Daniel Peñafiel S

UNIDAD I

Nociones preliminares

1.1 Números reales

1.1.1 Conjunto de números reales y la recta númerica

1.1.2 Intervalos y su clasificación

1.1.3 Desigualdades y su solución

1.2 Funciones

1.2.1 Dominio y rango de una función

1.2.2 Gráficas de funciones

1.2.3 Operaciones con funciones

1.2.4 Composición de funciones

1.3 Límite de funciones

1.3.1 Concepto de límite de una función

1.3.2 Límites laterales

1.3.3 Teoremas de límites

1.3.4 Límites infinitos

1.4 Continuidad de funciones

1.4.1 Continuidad de una función, análisis gráfico

1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones

1.4.3 Continuidad de una función en un punto y en

un intervalo

UNIDAD II

Derivada

2.1 Derivada de una función

2.1.1 La derivada como razón de cambio

2.1.2 Interpretación geométrica y física de la derivada

2.2 Cálculo de derivadas

2.2.1 Regla general de derivación

2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas de derivación

2.3 Aplicación de la derivada

2.3.1 Concavidad

2.3.2 Métodos para la obtención de máximos y mínimos

2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y mínimos

2.4 Teoremas de derivación

2.4.1 Regla de la cadena

2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio

UNIDAD III Integral

3.1 La integral indefinida

3.1.1 La integral como operación inversa de la

derivación

3.1.2 Fórmulas básicas de integración

3.2 La integral definida

3.2.1 Sumas de Riemann

3.2.2 Interpretación geométrica de la integral

(área bajo la curva)

3.2.3 Teorema fundamental del cálculo

3.3 Métodos de integración

3.3.1 Por sustitución

3.3.2 Por sustitución trigonométrica

3.3.3 Por racionalización

3.3.4 Por partes

Preliminares

Sistema de números reales

Desigualdades

El sistema de los números reales

El cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades.

Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)

Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)

Números reales Números racionales: 3/4, -5/7,

m/n, ........... (Q)

Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........

Números complejos: a + bi; i= -1

N Z Q R

Propiedades de campo

Ley conmutativa: x+y=y+x; xy=yx

2+3 = 3+2; (2)(3)=(3)(2)

5 = 5 ; 6 = 6

Ley asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z; (xy)z=x(yz) 2 + (3 + 5) = (2+3)+5; (2*3)5=2(3*5)

2 + 8 = 5 + 5 6 * 5 =2 *15

10 = 10 30 = 30

Ley distributiva: x(y+z) = xy + xz 2(3 + 5) = 2*3 + 2*5

2 * 8 = 6 + 10

16 = 16

Elementos neutros: x+0= x x(1) = x

2 + 0 = 2 2 * 1 = 2

Inversos: x+(-x)=0 x(x-1)= 1

2 + (-2)=0 2 (2-1)= 2(1/2)= 1

Propiedades del orden

Tricotomía:

x < y o x = y o x > y 2 < 5 o 2 = 5 O 2 > 5

Transitividad:

x<y y y<z => x < z 2 < 5 y 5 < 9 => 2 <

9

Aditiva: x<y x+z < y+z

2 < 5 2 + 3 < 5 + 3

5 < 8

Multiplicativa:

z > 0 => x < y xz < yz

8 > 0 => 2 < 5 2*8 < 5*8

16 < 40

z < 0 => x < y xz > yz

-8 < 0 => 2 < 5 2(-8) > 5(-8)

-16 > -40

Simplifique todo lo que sea posible

1) 4-3(8-12)-6 =

2) 2(3-2(4-8)) =

3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=

4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =

5) 5/6 – (1/4+2/3) =

6) ¾-(7/12 – 2/9) =

7) 1/3[1/2(

1/4-1/3)+

1/6] =

8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =

9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =

10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =

11. 1 - 2/2+3/4 =

12. 2 + 3/1+5/2 =

13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =

14. (√ 2 + √ 3)2 =

15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

Ejercicios resueltos

1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis

4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica por -3

4+12-6 = Se suman todos los positivos y los negativos

16-6 = 10

3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color verde

-4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis con

su literal

-4[21+8]= Se resuelve color lila

-4[29]= -116 Se multiplica

5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd

5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar

5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores (mcm)

5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12

2/2=1, x*1=x

10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador (12),

numeradores se suman.

