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$: C´alculo funcional fraccionario asociado al … Pedro J...C 2 B(X) es un operador inyectivo, de rango denso, tal que Im(C) ‰ D(etA) ( t ‚ 0) y ( e tA C ) t‚ 0 resulta una familia$
Departamento de Matematicas

Facultad de Ciencias

Universidad de Zaragoza

Calculo funcional fraccionario

asociado al problema de Cauchy

Pedro J. Miana

Zaragoza, noviembre de 2001.


Facultad de Ciencias


Calculo funcional fraccionario

asociado al problema de Cauchy

Pedro J. Miana

Memoria presentada para

optar al Grado de Doctor en

Ciencias Matematicas.

Realizada bajo la direccion del

Dr. D. Jose Esteban Gale Gimeno.

Zaragoza, noviembre de 2001.

La edicion de este volumen ha sido subvencionado parcialmente por el Vice-

rrectorado de Investigacion de la Universidad de Zaragoza.

MONOGRAFIAS DEL

SEMINARIO MATEMATICO

“GARCIA DE GALDEANO”

Numero 24, 2002

Comite Editorial.

M. Alfaro. Dpto. de Matematicas. Universidad de Zaragoza.

E. Artal. Dpto de Matematicas. Universidad de Zaragoza.

A. Elipe. Dpto. de Fısica Teorica. Universidad de Zaragoza.

A. Frances. Dpto. de Ciencias de la Computacion. Universidad de Zaragoza.

J. M. Pena. Departamento de Matematica Aplicada. Universidad de Zaragoza.

J. Tejel. Departamento de Metodos Estadısticos. Universidad de Zaragoza.

Comite Cientıfico.

J. Bastero. Universidad de Zaragoza.

J. A. Cristobal. Universidad de Zaragoza.

E. Domınguez. Universidad de Zaragoza.

J. L. Fernandez. Universidad Autonoma de Madrid.

M a. L. Fernandez. Universidad Paıs Vasco.

S. Ferrer. Universidad Politecnica de Cartagena.

M. Gasca. Universidad de Zaragoza.

J. Gascon. Universidad Autonoma de Barcelona.

A. Ibort. Universidad Carlos III de Madrid.

M. de Leon. C.S.I.C.

M a. T. Lozano. Universidad de Zaragoza.

F. Marcellan. Universidad Carlos III de Madrid.

C. Martınez. Universidad de Oviedo.

J. Otal. Universidad de Zaragoza.

L. Pardo. Universidad Complutense de Madrid.



TESIS DOCTORAL

Autor: Pedro Jose Miana Sanz

Tıtulo: Calculo funcional fraccionario asociado al problema de Cauchy

Director: Dr. Jose E. Gale Gimeno

TRIBUNAL DE TESIS

Presidente:

Dr. Jose Luis Torrea Hernandez, Catedratico de Analisis Matematico, U.A.M.

Vocales:

Dr. Matthias Hieber, Catedratico de Analisis Matematico, TU Darmstadt

Dr. Oscar Blasco de la Cruz, Catedratico de Analisis Matematico, U.V.

Dra. Ana Pena Arenas, Profesora Titular de Analisis Matematico, U.Z.

Secretario:

Dr. Joaquın Ortega Cerda, Profesor Titular de Analisis Matematico, U.B.

Se efectuo la defensa de la Tesis el dıa 17 de enero de 2002, obteniendo la

calificacion de SOBRESALIENTE “CUM LAUDE”.

Esta Memoria es el fruto del tiempo de varias personas.

Ha sido realizada bajo la direccion del Dr. D. Jose Esteban Gale, a quien

agradezco el tiempo que hemos compartido, hablando de matematicas, futbol

o cine clasico.

Mis companeros del area de Analisis Matematico de la Universidad de

Zaragoza me han regalado un tiempo precioso para este trabajo. En ellos,

he encontrado animos, respuestas y ayuda en mis tareas docentes e investi-

gadoras.

Quiero recordar el tiempo que me han dedicado otros matematicos: entre

ellos, Miguel Sanz de Valencia, Paco Periago de Cartagena, Mustafa Jazar

de Beirut, Rainer Nagel de Tubingen, Wolfgang Arendt de Ulm, Matthias

Hieber de Darmstadt y Eva Fasanga de Praga. S.Y Shaw y N. Okazawa me

han proporcionado gentilmente varios artıculos.

Mis amigos de Matematicas saben el tiempo que se pasa en este carrera.

A Eva, Angela, Ruth, Mario, Almu, Lucıa, Jose Luis, y en especial a mi

companero de despacho, Miguel, les debo que parte de su tiempo, lo hayan

gastado conmigo.

Mis amigos no matematicos, Dani, Pablo y Estela, Inigo, Jose Luis y

Marıa Pilar, Cesar, Gerardo, Flora, han hecho que el tiempo que pasamos

juntos valga el doble y tal vez mas.

Mi familia ha dejado que les robara parte de su tiempo para esta Tesis,

confiando y sabiendo que no les defraudarıa. Esta seguridad en mı, que salıa

de ellos de forma tan natural, me ha ayudado a seguir adelante varias veces.

Por ultimo, Raquel siempre ha sabido darme el tiempo que necesitaba.

A Paco y Mary

Indice

Notacion 7

Introduccion 9

1 Calculo fraccionario y convolucion 19

Origen y desarrollo del calculo fraccionario . . . . . . . . . . . 20

1.1 Primeras definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Funciones de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3 Convolucion y derivacion fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4 Algebras de Banach de convolucion . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Familias de operadores asociadas a la ecuacion de Cauchy 53

2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Homomorfismos definidos por semigrupos y grupos integrados 65

2.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Semigrupos y grupos de distribuciones . . . . . . . . . . . . . 79

Potencias fraccionarias no negativas . . . . . . . . . . . . . . 88

5

6 Indice

3 Semigrupos holomorfos 95

3.1 Semigrupos en algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2 Semigrupos en algebras de derivacion fraccionaria . . . . . . . 104

3.3 Semigrupos holomorfos subordinados a familias integradas . 110

3.4 Valores frontera de semigrupos holomorfos . . . . . . . . . . . 120

3.5 Calculo funcional diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4 Ejemplos 151

4.1 Estimaciones de la resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.2 Operadores diferenciales en espacios euclıdeos . . . . . . . . . 154

4.3 Cotas gaussianas en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . 157

Bibliografıa 163

Notacion

N es el conjunto de los numeros naturales, R el de los reales y R+ = (0,∞).

C es el conjunto de los numeros complejos y C+ := z ∈ C : <z > 0. Si

z ∈ C, Arg(z) es la determinacion principal del argumento en [−π, π) sobre

el plano complejo.

C y M en acotaciones, son constantes positivas que pueden ser distintas en

cada desigualdad consecutiva.

Si I es un intervalo real, C(∞)(I) es el conjunto de los funciones indefinida-

mente derivables en el intervalo I. Si f ∈ C(∞)(I), f (n) es la derivada de

orden n de f , n ∈ N.

D+ es el subconjunto de C(∞)([0,∞)) de las funciones de soporte compacto

y D es el subconjunto de C(∞)(R) de las funciones de soporte compacto.

Γ es la funcion gamma de Euler de variable compleja, ez(t) := e−zt con t ≥ 0,

z ∈ C+.

X es un espacio de Banach y B(X) el algebra de Banach de los operadores

lineales y acotados en X. Si T ∈ B(X), se define Im(T ) := T (x) : x ∈ X.

(A,D(A)) es un operador cerrado y lineal en X, no necesariamente acotado.

7

Introduccion

Sea (A, D(A)) un operador lineal y cerrado (no necesariamente acotado) en

un espacio de Banach X. El Teorema de Hille-Yosida (1948) caracteriza

aquellos operadores A para los cuales el Problema Abstracto de Cauchy,

u′(t) = Au(t), t ≥ 0,

u(0) = x, x ∈ D(A),

admite una unica solucion. En este caso, la solucion viene dada por u(t)x =

etAx siendo (etA)t≥0 un C0-semigrupo de operadores lineales y acotados en

X, de generador A.

Sin embargo, existen importantes ecuaciones de Cauchy para las que los

operadores (etA)t≥0, a traves de los cuales se obtiene la solucion formal, no

son operadores acotados en X, aunque sı resultan ser operadores cerrados

densamente definidos. Ası ocurre con ∆p, el operador laplaciano en Lp(Rn),

1 ≤ p ≤ ∞, n ∈ N,

∆p := −(

∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+ . . . +∂2

∂x2n

).

En 1960, L. Hormander probo que el Problema de Cauchy de tipo Schrodinger,

u′(t) = −i∆pu(t), t ∈ R,

u(0) = x, x ∈ Lp(Rn),

tiene solucion en Lp(Rn) si y solamente si p = 2 [Ho]. Se han seguido varios

metodos para tratar estos problemas “mal planteados” tanto en ecuaciones

diferenciales concretas, como tambien en un plano mas teorico.

9

10 Introduccion

Por ejemplo, una lınea de estudio consiste en buscar los subespacios

optimos de X donde los operadores (etA)t≥0 sean acotados, usando tecnicas

ajustadas a la geometrıa del espacio X y a la naturaleza del operador A. En

el caso A = −i∆p, este metodo lleva a la consideracion de espacios de tipo

Sobolev Bβ,1p y Lp

α [BTW], [JN], [La].

En otra direccion, encontramos metodos consistentes en mantener fijo el

espacio X, y en asociarle adecuadas familias de operadores acotados rela-

cionados con (etA)t≥0. En esta Memoria, nos centraremos en estas aproxi-

maciones mas teoricas y en sus conexiones entre sı.

Los homomorfismos de algebras aparecen ligados al problema de Cauchy

ya en 1960. Lions define los semigrupos de distribuciones como distribuciones

vectoriales, Θ+ : D+ → B(X), que satisfacen la ecuacion generalizada de

semigrupo, i.e.,

Θ+(φ ∗ ϕ) = Θ+(φ)Θ+(ϕ), φ, ϕ ∈ D+,

[Li]. Dado tal semigrupo de distribuciones Θ+, se define su generador in-

finitesimal y se prueba que el problema de Cauchy admite una unica solucion

en sentido distribucional [Li, Theoreme 4.1].

Se han considerado diversas clases de distribuciones, en el anterior sen-

tido. Un semigrupo de distribuciones es suave de orden n si admite una

extension continua al algebra T (n)+ (tn) (vease seccion 1.4 para la definicion

de T (n)+ (tn)) [AK, Definition 4.3]. Recientemente, S. W. Wang define como

semigrupos de quasidistribuciones de orden (r, n) los semigrupos de distribu-

ciones que se extienden a un aplicacion lineal y continua de D+r,n en B(X)

[W, Definition 4.7].

La teorıa de los grupos de distribuciones sigue un camino analogo, con-

siderando funciones en R, en vez de funciones en [0,∞). Introducidos por

Lions como distribuciones vectoriales, Θ : D → B(X), que satisfacen

Θ(φ ∗ ϕ) = Θ(φ)Θ(ϕ), φ, ϕ ∈ D,

Introduccion 11

Balabane y Emamirad definen como grupo de distribuciones suaves de orden

n, con n ∈ N, a aquellas que se extienden de forma continua al algebra

T (n)(|t|n), y aplican su teorıa a la ecuacion de Schrodinger en Lp(Rn) con

1 < p < ∞: este problema esta bien planteado en sentido de distribuciones

[BE1, Section IV]. Esto les lleva a valorar los grupos de distribuciones como

la herramienta adecuada para analizar operadores diferenciales en Lp(Rn)

[BE3, Section 4.C].

Otros homomorfismos de algebras son los grupos de distribuciones espec-

trales. Estas son aplicaciones lineales, E : D → B(X), que cumplen

(i) E(φϕ) = E(φ)E(ϕ) para todas φ, ϕ ∈ D.

(ii) para cualquier φ ∈ D tal que φ(0) = 1 entonces E(φn)x → x donde

φn(t) = φ(t/n), n ∈ N y x ∈ X.

[BEJ, Definition 1.1]. La transformada de Fourier permite pasar de distribu-

ciones espectrales a grupos de distribuciones, esto es,

E(F−1(φ)) = Θ(φ), φ ∈ D,

de modo que la teorıa desarrollada en un lado se traslada al otro [BEJ,

Theorem 3.4]. Las potencias fraccionarias de ciertos operadores cerrados

pueden estudiarse como aplicacion de estas distribuciones, por ejemplo ([J]).

Da Prato, en 1966, introduce una aproximacion al Problema Abstracto

de Cauchy mediante lo que llama semigrupos regularizados [DaP]. For-

malmente, si (etA)t≥0 es un semigrupo de operadores no acotados en X y

C ∈ B(X) es un operador inyectivo, de rango denso, tal que Im(C) ⊂ D(etA)

(t ≥ 0) y (etAC)t≥0 resulta una familia de operadores lineales y acotados,

a esta familia se le llama semigrupo C-regularizado. Davies y Pang recu-

peran estas ideas en 1987 ([DP]) y prueban una generalizacion del Teorema

de Hille-Yosida, encontrando solucion unica con dato inicial x perteneciente

al conjunto Cy : y ∈ D(A). A su vez, R. deLaubenfels ha llevado a cabo

un estudio sistematico de estas familias de operadores [dL4]. En particular,

12 Introduccion

estas tecnicas se han aplicado a la ecuacion de Schrodinger [P], [BdL, Section

III], y son ejemplos de grupos C-regularizados las familias de operadores

(e−it∆pf(∆p))t∈R, f ∈ D,

[JN, Theorem 3.3].

En 1970, S. Sjonstrand demostro que, integrando m veces (m ∈ N) la

familia de operadores (e−i∆pt)t∈R en Lp(Rn) con 1 ≤ p ≤ ∞ y m > n|1/p−1/2|, se obtiene una familia de operadores acotados, siendo esta un ejemplo

de lo que que posteriormente se llamo, en un contexto abstracto, semigrupo

m-veces integrado (de generador −i∆p).

Los semigrupos n-veces integrados en un espacio de Banach X (n ∈ N)

fueron introducidos por W. Arendt [A] en 1987, y su teorıa desarrollada por

Arendt, Kellerman [AK]; Hieber [HK]; Neubrander [N], entre otros. Para

tales familias de operadores, existe un subespacio de X donde el problema

de Cauchy asociado al generador del semigrupo integrado, admite solucion

unica [N, Theorem 5.2].

Desde el primer momento se relaciono los semigrupos integrados con

las distribuciones vectoriales. Arendt y Kellerman establecieron la corres-

pondencia bi-unıvoca entre semigrupos de distribuciones de orden n y semi-

grupos n-veces integrados (Tn(t))t≥0 tales que ‖Tn(t)‖ ≤ Ctn (t ≥ 0) [AK,

Theorem 4.4]. Tambien, S. W. Wang caracterizo los semigrupos de quasidis-

tribuciones de orden (r, n) como clases de semigrupos n-veces integrados y

exponencialmente acotados [W, Theorem 4.13]. En [BEJ, Theorem 3.4], se

demuestra la equivalencia entre grupos de distribuciones de orden n y gru-

pos n-veces integrados (Tn(t))t∈R con ‖Tn(t)‖ ≤ C|t|n para t ∈ R. Por otra

parte, R. deLaubenfels probo la equivalencia entre semigrupo n-veces inte-

grado y semigrupo regularizado, dando una formula de paso de uno a otro

[dL2, Theorem 2.4].

M. Hieber definio los semigrupos α-veces integrados con α ≥ 0 [H1]. Tra-

bajos posteriores han continuado la teorıa, por ejemplo [E] [MP], [H2]. Para

Introduccion 13

ciertos operadores diferenciales AE en espacios euclıdeos E, Hieber aplico

las tecnicas de multiplicadores de Fourier, como en su momento hicieron

Hormander o Sjonstrand, para probar que generan semigrupos α-veces inte-

grados; ası,

1Γ(α)

∫ t

0(t− s)α−1eisAEds ∈ B(E), t ≥ 0, (∗)

si α > n|1/p − 1/2| con E = Lp(Rn) (1 ≤ p ≤ ∞) [H2], extendiendo el

resultado de S. Sjonstrand. El paso de semigrupos n-veces (con n ∈ N)

a α-veces integrados (con α ≥ 0), realizado por de M. Hieber, es un paso

cualitativo importante, que permite refinar sustancialmente los ındices de

acotacion.

El papel que los semigrupos α-veces integrados desempenan en su relacion

profunda con los conceptos senalados anteriormente, no ha sido clarificada

en la literatura relativa a estos temas. Ası por ejemplo, no se conocıan

semigrupos de distribuciones de ordenes fraccionarios, la equivalencia con

semigrupos C-regularizados es un problema difıcil [XL2, Remark 3.3], etc.

Notese que la expresion (∗) muestra que un semigrupo α-veces integrado

es el resultado de aplicar la integracion fraccionaria de Riemann-Liouville de

orden α al nucleo vectorial (eitAE )t≥0. Al respecto del calculo fraccionario,

dejesenos indicar que este es una parcela del analisis matematico de mas de

300 anos de antiguedad. Aparece en numerosos campos tecnicos, a menudo

asociado a ecuaciones diferenciales [H], [MR]. Sin embargo, sigue siendo

desconocido para parte del mundo cientıfico. Bertran Ross en [R, p. 34],

escribe:

“Fractional calculus is old but studied little. Many mathematicians and

scientists are unfamiliar with this topic”.

Uno de los objetivos de esta Memoria es aportar una forma unificada de

tratar las aproximaciones, al Problema Abstracto de Cauchy, anteriormente

14 Introduccion

mencionadas. El calculo fraccionario es la herramienta adecuada que nos

permite trabajar en este sentido.

El calculo fraccionario de Weyl, basado en la definicion dada por Her-

mann Weyl en 1917 [We], esta estudiado en varias monografıas [MR], [SKM].

En el primer capıtulo, presentamos algunos resultados nuevos, interesantes

por sı mismos. Demostramos formulas de Leibniz de orden α ≥ 0 para la

convolucion de funciones con soporte en [0,∞)o R; ası, dadas f, g ∈ D+ con

α > 0 entonces

Wα+(f ∗ g)(s) =

1Γ(α)

∫ s

0Wα

+g(r)∫ s

s−r(t + r − s)α−1Wα

+f(t)dtdr

− 1Γ(α)

∫ ∞

sWα

+g(r)∫ ∞

s(t + r − s)α−1Wα

+f(t)dtdr

con s ≥ 0 (Teorema 1.3.1). A partir de estas formulas, y de ciertas funciones

peso τ+α y τα (α ≥ 0) definidas en este trabajo, introducimos dos fami-

lias de algebras de Banach, T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα), contenidas en L1(R+) y

L1(R) respectivamente, de gran importancia en esta Memoria. Entre estas

algebras se encuentran, como casos particulares, las algebras T (n)+ (tn), D+

r,n

y T (n)(|t|n).

El capıtulo segundo constituye la parte nuclear de esta tesis. En el,

se construye, a partir de convenientes semigrupos (o grupos) α-veces in-

tegrados, los homomorfismos acotados de algebras (o calculos funcionales

fraccionarios) Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X) y Θ : T (α)(τα) → B(X), que sirven

de referencia y base a todo el resto del trabajo. A partir de ellos, podemos

transferir propiedades significativas de las algebras T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα), al

algebra B(X), lo que permite estudiar con precision las diversas familias de

operadores acotados asociadas al problema de Cauchy, y revelar su verdadera

naturaleza.

Introduccion 15

Por ejemplo, los homomorfismos Θ+ y Θ pueden considerarse como semi-

grupos y grupos de distribuciones de orden fraccionario α, (que para α ∈ Ncoinciden con las definiciones de Arendt y Kellerman [AK], S. W. Wang [W],

y Balabane y al [BEJ]). De hecho, los calculos funcionales Θ+ y Θ se carac-

terizan en terminos de semigrupos y grupos integrados: si A es el generador

de Θ+ (o de Θ), (Θ+(Rν−1t ))t≥0 ( o (Θ(Rν−1

t ))t∈R) es un semigrupo (o grupo)

ν-veces integrado de generador A con ν > α ya que la familia de funciones

de Bochner-Riesz (Rν−1t )t≥0 ( o (Rν−1

t )t∈R) pertenecen al algebra T (α)+ (τ+

α )

(o T (α)(τα)). Para ciertas funciones τ+α , probamos, entre otros, el siguiente

teorema de caracterizacion, que ilustra lo anteriormente comentado.

Teorema 2.3.5 Sean α > 0, y τ+α (t) := tαω+

0 (t) (t ≥ 0) y ω+0 : [0,∞) →

[0,∞) un peso continuo y creciente. Sean Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X) un homo-

morfismo lineal y continuo y (A,D(A)) un operador cerrado y densamente

definido. Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) El homomorfismo Θ+ es un semigrupo de distribuciones de orden α,

crecimiento τ+α , y generador (A,D(A)).

(ii) El operador (A,D(A)) es el generador de un semigrupo α-veces inte-

grado, (Tα(t))t≥0, tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτ+α (t) para todo t ≥ 0 y

Θ+(g) =∫ ∞

0Wα

+g(t)Tα(t)dt, g ∈ T (α)+ (τ+

α ).

(iii) El subconjunto D = Θ+(D+)X es denso en X y para todo x ∈ D, exis-

te un funcion continua F ( , x) : [0,∞) → X que verifica las siguientes

condiciones.

(a) F (0, x) = x y F (t + s, x) = F (t, F (s, x)) para todo t, s ≥ 0.

(b) si g ∈ T (α)+ (τ+

α ) entonces Θ+(g)x =∫ ∞

0g(t)F (t, x)dt, siendo

∫ ∞

0g(t)F (t, x)dt := lim

n→∞

∫ ∞

0gn(t)F (t, x)dt,

16 Introduccion

donde la sucesion (gn)n∈N ⊂ D+ y gn → g en T (α)+ (τ+

α ).

Ademas, D ⊂ D(A) y Θ+(f)Ax = Θ+(−f ′)x−f(0)x para todo f ∈ D+

y x ∈ D(A).

En cualquiera de estos tres casos se tiene que

Θ+(Rα−1t )x = Tα(t)x =

1Γ(α)

∫ t

0(t− r)α−1F (r, x)dr, t ≥ 0

donde la segunda igualdad se cumple si x ∈ D.

Las algebras T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα) proporcionan un orden de regularidad

ajustado (α ≥ 0), y un crecimiento (τ+α y τα) de las derivadas de orden α

variado que incluye polinomios y exponenciales.

En un contexto general, los grupos de distribuciones espectrales de grado

α no se plantean en esta Memoria. Al ser copias, a traves de la transformada

de Fourier de los grupos de distribuciones de orden α, preferimos presentar

solamente el trabajo en estos ultimos. Sin embargo, por su interes, tratamos,

en el capıtulo tercero, un tipo particular de semigrupo de distribuciones

espectrales: el calculo funcional diferenciable Φ.

Respecto a los semigrupos y grupos C-regularizados, podemos tambien

considerarlos a traves de Θ+ y Θ, pero en este caso se necesita de la inva-

rianza por traslaciones de las algebras T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα). Este estudio, en

avanzado estado de elaboracion, aparecera posteriormente [GM].

En el capıtulo tercero, se estudian los semigrupos holomorfos. La holo-

morfıa es una propiedad notable, que enriquece la teorıa de semigrupos: per-

mite utilizar resultados de variable compleja, proporciona regularidad a la

solucion del problema de Cauchy, y determina el comportamiento asintotico

del semigrupo. Los semigrupos holomorfos son habituales en ecuaciones de

evolucion o en problemas parabolicos lineales y no lineales [ABHN, Section

Introduccion 17

3.7]. Muchos semigrupos holomorfos se obtienen mediante subordinacion

a C0-semigrupos, C0-grupos, o a operadores funcion coseno (que dan la

solucion del problema de Cauchy de segundo orden). Esta idea abstracta

de subordinacion es el metodo conductor que seguimos en el capıtulo.

Los valores frontera de algunos semigrupos holomorfos de angulo π2 poseen

importancia ya que a traves de ellos, se obtiene la solucion formal de ciertos

Problemas Abstractos de Cauchy. El grupo de Schrodinger “generado” por

−i∆p es el ejemplo canonico de esta situacion, pudiendose obtener como

frontera del semigrupo gaussiano. En general, estos valores frontera son

operadores cerrados, densamente definidos y no acotados, a los que se ha

aplicado la teorıa de grupos integrados [E] o de grupos regularizados [BdL].

Presentamos una formula de paso entre estos grupos α-veces integrados y

los grupos regularizados asociados, Lema 3.4.3, que creemos es de interes,

en vista de que tal formula es desconocida en el caso general [XL2].

Completamos el estudio considerando el camino inverso: partiendo de

familias integradas, semigrupos, grupos y operadores funcion coseno inte-

grados (los cuales generalizan a los operadores funcion coseno), a traves de

los calculos funcionales fraccionarios Θ+ y Θ, construimos semigrupos holo-

morfos mediante subordinacion. El siguiente teorema es uno de los que se

encuentran en esta lınea y proporciona la formula abstracta de Weierstrass

de orden fraccionario, siendo casos particulares las presentadas para α = 0

en [G] y α ∈ N en [K].

Teorema 3.3.4 Sea A un operador lineal densamente definido y generador

de un operador funcion coseno α-veces integrado (Cα(t))t>0. Entonces A

genera un semigrupo holomorfo de angulo π/2 dado por

T (z)x :=1

2α√

πzα+1

2

∫ ∞

0Hα(

s

2√

z)e−

s2

4z Cα(s)xds, <z > 0, x ∈ X,

donde Hα son las funciones de Hermite. Ademas si ‖Cα(t)‖ ≤ Mtα, entonces

‖T (z)‖ ≤ C(|z|<z

)α+ 12 .

18 Introduccion

Si el crecimiento de un semigrupo holomorfo de angulo π2 y de generador

A es moderado (como, por ejemplo, en el teorema anterior) es posible definir

un calculo funcional Φ para funciones diferenciables ([GP]) que se ajusta

bien al semigrupo holomorfo: probamos directamente o mejoramos algunos

resultados ya considerados anteriormente y obtenemos cotas finas de las

normas de operadores, entre ellos los regularizados del tipo e−itAΦ(f) con

f ∈ D y t ∈ R.

En el cuarto y ultimo capıtulo, ilustramos la teorıa elaborada, traba-

jando en espacios de Banach particulares y con operadores concretos. Ası,

por ejemplo, para operadores diferenciales en Lp(Rn), o para semigrupos

holomorfos en grupos de Lie, obtenemos nuevos resultados y conjeturamos

algunos otros.

Capıtulo 1

Calculo fraccionario y

convolucion

Este primer capıtulo trata el calculo fraccionario de Weyl. Comentamos

su origen y evolucion historica, mostramos parte de la teorıa conocida y

probamos resultados originales que, ademas de tener interes por sı mismos,

sirven de base para el desarrollo de los siguientes capıtulos.

En la primera seccion se presentan las primeras definiciones y propiedades

de este calculo fraccionario para funciones definidas en R. Tambien se dan

las definiciones del calculo fraccionario de Riemann-Liouville y se senala el

caracter dual de ambos.

Una de las areas en que admite aplicaciones el calculo fraccionario de

Riemann-Liouville es la teorıa de funciones especiales. En la segunda seccion

mostramos como el calculo fraccionario de Weyl actua sobre la funcion gaus-

siana para obtener directamente (sin necesidad de usar teorıa de variable

compleja) las funciones de Hermite de orden real, dando lugar a una formula

de Rodrigues generalizada. Esta tecnica es susceptible de ser aplicada a otras

funciones especiales, entre ellas las funciones parabolicas cilındricas, vease

19

20 Capıtulo 1. Calculo fraccionario y convolucion

[M2].

En la tercera seccion, se presenta una formula para la derivacion frac-

cionaria del producto de convolucion de funciones de soporte en [0,∞) (Teo-

rema 1.3.1) y de funciones definidas en R (Nota 1.3.3).

Con ayuda de las igualdades para la convolucion del parrafo anterior,

y a traves de ciertas normas integrales, se define en la cuarta seccion dos

familias de algebras de Banach, una formada por elementos de L1(R+) y la

otra de L1(R), que son importantes en varios teoremas de esta Memoria. Las

funciones de Bochner-Riesz (Rθt )t∈R, con θ > −1, son consideradas en estas

algebras de modo especial.

Origen y desarrollo del calculo fraccionario

El nacimiento del calculo fraccionario se data en 1695. En ese ano, el

Marques de L’Hopital planteo por carta a Leibniz la cuestion de como se

deberıa entender la expresion, introducida por el propio Leibniz,

Dnf(t) =dnf(t)

dtn

si n era una fraccion. Leibniz trabajo en el tema y considero “derivadas de

orden general” como lo atestiguan sus cartas a Johann Bernouilli y John

Wallis. Ademas, introdujo la notacion d1/2f para denotar la derivada de

orden 12 .

Desde entonces famosos matematicos, tales como Euler, Laplace, Fourier,

Abel, Liouville, Riemann, Laurent y Weyl, han contribuido al desarrollo del

calculo fraccionario, denominacion algo erronea que, como se comenta en

[MR], mas preciso serıa sustituirla por la de diferenciacion e integracion de

orden arbitrario.

Los problemas y campos en los que se ha aplicado el calculo fraccionario

son numerosos, entre ellos, las ecuaciones diferenciales, y la teorıa de la

1.1. Primeras definiciones y propiedades 21

probabilidad y de la estadıstica. Es elegante la resolucion de Niels Abel

del problema de la isocrona o tautocrona, vease [MR, p. 255]. Modernas

cuestiones de flujos de fluıdos, teorıa electromagnetica o viscoelasticidad

tambien se han resuelto mediante el calculo fraccionario, vease [MR, p. 269].

En realidad, no existe un unico calculo fraccionario, sino varias defini-

ciones con diferentes propiedades. Cada uno de los calculos exige unas

condiciones a las funciones para poder ser aplicado; ası, por ejemplo, para el

calculo fraccionario de Riemman-Liouville, es suficiente con funciones defini-

das en el intervalo [0, a] con a > 0 y localmente acotadas en torno al origen

mientras que el calculo fraccionario complejo necesita funciones holomorfas

definidas en una abierto del plano complejo.

Este capıtulo trata principalmente del calculo fraccionario de Weyl, de-

finido por H. Weyl en 1917 mediante la representacion integral

W−α+ f(t) =

1Γ(α)

∫ ∞

t(s− t)α−1f(s)ds, t ∈ R, α > 0,

para determinadas funciones f , vease [We].

1.1 Primeras definiciones y propiedades

A continuacion se define el calculo fraccionario en la recta real R y sobre los

intervalos (−∞, 0), (0,∞) por separado. Las construcciones son coherentes

en el sentido de que el calculo fraccionario aplicado a la restricciones sobre

(−∞, 0) o (0,∞) de una funcion definida en la recta real coinciden con las

restricciones de la funcion obtenida al aplicar el calculo fraccionario en R a la

funcion inicial. Este doble planteamiento esta motivado por las aplicaciones

que veremos en los siguientes capıtulos.

Sean D el conjunto de funciones definidas en R, de soporte compacto

e indefinidamente derivables y S el conjunto de funciones de la clase de


Schwartz sobre R, es decir, el conjunto de funciones indefinidamente deri-

vables que satisfacen

supt∈R

∣∣∣∣tmdn

dtnf(t)

∣∣∣∣ < ∞

para todo m,n ∈ N ∪ 0.

Definicion 1.1.1 [SKM, p. 94] Si f ∈ S, llamaremos integrales de Weyl de

f de orden α > 0 a las funciones W−α+ f y W−α

− f dadas por

W−α+ f(t) =

1Γ(α)

∫ ∞

t(s− t)α−1f(s)ds, (1.1)

W−α− f(t) =

1Γ(α)

∫ t

−∞(t− s)α−1f(s)ds, (1.2)

para t ∈ R. Del mismo modo, llamaremos derivadas de Weyl de f de orden

α > 0 a las funciones Wα+f y Wα−f , dadas por

Wα+f(t) =

(−1)n

Γ(n− α)dn

dtn

∫ ∞

t(s− t)n−α−1f(s)ds, (1.3)

Wα−f(t) =

1Γ(n− α)

dn

dtn

∫ t

−∞(t− s)n−α−1f(s)ds, (1.4)

con n = [α] + 1, t ∈ R y f ∈ S. Se demuestra que Wα+β+ f = Wα

+(W β+f)

y Wα+β− f = Wα−(W β

−f) para todo α, β ∈ R, donde W 0+ = W 0− = Id es el

operador identidad.

Ademas, se cumple que (−1)nWn+f = Wn−f = f (n), si n ∈ N. Por tanto es

claro que en general Wα+(f)(t) 6= Wα−(f)(t) con α > 0 y t ∈ R. No obstante,

se puede probar facilmente la siguiente proposicion.

Proposicion 1.1.2 Dados α > 0 y f ∈ S tal que f(t) = f(−t) para todo

t ∈ R, entonces se tiene

Wα+(f)(t) = Wα

−(f)(−t),

para todo t ∈ R; en particular Wα+(f)(0) = Wα−(f)(0).


Demostracion. Basta aplicar las definiciones respectivas y realizar el cambio

de variable t = −y. ¤

Notacion. Dados α ∈ R y f ∈ S denotaremos por Wα0 f la funcion definida

mediante

Wα0 f(t) =

Wα+f(t) si t > 0,

Wα−f(t) si t < 0.

(1.5)

Observese que Wα0 f ∈ C(∞)(R\0) y en general Wα

0 f no es continua en 0.

En el caso particular en el que f(t) = f(−t) y α > 0, por la Proposicion

1.1.2, Wα0 f es continua en el cero.

Para f ∈ S y t, r ∈ R consideramos las funciones ft y πr(f) definidas

para s ∈ R como

ft(s) := f(s− t),

πr(f)(s) := f(rs).

Para ahorrar casos analogos en la exposicion utilizaremos las notaciones

Wα± y Wα∓ si α ∈ R.

Proposicion 1.1.3 Sean α, β ∈ R y f, g ∈ S. Entonces se cumple

(i) Wα±(ft) = (Wα±f)t, con t ∈ R.

(ii) Wα±(πr(f)) = rαπr(Wα±(f)) con r > 0.

(iii) Wα±(πr(f)) = (−r)απr(Wα∓(f)) con r < 0.

Demostracion. Las afirmaciones (i) y (ii) se prueban en [SKM, p. 96] para

α < 0; para α > 0 se prueba de forma inmediata. La parte (iii) se demuestra

directamente. ¤


Sean D+ el conjunto de funciones definidas en [0,∞), de soporte com-

pacto e indefinidamente derivables, y S+ el conjunto de las funciones de

Schwartz en [0,∞). Las expresiones (1.1) y (1.3) definen funciones W−α+ f ,

Wα+f ∈ S+ para f ∈ S+ y α > 0 ([MR, p. 236]).

Si f ∈ S, definimos f+ y f− como f+(t) := f(t)χ[0,∞)(t) y f−(t) :=

f(t)χ(−∞,0](t) para t ∈ R. La siguiente proposicion unifica los dos calculos

fraccionarios considerados.

Proposicion 1.1.4 Dados α ∈ R y f ∈ S, entonces se tiene

Wα+f+(t) = Wα

+f(t),

para t ≥ 0.

Demostracion. Es inmediato comprobar que Wα+f+(t) = Wα

+f(t) con α < 0

y t > 0. Si α > 0, tomando n > α se tiene

Wα+f(t) = (−1)n dn

dtn(W−n+α

+ f)(t) = (−1)n dn

dtn(W−n+α

+ f+)(t) = Wα+f+(t)

con t > 0. ¤

Ejemplos 1.1.5 A continuacion se dan las integrales y derivadas fracciona-

rias de ciertas funciones elementales que se emplearan en lo sucesivo.

(i) Sean λ ∈ C+ := z ∈ C : <z > 0 y eλ(s) := e−λs con s ≥ 0. Se tiene

que eλ ∈ S+ y ademas

W−α+ (eλ)(s) = λ−αe−λs.

Por tanto Wα+(eλ)(s) = λαe−λs para α ∈ R y s ≥ 0 [MR, p. 24].

El calculo fraccionario de Weyl puede aplicarse a funciones no necesa-

riamente pertenecientes a S+ o a S, vease [MR, p. 248]. Ası, por ejemplo,


sean f y g funciones medibles en [0,∞) tal que W−α+ f existe y g = W−α

+ f a.e.

Como es natural se define Wα+g = f y se mantiene la notacion introducida:

(ii) Las funciones de Bochner-Riesz

Rθt (s) =

(t− s)θ

Γ(θ + 1)si 0 ≤ s < t,

0 si s ≥ t.

con t > 0 y θ > −1 verifican que W−α+ Rθ

t = Rθ+αt con α > 0 y por lo tanto

Wα+Rθ

t = Rθ−αt

con θ + 1 > α, vease [GP, p. 319].

