calculo integral

5/10/2018 Calculo Integral - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/calculo-integral-55a0bc2b9e19d 1/36

1

ANTOLOGÍA DE:

CÁLCULO INTEGRAL

Ingeniería Industrial



2

ÍNDICE DE CONTENIDO

Página

OBJETIVO GENERAL 3

CONTENIDO TEMÁTICO 3

UNIDAD I INTEGRACIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA 4

UNIDAD II FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN 12

UNIDAD III INTEGRALES DE DIFERENTES FORMAS 16

UNIDAD IV INTEGRACIÓN POR PARTES 28

BIBLIOGRAFÍA 36



3

OBJETIVO GENERAL

OBJETIVO GENERALAnalizar los conceptos fundamentales de funciones inversas y métodos de integración, así

como las variadas formas de integrales ordinarias a fin de resolver problemas físicos ygeométricos.

CONTENIDO TEMÁTICO

TEMAS Y SUBTEMAS

UNIDAD I INTEGRACIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA.

I.1 Introducción.I.2 Significado de Integración.I.3 Integración como suma.I.4 Integración como operación Inversa.

UNIDAD II FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN.

II.1 Introducción.II.2 Formulas de Integración.II.3 Ejemplos.

UNIDAD III INTEGRALES DE DIFERENTES FORMAS.

III.1 Integrales de la forma ∫ dx / (ax 2 + bx + C).III.2 Integrales de la forma ∫ (Px + q ) / ax 2 + bx + C.III.3 Integrales de la forma ∫ Senm U Cosn U dU.III.4 Integrales de la forma ∫ tgn U dU.III.5 Integrales de la forma ∫ Ctgn U dU.

UNIDAD IV INTEGRACIÓN POR PARTES.

IV.1 Fundamentos de Integración por partes.IV.2 Procedimiento para Integrar por partes.IV.3 Ejemplos.



4

UNIDAD I INTRODUCCIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA

I.1 Introducción

Uno de los primeros logros del cálculo, fue predecir la posición futura de un objeto,

a partir de una ubicación conocida y la función que representa su velocidad. Además hemos

podido, en muchas ocasiones encontrado una función a partir de valores conocidos y una

fórmula para su razón de cambio. En nuestros días, calcular la rapidez que necesita un

cohete en cierto punto para poder salir del campo gravitacional de la Tierra o predecir el

tiempo de vida útil de un objeto a partir de su nivel de actividad y su razón de

decrecimiento, son procesos rutinarios, gracias al cálculo, mediante el uso de las derivadas.

De aquí, podemos concluir que el problema de esta es, que si conocemos el recorrido de un

punto móvil, podemos calcular su velocidad y adicionalmente si tenemos una curva

podemos hallar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan

como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que denominan

“Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una

familia de funciones cuya derivada puede ser f ; estas funciones reciben el nombre deantiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de la

derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos concluir que

el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil, podemos hallar su

trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos, podemos

calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición de integración, pero

esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos encontrar toda la familia

de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora, veremos de que se trata la

integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo real de este trabajo.

Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se

conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII .

Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con

toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del



5

siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos

sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el

cálculo de áreas y volúmenes.

Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios

del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si

bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler,

Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213

a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al

cálculo integral.

Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis

infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se

aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban losprogresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a

todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de

Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz

unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se

citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo

infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una

multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

I.2 Significado de Integración

La integración se representa por un símbolo “∫ “ que tiene forma de “ S “

deformada , atribuyéndosele por ello que la “ S “ significa suma y se relaciona con el

concepto de integración.

De aquí que se maneje que la integración se estudia en dos significados diferentes.



6

I.3 Integración como Suma

En este caso, se supone un número limitado de rectángulos genéricos de

dimensiones infinitamente pequeñas, los cuales al sumarse mediante el proceso de

“integración“ nos proporciona el área exacta bajo una curva desde un limite x = α hasta unlímite x2 = B .

El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras

geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el

concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una

región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las

figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que

facilitan este cálculo.

Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular

el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es

necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto,

se una la letra griega mayúscula “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este

modo:

n

k

nk k aaaaa1

21 ......

y sus partes son:

a: representa los términos de la sumatoria

ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria

an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoriak: es el índice de la sumatoria

1: es el límite inferior de la sumatoria

n: es el límite superior de la sumatoria



7

Gráfica 1.

Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es

encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos

hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica

de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica 2.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de

rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos

rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la

región que deseamos.



