la solucin esg(x) = x21 +Ejemplo 2. Usa la segunda parte del teorema fundamental del Clculo y evala la integral odefine si no existe.a)24(3x - 5) dxAplicando las frmulas para integracin inmediata y evaluandotenemos:24(3x - 5) dx =( )( )( )( )( )( ) ( )3 53253 425 43 225 224 20 6 10 4 16 12242242 2x dxxx + 1]11111

1]1111

1]111115b)x dx x dx 120404x xx1222122204323204233204++ 1]1111111111]1111111111]1111111evaluando= 23(4)3/2 - 23(0)3/2= 23(8) = 163= 163c)sent dt34 = 1]11cost43= (- cos 3) - (- cos 4)= (-0.5) - (-0.7071) = -0.5+0.7071= 0.2021Ejemplo 3La funcin de velocidad de un punto material que se mueve a lo largo de una recta est dadapor la expresin:v(t) = 3t - 5Calcula:a) el desplazamientob) la distancia recorrida en el intervalo o t 3Solucin:Para determinar el desplazamiento del punto material integraremos la funcin de velocidaddentro del intervalo marcado:( ) 3 532520303t dttt 1]111116Evaluamos dentro de los lmites marcados:

1]1111

1]11113 325 33 025 0272302322 2( )( )( )( )m4. Despus de observar lo anterior, anota por lo menos 2 ejemplos de situaciones en los que seaplica el teorema fundamental del clculo.Ahora intenta la resolucin de los ejercicios que te marcamos en la seccin Qu heaprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor.1.1.5 AntiderivadasSeguramente, despus del estudio de las secciones anteriores, habrs podido darte cuenta deque la integracin tambin puede recibir el nombre de antiderivacin puesto que es la operacininversa a la diferenciacin.Parapoderentendermejorelconceptoylasoperacionesparallevaracabolasantiderivadas, lee de la pgina 307 a la 313 del libro de Stewart, James. Op. cit. y ademsrealiza las siguientes actividades:1. Escribe en tu cuaderno la definicin de antiderivada.2.Copiatantoentucuadernocomoenunafichadetrabajolatabladefrmulasdeantidiferenciacin.3. Explica por qu razn se agrega una constante al calcular la antiderivada.4. Explica cul es el significado geomtrico de asignar valores diferentes a la constante queresulta al antiderivar.1.1.6. Clculo del rea de regiones comprendidas entre dos curvasUna aplicacin muy importante del clculo integral es la determinacin del rea comprendidaentredoscurvas.Esteproceso,resueltoenformaaritmticaresultadifcilyenocasionesimposible, es entonces cuando la integracin se convierte en herramienta inapreciable paralograr la solucin. Para abordar este tema tan importante, realiza la lectura de las pginas 380ala385dellibrodeStewart,James.Op.cit.yconbaseenlainformacinproporcionada,realiza las siguientes actividades:1. Revisa atentamente cada ejercicio propuesto en el texto y elabora, por tu cuenta, la tablacorrespondiente asignndole valores, dentro del intervalo propuesto,a la variable x. Actoseguido, traza la grfica correspondiente en papel cuadriculado y evala la integral definidadentro de los lmites marcados.172. Anota en tu cuaderno tu explicacin de lo que cambia en el procedimiento cuando:a) g(x) f(x)b) f(x) es a veces mayor y a veces menor que g(x)c) resulta mejor cambiar el intervalo del eje XX al eje YY.3. Observa la resolucin de los siguientes ejemplos y lee las notas explicativas para intentarposteriormente la solucin de los ejercicios que te marcamos en la seccin Qu he aprendido?Ejemplo 1.Calcula el rea de la regin sombreadarea de la regin sombreada = (x2 + 3)dx - xdx en el intervalo de -1 a 1Integrando resulta:A = xxx3 211332+ Sustituimos y calculamos con los valores indicados de -1 y 1, de lo cual tenemos:A = ( ) ( ) 133112 33 123 2 1312+ +

_,

_,

( ) ( ) = 213El rea buscada es igual a 213Para poder integrar, debemos tomar como variable independiente a y, por lo tanto, lasfunciones se escriben de la forma siguiente:y = x + 5 x = y - 5 , x = y2y = x2 + 31-1 xyLa curva que representa a la funcin y = x2 + 3est en una posicin ms alta que la recta querepresenta a la funcin y = x.Por otro lado, el rea sombreada se encuentraen el intervalo de -1 a 1, por lo que ya se puedeintuir que el clculo del rea sombreada sepodr hacer de la siguiente manera:18Escribimos las integrales correspondientes:A = y dy y dy

_,

521212Realizando la integracin se tiene:A = yyy2 312253

1]1 1]1 61013) 1 () 1 ( 52) 1 (32) 2 ( 522A333 2AhoraintentalaresolucindelosejerciciosquetemarcamosenlaseccinQuheaprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor19QU HE APRENDIDO?El libro de Stewart, James.Clculo, trascendentes tempranas. Mxico, International ThomsonEditores, 1998, tiene al final de cada captulo una serie de problemas para aplicar lo aprendido.Paraaprovecharlos, resolvimos algunos en la seccincmoaprendo? y te proponemos queahora intentes resolver los que te marcamos en esta seccin (como ayuda te presentamos lassoluciones), esto te permitir medir tu avance y, al mismo tiempo, detectar tus deficiencias enaquellos contenidos en los cuales no has logrado un dominio suficiente. Te recomendamos quesi tienes dudas vuelvas sobre el texto y consultes a tu asesor.reas por aproximacin de lmites de sumasa) Desarrolla las siguientes sumas:j n n n nj nn2 232 2 21 2 3 + + + + + ++ ( ) ( ) ( )f x x f x x f x x f x x f x xini i n n n n( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) + ++ +11 1 2 2 1 1 ii37= 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + +b) Expresa las siguientes sumas en notacin de sumatoria:2+ 4 +6. . . 2(n-1) + 2n Solucin: ( i) in21 11419116125136+ + + + +Solucin: 1216i i1 12 3 4+ + ++

_,

x x x x ...Solucin:(-1) xi iin0Suma de RiemannLos ejercicios para este tema se encuentran en la seccin 5.2 , pgina 335 del libro citado.Compara tus respuestas y si no coinciden revisa el procedimiento de los ejemplos.Ejercicio ADatos:sea la funcin f(x) = 2x + 1,los puntos de particin: {0,0.5,1,2,4}el intervalo: [0,4]x*i = extremo izquierdoEncontrar: la norma de la particin P, la suma de las reas de los rectngulos de aproximaciny trazar la grfica correspondienteSolucin:Solucin:Solucin:20Ejemplo 200.511.522.533.5401020304050607080904 cos xSolucin:P= 2A =14.5Ejercicio BDatos:sea la funcin f(x) = 4 cos xlos puntos de particin: {0,/6, /4, /3, /2}el intervalo: [0, /2]x*i = extremo izquierdoEncontrar: la norma de la particin P, la suma de las reas de los rectngulos de aproximaciny trazar la grfica correspondiente.SOLUCIN:P= /6EJERCICIO 4012345678900.40.81.21.6 22.42.83.23.6 4y21Integral definidaEvala las siguientes integrales:Ejercicio 1t tt6 2412 dt= Solucin: = 116Ejercicio 2xxdx2112+ Solucin: = 653 2 2 ( ) Ejercicio 3u u u du013+