(iii) Sean z ∈ C+ y 0 < α < µ. Se tiene (vease [SKM, p. 98])

W−α+

(Γ(µ)

(t± iz)µ

)=

Γ(µ− α)(t± iz)µ−α

, t > 0,

donde (t ± iz)µ se define de la manera usual a partir de la determinacion

principal del argumento en [−π, π) sobre el plano complejo y por tanto

Wα+

(Γ(µ)

(t± iz)µ

)=

Γ(µ + α)(t± iz)µ+α

con α, µ > 0.

Notacion 1.1.6 Dada f ∈ S, se define f(t) := f(−t) para t ∈ R. Clara-

mente se tiene que f ∈ S. A traves de este operador (extendiendo su dominio

de definicion), se define un familia de espacios de funciones (D−, S−, . . .)

con soporte en (−∞, 0] biyectiva con la familia de espacios de funciones (D+,

S+, . . .) con soporte en [0,∞). En estas familias de espacios de funciones

definidas en (−∞, 0] es posible definir un calculo fraccionario de Weyl, Wα−,

a traves de las expresiones (1.2) y (1.4).


De forma inmediata se prueba que, dados f ∈ S y α > 0 entonces

(W−α+ f ) (t) = W−α

− f(t), t ∈ R,

ası como la siguiente proposicion, con una parte analoga a la Proposicion

1.1.4.

Proposicion 1.1.7 Dados α ∈ R y f ∈ S, entonces se tiene que

(i) Wα−f−(t) = Wα−f(t) para t ≤ 0.

(ii) (Wα+f ) (t) = Wα− f(t) para t ∈ R.

El calculo fraccionario de Riemann-Liouville en R presenta una clara

semejanza con el de Weyl en cuanto a la definicion, pero difiere de este en

cuanto al conjunto de funciones al que se puede aplicar y a algunas de sus

propiedades.

Sean I un intervalo real y n ∈ N∪0∪∞. Denotaremos por C(n)(I) el

conjunto de funciones definidas en I, n veces derivables y con las n derivadas

continuas en I.

Definicion 1.1.8 [MR, p. 80] Si f ∈ C(0)(R), llamaremos integral de

Riemann-Liouville (desde 0) de f de orden α > 0 a la funcion D−α0 f dada

por

D−α0 f(t) =

D−α+ f(t) :=

1Γ(α)

∫ t

0(t− s)α−1f(s)ds si t ≥ 0,

D−α− f(t) :=

1Γ(α)

∫ 0

t(s− t)α−1f(s)ds si t ≤ 0.

Se tiene que D−α0 f ∈ C(0)([0,∞)), y es posible calcular D−β

0 (D−α0 f), obte-

niendo

D−β0 (D−α

0 f) = D−(α+β)0 f


para α, β > 0.

Si α > 0 y f, g ∈ S se comprueba que∫ ∞

−∞f(t)g(t)dt =

∫ ∞

−∞D−α

0 f(t)Wα0 g(t)dt. (1.6)

ya que por el Teorema de Fubini,∫ ∞

0W−α

+ f(t)g(t)dt =∫ ∞

0f(t)D−α

+ g(t)dt (1.7)

si f, g ∈ S+ y α > 0, y por tanto∫ ∞

0f(t)g(t)dt =

∫ ∞

0Wα

+f(t)D−α+ g(t)dt. (1.8)

Estas igualdades, y sus versiones vectoriales, se aplicaran en los proximos

capıtulos.

Ademas, la igualdad (1.7) puede ser vista como una dualidad de los

operadores W−α+ y D−α

+ sobre ciertos espacios de funciones test, esto es,

interpretando uno como el adjunto del otro. Varios trabajos han explotado

esta lınea de investigacion, vease por ejemplo [L].

A continuacion definimos la derivada de Riemann-Liouville para fun-

ciones con soporte contenido en [0,∞). Se pueden plantear definiciones

analogas para funciones definidas en R [SKM, p. 95].

Sean n = [α] + 1 y f ∈ C(n)([0,∞)). Se llama derivada de Riemann-

Liouville de orden α > 0 de f a la funcion Dα+f dada por

Dα+f(t) :=

dn

dtn(D−(n−α)

+ f)(t) =1

Γ(n− α)dn

dtn

∫ t

0(t−s)n−α−1f(s)ds, t ≥ 0.

Si α ∈ N entonces Dα+f = f (α), pero en general es falso que Dα+β

+ f =

Dα+(Dβ

+f) con α, β ∈ R. Por ejemplo,

D−1+ D1

+(e1)(t) = −∫ t

0e−sds = e−t − 1 6= e1(t).


En la siguiente proposicion se considera una situacion particular en la que

se da la igualdad. El resultado se utilizara posteriormente en la Proposicion

2.1.4.

Proposicion 1.1.9 Sean α > 0 y f ∈ C([α]+1)([0,∞)) tal que f (j)(0) = 0

con j ∈ 0, 1, . . . [α]. Entonces se tiene

D−α+ Dα

+f(t) = f(t), t ≥ 0.

Demostracion. Denotemos n = [α] + 1. Realizando n integraciones por

partes, se obtiene

D−n+ Dn

+f(t) = f(t)−n−1∑

j=0

f (j)(0)tj

Γ(j)= f(t), t ≥ 0.

Integrando por partes de nuevo y usando que f(0) = 0 obtenemos

Dα+f(t) = Dn

+

(1

Γ(n− α + 1)

∫ t

0(t− s)n−αf (1)(s)ds

).

Realizando el cambio de variable t− s = u, derivando bajo el signo integral

n − 1 veces y usando en cada paso que f (j)(0) = 0 con j ∈ 1, 2, . . . n − 1se llega a que

Dα+f(t) = D+

(1

Γ(n− α + 1)

∫ t

0sn−αf (n)(t− s)ds

).

Ahora, deshaciendo el cambio de variable anterior, derivando bajo el signo

integral se tiene

Dα+f(t) =

1Γ(n− α)

∫ t

0(t− s)n−α−1f (n)(s)ds = D

−(n−α)+ f (n)(t),

y por tanto se cumple

D−α+ Dα

+f(t) = D−α+ D

−(n−α)+ f (n)(t) = D−n

+ f (n)(t) = f(t), t ≥ 0,

por la primera parte de la demostracion. ¤

1.2. Funciones de Hermite 29

1.2 Funciones de Hermite

La conexion entre el calculo fraccionario y las funciones especiales aparece

a menudo en la literatura matematica: vease por ejemplo [C], [LTO], [MR].

Sin embargo, el calculo fraccionario de Weyl no parece haberse considerado

directamente, vease [LTO, p. 245].

En esta seccion se aplica el calculo fraccionario de Weyl al estudio de una

familia de funciones especiales, las conocidas como funciones de Hermite. Se

prueba algunos resultados ya conocidos y otros nuevos que seran de utilidad

en esta Memoria.

Se llama ecuacion diferencial de Hermite a la ecuacion

w′′(z)− 2zw′(z) + 2νw(z) = 0, (1.9)

con ν ∈ C, y funciones de Hermite de orden ν a las soluciones de esta

ecuacion diferencial; vease por ejemplo [D, p. 344]. Al ser los coeficientes

funciones enteras, cualquier solucion es tambien entera. Se considera la

solucion desarrollada en el origen,

w(z) =∞∑

j=0

ajzj .

Si w verifica la ecuacion (1.9), se obtiene

∞∑

j=0

((j + 2)(j + 1)aj+2 − 2jaj + 2νaj) zj = 0

y por tanto

aj+2 = − 2(ν − j)(j + 2)(j + 1)

aj j ≥ 0.

Los dos primeros coeficientes a0 y a1 son arbitrarios y la solucion general se

expresa como

w(z) = a0φ1,ν(z) + a1φ2,ν(z)


donde las soluciones particulares φ1,ν y φ2,ν son

φ1,ν(z) =∞∑

j=0

(−1)j 2jν(ν − 2) . . . (ν − 2j + 2)(2j)!

z2j ,

φ2,ν(z) =∞∑

j=0

(−1)j 2jν(ν − 1) . . . (ν − 2j + 1)(2j + 1)!

z2j+1.

Si ν = 2n con n ∈ N, entonces φ1,2n es un polinomio de grado 2n y si

ν = 2n + 1 con n ∈ N, φ2,2n+1 es igual a un polinomio de grado 2n + 1.

Puede hacerse otra aproximacion a las funciones de Hermite mediante

representaciones integrales. Ası, sean

Hν(z) =1

Γ(−ν)

∫ ∞

0

e−t2−2zt

tν+1dt. (1.10)

en el caso de que <ν < 0, y

Hν(z) :=Γ(ν + 1)

2πi

∫

γ

e−w2+2zw

wν+1dw, si ν ∈ C\−1,−2 . . .,

donde γ es el camino en el plano complejo que consta de las semirrectas

(−∞,−a), (a,+∞) y la semicircunferencia |w| = a > 0, =w ≥ 0, recorrido

de −∞ a +∞. Entonces Hν(z) es solucion de la ecuacion de Hermite y

ademas es una funcion entera en la variable z (como ya se sabıa) y en ν ([D,

p. 344]).

En el caso ν = n ∈ N, Hn es un polinomio de grado n, llamado polinomio

de Hermite, y el coeficiente de zn es 2n. Ası, se tiene la formula de Rodrigues

Hn(z) =n!ez2

2πi

∫

γ

e−u2

(u + z)n+1du = (−1)nez2 dn

dzne−z2

. (1.11)

Se prueba que H2n = c1,2nφ1,2n y H2n+1 = c1,2n+1φ2,2n+1 con c1,2n, c2,2n+1 ∈R y n ∈ N.

Trivialmente, si Hν(z) es una solucion de la ecuacion de Hermite, en-

tonces Hν(−z) es tambien solucion y si ademas, ν 6∈ N∪ 0, su wronskiano


es no nulo,

W (Hν(z),Hν(−z)) =2ν+1√π

Γ(−ν)ez2

,

y entonces Hν(z) y Hν(−z) son dos soluciones linealmente independientes

([D, p. 349]).

Dos relaciones importantes que verifican las funciones de Hermite son la

llamada relacion de recurrencia a tres terminos

Hν+1(z)− 2zHν(z) + 2νHν−1(z) = 0,

y la igualdad de la derivada, H ′ν(z) = 2νHν−1(z), con ν ∈ C ([D, p. 348]).

El factor (−1)n y la derivada de orden n que aparecen en la formula

(1.11) hacen pensar que para conseguir una extension de esta igualdad a

ordenes ν ∈ R, es util considerar el calculo fraccionario de Weyl.

A continuacion vamos a probar, Teorema 1.2.3, que hα(t) = Hα(t) siendo

hα la funcion hα(t) := et2Wα+(e−t2)(t) con α, t ∈ R. Este resultado aparece

publicado en [M2].

Proposicion 1.2.1 Sean α ∈ R y hα(t) := et2Wα+(e−t2)(t) con t ∈ R. En-

tonces se cumple:

(i) h′α(t) = 2t hα(t)− hα+1(t), para todo t ∈ R.

(ii) h′′α(t) = hα+2(t)− 4t hα+1(t) + (2 + 4t2)hα(t), con t ∈ R.

Por tanto es inmediato que

h′′α(t)− 2t h′α(t) + 2αhα(t) = hα+2(t)− 2t hα+1(t) + 2(α + 1)hα(t)

con t ∈ R.

Demostracion. Considerando la definicion de hα y que

d

dtWα

+(e−t2) = −W−1+ Wα

+(e−t2) = −Wα+1+ (e−t2)


se obtiene la primera igualdad. Para la segunda, se utiliza la primera igual-

dad y se agrupa adecuadamente. ¤

Lema 1.2.2 Sean α ∈ R y hα(t) := et2Wα+(e−t2)(t) con t ∈ R. Si se cumple

que

hα+1(t)− 2t hα(t) + 2αhα−1(t) = 0

para todo t ∈ R, entonces

hα+2(t)− 2t hα+1(t) + 2(α + 1)hα(t) = 0

para todo t ∈ R.

Demostracion. Basta aplicar derivacion y Proposicion 1.2.1 (i). ¤

En el siguiente teorema se da la formula de Rodrigues para el calculo

fraccionario de Weyl de la funcion gaussiana.

Teorema 1.2.3 [M2] Dado α ∈ R, entonces

Wα+(e−t2)(t) = e−t2Hα(t), t ∈ R.

Demostracion. Si α < 0 se tiene

Wα+(e−t2)(t) =

1Γ(−α)

∫ ∞

t(u− t)−α−1e−u2

du

=1

Γ(−α)

∫ ∞

0

e−(s+t)2

sα+1ds =

e−t2

Γ(−α)

∫ ∞

0

e−s2−2ts

sα+1ds.

Se aplica la formula (1.10) y se obtiene Wα+(e−t2)(t) = e−t2Hα(t). Si α = 0,

H0(t) = 1 y por tanto se cumple la igualdad. En el caso en que α > 0, y

n ∈ N es tal que n− α > 0, y β = α − n < 0, se cumple que hβ(t) = Hβ(t)

y aplicando el Lema 1.2.2, se tiene que

hβ+2(t)− 2t hβ+1(t) + 2(β + 1)hβ(t) = 0


para todo t ∈ R. Reiterando n veces el Lema 1.2.2 y aplicando la Proposicion

1.2.1, se obtiene

0 = hβ+n+2(t)− 2t hβ+n+1(t) + 2(β + n + 1)hβ+n(t)

= hα+2(t)− 2t hα+1(t) + 2(α + 1)hα(t)

= h′′α(t)− 2t h′α(t) + 2αhα(t).

Ası, hα es solucion de la ecuacion de Hermite y usando la relacion de recu-

rrencia a tres terminos de Hα y hα, y como hα = Hα si α < 0, se concluye

que hα(t) = Hα(t) con t, α ∈ R. ¤

Corolario 1.2.4 Dado α ∈ R, entonces Wα−(e−t2)(t) = e−t2Hα(−t) con

t ∈ R.

Demostracion. Para α < 0, usando la igualdad (1.10), se sigue que

Wα−(e−t2)(t) = e−t2Hα(−t)

con t ∈ R. Para α > 0, por la Proposicion 1.1.2 se tiene que

Wα−(e−t2)(t) = Wα

+(e−t2)(−t) = e−t2Hα(−t), t ∈ R. ¤

Recordemos que el desarrollo asintotico de la funcion Hν para ν 6∈ N∪0viene dado por

Hν(z) ∼ (2z)ν∞∑

k=0

(−1)kΓ(2k − ν)Γ(k + 1)Γ(−ν)(2z)2k

(z →∞),

si −34π < Arg(z) < 3

4π [D, p. 350]. En particular

|Hν(z)| ≤ C(1 + |z|ν) (1.12)

siendo <z > 0 y C una constante positiva.

El Teorema 1.2.3 permite obtener la anterior estimacion del modulo de

Hα para valores reales de α, sin necesidad del desarrollo asintotico.


Corolario 1.2.5 Dado α ∈ R, entonces

(i) Hα(t) ≤ (2t)α con α < 0, t > 0, y

(ii) |Hα(t)| ≤ Cα(1 + tα) con α > 0 y t ≥ 0.

Demostracion. Si α < 0, por el Teorema 1.2.3 se cumple

e−t2Hα(t) = Wα+(e−t2)(t) =

e−t2

Γ(−α)

∫ ∞

0s−α−1e−s2−2stds ≤ e−t2(2t)α

ya que e−s2−2st ≤ e−2st para s, t > 0.

Si α > 0 y n > α, se tiene entonces

e−t2 |Hα(t)| = |Wα+(e−t2)(t)| = |W−(n−α)

+ Wn+(e−t2)(t)|

≤ e−t2

Γ(n− α)

∫ ∞

0un−α−1|Hn(t + u)e−u2−2ut|du.

Por tanto, sabiendo que Hn es un polinomio de grado n, se tiene que

|Hα(t)| ≤ Cα

∫ ∞

0un−α−1(1 + (t + u)n)e−u2−2utdu

≤ Cα

∫ ∞

0un−α−1e−u2−2utdu

+ Cα

n∑

j=0

tn−j

∫ ∞

0un+j−α−1e−u2−2utdu.

Aplicando la formula (1.10) a cada una de las integrales se obtiene

|Hα(t)| ≤ CαH−(n−α)(t) + Cα

n∑

j=0

tn−jH−(n+j−α)(t).

Por el primer apartado, se deduce que

|Hα(t)| ≤ Cαtα−n + Cα

n∑

j=0

tα−2j .

Como Hα es una funcion continua en 0 es claro que |Hα(t)| ≤ Cα(1 + tα)

con t ≥ 0. ¤

1.3. Convolucion y derivacion fraccionaria 35

1.3 Convolucion y derivacion fraccionaria

La formula de Leibniz clasica para la derivada enesima del producto puntual

de dos funciones ha sido extendida al caso de derivacion fraccionaria de

varias formas ([MR, p. 247], [SKM, p. 316], [GP, p. 316]). En esta seccion

se estudia la relacion de la derivacion fraccionaria de Weyl con la convolucion

de funciones, bien sobre [0,∞) o bien sobre R.

Convolucion en [0,∞)

Si f, g ∈ D+, se denota por f ∗ g el producto de convolucion usual en [0,∞)

dado por

f ∗ g(t) :=∫ t

0f(s)g(t− s)ds, t ≥ 0. (1.13)

Entonces f ∗ g ∈ D+ y, para n ∈ N,

(f ∗ g)(n)(t) = f (n) ∗ g(t) +n−1∑

j=0

f (n−1−j)(0)g(j)(t), t ≥ 0.

En el siguiente teorema se establece una formulacion integral de la ex-

presion anterior para la derivacion fraccionaria de Weyl de orden α. Esta

es la pieza clave para varios resultados que seran probados posteriormente,

siendo ademas por ella misma una clara muestra de la buena adaptacion que

existe entre el calculo fraccionario de Weyl y la convolucion sobre [0,∞).

Teorema 1.3.1 [M1] Dadas f, g ∈ D+ con α > 0 entonces

Γ(α)Wα+(f ∗ g)(s) =

∫ s

0Wα

+g(r)∫ s

s−r(t + r − s)α−1Wα

+f(t)dtdr

(1.14)

−∫ ∞

sWα

+g(r)∫ ∞

s(t + r − s)α−1Wα

+f(t)dtdr

con s ≥ 0.


Demostracion. Sea h el miembro derecho de la igualdad (1.14). Probaremos

que W−α+ h(x) = Γ(α)(f ∗ g)(x) con x ≥ 0. Para ello,

h(s) =(∫ s

0

∫ ∞

s−r−

∫ ∞

0

∫ ∞

s

)(t + r − s)α−1Wα

+f(t)dtWα+g(r)dr

= Γ(α)(Wα+g ∗ f)(s)−

∫ ∞

0

∫ ∞

0(t + r)α−1Wα

+f(t + s)dtWα+g(r)dr,

y por tanto h ∈ D+.

Si x > 0, se tiene

W−α+ (Wα

+g ∗ f)(x) =1

Γ(α)

∫ ∞

x(s− x)α−1

(∫ s

0Wα

+g(s− r)f(r)dr

)ds

= g ∗ f(x) +1

Γ(α)

∫ ∞

x

∫ ∞

r(s− x)α−1Wα

+g(s− r)f(r)ds dr

= g ∗ f(x)

+1

Γ(α)2

∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

0Wα

+g(s)(s + r)α−1Wα+f(x + t + r)tα−1dt dr ds.

Finalmente, se prueba que

W−α+ h(x) = Γ(α)(g ∗ f)(x)

+1

Γ(α)

∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

0Wα

+g(s)(s + r)α−1Wα+f(x + t + r)tα−1dt dr ds

−W−α+

(∫ ∞

0

∫ ∞

0(t + r)α−1Wα

+f(t)Wα+g(r)dt dr

)(x)

= Γ(α)(g ∗ f)(x)

+1

Γ(α)

∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

0Wα

+g(s)(s + r)α−1Wα+f(x + t + r)tα−1dt dr ds

− 1Γ(α)

∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

0Wα

+g(r)(t + r)α−1Wα+f(x + s + t)sα−1ds dt dr

= Γ(α)(g ∗ f)(x)

para x > 0. ¤

El teorema anterior es valido para funciones mas generales que las per-

tenecientes a D+. Ası, por ejemplo, se tiene para toda f ∈ D+ que

Wα+(Rα−1

t ∗ f)(s) =χ(t,∞)(s)

Γ(α)

∫ s

s−t(r + t− s)α−1Wα

+f(r)dr

1.3. Convolucion y derivacion fraccionaria 37

(1.15)

−χ(0,t)(s)Γ(α)

∫ ∞

s(r + t− s)α−1Wα

+f(r)dr, s > 0,

donde Rα−1t es la funcion de Bochner-Riesz definida en los Ejemplos 1.1.5

(ii), con α, t > 0. Usaremos esta formula en la proxima seccion, Teorema

1.4.9.

Convolucion en R

Sean f, g ∈ D. Se denota por f ∗ g el producto de convolucion usual en R

dado por

f ∗ g(t) :=∫ ∞

−∞f(s)g(t− s)ds, t ∈ R. (1.16)

Entonces se cumple que f ∗ g ∈ D. Para calcular el valor de Wα0 (f ∗ g), en

terminos de Wα0 f y Wα

0 g, con α > 0, usamos el siguiente lema.

Lema 1.3.2 Dadas f, g ∈ D y α > 0, se tiene

Wα+(f+ ∗ g−)(t) = Wα

+f+ ∗ g−(t), con t > 0,

Wα−(f− ∗ g+)(t) = Wα

−f− ∗ g+(t), con t < 0.

Demostracion. Notemos que la funcion f+ ∗ g− ∈ D+. Aplicando el teorema

de Fubini y el cambio de variable s = u + t− r se obtiene, para t > 0,

f+ ∗ g−(t) =∫ ∞

tf+(s)g−(t− s)ds

=1

Γ(α)

∫ ∞

tWα

+f+(u)∫ u

t(u− s)α−1g−(t− s)dsdu

=1

Γ(α)

∫ ∞

tWα

+f+(u)∫ u

t(r − t)α−1g−(r − u)drdu

=1

Γ(α)

∫ ∞

t(r − t)α−1

∫ ∞

rWα

+f+(u)g−(r − u)dudr

= W−α+ (Wα

+f+ ∗ g−)(t).


Y por tanto, Wα+(f+ ∗g−) = Wα

+f+ ∗g− en [0,∞). Para la segunda igualdad

se considera el operador ˜, y ası

Wα−(f− ∗ g+)(t) = Wα

+(f− ∗ g+)˜(−t) = Wα+((f−) ∗ (g+) )(−t)

= Wα+(f+ ∗ g−)(−t) = Wα

+ f+ ∗ g−(−t) = Wα−f− ∗ g+(t)

para t < 0. ¤

Nota 1.3.3 Dadas f, g ∈ D y α > 0, se tiene

Wα0 (f∗g)(t) =

f− ∗Wα+g+(t) + Wα

+(f+ ∗ g+)(t) + Wα+f+ ∗ g−(t), t > 0,

Wα−f− ∗ g+(t) + Wα−(f− ∗ g−)(t) + f+ ∗Wα−g−(t), t < 0.

En efecto, primeramente se tiene

f ∗ g(t) = f− ∗ g+(t) + f+ ∗ g+(t) + f+ ∗ g−(t), si t > 0,

f ∗ g(t) = f− ∗ g+(t) + f− ∗ g−(t) + f+ ∗ g−(t), si t < 0.

Entonces, por la Proposicion 1.1.4, Wα+(f ∗ g)(t) = Wα

+((f ∗ g)+)(t) para

todo t > 0 y por el lema anterior

Wα+(f ∗ g)(t) = f− ∗Wα

+g+(t) + Wα+(f+ ∗ g+)(t) + Wα

+f+ ∗ g−(t).

Para obtener la segunda igualdad, se actua de forma analoga utilizando la

Proposicion 1.1.7 (ii). ¤

1.4 Algebras de Banach de convolucion definidas

mediante derivadas fraccionarias

Existen varios precedentes de algebras de funciones definidas por derivacion

fraccionaria en la literatura matematica; vease por ejemplo [GP], [GMP],

1.4. Algebras de Banach de convolucion 39

[Tr]. En particular las algebras AC(ν) y AC(ν)2,1 de [GP] se definen como la

complecion de S+ ( o D+) en las normas

‖f‖(ν) :=1

Γ(ν)

∫ ∞

0|W ν

+f(t)|tν−1dt,

‖f‖(ν),2,1 :=∫ ∞

0

(∫ 2t

t|sνW ν

+f(s)|2 ds

s

) 12 dt

t,

respectivamente, donde f ∈ S+ y ν > 0. Si ν ≥ 1, AC(ν) es una algebra

de Banach para el producto puntual ([GP, Proposition 3.4]) y AC(ν)2,1 lo

es asimismo si ν > 12 ([GP, Proposition 3.8]). Ademas se cumple que

AC(ν) ⊂ AC(µ), AC(ν+ 12) ⊂ AC

(µ)2,1 ⊂ AC(µ) , si ν > µ > 0 y AC

(ν)2,1 ⊂ AC

(µ)2,1

si ν > µ > 12 ([GP, Proposition 3.1 y Proposition 3.7]).

En otro contexto, se introducen en [BE1] y [BE2] los espacios de funciones

T +n y Tn, n ∈ N, como la complecion de S+ y S en las normas

q+n (φ) =

∫ ∞

0tn |φ(n)(t)|dt, φ ∈ S+,

qn(φ) =∫ ∞

−∞|t|n |φ(n)(t)|dt, φ ∈ S,

respectivamente. Resulta entonces que T +n y Tn son algebras de Banach con

respecto al producto de convolucion usual de R+ y R. Esto se prueba gracias

a la igualdad

td

dt(f ∗ g) =

(tdf

dt

)∗ g + f ∗

(tdg

dt

)+ f ∗ g f, g ∈ S, (1.17)

que es esencial al metodo seguido [BE1, Proposition II.4]. Tales algebras

han sido extendidas al caso de pesos exponenciales (con derivacion de orden

entero) en [W]. Ası, se denota por D+r,n la clausura de D+ en la norma

q+r,n(φ) :=

∫ ∞

0ert|φ(n)(t)|dt, φ ∈ D+,

con r > 0 y n ∈ N ∪ 0.


Tanto las algebras T +n y Tn como D+

r,n con n ∈ N∪0 y r > 0, se extien-

den en esta seccion en dos direcciones significativas. Se admiten ordenes de

derivacion fraccionaria α > 0 y se consideran otras funciones τ+α y τα con-

tinuas y positivas, mas generales que tα, |t|α o ert. En estas nuevas algebras,

T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα), las funciones τ+α y τα determinan el crecimiento de la

derivada de orden α; cumplen que T (α)+ (τ+

α ) ⊂ L1(R+) y T (α)(τα) ⊂ L1(R)

y la igualdad (1.17) se sustituye en el caso fraccionario por (1.14).

Algebras de Banach contenidas en L1(R+)

Recordemos que L1(R+) es el espacio de Banach de las (clases de equivalencia

de) funciones integrables de Lebesgue en [0,∞) con respecto a la norma

‖f‖1 =∫ ∞

0|f(t)|dt.

Con el producto de convolucion dado por (1.13), L1(R+) es un algebra de

Banach conmutativa sin unidad, pero con unidad aproximada acotada: sea

φ ∈ L1(R+) tal que∫∞0 φ(t)dt = 1; entonces (φ(s))0<s<1 es una unidad apro-

ximada acotada, esto es, f ∗ φ(s) →s→0 f en L1(R+) donde

φ(s)(t) =1sφ(

t

s), t ∈ [0,∞). (1.18)

Si ω+0 : [0,∞) → [0,∞) es un peso, esto es, una funcion medible tal que

ω+0 (t + s) ≤ ω+

0 (t)ω+0 (s) para todo t, s ≥ 0, el espacio de Banach de las

funciones integrables de Lebesgue en [0,∞) con respecto a la norma

‖f‖ω+0

:=∫ ∞

0|f(t)|ω+

0 (t)dt

se denota por L1(R+, ω+0 ) y es tambien un algebra de Banach con respecto

al producto de convolucion dado por (1.13). Si ω+0 es continuo y creciente,

se cumple, ademas, que L1(R+, ω+0 ) → L1(R+).


El siguiente ejemplo ilustra el hecho de que si se manejan derivadas, se

deben considerar funciones con ciertas condiciones de crecimiento, τ+α , si se

quiere obtener algebras de Banach con respecto al producto de convolucion.

Ejemplo. Sea eλ(t) = e−λt con t ≥ 0 y λ > 0. Entonces e′λ(t) = −λeλ(t), y∫ ∞

0|e′λ(t)|dt =

∫ ∞

0λe−λtdt = 1.

Por otro lado eλ ∗ eλ(t) = teλ(t) y (eλ ∗ eλ)′(t) = (1− λt)eλ(t) , y por tanto∫ ∞

0|(eλ ∗ eλ)′(t)|dt =

C

λ

donde C =∫∞0 e−u|1 − u|du. Ası pues, no existe M > 0 tal que para todo

λ > 0 se cumpla∫ ∞

0|(eλ ∗ eλ)′(t)|dt =

C

λ≤ M = M

(∫ ∞

0|e′λ(t)|dt

)2

.

Definicion 1.4.1 Dado α > 0, diremos que τ+α : [0,∞) → [0,∞), continua

y creciente, pertenece a W+α si existe C > 0 tal que

(i)∫ min(r,s)0 (r + s− t)α−1τ+

α (t)dt ≤ Cτ+α (r)τ+

α (s) para todo s, r ∈ [0,∞).

(ii)∫ r+smax(r,s)(r + s− t)α−1τ+

α (t)dt ≤ Cτ+α (r)τ+

α (s) para todo s, r ∈ [0,∞).

(iii) rα ≤ Cτ+α (r) para todo r ∈ [0,∞).

Es inmediato verificar que si τ+α ∈ W+

α entonces 1 + τ+α ∈ W+

α , y τ+ν ∈

W+ν , donde τ+

ν (t) := tν−ατ+α (t) para t ≥ 0 y ν ≥ α.

En la siguiente proposicion se enuncian condiciones suficientes (y mas

manejables) para que una aplicacion τ+α pertenezca a W+

α .


Proposicion 1.4.2 Dados α > 0 y τ+α : [0,∞) → [0,∞) una aplicacion

continua, τ+α pertenece a W+

α si verifica cualquiera de las siguientes condi-

ciones.

(i) τ+α es creciente y existen C,M > 0 tales que τ+

α (2t) ≤ Mτ+α (t) y

tα ≤ Cτ+α (t), para todo t > 0.

(ii) τ+α (t) = p+

α (t)w+0 (t) donde w+

0 , p+α : [0,∞) → [0,∞) son continuas,

crecientes, y verifican w+0 (s + t) ≤ w+

0 (s)w+0 (t) para s, t ≥ 0, y existen

C, M > 0 tales que p+α (2t) ≤ Mp+

α (t) y tα ≤ Cp+α (t) para todo t > 0.

(iii) τ+α (t) = F+

α (t)eτt con τ > 0 y donde F+α : [0,∞) → [0,∞) es continua,

creciente, y existen C, M > 0 tales que F+α (2t) ≤ MF+

α (t) y tβ ≤CF+

α (t) para todo t > 0 y algun β ∈ [0, α].

Demostracion. Basta utilizar las condiciones exigidas a τ+α para demostrar

las desigualdades de la definicion anterior. ¤

A continuacion se dan ejemplos concretos de funciones τ+α que pertenecen

a W+α .

Ejemplos 1.4.3 Las funciones τ+α (t) = tα y τ+

α (t) = tβ(1 + t)ν con β ∈[0, α] y ν ≥ α − β pertenecen a W+

α ya que verifican la condicion (i) de la

proposicion anterior.

Especial interes tienen las funciones τ+α (t) = tαw+

0 (t) con w+0 (t) un peso

creciente y continuo, vease Notas 1.4.5 (iii). Pertenecen a W+α ya que verifi-

can la condicion (ii) de la proposicion anterior. Al conjunto de estas funciones

se le denotara por B+α .

Tambien, τ+α (t) = tβeτt, con τ > 0 y β ∈ [0, α], pertenece a W+

α ya que

verifica la condicion (iii) de la proposicion anterior.


+Cα

∫ ∞

0|Wα

+g(r)|τ+α (r)

∫ ∞

r|Wα

+f(s)|τ+α (s)dsdr

+Cα

∫ ∞

0|Wα

+g(r)|τ+α (r)

∫ r

0|Wα

+f(s)|τ+α (s)dsdr

+Cα

∫ ∞

0|Wα

+g(r)|τ+α (r)

∫ ∞

r|Wα

+f(s)|τ+α (s)dsdr

de donde se llega a la desigualdad enunciada. ¤

Denotaremos por T (α)+ (τ+

α ) el algebra de Banach obtenida como la com-

plecion de D+ en la norma qτ+α

con τ+α ∈ W+

α .

Notas 1.4.5 (i) En el caso α = 0, identificaremos T (0)+ (τ+

0 ) y L1(R+, τ+0 )

siendo τ+0 : [0,∞) → [0,∞) un peso continuo y creciente.

(ii) Si τ+α ∈ S ′+, donde S ′+ denota el conjunto de las distribuciones tempe-

radas con soporte en [0,∞), entonces S+ ⊂ T (α)+ (τ+

α ).

(iii) Si τ+α ∈ B+

α con α ≥ 0, el algebra T (α)+ (τ+

α ) posee unidad aproximada

acotada (basta tomar φ ∈ T (α)+ (τ+

α ) tal que∫∞0 φ(t)dt = 1 y considerar (φ(s))

definidas en (1.18) con 0 < s < 1).

Sea D+0 el conjunto de las funciones indefinidamente derivables y de so-

porte compacto en (0,∞). A traves de la unidad aproximada acotada, se

demuestra que D+0 es denso en T (α)

+ (τ+α ) con τ+

α ∈ B+α .

En general las algebras T (α)+ (τ+

α ) no tienen unidad aproximada acotada.

(iv) Si α = n y τ+n (t) = tn para t ≥ 0, el algebra T (n)

+ (tn) es el algebra T +n

considerada en [BE2]. Y si α = n y τ+n (t) = ert con r > 0 y t ≥ 0, el algebra

T (n)+ (ert) coincide con D+

r,n definida en [W].

En la siguiente proposicion se consideran inclusiones continuas entre estas

algebras.

Proposicion 1.4.6 Sean α > 0 y τ+α ∈ W+

α . Entonces se dan las siguientes

inclusiones continuas.


(i) T (α)+ (τ+

α ) → T (α)+ (tα) → L1(R+).

(ii) Si β > α > 0, y τ+β ∈ W+

β son tales que

1Γ(β − α)Γ(α + 1)

∫ t

0(t−s)β−α−1τ+

α (s)ds ≤ 1Γ(β + 1)

τ+β (t), t ≥ 0,

entonces se cumple que T (β)+ (τ+

β ) → T (α)+ (τ+

α ); y en particular se tiene

que T (β)+ (tβ) → T (α)

+ (tα).

(iii) Si τ+α ∈ B+

α , esto es, τ+α (t) = tαω+

0 (t), (t ≥ 0) con ω+0 un peso creciente

y continuo, entonces T (α)+ (τ+

α ) → L1(R+, ω+0 ).

Demostracion. (i) Sea f ∈ D+. Por el teorema de Fubini se tiene que∫ ∞

0|f(t)|dt =

∫ ∞

0| 1Γ(α)

∫ ∞

t(s− t)α−1Wα

+f(s)ds|dt

≤ 1Γ(α + 1)

∫ ∞

0|Wα

+f(s)|sαds = qtα(f) ≤ Cqτ+α

(f),

donde hemos aplicado la condicion (iii) de la Definicion 1.4.1.

(ii) Sean ahora β > α > 0 τ+β ∈ W+

β tales que

1Γ(β − α)Γ(α + 1)

∫ t

0(t− s)β−α−1τ+

α (s)ds ≤ 1Γ(β + 1)

τ+β (t), t ≥ 0.

Actuando de igual forma que en las inclusiones anteriores, se tiene que

qτ+α

(f) =1

Γ(α + 1)Γ(β − α)

∫ ∞

0|∫ ∞

s(t− s)β−α−1W β

+f(t)dt|τ+α (s)ds

≤ 1Γ(α + 1)Γ(β − α)

∫ ∞

0|W β

+f(t)|∫ t

0(t− s)β−α−1τ+

α (s)ds ≤ qτ+β

(f)

con f ∈ D+. Por densidad se sigue que T (β)+ (τ+

β ) → T (α)+ (τ+

α ).

La parte (iii) se demuestra de forma analoga a (i). ¤

En la siguiente proposicion caracterizamos las funciones de T (α)+ (τ+

α ).



α . Una funcion f ∈ T (α)+ (τ+

α ) si

y solamente si existe g funcion medible de Lebesgue tal que g ∈ L1(R+, τ+α )

y f = W−α+ g a.e.

