3.4 Clculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones.CENTROIDE

Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurar como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecer .

Las expresiones definen entonces una propiedad del cuepo puramente geomtrico, sin referencia alguna a sus propiedades fsicas, cuando el clculo se refiera unicamente a una figura geomtrica, se utilizar el trmino centroide.

Si una figura geomtrica posee un centro de simetra, este punto es elcentroidede la figura. Cuando se hable de un cuerpo fsico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad vara de unos puntos a otros, aqullos no coincidarn, en general.

Los clculos relacionados con los centroides caen dentro de 3 categoras clarmente definidas segn que la forma del cuerpo en cuestin pueda ser representada por una lnea, una superficie o un volumen

Para lneas.-

En x = (Distancia del eje X x (derivada de la lnea))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada de la lnea))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada de la lnea))/masa

Para superficies.-

En x = (Distancia del eje X x (derivada del rea))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada del rea))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada del rea))/masa

Para volumenes.-

En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masa

Si una figura geomtrica posee un eje de simetra, el centroide de la figura coincide con este eje.

FIGURA GEOMTRICA LOCALIZACIN DEL CENTROIDE

Permetro del tringulo Centro del crculo inscrito del tringulo cuyos vrtices son l os puntos medios

de los lados del tringulo dado.

Arco del semicrculo de radioRDistancia desde el dimetro =2R

Arco de 2 radianes de un crculo de Dist. desde el centro del crculo =R sin

radioR

Area del tringulo Interseccin de las medianas

Area del cuadriltero Interseccin de las diagonales de un

paralelogramo cuyos lados pasan a

travs de los puntos de triseccin

adyacentes a los pares de lados

consecutivos del cuadriltero.

Area del semicrculo de radioRDist. desde el dimetro =4R

3

Area del sector circular del radioRDistancia desde el centro del crculo

y del ngulo central 2 radianes. =2 R sin

3

Area de la semielipse de alturahDist. desde la base =4h

3

Area del cuadrante de una elipse Dist. desde el eje menor =4a, dist.

de semiejes mayor y menor (ayb). 3

desde el eje mayor =4b

3

Area del segmento parablico Dist. desde la base = 2/5h

derecho de alturah.

FIGURA GEOMTRICA LOCALIZACIN DEL CENTROIDE

Area lateral de una pirmide regular o un Dist. desde la base = 1/3h

cono circular.

Area de un hemisferios de radio R Distancia desde la base =1/2 R

Volumen de piramide o cono de la distancia desde el centro de la base al vrtice de la pirmide o cono.

Volumen de la porcin de una pirmide En la lnea uniendo los centroi o cono con d como la distancia entre de las 2 bases a la distancia los centroides de las 2 bases y k como desde el centroide a la base el radio de similaridad de la base mayor menor a la menor =1/4 d ((1+2k+3k2)/(1+k+k2)) Volumen del hemisferio de radio R Distancia desde la base = 3/8 R Volumen de revolucin de altura h obtenida revolviendo una semielipse Distancia desde la base = 3/8 h por sus ejes de simetra

Volumen de parabola de revolucin Distancia desde la base = 1/3 h de altura h

Aplicacin del centroide.-

El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actuan sobre una figura irregular, o figuras geomtricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudara a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.

Relacin del centroide con el momntum.-

En el caso de los puentes el centroide nos ayuda a ver como hacer para que si se rompe un cable que sostenga al puente no cree torque la rotura del cable, es decir nos ayuda a equilibrar un puente o figuras irregulares, para que si afecta algo al sistema no suceda nada, que pueda cambiar la figura.

En conclusin para localizar el centroide de una figura, se utilizan las tablas de centroide, en donde, detallando cada figura para encontrar sus coordenadas primas para el clculo general, se desarrolla un procedimiento establecido:

Se obtiene el rea total de la figura, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir, sus coordenadas primas.

Se extrae cada figura que obstruye exista un objeto con volumen igual en todos los puntos

Se obtiene el rea de la figura extrada, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir sus coordenadas primas, y as, con todas las figuras que conformen el cuerpo geomtrico

Se procede con la siguiente frmula:A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...x= A1t - Af1 - Af2 ...A1t(y1t) - Af1(yf1) - Af2(yf2)...y= A1t - Af1 - Af2 ...Ejemplo.- Localizar el centroide de la siguiente figuraA1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...x= A1t - Af1 - Af2 ...3,5(63) - 6,33(3) - 2,5(1)x= 63 - 3 - 1x = 3,37 mEjemplo.-Encontrar el centroide de la figuraA1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...x= A1t - Af1 - Af2 ...4,5(90) - 8,28(14,13) - 1,33(4)x= 90 - 14,13 -4x = 3,93326 mEncontrar el centroide de la figuraA1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...x= A1t - Af1 - Af2 ...3,5(77) - 6,33(4) - 3(4) - 3 (0,25)x= 77 - 4 - 4 - (0,25)x = 3,41 m BIBLIOGRAFA:1. SELBY, Samuel M, STANDARD MATHEMATIC TABLES, The chemical Rubber Co. Ohio, USA. 1964, 1965, 1967, 1969, diez y siete ava edicin.1. WILSON, Jerry D, FISICA, Prentice Hall, Segunda Edicin, Tomo 1, Mxico, 194-198. 260-261.1. BLATT, Frank J. FUNDAMENTOS DE FISICA, 3ra edicin, Prentice Hall, Mxico, 129-136.