1. clculo en fenmenos naturales y procesos sociales00 Calculo Preliminares.indd 111/21/12 8:03 PM

2. 00 Calculo Preliminares.indd 211/21/12 8:03 PM 3. clculo en fenmenos naturales y procesos sociales00 Calculo Preliminares.indd 311/21/12 8:03 PM 4. Secretara de Educacin Pblica Jos ngel Crdova Villalobos Subsecretara de Educacin Media Superior Miguel ngel Martnez Espinosa Direccin General del Bachillerato Carlos Santos Ancira Autor Osman Villanueva Garca Asesora acadmica Demetrio Garmendia Guerrero Apoyo tcnico pedaggico Araceli Hernndez Cervantes Revisin pedaggica Patricia Pozos Bravo Revisin tcnico-pedaggica de la Direccin General del Bachillerato Cuautli Surez JimnezCoordinacin y servicios editoriales Edere S.A. de C.V. Jos ngel Quintanilla DAcosta Mnica Lobatn Daz Diseo y diagramacin Visin Tipogrfica Editores, S.A. de C.V. Material fotogrfico e iconograf a Shutterstock Images, LLC/ Martn Crdova Salinas Isabel Gmez CaravantesPrimera edicin, 2012. D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2012. Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D. F. ISBN Impreso en Mxico00 Calculo Preliminares.indd 411/21/12 8:03 PM 5. Tabla de contenido Presentacin general ..................................... 8 Cmo utilizar este material................................. 11 Tu plan de trabajo ....................................... 14 Con qu saberes cuento? ................................. 17UNIDAD 1 MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADA ELQu voy a aprender y cmo? ................................ 21 Movimiento, cambio y lmite ................................ 24 dependencia del movimiento en los fenmenos naturales La y los procesos sociales................................... 26La cada libre de un proyectil, un excelente punto de partida.......... 32 Mtodo de los incrementos................................ 38Autoevaluacin. ........................................ 42 Funcin, un concepto matemtico imprescindible para comprender nuestro entorno......................................... 45 La funcin lineal ...................................... La funcin cuadrtica en la variable x.......................... Las funciones trigonomtricas (principales y secundarias).............. La funcin valor absoluto................................. La funcin escalonada................................... La funcin raz cuadrada.................................. La funcin exponencial y logaritmo natural.......................47 50 50 53 54 54 55Construccin de la recta tangente a una curva, razn instantnea de cambio y la derivada de una funcin ......................... 57 Descripcin de la pendiente de la recta tangente a una curva, la derivada..... 58 Relacin entre continuidad y diferenciabilidad de una funcin ............ 63Reglas bsicas de derivacin y razones de cambio .................. 71 Regla de la funcin constante............................... Regla de la funcin potencia................................ Regla del mltiplo constante de una funcin...................... Regla de la suma y diferencia de funciones....................... Derivadas de las funciones seno y coseno........................ Regla del producto de funciones.............................72 74 75 77 78 79500 Calculo Preliminares.indd 511/23/12 4:38 PM 6. Tabla de contenido Regla del cociente de funciones .............................. 81 Derivadas de las funciones trigonomtricas....................... 82 Regla de la cadena o derivada de una funcin compuesta. . . . . . . . . . . . . . . 83Comportamiento de funciones, puntos crticos, mximos y mnimos ....90 Problemas referentes al comportamiento de funciones y el uso de la derivada ... 91 Definicin de conceptos referentes al comportamiento de funciones y uso de la derivada ..................................... 96Problemas de optimizacin y aplicaciones de la derivada ............ 101Aplicaciones del clculo diferencial en fenmenos naturales y procesos sociales ...................................... 106 UNIDAD 2 LA DERIVADA EN LA EXPLICACIN DE LOS FENMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALESQu voy a aprender y cmo? ............................... 109 Dinmica poblacional, un fenmeno que incita al clculo ............ 113 Historia y nacimiento del clculo ............................ 117Antiderivada e integral indefinida............................ 