Demostracion. Si f ∈ T (α)+ (τ+

α ) existe una sucesion (fn) ⊂ D+ tal que

fn → f en T (α)+ (τ+

α ). En particular (Wα+fn) es una sucesion de Cauchy en

L1(R+, τ+α ) y g := limn Wα

+fn en L1(R+, τ+α ) con

∫ ∞

0τ+α (t)|g(t)|dt < ∞.

Por unicidad del lımite, se tiene que Wαf = g en casi todo punto.

Sea g una funcion medible de Lebesgue tal que Wα+f = g y

∫ ∞

0τ+α (t)|g(t)|dt < ∞.

Existe una sucesion (φn) ⊂ D+ tal que φn → g en L1((0,∞), τ+α ). Por tanto

se cumple W−α+ φn → W−αg = f en T (α)

+ (τ+α ) y como (W−α

+ φn) ⊂ D+ se

concluye que f ∈ T (α)+ (τ+

α ). ¤

Ejemplos de funciones que pertenecen a T (α)+ (τ+

α ) son las funciones de

Bochner-Riesz (Rν−1t )t>0 con ν > α, vease Ejemplos 1.1.5 (ii).


α . Se cumple que Rν−1t ∈

T (α)+ (τ+

α ) si t > 0 y ν > α; la aplicacion t 7→ Rν−1t es continua y ademas

qτ+α

(Rν−1t ) ≤ Cν,αtν−ατ+

α (t), t > 0,

donde Cν,α > 0 es independiente de t.

Demostracion. Sean t > 0 y ν > α. La funcion Rν−α−1t verifica Rν−α−1

t =

Wα+(Rν−1

t ), (vease Ejemplos 1.1.5 (ii)) y Rν−α−1t ∈ L1(R+, τ+

α ). Por la

Proposicion 1.4.7, Rν−1t ∈ T (α)

+ (τ+α ) con ν > α. La continuidad de t 7→ Rν−1

t

se comprueba directamente. Al ser τ+α continua y creciente, se sigue que

qτ+α

(Rν−1t ) ≤ Cν,α

∫ t

0(t− s)ν−α−1τ+

α (s)ds = Cν,αtν−ατ+α (t)


con lo que se completa la demostracion. ¤

Sea A un algebra de Banach conmutativa. Un operador lineal y acotado

T : A → A se dice multiplicador si verifica T (ab) = aT (b) para todo a, b ∈ A.

Al conjunto de multiplicadores de A se denota por Mul(A) y es un algebra

de Banach con unidad, vease por ejemplo [Si, p. 4].

A continuacion probamos que Rα−1t ∈ Mul(T (α)

+ (τ+α )). Este resultado es

interesante de cara a la seccion 2.2.

Teorema 1.4.9 Sean α > 0 y τ+α ∈ W+

α . Entonces, para todo f ∈ T (α)+ (τ+

α )

y t > 0 se cumple que Rα−1t ∗ f ∈ T (α)

+ (τ+α ), la aplicacion t 7→ Rα−1

t ∗ f es

continua y

qτ+α

(Rα−1t ∗ f) ≤ Cατ+

α (t)qτ+α

(f)

con Cα > 0 independiente de f y t. Por tanto Rα−1t ∈ Mul(T (α)

+ (τ+α )) y

‖Rα−1t ‖

Mul(T (α)+ (τ+

α ))≤ Cτ+

α (t).

Demostracion. La derivada fraccionaria de la funcion Rα−1t ∗f esta dada por

la formula (1.15), la continuidad de t 7→ Rα−1t ∗f se comprueba directamente

y basta estimar qτ+α

(Rα−1t ∗ f) con f ∈ D+. Ası, se tiene que

qτ+α

(Rα−1t ∗ f) ≤ 1

αΓ(α)2

∫ t

0τ+α (s)

∫ ∞

s(r + t− s)α−1|Wα

+f(r)|drds

+1

αΓ(α)2

∫ ∞

tτ+α (s)

∫ s

s−t(r + t− s)α−1|Wα

+f(r)|drds.

Aplicando el teorema de Fubini en cada una de las dos integrales, se obtienen

los siguientes cuatro sumandos

qτ+α

(Rα−1t ∗ f) ≤ Cα

∫ t

0|Wα

+f(r)|(∫ r

0+

∫ r+t

t(r + t− s)α−1τ+

α (s)ds)dr

+Cα

∫ ∞

t|Wα

+f(r)|(∫ t

0+

∫ r+t

r(r + t− s)α−1τ+

α (s)ds)dr.


Como τ+α pertenece a W+

α , usando las condiciones (i) y (ii) de la Definicion

1.4.1, se concluye que

qτ+α

(Rα−1t ∗ f) ≤ Cατ+

α (t)qτ+α

(f)

para toda f ∈ D+, y por densidad para toda f ∈ T (α)+ (τ+

α ). ¤

Algebras de Banach contenidas en L1(R)

Sea L1(R) el espacio de Banach de las funciones integrables de Lebesgue en

R con respecto a la norma

‖f‖1 =∫ ∞

−∞|f(t)|dt.

Con el producto de convolucion dado por (1.16), L1(R) es un algebra de

Banach conmutativa sin unidad pero, al igual que L1(R+), con unidad apro-

ximada acotada dada por (ϕ(s))0<s<1 con ϕ ∈ L1(R) y∫∞−∞ ϕ(t)dt = 1.

Sea ω0 : R→ [0,∞) un peso, esto es, una funcion medible sobre R tal que

ω0(t + s) ≤ ω0(t)ω0(s) para t, s ∈ R. El espacio de las funciones integrables

de Lebesque en R con respecto a la norma

‖f‖ω0 :=∫ ∞

−∞|f(t)|ω0(t)dt

se denota por L1(R, ω0) y es algebra de Banach con respecto al producto de

convolucion dado por (1.16). Notese que si ω0 es continua y ω0(t) ≥ C > 0,

para todo t ∈ R, entonces L1(R, ω0) → L1(R).

En lo que resta, utilizaremos la estructura de algebra de T (α)+ (τ+

α ) sobre

(0,∞) para construir un algebra de funciones con soporte en R, y definida

mediante derivacion fraccionaria.

Definicion 1.4.10 Sea α ≥ 0. Diremos que τα : R → [0,+∞), continua,

pertenece a Wα si τ+α y τ+

α pertenecen a W+α donde τ+

α (t) := τα(t) para todo


t ≥ 0 y τ+α (t) := τα(−t) para todo t ≥ 0; analogamente τα pertenece a Bα si

τ+α y τ+

α pertenecen a B+α .

Ejemplos 1.4.11 Las funciones τα(t) = |t|α, τα(t) = |t|β(1 + |t|)ν con β ∈[0, α] y ν ≥ α−β y τα(t) = |t|βeτ |t|, con τ > 0 y β ∈ [0, α], pertenecen a Wα.

Si τα ∈ Bα entonces se cumple que τα(t) = |t|αω0(t), con t ∈ R y ω+0 , ω+

0

pesos continuos y crecientes.

Primeramente se prueba el analogo del Teorema 1.4.4 para la recta real.

Teorema 1.4.12 Sean α > 0 y τα ∈ Wα. La expresion

qτα(f) :=1

Γ(α + 1)

∫ ∞

−∞τα(t)|Wα

0 f(t)|dt

define una norma en D. Mas aun, qτα(f ∗ g) ≤ Cαqτα(f)qτα(g) para f, g ∈ Dy Cα > 0 independiente de f y g.

Demostracion. Es claro que qτα define una norma en D. Pongamos

qτα(f) =1

Γ(α + 1)

∫ 0

−∞τα(t)|Wα

−f(t)|dt +1

Γ(α + 1)

∫ ∞

0τα(t)|Wα

+f(t)|dt,

y denotamos por qτ−α (f−) y qτ+α

(f+) a cada uno de los sumandos anteriores.

Vamos a probar que qτα define una norma de algebra en D.

Para ello primero se demuestra que

qτ+α

((f ∗ g)+) ≤ Cαqτα(f)qτα(g).

con Cα > 0 independiente de f y g. Por la Nota 1.3.3, se tiene que

Wα+(f ∗ g)(t) = f− ∗Wα

+g+(t) + Wα+(f+ ∗ g+)(t) + Wα

+f+ ∗ g−(t)

con t ≥ 0. Estimemos la norma de cada uno de los tres sumandos: el segundo

es inmediato por el Teorema 1.4.4 y la Proposicion 1.1.4 :

qτ+α

(f+ ∗ g+) ≤ Cαqτ+α

(f+)qτ+α

(g+) = Cαqτ+α

(f)qτ+α

(g) ≤ Cαqτα(f)qτα(g).


La acotacion de la norma del tercer sumando se obtiene ası:∫ ∞

0τα(t)|Wα

+f+ ∗ g−(t)|dt ≤∫ ∞

0τα(t)

∫ ∞

t|Wα

+f+(s)| |g−(t− s)|dsdt

=∫ ∞

0|Wα

+f+(s)|∫ s

0τα(t)|g−(t− s)|dtds

≤∫ ∞

0|Wα

+f+(s)|τα(s)∫ 0

−s|g−(u)|duds

≤ qτ+α

(f+)qτ−α (g−) ≤ qτα(f)qτα(g).

Por la propiedad conmutativa de la convolucion se obtiene la desigualdad

para la norma del primer sumando.

Nos queda por estimar qτ−α ((f ∗ g)−). Para ello, por la Proposicion 1.1.7

(ii) se tiene que

Wα−(f ∗ g)(t) = Wα

+((f ∗ g)˜)(−t) = Wα+(f ∗ g)(−t) = Wα

+((f ∗ g)+)(−t)

si t < 0, y por tanto

qτ−α ((f ∗ g)−) = qτ+α

((f ∗ g)+) ≤ Cαqτα(f)qτα(g) = Cαqτα(f)qτα(g)

de donde se obtiene el resultado. ¤

Denotamos por T (α)(τα) el algebra de Banach obtenida como la com-

plecion de D en la norma qτα .

Notas 1.4.13 (i) Al igual que se considera que L1(R+) → L1(R) mediante

la correspondencia

f 7→

f(t), si t ≥ 0,

0, si t < 0,

se tiene que T (α)+ (τ+

α ) → T (α)(τα) si τ+α (t) = τα(t) para t ≥ 0.

(ii) Las funciones (Rν−1t )t>0, a traves de la identificacion de la nota anterior,

pertenecen a T (α)(τα) con τα ∈ Wα, ν > α y t > 0. Se definen para t ≤ 0


y θ > −1 las funciones de Bochner-Riesz (Rθt )t≤0 mediante la expresion: si

t < 0,

Rθt (s) =

(s− t)θ

Γ(θ + 1), si t < s ≤ 0,

0, en otro caso,

y Rθ0(s) = 0 para todo s ∈ R. Es inmediato probar que Rθ

t (s) = Rθ−t(−s)

para t, s ∈ R. Se prueba que Rν−1t ∈ T (α)(τα) con t < 0 y que la aplicacion

t 7→ Rα−1t ∗ f es continua a traves de un resultado analogo a la Proposicion

1.4.8.

(iii) Si α = n y τn(t) = |t|n para t ∈ R, el algebra definida en el teorema

anterior, T (n)(|t|n), es el algebra Tn considerada en [BE1].

Proposicion 1.4.14 Si α > 0 y τα ∈ Wα, entonces se cumplen las siguientes

inclusiones continuas.

(i) T (α)(τα) → T (α)(|t|α) → L1(R).

(ii) Si β > α y τβ ∈ Wβ son tales que

1Γ(β − α)Γ(α + 1)

∫ t

0(t− s)β−α−1τα(s)ds ≤ 1

Γ(β + 1)τβ(t), t ≥ 0,

1Γ(β − α)Γ(α + 1)

∫ 0

t(s− t)β−α−1τα(s)ds ≤ 1

Γ(β + 1)τβ(t), t ≤ 0,

se cumple que T (β)(τβ) → T (α)(τα); en particular T (β)(|t|β) → T (α)(|t|α).

(iii) Si τα ∈ Bα, esto es, τα(t) = |t|αω0(t), (t ∈ R) con ω+0 y ω0

+ pesos

crecientes y continuos, entonces T (α)(τα) → L1(R, ω0).

Demostracion. La prueba es similar a la de la Proposicion 1.4.6. ¤

A continuacion se enuncia el analogo al Teorema 1.4.9. Como allı,

Mul(T (α)(τα)) denota el algebra de los multiplicadores de T (α)(τα).


Teorema 1.4.15 Sea α > 0 y τα ∈ Wα. Entonces para todo f ∈ T (α)(τα),

se cumple que Rα−1t ∗ f ∈ T (α)(τα) con t ∈ R, y ademas

qτα(Rα−1t ∗ f) ≤ Cατα(t)qτα(f)

con Cα > 0 independiente de f y t. Por tanto se tiene que

‖Rα−1t ‖Mul(T (α)(τα)) ≤ Cατα(t), t ∈ R.

Las algebras T (α)(τα) no tienen, en general, unidad aproximada acotada

al igual que T (α)+ (τ+

α ). Sin embargo, como en aquel caso, tenemos el siguiente

resultado.

Proposicion 1.4.16 Sean α > 0 y τα ∈ Bα. El algebra T (α)(τα) es un

algebra con unidad aproximada acotada.

Demostracion. Basta tomar φ ∈ D, tal que∫∞−∞ φ(t)dt = 1 y definir (φ(s))

como en (1.18) para 0 < s < 1 y se comprueba que (φ(s))0<s<1 es una unidad

aproximada acotada. ¤

Capıtulo 2

Familias de operadores

asociadas a la ecuacion de

Cauchy

Sean X un espacio de Banach y (A,D(A)) un operador lineal en X (no ne-

cesariamente acotado). El Problema Abstracto de Cauchy de primer orden

u′(t) = Au(t), t ≥ 0,

u(0) = x, x ∈ D(A),(PAC1)

se dice bien planteado si A genera un C0-semigrupo de operadores acotados,

(T (t))t≥0 ⊂ B(X) de tal forma que la solucion de (PAC1) viene dada por

u(t) = T (t)x; en caso contrario se dice mal planteado. Otras familias de

operadores acotados aparecen en el caso en que A no genera un C0-semigru-

po: semigrupos integrados, de distribuciones suaves, o C-regularizados, . . . .

En este capıtulo, se contemplan estos conceptos desde el punto de vista del

calculo fraccionario desarrollado en el anterior.

En la primera seccion se muestra la teorıa ya conocida de estas fami-

lias. Los C0-semigrupos son los mas familiares y dan lugar por integracion

53

54 Capıtulo 2. Familias de operadores asociadas a la ecuacion de Cauchy

a los semigrupos α-veces integrados con α ∈ R+. Algunos de estos a su

vez, permiten definir homomorfismos de algebras, llamados semigrupos de

distribuciones, y recıprocamente ([AK], [BEJ], [W]). La conexion entre cier-

tos semigrupos regularizados e integrados fue probada por R. deLaubenfels

[dL2].

Las siguientes secciones contienen resultados originales de esta Memo-

ria. Ası, en la segunda, se prueba que los semigrupos y grupos α-veces

integrados acotados en norma por las funciones τ+α y τα respectivamente,

definen homomorfismos de algebras de las algebras fraccionarias T (α)+ (τ+

α ) y

T (α)(τα) (definidas en el capıtulo anterior) en B(X). Estos resultados ex-

tienden otros conocidos para valores exclusivamente naturales de α y con

τ+α y τα polinomios ([AK], [BEJ]) o exponenciales ([W]). Recıprocamente

se demuestra que si existen homomorfismos de algebras entre T (α)+ (τ+

α ) o

T (α)(τα) en B(X), entonces existen semigrupos y grupos ν-veces integrados

con ν > α que resultan ser los nucleos de las representaciones integrales de

los homomorfismos anteriores.

En estos resultados las condiciones asumidas τ+α ∈ W+

α o τα ∈ Wα son

bastantes generales y, ademas, no se exige que el generador de los semigrupos

integrados considerados sea densamente definido.

En la seccion tercera, se aplican los teoremas obtenidos en la seccion

anterior sobre los homomorfismos Θ+ y Θ al estudio de semigrupos o grupos

de distribuciones vectoriales introducidos por Lions [Li].

Otra aplicacion de las propiedades del homomorfismo Θ+, y su version

como distribucion, se da en la descripcion de las potencias fraccionarias de

generadores de semigrupos integrados temperados.

2.1. Preliminares 55

2.1 Preliminares

Repasamos a continuacion algunos resultados de la teorıa de C0-semigrupos

y familias asociadas que se emplearan o extenderan posteriormente.

C0-semigrupos y C0-grupos

Una familia de operadores (T (t))t≥0 ⊂ B(X) se llama C0-semigrupo si veri-

fica T (0) = I, T (t)T (s) = T (t + s) para todo t, s ≥ 0, y limt→0+ T (t)x = x

para todo x ∈ X. Las dos condiciones anteriores implican que (T (t))t≥0 es

fuertemente continuo, esto es,

limt→t0

T (t)x = T (t0)x

para todo x ∈ X y todo t0 ≥ 0.

El operador lineal (A,D(A)) definido mediante

D(A) := x ∈ X : existe limt→0+

T (t)x− x

t:= Ax en X

es el generador infinitesimal del semigrupo (T (t))t≥0 con dominio D(A); es

cerrado y densamente definido, vease [G] y [ABHN]. Como es habitual, se

escribe T (t) = etA con t ≥ 0 y se usa indistintamente una u otra notacion.

El conjunto de numeros complejos λ tales que el operador λI − A es

inversible en B(X) es el conjunto resolvente de A y se denota por ρ(A), su

complementario C\ρ(A) es el espectro de A y se escribe σ(A); ρ(A) es un

conjunto abierto en C y por lo tanto σ(A) es cerrado. Si λ ∈ ρ(A) se llama

operador resolvente a (λ − A)−1 aunque usaremos tambien las notaciones

R(λ) y R(λ,A).

Una familia de operadores (T (t))t∈R ⊂ B(X) se llama C0-grupo si sa-

tisface las condiciones de la definicion de C0-semigrupo, la segunda de ellas


verificandose para todo t, s ∈ R. El generador infinitesimal (A,D(A)) del

C0-grupo, (T (t))t∈R, se define de forma analoga. Se tiene que A genera

un C0-grupo (T (t))t∈R, si y solo si ±A generan C0-semigrupos respectivos

(T±(t))t≥0 tales que

T (t) =

T+(t), t ≥ 0,

T−(−t), t ≤ 0.

Notese que T (0) = I = T (t)T (−t) y por tanto T−(t) = (T+(t))−1 para t > 0.

Un C0-semigrupo (T (t))t≥0 cualquiera siempre es exponencialmente aco-

tado, es decir, existen constantes C > 0 y λ0 ∈ R tales que

‖T (t)‖ ≤ Ceλ0t, t ≥ 0.

Ademas, si λ ∈ C con <λ > λ0, entonces λ ∈ ρ(A) y

(λ−A)−1x =∫ ∞

0e−λtT (t)xdt, x ∈ X.

Sea ω+0 : [0,∞) → [0,∞) un peso tal que ω+

0 (t) ≤ Meλ0t con M > 0 y

λ0 ∈ R independientes de t. Si (T (t))t≥0 es un C0-semigrupo tal que ‖T (t)‖ ≤Cω+

0 (t) para todo t ≥ 0 (si ω+0 (t) ≤ C para todo t ≥ 0, el semigrupo (T (t))t≥0

se dice uniformemente acotado), existe un homomorfismo de algebras Θ+ :

L1(R+, ω+0 ) → B(X), dado por

Θ+(f)x =∫ ∞

0f(t)T (t)xdt, x ∈ X, (2.1)

para toda f ∈ L1(R+, ω+0 ). Se cumple que ‖Θ+‖ ≤ C y Θ+(eλ) = (λ−A)−1

con eλ(t) = e−λt, t > 0 y <λ > λ0. La aplicacion Θ+ es conocida como el

calculo funcional de Hille-Phillips.

Una extension de Θ+ a ciertas distribuciones temperadas permite probar

que (−A)ν , la potencia fraccionaria de −A con ν > 0, puede expresarse como


Θ+(δ(ν)0 ) = (−A)ν ([LR]), siendo δ

(ν)0 como aparece definida en la seccion

2.3.

En el caso de C0-grupos (T (t))t∈R ⊂ B(X), con ‖T (t)‖ ≤ Cω0(t) para

t ∈ R, y ω0 : R→ [0,∞) un peso que verifica ω0(t) ≤ Ceκ|t| para todo t ∈ R,

con κ > 0, el homomorfismo de algebras Θ : L1(R, ω0) → B(X) definido por

Θ(f)x =∫ ∞

−∞f(t)T (t)xdt, x ∈ X, (2.2)

para todo f ∈ L1(R, ω0), verifica ‖Θ(f)‖ ≤ C‖f‖ω0 , Θ(eλχ(0,∞)) = (λ−A)−1

y Θ(e−λχ(−∞,0))) = (λ + A)−1 con <λ > κ, vease [EN, Lemma IV.3.17].

Semigrupos y grupos integrados

Sean α ∈ R+ y (T (t))t≥0 un C0-semigrupo. Las expresiones

Tα(t)x :=1

Γ(α)

∫ t

0(t− s)α−1T (s)xds, x ∈ X, t > 0, (2.3)

y Tα(0) = 0, definen operadores Tα(t) ∈ B(X) para t ≥ 0. La familia

(Tα(t))t≥0 se puede considerar como un “semigrupo α-veces integrado”, que

cumple

Tα(t)Tα(s) =1

Γ(α)(∫ t+s

s−

∫ t

0(t + s− r)α−1Tα(r)dr) (2.4)

para t, s ≥ 0. Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 2.1.1 Sea α > 0. Una familia de operadores fuertemente conti-

nua (Tα(t))t≥0 ⊂ B(X) se llama un semigrupo α-veces integrado si verifica

Tα(0) = 0 y la igualdad (2.4).

El crecimiento de ‖Tα(t)‖, si t →∞, no tiene por que ser de tipo expo-

nencial en general, vease [KH, Example 1.2], a diferencia de lo que ocurre

para C0-semigrupos.


Si ‖Tα(t)‖ ≤ Ceλ0t con C, λ0 ≥ 0, la condicion (2.4) es equivalente (me-

diante transformada de Laplace) a que

R(λ) := λα

∫ ∞

0e−λtTα(t)dt, <λ > λ0

sea una pseudorresolvente, esto es, R(λ) − R(µ) = (µ − λ)R(λ)R(µ) para

<λ,<µ > λ0, vease [H1], [MP]. Si (Tα(t))t≥0 es no degenerado (o sea, que

si Tα(t)x = 0 para todo t ≥ 0 entonces x = 0), resulta que R(λ) es inyectivo

y el operator A definido mediante la pseudorresolvente R(λ), a saber,

(λ−A)x := R(λ)−1(x) x ∈ Im(R(λ))

(vease [Pa, Theorem 1.9.3]) es el generador del semigrupo α-veces integrado

(Tα(t))t≥0. Ası a R(λ) se le denota por (λ−A)−1 o R(λ,A) indistintamente.

Un semigrupo α-veces integrado (Tα(t))t>0 es temperado de grado ν en

0 si ‖Tα(t)‖ ≤ Ctν para 0 ≤ t ≤ 1, con C, ν ≥ 0; temperado de grado ν en

∞ si ‖Tα(t)‖ ≤ Ctν para t ≥ 1, con C, ν ≥ 0; y temperado de grado ν si

‖Tα(t)‖ ≤ Ctν para t ≥ 0 y C, ν ≥ 0 [E].

Proposicion 2.1.2 Sean α ≥ 0 y (Tα(t))t≥0 un semigrupo α-veces inte-

grado. Entonces (Tν(t))t≥0 := (D−(ν−α)+ Tα(t))t≥0, esto es,

Tν(t)x :=1

Γ(ν − α)

∫ t

0(t− s)ν−α−1Tα(s)x, x ∈ X,

es un semigrupo ν-veces integrado si ν > α.

Demostracion. Es un ejercicio simple donde se usa la definicion de semigrupo

integrado y el teorema de Fubini. ¤

Proposicion 2.1.3 [MP] Sea A el generador de un semigrupo α-veces in-

tegrado, (Tα(t))t≥0, exponencialmente acotado y no degenerado. Entonces


(i) para todo x ∈ X y t ≥ 0,∫ t0 Tα(s)xds ∈ D(A),

A

∫ t

0Tα(s)xds = Tα(t)x− tα

Γ(α + 1)x,

y ATα(t)x = Tα(t)Ax para x ∈ D(A) y t ≥ 0.

(ii) Tα( · )x es derivable en t ≥ 0 si y solo si Tα(t)x ∈ D(A) y en este caso

d

dtTα(t)x = ATα(t)x +

tα−1

Γ(α)x.

(iii) DnTα(t)x|t=0 = 0 si n < α con n ∈ N.

En la siguiente proposicion damos algunas nuevas propiedades de la

derivacion fraccionaria de Riemann-Liouville de un semigrupo α-veces in-

tegrado.

Proposicion 2.1.4 [M1] Sean (Tα(t))t≥0 un semigrupo α-veces integrado

con α ≥ 0, exponencialmente acotado, no degenerado y (A,D(A)) su gene-

rador. Entonces

(i) para ν ≤ α y x ∈ D(A[ν]+1) se tiene que

Dν+Tα(t)x = A[ν]+1Tα+[ν]+1−ν(t)x +

[ν]∑

j=0

tα+[ν]−ν−j

Γ(α + [ν] + 1− ν − j)A[ν]−jx

(ii) Dν+Tα(t)x|t=0 = 0 si ν < α y Dα

+Tα(t)x|t=0 = x con x ∈ D(A[ν]+1).

(iii) D−α+ Dα

+Tα(t)x = Tα(t)x con t ≥ 0 y x ∈ D(A[α]+1).

Demostracion. (i) A partir de la Proposicion 2.1.3 (ii) por induccion se

prueba que

dn

dtnTα(t)x = AnTα(t)x +

n−1∑

j=0

tα−1−j

Γ(α− j)An−1−jx


si x ∈ D(An) y n ≤ α. Si ahora ν ≤ α entonces

Dν+Tα(t)x = D

[ν]+1+ (D−([ν]+1−ν)

+ Tα(t)x) = D[ν]+1+ (Tα+[ν]+1−ν(t)x)

= A[ν]+1Tα+[ν]+1−ν(t)x +[ν]∑

j=0

tα+[ν]−ν−j

Γ(α + [ν] + 1− ν − j)A[ν]−jx.

(ii) es consecuencia de (i). La parte (iii) se obtiene a partir de la Proposicion

1.1.9 y de la Proposicion 2.1.3 (iii). ¤

Si (A,D(A)) y (−A, D(−A)) son los generadores de dos semigrupos α-

veces integrados (Tα,+(t))t≥0, (Tα,−(t))t≥0 ⊂ B(X), la familia de operadores

(Tα(t))t∈R ⊂ B(X) definida mediante

Tα(t) =

Tα,+(t) si t > 0,

Tα,−(−t) si t < 0.

se dice un grupo α-veces integrado generado por (A,D(A)) ([E, p. 12]).

Sea ν ≥ 0. Un grupo α-veces integrado (Tα(t))t∈R es temperado de grado

ν en 0 si ‖Tα(t)‖ ≤ C|t|ν para |t| ≤ 1, con C > 0; temperado de grado ν en

∞ si ‖Tα(t)‖ ≤ C ′|t|ν para |t| ≥ 1, con C ′ > 0; y globalmente temperado de

grado ν si lo es en 0 y en ∞.

Semigrupos y grupos de distribuciones de orden n

La aproximacion general de Lions al Problema Abstracto de Cauchy median-

te semigrupos de distribuciones vectoriales ha sido proseguida por diversos

autores y particularizada a varias clases de semigrupos de distribuciones.

W. Arendt y H. Kellerman establecieron la correspondencia unıvoca en-

tre semigrupos de distribuciones de orden n, Θ+ : T (n)+ (tn) → B(X), y

semigrupos n-veces integrados (Tn(t))t≥0 tales que ‖Tn(t)‖ ≤ Ctn con t ≥ 0.


Esta correspondencia viene dada por la igualdad

Θ+(f) = (−1)n

∫ ∞

0f (n)(t)Tn(t)dt, f ∈ T (n)

+ (tn),

([AK, Theorem 4.4]).

S.W. Wang probo la equivalencia entre semigrupos de distribuciones de

orden (r, n), esto es Θ+ : D+r,n → B(X), y semigrupos n-veces integrados

(Tn(t))t≥0 tales que ‖Tn(t)‖ ≤ Cert con t ≥ 0, n ∈ N ∪ 0 y r > 0 ([W,

Theorem 4.16]). Si el generador del semigrupo integrado no es densamente

definido, Wang introduce los semigrupos de quasi-distribuciones y prueba

un teorema de caracterizacion [W, Theorem 4.13].

En el caso de los grupos de distribuciones, en [BEJ] se demuestra la

equivalencia entre grupos de distribuciones de orden n, Θ : T (n)(|t|n) →B(X) y grupos n-veces integrados (Tn(t))t∈R con ‖Tn(t)‖ ≤ C|t|n para t ∈ R,

verificandose

Θ(f) =∫ 0

−∞f (n)(t)Tn(t)dt + (−1)n

∫ ∞

0f (n)(t)Tn(t)dt, f ∈ T (n)(|t|n).

Estos homorfismos de algebras permiten desarrollar una teorıa similar a

la conocida para C0-semigrupos y C0-grupos uniformemente acotados, vease

[dLJ] y [BEJ], aplicable en la definicion de potencias fraccionarias del gene-

rador [J].

Semigrupos C-regularizados

Los semigrupos regularizados, introducidos por Da Prato en [DaP], se han

reconsiderado varias veces fructıferamente [DP], [dL4].

Sea C ∈ B(X) un operador inyectivo de rango denso. Un semigrupo

C-regularizado (V (t))t≥0 ⊂ B(X) es una familia fuertemente continua de

operadores que verifican V (0) = C, y V (t + s)C = V (t)V (s) para todo

t, s > 0.




V (t)x− Cx

t∈ Im C

y

Ax = C−1 limt→0+

V (t)x− Cx

t

para x ∈ D(A), es el generador del semigrupo C-regularizado (V (t))t≥0

[dL4].

Los generadores de semigrupos C-regularizados se caracterizan a traves

de su transformada de Laplace, como se indica a continuacion.

Teorema 2.1.5 [dL4, Lemma 6.1] Sean A un operador lineal y cerrado

tal que ρ(A) 6= ∅ y (V (t))t≥0 ⊂ B(X) una familia fuertemente continua

de operadores tal que ‖V (t)‖ ≤ Ceλ0t con λ0, t ≥ 0. Son equivalentes las

afirmaciones:

(i) (V (t))t≥0 es un semigrupo C-regularizado generado por A.

(ii) (λ0,∞) ⊂ ρ(A) y para λ > λ0, con x ∈ X, se tiene

C(λ−A)−1x = (λ−A)−1Cx =∫ ∞

0e−λtV (t)xdt. (2.5)

R. deLaubenfels probo la equivalencia entre semigrupos n-veces integra-

dos y ciertos semigrupos regularizados.

Teorema 2.1.6 [dL2, Theorem 2.4] Sea A un operador lineal y cerrado tal

que [0,∞) ⊂ ρ(A) 6= ∅. Son equivalentes las afirmaciones:

(i) (V (t))t≥0 es un semigrupo A−n-regularizado exponencialmente acotado

y generado por A.


(ii)(V (t)−∑n−1

j=0tj

j!Aj−n

)es un semigrupo n-veces integrado exponen-

cialmente acotado generado por A.

Se sigue de lo anterior que la clase de semigrupos regularizados es la mas

amplia de las consideradas aquı. Esto esta en consonancia con la libertad

de eleccion de los operadores C ∈ B(X), inyectivos y de rango denso, que

permiten regularizar el semigrupo.

Operadores funcion coseno y coseno integrados

Un operador funcion coseno (C(t))t≥0 ⊂ B(X) es una familia fuertemente

continua de operadores que verifica C(0) = I y

C(t + s) + C(t− s) = 2C(t)C(s), t ≥ s ≥ 0.



2C(t)x− x

t2:= Ax en X

es el generador del operador funcion coseno (C(t))t≥0, vease [G]. Un ope-

rador funcion coseno es exponencialmente acotado, ‖C(t)‖ ≤ Ceλ0t para

algun λ0 ≥ 0, (t ≥ 0), y se cumple que (λ20,∞) ⊂ ρ(A) y

λ(λ2 −A)−1 =∫ ∞

0e−λtC(t)dt, si λ > λ0.

Si A genera un operador funcion coseno (C(t))t≥0 en X, la solucion del

Problema Abstracto de Cauchy de segundo orden

u′′(t) = Au(t), t ≥ 0,

u(0) = x, x ∈ X,

u′(0) = y, y ∈ X,

(PAC2)

es u(t) = C(t)x+S(t)y donde (S(t))t≥0 es el operador funcion seno definido

mediante S(t)x =∫ t0 C(s)xds con x ∈ X y t ≥ 0 ([G]).


Es conocido que si A genera un C0-grupo (T (t))t∈R, entonces A2 genera

un operador funcion coseno (C(t))t≥0 dado por

C(t) =T (t) + T (−t)

2, t ≥ 0.

El metodo de suavizar la solucion del (PAC1) mediante integracion tambien

se ha aplicado al (PAC2).

Definicion 2.1.7 Sea α > 0. Un operador A se llama generador de un

operador funcion coseno α-veces integrado si (λ0,∞) ⊂ ρ(A) para algun

λ0 ≥ 0 y existe una familia fuertemente continua de operadores acotados en

X, (Cα(t))t≥0 ⊂ B(X), tal que ‖Cα(t)‖ ≤ Ceλ0t (t ≥ 0), con C > 0, y

(λ2 −A)−1 = λα−1

∫ ∞

0e−λtCα(t)dt, λ > λ0.

(Cα(t))t≥0 es el operador funcion coseno α-veces integrado generado por A

[Y]. Un operador funcion coseno 0-veces integrado es un operador funcion

coseno y 1-vez integrado es un operador funcion seno.

Si (Cα(t))t>0 es un operador funcion coseno α-veces integrado generado

por A, entonces

Cβ(t) :=1

Γ(β − α)

∫ t

0(t− s)β−α−1Cα(s)ds, (2.6)

(β > α, t > 0) define un operador funcion coseno β-veces integrado de

generador A; para mas detalles vease [AK] y [Y].

Si A genera un grupo α-veces integrado (Tα(t))t∈R, entonces A2 genera

un operador funcion coseno α-veces integrado (Cα(t))t≥0 dado por

Cα(t) =Tα(t) + Tα(−t)

2, t ≥ 0,

[EK, Lemma 3.1].

2.2. Homomorfismos definidos por semigrupos y grupos integrados 65

2.2 Homomorfismos definidos por

semigrupos y grupos integrados

En esta seccion se prueban resultados originales sobre semigrupos y grupos

α-veces integrados. Las algebras fraccionarias T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα) intro-

ducidas en el capıtulo anterior son las algebras canonicas para definir homo-

morfismos de algebras dados por representaciones integrales cuyos nucleos

sean semigrupos y grupos α-veces integrados (tales que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτ+α (t)

para t ≥ 0 y ‖Tα(t)‖ ≤ Cτα(t) para t ∈ R).

Recıprocamente, si existen homomorfismos de algebras de T (α)+ (τ+

α ) o

T (α)(τα) en B(X), entonces existen semigrupos o grupos ν-veces integrados

en B(X) con ν > α tales que los homomorfismos anteriores se expresan me-

diante representaciones integrales cuyo nucleos son los semigrupos o grupos

integrados mencionados. El caso particular en que τ+α ∈ B+

α o τα ∈ Bα es de

especial interes.

Notemos que el calculo fraccionario, ası como la transformada de Laplace,

para funciones escalares tienen exacta correspondencia vectorial con valores

en un espacio de Banach X. Haremos uso de ello en lo sucesivo sin mas

comentario.

Homomorfismos y semigrupos integrados

Sean f ∈ S+ y L(f) su transformada de Laplace, dada por

L(f)(z) =∫ ∞

0e−ztf(t)dt, z ∈ C+.

Se cumple, vease (1.8), que

L(f)(s) =∫ ∞

0Wα

+f(t)D−α+ (es)(t)dt (2.7)

donde es(t) = e−st con t, s > 0. Un semigrupo α-veces integrado tiene un

comportamiento vectorial similar a D−α+ (es)(t). La igualdad (2.7) es la guıa


para definir un homomorfismo de algebras basado en (Tα(t))t≥0.

Una primera version, menos completa, del siguiente teorema aparece en

[M1].