8

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión,

podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo a,b, tal que

exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

)( ii x f x A ,

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura.

Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que

xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:

n

i

ii x x f 1

)(,

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos.

Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región,ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo

más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se

haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que

pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).



9

Gráfica 3.

De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de

rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean

muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos

buscado. Y esto se representa así:

n

i

ii

p

x x f 10

)(lim ,

que es equivalente a,

n

i

ii

n

x x f 1

)(lim ,

Con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos

definir la integral definida ya que,

n

i

ii

n

b

a x x f dx x f

1

)()( lim

Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos

definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la

integración definida, hallar el área bajo una curva.

Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las

partes que la componen.

b

adx x f )(

Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de

integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo, es una s



10

mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x),

es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que

en este caso es x.

I.4 Integración como Operación Inversa

Ahora consideremos al cálculo integral como operación inversa al cálculo

diferencial, para esto analizaremos un ejemplo.

Determinar y analizar las diferenciales de cada uno de los incisos siguientes:

FUNCIÓN DIFERENCIAL

1) Y = x2 dY = 2x dx

2) Y= x2 + 1 dY = 2x dx

3) Y= x2 + 5 dY = 2x dx

Observe como las diferenciales obtenidas en los cuatro incisos son iguales, sin

embargo las funciones originales no lo son, puesto que difieren de su término

independiente.

Esto nos da una idea de que si se hubiesen considerado un número ilimitado o

indefinido de parábolas con diferentes términos in dependientes obtendríamos siempre las

mismas diferenciales.

En relación a este análisis, se establece que a toda función una vez integrada su

diferencial , debe sumarsele una constante “ C “ llamada constante de integración.

Por lo tanto si se quiere integrar ∫ 2x dx esto es igual a lo siguiente:

∫ 2x dx = x2 + C

Buscando la explicación algebraica a la obtención de esta función obtenemos losiguiente:

∫ 2x dx = 2 x1+1 = 2 x2 = x2

1 + 1 2



11

Ahora le sumamos la constante de integración “ C “ al término de x2 y

obtendremos lo siguiente:

Y = x2 + C

Para el caso del ejemplo se ha empleado esta formula:

∫ un du = u1+1 + C

n + 1



12

UNIDAD II FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN

II.1 Introducción

En está parte se muestran las formas ordinarias de integración más frecuentes queson manejadas dentro del cálculo integral, por ello se recomienda al alumno adentrarse al

contenido de esta parte, para tener así una base sólida de la cual partir satisfactoriamente,

ya que esto nos garantizará el buen manejo de los problemas que posteriormente se verán

dentro de la integral definida.

II.2 Formulas de Integración

1.- ∫ k dk = k ∫ dx ( k = Constante)

2.- ∫ ( du + dv + dw) = ∫du + ∫dv + ∫dw

3.- ∫ un du = u1+1 + Cn + 1

4.- ∫ du = Ln u + Cu

5.- ∫ au du = _a u + CLn a

6.- ∫ eu du = eu + C

7.- ∫ Sen u du = - Cos u + C

8.- ∫ Cos u du = Sen u + C

9.-∫ tg u du =

- Ln cosu + C = Ln sec u + C

10.- ∫ ctg u du = Ln │sen u │ + C

11.- ∫ sec u du = Ln │sec u + tg u │ + C

12.- ∫ csc u du = Ln │csc u – ctg u │ + C

13.- ∫ sec2 u du = tg u + C



13

14 .- ∫ csc2 u du = - ctg u + C

15.- ∫ sec u tg u du = sec u + C

16.- ∫ csc u ctg u du = - Csc u + C17.- ∫ __du_ = __1__ arc tg _u_+ C

u2 + a2 a a

18.- ∫ __du_ = arc sen __u__+ C

a2 - u2 a

19.- ∫ __du_ = Ln │u + u2 ± a2 │+ C

u

2

± a

2

20.- ∫ __du_ = __1__ Ln │_ u - a │+ Cu2 - a2 2a u + a

21.- ∫ __du_ = __1__ Ln │_ a + u │+ Ca2 - u2 2a a - u

22.- ∫ u2 ± a2 = __u__ u2 ± a2 ± __a2 _ Ln │u + u2 ± a2 │+ C 2 2

23.- ∫ a2 - u2 = __u__ a2 - u2 + __a2 _arc sen u + C2 2 a



14

II.3 Ejemplos

1.- Integrar ∫ 4 dx

El primer paso a seguir es comparar esta integral con las formulas que se dieron

a conocer en la unidad II.2.

