VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITES

Integrantes:Lema Tenesaca FannyPazmiño Andrade Rosemarie

Administración de Empresas

¿Qué es una variable?Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto.

Tipos de variable

Cualitativa

Nomial

Ordinal

Cuantitativa

Discreta

Continua

¿Qué son las constantes?

Una constante es una cantidad que tiene un valor fijo en un determinado cálculo, proceso o ecuación. Esto quiere decir que la constante es un valor permanente que no puede modificarse dentro de un cierto contexto. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto.

Tipos de Constantes

Constante Numéricas o Absolutas: Son las que conservan los mismos valores en

todos los problemas, 2, 5, etc.

Constantes Arbitrarias o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar

valores numéricos y que durante todo el proceso conservan esos valores

asignados.

Intervalo de una variableEs el conjunto de valores que pueden tomar la variable dependiente, y que están comprendidos entre dos de ellos: a y b que se denominaran extremo de los intervalos.

Este símbolo a, b; se lee como “intervalo de a a b”.

Variación continúa Se dice que una variable a varia de una manera continua en un intervalo a, bCuando X aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes; o cuando disminuye desde x= b hasta x= a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios.

Funciones

Cuando dos variables están, relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinada sí se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda.

En las experiencias de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias , de su fuerza.

Variables dependientes Se define como el factor que es; se podría decir que es cuyo valor queda fijado cuando se asigna observado y medido para determinar el efecto de la variable independiente un valor a la variable independiente, también se la llama FUNCIÓN

Variables independientes

Está variable se le puede asignar valores a voluntad dentro de límites que depende del problema particular.

Notación de funciones:El símbolo f(X) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F(x).

La división por cero, excluida:

El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx .Evidente, con esta definición por cero queda excluida. En efecto, si b= 0, y recordando que cero tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = 0.Si a = 0, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas:

; Carecen de sentido por no ser posible la división por cero.

Gráfica de una función; continuidad.Una función se dice que es continua en todo su dominio, cundo podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel.

Limite de una variable

Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v – l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.

La relación así definida se escribe lím v = l , Por conveniencia, nos serviremos de la notación v → l , que se leerá “ v tienda haca el límite l” o, más brevemente , “ v tiende a l “ .

Limite de una función:

Se representa usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v → l . Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiene también a un límite. Si efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa esta relación escribiendo:Lim z = a v → lY se leerá: “ el límite de z, cuando v tiende a l es a”

Teoremas sobre el límites:

El límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite no sea cero.Ejemplo:Si c es una constante ( independiente de x ) B no es cero, de lo anterior se deduce:

( 4 ) lím ( u + c ) = A + c, lím cu = Ca , lím c = c x → u x → a x → n v → B

Funciones continuas y discontinuas:

Se dice que una f ( x ) es continua para x = a si el imite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x = a. En símbolos , siLím f ( x ) = f ( a ) x → aEntonces f ( x ) es continua para x = aSe dice que a función es discontinua para x = a sí, no se satisface está condición.Se dice que una función f ( x ) es continua en un intervalo cuando es continua para todos los valores de x dentro de un intervalo.

Infinito ( )Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que este sea, decimos que v se vuelve infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solemne toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para los tres casos es:

lím v = ∞, lím v = + ∞, lím v = - ∞.

La notación lím v = ∞, o v → ∞, debe leerse “ v se vuelve infinita “ y no “ v se aproxima al infinito ”

Con esta notación podemos escribir, por ejemplo:

lím 1 = ∞ x → 0 x

Significa que se hace infinito cuando x tiende a cero.

Infinitésimos

Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo. Simbólicamente se escribe: lím v = 0 o v → 0

Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece menor que cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que sea.

Si lim v = l. Entonces lím ( v →l ) = 0 ; es decir, la diferencia entre una variable y su límite es un infinitésimo.

Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un infinitésimo, entonces la constante es el límite de la variable.

TEOREMAS RELATIVOS A INFINITÉSIMOS Y LÍMITES :La constante es un número positivo asignado de antemano, tan pequeño como se quiera, pero no cero.Demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos

I.- La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número finito, es otro infinitésimo.En efecto, el valor numérico de las suma llegará a ser, y permanecerá, menor que cuando el valor numérico de cada infinitésimo llega a ser, y permanece, menor que

II.- El producto de una constante c por un infinitésimo es otro infinitésimo.

En efecto, el valor numérico del producto será menor que cuando el valor numérico del infinitésimo sea menor que

III.- El producto de un número finito n de infinitésimos es otro infinitésimo.En efecto, el valor numérico del producto llegará a ser, y permanecerá, menor que cuando el valor numérico de cada infinitésimo llega a ser, permanece, menor que la raíz n de .

IV.- Si lím de v = l y l no es cero, entonces el cociente de un infinitésimo i dividido por v es también un infinitésimo.En efecto, podemos elegir un número positivo c, numéricamente menor que l. tal que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, mayor que c, y también tal que el valor numérico de i llega a ser, y permanece, menor que c Entonces el valor numérico del cociente llegará a ser, y permanecerá, menor que .