Teorema 2.2.1 Sea (Tα(t))t≥0 un semigrupo α-veces integrado en B(X)

tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτ+α (t), t ≥ 0, donde τ+

α ∈ W+α . Entonces existe un

homomorfismo de algebras continuo Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X) dado por

Θ+(f)x =∫ ∞

0Wα

+f(t)Tα(t)xdt, x ∈ X,

con f ∈ T (α)+ (τ+

α ). Ademas,

(i) Si ν ≥ α y τ+ν (t) := tν−ατ+

α (t) con t ≥ 0, entonces se cumple

∫ ∞

0Wα

+f(t)Tα(t)xdt =∫ ∞

0W ν

+f(t)Tν(t)xdt

con f ∈ T (ν)+ (τ+

ν ) → T (α)+ (τ+

α ) y (Tν(t))t≥0 definido como en la Proposicion

2.1.2.

(ii) Si τ+α es exponencialmente acotado, el semigrupo (Tα(t))t>0 es no dege-

nerado y (A,D(A)) es su generador, entonces se tiene que

(a) para todo f ∈ D+, Θ+(f)x ∈ D(A) si x ∈ X, y

AΘ+(f)x = −Θ+(f ′)x− f(0)x.

(b) si Tα( · )x es derivable para todo t ≥ 0 (por ejemplo, si x ∈ D(A)), y

f ∈ D+ entonces∫ ∞

0Wα

+f(t)d

dtTα(t)xdt =

∫ ∞

0Wα+1

+ f(t)Tα(t)xdt.

Demostracion. Debido a que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτ+α (t) con t ≥ 0, la expresion

Θ+(f)x :=∫ ∞

0Wα

+f(t)Tα(t)xdt


para f ∈ T (α)+ (τ+

α ) y x ∈ X define un homomorfismo continuo y lineal,

Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X),

(vease Proposicion 1.4.7). El espacio T (α)+ (τ+

α ) es un algebra de Banach por

el Teorema 1.4.4. Para probar que Θ+ es un homomorfismo de algebras,

se procede de manera similar a la demostracion del Teorema 1.4.4. Basta

considerar f, g ∈ D+ y concluir que Θ+(f ∗ g) = Θ+(f)Θ+(g). Por el

Teorema 1.3.1, se cumple que

Γ(α)Θ+(f ∗ g) = Γ(α)∫ ∞

0Wα

+(f ∗ g)(t)Tα(t)xdt

=∫ ∞

0

∫ t

0Wα

+g(r)∫ t

t−r(s + r − t)α−1Wα

+f(s)dsdrTα(t)dt

−∫ ∞

0

∫ ∞

tWα

+g(r)∫ ∞

t(s + r − t)α−1Wα

+f(s)dsdrTα(t)dt.

Por el teorema de Fubini, se obtienen estas cuatro integrales

Γ(α)Θ+(f ∗ g)

=∫ ∞

0Wα

+g(r)∫ r

0Wα

+f(s)∫ s+r

r(s + r − t)α−1Tα(t)dtdsdr

+∫ ∞

0Wα

+g(r)∫ ∞

rWα

+f(s)∫ s+r

s(s + r − t)α−1Tα(t)dtdsdr

−∫ ∞

0Wα

+g(r)∫ r

0Wα

+f(s)∫ s

0(s + r − t)α−1Tα(t)dtdsdr

−∫ ∞

0Wα

+g(r)∫ ∞

rWα

+f(s)∫ r

0(s + r − t)α−1Tα(t)dtdsdr

=∫ ∞

0Wα

+g(r)∫ r

0Wα

+f(s)(∫ s+r

r−

∫ s

0(s + r − t)α−1Tα(t)dt

)dsdr

+∫ ∞

0Wα

+g(r)∫ ∞

rWα

+f(s)(∫ s+r

s−

∫ r

0(s + r − t)α−1Tα(t)dt

)dsdr

= Γ(α)∫ ∞

0Wα

+g(r)Tα(r)∫ r

0Wα

+f(s)Tα(s)dsdr

+Γ(α)∫ ∞

0Wα

+g(r)Tα(r)∫ ∞

rWα

+f(s)Tα(s)dsdr

= Γ(α)Θ+(g)Θ+(f).


(i) Sea ν > α. Si se define τ+ν (t) := tν−ατ+

α (t) con t ≥ 0, se cumple que

τ+ν ∈ W+

ν (Definicion 1.4.1) y que T (ν)+ (τ+

ν ) → T (α)+ (τ+

α ). Para f ∈ T (ν)+ (τ+

ν )

se tiene por el Teorema de Fubini que∫ ∞

0W ν

+f(t)Tν(t)dt =∫ ∞

0W ν

+f(t)1

Γ(ν − α)

∫ t

0(t− s)ν−α−1Tα(s)dsdt

=∫ ∞

0Tα(s)

1Γ(ν − α)

∫ ∞

s(t− s)ν−α−1W ν

+f(t)dtds =∫ ∞

0Wα

+f(s)Tα(s)ds.

(ii) Sean ahora τ+α exponencialmente acotado, (Tα(t))t>0 no degenerado y

(A,D(A)) su generador.

(a) Por (i) y la Proposicion 2.1.3 (i), se tiene que para x ∈ X y f ∈ D+

AΘ+(f)x = A

∫ ∞

0Wα+1

+ f(t)Tα+1(t)xdt

=∫ ∞

0Wα+1

+ f(t)A∫ t

0Tα(s)dsdt

=∫ ∞

0Wα+1

+ f(t)(

Tα(t)x− tαx

Γ(α + 1)

)dt

= −∫ ∞

0Wα

+f ′(t)Tα(t)xdt−∫ ∞

0Wα+1

+ f(t)tαx

Γ(α + 1)dt

= −Θ+(f ′)x− f(0)x.

(b) Por (a) y la Proposition 2.1.3 (ii), si Tα( · )x derivable y f ∈ D+

entonces∫ ∞

0Wα

+f(t)d

dtTα(t)xdt =

∫ ∞

0Wα

+f(t)(

ATα(t)x +tα−1x

Γ(α)

)dt

= −∫ ∞

0Wα

+f ′(t)Tα(t)xdt− f(0)x + f(0)x

con lo que se concluye la demostracion. ¤

Si α = 0 y (T0(t))t≥0 es un C0-semigrupo, el homomorfismo anterior es

el calculo de Hille-Phillips. Algunas demostraciones sobre homomorfismos

de algebras asociados a semigrupos integrados de orden entero, (vease [dLJ,


Theorem 3.2]) se apoyan en este hecho. No obstante, para ello se exige que

el generador A sea densamente definido, condicion que en la prueba anterior

no es necesaria.

Ejemplos 2.2.2 (1) Por las proposiciones 2.1.2 y 1.4.8, si ν > α tenemos

Tν(t) =1

Γ(ν − α)

∫ t

0(t− s)ν−α−1Tα(s)ds = Θ+(Rν−1

t )

para todo t > 0.

(2) Sean ν, ε > 0. Se definen las funciones

eε,ν(t) :=tν−1e−εt

Γ(ν)χ(0,∞)(t).

Es claro que eε,ν ∈ T (n)+ (tn) con n ∈ N ∪ 0. Debido a que T (β)

+ (tβ) →T (α)

+ (tα) con 0 ≤ α ≤ β, en realidad se tiene que eε,ν ∈ T (α)+ (tα) para todo

α ≥ 0.

Sean ahora (Tα(t))t≥0 un semigrupo α-veces integrado tal que ‖Tα(t)‖ ≤Ctα, (t > 0) no degenerado y A su generador densamente definido. Entonces

Θ+(eε,ν) ∈ B(X) si ν > 0. Vamos a identificar este operador.

Sea n ∈ N tal que n ≥ α. El operador A genera un semigrupo n-

veces integrado (Tn(t))t≥0. Existe un subespacio denso, F ⊂ X, tal que

D(An) ⊂ F y A|F es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo (T (t))t≥0

tal que

T (t) = DnTn(t)|F , t ≥ 0,

([N, Theorem 5.2]). Si x ∈ D(An) entonces se cumple, vease [Pa],

(ε−A)−νx =∫ ∞

0

tν−1e−εt

Γ(ν)DnTn(t)xdt

=∫ ∞

0Wn

+

(tν−1

Γ(ν)e−εt

)D−n(DnTn(t))x =

∫ ∞

0Wn

+

(tν−1

Γ(ν)e−εt

)Tn(t)xdt.

Por densidad de D(An) en X, se concluye que (ε−A)−ν = Θ+(eε,ν).


Teorema 2.2.3 Sean α ≥ 0, τ+α ∈ W+

α , y Θ+ : T (α)+ (τ+


morfismo acotado de algebras de Banach. Entonces para todo ν > α existe

un semigrupo ν-veces integrado (Tν(t))t≥0 tal que ‖Tν(t)‖ ≤ Cντ+ν (t) con

τ+ν (t) = tν−ατ+

α (t) para todo t ≥ 0, de modo que

Θ+(f) =∫ ∞

0W ν

+f(t)Tν(t)dt

para todo f ∈ T (ν)+ (τ+

ν ).

Demostracion. Sea ν > α. Por la Proposicion 1.4.8, se tiene que la funcion

de Bochner-Riesz (Rν−1t )t≥0 pertenece a T (α)

+ (τ+α ) con ν > α y

qτ+α

(Rν−1t ) ≤ Cν,αtν−ατ+

α (t), t ≥ 0.

Utilizando la transformada de Laplace, se prueba que (Rν−1t )t≥0 verifica la

condicion (2.4) en L1(R+) y por tanto en T (α)+ (τ+

α ).

Se define Tν(t) := Θ+(Rν−1t ) para todo t ≥ 0. Claramente (Tν(t))t≥0

verifica (2.4) y es un semigrupo ν-veces integrado. Por la continuidad de Θ+

se cumple que

‖Tν(t)‖ ≤ Cν,αtν−ατ+α (t), t ≥ 0.

Sea τ+ν (t) := tν−ατ+

α (t). Se cumple que τ+ν ∈ W+

ν y por el Teorema 2.2.1

existe Θ′+ : T (ν)

+ (τ+ν ) → B(X) tal que

Θ′+(f) =

∫ ∞

0W ν

+f(t)Tν(t)dt, f ∈ T (ν)+ (τ+

ν ).

Como antes, T (ν)+ (τ+

ν ) → T (α)+ (τ+

α ), y por continuidad de Θ+ se tiene que

Θ′+(f) =

∫ ∞

0W ν

+f(t)Θ+(Rν−1t )dt = Θ+

(∫ ∞

0W ν

+f(t)Rν−1t dt

)= Θ+(f)

para f ∈ T (ν)+ (τ+

ν ). ¤

Por el Teorema 1.4.9, las funciones (Rα−1t )t>0 son multiplicadores del

algebra T (α)+ (τ+

α ) para t > 0. Si T (α)+ (τ+

α ) tiene unidad aproximada acotada,

eso nos permite definir (Θ+(Rα−1t ))t≥0 :


Teorema 2.2.4 Sean α ≥ 0, τ+α ∈ B+

α y Θ+ : T (α)+ (τ+


morfismo acotado de algebras de Banach tal que Θ+(T (α)+ (τ+

α ))X es denso en

X. Entonces el homomorfismo Θ+ se extiende a un homomorfismo continuo

de algebras,

Θ+ : Mul(T (α)+ (τ+

α )) → B(X).

En particular, existe un semigrupo α-veces integrado (Tα(t))t≥0 tal que

‖Tα(t)‖ ≤ Cατ+α (t) para todo t ≥ 0, y se cumple que

Θ+(f) =∫ ∞

0Wα

+f(t)Tα(t)dt

para todo f ∈ T (α)+ (τ+

α ).

Demostracion. Debido a que τ+α ∈ B+

α , el algebra T (α)+ (τ+

α ) tiene unidad

aproximada acotada, vease Notas 1.4.5 (iii). Ademas, como Θ+(T (α)+ (τ+

α ))X

es denso en X, la aplicacion Θ+ se extiende a un homomorfismo continuo de

algebras de Banach

Θ+ : Mul(T (α)+ (τ+

α )) → B(X).

Ası es, por el Teorema de factorizacion de Cohen, X = Θ+(T (α)+ (τ+

α ))X y si

T ∈ Mul(T (α)+ (τ+

α )), x = Θ(f)y con f ∈ T (α)+ (τ+

α ) e y ∈ X, entonces

Θ+(T )x := Θ+(T (f))y,

([Es, Proposition 5.2]).

Por el Teorema 1.4.9, se cumple que Rα−1t ∈ Mul(T (α)

+ (τ+α )) y definimos

entonces Tα(t) := Θ+(Rα−1t ), para todo t ≥ 0. El resto de la demostracion

es analogo a la del Teorema 2.2.3. ¤

Parte del anterior teorema era conocido en situaciones particulares, siem-

pre considerando ordenes de derivacion naturales y utilizando tecnicas de

semigrupos de distribuciones suaves, vease por ejemplo [AK, Theorem 4.4],

[dLJ, Theorem 3.6] y [W, Theorem 4.16].


Homomorfismos y grupos integrados

Sea (Tα(t))t∈R un grupo α-veces integrado. Para poder definir un homomor-

fismo de algebras mediante una representacion integral que tenga a (Tα(t))t∈Rcomo nucleo es necesario poder calcular explıcitamente Tα(t)Tα(r) cuando

t < 0 < r.

Teorema 2.2.5 Sean α > 0 y (Tα(t))t∈R una familia fuertemente continua

de operadores en X tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Ceκ|t| para todo t ∈ R y donde

C, κ > 0 son constantes absolutas. Entonces son equivalentes:

(i) (Tα(t))t∈R es un grupo α-veces integrado generado por (A,D(A)).

(ii) Tα,+(t) := Tα(t) y Tα,−(t) := Tα(−t) son semigrupos α-veces integra-

dos tales que si t < 0 < r se cumple

Tα(t)Tα(r) =1

Γ(α)(∫ r

t+r(s−t−r)α−1Tα(s)ds+

∫ 0

t(t+r−s)α−1Tα(s)ds)

(2.8)

cuando t + r ≥ 0, y

Tα(t)Tα(r) =1

Γ(α)(∫ t+r

t(t+r−s)α−1Tα(s)ds+

∫ r

0(s−t−r)α−1Tα(s)ds)

(2.9)

cuando t + r ≤ 0.

Demostracion. (i) ⇒ (ii) La condicion (2.9) es equivalente a que

R(λ,−A) + R(µ,A) = (λ + µ)R(λ,−A)R(µ,A)

con λ, µ > κ, (veanse demostraciones analogas de resultados existentes en el

caso de semigrupos integrados en [MP, Theorem 1] o [KS, Proposition 2.2]).

La condicion (2.8) es equivalente para λ, µ < −κ de forma analoga.


(ii) ⇒ (i) Sean (A,D(A)) y (B,D(B)) los generadores de (Tα,+(t))t≥0 y

(Tα,−(t))t≥0 respectivamente. Para conseguir que B = −A basta con probar

que

R(λ,B) + R(µ,A) = (λ + µ)R(λ,B)R(µ,A)

con |λ|, |µ| > κ lo cual es equivalente a las condiciones (2.8) y (2.9) (veanse

[MP, Theorem 1] o [KS, Proposition 2.2]). ¤

Si (T (t))t∈R es un C0-grupo, el grupo α-veces integrado (Tα(t))t∈R aso-

ciado se define como

Tα(t) =

1Γ(α)

∫ t

0(t− s)α−1T (s)ds, t ≥ 0,

1Γ(α)

∫ 0

t(s− t)α−1T (s)ds, t ≤ 0.

Sea (Tα(t))t∈R un grupo α-veces integrado. Nuestro siguiente teorema

proporciona la version mas general conocida de homomorfismos de algebras

sobre R cuyo nucleo integral sea el grupo integrado (Tα(t))t∈R. Este teorema

extiende resultados de [BEJ].

Teorema 2.2.6 Sea (Tα(t))t∈R un grupo α-veces integrado en B(X) tal que

‖Tα(t)‖ ≤ Cτα(t) con t ∈ R, τα ∈ Wα y C > 0 independiente de t. Entonces

la aplicacion Θ : T (α)(τα) → B(X) dada por

Θ(f)x =∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(t)xdt, f ∈ T (α)(τα)

para todo x ∈ X es un homomorfismo de algebras continuo. Ademas,

(i) Si ν ≥ α y τν(t) := |t|ν−ατα(t) con t ∈ R entonces

∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(t)xdt =∫ ∞

−∞W ν

0 f(t)Tν(t)xdt


con f ∈ T (ν)(τν) → T (α)(τα), y (Tν(t))t∈R definido como en la Proposicion

2.1.2.

(ii) Si τα es exponencialmente acotado, (Tα(t))t∈R no degenerado y A su

generador, entonces para todos f ∈ D y x ∈ X se tiene que Θ(f)x ∈ D(A)

y AΘ(f)x = −Θ(f ′)x.

Demostracion. Debido a que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτα(t) con t ∈ R, la aplicacion

Θ : T (α)(τα) → B(X) dada por

Θ(f)x =∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(t)xdt, f ∈ T (α)(τα),

para todo x ∈ X define un homomorfismo continuo. Por el Teorema 1.4.12,

T (α)(τα) es un algebra de Banach y basta probar que Θ es un homomorfismo

de algebras. Sean f, g ∈ D. Probaremos que Θ(f ∗g) = Θ(f)Θ(g). Usaremos

la notacion

Θ+(f)x :=∫ ∞

0Wα

+f(t)Tα(t)xdt,

Θ−(f)x :=∫ 0

−∞Wα−f(t)Tα(t)xdt =

∫ ∞

0Wα

+ f(t)Tα(−t)xdt.

Para f ∈ D, se tiene Θ(f) = Θ+(f+) + Θ−(f−). Como

f ∗ g(t) = f− ∗ g+(t) + f+ ∗ g+(t) + f+ ∗ g−(t), si t ≥ 0,

f ∗ g(t) = f− ∗ g+(t) + f− ∗ g−(t) + f+ ∗ g−(t), si t ≤ 0,

se tiene,

Θ(f ∗ g) = Θ+(f− ∗ g+) + Θ+(f+ ∗ g+) + Θ+(f+ ∗ g−)

+ Θ−(f− ∗ g+) + Θ−(f− ∗ g−) + Θ−(f+ ∗ g−).

Por otro lado, se cumple

Θ(f)Θ(g) = Θ+(f+)Θ+(g+) + Θ+(f+)Θ−(g−)

+ Θ−(f−)Θ+(g+) + Θ−(f−)Θ−(g−).


Como (Tα(t))t≥0 y (Tα(t))t≤0 son semigrupos α-veces integrados, por el Teo-

rema 2.2.1 se cumple que

Θ+(f+ ∗ g+) = Θ+(g+)Θ+(f+),

Θ−(f− ∗ g−) = Θ−(g−)Θ−(f−).

Basta probar, pues

Θ+(f+ ∗ g−) + Θ−(f+ ∗ g−) = Θ+(f+)Θ−(g−),

Θ+(f− ∗ g+) + Θ−(f− ∗ g+) = Θ−(f−)Θ+(g+). (2.10)

Para demostrar la primera igualdad igualdad, se tiene que para x ∈ X

Θ+(f+)Θ−(g−)x =∫ ∞

0

∫ 0

−∞Wα

+(f+)(r)Wα−(g−)(t)Tα(r)Tα(t)xdtdr

=∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)Tα(r)Tα(t)xdtdr

+∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ 0

−rWα−(g−)(t)Tα(r)Tα(t)xdtdr. (2.11)

Para el primer sumando, por (2.9), se cumple que

Γ(α)∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)Tα(r)Tα(t)xdtdr

=∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)

∫ r+t

t(r + t− s)α−1Tα(s)xdsdtdr

+∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)

∫ r

0(s− t− r)α−1Tα(s)xdsdtdr. (2.12)

En el primer sumando, aplicando el Teorema de Fubini dos veces, se obtiene,∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)

∫ r+t

t(r + t− s)α−1Tα(s)xdsdtdr

=∫ 0

−∞Tα(s)x

∫ −s

0Wα

+(f+)(r)∫ s

s−rWα−(g−)(t)(r + t− s)α−1dtdrds

+∫ 0

−∞Tα(s)x

∫ ∞

−sWα

+(f+)(r)∫ −r

s−rWα−(g−)(t)(r + t− s)α−1dtdrds.


Actuando de igual forma (Teorema de Fubini) en el sumando (2.12), se tiene

∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)

∫ r

0(s− t− r)α−1Tα(s)xdsdtdr

=∫ ∞

0Tα(s)x

∫ ∞

sWα

+(f+)(r)∫ −r

−∞Wα−(g−)(t)(s− t− r)α−1dtdrds.

Operando esta vez sobre (2.11), y por (2.8), se demuestra, de nuevo por el

Teorema de Fubini

Γ(α)∫ ∞

0Wα

+(f+)(r)∫ 0

−rWα−(g−)(t)Tα(r)Tα(t)xdtdr

=∫ ∞

0Tα(s)x

∫ ∞

sWα

+(f+)(r)∫ s−r

−r(s− t− r)α−1Wα

−(g−)(t)dtdrds

+∫ 0

−∞Tα(s)x

∫ ∞

−sWα

+(f+)(r)∫ s

−r(r + t− s)α−1Wα

−(g−)(t)dtdrds.

Por tanto se tiene, juntando todos los sumandos y agrupando

Γ(α)Θ+(f+)Θ−(g−)x

= Γ(α)(∫ 0

−∞Tα(s)xWα

−(g− ∗ f+)(s)ds +∫ ∞

0Tα(s)xWα

+(f+ ∗ g−)(s)ds)

= Γ(α)(Θ−(f+ ∗ g−) + Θ+(f+ ∗ g−))

y se aplica el Lema 1.3.2. La igualdad (2.11) se prueba con la propiedad

conmutativa de la convolucion y se concluye que Θ(f ∗ g) = Θ(f)Θ(g) para

f, g ∈ D y por densidad para f, g ∈ T (α)(τα).

La propiedad (i) es inmediata debido a que (Tα(t))t≥0 y (Tα(t))t≤0 son

semigrupos α-veces integrados y verifican la propiedad (i) del Teorema 2.2.1.

(ii) Sean ahora τα exponencialmente acotado, (Tα(t))t∈R no degenerado,

y A su generador. Para x ∈ X y f ∈ D, se cumple

AΘ(f)x = AΘ+(f+)x + AΘ−(f−)x.


En particular, por la condicion (ii) del Teorema 2.2.1 aplicado al semigrupo

(Tα(t))t≤0 de generador −A se tiene que

AΘ−(f−)x = A

∫ ∞

0Wα

+ f(t)Tα(−t)xdt

=∫ ∞

0Wα

+(f)′(t)Tα(−t)xdt + f(0)x

= −∫ ∞

0Wα

+(f ′)(t)Tα(−t)xdt + f(0)x = −Θ−((f ′)−) + f(0)x.

Por tanto AΘ(f)x = −Θ+((f ′)+)x−f(0)x−Θ−((f ′)−)x+f(0)x = −Θ(f ′)xpara todo x ∈ X y se concluye la demostracion. ¤

Notas (i) En las mismas condiciones que en el teorema anterior, se cumple

que si Tα( · )x es derivable para todo t ∈ R (por ejemplo, si x ∈ D(A)), y

f ∈ D entonces∫ ∞

0Wα

+f(t)d

dtTα(t)xdt = −

∫ ∞

0Wα

+f ′(t)Tα(t)xdt

y ∫ 0

−∞Wα−f(t)

d

dtTα(t)xdt =

∫ 0

−∞Wα−f ′(t)Tα(t)xdt.

(ii) En esta demostracion no se exige que el generador A sea densamente

definido, condicion que se impone en otras demostraciones de homomorfis-

mos de algebras asociados a grupos integrados de orden entero, vease [BEJ,

Theorem 3.4].

A continuacion probamos el recıproco al Teorema 2.2.6.

Teorema 2.2.7 Sean α ≥ 0, τα ∈ Wα y Θ : T (α)(τα) → B(X) un ho-

momorfismo acotado de algebras de Banach. Entonces para todo ν > α

existe un grupo ν-veces integrado (Tν(t))t∈R tal que ‖Tν(t)‖ ≤ Cντν(t) con

τν(t) := |t|ν−ατα(t) para todo t ∈ R y Cν > 0 independiente de t que cumple

Θ(f) =∫ ∞

−∞W ν

0 f(t)Tν(t)dt


para todo f ∈ T (ν)(τν) → T (α)(τα).

Demostracion. Se demuestra de forma analoga al Teorema 2.2.3. Se consi-

deran las funciones de Bochner-Riesz (Rν−1t )t∈R con ν > α definidas en las

Notas 1.4.13 (ii). Se define Tν(t) := Θ(Rν−1t ) para t ∈ R y se comprueba

que es un grupo ν-veces integrado tal que ‖Tν(t)‖ ≤ Cν |t|ν−ατα(t), para

t ∈ R. Por ultimo se demuestra que τν(t) := |t|ν−ατα(t) pertenece a Wν ,

T (ν)(τν) → T (α)(τα) y

Θ(f) =∫ ∞

−∞W ν

0 f(t)Tν(t)dt

para f ∈ T (ν)(τν). ¤

Por ultimo, se tiene por el Teorema 1.4.15 que, Rα−1t ∈ Mul(T α(τα))

para todo t ∈ R. Si T (α)(τα) tiene unidad aproximada acotada entonces, al

igual que en el Teorema 2.2.4 es posible definir (Θ(Rα−1t ))t∈R.

Teorema 2.2.8 Sean α ≥ 0, τα ∈ Bα y Θ : T (α)(τα) → B(X) un homomor-

fismo acotado de algebras de Banach tal que Θ(T (α)(τα))X es denso en X.

Entonces Θ se extiende a un homomorfismo continuo de algebras

Θ : Mul(T (α)(τα)) → B(X).

En particular, existe un grupo α-veces integrado (Tα(t))t∈R tal que ‖Tα(t)‖ ≤Cατα(t) para todo t ∈ R y se cumple que

Θ(f) =∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(t)dt

para todo f ∈ T (α)(τα).

Demostracion. Debido a que τα ∈ Bα, el algebra T (α)(τα) tiene unidad

aproximada acotada, vease Proposicion 1.4.16. El resto de la demostracion

es semejante a la del Teorema 1.4.9. ¤

Parte del anterior teorema era conocido para el algebra Tn, vease [BEJ].

2.3. Aplicaciones 79

2.3 Aplicaciones

En esta seccion mostramos dos aplicaciones de los teoremas sobre homomor-

fismos de algebras probados en la anterior seccion.

Los homomorfismos de algebras asociados a semigrupos y grupos inte-

grados definen semigrupos y grupos de distribuciones vectoriales (en sentido

de Lions [Li]) de orden α positivo y crecimiento τ+α y τα. La equivalencia

entre ambos conceptos en el caso τ+α ∈ B+

α y τα ∈ Bα se muestra en los

teoremas 2.3.5 y 2.3.9.

En el caso temperado τ+α = tα (t ≥ 0), la aplicacion Θ+ se extiende a

ciertas distribuciones temperadas que definen las potencias fraccionarias del

generador del semigrupo integrado.

Semigrupos y grupos de distribuciones

A traves de los teoremas 2.2.1 y 2.2.6 y de los teoremas 2.2.3 y 2.2.7 , se

ha mostrado la correlacion entre semigrupos y grupos integrados y ciertos

homomorfismos de algebras de T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα) en B(X). A continuacion

nos centraremos en estos ultimos especıficamente.

El uso de homomorfismos para el tratamiento del Problema Abstracto de

Cauchy se inicia con el trabajo de Lions ([Li]) quien define los semigrupos y

grupos de distribuciones vectoriales. Los trabajos de Balabane y Emamirad

([BE1], [BE2]) y Peetre ([Pe]) desarrollan esta idea y particularmente Arendt

y Kellermann consideran el caso τ+n (t) = tn ([AK, Theorem 4.4]); S. W.

Wang el caso τ+n (t) = ert ([W, Theorem 4.13]); y Balabane y al. [BEJ] el

caso τn(t) = |t|n con n ∈ N.

La teorıa de semigrupos de distribuciones es analoga a la de grupos; por

otra parte el trabajo original de Lions esta planteado principalmente para

semigrupos, por lo cual desarrollaremos aquı nuestra teorıa para ese caso.


Es posible hacer un desarrollo paralelo para grupos de distribuciones, que

indicaremos con enunciados pero sin demostraciones. Una parte sustancial

de los resultados expuestos en esta seccion aparecera en [GM], en un contexto

mas amplio.

Definicion 2.3.1 Sean α > 0, τ+α ∈ W+

α y X un espacio de Banach.

Llamaremos semigrupo de distribuciones de orden α y crecimiento τ+α a

cualquier homomorfismo continuo de algebras, Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X), tal

que

(i)⋂

f∈D+

ker(Θ+(f)) = 0.

(ii)⋃

f∈D+

Θ+(f)X es denso en X.

La restriccion Θ+|D+ es un semigrupo de distribuciones, vease definicion

en [BB, p. 77]. Si τ+α es exponencialmente acotado, f ∈ D+ y ft(s) :=

χ(t,∞)(s)f(s − t), con t, s ≥ 0, se tiene que ft ∈ T (α)+ (τ+

α ). Ademas, la

aplicacion t → Θ+(ft)x es continua para cada x ∈ X, y por [N, Theorem

5.2] se obtiene que

Θ+(g)Θ+(f)x =∫ ∞

0g(t)Θ+(ft)xdt, g ∈ D+.

Por tanto Θ+ es un semigrupo de distribuciones en sentido de Lions, [Li,

Definition 1.1].

A continuacion definimos el generador de Θ+, para el que mantenemos

la notacion usual.

Definicion 2.3.2 Sean α > 0, τ+α ∈ W+

α y Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X) un semi-

grupo de distribuciones de orden α y crecimiento τ+α . Llamaremos generador


de Θ+ al operador (Θ+(−δ(1)0 ), D(Θ+(−δ

(1)0 )), con D(Θ+(−δ

(1)0 )) ⊂ X, tal

que x ∈ D(Θ+(−δ(1)0 )) si existe y ∈ X verificando

Θ+(f)y = Θ+(−f ′)x− f(0)x

para toda f ∈ D+, y Θ+(−δ(1)0 )x := y con x ∈ D(Θ+(−δ

(1)0 )).

Esta definicion extiende la definicion de generador infinitesimal dada por

Lions, vease [Li, Definition 2.3]. De forma inmediata se prueba la siguiente

proposicion.

Proposicion 2.3.3 Sea (Θ+(−δ(1)0 ), D(Θ+(−δ

(1)0 )) el generador de un semi-

grupo de distribuciones Θ+. Entonces

(i) Θ+(−δ(1)0 ) esta bien definido y es cerrado.

(ii) se cumple que Θ+(D+)X ⊂ D(Θ+(−δ(1)0 )) y

Θ+(−δ(1)0 )Θ+(f)x = Θ+(−f ′)x− f(0)x,

para todo f ∈ D+ y x ∈ X. Por tanto Θ+(−δ(1)0 ) es densamente

definido.

(iii) Si x ∈ D(Θ+(−δ(1)0 )) y f ∈ T (α)

+ (τ+α ) entonces Θ+(f)x ∈ D(Θ+(−δ

(1)0 )),

y se cumple Θ+(−δ(1)0 )Θ+(f)x = Θ+(f)Θ+(−δ

(1)0 )x.

Los semigrupos α-veces integrados proporcionan ejemplos de semigrupos

de distribuciones de orden α.


α tal que τ+α (t) ≤ Ceκt para todo

t ≥ 0, con C y κ > 0. Sean (Tα(t))t≥0 un semigrupo α-veces integrado, no

degenerado, tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Mτ+α (t) (t ≥ 0), y A su generador densamente

definido. Entonces el homomorfismo Θ+ : T (α)+ (τ+

α ) → B(X) dado por

Θ+(f) =∫ ∞

0Wα

+f(t)Tα(t)dt


es un semigrupo de distribuciones de orden α y crecimiento τ+α cuyo gene-

rador es una extension del operador A.

Demostracion. Por el Teorema 2.2.1, es claro que Θ+ es un homomorfismo

continuo de algebras. Comprobemos las condiciones (i) y (ii) de la Definicion

2.3.1.

Sea x ∈ X tal que Θ+(f)x = 0 para toda f ∈ D+. Por continuidad, se

cumple que Θ+(f)x = 0 para toda f ∈ T (α)+ (τ+

α ) y en particular Θ+(eλ)x = 0

con <λ > ω y por tanto∫ ∞

0e−λtTα(t)xdt = 0, <λ > ω.

Debido a la inyectividad de la transformada de Laplace, se deduce que

Tα(t)x = 0 para todo t ≥ 0 y por tanto se concluye que x = 0.

Por la Proposicion 2.1.2, el operador A genera un semigrupo n-veces inte-

grado y exponencialmente acotado (Tn(t))t≥0 con n ∈ N y n ≥ α. Aplicando

[ABHN, Theorem 3.10.4] a este semigrupo integrado, existe un espacio de

Banach (Z, ‖ ‖Z) tal que D(An) ⊂ Z ⊂ X y la restriccion de A al espacio

Z, AZ , genera un C0-semigrupo. Debido a la densidad de D(An), el espacio

Z tambien es denso en X. Para todo y ∈ Z se cumple que λR(λ,A|Z)y → y

si λ → ∞ [ABHN, Proposition 3.1.9]. Por la densidad de Z en X se sigue

que

X =⋃

<λ>ω

Θ+(eλ)X =⋃

f∈T (α)+ (τ+

α )

Θ+(f)X

y por tanto X =⋃

f∈D+Θ+(f)X.

Sea x ∈ D(A). Por el Teorema 2.2.1 (ii), se cumple que

Θ+(f)Ax = Θ(−f ′)x− f(0)x, f ∈ D+

y por tanto D(A) ⊂ D(Θ+(−δ(1)0 )) y Ax = Θ+(−δ

(1)0 )x para x ∈ D(A). ¤

En el caso particular en que τ+α ∈ B+

α tenemos el siguiente teorema de

caracterizaciones sobre semigrupos de distribuciones.


Teorema 2.3.5 Sean α > 0, τ+α ∈ B+

α con τ+α (t) = tαω+

0 (t) (t ≥ 0) y

ω+0 : [0,∞) → [0,∞) un peso continuo y creciente. Sean Θ+ : T (α)

+ (τ+α ) →

B(X) un homomorfismo lineal y continuo y (A, D(A)) un operador cerrado

y densamente definido. Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) El homomorfismo Θ+ es un semigrupo de distribuciones de orden α,

crecimiento τ+α , y generador (A,D(A)).

(ii) El operador (A,D(A)) es el generador de un semigrupo α-veces inte-

grado, (Tα(t))t≥0, tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτ+α (t) para todo t ≥ 0 y

Θ+(g) =∫ ∞

0Wα

+g(t)Tα(t)dt, g ∈ T (α)+ (τ+

α ).

(iii) El subconjunto D = Θ+(D+)X es denso en X y para todo x ∈ D, exis-

te un funcion continua F ( · , x) : [0,∞) → X que verifica las siguientes

condiciones.

(a) F (0, x) = x y F (t + s, x) = F (t, F (s, x)) para todo t, s ≥ 0.

(b) si g ∈ T (α)+ (τ+

α ) entonces Θ+(g)x =∫ ∞

0g(t)F (t, x)dt, siendo

∫ ∞

0g(t)F (t, x)dt := lim

n→∞

∫ ∞

0gn(t)F (t, x)dt,

donde la sucesion (gn)n∈N ⊂ D+ y gn → g en T (α)+ (τ+

α ).

Ademas, D ⊂ D(A) y Θ+(f)Ax = Θ+(−f ′)x−f(0)x para todo f ∈ D+

y x ∈ D(A).

En cualquiera de estos tres casos se tiene que

Θ+(Rα−1t )x = Tα(t)x =

1Γ(α)

∫ t

0(t− r)α−1F (r, x)dr, t ≥ 0

donde la segunda igualdad se cumple si x ∈ D, (comparese con (2.3)); por

tanto para x ∈ D se sigue que Dα+Tα(t)x = F (t, x) con t ≥ 0.


Demostracion. (i) ⇒ (ii) Por el Teorema 2.2.4 existe un semigrupo α-veces

integrado, (Tα(t))t≥0 (cuyo generador denotamos por (B, D(B))) tal que

Θ+(g) =∫ ∞

0Wα

+g(t)Tα(t)dt, g ∈ T (α)+ (τ+

α ).

Aplicando la Proposicion 2.3.4 a este semigrupo, se concluye que D(B) ⊂D(A) y Bx = Ax para x ∈ D(B). Resta por comprobar el contenido inverso.

Sean φ ∈ D+ tal que∫∞0 φ(t)dt = 1 y (φ(s)) definidas en (1.18) con

0 < s < 1. Argumentando como en [BE1, Proposition III.2] se concluye que

Θ+(φ(s))x → x para todo x ∈ X si s → 0. Sea ahora x ∈ D(A). Se verifica

que

AΘ+(φ(s))x = Θ+(φ(s))Ax → Ax

si s → 0. Pero por otro lado, ya que Θ+(D+)X ⊂ D(B), se da la igualdad

AΘ+(φ(s))x = BΘ+(φ(s))x, y al ser B un operador cerrado se concluye que

x ∈ D(B) y Ax = Bx.