_,

Solucin: = 2935Determinacin del rea entre dos curvasEjercicio 1: Determina el rea de la regin limitada por la curva y= x3 - 2x2 -5x+6 el eje xy las rectas x= -1 y x= 2 Solucin:= 15712Ejercicio 2: Determina el rea de la regin limitada por la curva y = cos 2xy las rectasy = 0, x= 4Solucin:=1Ejercicio 3: Determina el rea de la regin limitada por las curvas y = x,y= x3y las rectasx= -1,x= 1Solucin: 14 22QUIERO SABER MSA lo largo de este captulo hemos trabajado basndonos principalmente en las aportaciones deun gran matemtico alemn llamado Georg Friedrich Bernhard Riemann, autor, entre otrascosas, de la llamada Suma de Riemann. Sin embargo, vale la pena conocer un poco ms de suvida y de sus aportaciones. He aqu, resumida, su vida.Bernhard Riemann naci el 17 de septiembre de 1826 en Brezelenz, Hannover (hoy Alemania)y fue el segundo de seis hermanos.Fue educado por su padre hasta que alcanz la edad de 10aos. A partir de entonces un profesor de la escuela local ayud en su educacin.En 1840 Bernhard ingres directamente en el tercer grado en el Liceo de Hannover. Mostrun particular inters en el estudio de las matemticas y el director del Liceo lo alent paradedicarse al estudio de las matemticas prestndole textos de su biblioteca particular. Se cuentaque en una ocasin le prest a Bernhard el libro de Legendre sobre la teora de los nmeros yley las 900 paginas en tan slo seis das.En la primavera de 1846, Riemann ingres a la Universidad de Gotinga. Su padre, un ministroluterano, lo haba encaminado a estudiarteologa, de tal suerte que se matricul en la facultadde teologa. A raz de haber participado en algunas lecciones de matemticas le interes tantoestudiarlas que le pidi a su padre permiso para poder cambiar de carrera. Obtuvo el permisoy se inscribi en la facultad de filosofa que, a la sazn, era donde se estudiaba matemticasbajo la ctedra de Moritz Stern y GaussPosteriormente Riemann se cambia la Universidad de Berln en la primavera de 1847 paraestudiar bajo la direccin de Steiner, Jacobi, Dirichlet y Eisenstein. Fue una poca importantepara Riemann pues aprendi mucho de Eisenstein sobre el uso de las variables complejas en lafuncin elptica. La persona que ms influy durante esta etapa de la vida de Riemann fueDirichlet puesto que no solo le ense con profundidad sobre una gran cantidad de materias,sino que ms an, Riemann adopt para sus estudios matemticos el sistema de Dirichlet. Porotra parte, Riemann trabaj sobre la teora general de las variables complejas que formaranlas bases de su trabajo ms importante.En 1849 Riemann regres a Gotinga y su trabajo doctoral fue dirigido por Gauss, quien aldar su reporte sobre la tesisdescribi a Riemann como poseedor de una frtil y gloriosaoriginalidad.Por recomendacin de Gauss. Riemann obtuvo un puesto en la Universidad deGotinga. Durante ese tiempo elabor trabajos que ms tarde sirvieron a Einstein para darforma a la teora relativista de la gravitacin. A la muerte de Dirichlet, Riemann ocup lactedra de Gauss. Enferm de tuberculosis y pas los ltimos aos de su vida tratando derecuperar la salud. Por ello se traslad a Selasca, Italia donde muri en 1866.Las ideas de Riemann concernientes a la geometra del espacio tuvieron un profundo efecto enel desarrollo de la fsica terica moderna y provey de mtodos y conceptos usados ms tardeen la teora de la relatividad. Fue un pensador original desarrollando mtodos, teoremas yconceptos que trascendieron su existencia.Aclar la nocin de integral al definir lo que conocemos como integral de Riemann y tambines famoso por la hiptesis que lleva su nombre y que no ha sido an resuelta.23UNIDAD II UNIDAD IIUNIDAD II UNIDAD II UNIDAD IILA INTEGRAL INDEFINIDAObjetivo de la Unidad:Aplicar el concepto de integral, a travs del empleo de lasantiderivadasysuinterpretacinparalaresolucindeproblemas sencillos en las diferentes reas del conocimiento.QU VOY A APRENDER?Enelcaptuloanteriorseestudiaronlosfundamentosdelclculointegralyalaintegraldefinida,ahoradedicaremosnuestraatencindeformaespecialalaintegralindefinida.Seguramente habrs entendido que existe una notable diferencia entre ambas integrales, puestoque por un lado, la integral definida es en realidad un nmero, mientras que la integral indefinidaes una funcin.Un problema matemtico frecuente es el encontrar, a partir de la derivada, la funcin originalcorrespondiente. Las antiderivadas nos permiten lograrlo mediante una serie de procedimientosalgebraicos y frmulas establecidas que simplifican el proceso, razn por la cual se estudian enprimer lugar. La notacin de integral maneja una serie de elementos que es necesario conocercon detenimiento y el conocer las reglas bsicas de integracin nos prepara para aplicarlas enla resolucin de algunos problemas sencillos.Losejerciciosqueseresuelvendentrodelaguateayudarn,asloesperamos,paraquecomprendas tanto el procedimiento como el sentido matemtico y geomtrico de la integraldefinida. Procura seguirlos con atencin e irlos resolviendo simultneamente en tu cuadernode notas.24CMO APRENDO?2.1 INTEGRAL INDEFINIDAObjetivo:Determinar la antiderivada de funciones sencillas mediante el anlisis de la relacin entre laantiderivada y la integral definida, para la resolucin de problemas.2.1.1 AntiderivadaEstudia las pginas 307 a 313 del libro de Stewart, James. Clculo, trascendentes tempranas.Mxico,InternationalThomsonEditores,1998ypartiendodelainformacinquepresenta, realiza las siguientes actividades:1. Copia en tu cuaderno la definicin de antiderivada e intenta explicar de forma breve y contus propias palabras, cul es el significado de la antiderivada para una integral indefinida.2. Explica cul es la razn por la cual se agrega una constante arbitraria cuando se determinauna antiderivada general.3. Anota en tu cuaderno la tabla de frmulas de antidiferenciacin y agrega un ejemplo de cadauna de ellas. Agrega las notas que te parezcan pertinentes.4. Observa la resolucin de los ejemplos siguientes y resuelve a continuacin los que se proponenen la seccin Qu he aprendido?Determina la antiderivada ms general de la funcin:a) f(x) = 12x2 + 6x - 5Empleando las frmulas de la tabla, tenemos que:f(x) =12( x33) + 6( x22) - 5x + C= 4x3 + 3x2 - 5x + CSe comprueba que la antiderivada es correcta puesto que al derivar F(x) obtenemos f(x)b)f(x) = x99 - 2x49 - 1 f(x) = x xx100 50100250 +C = x xx100 50100 25 + C252.1.2. Reglas bsicas de integracinPara poder abordar este tema, realiza las siguientes actividades:1.Copiadelapgina352deltextodeStewart,James.Op.cit.,latabladefrmulasdelaintegral indefinida y completa el siguiente cuadro:2. Revisa con atencin los ejercicios que desarrollamos a continuacin y que te presentamospara que observes la aplicacin de la tabla de integrales indefinidas. Consulta a tu asesor encasodetenerdudassobrelosprocedimientosytrataderesolverlosejerciciosqueseencuentran en la seccin Qu he aprendido?a) Integra:4xdx4xdx = 4x dx = 4( x22) + C = 2x2 + CTABLA DE INTEGRALES INDEFINIDASIntegral Ejemplo26b) Integra: (3x2 - 2x)dx(3x2 - 2x)dx = 3x2 dx - 2x dx= 3x2 dx - 2x dx= 3( x33) - 2( x22) + C= x3 - x2 + Cc) Integra: x-2 dxx-2 dx = xCxCxC + ++ + +2 1 12 1 11d) Integra: x dxxdx = x1/2 dx = xCxCxC1222323212223223+++ + +e) Integra: 3x1/3 dx3x1/3 dx = 3x1/3 dx = 3( x13331333++) + C= 3( x4343) + C = 3(3443x) + C= 9443x + Cf) Integra:dxxdxxduuu C C++ + +