7) 1/3[1/2(

1/4-1/3)+

1/6] =

1/3[

1/2(1(3)-1(4)/4(3))+

1/6] =

1/3[

1/2(3-4/12)+

1/6] =

1/3[

1/2(-1/12)+

1/6] = 1/3[

-1/24+1/6] =

1/3[-1/24+(1/6)(

4/4)] = 1/3[

-1/24+4/24] =

1/3[3/24] = 3/72 = 1/24

9) (5/7+2/9)/(1+1/2) =

(5(9)+ 2(7)/7(9))/(2/2+

1/2) =

(45+14/63)/(3/2) =

(59/63)/(3/2) = a/b/c/d= ad / bc

(59)(2)/(63)(3)= 118/189

11) 1 - 2/(2 + 3/4) =

1 - 2/(8/4 + 3/4) =

1 - 2/1/(11/4) =

1 – 2(4)/ 1(11) = 11/11 – 8/11= 3/11

13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a2-b2

(√ 2)2 – (√ 3)2 = 2-3 = -1

15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) =

3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) =

3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) =

3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) =

3 √ 2 (√ 2 (-1)) =

3 √ 2 (- √ 2 ) =

-3 √ 2 √ 2 =

-3 √(2*2) =

-3 √ 4 =

-3(2) = -6

Realice las operaciones indicadas y simplifique

a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=

c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=

e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=

g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=

a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9

b) (a+b)2 = a2+2ab+b2

(2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2

=4x2-12x+9

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

(3t2-t+1)2 =

(3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)(1)+2(-t)(1)

= 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t

= 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1

d) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(2t-1)3= (2t)3 + 3(2t)2(-1) + 3(2t)(-1)2 + (-1)3

= 8t3 - 3(4t2) + 3(2t)(1) -1

= 8t3 - 12t2 + 6t –1

e) (x2-4)/(x-2)= Factorizar el numerador. Buscar dos # que

(a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2+0x-4)

(x-2)(x+2)/(x-2)= Como (x-2) se encuentra en el numerador

y en el denominador, se cancela.

x+2

f) (x2-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1

(x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-3)+(2)= -1

x+2

Desigualdades

Una expresión algebraica con cualquiera de

estos símbolos (<, >, >, <) es una Desigualdad.

Ejemplo: 5x2-4x+7 < 2x+3 4x-3 > 7x+5

Al resolver una desigualdad se encuentra

un conjunto con aquellos números reales

que la hacen verdadera. Al conjunto

solución se le llama intervalo.

Tipos de intervalos

Nombre Notación de conjuntos Gráfica Notación de intervalos

Abierto {x: a < x < b} a x b (a,b)

Cerrado {x: a < x < b} a x b [a,b]

Semiabierto:

Por la izquierda {x: a < x < b} a x b (a,b]

Por la derecha {x: a < x < b} a x b [a,b)

Infinito:

{x: x < b} x b (- ,b]

{x: x < b} x b (- ,b)

{x: x > a} a x [a, )

{x: x > a} a x (a, )

Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2 Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.

2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y

los términos con constante se pasan al otro.

2x-4x > -2+7

-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando

con x y pasa a dividir con 5.

x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la

desigualdad se cambia.

x < -5/2

-5/2

(- , -5/2)

-5 < 2x+6 < 4 Debemos dejar a x sola. Despejamos a 6 y 2

-5 -6 < 2x < 4 -6

-11 < 2x < -2

-11/2 < x < -2/2

-11/2 < x < -1

-11/2 -1

[-11/2, -1)

x2-x < 6 Se pasa todo a un lado.

x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-3)+(2)=-1

(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es negativo.

(x-3) < 0 (x-3) > 0

x < +3 x > +3

(x+2) > 0 (x+2) < 0

x > -2 x < -2

-2 3 -2 3

(-2,3) No tiene solución, no se cruzan

Tarea: Exprese el Conjunto solución

1. 4x-7 < 3x+5

2. 7x-1 < 10x+4

3. 2x+16 < x+25

4. 6x-10 > 5x-16

5. 10x+1 > 8x+5

6. 3x+5 > 7x+17

7. -6<2x+3<-1

8. -3<4x-9<11

9. -2<1-5x<3

10. 4<5-3x<7

1. 2+3x<5x+1<16

2. 2x-4<6-7x <3x+6

3. (x+5)/(2x-1)

4. (2x-3)/(x+1)