119 La distancia recorrida por un mvil con velocidad no constante .......... 119 Antiderivadas........................................ 120Reglas bsicas de integracin ............................... 124El rea bajo la curva y el concepto de integral definida .............. 128 Descubrimiento del nmero pi.............................. Origen de la integral definida............................... El concepto de integral definida a partir del rea bajo la curva............ Propiedades de las integrales definidas .........................131 135 138 146El teorema fundamental del clculo (conexin de las operaciones inversas) ............................................. 148 Integracin por sustitucin ................................ 154 Regla general de la potencia para la integracin .................. 159Valor promedio y rea comprendida entre dos curvas............... 164 Aplicaciones de la integracin............................... 168 Clculo integral en fenmenos naturales y procesos sociales.......... 177600 Calculo Preliminares.indd 611/21/12 8:03 PM 7. Tabla de contenidoYa estoy preparado(a)?.................................. 179 Apndices Apndice 1. Clave de respuestas ............................. 187 Apndice 2. Mi ruta de aprendizaje ..........................269 Apndice 3. La consulta de fuentes de informacin en Internet........... 270 Apndice 4. Las nociones matemticas y el infinito.................. 273Fuentes consultadas .................................... 275700 Calculo Preliminares.indd 711/21/12 8:03 PM 8. Presentacin general Este libro fue elaborado para ayudarte a estudiar el mdulo Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales del plan de estudios de la Preparatoria Abierta que ha establecido la Secretara de Educacin Pblica (SEP), pero tambin est diseado para utilizarse en otros sistemas educativos de la modalidad no escolarizada y mix ta. Sabiendo que trabajars de manera independiente la mayor parte del tiempo este libro te brinda orientaciones muy precisas sobre lo que tienes que hacer y te proporciona la informacin que requieres para aprender. Los estudios que iniciars se sustentan en un enfoque de educacin por com petencias; es decir, que adquirirs nuevos conocimientos, habilidades, actitudes y valores; recuperars otros para transformarlos en capacidades para desempearte de forma eficaz y eficiente en diferentes mbitos de tu vida personal, profesional y laboral. Para facilitar tu estudio es importante que tengas muy claro qu implica apren der competencias, cmo se recomienda estudiar en una modalidad no escolarizada y cmo utilizar este libro.Qu es una competencia? En el contexto educativo, hablar de competencias no es hacer referencia a una contienda entre dos o ms personas por alcanzar determinado fin o a una justa deportiva. El Acuerdo Secretarial 442 de la Secretara de Educacin Pblica define competencia como la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico. La meta de la formacin como bachiller es que t desarrolles las competencias que han sido definidas por la SEP como perfil de egreso para la Educacin Media Superior. No se pretende que slo memorices informacin o demuestres habilida des aisladas. Lo que se busca es que logres aplicar de manera efectiva tus conoci mientos, habilidades, actitudes en situaciones o problemas concretos. La cantidad de informacin de la que se dispone en la poca actual provoca que busquemos formas diferentes de aprender pues memorizar contenidos resulta in suficiente. Ahora se requiere que aprendas a analizar la informacin y te apropies de los conocimientos hacindolos tiles para ti y tu entorno. Por eso cuando estudies, no orientes tus esfuerzos a memorizar sino a identifi car los conceptos ms importantes, a analizarlos con detenimiento para compren derlos y reflexionar sobre cmo se relacionan con otros trminos. Busca informacin adicional. Pero no te quedes all aprende cmo aplicar los saberes en situaciones y contextos propuestos en las actividades. Haz lo mismo con las habilidades, las ac titudes y los valores. De manera concreta, es recomendable que para aprender sigas estos pasos:800 Calculo Preliminares.indd 811/21/12 8:03 PM 9. Presentacin generalReconoce lo que ya sabesAplica lo aprendido en tareas especficasMide tu desempeoIdentifica la informacin relevanteComplementaMejora el procesoAnaliza y comprendeReflexiona y busca relacionesSigue aprendiendo!En