_,

11ln = lnx+1( )+21 xdxg) Integra:( ) + +1 x u : dondeudu1 xdx2 2+ +-1-1=1 + 2 - 2- CuC +1 2u= du u= C1 X1Cu1++ + 27h) Integra: sen xdx

sen xdx =-cos x+ ci) Integra: cos 4 x dxPara integrar u= 4x y du = 4 dxDespejamos a dx y tenemos: dx= du4Sustituimos:cos cos cossen 4x dx = u du4=14 u du= 14sen 4x+ c= 14 4

_,

+ x cj)( )

,_dx 1 + x sec 2 - x2sec = dx 1 - x sec2( ) c + x x tan + x sec ln 2 - x tan =dx 1 + dx x sec 2 - dx x sec =2+ 28QU HE APRENDIDO?Aplica lo que aprendiste al estudiar este captulo resolviendo los ejercicios que te proponemos.Compara tu respuesta con la solucin y si tienes dudas consulta nuevamente el texto y a tuasesor.Integrales indefinidas.Evala las siguientes integrales:a) (2x3 - x2 - 3x + 4) dxSolucin:x x xc4 3 22 332- - +b) ( x42+ 3x3 + 2 - x23) dxSolucin:xxxxc54 3103429+ + - +c) ( x +3x - 2) dxSolucin:233223 22xxx c/+ - +d) (4x2 - 2x ) dxSolucin: 433 3 2x x c - +/e) 434xxdx Solucin: ln x c4+f) +x dxx232Solucin: 1323ln+ +x cg) sen 2a xdxSolucin: - cos 2ax + Ch) (sec x -1)2 dxSolucin: tan x + 6 ln (sec x + tan x)+ 9x + Ci) sec2 5x dxSolucin: 1/5 tan (sec2 5x) + Cj) sec x( sec x + tan x) dxSolucin: tan x + sec x + Ck) (3 cos x - 4 sen x + 12x) dxSolucin:3 sen x + 4 cos x - 1x + Cl) exdxSolucin: ex + C29QUIERO SABER MSFermat, Roberval y Cavalieri fueron 3 matemticos que, curiosamente, nacieron con diferenciade tres aos uno despus del otro. Asimismo, los tres hicieron contribuciones muy importantesal Clculo.CavalieriinventsumtododeindivisiblesbasndoseenlosintentoshechosporKeplerpara lograr medir una regin del plano. Tal parece que Cavalieri intent determinar el reabajo la curva considerndola como una serie infinita de componentes(de lneas) que, al sersumadas como un nmero infinito de indivisibles proporcionaban el resultado. Usando estosmtodos encontr que la integral de xn es xn+1/n+1, una frmula de integracin inmediata quees ampliamente conocida y que ya has usado al desarrollar los ejercicios contemplados en elcurso.Roberval consider problemas del mismo tipo pero fue mucho ms riguroso en sus mtodosque Cavalieri. Roberval consider el rea bajo la curva como un nmero infinito no de lneas,sino de tiras rectangulares angostas; al realizar la suma determin con mayor precisin lamedida de la regin del plano buscada.Fermat, investig los mximos y mnimos de una funcin al considerarlos como la recta paralelaal eje de las x y tangente a la curva en cuestin. Escribi a Descartes proporcionndole elmtodo usado hasta el da de hoy para el clculo mencionado. Por esta razn, Lagrange, clebrematemtico francs, lleg a considerar a Fermat como el inventor del Clculo.A lo largo del desarrollo del curso hemos estado utilizando las aportaciones hechas por estostres grandes matemticos, lo mismo que otras personas que, basndose en ellas, han impulsadoel desarrollo de las matemticas para comprender mejor el maravilloso mundo en el que vivimos.30UNIDAD III UNIDAD IIIUNIDAD III UNIDAD III UNIDAD IIIMTODOS DE INTEGRACINObjetivo de la Unidad:Aplicar el concepto de integracin de funciones algebraicas ytrigonomtricas, a travs del empleo de los mtodos por partesy sustitucin para la resolucin de problemas sencillos en lasdiferentes reas del conocimiento.QU VOY A APRENDER?Es un hecho que, a diferencia de otras operaciones matemticas, la integracin no se puedereducir a la mera aplicacin de una serie de frmulas. Ms an, se podra afirmar que cadaintegraltienesupropioprocedimientoparaserresuelta.Sinembargo,losmtodosdeintegracinqueestudiaremosenestaunidadnosproveerndeelementossuficientesparapoder resolver un gran nmero de casos en los que con toda probabilidad tendramos grandesdificultades.Los mencionados mtodos de integracin se aplicarn en la ltima parte de la unidad, pararesolver problemas sencillos en diversas reas. Un ejemplo tomado de la medicina podra serel clculo del volumen de aire respirado por una persona durante un ciclo respiratorio completodesde la inhalacin hasta la exhalacin. El dbito del flujo del aire hacia los pulmones puedeserrepresentadoporunafuncindelaformaf(t)=sen(2/5),estoquieredecirquealrealizar la integracin seramos capaces de saber si la capacidad pulmonar de una persona enparticular, corresponde al volumen de aire inhalado por la misma y de esta forma determinarelestadodesaludquepresenta.Otrasituacinenlaqueseaplicalaintegracinesenelclculo de la produccin de un determinado artculo. Es interesante saber que el proceso puedeser representado por una funcin y la integracin de ella nos permitir saber con precisincundo se ha llegado al punto ptimo y cul debiera ser el total de artculos producidos