∫ k dk = k ∫ dx “ Formula a utilizar “

Por lo tanto:

∫ 4 dx = 4 ∫ dx = 4x + C “Solución final”

2.- Integrar ∫ x4 dx



∫ un du = u1+1 + C “ Formula a utilizar “n + 1

Por lo tanto:

∫ x4 dx = x4+1 + C = x5 + C “Solución final”n + 5



15

Problemas Propuestos

Integrar los siguientes problemas:

1.- ∫ 3 4x dx

2.- ∫ ( x + 1 ) dxx2 + 2x + 9

3.- ∫ e Ln x dxx

4.-∫ x7 dx

5.-∫ ( x + 1)5 dx

6.- ∫ ax dx



16

UNIDAD III INTEGRALES DE DIFERENTES FORMAS

III.1 Integrales de la forma ∫ dx .(ax 2 + bx + C)

En primer término se describirán unas reglas prácticas para poder integrar este

tipo de forma.

Reglas:

1.- El coeficiente del término cuadrático debe ser igual a la unidad, es decir (a =1) en caso

de no ser así se procede a factorizar la “ a”.

2.- Una vez verificado el paso anterior, se selecciona el coeficiente del término medio es

decir “ b “, se divide por dos y se eleva al cuadrado o sea (b/2) 2 .

3.- El valor obtenido en el paso No.2 se suma y se resta al denominador del integrando.

4.- Se procede a agrupar los términos del denominador en forma de trinomio cuadrado

perfecto, dando como resultado la integral que es comparables con cualquiera de las formasinmediatas de integración.

Ejemplo 1.

Integrar ∫ dx .

x2 + 4x + 9

Paso 1)

Seleccionamos los coeficientes a = 1 y b = 4

* Observe como el coeficiente del término cuadrático, es igual a uno, con lo que con todo

esto se cumple la primera condición.



17

Paso 2)

Seleccionamos el valor de “b” que en este caso b = 4, lo dividimos por dos y lo

elevamos al cuadrado.

( b / 2 )2 = ( 4 / 2 )2 = 22 = 4

Paso 3)

Sumamos y restamos el valor obtenido en el paso No.2, al denominador del

integrado y obtenemos lo siguiente.

∫ dx_____ = ∫ _____dx __ __

x2 + 4x + 9 x2 + 4x + 4 - 4 + 9

Paso 4)

Agrupamos los términos del denominador e integramos.

∫ dx_____ = ∫ _____dx __ __ = ∫ dx __x2 + 4x + 9 x2 + 4x + 4 + 5 ( x + 2) 2 + 5

Ahora integramos:

∫ dx __

( x + 2) 2 + 5

El primer paso a seguir es comparar esta integral con las formulas que se dieron a

conocer en la unidad II.2.

∫ __du_ = __1__ arc tg _u_+ C “Formula 17 a utilizar”u2 + a2 a a



18

Por lo tanto:

∫ dx __ = 1__ arc tg ( x + 2 __) + C “ Solución final”

( x + 2) 2 + 5 5 5

Ejemplo 2 resuelva la siguiente integral con ayuda del profesor:

Integrar ∫ dx .

2x2 - 2x + 1



19

Ejemplo 3 resuelva la siguiente integral con ayuda del profesor:

Integrar ∫ 4dx .

1 - 3x - 5x2

III.2 Integrales de la forma ∫ (Px + q ) dxax 2 + bx + C

A continuación se analizará este tipo de integrales realizando ejemplos para que el

alumno conozca la manera de resolver este tipo de formas.

Ejemplo Integrar ∫ (x + 2 )dxx 2 - 6x + 5

En estos problemas se recomienda hacer “U” el denominador y determinar sudiferencial “du”.

u = x 2 - 6x + 5

du = (2x -6 ) dx



20

Ahora tenemos que lograr, que el numerador del problema propuesto, sea igual a ladiferencial analizada “du”.

Para esto multiplicamos al numerador por dos.

∫ (x + 2 )dx = 2 ∫ (x + 2 )dx = _1 ∫ 2(x + 2 )dx = _1 ∫ (2x + 4 )dxx 2 - 6x + 5 2 x 2 - 6x + 5 2 x 2 - 6x + 5 2 x 2 - 6x + 5

Para determinar el segundo término de la diferencial, sumamos y restamos “6” alnumerador de la integral.