este libro, adems de leer y estudiar textos y procedimientos, encontrars pro blemas a resolver, casos para analizar y proyectos a ejecutar. stos te ofrecern evidencias sobre las capacidades que desarrollars y podrs valorar tus avances. Para acreditar el mdulo Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales es bsico que demuestres que eres capaz de analizar y resolver situaciones, problemas y casos que te exigen la unin de conocimientos, habilidades, actitudes y valores.Estudiar en una modalidad no escolarizada Una modalidad educativa no escolarizada como la que ests cursando tiene como ventaja una gran flexibilidad. T decides a qu hora y dnde estudias, y qu tan rpido avanzas. Puedes adecuar tus horarios a otras responsabilidades cotidianas que tienes que cubrir como el trabajo, la familia o cualquier proyecto personal. Pero en esta modalidad educativa se requiere que lleves a cabo las siguientes acciones: Seas capaz de dirigir tu proceso de aprendizaje. Es decir que: Definas tus metas personales de aprendizaje, considerando el propsito formativo de los mdulos. Asignes tiempo para el estudio y procures contar con todos los recursos necesarios en un espacio apropiado. Regules tu ritmo de avance. Aproveches los materiales que la SEP ha preparado para apoyarte. Utilices otros recursos que puedan ayudarte a profundizar tu aprendizaje. Identifiques cuando enfrentas dificultades para aprender y busques ayuda para superarlas. 900 Calculo Preliminares.indd 911/21/12 8:03 PM 10. Presentacin general involucres de manera activa en tu aprendizaje. Es decir que: Te Leas para comprender las ideas que se te presentan y construyas significados. Recurras a tu experiencia como punto de partida para aprender. Realices las actividades propuestas y revises los productos que generes. Reconozcas tus fortalezas y debilidades como estudiante. Selecciones las tcnicas de estudio que mejor funcionen para ti. Emprendas acciones para enriquecer tus capacidades para aprender y po tenciar tus limitaciones. Asumas una postura crtica y propositiva. Es decir que: Analices de manera crtica los conceptos que se presentan. Indagues sobre los temas que estudias y explores distintos planteamientos en torno a ellos. Plantees alternativas de solucin a los problemas. Explores formas diversas de enfrentar las situaciones. Adoptes una postura personal en los distintos debates. Seas honesto y te comprometas contigo mismo. Es decir que: Realices t mismo las actividades. Consultes las respuestas despus de haberlas llevado a cabo. Busques apoyo, si lo requieres en los Centros de Servicio de Preparatoria Abierta. Destines el tiempo de estudio necesario para lograr los resultados de apren dizaje. Evales tus logros de manera constante. Es decir que: Analices tu ejecucin de las actividades y los productos que generes utili zando la retroalimentacin que se ofrece en el libro. Identifiques los aprendizajes que alcances utilizando los referentes que te ofrece el material. Reconozcas las limitaciones en tu aprendizaje y emprendas acciones para superarlas. Aproveches tus errores como una oportunidad para aprender. Reflexiones sobre tu propio proceso de aprendizaje. Es decir que: Te preguntes de manera constante: qu estoy haciendo bien?, qu es lo que no me ha funcionado? Realices ajustes en tus estrategias para mejorar tus resultados de aprendizaje. Como puedes ver, el estudio independiente es una tarea que implica el desarrollo de muchas habilidades que adquirirs y mejorars a medida que avances en tus estudios. El componente principal es que ests comprometido con tu aprendizaje. 1000 Calculo Preliminares.indd 1011/21/12 8:03 PM 11. Cmo utilizar este material Este libro te brinda los elementos fundamentales para apoyarte en tu aprendizaje. Lo constituyen di versas secciones en las que se te proponen los pasos que es recomendable que sigas para estudiar. 