en unalnea de produccin.La integracin se aplica, aunque parezca poco creble, a fenmenos estudiados por la ornitologa(la ciencia que estudia a las aves, especialmente a los pjaros). Se afirma que algunas especiesde aves migratorias tienden a evitar volar sobre grandes extensiones de agua durante el da.La razn parece ser que el vuelo en tal situacin requiere un mayor gasto de energa debido aqueduranteeldaelairesubedelatierraydesciendesobreelagua.Ahorabien,deunamanera instintiva las aves tienden a economizar su energa para poder volar mayores distanciasy esto, tambin puede ser representado por una funcin que, una vez integrada, nos permitirconocer la distancia mxima que un ave puede recorrer en un determinado tiempo, el trabajorealizado al volar sobre tierra o sobre el agua, etctera.Estos comentarios pretenden que percibas al clculo integral y a los mtodos que se van aestudiar,comoherramientasquesepuedenutilizarnoslocomomateriadeexamensinotambinenelanlisisdemuchosfenmenosdetupropiavidaydediversasreasdelconocimiento. As pues, te invitamos a seguir esforzndote en el estudio del clculo integral.31CMO APRENDO?3.1 MTODOS DE INTEGRACINObjetivo:Calcular integrales no inmediatas o por transformaciones algebraicas sencillas, aplicando los mtodosms usuales de integracin por partes y sustitucin trigonomtrica, para la resolucin de problemasterico-prcticos.3.1.1. Mtodo de Integracin por sustitucinRealizalalecturadelaspginas359ala364dellibrodeStewart,James.Clculo,trascendentestempranas,Mxico,InternationalThomsonEditores,1998yefectalassiguientes actividades:1. Anota en tu cuaderno la regla de sustitucin y expresa con tus palabras cul es su significado.2.Copiatambinlaregladesustitucinparaintegralesdefinidasyexpresaporescritolarelacin que tiene con las integrales de funciones simtricas que se mencionan dentro delmismo texto.3. Con respecto a las integrales de funciones simtricas es muy importante que se distingacuando una funcin es par o impar para poder aplicar la regla. Cul es el criterio? Justificatu respuesta.4. Adems de observar atentamente la solucin de los ejemplos que proporciona el autor, tesugerimos que revises los siguientes desarrollos y leas las notas que lo acompaan, despusintentaresolverlosejercicioscorrespondientesqueencontrarsenlaseccinQuheaprendido? Si tienes dudas vuelve sobre el texto y consulta a tu asesor.Ejemplo 1. Evala la siguiente integral efectuando la sustitucin prescrita.x(x2-1)99dxu = x2 - 1Si u = x2 - 1entonces du = 2x dxy x dx = du/2Por tanto la integral puede escribirse como sigue:x(x2-1)99dx = (u)99duAl aplicar las reglas de integracin resulta:(u)99du = 12 1001200100100( )uC u + + CSustituyendo la funcin original tenemos:x(x2-1)99dx = 1200(x2 - 1)100 + C32Ejemplo 2. Evala la siguiente integral efectuando la sustitucin indicadaxx232+dxu = 2 + x3Si u = 2 + x3entonces du = 3x2 dxy x2 dx = du/3Al sustituir, la integral original se transforma de la siguiente manera:xx232+dx =udu31Y aplicando las reglas de integracin tenemos:( )C3u 2C u32C u 231C21u31C2221u31du u31udu312121 21222121+ + + +

,_

+

,_

+ + Insertamos en lugar de u a la funcin original y la solucin es: xx232+dx = CxCu++= +32 2323Intenta la resolucin de los ejercicios correspondientes en la seccin Qu he aprendido?,comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan333.1.2. Mtodo de integracin por partesRealiza la lectura de las pginas 416 a 421 del libro de Stewart, James. Op. cit,y a partirde la informacin que proporciona, efecta las siguientes actividades:1.Anotaentucuadernolafrmuladeintegracinporpartesacompandoladenotaselaboradasportisobresusignificadoylascondicionesbsicasnecesariasparapoderlautilizar.2. Copia en una tarjeta la plantilla que aparece en la pg. 418 del texto para poderla utilizar enla resolucin de los ejercicios.3. Mientras realizas la lectura, ve resolviendo en tu cuaderno los ejemplos planteados por elautor y haciendo las anotaciones que consideres pertinentes.4.Revisaatentamentelasintegralesdelaprimeracolumnaycompletaloquefaltaenelsiguiente cuadro:5. Una vez que hayas completado el cuadro, sustituye los elementos en la frmula de integracinpara cada caso, por ejemplo:xe dxx2= xe2x - e2xdxx xdxln=

_, lnx dx2=x xdx33 cos =Integral u du v dvxe dxx2 x e2xe2xdxx xdxlndx dxxlnx dx2ln xx xdx33 cos3x2dx cos 3xdx34Funcin trigonomtrica Identidadcos2 x(1 + cos 2x)sen2 xsen x cos xsec2 xsec2 x - 1sen A cos Bsen A sen Bcos A cos B6. Despus de sustituir en la frmula de integracin por partes, terminemos la solucin paracada caso, por ejemplo:x xdxln= x22lnx - x22dxx = x22lnx - xdx = x22lnx - x24+ Cxe dxx2=

