Evaluar las siguientes integrales impropias:1.

∫0

1ln(x )dx=lim

t→ 0+∫t

1

ln( x )dx

integramos

∫ x ln( x )−x+cevaluamos

∫0

1(1 ln( x )−1 )−( 0 ln(0 )−0=−1

por−consiguiente

∫0

1

ln( x )dx=−1

2.

∫2

∞ 1

( x−1)2dx=

Observamos que el límite superior es infinito

∫2

∞ 1

( x−1)2dx= lim

R→∞∫1

R1

(x−1)2

int egramos( ln|x−1|2

∞⇒evaluamoslimR→∞

( ln|2−1|)−( ln|R−1|)=−1−0=−1

3. ∫−∞

∞e−5 xdx

Aplicando la definición para estos casos

∫−∞

∞e−5 xdx=∫−∞

oe−5 xdx+∫0

∞e−5 x dx

llamemos a la primera integral A y a la segunda B.

Desarrollaremos la primera integral:

∫−∞

∞e−5 xdx= lim

R→−∞∫−∞

0

−15e−5 xdx= lim

R→−∞(−15e−5 x)

R

0

= limR→−∞(−1

5e−5∗0−(−1

5e−5∗R))=

Ahora desarrollaremos la segunda integral

B=∫0

∞

e−5 xdx= limR→∞

∫0

R

−15e−5 xdx= lim

R→∞(−15e−5 x)

0

R

= limR→∞ [−1

5e−5∗R−(−1

5e−5∗0)]

Evaluando

B=∫0

∞

e−5 xdx=(−15e−5∗∞+ 1

5e−5∗0)=

4.

∫2

5 4+x

√x2−4dx

Es continua en [2,5] se puede aplicar el teorema fundamental luego:

4. ∫2

5 4+x

√x2−4dx=∫

2

5

√x2−4−4 sen−1( x )

Evaluando

∫2

5

(√52−4−4 sen−1(5 ))−(√22−4−4 sen−1(2))

∫2

5

√21−4 sen−1 (5)−(√22−4−4 sen−1(2 ))=4 . 5

Evaluar las siguientes integrales

5. ∫sec2 (√x )

√ xdx

Método de sustitución

u=√x⇒ du

dx=

12x−1

2⇒du=dx

2√ x⇒2du=

dx

√ xReemplazando la integral

∫sec2 (√x )√x

dx=∫ sec2 (u)2du=2∫sec2(u )du=2 tan(√ x+c