DIFERENCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

ANALISIS MATEMATICO 3

ALUMNO – LEONARDO LÓPEZ

REPASO

EN FUNCIONES DE UNA VARIABLE

La derivada de una función la podemos expresar como

Y’ = f’x = dy/dx

Ademas si consideramos a

∆x = incremento de la variable independiente

Tenemos que el diferencial de una función se puede expresar como

dy = df = f’x . ∆x

Además se vio que cuando el ∆x es pequeño el cociente incremental

∆f/ ∆x difiere de f’x en un número pequeño que llamamosЄ (epsilón) donde Є = ∆f/∆x - f’x para un ∆x pequeñoЄ 0 cuando ∆x 0

Multiplicando todo por ∆xЄ. ∆x = ∆f - f’x . ∆x

De donde se obtiene ∆f = f’x. ∆x + Є . ∆xdonde f’x. ∆x es el diferencial de la función

En una variable fx es diferenciable si el incremento de una funciónSe puede escribir del siguiente modo ∆y = f’x. ∆x + Є . ∆x dondeЄ es un número que depende de ∆x y Є o cuando ∆x 0

En funciones de una variable independiente y = fx es equivalente decir diferenciable o derivable, esto no es asi en funciones de 2 o mas variables independientes

FUNCIONES DE 2 O MAS VARIABLESDIFERENCIABILIDAD

DefiniciónSea Z = f (x, y) una función de dos variables independientes x e y, decimos que f Es diferenciable en el punto (X0 Y0) de su dominio si el incremento de la funciónEn dicho punto se puede escribir del siguiente modo

∆f (X0 Y0) = fx (X0,Y0). ∆x + fy (X0,Y0). ∆y + Є1. ∆x + Є2 . ∆y

donde Є1 y Є2 son funciones que dependen de ∆x y ∆y respectivamente y Є1 0 cuando ∆x 0 y Є2 0 cuando ∆y 0

Ejercicioprobar que la función Z=f(x,y) = x² + 3y es diferenciable entodos los puntos del plano R²

Δf = f(x + Δx, y + Δy) – f(x,y)Δf = (x + Δx)² + 3(y + Δy) – (x²+3y)Δf= x² + 2xΔx + Δx² + 3y + 3Δy – x² - 3yΔf= 2xΔx + Δx²+3Δy

fx = 2x 2xΔx + 3Δy + Δx Δx + 0 ΔyFy = 3 fx.Δx + fyΔy + ϵı Δx + ϵ2 Δy

Df = 2xΔx + 3Δy + Δx Δx + 0 Δy ϵ1 0 Δx 0 ϵ2 0

Se encontró un ϵı y un ϵ2 tal que da la ecuación, es decir

f(x,y) = x² + 3y la función f(x,y) es diferenciable en R²por lo tanto la diferencialidad => derivabilidad

Función Diferenciable

Z = f(x,y) una función de dos variables es diferenciable en un punto (x,y) si el incremento de la función Δz se puede expresar

Δz = Δf = fx (x,y)Δx + fy(x,y)Δy + ϵ1Δx1 + ϵ2 Δx2

ϵ1 = ϵ1(Δx) 0 cuando Δx 0ϵ2 = ϵ2 (Δy) 0 cuando Δy 0

Teorema

Diferencialidad => ContinuidadSea Z=f(x,y) una función de 2 variables realesSi f(x,y) es diferenciable en un punto x0 y0 entonces f(x,y) es continua en esepuntoAnteriormente se probo que Z=f(x,y) = x² + 3y es diferenciable en R². Por lo tantof(x,y) es continua en R²

ObservaciónPara funciones de 2 o mas variables la sola existencia de las derivadas parcialesen un punto no asegura la continuidad en dicho puntoEj.

Sea f(x,y) x² + y²x . y si (x.y) ≠ (0,0)

0 si (x,y) = (0.0)

Df(x,y) = R²se analiza la existencia de derivadas parciales en el punto (0.0)

fx (0;0) = lim f(0+∆x ; 0) – f(0.0) ∆x 0 ∆x

(0+∆x).0 - 0 0 (0+∆x)² + 0² ∆x²= lim = lim ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x

0 = 0=Lim ∆x³ ∆x 0

fx en (0;0) = 0

fy (0;0) = lim f(0;0+∆y) – f(0;0) ∆y 0 ∆y

0.(0 + ∆y) - 0 0² + (0 + ∆y)² lim ∆y 0 ∆y

Lim 0 = 0∆y 0 ∆y³

fy (0;0) = 0

Se analiza la continuidad de la función f(x,y)

a) f(0;0) = 0

lim x . y = lim x.y = lim x.(mx)x 0 x²+y² x 0 x²+y² x 0 x² + m²x² y 0 y =mx y=mx

= lim mx² = m x 0 x²(1+m²) 1+m²

El limite doble depende de la trayectoria por lo tanto lim f(x , y) no existe x 0 y 0 en (0,0) existe una discontinuidad esencial de la función