_, lnx dx2=x xdx33 cos =Para comprobar tu aprendizaje, intenta la resolucin de los ejercicios correspondientesen la seccin Qu he aprendido?, comparando tus resultados con las soluciones que seproporcionan.3.1.3. Aplicacin de los mtodos de integracin por sustitucin y de integracin porpartes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonomtricasLos mtodos de integracin por partes y de sustitucin muestran su eficacia cuando se intentaaplicarlos a la resolucin de expresiones ms complejas. En tales casos no basta tan solo aplicarlas frmulas de integracin directa sino tener la suficiente habilidad para lograr la integracinatravsdelosreferidosmtodos.Enestaseccintendremoslaoportunidaddetenerunacercamiento a su aplicacin en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonomtricas.Para comenzar a entender lo referente a las funciones trigonomtricas, lee de la pgina423 a 427 y de la 429 a la 434 del libro de Stewart, James. Op. cit.Partiendo de la lecturarealiza las siguientes actividades:1. Busca las identidades trigonomtricas correspondientes y completa el siguiente cuadro:352. A continuacin anota los procedimientos y las identidades trigonomtricas para evaluar lasintegrales en los siguientes casos:Integracin por sustitucin trigonomtricaLee de la pg. 429 a la 434 del libro de Stewart, James. Op. cit. y partiendo de la lecturarealiza las siguientes actividades:1. Copia la tabla de sustituciones trigonomtricas:2. Tomando en cuenta que estas sustituciones trigonomtricas se basan en el teorema dePitgoras coloca las letras x y a donde correspondan: caso 1caso 2caso 3Caso Procedimiento Identidadtrigonomtrica a utilizarCuando la potencia delcoseno es impar.Cuando la potencia delseno es impar.Si las potencias de seno ycoseno son pares.Si la potencia de la secantees par.Si la potencia de latangente es impar.Expresin Sustitucin Identidadq qx a2 2-qa x2 2-a x2 2-363. Responde:a) Si en el caso 1 relacionamos x y aA qu funciones trigonomtricas se refieren?Cmo se puede expresar x en funcin de a y de ?ax ________ xa __________ x = ________x = __________b) De acuerdo al caso 2, relacionando x y a tenemos que las funciones trigonomtricas son:ax _________ xa __________ Expresando a x en funcin de a y de :x=___________ x=__________c) Para el caso 3, las funciones trigonomtricas son:ax__________ xa _________ Y tenemos que x expresado en funcin de a y queda as:x=__________ x=___________-4. Revisa el ejemplo 1 que se encuentra en la pgina 430 del libro citado y responde lo siguiente:a)Porquutiliza el autor como sustitucin x = 3 sen? De dnde obtiene el 3?b) Cul es el rango en el que la sustitucin se est aplicando?c) El autor poner como equivalente9 92 sen 9 cos2Por qu?Cul es la identidad trigonomtrica que est usando?d) Una vez realizada la integracin Cul es el procedimiento que utiliza el autor para regresara la funcin original?375.Partiendo del ejemplo 2 (pp. 450-451 Op. cit.) responde lo siguiente:a) El autor usa dos identidades trigonomtricas Cules son?

a a a a2 2 2 2 2 2 sen cos =cos2identidad: cos cos2121 2 do +

_,

identidad:b) Qu procedimiento emple el autor para no tener que regresar a la variable original?AhoraintentalaresolucindelosejercicioscorrespondientesenlaseccinQuheaprendido?Integracin de funciones racionales mediante fracciones parcialesLee de la pgina 435 a la 442 del libro de Stewart, James. Op. cit. y realiza las actividadessiguientes:1. A manera de resumen completa el siguiente cuadro sobre las funciones racionales:2. Responde las siguientes preguntas:a) Cmo se determina el grado de un polinomio?b) En qu caso se le llama propia a una funcin racional?c) Si la funcin racional es impropia, cules son los tres pasos para la integracin?3. Explica cul es la razn principal para descomponer una funcin racional en fraccionesparciales al realizar la integracin.Aplica lo aprendido resolviendo los ejercicios correspondientes en la seccin Qu heaprendido?Caso Enunciado EjemploIIIIIIIV38QU HE APRENDIDO?En este captulo revisamos los mtodos de integracin, ahora aplica lo aprendido en la resolucindelossiguientesejercicios.Comparatusolucinconlasrespuestas.Sitienesdudasterecomendamos volver sobre el texto y consultar a tu asesor.Integracin por sustitucina) Evala las siguientes integrales aplicandola sustitucin descrita:x x dx C +

_,

2991 1 u= x Sol. u2002100xxdx x C23322++ +u= 2+x Sol. 233sen4x dx C+u= 4x Sol. - cos4x42dxxC2 12++

_,

u= 2x+1 Sol.-14x+2xx xdxxC++++

_,

_,

36622u= x +6xSol. -12 x22Integracin por partesb) Aplicando la frmula para la integracin por partes, realiza las siguientes integrales:lnSol. x lnx-x+C x dxx sen x dx Sol. -xcos+ sen x+ Cx dx e Sol. xe-e +Cx x x( C + x) cos senx + x21Sol. dx x cos2x xdx x C 141513 2 5 2+ + +

_,

_,

Sol. 23x1+x / /Integracin por sustitucin trigonomtricac) Calcula las siguientes integrales:xxdx221Sol. 12 arc sen x -112 x1-x +C 239dxxC162+ Sol. 12 arc sen x4xxdx C21 12+ ++

_,

Sol. x arc tan x-x22dxx xx x C22 1++ + + +

_,

Sol. ln2 x2dxx xC225 +Sol. 15 arc sec x5dxxC162+Sol. 12 arc sen x4Integracin de funciones racionales mediante fracciones parcialesd) Calcula las siguientes integrales:5 3 2223 2x xx x xdx+ Sol.ln x + 2 ln(x+1) + 2 ln(x+2) + Cxx xdx+32 3Sol.31xxxC +++ ln( )21 122 2x xx x xdx++ + +( ) ( )Sol.ln( )x xx xC221111+ ++++