(ii) ⇒ (iii) Sea τ+α (t) = tαω+

0 (t) con ω+0 : [0,∞) → [0,∞) un peso continuo

y creciente tal que ω+0 (t) ≤ Ceκt para t ≥ 0 y C, κ > 0. Es inmediato

comprobar que (κ,∞) ⊂ ρ(A) y

supλ>κ+1

‖λR(λ, A)‖ < ∞.

Por [ABHN, Lemma 3.3.12] se cumple que limλ→∞ λR(λ,A)x = x para todo

x ∈ X. Como Θ+(eλ) = R(λ,A) para λ > κ se concluye que Θ+(T (α)+ (τ+

α ))X

es denso en X.

Sea x = Θ+(f)y en D = Θ+(D+)X. Definimos la funcion t 7→ F (t, x) :=

Θ+(ft)y donde ft(r) = χ(t,∞)(r)f(r−t) con t, r ≥ 0. Es claro que F (0, x) = x

y debido a que ft+s = (fs)t entonces F (t+ s, x) = F (t, F (s, x)) para t, s ≥ 0

y x ∈ D.

Debido a que τ+α ∈ B+

α y Θ+(T (α)+ (τ+

α ))X es denso en X, por el Teorema

2.2.4, se sigue que si x = Θ+(f)y ∈ D entonces

Tα(t)x = Θ+(Rα−1t ∗ f)y =

1Γ(α)

∫ t

0(t− r)α−1Θ+(fr)ydr


=1

Γ(α)

∫ t

0(t− r)α−1F (r, x)dr.

Se comprueba de forma inmediata que Dα+Tα(t)x = F (t, x) si t ≥ 0 y x ∈ D.

Aplicando la Proposicion 2.1.4 (i) se prueba que

‖F (t, x)‖ ≤ Cx(1 + t[α]+1)ω+0 (t),

con Cx > 0 dependiente de x. Por tanto, dada g ∈ D+ se tiene que

Θ+(g)x =∫ ∞

0Wα

+g(t)Tα(t)dt

=∫ ∞

0g(t)Θ+(ft)ydt =

∫ ∞

0g(t)F (t, x)dt.

Por ultimo, por el Teorema 2.2.1 (ii), se cumple que D ⊂ D(A) y ademas

Θ+(f)Ax = Θ+(−f ′)x− f(0)x para todo f ∈ D+ y x ∈ D(A).

(iii) ⇒ (i) De la propiedad F (t + s, x) = F (t, F (s, x)) para todo t, s ≥ 0 y

x ∈ D se prueba de forma inmediata que, para todas f, g ∈ D+,

Θ+(f ∗ g)x = Θ+(f)Θ+(g)x

para todo x ∈ D. Por densidad de D en X y de D+ en T (α)+ (τ+

α ) se concluye

que Θ+(f ∗ g) = Θ+(f)Θ+(g) con f, g ∈ T (α)+ (τ+

α ) .

Sean φ ∈ D+ tal que∫∞0 φ(t)dt = 1 y (φ(s)) definidas en (1.18) con

0 < s < 1. De forma similar a [BE1, Proposition III.2] se prueba que

Θ+(φ(s)) → I en B(X) cuando s → 0. De aqui es inmediato verificar las

condiciones (i) y (ii) de la Definicion 2.3.1.

Denotemos por (B, D(B)) el generador de Θ+. Se cumple que D(A) ⊂D(B) y Ax = Bx para todo x ∈ D(A), en particular para x ∈ Θ+(D+)X.

Falta comprobar el contenido inverso. Sea x ∈ D(B). Se verifica que

BΘ+(φ(s))x = Θ+(φ(s))Bx → Bx


si s → 0. Ademas como Θ+(D+)X ⊂ D(B), se da la igualdad BΘ+(φ(s))x =

AΘ+(φ(s))x y al ser A un operador cerrado se concluye que x ∈ D(A) y

Ax = Bx. ¤

Nota. La afirmacion (iii) del teorema anterior aparece explıcitamente re-

querida en las definiciones habituales de semigrupos de distribuciones, vease

[AK] y [BE2]. Hemos visto aquı que tal condicion es realmente consecuencia

de la Definicion 2.3.1 siempre que τ+α ∈ B+

α .

En el caso de grupo de distribuciones damos la siguiente definicion.

Definicion 2.3.6 Sean α > 0, τα ∈ Wα y X un espacio de Banach. Lla-

mamos grupo de distribuciones de orden α y crecimiento τα a cualquier

homomorfismo continuo de algebras Θ : T (α)(τα) → B(X) tal que

(i)⋂

f∈Dker(Θ(f)) = 0.

(ii)⋃

f∈DΘ(f)X es denso en X.

Definicion 2.3.7 Sean α > 0, τα ∈ Wα y Θ : T (α)(τα) → B(X) un grupo

de distribuciones de orden α y crecimiento τα. Llamamos generador de

Θ al operador (Θ(−δ(1)), D(Θ(−δ(1))) con D(Θ(−δ(1))) ⊂ X tal que x ∈D(Θ(−δ(1))) si existe y ∈ X verificando

Θ(f)y = Θ(−f ′)x

para toda f ∈ D y Θ(−δ(1))x := y con x ∈ D(Θ(−δ(1))).

Nota. Al igual que en el caso escalar, la derivacion de distribuciones sobre

R no involucra la evalucion en el cero.


Como es previsible, los grupos α-veces integrados son ejemplos de grupos

de distribuciones .

Proposicion 2.3.8 Sean α > 0 y τα ∈ Wα tal que τα(t) ≤ Meκ|t| para

todo t ∈ R con C y κ > 0. Sean (Tα(t))t∈R un grupo α-veces integrado, no

degenerado, tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτα(t) para todo t ∈ R, y A su generador

densamente definido. Entonces el homomorfismo Θ : T (α)(τα) → B(X) dado

por

Θ(f) =∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(t)dt

es un grupo de distribuciones de orden α y crecimiento τα cuyo generador

es una extension del operador A.

En el caso en que τα ∈ Bα se puede probar el siguiente resultado, que

caracteriza los grupos de distribuciones.

Teorema 2.3.9 Para α > 0 y τα ∈ Bα, sean Θ : T (α)(τα) → B(X) un homo-

morfismo lineal y continuo y (A,D(A)) un operador cerrado y densamente

definido. Las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) El homomorfismo Θ es un grupo de distribuciones de orden α, creci-

miento τα y generador (A,D(A)).

(ii) El operador (A,D(A)) genera un grupo α-veces integrado, (Tα(t))t∈R,tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτα(t) para todo t ∈ R y

Θ(g) =∫ ∞

−∞Wα

0 g(t)Tα(t)dt, g ∈ T (α)(τα).

(iii) El subconjunto D = Θ(D)X es denso en X y dado x ∈ D, exis-

te un funcion continua G( , x) : R → X que verifica las siguiente

condiciones.

(a) G(0, x) = x, G(t + s, x) = G(t, G(s, x)) para todo t, s ∈ R.


(b) si f ∈ T (α)(τα) entonces Θ(f)x =∫ ∞

−∞f(t)G(t, x)dt, con

∫ ∞

−∞f(t)G(t, x)dt := lim

n→∞

∫ ∞

−∞fn(t)G(t, x)dt,

donde la sucesion (fn)n∈N ⊂ D y fn → f en T (α)(τα).

Ademas, D ⊂ D(A) y Θ(f)Ax = Θ(−f ′)x para todo f ∈ D y x ∈D(A).

Potencias fraccionarias no negativas

Sea A un operador lineal y cerrado en un espacio de Banach tal que (0,∞) ⊂ρ(A) y

supλ>0

‖λ(λ−A)−1‖ < ∞.

Para ν > 0, no entero, se define la potencia fraccionaria de orden ν de −A

como

(−A)νx :=Γ(n + 1)

Γ(ν)Γ(n + 1− ν)

∫ ∞

0λν−1(λ−A)−(n+1)(−A)n+1xdλ,

si x ∈ D((−A)n+1) donde n ∈ N ∪ 0 es tal que n < ν < n + 1, vease [B],

[Ko2]. Tales operadores (−A)ν admiten una mınima extension cerrada que

denotaremos tambien por (−A)ν [B, Lemma 2.1].

Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo uniformemente

acotado, entonces se cumple que (0,∞) ⊂ ρ(A) y se define (−A)ν con ν > 0.

En este caso, Lanford y Robinson probaron que a traves de la aplicacion

Θ+ : L1(R+) → B(X) definida en (2.1) se puede expresar (−A)ν como

imagen de ciertas distribuciones temperadas, metodo que a continuacion

comentamos.

La transformada de Laplace admite extensiones a espacios de distribu-

ciones con soporte en R+, ([Do, p. 58]). En particular, si S ′+ es el conjunto


de las distribuciones temperadas, y T ∈ S ′+, entonces L(T ) es una funcion

holomorfa en C+. Recıprocamente, existen resultados de inversion de la

transformada de Laplace, ([Do, Theorem 29.2]).

Ası, se denota por δ(ν)0 la distribucion temperada sobre [0,∞) cuya trans-

formada de Laplace es zν con ν ∈ R ([Do, p. 63)]). Estas distribuciones

cumplen:

(i) δ(ν)0 ≡ t|ν|−1

Γ(|ν|)χ[0,∞)(t) para ν < 0.

δ(ν)0 ≡ −Γ(ν + 1)

sen(πν)π

P.F.χ[0,∞)(t)

tν+1para ν ∈ R+\N.

δ(n)0 para n ∈ N ∪ 0 donde 〈δ(n)

0 , φ〉 = (−1)nφ(n)(0) con φ ∈ S+.

(ii) dkδ(ν)0 = δ

(ν−k)0 con k ∈ N, donde “d” debe entenderse como derivacion

en sentido de distribuciones.

(iii) δ(ν)0 ∗ δ

(µ)0 = δ

(ν+µ)0 con ν, µ ∈ R.

Estas propiedades pueden verse en [Do, p. 63].

Lanford y Robinson extendieron Θ+ a las distribuciones temperadas lla-

madas R+-sumables (en particular a δ(ν)0 ) y comprobaron que Θ+(δ(ν)

0 ) =

(−A)ν con ν ≥ 0 [LR].

En esta subseccion suponemos que (Tα(t))t≥0 es un semigrupo α-veces

integrado de generador A tal que

‖Tα(t)‖ ≤ Ctα, t ≥ 0.

Vamos a probar que (−A)ν , ν > 0, puede obtenerse a la manera de [LR].

Para ello si Θ+ : T (α)+ (tα) → B(X) es el homomorfismo asociado a (Tα(t))t≥0,


definido en el Teorema 2.2.1, extenderemos el semigrupo de distribuciones

Θ+ a δ(ν)0 y probaremos que Θ+(δ(ν)

0 ) = (−A)ν .

Denotaremos por D0+ el conjunto de funciones indefinidamente derivables

y de soporte compacto en (0,∞). Se tiene queD+0 es denso en T (α)

+ (tα) (Notas

1.4.5 (iii)).

Definicion 2.3.10 Sea T ∈ S ′+. Diremos T es T (α)+ (tα)-sumable si T ∗ φ ∈

T (α)+ (tα) para toda φ ∈ D0

+; en el caso en que α = 0, T se llama R+-sumable

[LR].

Notas. La distribucion δ(n)0 , con n ∈ N, es T (α)

+ (tα)-sumable para todo

α > 0. Mas en general, toda distribucion de soporte compacto en [0,∞) es

tambien T (α)+ (tα)-sumable para todo α > 0.

La siguiente proposicion es un analogo de [LR, Corollary 4.2].

Proposicion 2.3.11 Sea δ(ν)0 , con ν > 0, la distribucion temperada cuya

transformada de Laplace es zν . Entonces para todo α ≥ 0,

(i) δ(ν)0 se escribe como suma de una distribucion de soporte compacto y

una funcion infinitamente derivable de T (α)+ (tα) .

(ii) δ(ν)0 es T (α)

+ (tα)-sumable.

Demostracion. (i) Sea ξ ∈ D+ igual a 1 en un entorno del origen. En-

tonces ξδ(ν)0 es una distribucion de soporte compacto en [0,∞), (1− ξ)δ(ν)

0 ∈C(∞)(0,∞) y es igual a Ct−1−ν para t suficientemente grande y C ∈ R, por

tanto (1− ξ)δ(ν)0 ∈ T (n)

+ (tn) con n ∈ N∪0. Entonces (1− ξ)δ(ν)0 ∈ T (α)

+ (tα)

debido a que T (n)+ (tn) → T (α)

+ (tα), si n ≥ α.

(ii) Dada φ ∈ D0+ entonces ξδ

(ν)0 ∗ φ ∈ D+ y (1 − ξ)δ(ν)

0 ∗ φ ∈ T (α)+ (tα) ya

que por (i) (1 − ξ)δ(ν)0 ∈ T (α)

+ (tα) y T (α)+ (tα) es una algebra de Banach por

el Teorema 1.4.4. ¤


Nota. Analogamente se comprueba que eεδ(ν)0 es un distribucion T (α)

+ (tα)-

sumable para todo ε > 0.

Sea ahora (Tα(t))t≥0, como hemos dicho antes, un semigrupo α-veces

integrado tal que

‖Tα(t)‖ ≤ Ctα, t ≥ 0,

de generador A, y sea Θ+ : T (α)+ (tα) → B(X) el homomorfismo asociado a

(Tα(t))t≥0. Recordemos que por el Ejemplo 2.2.2 (2), eε,ν ∈ T (α)+ (tα) donde

eε,ν(t) =tν−1e−εt

Γ(ν)= eεδ

(−ν)0 (t), t > 0,

con ν, ε > 0, α ≥ 0. Tenemos que Θ+(eε,ν) = (ε−A)−ν ∈ B(X).

A continuacion extendemos Θ+ a las distribuciones T (α)+ (tα)-sumables.

Definicion 2.3.12 Sea T ∈ S ′+ una distribucion T (α)+ (tα)-sumable. Se de-

nota por (Θ+(T ), D(Θ+(T )) al operador (posiblemente no acotado) tal que

D(Θ+(T )) ⊂ X, entendiendo que x ∈ D(Θ+(T )) si existe y ∈ X verificando

Θ+(T ∗ φ)x = Θ+(φ)y

para todo φ ∈ D0+. Entonces definimos Θ+(T )x := y con x ∈ D(Θ+(T )).

Notas 2.3.13 En las condiciones de la definicion anterior se cumple lo si-

guiente.

(i) El operador Θ+(T ) es cerrado y densamente definido, ya que Θ+(D0+)X ⊂

D(Θ+(T )), y para x ∈ X se tiene que

Θ+(T )Θ+(f)x = Θ+(T ∗ f)x, f ∈ D0+.

(ii) Si (B,D(B)) es un operador cerrado tal que Θ+(D0+)X ⊂ D(B) y Bx =

Θ+(T )x para todo x ∈ Θ+(D0+)X entonces D(Θ+(T )) ⊂ D(B) y Bx =


Θ+(T )x para todo x ∈ D(Θ+(T )). En efecto, existe (φ(s))0<s<1 ⊂ D0+ tal

que Θ+(φ(s))x → x para todo x ∈ X cuando s → 0. Sea x ∈ D(Θ+(T )).

Se cumple Θ+(T )Θ+(φ(s))x = BΘ+(φ(s))x para todo 0 < s < 1 y por ser B

cerrado x ∈ D(B) y B(x) = Θ+(T )x.

(iii) En el caso T = δ(1)0 la definicion anterior coincide con la Definicion 2.3.2

ya que D0+ es denso en T (α)

+ (tα), y si φ ∈ D+ entonces

δ(1)0 ∗ φ(t) = φ′(t) + φ(0)δ0.

Por el Teorema 2.3.5, se sigue que Θ+(δ(1)0 ) = −A y por tanto Θ+(δ(n)

0 ) =

(−A)n con n ∈ N.

(iv) Tambien se puede probar que Θ+(eεδ(n)0 ) = (ε−A)n con ε > 0 y n ∈ N.

El proximo teorema aparece publicado en [M1]. Aquı damos una de-

mostracion ligeramente distinta, mas directa.

Teorema 2.3.14 Sean (Tα(t))t≥0 un semigrupo α-veces integrado y tempe-

rado, (A,D(A)) su generador densamente definido, Θ+ el calculo funcional

asociado a (Tα(t))t≥0. Entonces se cumple que

(i) Θ+(eεδ(ν)0 ) = (ε−A)ν para todo ε, ν > 0.

(ii) Θ+(δ(ν)0 ) = (−A)ν para todo ν > 0.

Demostracion. (i) Sean ν, ε > 0 y n ∈ N ∪ 0 con n < ν < n + 1. Debido a

que eεδ(ν)0 = eεδ

(n+1)0 ∗ eε,n+1−ν , se deduce que

D(Θ+(eεδ(n+1)0 )) ⊂ D(Θ+(eεδ

(ν)0 )).

Como se cumple que (ε − A)n+1 = Θ+(eεδ(n+1)0 ), entonces se tiene que

D((ε−A)n+1) ⊂ D(Θ+(eεδν0 )). Si x ∈ D((ε−A)n+1), entonces


(ε−A)νx :=Γ(n + 1)

Γ(ν)Γ(n + 1− ν)

∫ ∞

0λν−1(λ + ε−A)−(n+1)(ε−A)n+1xdλ

=Γ(n + 1)

Γ(ν)Γ(n + 1− ν)

∫ ∞

0λν−1Θ+(eλ+ε,n+1)(ε−A)n+1xdλ

= Θ+(eε,n+1−ν)Θ+(eεδ(n+1)0 )x

= Θ+(eεδ(ν−n−1)0 )Θ+(eεδ

(n+1)0 )x = Θ+(eεδ

(ν)0 )x

Para el otro contenido, basta comprobar (Notas 2.3.13 (ii)) que si x ∈Θ+(D0

+)X entonces x ∈ D((ε − A)ν) y (ε − A)νx = Θ+(eεδ(ν)0 )x lo cual es

obvio ya que x ∈ D((ε−A)n+1).

(ii) Si g ∈ D0+, es inmediato comprobar que eεg → g en T (n)

+ (tn) y en

T (α)+ (tα) cuando ε → 0 para todo α > 0. Lo mismo ocurre con δ

(ν)0 ∗ g ya

que δ(ν)0 es T (α)

+ (tα)-sumable con α, ν > 0, (Proposicion 2.3.11).

Sea x ∈ D((−A)ν). Es conocido que D((−A)ν) = D((ε − A)ν) y

limε→0(ε − A)νx = (−A)νx para x ∈ D((−A)ν) ([MSM]). Se cumple apli-

cando el apartado (i) que

Θ+(δ(ν)0 ∗ g)x = lim

ε→0Θ+(eε(δ

(ν)0 ∗ g))x = lim

ε→0Θ+(eεg)Θ+(eεδ

(ν)0 )x

= Θ+(g) limε→0

Θ+(eεδ(ν)0 )x = Θ+(g) lim

ε→0(ε−A)νx = Θ+(g)(−A)νx.

De donde se deduce que D((−A)ν) ⊂ D(Θ+(δ(ν)0 ) y Θ+(δ(ν)

0 )x = (−A)νx

con x ∈ D((−A)ν) y ν > 0.

Como Θ+(D0+)X ⊂ D((−A)n+1) y (−A)νx = Θ+(δ(ν)

0 )x si x ∈ Θ+(D0+)X

entonces aplicando las Notas 2.3.13 (ii), se tiene que D(Θ+(δ(ν)0 )) ⊂ D((−A)ν)

y (−A)νx = Θ+(δ(ν)0 )x si x ∈ D(Θ+(δ(ν)

0 )). ¤


Nota. Las funciones L(eεδ(ν)0 )(s) = (ε + s)ν con s ≥ 0 y ν ∈ R fueron

consideradas por M. Jazar en [J] y R. deLaubenfels en [dLJ] para definir po-

tencias fraccionarias de operadores que generan semigrupos de distribuciones

espectrales. Extenderemos el resultado de Jazar en el proximo capıtulo.

Capıtulo 3

Semigrupos holomorfos

Las soluciones de las ecuaciones de Cauchy de primer y segundo orden,

(PCA)1 y (PCA)2, asociadas a un operador cerrado A admiten, en la mayorıa

de los ejemplos concretos, extension holomorfa en un sector abierto del plano

complejo que contiene a [0,∞). Ası, la teorıa de los C0-semigrupos se ve en-

riquecida en estos casos, en que A genera un semigrupo holomorfo ([ABHN,

Section 3.7]).

Definicion. Sean θ ∈ (0, π2 ] y Σ(θ) := z ∈ C+ : |Arg(z)| < θ. Un C0-

semigrupo (T (t))t>0 se dice holomorfo en Σ(θ) si la aplicacion t 7→ T (t)x,

(0,∞) → X admite extension holomorfa al sector Σ(θ) para todo x ∈ X.

Un C0-semigrupo holomorfo (T (z))z∈Σ(θ) se dice acotado si (T (z))z∈Σ(θ−ε)

esta uniformemente acotado en norma para todo ε ∈ (0, θ).

Es inmediato comprobar que si (T (t))t>0 admite una extension holomorfa

en Σ(θ), se verifica que T (z + z′) = T (z)T (z′) para z, z′ ∈ Σ(θ).

Dos ejemplos bien conocidos de C0-semigrupos holomorfos son los semi-

grupos de Gauss y Poisson en X = Lp(Rn) o C0(Rn) con 1 ≤ p < ∞, n ∈ N.

95

96 Capıtulo 3. Semigrupos holomorfos

Sea (Gz)z∈C+ el semigrupo gaussiano definido por

Gz(t) :=1

(4πz)n2

e−|t|2/4z, t ∈ Rn; z ∈ C+.

Se cumple que (Gz)z∈C+ ⊂ L1(Rn), actua por convolucion sobre X y es un

C0-semigrupo holomorfo cuyo generador infinitesimal es el laplaciano −∆1,

esto es,d

dz(Gz ∗ f)(t) =

n∑

i=1

∂2

∂t2i(Gz ∗ f)(t), f ∈ X,

[Si, Theorem 2.15].

El semigrupo de Poisson (P z)z∈C+ definido por

P z(t) :=Γ(n+1

2 )

πn+1

2

z

(z2 + |t|2) (n+1)2

, t ∈ Rn; z ∈ C+,

cumple que (P z)z∈C+ ⊂ L1(Rn), actua por convolucion sobre X y es un

C0-semigrupo holomorfo que da la solucion de la ecuacion de Laplace,

d2

dz2(P z ∗ f)(t) +

n∑

i=1

∂2

∂t2i(P z ∗ f)(t) = 0, f ∈ X,

[H, p. 159].

Estos semigrupos sirven de pauta para parte de la teorıa desarrollada en

este capıtulo, y permiten construir semigrupos abstractos con propiedades

especıficas, como iremos viendo.

En la primera seccion se repasan los conceptos basicos de la teorıa de

semigrupos en algebras de Banach, en particular B(X), el algebra no con-

mutativa de los operadores lineales y continuos sobre un espacio de Ba-

nach X. Se recuerda asimismo algunos resultados de generacion de C0-

semigrupos holomorfos a partir de C0-semigrupos, C0-grupos y operadores

funcion coseno.

97

Probamos en la segunda seccion que semigrupos clasicos contenidos en

las algebras L1(R+) y L1(R) pertenecen de hecho a las algebras fraccionarias

T (α)+ (τ+

α ) y T (α)(τα) respectivamente, definidas en el primer capıtulo.

En la tercera seccion, a traves de los homomorfismos de algebras Θ+ y

Θ introducidos en el capıtulo segundo, definimos C0-semigrupos holomorfos

en B(X) mediante subordinacion a los semigrupos contenidos en T (α)+ (τ+

α ) o

T (α)(τα), mencionados antes.

Estos semigrupos son holomorfos, de angulo π2 en su mayorıa. En la

cuarta seccion obtenemos una formula de paso entre la expresion de los

valores frontera del C0-semigrupo holomorfo como grupo integrado y como

grupo regularizado. Tal formula fue sugerida a partir de la de R. deLauben-

fels (Teorema 2.1.6) aunque es de distinta naturaleza.

Presentamos varios resultados sobre grupos integrados generados por los

operadores iA, −iA2 o −i(−A)12 para los que se demuestra la existencia de

un C0-semigrupo holomorfo de angulo π2 generado por A, −A2 o −(−A)

12

cuyos valores frontera inducen el grupo integrado inicial. Ademas, dado

un C0-semigrupo holomorfo de angulo π2 , se prueba que la propiedad de

acotacion en norma (HGα) (vease seccion 3.4) es equivalente a otras nociones

consideradas (Teorema 3.4.9).

En la ultima seccion, para semigrupos holomorfos que verifiquen la condi-

cion (HGα) o semejante, se introduce el calculo funcional diferenciable Φ

definido en [GP]. Se prueban las relaciones de Φ con otros homomorfismos

definidos en esta Memoria y mejoramos algunos resultados ya demostrados

en la seccion anterior. Por ultimo el calculo Φ permite dar estimaciones

precisas de las normas de ciertos operadores acotados.


3.1 Semigrupos en algebras de Banach

Los semigrupos de Gauss y de Poisson son ejemplos de semigrupos en algebras

de Banach, en este caso L1(Rn). La principal referencia que vamos a usar

sobre semigrupos en algebras de Banach es el libro de A.M. Sinclair [Si].

Sea (A, ‖ ‖) un algebra de Banach. Un semigrupo en A es una apli-

cacion t → at de un semigrupo aditivo de C, que contiene a (0,∞), en A tal

que at+r = atar para todo t, r pertenecientes al dominio de definicion del

semigrupo; analogamente se define grupo en A. Estas definiciones extienden

las de C0-semigrupo y C0-grupo en el caso de A = B(X) con X un espacio

de Banach.

La semigrupos que se trataran tienen como dominio de definicion (0,∞)

o Σ(θ) con θ ∈ (0, π2 ]. El semigrupo se dice continuo u holomorfo si la funcion

t → at lo es en la topologıa de la norma de A; en el caso de A = B(X), la

funcion considerada es t → at(x) en la topologıa de la norma de X para

todo x ∈ X. Diremos que un semigrupo esta acotado si existe M > 0 tal

que ‖at‖ ≤ M para todo t > 0, y es de contracciones si M = 1.

Si (at)t≥0 ⊂ A es un semigrupo continuo y acotado en un algebra de

Banach A, el calculo de Hille-Phillips Θ+ : L1(R+) → A,

Θ+(f) =∫ ∞

0f(t)atdt, f ∈ L1(R+),

es conocido tambien como aplicacion de Sinclair. Esta integral es una in-

tegral vectorial en sentido Bochner y Θ+ es un homomorfismo acotado de

algebras de Banach, esto es, Θ+(f ∗ g) = Θ+(f)Θ+(g) para todas f, g ∈L1(R+), y ‖Θ+(f)‖ ≤ M‖f‖1 donde M > 0 verifica que ‖at‖ ≤ M para

todo t > 0.

Si (at)t∈R ⊂ A es un grupo continuo y acotado en A, la aplicacion de

Hille-Phillips Θ : L1(R) → A,

Θ(f) =∫ ∞

−∞f(t)atdt, f ∈ L1(R),

3.1. Semigrupos en algebras de Banach 99

se conoce tambien como homomorfismo de Weyl.

A traves de Θ+ y Θ, tomando semigrupos (fz) ⊂ L1(R+) y (gz) ⊂ L1(R)

se pueden definir semigrupos en el algebra A:

bz = Θ+(fz) =∫ ∞

0fz(t)atdt

cz = Θ(gz) =∫ ∞

−∞gz(t)atdt.

Los semigrupos (bz) y (cz) se dicen subordinados al semigrupo (at)t≥0 o al

grupo (at)t∈R respectivamente.

Ejemplos 3.1.1 Algunos semigrupos y grupos en algebras de Banach que

trataremos posteriormente son los siguientes.

(1) Sea (T (t))t∈R la familia de las traslaciones en L1(R), esto es, T (t)(f) := ft

donde ft(s) = f(s − t) para s, t ∈ R y f ∈ L1(R). Se cumple que (T (t))t∈Res un C0-grupo en L1(R) [EN, Example I.5.4], y a menudo se representa

mediante los multiplicadores (δ(0)t )t∈R. La aplicacion de Sinclair asociada,

Θ : L1(R) → Mul(L1(R)), es la convolucion usual de L1(R),

(Θ(g)f)(s) =∫ ∞

−∞g(t)T (t)f(s)dt =

∫ ∞

−∞g(t)f(s−t)dt = f ∗g(s), s ∈ R.

(2) Sea H0(C+) el algebra de las funciones holomorfas en C+, continuas y

acotadas en C+. La familia de funciones (et)t≥0 con

et(z) := e−zt, z ∈ C+,

es un semigrupo en H0(C+) y la aplicacion de Sinclair asociada es la trans-

formada de Laplace, L : L1(R+) → H0(C+),

L(f)(z) =∫ ∞

0f(t)et(z)dt =

∫ ∞

0f(t)e−ztdt, f ∈ L1(R+),

con z ∈ C+ [Do].


(3) Sean Cb(R) el algebra de las funciones continuas y acotadas en R, y C0(R)

su subalgebra de las funciones cuyo lımite en ±∞ es cero. Las funciones

(eit)t∈R, donde

eit(s) := e−its, s ∈ R,

forman un grupo en el algebra Cb(R) y la aplicacion de Sinclair asociada es

la transformada de Fourier, F : L1(R) → Cb(R),

F(f)(s) =∫ ∞

−∞f(t)e−itsdt, f ∈ L1(R),

con s ∈ R. Como es conocido, el rango de F esta contenido, de hecho, en

C0(R). Denotaremos por F−1 la transformada inversa de Fourier dada por

F−1(f)(s) =∫ ∞

−∞f(t)eitsdt, f ∈ L1(R).

Se cumple que F ,F−1 : L2(R) → L2(R), y FF−1 = 2πId.

(4) Sea Σ(π4 ) := z ∈ C : |Arg(z)| < π

4 y (cz)z∈Σ(π4) el semigrupo definido

mediante la expresion

cz(r) :=z

2√

πr−3/2e−z2/4r, r > 0, (3.1)

donde z ∈ Σ(π4 ). Resulta que (cz)z∈Σ(π

4) es un semigrupo holomorfo en el

algebra L1(R+) y cumple que

‖cz‖1 =( |z|2<z2

) 12

, con z ∈ Σ(π

4).

Por tanto (ct)t>0 es un semigrupo de contracciones en L1(R+) [Si, p. 20].

Denotaremos por C : L1(R+) → L1(R+) la aplicacion de Sinclair, asocia-

da al semigrupo (ct)t>0,

C(f)(r) :=∫ ∞

0f(t)ct(r)dt =

r−32

2√

π

∫ ∞

0f(t)te−

t2

4r dt, (3.2)


donde r > 0 y f ∈ L1(R+). Notemos que L(cz)(w) = e−w√

z para z ∈ Σ(π4 ),

w ∈ C+, y que

L(C(f))(w) = L(f)(√

w), si w ∈ C+, f ∈ L1(R+).

(5) El semigrupo de Poisson (P z)z∈C+ es un semigrupo holomorfo en el

algebra L1(R) que cumple ‖P t‖1 = 1 para t > 0 y

‖P z‖1 ≤ C log(2 +|z|<z

), <z > 0.

Ademas F(P z)(ξ) = e−z|ξ| para ξ ∈ R ([Si, p.29]).

Se llama transformada del potencial de Widder a la aplicacion de Sinclair

asociada al semigrupo (P t)t>0 y P : L1(R+) → L1(R) tal que

P(f)(r) :=∫ ∞

0f(t)P t(r)dt =

1π

∫ ∞

0f(t)

t

r2 + t2dt, r ∈ R, f ∈ L1(R+).

Esta transformada fue introducida por D. V. Widder en [Wi] (donde

probo teoremas de inversion usando series) y permite obtener desarrollos

asintoticos de ciertas funciones. En los anos noventa, se publicaron una

serie de trabajos mostrando relaciones entre esta transformada y otras mas

conocidas, vease por ejemplo [SY].

Si f ∈ L1(R+), se cumple que

F(P(f))(t) = L(f)(t), t ≥ 0, (3.3)

(ver, por ejemplo, [Sr]).

(6) El semigrupo gaussiano (Gz)<z>0 es un semigrupo holomorfo en L1(R)

que cumple

‖Gz‖1 = (|z|<z

)12 , z ∈ C+.

Ademas, F(Gz)(ξ) = e−zξ2para ξ ∈ R ([Si, p. 25]).


Se llama transformada gaussiana a la aplicacion de Sinclair asociada al

semigrupo (Gt)t>0. Ası, G : L1(R+) → L1(R) tal que

G(f)(r) :=∫ ∞

0f(t)Gt(r)dt =

∫ ∞

0f(t)

1√4πt

e−r2/4tdt, r ∈ R, f ∈ L1(R+).

Esta transformada ha sido considerada en variadas aplicaciones fısicas y

quımicas, como por ejemplo en el estudio de orbitales atomicos de tipo gaus-

siano ([SK]).

Algunos de los semigrupos anteriores, al pertenecer a las algebras L1(R+)

y L1(R), permiten definir por subordinacion semigrupos holomorfos.

(1) Sea (T (t))t>0 un C0-semigrupo en B(X) tal que ‖T (t)‖ ≤ C para t > 0,

de generador infinitesimal A . Mediante el homomorfismo Θ+ : L1(R+) →B(X) (ver (2.1)), podemos definir un C0-semigrupo holomorfo de angulo π

4

generado por −(−A)1/2 (vease seccion 2.3 para la definicion de −(−A)1/2),

(Θ+(cz))z∈Σ(π4) ,

Θ+(cz) =∫ ∞

0cz(s)T (s)ds, z ∈ Σ(

π

4). (3.4)

Se cumple que ‖Θ+(cz)‖ ≤ C|z|

(<z2)1/2, si z ∈ Σ(π

4 ) ([ABHN, Proposition

3.8.2]).

(2) Si (T (t))t∈R ⊂ B(X) es un C0-grupo tal que ‖T (t)‖ ≤ C para t ∈ R,

y A es su generador infinitesimal, a traves del homomorfismo de algebras

Θ : L1(R) → B(X) (definido en (2.2)), se prueba que A2 genera un C0-

semigrupo holomorfo de angulo π2 (Θ(Gz))<z>0, siendo

Θ(Gz) =∫ ∞

−∞Gz(t)T (t)dt, <z > 0, (3.5)

que cumple ‖Θ(Gz)‖ ≤ C

( |z|<z

)1/2

, si <z > 0 ([ABHN, Corollary 3.7.15]).


(3) Si A genera un operador funcion coseno (C(t))t>0, entonces A genera

un C0-semigrupo holomorfo (T (z))<z>0 dado por la formula abstracta de

Weierstrass,

T (z)x =1√πz

∫ ∞

0e−s2/4zC(s)xds, (3.6)

con x ∈ X y <z > 0. Si ademas, (C(t))t>0 verifica ‖C(t)‖ ≤ M para t > 0,

se tiene

‖T (z)‖ ≤ M

( |z|<z

)1/2

, <z > 0

[G]. En el caso de operadores funcion coseno n-veces integrados con n ∈ Ntambıen existe una formula abstracta de Weierstrass, segun probo V. Keyan-

tuo:

Teorema 3.1.2 ([K, Proposition 2.5, Theorem 2.6]) Sea A un operador

lineal densamente definido y generador de un operador funcion coseno n-

veces integrado (Cn(t))t>0 con n ∈ N. Entonces A genera un semigrupo

holomorfo (T (z))<z>0 tal que

T (z)x =1

2n√

πzn+1

2

∫ ∞

0Hn(

s

2√

z)e−s2/4zCn(s)xds, <z > 0,

donde Hn es el polinomio de Hermite de grado n, y x ∈ X. Ademas si

‖Cn(t)‖ ≤ Mtn, entonces

‖T (z)‖ ≤ C(|z|<z

)n+ 12 , <z > 0.

(4) De manera analoga, si (C(t))t≥0 es un operador funcion coseno generado

por A tal que ‖C(t)‖ ≤ M para t ≥ 0, se define B = −(−A)12 y entonces es

conocido que B genera un C0-semigrupo holomorfo de angulo π2 dado por

TB(z)x =2π

∫ ∞

0

z

z2 + s2C(s)xds = 2

∫ ∞

0P z(s)C(s)xds

con x ∈ X [KV].

En la seccion 3.3 daremos extensiones de todos estos resultados.


3.2 Semigrupos en algebras de derivacion

fraccionaria

Esta seccion es importante para el resto de la Memoria, porque en ella

probamos que los semigrupos citados en los Ejemplos 3.1.1, pertenecientes

a las algebras L1(R+) y L1(R), de hecho caen, en cada caso, en subalgebras

como T (α)+ (τ+

α ) o T (α)(τα) definidas en la seccion 1.4. Esta propiedad es

fundamental.