En funciones de 2 o mas variables la sola existencia de las derivadas parcialesno asegura la continuidad

no continuidad => no diferenciabilidad

Condiciones suficientes para la diferenciabilidadPuede suceder que la definición de función diferenciable sea difícil aplicar para algunas o mas funciones, para lo cual se deben tener en cuenta algunascondiciones suficientes para la diferenciabilidad

TeoremaSea Z = f(x;y) una función de dos variables independientes realesSi fx y fy (x , y) de entorno ((x0, y0) ; δ) Z = f(x;y) es diferenciable en el y fx y fy son continuas en (x0, y0) punto x0, y0

Ejemplof(x,y) = x³ + 3xy – 5y³

fx (x,y) = 3x² +3y (x,y) R² => Z =f(x,y) es diferenciable en R² fy (x,y) = 3x-15y² fx y fy son continuas en R²

Observaciónlas condiciones de este teorema son suficientes pero no necesarias, estosignifica que es posible que una función sea diferenciable en un puntosin que sus derivadas parciales sean continuas en el, en ese caso se debeutilizar la definición de función diferenciable

Teníamos el diferencial en una variableY=fx∆y = f(x+∆x) – f(x)dy = f`x.dx∆y ≈ dy cuando ∆x 0∆x=dx

En 2 variablesZ=f(x,y)∆z = f(x+∆x,y+∆y) – f(x,y)Variables independientesDefinición ∆x = dxDefinición ∆y = dy

DIFERENCIAL TOTAL – Definición

Sea Z=f(x,y) una función diferenciable de 2 variables reales, llamaremos diferencialtotal de la función a las siguientes expresión

dz = fx (x,y)∆x + fy(x,y)∆ydz = fx(x,y).dx + fy(x,y).dy función diferencial

En un puntodz(x0;y0) = fx(x0;y0)dx + fy(x0;y0)dy diferencial en un punto

Esta definición puede extenderse a funciones de 3 o + variables

W=f(x,y,z) R³ R

XY variables independientes ∆x=dxZ ∆y=dy ∆z=dzEl diferencial total esdw = fx.dx + fy.dy + fz.dz

EjemploF(x,z) = x² + 3y es diferenciable en R² por lo que existe el diferencial total

dz = df = fx.dx + fy.dy = 2x.dx + 3dy

Z= x³+ 3xy - 5y³ es diferenciable en R²dz= fx.dx + fy.dy = (3x²+3y)dx + (3x+15y²)dy

dz(1,2) = (3+3.2)dx + (3.1-15.2²)dy

EjemploZ= f(x,y) = 2x.seny – 3x²y²

fx= 2seny – 6xy² existe en R² y es continua en R² por lo tanto ffy= 2xcosy – 6x²y es diferenciable en R²

dz = (2seny – 6xy²)dx – (2xcosy – 6x²y)dy

Igual que en una variable para valores pequeños de ∆x se tiene que ∆y≈dy en funcionesde 2 o mas variables ∆z≈dz para valores pequeños de ∆x y ∆y

Sea Z = 2x³ + x.y – y³

Calcular ∆z y dz Cuando (x,y) varia del punto (2,1) al punto (2,03;0.98)

∆Z = f(x+∆x, y+∆y) – f(x,y) ∆x=0.03∆Z = f(2+0.03, 1-0.02) – f(2,1) ∆y= -0.02∆z = 0.779062 dz= fx.dx + fy.dy = 0.77

fx(2.1) .0.03 + fy(2.1).(-0.02) = 0.77

DIFERENCIALES SUCESIVOSDada una función z= f(x,y) diferenciable, se puede hallar su diferencial total que esdz, que podemos llamar diferencial de primer orden, obteniendo una nueva funciónde x y de y que a su vez puede ser diferenciable, si lo es, volvemos a diferenciar y obtenemos el diferencial 2do.

dz = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy * f(x,y) es diferenciable => es continua por lo tanto fxy = fyx

dz² = d(dz) = d(fx.dx + fy.dy)= = (fx.dx+fy.dy)x.dx+ (fx.dx+fy.dy.)y.dy

d²z= (fxx.dx + fyx.dy)dx + (fxy.dx + fyy.dy).dy

d²z= fxx.²dx + fyx.dy.dx + fxy.dx.dy + fyy.dy²

d²z = fxx. dx² + 2fxy.dx.dy + fyy.dy²