_,

dxx x ( )( ) + +1 2Sol.ln xxC+++

_,

1240QUIERO SABER MSA lo largo de esta unidad estudiamos el mtodo de integracin por partes, por lo cual resultainteresante conocer al inventor de dicho mtodo, al matemtico Brook Taylor.Brook Taylor (1685-1731) naci en Inglaterra y a los 23 aos produjo una solucin al problemadel centro de oscilacin, el cual, debido a que se public hasta 1714, produjo una disputa sobresupaternidadconJohannBernoulli,unodelosmsfamososybelicososmatemticosquehayan existido.Taylor public en 1715 su libro Methodus incrementorum directa e inversa ( Mtodo de losincrementos directos e inversos) que represent un notable avance para lo que ahora se conoceen matemticascomoelclculodelasdiferenciasfinitasyademsinventelmtododeintegracin por partes. La misma obra contiene la celebrada frmula conocida como serie deTaylor, cuya importancia permanece todava sin reconocerse hasta 1772 cuando Lagrange locoloca como principio bsico del Clculo Diferencial.Adems de lo anterior, Taylor desarroll los principios bsicos de la perspectiva, que ahoratanto utilizan los arquitectos y los artistas. Dise experimentos para descubrir la ley de laatraccingravitacionalademsdeinventarmtodosparacalcular,omsbiendicho,paraaproximarse a las races (soluciones) de una ecuacin por medio de logaritmos.En 1712, Taylor fue electo como miembro de la Real Sociedad y particip en el comit que seform para dirimir la cuestin de la invencin del Clculo entre Newton y Leibniz.Debido a las importantes aportaciones que realiz este matemtico se le ha dado su nombre auno de los crteres lunares con el propsito de perpetuar su recuerdo.41UNIDAD IV UNIDAD IVUNIDAD IV UNIDAD IV UNIDAD IVAPLICACIONES DE LA INTEGRALObjetivo de la Unidad:Aplicar el concepto de integral, a travs del uso del TeoremaFundamentaldelClculo,paralasolucindeproblemasgeomtricos,fsicos,biolgicos,enlaeconomaylaprobabilidad.QU VOY A APRENDER?Preguntas que frecuentemente se hacen los estudiantes de bachillerato al abordar el Clculoson: y para qu me va a servir estudiar esto?, en qu lo voy a aplicar? Aparentemente elClculo no es ms que una asignatura que se tiene que cursar porque est en el Plan de Estudiosy por la que quirase que no habrn de transitar con mayor o menor xito.Sorprendentemente,sinembargo,elClculoseaplicaenelanlisisdeunsinnmerodefenmenos. El estudio de la presente Unidad nos har aplicar lo que ya aprendimos en el curso,a situaciones tales como la determinacin de volmenes de slidos de revolucin, es decir, deaquellos slidos que son generados al hacer girar una curva o interseccin de curvas entornoa un eje determinado. Aprenderemos tambin a calcular la superficie, la cscara de un slido.En el campo de la Fsica aplicaremos nuestros conocimientos del Clculo para ubicar el llamadocentroide o centro de masa de un cuerpo, es decir, el punto en el cual se considera concentradala masa de un cuerpo y a partir del cual se puede equilibrar el cuerpo mencionado. Procederemosa calcular el trabajo desarrollado al estirar un resorte, o al vaciar un tanque.En el campo de la medicina aplicaremos el Clculo para determinar el flujo sanguneo y en elcampo de la economa tendremos oportunidad de conocer, a travs del Clculo, el valor presentede una corriente de ingresos.Lo anterior no es ms que una pequea muestra de los campos en los que se aplica nuestraasignatura. Es probable que segn avances en tus estudios y en tu vida particular encuentresoportunidadesparaaplicarelClculoIntegraldemaneraquepuedascomprendermsprofundamente lo que sucede en nuestro mundo.42CMO APRENDO?4.1. CLCULO DE VOLMENESObjetivo:Determinarreayvolumenatravsdelaaplicacindelaintegraldefinidaparalaresolucindeproblemas geomtricos, biolgicos, fsicos, en la economa y probabilidad.Lee de la pgina 387 a la 395 del libro Stewart, James. Clculo, trascendentes tempranas,Mxico,InternationalThomsonEditores,1998ypartiendodelalecturarealizalassiguientes actividades:1. Anota en tu cuaderno la frmula para el clculo de volmenes e intenta relacionarla con lasfrmulas que se utilizan en geometra para el clculo de volmenes de slidos regulares (deforma particular con los cilindros). En qu se parecen?2. Describe con tus palabras por qu razn se le puede llamar a este sistema el mtodo deldisco y explica en qu aspectos se parece a la determinacin del rea bajo la curva pormedio de la suma de Riemann.3.Explicaenquconsisteelmtododelaarandelayculesladiferenciaconrespectoalmtodo del disco.4. Revisa los siguientes ejemplos resueltos y anota tus observaciones para comentarlas con tuasesor. Te sugerimos que por tu cuenta, asignando los valores adecuados a la funcin, elaboresuna tablay dibujes la grfica correspondiente en papel cuadriculado, una vez hecho esto,ilumina con un lpiz de color o plumn el rea bajo la curva y recorta por la lnea exterior.Pega la figura resultante a un palillo o a un pedazo recto de alambre y hazlo girar con tusdedos. Percibes la forma del slido de revolucin que se genera?Ejemplo 1. Determina el volumen generado por la curva y = x2, dentro de los lmites x=1, y= 0 al girar alrededor del eje x.En primer lugarcalculamos el rea del disco i-simo tomando a x2 como radio y aplicando lafrmula: A = (x2)2= x443Paraayudarnosavisualizarlafigura,elaboremoslagrficayundiagramadelslidoderevolucin que se genera al girar en torno al eje x:Y despus determinamos el volumen aplicando la frmula:V=V5 unidades cbicas(por tratarse de un volumen)Ejemplo 2. Determina el volumen del slido de revolucin generado por la funcin y2 = x3 ,acotada por las rectas x=4, y = 0 al girar alrededor del eje x.y = x3 2x= 4 y= 0y=x x3 3/2Calculamos el rea en primer lugar y posteriormente aplicamos la frmula para determinar elvolumen: ( )3 3x x A 644256404444 4404403403

,_

,_

Vxx x VV = 64 unidades cbicasx200.20.40.60.8100.20.40.60.8 1yx105541010411]1 xdx x dx xx 44Ejemplo 3.Determinaelvolumendelslidoderevolucingeneradoalgirarlacurvadelafunciny =xalrededor del eje x,en el rea acotada por y = 0,x = 1.La frmula para calcular el volumen es:( ) ( [ ] dx x f V2ba Aplicando la frmula, tenemos:( )2102x= xdx = dx x V210102 1]1 El volumen es igual a 2p unidades cbicasEjemplo 4. Determina el volumen del slido generado al girar la curva y = x3, acotada por lasrectasy= 8, y = 0 en torno al eje y.( )8025y= dy y = dy y V5/2803/280231]1

,_

5965) 32 ( 35) 8 ( 3V35 Ejemplo 5. Determina el volumen del slido generado por la curva y2 = x3, alrededor del ejex y acotado por las rectas x = 4, y = 0.Puesto que las condiciones del problema indican que gira en torno al eje x expresamos y2 = x3de la siguiente manera:y x x 33 2 /45Ahora dibujemos un diagrama que nos ayude a mostrar cmo se comporta la funcin en elprimer cuadrante. Las condiciones del problema marcan los lmites para integrar la funcin ycalcular el volumen (x=4, y=0).Al girarlo en torno al eje x resultara una figura de la siguiente forma:Ahora bien, aplicando la frmula para calcular el volumen tenemos:( )

