CÁLCULO INTEGRAL:

El cálculo integral, encuadrado, en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración.Básicamente, la integración es el proceso inverso de la derivación.Al resolver una integral obtenemos la ANTIDERIVADA (también llamada primitiva).

LA ANTIDERIVADA

Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la siguiente forma:

 

Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida.

 

Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x) 

 

 

La función que se pide se le conoce como integral  de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual que el símbolo de derivada,  el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo

 

                                             

 

Concretamente diremos que

 

 

aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el análisis de este concepto.

 

Así por ejemplo podemos tener  f1(x)= 3x  y con ello f1´(x)dx=3dx por lo que

 

 

 

pero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces   f2

´(x)dx=3dx por lo que

 

 

Podemos entonces pensar que en general  pudimos agregar a f1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial por lo que una expresión mas general a considerar es la siguiente:

 

a la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresión anterior se le conoce como integral indefinida.

 

Retomemos el ejemplo:

 

 

que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:

 

 

 

lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración obtenemos la función a integrar. De forma mas general tendremos:

 

 

Como podemos observar el operador de  derivada en una operador inverso al de integración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el operador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta, y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución

EJEMPLOS DE ANTIDERIVDA

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son anti derivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

 

Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier anti derivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como

c constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una anti derivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

Concepto. Propiedades. Reglas de integración.

Integrales inmediatas. Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

Uso de tablas. Integración de funciones trigonométricas sencillas. Integración de funciones racionales sencillas.

Anti derivada

Una anti derivada de una función f(X) es una función cuya derivada es f(X)

Ejemplos:Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4.

Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x2+30.

En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49.

En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

CONSTANTE ARBITRARIA

En el cálculo, la integral indefinida de una función dada (es decir, el juego de todos los

antiderivados de la función) sólo se define hasta una constante aditiva, la constante de

integración. Esta constante expresos una ambigüedad inherente en la construcción de

antiderivados. Si una función se define en un intervalo y es un antiderivado de, entonces el

juego de todos los antiderivados de dan las funciones, donde C es una constante arbitraria.

La constante de integración a veces se omite en listas de integrales para la simplicidad.

ORIGEN DE LA CONSTANTE

El derivado de cualquier función constante es el cero. Una vez que uno ha encontrado que

un antiderivado, añadiendo o restando C constante nos dará otro antiderivado, porque. La

constante es un modo de expresar que cada función tiene un número infinito de

antiderivados diferentes.

Por ejemplo, suponga que uno quiere encontrar antiderivados de. Un tal antiderivado es. El

otro es. Un tercero es. Cada uno de éstos tiene el derivado, por tanto son todos los

antiderivados de.

Resulta que la adición y restar constantes son la única flexibilidad que tenemos en el

descubrimiento de antiderivados diferentes de la misma función. Es decir todos los

antiderivados son lo mismo hasta una constante. Expresar este hecho para porque

(x), escribimos:

:

La sustitución C por un número producirá un antiderivado. Escribiendo C en vez de un

número, sin embargo, una descripción compacta de todos los antiderivados posibles de

porque (x) se obtiene. El C se llama la constante de integración. Fácilmente se determina

que todas estas funciones en efecto son antiderivados de:

:

\frac {d} {dx} [\sin (x) + C] &= \frac {d} {dx} [\sin (x)] + \frac {d} {dx} [C] \\

&= \cos (x) + 0 \\

&= \cos (x)

Los \end {alinean} </matemáticas>

En la lengua del álgebra lineal, la gente dice que el operador derivado traza un mapa del

vector dimensión (k+1) en el espacio de la dimensión k, que exige una condición

suplementaria para especificarse para la operación inversa.

FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACION

1.- 

2.- 

3.- 

4.- 

5.- 

6.- 

7.- 

8.- 

9.- 

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

25.- 

26.- 

27.- 

ÁREA BAJO LA CURVA

DEFINICIÓN:

Sea una función continua tal que f(x)≥0 en [a,b], el área bajo la curva

es:

b

a

dxxfA )(

Si en el intervalo [c,d], f(x)≤0, el área entre el eje x y la curva será :

EJEMPLOS:

Calcular e l área del recinto l imitado por la curva y = 9 − x 2 y e l

e je OX.

En primer lugar hal lamos los puntos de corte con el e je OX

para representar la curva y conocer los l ímites de integración.

Como la parábola es s imétr ica respecto al e je OY, el área será

igual a l doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

Calcular e l área del t r iángulo de vér t ices A(3, 0), B(6, 3), C(8,

0).

Ecuación de la recta que pasa por AB :

Ecuación de la recta que pasa por BC:

28.-