1. En la seccin Tu plan de trabajo encontrars el propsito general del mdulo, las competencias que debers desarrollar y una explicacin gene ral de las unidades. Es importante que sea lo pri mero que leas del libro para definir tu plan personal de trabajo.Y LA DERIVADA 2. En la seccin Con qu saberes cuento? se pre senta un examen con el que puedes valorar si posees los saberes requeridos para estudiar con xito el mdulo. Es oportuno que identifiques desde el inicio si necesitas aprender o fortalecer algn conocimiento o habilidad antes de comen zar. 3. Estudies las unidades en el orden sugerido para su abordaje. Cada una de ellas contiene activida des de aprendizaje e informacin necesaria para realizarlas; sin embargo se te sugerir de maneraClculo en fenmenos naturales y procesos socialessabes sobre el movimiento y el cambio? Menciona algunos ejemplos de tu vida cotidiana que ilustren estos conceptos.Glosario Resalta aquellos trminos que pueden ser de difcil comprensin y cuya definicin encontrars en el margen correspondiente. Se indican con letra roja.RecuerdaverificartusrespuestasenelApndice1.La naturaleza crea y destruye constantemente la materia, la cual se encuentra en movimiento, y al hacerlo realiza un proceso que altera o modifica su estado o cons titucin, es decir, la cambia. Diferentes aspectos de estos cambios y movimientos son estudiados por alguna de las disciplinas cientficas como la qumica, f sica, biologa, economa y demograf a, entre otras. La qumica por ejemplo, es la ciencia encargada de estudiar la estructura y el comportamiento de la materia que nos rodea. La f sica hace su parte como ciencia natural al estudiar y analizar las pro piedades del espacio, el movimiento, el tiempo, la materia y energa, as como sus interrelaciones. E biologa se estudia la motilidad, que se refiere a la capacidad ad quirida por los organismos vivos para desplazarse de forma espontnea e inde pendiente, mientras que en psicologa dicho trmino, representa la capacidad de IssacNewton. glosario realizar movimientos complejos y coordinados. Lmite:en matemticas un lmite es una magnitud a la que se Ahora bien, la rama de la matemtica que propor acercan progresivamente los trminos de una secuencia infinita ciona el mtodo de anlisiscuantitativo y cualitativo de magnitudes. Un lmite matemtico, por lo tanto, expresa la de los distintos procesos de cambio, movimiento y de tendencia de una funcin o de una sucesin mientras sus par metros se aproximan a un cierto valor. Una definicin informal pendencia de una magnitud respecto de otra es el Cl del lmite matemtico indica que el lmite de una funcin f(x) es culo, tambin llamado Anlisis matemtico, que T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada constituye en esencia un mtodo que utiliza como ocasin un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan base el concepto de los infinitesimales, el cual tambin cercano a T como se pretenda. Tomado de http://definicion. se conoce como lmite (vase el final de la seccin 1.3). de/matematicas/ El lmite tiene que ver con los procesos infinitos en el razonamiento matemtico; tales procesos infinitos se Gestin del aprendizaje haban evitado hasta antes de inventarse el clculo. Si queremos determinar el valor exacto de una cierta magnitud Cuestionarse sobre las causas del movimiento ha podramos comenzar primero dando una aproximacin a dicha sido una tarea que ocup la mente del ser humano des magnitud, y despus realizar varias aproximaciones cada vez de hace ms de 25 siglos; sin embargo, las respuestas ms precisas. Del anlisis de esta cadena de aproximaciones lleque hoy conocemos se desarrollaron a partir del siglo garamos al valor exacto de la magnitud si este proceso se siguiera indefinidamente. El valor que deseamos conocer, adquiexvi y xvii gracias a los trabajos realizados por cient re el carcter de una constante como resultado de un proceso de ficos como Galileo Galilei (15641642) e Isaac Newton esa naturaleza. (16421727). 25Gestin del aprendizaje Ofrece informacin que te orienta para alcanzar tus metas de estudio. En ellas puedes tener explicaciones de carcter terico, sobre estrategias de aprendizaje y sobre tcnicas de estudio.1100 Calculo Preliminares.indd 1111/21/12 8:03 PM 12. Cmo utilizar este materialcontinua que consultes fuentes adicionales a este libro. 4. Para que puedas evaluar los productos que reali ces est el primer apndice del libro. En l en contrars la clave de respuestas a las actividades. No dejes de consultarlo despus de haberlas rea lizado. 