,_

1]1

1]1 644256

4044

404xdx x dx xV4 4 44034023A continuacin veamos un ejemplo de un slido de revolucin que se genera al rotar la curvade la funciny x 2y=4,x= 0, x=2,alrededor del eje y comencemos la solucin del problemaentendiendo las condiciones: la funcin y= x2 debe expresarse como :x= y= y1/2 debido a que rota en torno al eje y la funcin se encuentra acotada por x= 0, x= 2,y =4 lo que nos indica lo siguiente:Al girarla en torno al eje y, tenemos:3x y 3x y y=0x= 4xy4 x xy4 x y x x=2y=4x=0xyy x yx46xy1123454 7 10 13 16 19 21 23Aplicamos ahora la frmula del volumen:( ) 11]1 82162) 0 (2) 4 (4022y= dy y = dy y V2 240402El volumen buscado es: 8Un caso diferente es el que presentamos a continuacin: nos dan las ecuaciones de las curvas,pero no se indican los puntos de interseccin. Cmo se resuelve?Realmenteessencillosiseconsideraalasfuncionescomounsistemadeecuaciones.Lassoluciones a dicho sistema nos darn los puntos de interseccin y podremos entonces calcularel volumen buscado.Ejemplo: Determina el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin comprendidaentre las curvas y2 = x,x = 2y.Igualamos las ecuaciones y resolvemos por frmula general:y2= 2y2aac 4 b b -y2 t y2 - 2y = 022 220 4 2yt t y1= 2 y2 = 0Una interseccin se da en (4, 2) y la otra en el origen (0, 0)Con estos datos y tabulando trazamos la grfica correspondiente:47Como la figura rota sobre el eje y tenemos una figura similar a la siguiente:Procedemos a calcular el volumen aplicando la frmula:( ) () [ ] ( ) - p - p =20204 222 2dy y y 4= dy y 2y V ( ) ( )20552332) 4 205y34y

5 3- p =-p = p = -p = - p =15641596 160 53234(8)

yxAhoraresuelvelosejerciciosquetepresentamosenlaseccinQuheaprendido?Confronta tus resultados con las soluciones. En caso de duda, repasa el texto, los ejerciciosy consulta a tu asesor.484.2. APLICACIONES DEL CLCULO INTEGRAL EN LA GEOMETRArea de una superficie de revolucinLeedelapgina500ala504dellibrodeStewart,James.Op.cit.Partiendodelainformacin que proporciona realiza las siguientes actividades:1. Anota en el siguiente cuadro las frmulas correspondientes para ubicar las coordenadas delcentro de masa de un sistema.2. Observa el desarrollo de los siguientes ejemplos:Ejemplo 1. Calcula el rea de la superficie obtenida al hacer girar la curva 9 x 4 , x y entorno al eje x.Hacemosx 21= x21 dxdy x y 1/2 Aplicamos la frmula:dxx 21+ 1 x 2 = dxdxdy+ 1 y 2 S294942

,_

,_

dx4x11 x 294+ Observa que:x 21 4x4x1 4x4x1 4x 4x11+++ +Sustituyendo queda: + +

,_

+ 94949494dx 1 x 4 dx 1 x 4212 = dx21 x 42 dxx 2+1 4xx 2Frmula Descripcin49u3/2 = u2/2u1/2 = u uAhora hacemos: u= (4x+1)du= 4 dxdx = 4duRealizamos la sustitucin cambiando los lmites, para ello aplicamos los lmites iniciales en:u = 4x+1.nuevo lmite superior: 4 (9) + 1 = 37nuevo lmite inferior: 4 (4) + 1 = 17La integral se escribe ahora: 3717 2 / 13717du u4du u4Y al realizar la integracin se tiene: Porque:]3717u U63717u(3) 423717u3243/23/2 1]11]1

,_

Al calcular con los lmites tenemos la solucin:( ) 17 17 37 376S Ejemplo 2.Calcula el rea de la superficie obtenida al hacer girar sobre el eje y la curva y =x3 en el intervalo0 x 2Puesto que: y = x3dx 3x = dy 3xdxdy2

2Aplicando la frmula:( ) dx 3x + 1 x 2 dxdxdy1 y 2 s22203202

,_

+ dx x 9 + 1 x 2 dx x 9 1 x 24203204 3 + hagamos: u = 1 + 9x4du= 36 x3dxyx3 dx = 36du50Calculamos los nuevos lmites y sustituimos:du u18du u362 145114512 / 1 Integramos:] ( ) 1 145 14527=1451u u271451U32182 / 3 1]1

,_

La solucin, por tanto es:( ) 1 145 14527= S 4.3. APLICACIN DEL CLCULO INTEGRAL A LA FSICADeterminacin del momento y centro de masa de un cuerpoRealizalalecturadelaspginas505ala510dellibrodeStewart,James.Op.cit.yefecta las siguientes actividades:1. Contesta en tu cuaderno:A qu se le llama centro de masa de un cuerpo?Qu son los momentosde la masa de un cuerpo?Escribe la ecuacin para determinar el centro de masa y su explicacin.Para un sistema de varias dimensiones cmo se define el centro de masa?Qu es un centroide?Escribe las ecuaciones para determinar las coordenadas del centroide de un cuerpo.Si el cuerpo es simtrico, de acuerdo al principio de simetra, dnde se ubica elcentroide ?Despus de revisar con atencin los ejemplos resueltos anota en forma de lista los pasos paraubicar las coordenadas del centroide.2.Observa la solucin de los siguientes ejemplos y luego intenta resolver los correspondientesa la seccin Qu he aprendido?Ejemplo 1. Calcula los momentos Mx y My y encuentra el centro de masa del sistema.m1 =4 m2= 8 P1 (-1,2) P2 (2,4)51Elaboremos un diagrama que nos ayude a entender mejor el problema:Aplicando las frmulas:40 32 8 ) 4 ( 8 ) 2 ( 4 M12 16 4 ) 2 ( 8 ) 1 ( 4 M: Tenemosny m Mn1 ix m Mxyi xi y + + + + Dado que la masa total del sistema (m) es: m1 +m2 = 4 +8 = 12 tenemos que las coordenadasdel centro de masa son:3106201240mMxy11212mMyx Ejemplo 2.Calcula los momentos Mx y My y encuentra el lugar del centro de masa del sistema:m1=3 p1 (0,0)m2=3 P2 (1,8)m3=8 p3 (3,-4)m4=6 p4 (-6, -5)0(-1,3) m1(2,4) m2Centro de masa (1,)10 3XY52y=0y=x2x=4xyEn primer lugar ubiquemos los puntos:Calculamos los momentos:Mx = 3(0) + 3(8) + 8 (-4) + 6 (-5) = 24-32-30= -38My = 3(0) +3 (1) + 8 (3) + 6 (-6) = 3+24-36 = -9La masa total (m) = 3+3+8+6= 20Por lo que las coordenadas del centro de masa son:10192028mMxy209mMyx Ejemplo 3.Localiza el centroide de la regin limitada por las curvas: y =x2 ,y =0 x=2Es recomendable trazar la grfica para entender mejor el problema. Despus de tabular, tenemos:El rea de la regin es:3820 3x= dx x A320 21]1(1,8) m2XY(0,0) m1 m(3,-4)3 m(-6,-5)453Aplicamos las frmulas:( ) ( )dx x x81dx fx xA1x22020