5. 1/x < 5

6. 7/2x < 3

7. 1/(3x-2)<4

8. 3/x+5 > 2

9. (x+2)(2x-1)(3x+7)>0

10. (2x+3)(3x-1)(x-2)<0

Valor absoluto

Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier otro punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen distancias negativas; se designa mediante |x| y se define como:

Ejemplo:

|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b |-4x2|= 4x2

Propiedades del valor absoluto

I. |ab|=|a|*|b| III. |a+b|< |a|+|b|

|(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6 |-3+2|< |-3|+|2|

II. |a/b|=|a|/|b| IV. |a-b| > ||a| - |b||

|-4/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2 |2-3|> ||2|-|3||

Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1

lo que está dentro del valor absoluto, puede ser

positivo o negativo

+(3x-5) > 1 -(3x-5) > 1

3x > 1+5 3x-5 < 1/-1

3x > 6 3x < -1+5

x > 6/3 x < 4/3

x > 2

Tarea: Encuentre el conjunto solución de

la desigualdad 1. |x+1| < 4

2. |x-2| <5

3. |3x+4| <8

4. |5x/3 –2| < 6

5. |3x/5 +1| < 4

6. |2x-7| < 3

7. |2x-7| > 3

8. |5x-6| > 1

9. |4x+2| > 10

10. |x/2 +7| > 2

11. |2+5/x| > 1

12. |1/x -3| > 6

|x+1| < 4

x+1 < 4 x+1 > -4

x < 4-1 x > -4-1

x < 3 x > -5

3 -5

(- ,3) (-5,+ )

|5x/3 –2| < 6

5x/3 –2< 6 5x/3 –2 >-6

5x/3 < 6+2 5x/3 >-6+2

5x/3 < 8 5x/3 > -4

5x < 8*3 5x > -4*3

5x < 24 5x > -12

x < 24/5 x > -12/5

24/5 -

12/5

(- ,24/5] [-12/5,+ )

|4x+2| > 10

4x+2 > 10 4x+2 < -10

4x > 10-2 4x < -10-2

4x > 8 4x < -12

x > 8/4 x < -12/4

x > 2 x < -3

2 -3

(- ,-3] [2,+ )

Aunque el cálculo fue descubierto a

fines del siglo XVII, sus fundamentos

permanecieron en estado de confusión y

desorden hasta que Cauchy y sus

contemporáneos impusieron normas de

rigor. Debemos a Cauchy la idea de

basar el cálculo en una clara definición

del concepto de límite.

Tarea: Biografía de Cauchy

Funciones y límites

Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos

conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le

corresponde solo un elemento del segundo conjunto.

A B A B

Función Relación

A

B

C

D

E

1

2

3

4

5

A

B

C

D

E

1

2

3

4

5

Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con

características en común.

Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable

independiente

Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable

dependiente.

Variable independiente: tiene valor por si misma

Variable dependiente: para existir depende del valor de la

variable independiente.

Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>

F(x) se lee f de x ó f en x

F(x) designa el valor que f le asigna a x.

Si F(x) = x3- 4 =>

F(2)= (2)3- 4 = 8-4 = 4

F(-1)= (-1)3- 4 = -1-4 =-5

F(a)= (a)3- 4 = a3- 4

F(a+h)= (a+h)3-4

= a3+3a2h+3ah2+h3-4

Si F(x) = x2- 2x =>

F(4)= (4)2- 2(4) = 16-8 = 8

F(4+h)= (4+h)2- 2(4+h)

= 16+8h+h2-(8+h)

= 16+8h+h2-8-h

= h2+7h+8

F(4+h)-F(4) = h2+7h+8 – 8

= h2+7h

F(4+h)-F(4)/h = (h2+7h)/h

= h(h+7)/ h

= h+7

G(x) = 1/x

G(a) = 1/a

G(a+h) = 1/(a+h)

G(a+h)-G(a) = 1/(a+h) - 1/a

[G(a+h)-G(a)]/h = [1/(a+h) - 1/a]/h

= [1(a)-(1)(a+h)/(a+h)(a)]/h

= [a-a-h/(a+h)(a)]/h

= [-h/(a+h)(a)] / h/1

= (-h)(1) / (a+h)(a)(h)

= -h / (a2+ah)h

= -1 / (a2+ah)