∫ (2x + 4 + 6 - 6 )dxx 2 - 6x + 5

Seleccionamos los términos de la diferencial du = 2x -6 y el excedente lo separamosen otra integral.

∫ (2x + 4 + 6 - 6 )dx = 1 ∫ (2x - 6 )dx + _1 ∫ ____10 dx__x 2 - 6x + 5 2 x 2 - 6x + 5 2 x 2 - 6x + 5

1 ∫ (2x - 6 )dx Primera Integral por resolver2 x 2 - 6x + 5

1 ∫ ____10 dx__ Segunda Integral por resolver2 x 2 - 6x + 5

Solución de la primera Integral:

1 ∫ (2x - 6 )dx

2 x2

- 6x + 5



∫ du = Ln u + C “Formula 4 a utilizar”



21

u

Por lo tanto:

∫du = _1_ Ln

│x 2 - 6x + 5

│ + C“Solución final”

u 2

Solución de la segunda Integral:

1 ∫ ____10 dx__ = 10 ∫ ___ dx_____ = 5 ∫ ____ dx__2 x 2 - 6x + 5 2 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 5

Esta integral es de la forma ∫ dx .(ax 2 + bx + C)

Por lo que nos queda lo siguiente:

∫ dx .= ∫ dx .x 2 -6x + 9 + 9 + 5 x 2 -6x + 9 - 4

Este trinomio cuadrado perfecto se reduce a un binomio al cuadrado de la forma ( x-3 ) 2 por

lo tanto la integral queda de la siguiente forma.

∫ dx .

(x - 3 )2 - 4

Por último el paso a seguir es comparar esta integral con las formulas que se

dieron a conocer en la unidad II.2.

∫ __du_ = __1__ Ln │_ u - a │+ C “ Formula 20 a utilizar”u2 - a2 2a u + a



22

Por lo tanto:

∫ __du_ = 5 (_1 )__ Ln │_ (x-3) - 2 │+ C = _5_ Ln │_ (x-3) - 2 │ + Cu2 - a2 2(2) (x-3) + 2 4 (x-3) + 2

Finalmente queda de la siguiente manera:

_5_ Ln │_x - 5 │ + C4 x- 1

Se juntan los resultados de la primera y segunda integral y tenemos losiguiente:

∫ (x + 2 )dx =

_1_ Ln │ x 2 - 6x + 5│ + _5_ Ln │_x - 5 │ + Cx 2 - 6x + 5 2 4 x - 1

Problemas propuestos:

1.- Integrar ∫ (x + 5 )dxx 2 - 3x + 2

2.- Integrar ∫ (x + 6 )dxx 2 - 8x + 4

III.3 Integrales de la forma ∫ Senm

U Cosn

U dU

En esta parte se debe de tomar en cuenta que m ó n sea un número positivo impar.

En primer término mencionemos unas identidades que utilizaremos.

Sen2 a = 1- cos2 a



23

Cos2 a = 1- Sen2 a

Ejemplo Integrar ∫ Sen 3 x dx

En primer termino se debe descomponer la integral.

= ∫ Sen2 x * Sen dx

Resolviendo la integral descompuesta tenemos que.

∫ Sen2 x dx la comparamos con la identidad y queda de la siguiente manera:

∫ Sen2 x dx = 1- cos2 x

Por lo tanto.,

∫ (1- cos2 x) sen x dx

= ∫ sen x - ∫ cos2 x sen x dx

Resolvemos la primer integral.

∫ sen x ……………………………… utilizando la formula 7

∫ Sen u du = - Cos u + C

Por lo tanto.,

∫ sen x = - Cos x + C

Resolvemos la segunda integral.

∫ cos2 x sen x dx

n = 2

u = cos x



24

du = -sen x dx

Por lo tanto utilizamos la formula 3:

∫ un du = u1+1 + Cn + 1

Por lo tanto.,∫ cos2 x sen x dx = 1_ Cos2 + 1 + C

3= 1_ Cos3 + C

3Por último de juntan los resultados de las Integrales.

∫ Sen 3 x dx = -Cos x + 1_ Cos3 x + C3

Resolver la siguiente Integral:

∫ Sen 2x Cos5 x dx

III.4 Integrales de la forma ∫ tgn U dU

Cuando “n” sea un número entero positivo par ó impar utilizar las siguientes

formulas.

tg2 a = Sec2 a – 1

ctg2 a = Csc2 a – 1

Ejemplo 1.