Como consecuencia inmediata se obtiene que las transformadas integrales

o aplicaciones de Sinclair (o de Weyl) asociadas a estos semigrupos (o grupos)

tienen rango en las algebras fraccionarias consideradas.

Semigrupos de funciones definidas en (0,∞)

(1) Vamos a ver que las algebras AC(ν) y AC(µ)2,1 son rangos de la transfor-

mada de Laplace.

Sea (et)t>0 el semigrupo exponencial en el algebra H0(C+) tratado en los

Ejemplos 3.1.1 (2) y (ez)<z>0 el semigrupo exponencial ez(t) := e−zt, t > 0.

Proposicion 3.2.1 Se cumple que (ez)<z>0 es un semigrupo holomorfo en

AC(µ)2,1 con

‖ez‖(µ),2,1 ≤ Cµ

( |z|<z

)µ

, z ∈ C+,

con µ > 12 . Por tanto L : L1(R+) → AC

(µ)2,1 → AC(µ) verificandose que

‖L(f)‖(µ) ≤ ‖f‖1 para toda f ∈ L1(R+) y µ ≥ 1.

Demostracion. Por el Ejemplo 1.1.5 (i), Wµ+(ez)(s) = zµez(s) y por tanto

‖ez‖(µ),2,1 ≤ |z|µ∫ ∞

0

(∫ 2r

rs2µe−2s<z ds

s

) 12 dr

r≤ Cµ

( |z|<z

)µ

,

3.2. Semigrupos en algebras de derivacion fraccionaria 105

con µ > 12 . Por tanto (et)t>0 es un semigrupo acotado en el algebra AC

(µ)2,1 si

µ > 12 , y en consecuencia L(f) ∈ AC

(µ)2,1 para toda f ∈ L1(R+). Debido a que

se da la inclusion continua AC(µ)2,1 → AC(µ), entonces L : L1(R) → AC(µ)

para µ ≥ 1. Es inmediato probar que ‖et‖(µ) = 1, y por tanto

‖L(f)‖(µ) ≤ ‖f‖1, f ∈ L1(R+),

si µ ≥ 1.

Por ultimo, debido a la inclusion continua AC(ν+ 12) → AC

(µ)2,1 para ν >

µ > 12 , la holomorfıa de la aplicacion z ∈ Σ(π

2 ) 7→ ez ∈ AC(µ)2,1 se sigue de

la holomorfıa de z ∈ Σ(π2 ) 7→ ez ∈ AC(ν+ 1

2), la cual es equivalente a la

holomorfıa de z ∈ Σ(π2 ) 7→ W

ν+ 12

+ (ez) ∈ L1(R+, tν−12 ) y esta se da por [Si,

Lemma 2.7]. ¤

(2) Para el semigrupo (cz)z∈Σ(π4) de Ejemplos 3.1.1 (4) tenemos lo siguiente.

Teorema 3.2.2 Sean α ≥ 0 y 0 ≤ β < 12 . Entonces (cz)z∈Σ(π

4) es un

semigrupo holomorfo en T (α)+ (tα(1 + tβ)), siendo

qtα(1+tβ)(cz) ≤ Cα,β

( |z|2<z2

)[α]+ 32

(1 + (<z2)β), z ∈ Σ(π

4).

Por tanto, se tiene que C : L1(R+, (1 + s)2β)) → T (α)+ (tα(1 + tβ)) para α ≥ 0

y 0 ≤ β < 12 .

Demostracion. Para n ∈ N se prueba por inducccion que

(cz)(n)(r) =n∑

j=0

cj,nz

(z2

4

)j

r−( 32+n+j)e−

z2

4r ,

con cj,n ∈ R y z ∈ Σ(π4 ). Por tanto, si z = x + iy,

qtn(1+tβ)(cz) ≤ C

n∑

j=0

|z|2j+1

∫ ∞

0r−( 3

2+j)(1 + rβ)|e− z2

4r |dr

= Cn∑

j=0

|z|2j+1

∫ ∞

0uj− 1

2 (1 + u−β)e−(x2−y2)

4udu,


donde se ha realizado el cambio de variable u = 1r . Por tanto, se cumple

qtn(1+tβ)(cz) ≤ Cn(1 + (x2 − y2)β)

(x2 + y2

x2 − y2

)n+ 12

,

con z = x + iy ∈ Σ(π4 ). Si α 6∈ N basta tomar n = [α] + 1 y se tiene que

qtα(1+tβ)(cz) ≤ qtn(1+tβ)(c

z) ≤ Cn(1 + (<z2)β)( |z|2<z2

)[α]+ 32

.

La holomorfıa de la aplicacion z ∈ Σ(π4 ) 7→ cz ∈ T (α)

+ (tα(1 + tβ)) se sigue de

la de la aplicacion z ∈ Σ(π4 ) 7→ cz ∈ T (n)

+ (tn(1 + tβ)) la cual es equivalente a

la de z ∈ Σ(π4 ) 7→ (cz)(n) ∈ L1(R+, tn(1+ tβ)) y esta da por [Si, Lemma 2.7].

Si s > 0 se cumple qtα(1+tβ)(cs) ≤ Cα(1 + s2β) y por tanto

C : L1(R+, (1 + s)2β) → T (α)+ (tα(1 + tβ)),

para α ≥ 0 y 0 ≤ β < 12 . ¤

Notas. La acotacion obtenida de qtα(1+tβ)(cz) no es tan precisa como se

deberıa esperar debido al uso de la derivacion entera en lugar de la derivacion

fraccionaria. Sin embargo es suficiente para probar resultados posteriores,

como el Teorema 3.3.1.

El valor de c0,n, calculado inductivamente, es igual a

c0,n = (−1)n (2n + 1)!22n+1

√πn!

.

Semigrupos de funciones definidas en R

(3) El Teorema siguiente, Teorema 3.2.4, relativo al semigrupo de Pois-

son, ası como el correspondiente al semigrupo de Gauss, Teorema 3.2.6, se

aplicaran en el proxima seccion.


Lema 3.2.3 [GP, p. 348]. Sean α > 0 y β > max1, α/2. Entonces,∫ ∞

0

|z|rα−1

|z2 + r2|β dr ≤ Cα,β|z|α−β

(<z)β−1, <z > 0.

Teorema 3.2.4 Sean α > 0, β ∈ [0, 1), y (P z)z∈C+ el semigrupo de Pois-

son en L1(R). Entonces (P z)z∈C+ es un semigrupo holomorfo en el algebra

T (α)(|t|α(1 + |t|β)), siendo

q|t|α(1+|t|β)(Pz) ≤ Cα,β(

|z|<z

)α(1 + |z|β), si z ∈ C+.

Por tanto se tiene que P : L1(R+, (1 + s)β) → T (α)(|t|α(1 + |t|β)) es un

homomorfismo acotado de algebras de Banach si α ≥ 0 y β ∈ [0, 1).

Demostracion. Debido a que P z(t) = P z(−t) para t ∈ R, la Proposicion

1.1.2 se cumple y Wα−(P z)(t) = Wα+(P z)(−t), para t < 0. Ası, basta probar

que∫ ∞

0|Wα

+(P z)(t)|tα(1 + tβ)dt ≤ Cα(|z|<z

)α(1 + |z|β), z ∈ C+.

Se tiene que

P z(t) =1π

z

z2 + t2=

12πi

(1

t− iz− 1

t + iz

),

y entonces, Ejemplo 1.1.5 (iii),

Wα+(P z)(t) =

Γ(α + 1)2πi

(1

(t− iz)α+1− 1

(t + iz)α+1

),

para t ≥ 0 y z ∈ C+. Por tanto

q|t|α(1+|t|β)(Pz) ≤ Cα

∫ ∞

0tα(1 + tβ)

|(t + iz)α+1 − (t− iz)α+1||t2 + z2|α+1

dt.

Por otro lado, para cada t > 0 la funcion f(w) = (t + iw)α es holomorfa en

C\i[t,+∞) y se obtiene la cota

|(t + iz)α+1 − (t− iz)α+1| = (α + 1)|∫

[−z,z](t + iw)αdw|

≤ Cα|z|(tα + |z|α),


de donde se deduce que

q|t|α(1+|t|β)(Pz) ≤ Cα

∫ ∞

0

|z|tα(tα + |z|α)|z2 + t2|α+1

dt + Cα

∫ ∞

0

|z|tα+β(tα + |z|α)|z2 + t2|α+1

dt.

Por el Lema 3.2.3 se concluye q|t|α(1+|t|β)(Pz) ≤ Cα,β(

|z|<z

)α(1 + |z|β), con

<z > 0.

La holomorfıa de la aplicacion z ∈ C+ 7→ P z ∈ T (α)(|t|α(1 + |t|β)) es

equivalente a la holomorfıa de z ∈ C+ 7→ Wα0 (P z) ∈ L1(R, |t|α(1 + |t|β)) la

cual se da por [Si, Lemma 2.7]. ¤

(4) Consideramos ahora el semigrupo gaussiano (Gz)z∈C+ sobre R. El si-

guiente teorema reune algunos resultados conocidos sobre este semigrupo y

su transformada integral asociada ([Si]).

Teorema 3.2.5 Sea (Gz)<z>0 el semigrupo gaussiano. Se cumple:

(i) e−a2z = 2∫∞0 cos(ax)Gz(x)dx para a ∈ R y z ∈ C+.

(ii) P z = G(cz) para z ∈ Σ(π4 ), en L1(R).

(iii) L(f)(ξ2) = F(G(f))(ξ) para ξ ∈ R y f ∈ L1(R+).

(iv) P(f) = G(C(f)) para f ∈ L1(R+).

(v) 2∫∞0 e−λtGt(s)dt = e−

√λs/√

λ con λ, s > 0.

Demostracion. (i) y (iii) son consecuencias inmediatas de

F(Gz)(ξ) = e−zξ2, ξ ∈ R.

La parte (ii) esta probada en [Si, p. 29], (iv) es consecuencia de (ii) y (v) se

encuentra en [ABHN, Proposition 1.6.8]. ¤


Teorema 3.2.6 Sean α ≥ 0, τα ∈ Wα tal que τα(t) ≤ Meκ|t| (t ∈ R) con

M, κ > 0, y (Gz)z∈C+ el semigrupo gaussiano. Se cumple que (Gz)<z>0 es

un semigrupo holomorfo en T (α)(τα) y ademas

qτα(Gz) ≤ Cαeκ2|z|2<z

(|z| 12

|z|α2 (<z)12

+|z|α+ 1

2

(<z)α+ 12

+|z| 12

(<z)α2+ 1

2

), z ∈ C+.

En particular, se tienen los siguientes casos, para z ∈ C+ y t ∈ R.

(i) Si τα(t) = |t|β(1 + |t|)ν con β ∈ [0, α] y ν ≥ α− β, entonces

qτα(Gz) ≤ Cα|z|β+ ν

2+ 1

2 (1 + |z| ν2 )

(<z)12(α+β+ν+1)

.

(ii) Si τα ∈ Bα y τα(t) ≤ C|t|αeλ|t| con C, λ > 0, entonces

qτα(Gz) ≤ Cαeλ2|z|2<z

((|z|<z

)α+ 12 + λα |z|

32α+ 1

2

(<z)α+ 12

+ λ2α |z|3α+ 12

(<z)2α+ 12

).

(iii) Si τα(t) = |t|α, entonces q|t|α(Gz) ≤ Cα(|z|<z

)α+ 12 . Ası, la aplicacion

G : L1(R+) → T (α)(|t|α) es un homomorfismo acotado de algebras de

Banach para todo α ≥ 0.

Demostracion. Debido a que Gz(t) = Gz(−t) para t ∈ R, la Proposicion 1.1.2

se cumple y entonces Wα−(Gz)(t) = Wα+(Gz)(−t), para t < 0. Ası, basta con

probar las cotas pertinentes para la integral∫ ∞

0|Wα

+(Gz)(t)| τ+α (t)dt

si z ∈ C+ y τ+α ∈ W+

α . Por la Proposicion 1.1.3 (iii) y el Teorema 1.2.3 se

cumple que, para z > 0,

Wα+(Gz)(t) =

1√4πz

Wα+(e−( r

2√

z)2)(t) =

1

2α+1√

πzα+1

2

Hα(t

2√

z)e−

t2

4z ,


con t ≥ 0, y, por holomorfıa, para z ∈ C+. Por tanto al aplicar (1.12), se

obtiene

qτ+α

(Gz) ≤ 1

2α√

π|z|α+12

∫ ∞

0|Hα(

t

2√

z)|e−t2<z/4|z|2τ+

α (t)dt

≤ Cα

|z|α+12

∫ ∞

0(1 +

tα

2α|z|α2 )e−t2<z/4|z|2eκtdt.

Completando cuadrados en la exponencial y haciendo el cambio de variable

t√<z

2|z| −κ|z|√<z

= u, se obtiene la cota

qτα(Gz) ≤ Cαeκ2|z|2<z

(|z| 12

|z|α2 (<z)12

+|z|α+ 1

2

(<z)α+ 12

+|z| 12

(<z)α2+ 1

2

), z ∈ C+.

Los apartados (i), (ii) y (iii) se prueban de forma analoga. En particular

en (iii), debido a que q|t|α(Gs) ≤ Cα, para todo s ≥ 0 se concluye que

G : L1(R+) → T (α)(|t|α) con α ≥ 0.

La holomorfıa de la aplicacion z ∈ C+ 7→ T (α)(τα) se demuestra a partir

de [Si, Lemma 2.7]. ¤

3.3 Semigrupos holomorfos subordinados

En esta seccion volvemos a considerar los homomorfismos de algebras Θ+ :

T (α)+ (τ+

α ) → B(X) y Θ : T (α)(τα) → B(X) asociados a semigrupos y grupos

integrados respectivamente, como en la seccion 2.2. A traves de Θ+ y Θ

definiremos C0-semigrupos holomorfos en B(X) mediante subordinacion a

los semigrupos holomorfos (cz)z∈Σ(π4) en T (α)

+ (τ+α ) y (P z)z∈C+ , (Gz)z∈C+ , en

T (α)(τα).

Este planteamiento tiene su antecendente en el caso de C0-semigrupos

y de C0-grupos, vease (3.4) y (3.5). El Teorema 3.3.1 para el semigrupo

(cz)z∈Σ(π4) y el Teorema 3.3.2 para (Gz)z∈C+ son las naturales extensiones

de estos resultados a semigrupos y grupos integrados. El Teorema 3.3.3

3.3. Semigrupos holomorfos subordinados a familias integradas 111

es consecuencia de los dos anteriores y del mismo tipo, correspondiendo al

semigrupo (P z)z∈C+ .

Por ultimo, se dan dos teoremas de subordinacion de semigrupos holo-

morfos a funciones coseno α-veces integradas. En el primero, se da una

formula de Weierstrass abstracta mediante las funciones de Hermite de or-

den fraccionario definidas en la seccion 1.2, mientras que en el segundo se

emplean las derivadas del semigrupo (P z)z∈C+ .

Teorema 3.3.1 Sean α ≥ 0, 0 ≤ β < 12 y A el generador densamente

definido de un semigrupo α-veces integrado (Tα(t))t>0 tal que

‖Tα(t)‖ ≤ Ctα(1 + tβ), t > 0.

Entonces −(−A)1/2 genera un C0-semigrupo holomorfo (Θ+(cz))z∈Σ(π4) tal

que

‖Θ+(cz)‖ ≤ C(1 + (<z2)β)( |z|2<z2

)[α]+ 32

, z ∈ Σ(π

4),

donde Θ+ es el homomorfismo de algebras definido en el Teorema 2.2.1.

Ademas se cumple que

Θ+(C(f)) =∫ ∞

0f(s)Θ+(cs)ds, f ∈ L1(R+, (1 + s)2β),

con 0 ≤ β < 12 .

Demostracion. Por el Teorema 3.2.2, el semigrupo (cz)z∈Σ(π4) pertenece al

algebra T (α)+ (tα(1+tβ)) y podemos considerar la familia (Θ+(cz))z∈Σ(π

4), que

verifica

‖Θ+(cz)‖ ≤ C(1 + (<z2)β)( |z|2<z2

)[α]+ 32

, si z ∈ Σ(π

4).

Se cumple que∫∞0 c1(r)dr = 1 y ademas cs(r) = (

1s2

)c1(r

s2) con r, s > 0.

Argumentando como en [BE1, Proposition III.2], se prueba que

Θ+(cs)x → x, si s → 0.


Por tanto (Θ+(cz))z∈Σ(π4) es un C0-semigrupo (holomorfo).

Si f ∈ L1(R+, (1 + s)2β), entonces C(f) ∈ T (α)+ (tα(1 + tβ)) y por la

continuidad de Θ+, se cumple que∫ ∞

0f(t)Θ+(ct)xdt = Θ+(

∫ ∞

0f(t)ctdt)x = Θ+(C(f))x, x ∈ X.

Por ultimo, calculemos el generador infinitesimal de (Θ+(ct))t>0. Sea

B el generador infinitesimal de (Θ+(cz))z∈Σ(π4). Si n = [α] + 1 entonces

definimos el semigrupo n-veces integrado (Tn(t))t≥0 como en la Proposicion

2.1.2. Se cumple que ‖Tn(r)‖ ≤ Crn(1 + rβ) para todo r ≥ 0 y

Θ+(cz) = (−1)n

∫ ∞

0(cz)(n)(r)Tn(r)dr,

donde

(cz)(n)(r) =n∑

j=0

cj,nz

(z2

4

)j

r−( 32+n+j)e−

z2

4r ,

(vease la demostracion del Teorema 3.2.2).

Se tiene que (0,∞) ⊂ ρ(A) debido a que ‖Tn(t)‖ ≤ Ctn(1 + tβ), (t > 0).

Para x ∈ D(A), derivando bajo el signo integral se sigue que

BΘ+(ct)x =d

dt(Θ+(ct)x) = (−1)n

∫ ∞

0

d

dt(ct)(n)(r)Tn(r)xdr, t > 0.

Como∫∞0 ct(r)dr = 1, para todo t > 0 entonces

∫∞0

ddt(c

t)(n)(r) rn

n! xdr = 0 y

por tanto

BΘ+(ct)x = (−1)n

∫ ∞

0

d

dt(ct)(n)(r)(Tn(r)x− rn

n!x)dr.

Como ‖(Tn(r)x − rn

n! )x‖ ≤ Crn+1(1 + rβ)‖Ax‖, (vease la Proposicion 2.1.3

(i)), por el Teorema de la Convergencia Dominada, x ∈ D(B) y se obtiene

que

Bx = (−1)n

∫ ∞

0

c0,n

r32+n

(Tn(r)x− rn

n!x)dr

= (−1)n

∫ ∞

0

c0,n

Γ(32 + n)

∫ ∞

0λn+ 1

2 e−λrdλ(Tn(r)x− rn

n!x)dr.


Notese que c0,n = (−1)n (2n + 1)!22n+1

√πn!

y que Γ(32 +n) = (−1)nπc0,n. Por tanto

Bx =1π

∫ ∞

0λn+ 1

2 (∫ ∞

0e−λrTn(r)xdr −

∫ ∞

0e−λr rn

n!xdr)dλ

=1π

∫ ∞

0λ

12 (R(λ,A)x− λ−1x)dλ

=1π

∫ ∞

0λ−1/2R(λ,A)Axdλ = −(−A)1/2x.

Por lo tanto B extiende a −(−A)1/2. Por otro lado, el operador B + i

es inversible (ya que B genera un semigrupo holomorfo polinomialmente

acotado) y tambien i− (−A)1/2 es inversible ya que I −A es inversible y se

da la igualdad

I −A = ((−A)1/2 − i)((−A)1/2 + i).

Se prueba que D(B) ⊂ D(−(−A)1/2) y −(−A)1/2 extiende a B. Por lo tanto

se concluye que B = −(−A)1/2. ¤

El siguiente teorema extiende la igualdad (3.5) al caso de grupos α-veces

integrados.

Teorema 3.3.2 Sean α ≥ 0 y A el generador de un grupo α-veces integrado

(Tα(t))t∈R tal que ‖Tα(t)‖ ≤ Cτα(t), para t ∈ R y τα ∈ Bα. Entonces A2

genera un C0-semigrupo holomorfo (Θ(Gz))<z>0, donde Θ es el homomor-

fismo de algebras definido en el Teorema 2.2.6, tal que

‖Θ(Gz)‖ ≤ Cαeλ2|z|2<z

((|z|<z

)α+ 12 + λα |z|

32α+ 1

2

(<z)α+ 12

+ λ2α |z|3α+ 12

(<z)2α+ 12

),

con τα(t) ≤ C|t|αeλ|t| (t ∈ R) con C, λ > 0.

Demostracion. Por el Teorema 3.2.6, (Gz)<z>0 ⊂ T (α)(τα) y podemos con-

siderar

Θ(Gz) =∫ ∞

−∞Wα

0 (Gz)(s)Tα(s)ds, <z > 0.


Se cumple que∫∞−∞G1(s)ds = 1 y si t > 0 entonces Gt(s) = 1√

tG1( s√

t) con

s ∈ R. Aplicando [BE1, Proposition III.2] se tiene que

limt→0

Θ(Gt)x = x, x ∈ X.

Por tanto (Θ(Gz))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo de angulo π/2, que

por Teorema 3.2.6 (ii) cumple

‖Θ(Gz)‖ ≤ Cαeλ2|z|2<z

((|z|<z

)α+ 12 + λα |z|

32α+ 1

2

(<z)α+ 12

+ λ2α |z|3α+ 12

(<z)2α+ 12

),

con τα(s) ≤ C|s|αeλ|s| (s ∈ R) con C, λ > 0.

Calculemos el generador de (Θ(Gz))<z>0. Ya que

Wα+(Gz)(s) = Wα

−(Gz)(−s), s ≥ 0,

entonces se tiene que

Θ(Gz) =∫ ∞

0Wα

+(Gz)(s)Tα(s)ds +∫ ∞

0Wα

+(Gz)(s)Tα(−s)ds.

Sea κ0 tal que ‖Θ(Gt)‖ ≤ Ceκ0t para todo t > 0. Si κ > κ0 y x ∈ X, se

cumple que∫ ∞

0e−κtΘ(Gt)xdt =

∫ ∞

0e−κt

∫ ∞

0Wα

+(Gt)(s)(Tα(s)x + Tα(−s)x)dsdt

=∫ ∞

0(Tα(s)x + Tα(−s)x)

∫ ∞

0e−κtWα

+(Gt)(s)dtds.

Se prueba que∫ ∞

0e−κtWα

+(Gt)(s)dt = Wα+(

∫ ∞

0e−κtGtdt)(s)

para s > 0 y por el Teorema 3.2.5 (v) se sigue que

Wα+(

∫ ∞

0e−κtGtdt)(s) = Wα

+(e−s

√κ

2√

κ)(s)


si s > 0. Por los Ejemplos 1.1.5 (i), demostramos que∫ ∞

0e−κtWα

+(Gt)(s)dt =12(√

κ)α−1e−√

κs,

si s > 0. Por lo tanto se cumple que∫ ∞

0e−κtΘ(Gt)xdt =

∫ ∞

0(Tα(s)x + Tα(−s)x)

12(√

κ)α−1e−√

κsds

=1

2√

κ(R(

√κ, A)x + R(

√κ,−A)x) = R(κ,A2)x,

lo que implica que (Θ(Gz))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo generado por

A2. ¤

Notas. (i) En el caso de que τα ∈ Wα\Bα, el semigrupo holomorfo que

se obtiene no es necesariamente fuertemente continuo en el origen (e.g.

Proposicion 3.4.7).

(ii) Si τα(t) = |t|α, por el Teorema 3.2.6 se cumple que

‖Θ(Gz)‖ ≤ C

( |z|<z

)α+ 12

, <z > 0.

Si f ∈ L1(R+), entonces G(f) ∈ T (α)(|t|α) y por la continuidad de Θ se sigue

que∫ ∞

0f(t)Θ(Gt)xdt = Θ(

∫ ∞

0f(t)Gtdt)x = Θ(G(f))x, x ∈ X.

El siguiente resultado sobre el semigrupo de Poisson (P z)z∈C+ es conse-

cuencia de los dos teoremas anteriores.

Teorema 3.3.3 Sean α > 0, 0 ≤ β < 1 e iA el generador de un grupo

α-veces integrado (Tα(t))t∈R tal que ‖Tα(t)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β), para t ∈ R.

Entonces −(A2)1/2 genera un C0-semigrupo holomorfo (Θ(P z))<z>0 tal que

‖Θ(P z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

(1 + |z|β), <z > 0,


donde Θ es el homomorfismo definido en el Teorema 2.2.6. Se cumple que

Θ(P(f)) =∫ ∞

0f(t)Θ(P t)dt, f ∈ L1(R+, (1 + s)β).

Ademas, si σ(A) ⊂ (−∞, 0) entonces −(A2)1/2 = A.

Demostracion. Por el Teorema 3.2.4, (P z)z∈C+ ⊂ T (α)(|t|α(1+ |t|β)) si α > 0

y β ∈ [0, 1). Es claro entonces que (Θ(P z))z∈C+ es un semigrupo holomorfo

en B(X) tal que

‖Θ(P z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

(1 + |z|)β, <z > 0.

Como∫∞−∞ P 1(s)ds = 1 y P t(s) = 1

t P1( s

t ) con s ∈ R, se cumple que

limt→0

Θ(P t)x = x, x ∈ X,

y por tanto (Θ(P z))z∈C+ es un C0-semigrupo holomorfo.

Para identificar el generador infinitesimal de (Θ(P z))z∈C+ combinamos

los dos teoremas anteriores. Por el Teorema 3.3.2, −A2 genera un C0-

semigrupo holomorfo (Θ(Gz))z∈C+ que cumple, por el Teorema 3.2.6 (i),

que

‖Θ(Gz)‖ ≤ M

( |z|<z

)α+β2+ 1

2

(1 + |z|)β2 , z ∈ C+.

Del Teorema 3.3.1 para el C0-semigrupo (Θ(Gt))t≥0 ya que ‖Θ(Gt)‖ ≤C(1 + t)

β2 , se deduce que −(A2)1/2 genera un C0-semigrupo holomorfo de

angulo π4 dado por la expresion integral

∫ ∞

0cz(s)Θ(Gs)xds = Θ(

∫ ∞

0cz(s)Gsxds) = Θ(G(cz))x = Θ(P z)x

con x ∈ X y z ∈ Σ(π4 ). Por tanto −(A2)

12 es el generador infinitesimal de

(Θ(P z))z∈C+ .


Se cumple que P(f) ∈ T (α)(|t|α(1+|t|β)) si f ∈ L1(R+, (1+s)β), Teorema

3.2.4. Por la continuidad de Θ, se tiene que∫ ∞

0f(t)Θ(P t)xdt = Θ(

∫ ∞

0f(t)P tdt)x = Θ(P(f))x,

para todo x ∈ X.

Debido a la acotacion ‖Tα(t)‖ ≤ C|t|α(1+ |t|β), para t ∈ R se cumple que

σ(A) ⊂ R. Supongamos ahora que σ(A) ⊂ (−∞, 0). Probaremos primero

que

sup<λ≥0

‖λR(λ,A)‖ < ∞.

Por la formula de la resolvente y debido a que σ(A) ⊂ (−∞, 0) se da

la acotacion sups∈R ‖sR(is, A)‖ < ∞. Tomemos n > α y consideremos

(Tn(t))t∈R definido en la Proposicion 2.1.2 y ‖Tn(t)‖ ≤ C|t|n(1 + |t|β) para

t ∈ R. Sean λ = reiφ con φ ∈ (0, π/2], y r ≥ 1. Entonces tenemos que

‖λR(λ, A)‖ = ‖ − iλR(−iλ,−iA)‖ = |λ|n+1‖∫ ∞

0eiλtTn(−t)dt‖

≤ C|λ|n+1

∫ ∞

0e−=λttn(1 + tβ)dt ≤ C(n + 1)!

(senφ)n+2.

Analogamente se prueba para λ = reiφ con φ ∈ [−π/2, 0) que

‖λR(λ,A)‖ ≤ M

|senφ|n+2, <λ ≥ 0.

Por [ABHN, Proposition 3.9.12] se deduce que sup<λ≥0 ‖λR(λ,A)‖ < ∞.

Por ultimo, aplicando [Ko1, Theorem 10.6] se concluye que

−(A2)1/2 = −((−A)2)1/2 = −(−A) = A. ¤

Notas. En general se cumple que el operador −(A2)12 6= A. Consideremos el

C0-grupo de traslaciones en Lp(R) con 1 ≤ p < ∞ dado por T (t)f(s) = f(s−t) con t ∈ R, (Ejemplos 3.1.1 (1)). El generador infinitesimal de (T (t))t∈Res el operador derivacion A = − d

ds , [EN, Example II.2.10]. El operador


A2 = d2

ds2 = −∆ es el generador infinitesimal del semigrupo (Gz)<z>0 y su

raız cuadrada −(−∆)12 es el generador infinitesimal del semigrupo de Poisson

(P z)<z>0 [Yo, p. 268].

M. Jazar probo que si iA genera un grupo n-veces integrado temperado

y σ(A) ⊂ (−∞, 0) entonces −(−A)α genera un C0-semigrupo holomorfo

acotado de angulo π/2 para todo α > 0. La demostracion utiliza la teorıa

de distribuciones espectrales de grado n [J]. Extenderemos este teorema de

Jazar en la seccion quinta.

A continuacion vamos a mostrar una extension del Teorema 3.1.2 para

operadores funcion coseno α-veces integrados usando las funciones de Her-

mite Hα (seccion 1.2) con α > 0. Este teorema aparece en [M2].

Teorema 3.3.4 Sea A un operador lineal densamente definido y generador

de un operador funcion coseno α-veces integrado (Cα(t))t>0. Entonces A

genera un semigrupo holomorfo de angulo π/2 dado por

T (z)x :=1

2α√

πzα+1

2

∫ ∞

0Hα(

s

2√

z)e−

s2

4z Cα(s)xds

con <z > 0 y x ∈ X. Ademas si ‖Cα(t)‖ ≤ Mtα, entonces

‖T (z)‖ ≤ C(|z|<z

)α+ 12 .

Demostracion. Sean <z > 0, y ‖Cα(t)‖ ≤ Ceωt con C, ω > 0. Entonces se

tiene que

‖T (z)x‖ ≤ 1

2α√

π|z|α+12

∫ ∞

0|Hα(

s

2√

z)e−

s2

4z | ‖Cα(s)x‖ds

≤ C

|z|α+12

(∫ ∞

0(1 +

sα

2α|z|α2 )e− s2<z

4|z|2 eωsds

)‖x‖ < ∞

y T (z) define un operador acotado en B(X) para <z > 0. Claramente

T : C+ → B(X) es holomorfa.


Sea n > α con n ∈ N. Es inmediato que A genera un operador funcion

coseno n-veces integrado (Cn(t))t>0 definido por la igualdad (2.6). Por el

Teorema 3.1.2, A genera un semigrupo holomorfo dado por

T (t)x :=1

2n√

πtn+1

2

∫ ∞

0Hn(

s

2√

t)e−

s2

4t Cn(s)xds,

con t > 0. Como se cumple que1

2α√

πtα+1

2

Wn−α+ (Hα(

s

2√

t)e−

s2

4t )(s) =1

2n√

πtn+1

2

Hn(s

2√

t)e−

s2

4t

es inmediato que T (t) = T (t) y por holomorfıa T (z) = T (z) para <z > 0.

Ası, (T (z))<z>0 es un semigrupo holomorfo.

Si ‖Cα(t)‖ ≤ Mtα entonces, de igual forma que en la demostracion del

Teorema 3.2.6, se tiene que

‖T (z)x‖ ≤ 1

2α√

π|z|α+12

∫ ∞

0|Hα(

s

2√

z)|e−

s2<z4|z|2 sαds ≤ C(

|z|<z

)α+ 12 .

En este caso (T (z))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo por [K, Corollary

2.7]. ¤

Presentamos un segundo teorema de subordinacion a operadores funcion

coseno α-veces integrados.

Teorema 3.3.5 Sea A un operador lineal, densamente definido y generador

de un operador funcion coseno α-veces integrado (Cα(t))t>0 tal que

‖Cα(t)‖ ≤ Ctα(1 + tβ), t ≥ 0

con α ≥ 0 y 0 ≤ β < 1. Entonces B = −(−A)12 genera un C0-semigrupo

holomorfo de angulo π/2 dado por

TB(z)x := 2∫ ∞

0Wα

+P z(t)Cα(t)xdt,

si <z > 0, x ∈ X; ademas

‖TB(z)‖ ≤ Cα,β(|z|<z

)α(1 + |z|β), <z > 0.


Demostracion. Por el Teorema 3.3.4, A genera un C0-semigrupo holomorfo

(T (z))<z>0 tal que

T (z)x = 2∫ ∞

0Wα

+Gz(s)Cα(s)xds,

si x ∈ X y que cumple, por el Teorema 3.2.6 (i),

‖T (z)‖ ≤ Cq|t|α(1+|t|β)(Gz) ≤ C(

|z|<z

)α+β2+ 1

2 (1 + |z|β2 ), z ∈ C+.

Aplicando el Teorema 3.3.1 al C0-semigrupo (T (t))t≥0, se deduce que B

genera un C0 semigrupo holomorfo tal que

TB(z)x =∫ ∞

0cz(t)T (t)xdt = 2

∫ ∞

0

∫ ∞

0cz(t)Wα

+Gt(s)Cα(s)xdsdt,

para cada x ∈ X, z ∈ Σ(π4 ). Por el teorema de Fubini y el Teorema 3.2.5

(ii), se cumple que∫ ∞

0cz(t)Wα

+Gt(s)dt = Wα+

∫ ∞

0cz(t)Gt(s)dt = Wα

+P z(s),

y por tanto,

TB(z)x = 2∫ ∞

0Wα

+P z(s)Cα(s)xds, x ∈ X,

para z ∈ Σ(π4 ). Por holomorfıa, la igualdad anterior se extiende a z ∈ C+, y

por el Teorema 3.2.4,

‖TB(z)‖ ≤ Cαq|t|α(1+|t|β)(Pz) ≤ Cα,β(

|z|<z

)α(1 + |z|β),

con z ∈ C+. ¤

3.4 Valores frontera de semigrupos holomorfos

Sea (T (t))t>0 un C0-semigrupo generado por A en un espacio de Banach

X, que tiene extension holomorfa (T (z))<z>0 en el semiplano Σ(π2 ). Es

3.4. Valores frontera de semigrupos holomorfos 121

inmediato comprobar que S(s) = T (seiφ), con s > 0 y φ ∈ (−π2 , π

2 ), define

un C0-semigrupo (S(s))s>0 generado por eiφA. Es natural plantearse el caso

lımite cuando φ = ±π2 .

Si (T (z))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo tal que ‖T (z)‖ ≤ M, para

|z| ≤ 1 entonces

T (is)x := limt→0

T (t + is)x, x ∈ X,

define un C0-grupo de operadores, [HP, p. 499].

En general, no se cumple que (T (is))s∈R sea un C0-grupo de operadores

acotados (vease la Introduccion). Por otra parte tales grupos, “valores fron-

tera”, (T (is))s∈R, aparecen como soluciones (formales) de importantes ecua-

ciones de Cauchy. De aquı el interes en tratar de incorporar expresiones

como (T (is))s∈R a una teorıa coherente de operadores acotados. Se han

seguido varias direcciones en este sentido. Vamos a centrarnos en dos de

estos metodos principalmente.

Boyadzhiev y deLaubenfels regularizan el valor frontera del C0-semigrupo

holomorfo a traves del operador (1−A)−r.

Teorema 3.4.1 [BdL, Theorem 2.2] Sean γ ≥ 0 y A el generador de un

C0-semigrupo holomorfo acotado, (T (z))<z>0, de angulo π2 . Las siguientes

condiciones son equivalentes.

(i) Para todo α > γ, existe Mα > 0 tal que

‖T (z)‖ ≤ Mα

(1 + |z|<z

)α

, <z > 0.

(ii) Para todo α > γ existe Cα > 0 tal que iA genera un grupo (1−A)−α-

regularizado (V (s))s∈R, verificandose

‖V (s)‖ ≤ Cα(1 + |s|α), s ∈ R.


Por otra parte, O. El Mennaoui caracteriza, mediante integracion frac-

cionaria, aquellos semigrupos holomorfos cuyo valores fronteras definen gru-

pos integrados .

Teorema 3.4.2 [E, Theoreme 5.2] Sean γ > 0 y A el generador de un

C0-semigrupo holomorfo acotado, (T (z))<z>0, de angulo π2 . Las siguientes

condiciones son equivalentes.

(i) Para todo α > γ, existe Mα > 0 tal que

‖T (z)‖ ≤ Mα

(1 + |z|<z

)α

, <z > 0.

(ii) Para todo α > γ existe Cα > 0 tal que iA genera un grupo α-veces

integrado (Tα(s))s∈R tal que

‖Tα(s)‖ ≤ Cα(1 + |s|α), s ∈ R.