5. Tambin encontrars una seccin de evalua cin final del mdulo, Ya estoy preparado(a)? Su resolucin te permitir valorar si ya lograste los aprendizajes propuestos y si ests en conY LA DERIVADAdiciones de presentar tu examen para acredi tarelmdulo en la SEP. Es muy importante que califiques honestamente tus respuestas y una vez que tengas los resultados pienses sobre loque ste funcion y lo que no, de las acciones que aplicaste para aprender en cada tema y de esa forma adoptes mejoras para tu proceso deaprendizaje. Con frecuencia se te recomienda buscar informa cin en Internet, o acceder a algunas pginas electrClculo en fenmenos naturales y procesos socialesIndicador de desempeo Indica las acciones que realizars en un periodo determinado. Al conjuntar los diversos desempeos enunciados logrars el propsito formativo de la unidad. Utilzalos como un referente para valorar de manera continua tu desempeo.Grfico 1 Sistema climtico mundial.2Con base en la informacin obtenida en los prrafos anteriores, responde las siguientes preguntas:1. Cmo ayudan las matemticas en el estudio del cambio climtico?2. De qu forma impacta el clima o los sismos en nuestra vida diaria?3. Analiza los cambios en la temperatura ambiental que contribuye a la prediccin del clima en determinado perodo. Justifica tu respuesta.RecuerdaverificartusrespuestasenelApndice1Uno de los requisitos importantes de la informacin climtica est relacionado con el futuro, es decir, con la toma de decisiones sobre lo que suceder o podra sucederEsts trabajando para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y/o procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen. Ms informacin en... Puedes apoyarte en los siguientes enlaces electrnicos: Portal de la Organizacin Meteorolgica Mundial: http://www. wmo.int/pages/index_es. html; Portal del Servicio Meteorlgico Nacional http://smn.cna.gob.mx/.27Actividad Encontrars una gran diversidad de actividades con las que desarrollars tus competencias. Lee las instrucciones con atencin y ejectalas para aprender.Mas informacin en En esta seccin encontrars sugerencias de direcciones electrnicas y ttulos de libros complementarios, en soporte impreso o digital, a los que puedes recurrir para ampliar tus conocimientos.1200 Calculo Preliminares.indd 1211/21/12 8:03 PM 13. Cmo utilizar este materialnicas, no te limites a dichas recomendaciones, busca otras; en ocasiones, dada la velocidad con que se ac tualiza la informacin en Internet, encontrars que algunas no estn disponibles, por lo que saber bus car (navegar) te ser muy til. Si tienes alguna duda sobre cmo hacerlo, consulta el Apndice 2 La consulta en fuentes de informacin en Internet.Para saber ms Brinda informacin interesante, curiosa o novedosa sobre el tema que se est trabajando y que no es esencial sino complementaria.Concepto clave A lo largo del libro se resaltan con azul los trminos esenciales para la comprensin de la situacin o el tema que ests analizando.BIO Y LA DERIVADAA lo largo del texto encontrars una serie de ele mentos grficos que te ayudarn en la gestin de tu aprendizaje. Te sealamos cules son y qu significan. Conforme avances identificars cules de estos recursos te resultan ms tiles dadas tus capacida des para aprender y tu estilo de aprendizaje. Apro vchalos para sacar el mayor beneficio de este libro!U2LA DISTANCIA RECORRIDA POR UN MVIL, EL REA BAJO LA CURVA Y LA INTEGRALClculo en fenmenos naturales y procesos sociales La notacin matemtica descrita anteriormente se denomina suma de Riemann en honor al matemtico Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), quien generaliz el concepto de integral definida hasta abarcar una categora de funciones mucho ms amplia.cerrado, se deben de comparar los valores de f en sus puntos crticos con los que tenga en los puntos extremos del intervalo.Ejemplo 1 Determinacin de un rea mnima. Para el diseo del presente escrito, la editorial solicit al autor que los mrgenes superior e inferior de toda pgina impresa deban ser de 3 centmetros, mientras que los de la izquierda y derecha de 2 centmetros respectivamente (vase la figura 29). Si la pgina rectangular debe contener 384 centmetros cuadrados de rea de impresin, cules deben ser las dimensiones de cada pgina de modo que se use la menor cantidad de papel?Sea f definida en el intervalo cerrado [ a, b ] y sea D una particin de [ a, b ] ba dada por x0 = a < x1 < x 2 < ... < xn = b con xi xi 1 = xi = x = para n i = 1, 2, 3, 4, ... , n . Donde Dxi es la longitud del i-simo subintervalo. Si ci representa cualni =1se llama suma de Riemann de f para la divisin de D.Regresando al problema planteado, y refirindonos a ambas figuras anteriores (14 y 15) se aprecia que: S ( n ) < A < S ( n ) . Ambas