25

Integrar ∫ tg3 x dx

Para resolver este problema descomponemos en dos factores esta integral yobtenemos.

∫ tg3 x dx = ∫ tg2 x tg x dx

tg2 a = Sec2 a – 1

Por lo tanto.,

∫ (Sec2 x – 1) tg x dx = ∫ tg x Sec2 x dx - ∫ tg x dx

Solución por partes:Primera parte.,

∫ tg x Sec2 x dx

n = 1u = tg xdu = Sec2 x dx

Formula 7.- ∫ tg u du = - Ln cosu + C = Ln sec u + C

Por lo tanto.,

∫ tg x Sec2 x dx = - Ln Sec x + C

Segunda parte.,

- ∫ tg x dx

Formula ∫ un du = u1+1 + Cn + 1

Por lo tanto.,



26

u = xdu = dx

- ∫ tg x dx = - 1_ tg1+1 x + C = - 1_ tg2 x + C2 2

Por último de juntan los resultados de las Integrales.

∫ tg3 x dx = - 1_ tg2 x - Ln Sec x + C2

III.5 Integrales de la forma ∫ ctgn U dU

Ejemplo 1.

Integrar ∫ ctg3 x dx

Para resolver este problema descomponemos en dos factores esta integral yobtenemos.

∫ ctg3 x dx = ∫ ctg2 x ctg x dx

ctg2 a = csc2 a – 1



27

Por lo tanto.,

∫ (csc2 x – 1) ctg x dx = ∫ csc2 x ctg x dx - ∫ ctg x dx

Solución por partes:

Primera parte.,

∫ csc x * csc x ctg x dx

n = 1u = csc x ctg x dxdu = - csc x dx

∫ csc2 x ctg x dx = - 1_ csc1+1 x + C = - 1_ csc2 x + C2 2

Segunda parte.,

∫ ctg x dx

Formula ∫ ctg u du = Ln │sen u │ + C

Por lo tanto.,

∫ ctg x dx = Ln sen x + C

Por último de juntan los resultados de las Integrales.

∫ ctg3 x dx =

- 1_ csc2 x - Ln Sen x + C2



28

UNIDAD IV INTEGRACIÓN POR PARTES

IV.1 Fundamentos de Integración por partes

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),

v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x),

permite escribir,

d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du

= f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdadanterior,



29

Cómo se resuelve una integral por partes

Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el

resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo

miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor

problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más

convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino

para adquirir la técnica necesaria.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma x m si m es

positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen

identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, exdx, sen x dx, cos

x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer

la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

IV.2 Procedimiento para Integrar por partes

En esta parte se muestra la manera de realizar el calculo de una integral por

partes.

1.- “ U “ debe ser una función derivable y “dv” un término fácil de integrar.

2.- ∫ v du no debe ser más complicada que ∫ u dv

En estas integrales el problema más frecuente que suele presentarse, se hace

notorio al momento de seleccionar los términos respectivos a “ u y dv” ya que el

manejo de los métodos de integración vistos hasta ahora son limitados, debido a que la

integración abarca un ámbito mas extenso en comparación con la diferenciación.



30

IV.3 Ejemplos

Ejercicio: integración por partes

Resolución:

Éste es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función,

ln x.

Resolución:

Se puede resolver efectuando cambios distintos:

a) La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx

De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx.

Puesto que cos2x = 1 - sen2x,



31

Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse

a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es

b) Esta integral admite también la identificación u = sen2x, dv = dx

Diferenciando u, du = 2 sen x cos x dx = sen 2x dx

Aplicando la fórmula de integración por partes,

Si u = x, du = dx.



32

Volviendo a la igualdad (1)

No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han

obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en la segunda expresión se

sustituye cos 2x por su valor, cos2x - sen2x, y sen 2x por el suyo, 2 sen x cos x, seobtiene:



33

Resolución:

Aplicando la fórmula,

Resolución:

Llamando u = x, du = dx;



34

Resolución:

Se hace la identificación u = x2; diferenciando, du = 2x dx

Aplicando la fórmula,

Así,



35

Llevando este resultado a (1),



36

BIBLIOGRAFÍA

- Stefan Warner / Steven R. Costenoble. Cálculo Aplicado. 2ª Edición, Thomson 2001.

- James Stewart. Cálculo Conceptos y Contextos. 1ª Edición, Thomson 1999.

- James Stewart. Cálculo Diferencial e Integral. 1ª Edición, Thomson 1999.

calculo integral

Documents