Tiene sentido presentar ambos resultados, Teoremas 3.4.1 y 3.4.2, por

separado, por cuanto aunque que iA genere un grupo (1−A)−n-regularizado

sea equivalente a que genere un grupo n-veces integrado (Teorema 2.1.6), esto

es desconocido para α no entero y ρ(iA) 6= ∅ [XL2, Remark 3.3].

Sin embargo, bajo las condiciones de los resultados precedentes, se sigue

indirectamente que iA genera un grupo (1 − A)−α-regularizado si y sola-

mente si iA genera un grupo α-veces integrado. Esto refuerza la idea de

encontrar una formula de paso entre grupos integrados y grupos regulariza-

dos. De hecho, hemos sido capaces de obtenerla, bajo ciertas condiciones

espectrales (Lema 3.4.3). A traves de esta igualdad probamos directamente

la equivalencia entre grupos α-veces integrados generados por iA y grupos

(1 − A)−α-regularizados generados por iA donde A es el generador de un

C0-semigrupo holomorfo (Teorema 3.4.4).

En la Proposicion 3.4.5 relacionamos el C0-semigrupo holomorfo gene-

rado por A con el grupo α-veces integrado generado por iA a traves del

homomorfismo Θ asociado.


A continuacion consideramos grupos integrados generados por iA, −iA2

y −i(−A)12 y a traves de los homomorfismos Θ asociados, se prueba que

A, −A2 y −(−A)12 generan C0-semigrupos holomorfos cuyos valores fron-

teras inducen los grupos integrados iniciales. En particular, los resultados

obtenidos son aplicables al caso de C0-grupos generados por iA y el problema

de la extension holomorfa al semiplano C+.

Por ultimo presentamos un teorema que relaciona varias de las familias

de operadores considerados en este y en el anterior capıtulo, y la condicion

de que A genera un semigrupo holomorfo (T (z))<z>0 tal que

‖T (z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

, (HGα)

para todo z ∈ C+ y C > 0. Esta condicion reaparecera en la proxima seccion.

Lema 3.4.3 Sean φ ∈ [−π2 , π

2 ] y A un operador cerrado que cumple (r,∞) ⊂ρ(A) con r ∈ R y

‖(s−A)−1‖ ≤ C

s− r, para todo s > r.

Sea α ≥ 0. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) −eiφA genera un semigrupo α-veces integrado (Tα(t))t≥0.

(ii) −eiφA genera un semigrupo (λ−A)−α-regularizado (V (t))t≥0 para todo

λ > r.

Bajo alguna de estas dos condiciones, si r < 0 se tiene que

sen(πβ)π

∫ ∞

0s−βe−eiφts(s−A)−1(−A)−nxds (3.7)

= V (t)x− eiφαTα(t)−n−1∑

j=0

tα+j−n

Γ(α + j + 1− n)eiφj(−A)−(n−j),

donde α = n + β con n ∈ N ∪ 0 y β ∈ (0, 1).


Demostracion. Consideramos B = A + r′ con r′ > r. Es claro que [0,∞) ⊂ρ(B) y

‖(s−B)−1‖ ≤ C

1 + s, s > 0.

Se cumple que −eiφA genera un semigrupo α-veces integrado o un semigrupo

(λ − A)−α-regularizado si y solo si −eiφB genera un semigrupo α-veces in-

tegrado o un semigrupo(λ−A)−α-regularizado respectivamente, [XL1, The-

orem 1.3.5, Theorem 1.3.6]. Por tanto tomaremos A un operador tal que

[0,∞) ⊂ ρ(A) y que cumpla

‖(s−A)−1‖ ≤ C

1 + s, s > 0.

Primero consideramos el caso 0 < α < 1. Para todo t ≥ 0 definimos

Lα(t)x :=∫ ∞

0s−αe−eiφts(s−A)−1xds, x ∈ X.

Es claro que Lα(t) ∈ B(X) y existe C > 0 tal que ‖Lα(t)‖ ≤ C para todo

t ≥ 0. Por el teorema de Fubini y para λ > 0, tenemos que

L(Lα)(λ)x =∫ ∞

0e−λt

∫ ∞

0s−αe−eiφts(s−A)−1xdsdt

=∫ ∞

0s−α(s−A)−1x

∫ ∞

0e−(λ+eiφs)tdtds

=∫ ∞

0s−α(λ + eiφs)−1(s−A)−1xds.

Si ahora λ ∈ ρ(−eiφA), se cumple que

(λ + eiφs)−1(s−A)−1 = (λ + eiφA)−1((s−A)−1 − eiφ(λ + eiφs)−1

).

Entonces se tiene que

L(Lα)(λ)x = (λ + eiφA)−1

∫ ∞

0s−α(s−A)−1xds

−eiφ(λ + eiφA)−1x

∫ ∞

0s−α(λ + eiφs)−1ds

=π

sen(πα)(λ + eiφA)−1(−A)−αx− π

sen(πα)eiφαλ−α(λ + eiφA)−1x.


Si (Tα(t))t≥0 es un semigrupo α-veces integrado generado por −eiφA,

entonces (V (t))t≥0, definido mediante

V (t) := e−iφαTα(t) +sen(πα)

πLα(t),

es un semigrupo (−A)−α-regularizado generado by −eiφA por el Teorema

2.1.5. Si por el contrario (V (t))t≥0 es un semigrupo (−A)−α-regularizado

entonces (Tα(t))t≥0, definido mediante

Tα(t) := eiφαV (t)− eiφα sen(πα)π

Lα(t),

es un semigrupo α-veces integrado generado por −eiφA.

Si ahora α > 1, y α = n + β con n ∈ N y β ∈ (0, 1), definimos

Lα(t)x :=∫ ∞

0s−βe−eiφts(s−A)−1(−A)−nxds, x ∈ X.

Si λ > 0 y λ ∈ ρ(−eiφA), se tiene analogamente que

L(Lα)(λ)x =π

sen(πβ)(λ+eiφA)−1(−A)−αx−πeiφβλ−β

sen(πβ)(λ+eiφA)−1(−A)−nx.

Como se cumple que

(λ + eiφA)−1(−A)−n = (λ + eiφA)−1eiφnλ−n +n∑

j=1

λ−(n+1−j)eiφ(n−j)(−A)−j

es inmediato que

L(Lα)(λ)x =π

sen(πβ)(λ + eiφA)−1(−A)−αx− π

sen(πβ)eiφαλ−α(λ + eiφA)−1

− π

sen(πβ)

n∑

j=1

λ−α+j−1eiφ(α−j)(−A)−j .

Definimos Fα(t) :=n∑

j=1

tα−j

Γ(α− j + 1)eiφ(n−j)(−A)−j y se prueba que

L(Fα)(λ) =n∑

j=1

λ−α+j−1eiφ(α−j)(−A)−j .


Usando Lα y Fα como en el caso 0 < α < 1 es inmediata la equivalencia

entre semigrupos α-veces integrados y semigrupos (−A)−α-regularizados. ¤

Nota. La condicion de “positividad” exigida al operador λ − A con λ > r

no es extrana al contexto de semigrupos α-veces integrados [XL1, p. 135].

En el siguiente teorema caracterizamos los C0-semigrupos holomorfos de

angulo π2 cuyos valores frontera dan lugar a semigrupos integrados o regu-

larizados. Notemos que se permite un crecimiento, en las rectas verticales,

del tipo τ ∈ Wα. Enunciados parciales pueden encontrarse, como se ha

comentado, en [BdL, Theorem 2.2] y [E, Theoreme 5.2].

Teorema 3.4.4 Sean γ ≥ 0 y A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo

holomorfo (T (z))<z>0 con ‖T (t)‖ ≤ Ceωt para todo t > 0 y con C,ω > 0.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(i) Para todo α > γ y ω′ > ω se cumple que existe Mω′,α > 0 una constante

independiente de z tal que

‖T (z)‖ ≤ Mω′,αeω′<z

(<z)α(1 + τ(=z)), z ∈ C+,

con τ ∈ Wα para todo α > γ.

(ii) Para todo α > γ y λ > ω, iA genera un grupo (λ−A)−α-regularizado

(V (it))t∈R tal que ‖V (it)‖ ≤ Cλ,α(1 + τ(t)) (t ∈ R) con Cλ,α > 0 una

constante independiente de t y τ ∈ Wα para todo α > γ.

(iii) Para todo α > γ, iA genera un grupo α-veces integrado (Tα(it))t∈Rtal que ‖Tα(it)‖ ≤ M(1 + τ(t)), para todo t ∈ R, siendo M > 0 una

constante y τ ∈ Wα para todo α > γ.

Demostracion. (i) ⇒ (ii) Para α > γ, λ > ω y s ∈ R definimos la familia de

operadores

V (it) :=1

Γ(α)

∫ ∞

0sα−1e−λsT (s + it)ds.


Tomando β y ω′ tales que γ < β < α y ω < ω′ < λ por el apartado (i) se

prueba que (V (it))s∈R es una familia de operadores lineales y acotados tal

que

‖V (it)‖ ≤ Cλ,α(1 + τ(t)), t ∈ R.

Es inmediato comprobar que (V (it))t∈R es un grupo (λ−A)−α-regularizado

generado por iA donde

(λ−A)−α =1

Γ(α)

∫ ∞

0sα−1e−λsT (s)ds,

([Pa, p. 70]) es un operador acotado, de rango denso e inyectivo para α > γ

y λ > ω.

(ii) ⇒ (i) Si ω′ > ω se cumple que [0,∞) ⊂ ρ(A−ω′) y por tanto para cada

z ∈ C+, y α > γ se tiene que

‖e−ω′<zT (z)‖ = ‖e−ω′<z(ω′ −A)α(ω′ −A)−αT (z)‖≤ ‖(ω′ −A)αe−ω′<zT (<z)‖ ‖V (i=z)‖ ≤ Mω′,α

(<z)α(1 + τ(=z)),

donde hemos aplicado [Pa, Theorem II.6.13 (c)].

(ii) ⇔ (iii) Por el Lema 3.4.3, con los valores de φ = ±π2 , se obtiene la

equivalencia entre semigrupos (λ−A)−α-regularizados y semigrupos α-veces

integrados. Usando la formula (3.7) y que τ ∈ Wα, se prueban las desigual-

dades de las normas. ¤

Nota. En el teorema anterior son posibles diversas variaciones en la condicion

τ ∈ Wα para todo α > γ. Ası, las conclusiones se mantienen si τ ∈ Wα para

todo α ∈ (γ, γ + ε) con ε > 0 o existe una suceson de funciones (τα)α>γ que,

en particular, cumplan que τα ∈ Wα para todo α > γ.

A continuacion estudiamos mas detenidamente las relaciones del C0-

semigrupo holomorfo generado por A y del grupo integrado generado por

iA.


Proposicion 3.4.5 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo de anguloπ2 , de generador infinitesimal A, y tal que

‖T (z)‖ ≤ C

( |z|<z

)γ

(1 + |z|β), <z > 0,

con γ, β ≥ 0. Para todo α > γ se cumplen las siguientes afirmaciones.

(i) iA genera un grupo α-veces integrado (Tα(it))t∈R tal que

‖Tα(it)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β), t ∈ R.

(ii) Para todo t > 0 se da la igualdad

Tα(it)T (1)x =1

Γ(α)

∫ t

0(t− s)α−1T (1 + is)xds, x ∈ X,

y si t < 0 entonces

Tα(it)T (1)x =1

Γ(α)

∫ 0

t(s− t)α−1T (1 + is)xds, x ∈ X.

(iii) Si f ∈ S se tiene que

Θ(f)T (1)x =∫ ∞

−∞f(s)T (1 + is)xds, x ∈ X,

donde Θ es el homomorfismo asociado al grupo α-veces integrado

(Tα(it))t∈R y definido en el Teorema 2.2.6.

(iv) Si β = 0 y γ > 0, entonces Θ(P z) = T (z) para todo z ∈ C+ y por lo

tanto

Θ(P(f)) =∫ ∞

0f(t)T (t)dt, f ∈ L1(R+).

Demostracion. (i) El caso β = 0 esta considerado en [E, Corollaire 5.3]. Por

el Teorema 3.4.4 se prueba que

‖Tα(it)‖ ≤ C(1 + |t|α+β), t ∈ R,


si α ∈ (γ, γ + β] y aplicando [E, Theoreme 5.1] se concluye que

‖Tα(it)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β), t ∈ R.

Para α > γ + β se demuestra directamente.

(ii) Para cada z = s + it ∈ C+, con t > 0 se define el operador

Sα(z)x =1

Γ(α)

∫

[0,z](z − w)α−1T (w)xdw, x ∈ X,

considerando la determinacion principal del argumento en [−π, π).Es cono-

cido que (Sα(z))z∈C+ es una familia holomorfa de operadores que cumplen

lims→0+ S(s+it)x = eiαπ/2Tα(it) [E, Theoreme 2.2]. Por otro lado, se cumple

que

Sα(s + it)T (1)x =1

Γ(α)

∫

[0,s](s + it− w)α−1T (w + 1)xdw

+1

Γ(α)

∫

[s,s+it](s + it− w)α−1T (w + 1)xdw

=1

Γ(α)

∫ s

0(s + it− w)α−1T (w + 1)xdw

+eiα π

2

Γ(α)

∫ t

0(t− u)α−1T (1 + s + iu)xdu,

con x ∈ X. Ası, se deduce que para cada x ∈ X,

eiαπ/2Tα(it)T (1)x = lims→0

S(s + it)T (1)x =eiα π

2

Γ(α)

∫ t

0(t− u)α−1T (1 + iu)xdu.

Analogamente se prueba el caso t < 0.

(iii) Sea f ∈ S. Aplicando el apartado (ii) e intercambiando integrales se

tiene que

Θ(f)T (1)x =∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(it)T (1)xdt =∫ ∞

−∞f(s)T (1 + is)xds

con x ∈ X.


(iv) Por el Teorema 3.3.3 se tiene que (Θ(P z))<z>0 es un C0-semigrupo

holomorfo generado por −(A2)1/2. Debido a que el semigrupo (T (z))<z>0

verifica la propiedad (HGγ), se cumple que −(A2)1/2 = A ([Ko1]) y por lo

tanto Θ(P z) = T (z). Por el propio Teorema 3.3.3 se concluye que

Θ(P(f)) =∫ ∞

0f(t)T (t)dt

con f ∈ L1(R+). ¤

Nota. En la siguiente seccion, utilizando calculo funcional espectral, se pro-

bara el apartado (iv) de la proposicion anterior para β ∈ [0, 1), Proposicion

3.5.5.

La Proposicion 3.4.5 plantea de forma natural el problema de la extension

holomorfa. Esta consiste en que a partir de un grupo α-veces integrado gene-

rado por el operador iA, seamos capaces de definir un C0-semigrupo holo-

morfo generado por A tal que el valor frontera de este semigrupo holomorfo

defina “por integracion” el grupo integrado inicial, ver por ejemplo [ABHN,

p. 182] y [J, Corollary 3.11]. Ya en el caso de C0-grupos, (grupos 0-veces

integrados) la respuesta a esta cuestion no es sencilla [HP, Theorem 17.10.1],

[E1, Theorem 2.1] y [AEH, Theorem 5.1].

En el caso de grupos α-veces integrados, damos soluciones parciales al

problema utilizando los semigrupos de Poisson y de Gauss.

Teorema 3.4.6 Sean γ > 0, β ∈ [0, 1) y A un operador cerrado y den-

samente definido tal que σ(A) ⊂ (−∞, 0). Las siguientes condiciones son

equivalentes.

(i) Para todo α > γ, iA genera un grupo α-veces integrado (Tα(it))t∈R tal

que ‖T (it)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β) para todo t ∈ R.

(ii) Para todo α > γ, existe Θ : T (α)(|t|α(1 + |t|β)) → B(X), grupo de

distribuciones suaves generado por iA.


(iii) Para todo α > γ, A genera un C0-semigrupo holomorfo (T (z))<z>0

que verifica

‖T (z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

(1 + |z|β), z ∈ C+.

Ademas, en cualquiera de estos tres casos se cumple que

Θ(P z) =∫ ∞

−∞Wα

0 P z(t)Tα(it)dt = T (z), z ∈ C+.

Demostracion. (i) ⇒ (ii) Esta probado en el Teorema 2.3.9 considerando

τα(t) = |t|α(1 + |t|β), t ∈ R.

(ii) ⇒ (iii) Se encuentra probado en el Teorema 3.3.3.

(iii) ⇒ (i) Basta tomar α > 0 tal que α > α > γ y aplicar la Proposicion

3.4.5 (i). ¤

En la siguiente proposicion consideramos el semigrupo gaussiano y su

imagen por un homomorfismo Θ. En los dos primeros apartados los semigru-

pos holomorfos obtenidos no son fuertemente continuos en el origen, esto es,

no son C0-semigrupos. Esto es debido a que en general τα(t) = |t|β(1+|t|)ν 6∈Bα, (ver Nota (i) al Teorema 3.3.2). Para semigrupos que no sean C0, con-

sultar [O] y [MOO] y su conexion con semigrupos integrados en [E] y con

semigrupos C-regularizados en [MT].

Proposicion 3.4.7 Sean α ≥ 0, β ∈ [0, α], ν ≥ α− β, e iA el generador de

un grupo α-veces integrado (Tα(it))t∈R tal que

‖Tα(it)‖ ≤ C|t|β(1 + |t|)ν , t ∈ R.

Denotamos por Θ el homomorfismo asociado a (Tα(it))t∈R. Se cumple que

(i) −A2 genera un semigrupo holomorfo (Θ(Gz))<z>0 tal que

‖Θ(Gz)‖ ≤ Cα|z|β+ ν

2+ 1

2

(<z)12(α+β+ν+1)

(1 + |z| ν2 ), <z > 0.


(ii) Si δ > α2 + β

2 + ν2 + 1

2 , el operador −iA2 genera un grupo δ-veces inte-

grado (Sδ(it))t∈R. Denotamos por ΘG el homomorfismo asociado a este

grupo integrado.

(iii) Si β = α, (Θ(Gz))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo y si δ > α + ν2 + 1

2

entonces

‖Sδ(it)‖ ≤ Cδ|t|δ(1 + |t| ν2 ), t ∈ R.

(iv) Si β = α y ν = 0, entonces

ΘG(P(f)) = Θ(G(f)), f ∈ L1(R+).

Demostracion. (i) Es claro que (Θ(Gz))<z>0 es un semigrupo holomorfo

(demostracion del Teorema 3.3.2) y ademas por el Teorema 3.2.6 (i)

‖Θ(Gz)‖ ≤ Cq|t|β(1+|t|)ν (Gz) ≤ Cα|z|β+ ν

2+ 1

2

(<z)12(α+β+ν+1)

(1 + |z| ν2 ), <z > 0.

Se comprueba, usando [My, Lemma 2.1], que −A2 es el generador del semi-

grupo holomorfo (Θ(Gz))<z>0.

(ii) En particular se cumple que

‖Θ(Gz)‖ ≤ Cα(1 + |z|)β+ν+ 1

2

(<z)12(α+β+ν+1)

,

y se sigue de [E, Theoreme 5.1] que iA genera un grupo δ-veces integrado

con δ > α2 + β

2 + ν2 + 1

2 , que denotaremos por (Sδ(it))t∈R.

(iii) Si β = α, por el Teorema 3.3.2, (Θ(Gz))<z>0 es un C0-semigrupo holo-

morfo ya que τα ∈ Bα con τα(t) = |t|α(1 + |t|)ν . Debido a que

‖Θ(Gz)‖ ≤ Cα

( |z|<z

)α+ ν2+ 1

2

(1 + |z| ν2 )

por la Proposicion 3.4.5 (i) se sigue que ‖Sδ(it)‖ ≤ Cδ|t|δ(1+ |t| ν2 ) con t ∈ Ry δ > α + ν

2 + 12 .


(iv) Si β = α y ν = 0, (Θ(Gz))<z>0 verifica la propiedad (HGα+ 12) por el

apartado anterior. Para toda f ∈ L1(R), aplicando la Proposicion 3.4.5 (iv)

y debido a la continuidad de la aplicacion Θ se sigue que

ΘG(P(f)) =∫ ∞

0f(t)Θ(Gt)dt = Θ(G(f))

con lo que se concluye la demostracion. ¤

A continuacion tratamos el caso de semigrupos generados por la raız

cuadrada de un operador dado.

Teorema 3.4.8 Sea γ > 0, β ∈ [0, 1) y A un operador cerrado y densamente

definido tal que ρ(A) ⊂ (0,∞) y B = −(−A)12 . Las siguientes condiciones

son equivalentes.

(i) Para todo α > γ, A genera un operador coseno α-veces integrado

(Cα(t))t≥0 tal que

‖Cα(t)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β), t ≥ 0.

(ii) Para todo α > γ, B genera un C0-semigrupo holomorfo (TB(z))<z>0

tal que

‖TB(z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

(1 + |z|β), <z > 0.

(iii) Para todo α > γ, iB genera un grupo α-veces integrado (TB,α(it))t∈Rtal que

‖TB,α(it)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β), t ∈ R.

Si alguna de las tres condiciones anteriores se cumple, se dan las dos rela-

ciones siguientes entre estas tres familias de operadores:

TB(z) = 2∫ ∞

0Wα

+P z(t)Cα(t)dt, Cα(t) =TB,α(it) + TB,α(−it)

2,

z ∈ C+, t ≥ 0.


Demostracion. (i) ⇒ (ii) Esta probado en el Teorema 3.3.5.

(ii) ⇒ (iii) Es consecuencia de la Proposicion 3.4.5 (i).

(iii) ⇒ (i) Es un resultado conocido, ver, por ejemplo, [EK, Lemma 3.1]. ¤

Las combinaciones de los Teoremas 3.4.6 y 3.4.8, la Proposicion 3.4.7 y

otros resultados de esta Memoria proporcionan numerosos resultados sobre

existencia de familias de operadores. El siguiente teorema es un ejemplo

de esta situacion. Esta articulado en torno a un C0-semigrupo holomorfo

que verifica la propiedad (HGα) y que da lugar, en particular, a otros C0-

semigrupos holomorfos. La teorıa desarrollada permite una demostracion

directa y sencilla de cada una de las implicaciones. Otras condiciones pueden

anadirse en este teorema, vease por ejemplo los teoremas 2.3.9 y 3.4.8.

Teorema 3.4.9 Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo holo-

morfo acotado de angulo π2 , (T (z))<z>0. Consideremos las siguientes afir-

maciones.

(i) (T (z))<z>0 verifica la propiedad (HGα) para algun α ≥ 0.

(ii) El C0-semigrupo holomorfo (TB(z))<z>0 generado por B = −(−A)12

verifica la propiedad (HGγ) para algun γ ≥ 0.

(iii) El C0-semigrupo holomorfo (TH(z))<z>0 generado por H = −A2 veri-

fica la propiedad (HGκ) para algun κ ≥ 0.

(iv) A genera un operador funcion coseno δ-veces integrado tal que ‖Cδ(t)‖ ≤C|t|δ para t ≥ 0 y algun δ ≥ 0.

(v) iA genera un grupo ν-veces integrado, (Tν(is))s∈R, tal que ‖Tν(is)‖ ≤C|s|ν para s ∈ R, ν ≥ 0 y C > 0.

(vi) iA es el generador de un grupo de distribuciones Θ de orden µ y creci-

miento |t|µ, Θ : T (µ)(|t|µ) → B(X) con µ ≥ 0.


Se dan las siguientes implicaciones:

(i) ⇒ (ii) para γ = α + 12 y (ii) ⇒ (i) para α = γ + 1

2 .

(i) ⇒ (iii) para todo κ > α + 12 y (iii) ⇒ (i) si −(A2)

12 = A y α = κ + 1

2 .

(i) ⇒ (iv) para todo δ > α + 12 y (iv) ⇒ (i) para α = δ + 1

2 .

(i) ⇒ (v) para todo ν > α y (v) ⇒ (i) para α = ν.

(i) ⇒ (vi) para todo µ > α y (vi) ⇒ (i) para α = µ.

Demostracion. (i) ⇒ (ii) esta probado en [EK, Theorem 4.1]. (ii) ⇒ (i)

se demuestra usando primero el Teorema 3.4.8, ya que iB genera un grupo

γ-veces integrado y por la Nota (ii) al Teorema 3.3.2, −B2(= A) genera un

C0-semigrupo holomorfo con la propiedad (HGγ+ 12).

(i) ⇒ (iii) Se deduce de la Proposicion 3.4.5(i) y de la Nota (ii) al Teorema

3.3.2. (iii) ⇒ (i) es consecuencia de [EK, Theorem 4.1].

(i) ⇒ (iv) Por la primera implicacion probada en este teorema, el semigrupo

generado por −(−A)12 verifica (HGα+ 1

2) y por el Teorema 3.4.8, A genera

un operador funcion coseno δ-veces integrados con δ > α + 12 . (iv) ⇒ (i) es

parte del Teorema 3.3.4.

(i) ⇒ (v) Esta probado en la Proposicion 3.4.5. (v) ⇒ (i) Por el Teorema

3.3.3, se cumple que −(A2)1/2 genera un C0-semigrupo holomorfo con la

propiedad (HGν). Debido a que (T (z))<z>0 es un semigrupo acotado se

sigue que −(A2)1/2 = A, [Ko1, Theorem 10.6].

(i) ⇒ (vi) y (vi) ⇒ (i) son consecuencias de las implicaciones anteriores y

del Teorema 2.3.9. ¤

A traves del homomorfismo Φ considerado en la proxima seccion, es

inmediato probar que si A genera un C0-semigrupo holomorfo que verifica

(HGα), entonces −(−A)ν tambien genera un C0-semigrupo holomorfo que


verifica (HGβ+ 12) para todo ν > 0 y β > α [GP, p. 343].

3.5 Calculo funcional diferenciable

Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo de angulo π2 que verifique la

condicion (HGα) con α ≥ 0 fijado, esto es,

‖T (z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

para todo z ∈ C+.

Bajo esta condicion existe un un calculo funcional, Φ : AC(ν+1) → B(X),

dado por

Φ(f)x =∫ ∞

0W ν+1

+ f(u)Gν(u)xdu, x ∈ X,

con ν > α, f ∈ ACν+1, donde ACν+1 es el algebra definida en la seccion 1.4

y el nucleo vectorial Gν(u) tiene la forma

Gν(u)x =1

2πi

∫

<z=1

T (z)xzν+1

euzdz, u ∈ R, x ∈ X,

con ν > α [GP, Theorem 6.2]. Es mas, Φ se extiende al algebra AC(µ+ 1

2)

2,1

(tambien definida en la seccion 1.4) con µ > α y define el consiguiente

homomorfismo de algebras que tambien denotaremos por Φ [GP, Theorem

6.3]. Denotaremos en esta ultima seccion por −A el generador infinitesi-

mal de (T (z))<z>0 como es usual en los calculos funcionales definidos para

funciones con soporte en [0,∞).

Este calculo funcional se adapta muy bien a C0-semigrupos holomor-

fos que verifican la propiedad (HGα). Algunas de sus aplicaciones son:

resultados sobre las potencias fraccionarias del generador infinitesimal del

C0-semigrupo ([GP, Proposition 7.3]), o estimaciones de la norma de opera-

dores definidos por Φ, usuales en teorıa de multiplicadores (Corolario 3.5.8).

Ademas se recupera el C0-semigrupo a traves de Φ:

T (λ) = Φ(e−λu) = λν+1

∫ ∞

0Gν(u)e−λudu, (3.8)

3.5. Calculo funcional diferenciable 137

para <λ > 0, [GP, pag. 329].

Una condicion mas debil que (HGα) es

sup<z≥1

‖T (z)‖|z|α < ∞, (Gα)

considerada en [GMP]. Bajo esta hipotesis se sigue cumpliendo que σ(A) ⊂[0,∞), Gν(u) ∈ B(X) y la aplicacion u ∈ R → Gν(u) ∈ B(X) es continua

y verifica que Gν(u) = 0 si u ≤ 0. Ademas se tiene que ‖Gν(u)‖ ≤ Ceu, si

u ≥ 0 con constante C > 0.

Denotaremos por AC(ν)exp y AC

(µ)exp,2 las algebras definidas como la com-

pleccion de D+ en las normas respectivas

‖f‖(ν),e :=1

Γ(ν)

∫ ∞

0|W ν

+f(t)|etdt,

‖f‖(ν),e,2 :=(∫ ∞

0|W ν

+f(t)|2e2tdt

) 12

,

para f ∈ D+ y ν > 0 ([GMP]). Estas algebras permiten definir el calculo Φ

bajo la condicion (Gα).

Teorema 3.5.1 [GMP, Theorem 1.2], [GP, Theorem 6.2, Theorem 6.3] Sea

(T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo en B(X) con generador infinitesimal

−A.

(i) Si (T (z))<z>0 verifica (Gα), la expresion

Φ(f) =∫ ∞

0W ν+1

+ f(u)Gν(u)du, f ∈ AC(ν+1)exp ,

no depende de ν > α y define un homomorfismo de algebras acotado

Φ : AC(ν+1)exp → B(X) tal que Φ(f)A ⊂ AΦ(f) = Φ(g), donde g(t) =

tf(t) si f ∈ D+. De hecho, Φ se extiende a un homomorfismo acotado

de algebras Φ : AC(ν+ 1

2)

exp,2 → B(X) dado por

Φ(f) = limh→0+

∫ ∞

0W

ν+ 12

+ f(u)Gν+ 1

2 (u)−Gν+ 12 (u− h)

hdu, f ∈ AC

(ν+ 12)

exp,2 .


(ii) Si (T (z))<z>0 verifica (HGα), entonces ‖Gν(u)‖ ≤ Cuν (u ≥ 0) con

ν > α y la expresion

Φ(f) =∫ ∞

0W ν+1

+ f(u)Gν(u)du, f ∈ AC(ν+1),

define un homomorfismo de algebras acotado Φ : AC(ν+1) → B(X).

Es mas, Φ se extiende a un homomorfismo de algebras Φ : AC(ν+ 1

2)

2,1 →B(X).

Por otra parte, E. B. Davies ha construido recientemente un calculo

funcional Ψ bajo suposicion de cotas convenientes de la resolvente de un

operador A ([D1], [D2]): si f ∈ D y f es una extension casi analıtica de f

en C de grado n (vease definicion en [D1]), la expresion

Ψ(f) := − 1π

∫

C

∂f

∂z(z)(z −A)−1dxdy, f ∈ D,

define un homomorfismo acotado de algebras, Ψ : An+1 → B(X), donde

An+1 es la compleccion de D en una cierta norma [D1, Theorem 4].

En [GMP] se ha probado que Φ y Ψ coinciden bajo hipotesis comunes

[GMP, Theorem 2.1]. Con esta base, hemos probado resultados sobre inde-

pendencia espectral que extienden algunos de Davies [GMP]. En el capıtulo

cuarto, recuperaremos estos dos calculos.

En esta seccion relacionamos el calculo funcional Φ con otros homomor-

fismos vistos en esta Memoria: la aplicacion de Hille-Phillips asociada al

C0-semigrupo (T (t))t>0 (Teorema 3.5.2), la aplicacion de Weyl definida so-

bre las rectas verticales del semigrupo holomorfo (Teorema 3.5.3) y el homo-

morfismo Θ asociado al grupo integrado como valor frontera de semigrupo

holomorfo (Corolario 3.5.4). Mediante el uso del calculo Φ probamos direc-

tamente o mejoramos resultados ya considerados en secciones anteriores, e.g.

Proposicion 3.5.5 y Proposicion 3.5.6.


Por ultimo se ilustra la precision del calculo funcional Φ con las estima-

ciones obtenidas para operadores acotados definidos como funciones de A,

Teorema 3.5.7 y Corolario 3.5.8.

Teorema 3.5.2 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo en B(X) que

verifica (HGα) para algun α ≥ 0. Entonces se cumple

Θ+(f)x = Φ(L(f))x, f ∈ L1(R+), x ∈ X,

donde Θ+(f)x =∫ ∞

0f(t)T (t)xdt.

Demostracion. Sea f ∈ D+. Por la Proposicion 3.2.1, se cumple L(f) ∈AC(ν+1) si ν > 0. Por [RK, Theorem 1] se da la igualdad

W ν+1+ (L(f))(u) = L(tν+1f)(u), u > 0.

Aplicando (3.8) con ν > α, obtenemos que

Φ(L(f)) =∫ ∞

0Gν(u)

∫ ∞

0f(t)tν+1e−tudtdu

=∫ ∞

0f(t)tν+1

∫ ∞

0Gν(u)e−tududt =

∫ ∞

0f(t)T (t)dt = Θ+(f).

Por densidad de D+ se concluye la igualdad para f ∈ L1(R+). ¤

El teorema siguiente relaciona Φ con la transformada de Fourier inversa.

Presentamos una demostracion distinta a la expuesta en [GMP], y aplicable

a funciones mas generales que funciones de D.

Denotaremos por

H1n(R, eτ |t|) := f ∈ S : f (j) ∈ L1(R, eτ |t|) con j ∈ 0, 1, . . . n

con τ > 0 y n ∈ N ∪ 0. Claramente se tiene D ⊂ H1n(R, eτ |t|) ⊂ S.


Teorema 3.5.3 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo en B(X) que

satisface la propiedad (Gα) para algun α ≥ 0. Entonces

Φ(f)T (1) =12π

∫ ∞

−∞(F−1f)(t)T (1 + it)dt,

donde f ∈ H1n+1(R, eτ |t|) con n > α y τ ≥ 1 ( F−1f denota la transformada

inversa de Fourier de f).

Demostracion. Sea n > α y f ∈ H1n+1(R, eτ |t|) con τ ≥ 1. Para todo

ε ∈ (0, τ) se define

Fε(t) = (∫ ∞

−∞f(u)e(ε+it)udu)T (1 + it)

con u, t ∈ R. Si consideramos g(u) = f(u)e−u, integrando por partes n + 1

veces se obtiene que

‖Fε(t)‖ = |∫ ∞

−∞g(u)e(ε+1+it)udu| ‖T (1 + it)‖

= |∫ ∞

−∞(−1)n+1g(n+1)(u)e(ε+1+it)udu| ‖T (1 + it)‖ |ε + 1 + it|−(n+1)

≤ Cf |1 + it|−(n+1)‖T (1 + it)‖

para alguna constante Cf independiente de ε con 0 < ε < τ . Por hipotesis

la funcion t 7→ (1 + it)−(n+1)‖T (1 + it)‖ esta en L1(R, dt). Por el Teorema

de la Convergencia Dominada se cumple que

limε→0

∫ ∞

−∞Fε(t)dt =

∫ ∞

−∞limε→0

Fε(t)dt

=∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(u)eitudu

)T (1 + it)dt =

∫ ∞

−∞F−1f(t)T (1 + it)dt,

ya que f ∈ S. Por otro lado se tiene que∫ ∞

−∞F−1f(t)T (1 + it)dt = lim

ε→0

∫ ∞

−∞Fε(t)dt

= limε→0

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞(−1)n+1f (n+1)(u)(ε + it)−(n+1)e(ε+it)udu

)T (1 + it)dt


= limε→0

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞(ε + it)−(n+1)e(it+ε)uT (1 + it)dt

)(−1)n+1f (n+1)(u)du

= limε→0

∫ ∞

−∞

1i

(∫

<z=0

T (1 + z)(ε + z)n+1

e(z+ε)udz

)(−1)n+1f (n+1)(u)du.

Por el teorema de los residuos se cumple que∫

<z=0

T (1 + z)(ε + z)n+1

e(z+ε)udz =∫

<z=1

T (1 + z)(ε + z)n+1

e(z+ε)udz

y por lo tanto∫ ∞

−∞F−1f(t)T (1 + it)dt

= limε→0

∫ ∞

−∞

1i

(∫

<z=1

T (1 + z)(ε + z)n+1

ezudz

)(−1)n+1f (n+1)(u)eεudu

=∫ ∞

−∞

1i

(∫

<z=1

T (z)zn+1

ezudz

)(−1)n+1f (n+1)(u)du T (1)

= 2π

∫ ∞

0Wn+1

+ f(u)Gn(u)du T (1) = 2πΦ(f)T (1)

ya que f ∈ AC(n+1)exp por hipotesis. ¤

Dos aplicaciones del teorema anterior son los siguientes resultados.

Corolario 3.5.4 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo generado por

−A que cumple

‖T (z‖ ≤ C

( |z|<z

)γ

(1 + |z|β), <z > 0

con γ, β ≥ 0 y Θ el grupo de distribuciones generado por −iA. Se cumple

Φ(f) =12π

Θ(F−1f),

donde f ∈ H1n+1(R, eτ |t|) con n > γ + β y τ ≥ 1.

Demostracion. Si f ∈ H1n+1(R, eτ |t|) por el teorema anterior y la Proposicion

3.4.5 (iii) se cumple que

Φ(f)T (1) =12π

∫ ∞

−∞F−1f(t)T (1 + it)dt =

12π

Θ(F−1f)T (1).