Para f(x) = x2-1,

encuentre:

a) f(1) =

b) f(k) =

c) f(-2) =

d) f(-6) =

e) f(0) =

f) f(1/2) =

g) f(2t) =

h) f(3x) =

i) f(1/x) =

Para F(x) = 3x3+x,

encuentre:

a) F(-6) =

b) F(1/2) =

c) F(3.2) =

d) F(3) =

e) F() =

f) F(1/x ) =

g) F(x) =

h) F(2x) =

Para G(y) = 1/ y-1

encuentre:

a) G(0) =

b) G(2y) =

c) G(0.999) =

d) G(1.01) =

e) G(-x) =

f) G(a) =

g) G(2t) =

h) G(-y) =

Operaciones con

funciones

I. (f+g)(x) = f(x) + g(x)

II. (f-g)(x) = f(x)-g(x)

III. (f*g)(x) = f(x)*g(x)

IV. (f / g)(x) = f(x) / g(x)

V. (fg)(x) = f(g(x))

Ejemplo: Si f(x) = x2 y g(x) = x+1

(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x+1

(f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2 – (x+1)

= x2 – x - 1

III. (f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2)(x+1)

= x3 + x2

IV. (f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2)/(x+1)

V. (fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2

Clasificación parcial

de funciones Función constante: f(x) = k;

Función identidad: f(x) = x;

Función lineal: f(x) = ax + b

Función cuadrática:

f(x) = ax2 + bx + c

Función cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+d

Función polinomial:

f(x)=axn+...+ax+a

Función racional:

f(x)= (axn+...+a)/(axn+.+a)

Función valor absoluto:

f(x)=| axn+..+ax+a |

Función exponencial: f(x) = ex

Función logaritmica: f(x) = log x

Graficas de algunas funciones

Para f(x)= x/x-1 y g(x)= (1+x2),

encuentra cada valor si es posible:

a) (f+g)(2)=

b) (f*g)(0)

c) (g/f)(3)=

d) (f g)(0)=

e) (g f)(8)=

f) (g f)(0)=

Para f(x)= x2+x y g(x)=2/x+3,

encuentra cada valor si es posible:

a) (f-g)(2)=

b) (f/g)(1)

c) g2(3)=

d) (f g)(1)=

e) (g f)(1)=

f) (g g)(3)=

Para f(x)= x3+2 y g(x)=2/x-1,

encuentra cada valor si es posible:

a) (f/g)(x)

b) (f g)(x)=

c) (f+g)(x)=

d) (g f)(x)=

Si f(x)= (x2-1) y g(x)= 2/x,

encuentra las fórmulas

a) (f/g)(x)

b) (f g)(x)=

c) (f+g)(x)=

d) (g f)(x)=

e) (f-g)(x)=

f) (f*g)(x)=

Introducción a los límites

Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es

ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De

hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.

Noción intuitiva

Considere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).

Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:

x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1

y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/-

3/2=+0.75

f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado

Graficando lo tabulado:

¿Qué pasa de 0 a 2?

Tabulemos mas dentro de ese

intervalo, sin tocar el uno.

x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7

y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59

La grafica tiene una rompimiento en el

punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de

analizar la gráfica, podemos pensar que

cuando x=1, su imagen (y)=3.

Podemos concluir que el límite de

f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;

Pero, en ésta forma es erroneo.

Necesitamos aplicar el límite, en el punto

donde la función no existe.

Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1) x -> 1 x -> 1

=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1

=lim (x2+x+1) = 12+1+1 x -> 1

= 3

Significado intuitivo de límite

Def.: Decir que lim f(x)=L

significa que cuando x está cerca,

pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

=> Decir que lim f(x)=3, significa que

cuando x está cerca de uno, pero no es uno,

f(x) está cerca de 3, pero no es 3.

0

1

2

3

4

5

6

7

-2.0

000

-1.0

000

-0.5

000

0.0

000

0.5

000

0.7

000

0.9

000

0.9

990

0.9

999

1.0

000

1.0

010

1.5

000

1.7

000

1.9

000

Ejemplos:

Encuentre:

Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 x3

Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3)

x3 =[(9-9)]/(3-3)

= 0 / 0 =

Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador.

Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3

= lim (x+2) = 3+2 = 5 x3

Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.

Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1

= 0/0 = 0/0 =

Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz.

Propiedades de la raíz.

(a*b) = a * b a/b = a / b

(a+b) a + b a-b a - b

a* a = (a*a) = a2 = a

Lim (x-1)/((x-1))= x1

Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))= x1

Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0 x1