203243x2044x83dx203x83111]111]1

,_

23 3248 [ ] dx x2183dx ) (x21381= dx f(x)21

A1y204202 2202

,_

,_

11]1 20248096=532163=20)55x(163dx x163

56101220244048 Las coordenadas del centroide son, por tanto,_

56,23 o tambin (1.5, 1.2).Ejemplo 4.Localiza el centroide de la regin limitada por las curvas:y = cos 2x y = 0 4= x4x Tracemos la grfica correspondiente:Calculamos el rea: 44cos2xdx A44yx0y=co s 2x4454Para integrar hacemos: u = 2xdu = 2dx 2dudx 44sen2x21 44u sen21 = cosudu21 A441]11]1

[ ]1 1 12142sen42sen21 + 11]1

,_

A= 1Aplicamos las frmulas para determinar las coordenadas del centroide:x = 0 Porque de acuerdo al principio de simetra y puesto que es una figura simtrica,el centroide se ubica en el eje de simetra, que en este caso corresponde a x=0.[ ] 2xdx cos2111dx 2x cos21A1 y442442 =Sustituyendo

,_

++4444dx2cos4x= dx2cos2(2x) 121

21212cos2x 1x cos2+ 1]1

,_

444444444xdxs cos41+2x21= dx24x cos21+ dx2121

Observa que para integrar cos 4xdx hacemos:u= 4xdu= 4 dx dx= 4duDe manera que:( )]444444sen4x161= 4xdx cos4141cos4xdx41

,_

Sustituyendo queda:8 162016 16=164x sen+4x=4444 +1]1

+1]11]1 =55Por tanto, las coordenadas del centroide son

,_

40,Ahora intenta resolver los ejercicios que te presentamos en la seccin Qu he aprendido?y compara tu respuesta con las soluciones.4.4. DETERMINACIN DEL TRABAJO FSICO REALIZADO POR UNA FUERZALee de la pgina 403 a la 406 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lecturarealiza las siguientes actividades:1. Contesta las siguientes preguntas:a) En el mbito de la Fsica, cmo se define al trabajo?b) Cul es la frmula para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es constante?c)Porquraznseexpresalaaceleracincomo 22dts d?Dequmaneraserelacionaeldesplazamiento (s) con la aceleracin a travs de esta expresin matemtica?d) Cul frmula se emplea para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es variable?e) En la frmula anterior, cmo se expresa la distancia?, a qu equivale dentro de la integral?2.Siguiendo con atencin cada ejemplo desarrollado por el autor en el texto base, resuelve losejercicios que te proponemos en la seccin Qu he aprendido?56Intentaresolverlossiguientesejerciciosparacomprobartugradodedominiosobreloscontenidos que se manejan en la presente Unidad. Recuerda que en caso de tener dudas omuchas dificultades, conviene regresar sobre el texto y consultar a tu Asesor.a) Determina el volumen del slido generado, haciendo girar sobre el eje de las x la superficielimitada por los siguientes lugares geomtricos:y = x3y = 0,x = 2 Solucin: V = 128p/7y= sen x x = 0, x = p/2 Solucin: V = p2x2 + 16y2 = 144 Solucin: V = 48pb) Determina las coordenadas del centro de masa para cada uno de los siguientes casos:ElsistemaformadoporlospuntosA(-1,3),B(2,1)yC(3,-1)conmasade1,2y3kgrespectivamente Solucin: (2, 1/3)La parbola y = 4 x2y el eje x Solucin: (0, 8/5)Las curvas y = x3 y y= 4x en el primer cuadrante Solucin: (2164,1516)c) TrabajoUna fuerza de 8 N estira un resorte de su longitud natural de 4 m a una longitud adicional de50 cm. Determina el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural hasta unalongitud de 5 m.Solucin: 8 JoulesQU HE APRENDIDO?57En muchos campos del conocimiento se emplean modelos matemticos que implican ecuacionesdiferenciales que contienen potencias dee. Esto sucede, por ejemplo, en la Fsica, Qumica,Biologa,P sicologa, Administracin, Economa y Sociologa.En los campos mencionados, se estudian con frecuencia fenmenos que implican crecimiento ydecrecimiento, es decir, son fenmenos en los cuales la tasa de variacin de una cantidad conrespecto al tiempo es proporcional a la cantidad presente en un instante dado. Un ejemplo seda en la biologa cuando, bajo ciertas circunstancias, la tasa de crecimiento de un cultivo debacterias es proporcional a la cantidad de bacterias existente en cualquier momento especfico.En una reaccin qumica, la tasa de la velocidad de reaccin con frecuencia es proporcional a lacantidaddereactivospresenteenuninstantedado.Estoseaplica,porejemplocuandoseestudiaaunelementoradioactivocomoelradio.Losqumicossabenbienquelatasadedesintegracindelmencionadoelementodependedelacantidadpresenteenunmomentodeterminado.Eneltiempopresente,cuandoelaumentodelapoblacinpreocupaalarmantementealossocilogos y a los organismos que estudian este fenmeno, podemos preveer que de acuerdo alo anterior, la tasa de crecimiento de una comunidad depender, de acuerdo a las circunstancias,de la cantidad de poblacin existente en una poca determinada.El clculo integral nos ayuda a determinar de manera particularmente precisa, el desarrollodelosfenmenoscitadosydemuchosotrosquepresentantantoelcrecimientooeldecrecimientoexponencial.Taleselcasodealgunasdecisionesfinancierasquetomanloseconomistas cuando se trata de colocar una cierta cantidad de dinero para poder obtener uncapital futuro. Tambin se aplica el clculo en el campo de la Fsica cuando se emplea la ley delenfriamiento de Newton, la cual establece que la tasa a la cual un cuerpo cambia de temperaturaes proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.En la Psicologa industrial el clculo se aplica al estudiar la aptitud con la que una personarealiza una tarea. Conforme la experiencia de la persona aumenta, la aptitud se incrementarpidamente al principio y despus disminuye, debido a que la experiencia adicional tiene pocoefecto sobre la habilidad con la cual se efecta la tarea. Concretamente, tal situacin se describepor medio de una curva de aprendizaje que al ser evaluada a travs de la integracin, proporcionael anlisis requerido y ayuda a la toma de decisiones al respecto, sobre el entrenamiento delpersonal.QUIERO SABER MS