Como el conjunto T (1)x : x ∈ X es denso en X ([GP, p. 327]) se da la

igualdad. ¤

Con ayuda del homomorfismo Φ probamos la Proposicion 3.4.5 (iv) para

β ∈ [0, 1).

Proposicion 3.5.5 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo generado

por −A que cumple

‖T (z‖ ≤ C

( |z|<z

)γ

(1 + |z|β), <z > 0,

con γ > 0, β ∈ [0, 1) y Θ el grupo de distribuciones generado por −iA. Se

cumple que Θ(P z) = T (z) para todo z ∈ C+ y por lo tanto

Θ(P(f)) =∫ ∞

0f(t)T (t)dt, f ∈ L1(R+, (1 + s)β).

Demostracion. Sea m > α + β con m ∈ N. El nucleo vectorial (Gm(u))u∈Rdefinido por

Gm(u)x =1

2πi

∫

<z=1

T (z)xzm+1

euzdz, u ∈ R, x ∈ X,

cumple que u → Gm(u) es continua, G(u) = 0 si u ≤ 0 y

‖Gm(u)‖ ≤ Cα,βum(1 + u−β), u > 0.

La demostracion es analoga a la de [GP, Lemma 6.1].

Se define el espacio AC(m+1,β) como la compleccion de D+ en la norma

‖f‖(m+1,β) =∫ ∞

0|f (m+1)(u)|um(1 + u−β)du.

Es claro que AC(m+1)exp → AC(m+1,β) → AC(m+1). De la cota de ‖G(u)‖ se

sigue que la aplicacion

Φ : f ∈ AC(m+1,β) → Φ(f) := (−1)m

∫ ∞

0f (m+1)(u)Gm(u)du ∈ B(X),


esta bien definida, es lineal, continua y extiende a Φ : AC(m+1)exp → B(X) ya

que (T (z))<z>0 verifica en particular (Gm), y ademas Φ(ez) = T (z) donde

ez(u) = e−zu con u > 0 y <z > 0, vease (3.8).

Para cada s > 0 se considera la funcion gs(u) = e−su2con u ∈ R. Es

claro que gs ∈ AC(m,β) para todo m ∈ N y

‖gs‖(m,β) ≤ C(1 + sβ2 ), s > 0.

Por tanto la funcion s → ct(s)gs es integrable-Bochner en AC(m,β) y la

igualdad

et =∫ ∞

0ct(s)gsds, t > 0,

se da en la norma de AC(m,β). Puesto que Φ es continua se llega a que

Φ(et) =∫ ∞

0ct(s)Φ(gs)ds, t > 0. (3.9)

Analogamente el semigrupo de Gauss (Gz)<z>0 pertenece al algebra

T (α)(|t|α(1 + |t|)β) y

q|t|α(1+|t|)β (Gs) ≤ C(1 + sβ2 )

(Teorema 3.2.6 (i)). Por tanto la funcion s → ct(s)Gs es integrable-Bochner

en T (α)(|t|α(1 + |t|)β) y la igualdad

P t =∫ ∞

0ct(s)Gsds, t > 0,

se da en T (α)(|t|α(1 + |t|)β).

Si Θ es el grupo de distribuciones generado por −iA, por continuidad se

tiene que

Θ(P t) =∫ ∞

0ct(s)Θ(Gs)ds, t > 0. (3.10)

Como gs ∈ H1m+1(R, eτ |t|) con m > γ + β y τ ≥ 1, por el Corolario 3.5.4 se

tiene que

Φ(gs) =12π

Θ(F−1gs) = Θ(Gs) (3.11)


donde hemos aplicado que F(Gs) = gs con s > 0. Aplicando (3.10), (3.11)

y (3.9) sucesivamente se sigue que

Θ(P t) =∫ ∞

0ct(s)Θ(Gs)ds =

∫ ∞

0ct(s)Φ(gs)ds = Φ(et) = T (t), t > 0.

Por el Teorema 3.3.3, se concluye que Θ(P(f)) =∫ ∞

0f(t)T (t)dt para f ∈

L1(R+, (1 + s)β). ¤

El siguiente resultado extiende el probado por M. Jazar [J, Theorem 3.9].

Recordemos que −(−A)ν denota la potencia fraccionaria de orden ν > 0 del

operador −A, vease seccion 2.3.

Proposicion 3.5.6 Sean α > 0, β ∈ [0, 1) e iA el generador de un grupo

α-veces integrado (Tα(t))t∈R tal que

‖Tα(t)‖ ≤ C|t|α(1 + |t|β), t ∈ R.

Si σ(A) ⊂ (−∞, 0) y ν > β entonces −(−A)ν genera un C0-semigrupo

holomorfo (T (ν)(z))<z>0 de angulo π2 tal que

‖T (ν)(z)‖ ≤ C

( |z|<z

)m+1

(1 + (<z)β/ν), <z > 0,

para m ∈ N tal que m > α + β.

Demostracion. Por el Teorema 3.3.3, A genera un C0-semigrupo holomorfo

(T (1)(z))<z>0 de angulo π2 tal que

‖T (1)(z)‖ ≤ C

( |z|<z

)α

(1 + |z|β), <z > 0.

Por la demostracion de la Proposicion 3.5.5, existe un homomorfismo

lineal y acotado Φ : AC(m+1,β) → B(X) tal que

Φ(f) := (−1)m

∫ ∞

0f (m+1)(u)Gm(u)du, f ∈ AC(m+1,β),


con m > α+β. Sea la familia de funciones (fz,ν)<z>0 donde fz,ν(u) := e−zuν

con u ≥ 0, z ∈ C+ y ν > 0. Si ν > β entonces se cumple que fz,ν ∈ AC(m,β)

con m ∈ N y

‖fz,ν‖m,β ≤ C

( |z|<z

)m

(1 + (<z)β/ν), <z > 0.

Es claro que (fz,ν)<z>0 es un semigrupo en AC(m,β) y de forma analoga a

[GP, Lemma 7.1] se demuestra que (fz,ν)<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo

de angulo π2 . Por tanto (Φ(fz,ν))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo en B(X)

con ν > β. Denotaremos a (Φ(fz,ν))<z>0 por (T (ν)(z))<z>0, que cumple

‖T (ν)(z)‖ ≤ C

( |z|<z

)m+1

(1 + (<z)β/ν), <z > 0.

Siguiendo la demostraciones de [GP, Lema 7.2, Proposition 7.3] se com-

prueba que −(−A)ν es el generador infinitesimal del semigrupo (T (ν)(z))<z>0

con ν > β. ¤

La precision del calculo Φ permite obtener cotas finas para operadores

f(A) definidos para ciertas funciones f . En particular se prueba directa-

mente que iA genera un grupo ν-veces integrado con ν > α (Corolario 3.5.8

(ii)) y un grupo (1 + A)−ν-regularizado con ν > α (Corolario 3.5.8 (iii)).

En adelante escribiremos indistintamente Φ(f) y f(A), esta ultima no-

tacion es usual en los calculos funcionales; en particular (T (it))t∈R es igual

a (e−itA)t∈R.

Para f ∈ AC(ν+ 1

2)

2,1 se denota

‖f‖(α)(ν),2,1 :=

∫ ∞

0[∫ 2y

y|W ν+ 1

2+ f(u)uν(1 + u2)

α2 |2du]

12dy

y.


Teorema 3.5.7 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo de angulo π2 y

de generador −A. Si (T (z))<z>0 verifica (HGα) para algun α ≥ 0, entonces

e−itAΦ(f) ∈ B(X) y

‖e−itAΦ(f)‖ ≤ Cν(1 + t2)α2 ‖f‖(α)

ν;2,1, t ∈ R,

con ν > α, f ∈ AC(ν+ 1

2)

2,1 , y siempre que ‖f‖(α)(ν),2,1 < ∞.

Demostracion. Para todo t ∈ R, u ≥ 0 y ν > α la integral

e−itAGν(u) =1

2πi

∫

<z=1

T (z + it)zν+1

euz dz

es absolutamente convergente y el operador e−itAGν(u) pertence a B(X).

Por tanto se sigue que

e−itAΦ(f) =∫ ∞

0W ν+1

+ f(u)e−itAGν(u) du ∈ B(X)

para toda f ∈ D+ y t ∈ R. Ademas el operador e−itAΦ(f) es el lımite en

B(X) de (e−itAΦh(f))h>0 si h → 0+, donde

e−itAΦh(f) =1h

∫ ∞

0

(W

ν+ 12

+ f(u)−Wν+ 1

2+ f(u + h)

)e−itAGν+ 1

2 (u) du

(vease demostracion de [GP, Corollary 4.3]). Por tanto basta estimar la

norma de e−itAΦh(f) convenientemente.

Sean r > 0 y g(u) = Wν+ 1

2+ f(u)eruχ[0,∞)(u). Aplicando la desigualdad

de Hausdorff-Young en

e−itAΦh(f) =12π

∫ ∞

−∞

T (r + i(rs + t))

rν− 12 (1 + is)ν+ 1

2

∫ 1

0e−λhr(1+is)dλ g(−rs) ds,

se obtiene que

‖e−itAΦh(f)‖ ≤ C

rν[∫ ∞

−∞

(1 + (s + tr )2)α

(1 + s2)ν+ 12

ds]12 ‖g‖2


≤ C

rν(1 +

t2

r2)

α2 (

∫ ∞

−∞

ds

(1 + s2)ν+ 12−α

)12 ‖g‖2

≤ C(1 + t2)α2(1 + r2)

α2

rν+α(∫ ∞

0|W ν+ 1

2+ f(u) eru|2du)

12

≤ C(1 + t2)α2 inf

r>0

(1 + r2)α2

rν+α(∫ ∞

0|W ν+ 1

2+ f(u) eru|2du)

12 .

Dividiento (0,∞) en los intervalos [2k, 2k+1), el ınfimo anterior se estima

como en [GP, p. 341], para deducir que

‖e−itAΦh(f)‖ ≤ C(1 + t2)α2 ‖f‖(α)

(ν),2,1, t ∈ R. ¤

Notas. Si f ∈ AC(ν+1) y ‖f‖(α)ν+1 :=

∫∞0 |W ν+1

+ f(u)|uν(1 + u2)α2 du < ∞,

siguiendo una demostracion analoga (incluso mas simple) a la anterior se

comprueba que e−itAΦ(f) ∈ B(X) y si ν > α, entonces

‖e−itAΦ(f)‖ ≤ C(1 + t2)α2 ‖f‖(α)

ν+1, t ∈ R.

Las condiciones ‖f‖(α)ν;2,1 < ∞ o ‖f‖(α)

ν+1 < ∞ no son hipotesis superfluas,

vease [GMP, p. 18].

Aplicamos el teorema anterior a funciones concretas en el siguiente coro-

lario. En un principio, los operadores considerados tienen sentido como

operadores cerrados densamente definidos en X y probamos que en realidad

pertenecen a B(X).

Corolario 3.5.8 Sea (T (z))<z>0 un C0-semigrupo holomorfo que verifica

(HGα) para algun α ≥ 0 y −A su generador infinitesimal. Entonces si

<ν > α, se cumple que

(i) eitAA−νϕ(A) ∈ B(X) y ‖eitAA−νϕ(A)‖ ≤ Cν(1 + |t|α) para todo t ∈ Ry ϕ ∈ C(∞)(R) tal que ϕ(u) = 0 si u < 1

2 y ϕ(u) = 1 si u > 1.

(ii) Iνt (A) :=

∫ t0 (t− s)ν−1eisAds ∈ B(X) y ‖Iν

t (A)‖ ≤ Cνt<ν , para t ≥ 0.


(iii) eitA(1 + A)−ν ∈ B(X) y ‖eitA(1 + A)−ν‖ ≤ Cν(1 + t2)α2 , para t ∈ R.

(iv) (sentA)A−1(1 + A)−ν+1 ∈ B(X) y, para t ∈ R y 0 < ε < <ν, se tiene

‖(sentA)A−1(1+A)−ν+1‖ ≤

Cν |t|(1 + |t|<ν−1), si <ν > 1 o ν = 1,

Cν,ε|t|<ν(1 + |t|−ε), si 0 < <ν ≤ 1, ν 6= 1.

Demostracion. (i) Sean n > α y f(u) = ϕ(u)u−ν para u ∈ R. Se tiene

Wn+1+ f(u) = ν . . . (ν + n− 1)u−(ν+n+1) para u > 1, y por tanto

∫ ∞

0|Wn+1

+ f(u)|un(1 + u2)α2 du < ∞.

Entonces ‖eitAA−νϕ(A)‖ = ‖f(A)eitA‖ ≤ C‖f‖(α)n+1(1 + t2)

α2 .

(ii) Se sigue de la idea de [H2, p. 9] o [Sj, p. 336]. Se elige ϕ como en la

parte (i) y sea gν(u) :=∫ 10 (1− s)ν−1eisuds− e−(ν/2)πiΓ(ν)ϕ(u)u−νeiu, para

u ≥ 0. Para u > 1, se tiene |g(j)ν (u)| ≤ Cu−(j+min1,<ν), (j = 0, 1, . . .). Esta

estimacion se sigue de la igualdad

g(j)ν (u) = Cνu

−(j+ν)

∫ ∞

0(iu + x)ν−1xje−xdx,

para u > 1, <ν > 0 y j = 0, 1, . . . (para ν > 0 esta probado en [H2]; el caso

general se sigue por el principio de prolongacion analıtica en ν). Por tanto

g ∈ AC(n+1) para n > α y se tiene que

Iν1 (A) = gν(A) + e−(ν/2)πiΓ(ν)ϕ(A)A−νeiA ∈ B(X)

por la parte (i). Es mas, si t 6= 0, el operador −tA es el generador de

un semigrupo el cual tambien satisface (HGα) con la misma contante C.

Por tanto ‖Iν1 (tA)‖ esta uniformemente acotado en t ≥ 0. Como Iν

t (A) =

tνIν1 (tA) se sigue que ‖Iν

t (A)‖ ≤ Kt<ν , con K independiente de t.

(iii) La argumentacion de (i) tambien funciona aquı.


(iv) Para t > 0, u ≥ 0 y ν ∈ C, sea ht,ν(u) := (1 + tu)ν−1(1 + u)−ν+1 y

gt,ν := ht,ν − tν−1. La derivadas de gt,ν son de la forma

g(n)t,ν (u) =

n∑

k=1

ck(t− 1)kht,ν−k(u)(1 + u)−(n+k),

y por lo tanto pertenecen a AC(n) para todo n ∈ N [GP, Corollary 3.2]. De

hecho, si t ≥ 1, entonces∫ ∞

0|ht,ν−k(u)| un−1

(1 + u)n+kdu =

(∫ 1

0+

∫ ∞

1

)(1 + tu)<ν−1−kun−1

(1 + u)n+<ν−1du

≤∫ t

0

t−nrn−1dr

(1 + r)k+1−<ν+ 2(<ν−1−k)+

∫ ∞

1

(tu)<ν−1−kun−1

(1 + u)n+<ν−1du ≤ Cνt

<ν−k−1

para k = 1, . . . , n, y <ν ≥ 0. Sea 0 < t < 1 si <ν > 1 entonces∫ ∞

0

(1 + tu)<ν−1−kun−1

(1 + u)n+<ν−1du ≤

∫ ∞

0(1 + u)(<ν−1−k)+ un−1du

(1 + u)n+<ν−1= Cν .

Si 0 < <ν ≤ 1 y 1−<ν < δ < 1 entonces∫ ∞

0

(1 + tu)<ν−1−kun−1

(1 + u)n+<ν−1du ≤ t−δ

∫ ∞

0

un−1−δ

(1 + u)n+<ν−1du ≤ Cδt

−δ.

Agrupando, si 0 < ε < <ν, se sigue que

‖gt,ν‖(n) ≤

Cν(1 + t<ν−1), si <ν > 1 o ν = 1,

Cν,εt<ν−1(1 + t−ε), si 0 < <ν ≤ 1, ν 6= 1.

Si A verifica (HGα) y <ν > α entonces

(senA)A−1(1 + A)−ν+1 = senA(1 + A)−ν +∫ 1

0cos sA(1 + A)−νds ∈ B(X)

por (iii). El operador (sentA)(tA)−1(1+tA)−ν+1 esta uniformemente acotado

en norma para t > 0 como en (ii). Se tiene que

sentA

A(1 + A)ν−1= t(sentA)(tA)−1(1 + tA)−ν+1(

1 + tA

1 + A)ν−1

y debido al calculo funcional AC(n) con n > α +1 aplicado a gt,ν , se obtiene

(iv). ¤

Nota. El calculo Φ permite probar un resultado similar para las potencias

fraccionarias −Aν con ν > 0, [GMP, Corollary 3.5].

Capıtulo 4

Ejemplos

En este ultimo capıtulo presentamos varios ejemplos de familias de opera-

dores sobre espacios de Banach particulares, a los que podemos aplicar la

teorıa desarrollada en esta Memoria.

Pretendemos senalar varios campos donde es de utilidad el trabajo reali-

zado. Enunciamos en estos casos concretos nuevos resultados, corolarios de

los ya probados. Tambien damos algunas conjeturas, que son consecuencia

natural de la investigacion expuesta.

En las dos primeras secciones se consideran semigrupos, o grupos inte-

grados, y grupos de distribuciones generales. En la tercera seccion, se con-

sideran tales nociones como valores frontera de semigrupos holomorfos de

angulo π2 .

Los ejemplos comentados se han obtenido de las referencias que se senalan

en cada caso.

151

152 Capıtulo 4. Ejemplos

4.1 Estimaciones de la resolvente

Sean α > 0 y (Tα(t))t>0 un semigrupo α-veces integrado generado por A en

un espacio de Banach X. Si ‖Tα(t)‖ ≤ Ctβeκt (t ≥ 0) con C > 0, κ, β ≥ 0,

se cumple que λ ∈ C : <λ > κ ⊂ ρ(A) y

‖R(λ,A)‖ ≤ CΓ(β + 1)|λ|α

(<λ− κ)β+1, <λ > κ + 1.

Recıprocamente, si α, β ≥ 0 y A es un operador lineal (no necesariamente

densamente definido) en X tal que C+ ⊂ ρ(A) y que para todo σ > 0 existe

una constante Mσ > 0 tal que

‖R(λ,A)‖ ≤ Mσ|λ|α

(<λ)β, <λ > σ, (4.1)

entonces A genera un semigrupo ν-veces integrado (Tν(t))t≥0 para todo ν >

α, y existe una constante Cν > 0 tal que para todo σ > 0,

‖Tν(t)‖ ≤ CνMσeσt, t ≥ 0

[vNS, Lemma 7.2]. Este resultado es una extension del Teorema de Hille-

Yosida para contracciones si Mσ = 1, α = 0 y β = 1 [EN, Theorem II.3.5].

A continuacion consideramos operadores A cuyos operadores resolventes

verifican cotas del tipo (4.1) y por tanto generan semigrupos integrados.

(1) Sean H un espacio de Hilbert y A un operador autoadjunto en H. Es

conocido que σ(A) ⊂ R y ademas

‖R(z, A)‖ ≤ 1|=z| , z 6∈ R.

Por tanto, −iA genera un grupo α-veces integrado para todo α > 0. En rea-

lidad, por el teorema de Hille-Yosida, −iA genera un C0-grupo de operadores

acotados en B(H) y se tienen los siguientes resultados.

4.1. Estimaciones de la resolvente 153

(i) Por la seccion 2.1, −A2 genera un operador funcion coseno acotado.

(ii) Por (3.5) o por la formula abstracta de Weierstrass (3.6), −A2 genera

un C0-semigrupo holomorfo que verifica la propiedad (HG 12).

(iii) Combinando (3.5) y (3.4), −(A2)1/2 genera un C0-semigrupo holomorfo

de angulo π2 .

(2) Sean n ∈ N, ∆p el Laplaciano en Lp(Rn) con 1 ≤ p ≤ ∞, Kn la clase

de potenciales de Kato definida en [S, p. 453] y V una funcion real sobre

Rn tal que V+ ∈ Knloc y V− ∈ Kn. Bajo estas hipoteis definimos el operador

Ap := −∆p + V conocido como operador de Schrodinger.

A. Jensen y S. Nakamura probaron que σ(A) ⊂ R y existe C > 0 tal que

‖R(z, A)‖B(Lp(Rn)) ≤ C

(1 + |z|2)

β2

|=z|β+1, z 6∈ R, (4.2)

con β = n|12 − 1p | [JN, Theorem 1.5]. Esta estimacion fue obtenida ante-

riormente por M. Pang para β = n [P].

Teorema 4.1.1 Sea Ap un operador de Schrodinger en Lp(Rn) con 1 ≤ p ≤∞ y n ∈ N. Una extension de iA genera un grupo de distribuciones Θ de

orden α y crecimiento eε|t|,

Θ : T (α)(eε|t|) → B(Lp(Rn)),

para todo ε > 0, α > n|12 − 1p |, y 1 ≤ p ≤ ∞.

Demostracion. Si Ap es un operador de Schrodinger, entonces σ(iA) ⊂ iR y

de la acotacion (4.2), se concluye que para todo ε > 0 existe Mε > 0 tal que

‖R(λ, iA)‖ ≤ Mε|λ|β

(<λ)β+1, |<λ| > ε,


con β = n|12− 1p |. Por [vNS, Lemma 7.2], se sigue que para todo α > n|12− 1

p |,iA genera un grupo α-veces integrado (Tα(t))t∈R tal que

‖Tα(t)‖ ≤ Cα,εeε|t|, t ∈ R.

Por los Ejemplos 1.4.11, eε|t| ∈ Wα. Aplicando la Proposicion 2.3.8, se sigue

que el homomorfismo de algebras Θ : T (α)(eε|t|) → B(Lp(Rn)),

Θ(f) :=∫ ∞

−∞Wα

0 f(t)Tα(t)dt, f ∈ T (α)(eε|t|),

es un grupo de distribuciones de orden α y crecimiento eε|t| de generador

una extension de iA. ¤

(3) Sea A un operador cerrado y densamente definido en un espacio de

Banach X. Las condiciones σ(A) ⊂ R, y que la resolvente R(z, A) verifique

la acotacion (4.2) para z 6∈ R y algun β ≥ 0, son las hipotesis consideradas

por E. B. Davies para definir el calculo funcional Ψ en [D1] y [D2]. Remitimos

a la seccion 3.5 para la notacion y conceptos que vamos a emplear.

Repitiendo la demostracion del Teorema 4.1.1, se concluye que iA genera

un grupo de distribuciones Θ de orden α y crecimiento eε|t| para todo α >

β y ε > 0. Sabiendo que en el caso particular en que A genera un C0-

semigrupo holomorfo con la propiedad (Gγ), los calculos Φ y Ψ coinciden

([GMP, Theorem 2.1]), y que por el Corolario 3.5.4 se cumple que

Φ(f) =12π

Θ(F−1f), f ∈ D,

parece natural conjeturar que en el caso general, sin necesidad de que A

genere un C0-semigrupo, se da la igualdad

Ψ(Ff) =12π

Θ(f), f ∈ D.

4.2 Operadores diferenciales en espacios euclıdeos

Sea E = Lp(Rn) con 1 ≤ p ≤ ∞, C0(Rn) o Cb(Rn).

4.2. Operadores diferenciales en espacios euclıdeos 155

Una funcion f definida en Rn diremos que cumple la hipotesis (H) si es de

la forma f = iP donde P es un polinomio real y elıptico, o P ∈ C(∞)(Rn\0)y es una funcion real homogenea de grado m > 0 tal que P (x) = 0 implica

x = 0. Es conocido que, a traves de la transformada de Fourier, una funcion

f que verifica la hipotesis (H) define un operador lineal y cerrado en E que

denotaremos por AE [H2, pp. 8-9].

Si E es uno de los espacios anteriores, se define el numero nE mediante

nE =

n|12 − 1p | para E = Lp(Rn), 1 < p < ∞.

n2 para E = L1(Rn), L∞(Rn), C0(Rn) o Cb(Rn).

Utilizando tecnicas de multiplicadores de Fourier, M. Hieber probo el

siguiente teorema.

Teorema 4.2.1 [H2, Theorem 4.2] Sean E uno de los espacios de Banach

anteriores y f una funcion en Rn que verifica la hipotesis (H). Si α > nE

entonces el operador AE es el generador de un grupo α-veces integrado

(Tα(t))t∈R en E. Mas aun, existe una constante CE > 0 tal que

‖Tα(t)‖B(E) ≤ CE(1 + |t|α), t ∈ R.

Si f es homogenea, entonces ‖Tα(t)‖B(E) ≤ CE |t|α para t ∈ R.

Para determinados espacios E y funciones f es posible disminuir el valor

de α [H2, Theorem 4.2, Theorem 4.3].

Balabane y Emamirad probaron que si k es un entero mayor que n/2

entonces una extension de AE genera un grupo de distribuciones Θ, donde

Θ : Tk → B(E) con E = Lp(Rn), 1 < p < ∞ [BE3, Theorem 4] (vease

seccion 1.4 para la definicion de Tk). En el siguiente teorema extendemos

este resultado.


Teorema 4.2.2 En las condiciones del Teorema 4.2.1, para todo α > nE ,

una extension de AE genera el grupo de distribuciones Θ de orden α y

crecimiento (1 + |t|α) tal que

Θ(g) :=∫ ∞

−∞Wα

0 g(t)Tα(t)dt, g ∈ T (α)(1 + |t|α).

Si f es homogenea se cumple que AE genera un grupo de distribuciones Θ

de orden α y crecimiento |t|α, analogamente para todo α > nE .

Demostracion. La demostracion es analoga a la del Teorema 4.1.1, ya que

por los Ejemplos 1.4.11, (1 + |t|α) ∈ Wα y |t|α ∈ Bα. ¤

Ejemplo. [H2, p. 15] Si α > |12 − 1p |, una extension del operador de

Korteweg-De Vries

Ap =d3

dx3+

d

dx

genera un grupo de distribuciones Θ : T (α)(1+|t|α) → B(Lp(R)), 1 ≤ p ≤ ∞.

Teorema 4.2.3 En la condiciones del Teorema 4.2.1, A2E genera un semi-

grupo holomorfo (S(z))<z>0 de angulo π2 tal que

‖S(z)‖B(E) ≤ Cα

( |z|<z

)α+12

((

1<z

)α2 + (

|z|<z

)α2

), <z > 0.

Por tanto iA2E genera un grupo (α + 1

2)-veces integrado (Sα+ 12(it))t∈R. En

particular si f es homogenea,

(i) (S(z))<z>0 es un C0-semigrupo holomorfo que cumple (HGα+ 12).

(ii) ‖Sα+ 12(it)‖ ≤ Cα|t|α+ 1

2 , para todo t ∈ R.

(iii) −(−A2E)

12 genera un C0-semigrupo holomorfo de angulo π

2 que verifica

la propiedad (HGα).

4.3. Cotas gaussianas en espacios metricos 157

Demostracion. Por el Teorema 4.2.1, (Tα(t))t∈R es un grupo α-veces inte-

grado generado por AE tal que

‖Tα(t)‖B(E) ≤ CE(1 + |t|α), t ∈ R,

con α > nE . Por la Proposicion 3.4.7 (i) con β = 0 y ν = α, A2E genera un

semigrupo holomorfo (S(z))<z>0 de angulo π2 tal que

‖S(z)‖B(E) ≤ Cα

( |z|<z

)α+12

((

1<z

)α2 + (

|z|<z

)α2

), <z > 0.

Aplicando a continuacion el apartado (ii) de la Proposicion 3.4.7, se concluye

que iA2E genera un grupo (α+ 1

2)-veces integrado (Sα+ 12(it))t∈R con α > nE .

Los apartados (i) y (ii) son consecuencias de la Proposicion 3.4.7 (iii).

La parte (iii) se demuestra al aplicar directamente el Teorema 3.3.3. ¤

Nota. Sea E = Lp(Rn), con 1 ≤ p < ∞, n ∈ N. Los Teoremas 4.2.2 y 4.2.3

se aplican a los bien conocidos ejemplos de f(x) = −i|x|2, correspondiente al

laplaciano −∆p, generador infinitesimal del semigrupo gaussiano (Gz)<z>0;

y f(x) = −i|x| correspondiente a −(∆p)1/2, generador infinitesimal del semi-

grupo de Poisson (P z)<z>0 [ABHN, Section 3.7].

Otros resultados sobre operadores diferenciales (definidos esta vez a par-

tir de polinomios coercivos) y sobre operadores pseudodiferenciales que gene-

ran semigrupos integrados han sido probados por M. Hieber en [H3] y [H4].

Tambien se ha desarrollado la teorıa de semigrupos C-regularizados gene-

rados por operadores diferenciales en Lp(Rn), vease por ejemplo [LZ].

4.3 Cotas gaussianas en espacios metricos

En este apartado consideramos extensiones de los resultados anteriores a

casos, en general, no euclıdeos. A continuacion seguimos el planteamiento

de E. B. Davies en [D2].


Sea (M, d) un espacio metrico, segundo contable y localmente compacto.

Se denota por dx la medida de Borel en M y supondremos que cada bola

B(x, r) := y : d(x, y) ≤ r tiene crecimiento polinomial:

|B(x.r)| =

c0rN si 0 < r ≤ 1,

c0rM si 1 ≤ r < ∞,

donde 0 < c0 < ∞, x ∈M y 0 < N ≤ M < ∞.

Consideramos A2 un operador autoadjunto no negativo que actua en

L2(M) y (T (2)(t))t≥0 el C0-semigrupo generado por A2, en B(L2(M)) y un

nucleo integral K(t, x, y) definido para t > 0, x, y ∈M tal que

T (2)(t)f(x) =∫

MK(t, x, y)f(y)dy,

|K(t, x, y)| ≤ c1

tN/2exp

(−c2d(x, y)2

t

),

para todo t > 0, x, y ∈M y c1, c2 > 0.

Ejemplos de estos operadores son los de Laplace-Beltrami en variedades

de Riemann de geometrıa acotada, operadores diferenciales de segundo or-

den, uniformente elıpticos en L2(Rn) y operadores de Schrodinger magneticos

de la forma A := (−i∇−a(x))2 en L2(Rn) donde a(x) es un cierto potencial

vectorial [D2, p. 178].

Teorema 4.3.1 [D2, Lemma 1, Lemma 2] Bajo las condiciones anteriores,

el C0-semigrupo (T (2)(t))t≥0 se interpola en Lp(M) para todo 1 ≤ p < ∞.

Ademas cada uno de estos semigrupos se extiende analıticamente a un C0-

semigrupo holomorfo (T (p)(z))z∈C+ tal que

‖T (p)(z)‖B(Lp(M)) ≤ Ce2ε<z

( |z|<z

)M

, z ∈ C+, (4.3)

con C > 0 y para todo ε > 0.

Sea Ap el generador infinitesimal del C0-semigrupo (T (p)(t))t≥0. La cota

obtenida para el semigrupo (T (p)(z))<z>0 en el teorema anterior permite

demostrar que σ(Ap) ⊂ (−∞, 0], [D2, Lemma 3].


El teorema anterior extiende otros varios probados en el caso M = Rn,

[Ou, Theorem 2.4], [Ou, Theorem 3.1] y [ZZ, Theorem 2.2]; mientras que el

proximo resultado corresponde a [ZZ, Theorem 2.3].

Teorema 4.3.2 Bajo las condiciones anteriores, si α > M se cumple lo

siguiente.

(i) iAp genera un grupo α-veces integrado, (T (p)α (it))t∈R, tal que

‖T (p)α (it)‖ ≤ Cα(1 + |t|α), t ∈ R.

(ii) iAp genera un grupo (1−A)−α-regularizado, (V (it)t∈R, tal que

‖V (it)‖ ≤ C(1 + |t|α), t ∈ R.

Demostracion. Basta aplicar el Teorema 3.4.4. ¤

De la acotacion (4.3), se sigue que (Ap − 2ε) genera un C0-semigrupo

holomorfo que verifica la propiedad (HGM ). Toda la teorıa expuesta en los

capıtulos 2 y 3 es aplicable a esta situacion, en especial las secciones 3.4 y

3.5.

El Teorema 4.3.1 permite probar, o bien por el calculo Φ ([GMP, The-

orem 2.6]), o bien por el calculo Ψ [D2, Theorem 5], que σ(Ap) no depende

de p con 1 ≤ p < ∞. Si (T (2)α (it))t∈R es un grupo α-veces integrado tal que

se interpola en Lp(M), (1 ≤ p < ∞) y

‖T (p)α ‖B(Lp(M)) ≤ Cα,pτ

(p)α (t), t ∈ R,

con τ(p)α ∈ Wα y se da la regularidad de las algebras T (α)(τ (p)

α ) entonces a

traves de los homomorfismos Θ(p)α definidos a partir del Teorema 2.2.6 parece

posible probar la invarianza de σ(Ap) con 1 ≤ p < ∞.


En los casos en que M = G es un grupo de Lie, encontramos una gran

variedad de semigrupos holomorfos. Los ejemplos que a continuacion se co-

mentan han sido obtenidos de las referencias senaladas y pueden encontrarse

en [GP, Section 7.D] y [GMP, Section 5], donde conexiones con las teorıas

de multiplicadores y representaciones son tratadas.

Sean G un grupo de Lie conexo y ∆p = −(X21 + X2

2 + . . . + X2k) el

sublaplaciano homogeneo en Lp(G). En algunos grupos de Lie, el volumen

de la bola B(x, r) es de tipo exponencial ([Ku], [Mus]) y por tanto no se dan

las condiciones exigidas por Davies; en cambio, una propiedad del tipo (Gα)

se da para el semigrupo (e−z∆p)<z>0 [Mus, Theoreme 2].

Si G es un grupo de Lie estratificado y nilpotente de dimension ho-

mogenea n, se cumple lo siguiente.

(i) El semigrupo de Poisson (P z((∆1)1/2))<z>0, generado por −(∆1)1/2,

pertenece a L1(G) y verifica que

‖P z((∆1)1/2)‖L1(G) ≤ C

( |z|<z

)n2

, z ∈ C+ (4.4)

[GP, Proposition 7.8].

(ii) El semigrupo de Gauss (Gz((∆1)1/2))<z>0, generado por ∆1, pertenece

a L1(G) y verifica que para todo ε > 0 existe Cε > 0 tal que

‖Gz((∆1)1/2)‖L1(G) ≤ Cε

( |z|<z

)n2+ε

, z ∈ C+ (4.5)

[Du, Theorem 3].

Los valores frontera de estos semigrupos holomorfos dan lugar, en par-

ticular, a familias integradas.

Teorema 4.3.3 Sea G un grupo de Lie estratificado, nilpotente de dimen-

sion homogenea n y sea ∆1 el sublaplaciano homogeneo. Bajo estas condi-

ciones,


(i) −i(∆1)1/2 genera un grupo α-veces integrado con α > n/2 y −(∆1)1/2

es el generador de un operador coseno α-veces integrado con α > n +

1/2 en L1(G).

(ii) i∆1 genera un grupo α-veces integrado con α > n/2 y ∆1 es el gener-

ador de un operador coseno α-veces integrado con α > n/2 en L1(G).

Demostracion. (i) Por la acotacion (4.4), el semigrupo (P z((∆1)1/2))<z>0

verifica la propiedad (HGn2) y aplicando el Teorema 3.4.9, se concluye que

−i(∆1)12 genera un grupo α-veces integrado con α > n/2 y −(∆1)

12 un

operador coseno α-veces integrado con α > n + 1/2.

(ii) Por la acotacion (4.5), el semigrupo (Gz((∆1)1/2))<z>0 verifica la propie-

dad (HGn2+ε) para todo ε > 0 y aplicando el Teorema 3.4.9, se sigue que i∆1

genera un grupo α-veces integrado con α > n/2. Debido al primer apartado

y al Teorema 3.4.8, se prueba que ∆1 genera un operador coseno α-veces

integrado con α > n/2. ¤

Para el grupo de Heisenberg, Hn = Cn × R, (de dimension homogenea

2n + 2 y de dimension euclıdea 2n + 1, n ∈ N), la cota (4.4) se reduce al

poder sustituir (trabajar finamente) la dimension homogenea de Hn por la

euclıdea gracias a las estimaciones obtenidas en [MS] y [Mu] para la ecuacion

de ondas. Ası, si α > n, entonces se demuestra que

‖P z((∆1)1/2)‖L1(Hn) ≤ Cα

( |z|<z

)α

, z ∈ C+,

consecuencia del unico teorema de [MS]. De aquı, podemos aplicar el Teo-

rema 3.4.9, obteniendo, en particular, que la acotacion (4.5) se mejora hasta

‖Gz((∆1)1/2)‖L1(Hn) ≤ Cα

( |z|<z

)α+ 12

, z ∈ C+,

(resultado ya conocido). Y por tanto, podemos enunciar un teorema analogo

al Teorema 4.3.3.

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c´alculo funcional fraccionario asociado al … pedro j...c 2 b(x) es un operador inyectivo, de...

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