desigualdades se cumplen cuando se trata de funciones definidas positivas y crecientes en el intervalo. ste es un caso bastante similar al del rea del crculo de radio r. Ahora bien, si el nmero de n rectngulos es muy grande o, de forma equivalente, si Dx es muy pequeo, entonces el valor de la suma de las reas rectangulares debe parecerse mucho al rea de la regin A que deseamos definir. Como se puede apreciar, cuando Dx se acerca cada vez ms a cero (Dx tiende a cero), entonces n se incrementa indefinidamente (n tiende a infinito) y, en consecuencia se observa que tanto S ( n ) como S ( n ) se aproximan al valor exacto del rea de la regin A. Y precisamente, este es el concepto de lmite una vez ms! En otras palabras, se tiene que:A = ( x + 6 )( y + 4 )Figura 29 La cantidad que debe minimizarse est dada por A = ( x + 6)( y + 4) .384 2304 A( x ) = ( x + 6 ) + 4 = 408 + 4 x + x x El problema planteado slo tiene sentido para valores de A donde la x > 0 . Con el fin de encontrar los puntos crticos, se iguala a cero la derivada de A(x): A' ( x ) =Definicin de una suma de Riemannquier punto en el i-simo intervalo, entonces la suma f ( ci ) xi , xi 1 ci xiSolucin. Sea A el rea que se debe minimizar, entonces la ecuacin primaria es: Ahora bien, el rea impresa dentro de los mrgenes se expresa mediante la ecuacin secundaria: 384 = xy Al despejar y de la ecuacin secundaria y sustituirla en la ecuacin primaria se obtiene la siguiente funcin de una variable:En la siguiente definicin de una suma de Riemann, y previa a la definicin de integral definida, se debe observar que la funcin f no tiene restricciones excepto que est definida en el intervalo [ a, b ] ; esto es importante ya que veremos ms adelante que al estudiar reas bajo la curva, se le pedir a la funcin que sea continua y no negativa. No obstante, la suma de Riemann no slo permite tratar el problema de reas, sino que es posible utilizarla para muchas aplicaciones que comprenden el lmite de una suma, por ejemplo, determinar cantidades tan diversas como la longitud de un arco, el valor promedio, centroides, volmenes, trabajo, reas superficiales, etctera. n1 n lim S ( n ) = A = lim S ( n ) lim f ( xi ) x = A = lim f ( xi ) x , n x0 x0 i=0 i =1 siempre que el lmite exista. El lmite anterior es uno de los conceptos fundamentales de clculo y se llama la integral definida de la funcin f desde el punto a hasta el punto b del intervalo definido.dA 2304 = 4 2 = 0 x 2 = 576 dx xnPor lo tanto, los puntos crticos son x = 24 . Pero no tiene sentido considerar = 24 porque est fuera del dominio de la funcin. Podemos utilizar el criterio de la segunda derivada para identificar si el punto crtico es mximo o mnimo, derivando la primera derivada se obtiene: 22304 d A 4608 4608 A' ( x ) = 4 2 A'' ( x ) = = ( 2)2304 x 21 = 3 A'' ( 24 ) = >0 dx x x (24 )3 Por tanto la prueba de la segunda derivada confirman que A tiene un mnimo cuando x = 24. Comprueba lo anterior utilizando la prueba de la primera derivada. 384 384 , entonces y = = 16 y las dimensiones de cualquier pPor consiguiente, como y = x 24142gina con las condiciones planteadas en el problema deben ser: x + 6 = 24 + 6 = 30 cm (largo), por y + 4 = 16 + 4 = 20 cm (ancho).103Ejemplo Te ofrece una opcin ms de reforzar el tema estudiado, mediante ejemplos concretos.1300 Calculo Preliminares.indd 1311/21/12 8:03 PM 14. Tu plan de trabajo En la naturaleza como en la sociedad nada es esttico, todo est en constante trans formacin. Cambia el clima, el tiempo, la energa, el ecosistema, las clases sociales y la sociedad en su conjunto. Pero, cmo predecir el comportamiento de ese todo?, cmo explicarlo? Indagando cmo ocurren las variaciones y aplicando las mate mticas. Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales se ubica en el cuarto nivel del mapa curricular cuyo fin es que establezcas relaciones entre sujetos, objetos y conceptos con la finalidad de analizar y explicar cambios que se presentan en el mundo natural y en el mbito social. Por ello, estudiars como en los otros mdu los de este nivel los fenmenos naturales y los procesos sociales, los principios que los rigen y su aplicacin a travs de la tecnologa. El propsito de estudio de este mdulo es que utilices el clculo infinitesimal, con apoyo de teoras y modelos matemticos como las funciones y la derivacin, para analizar, describir y explicar los comportamientos de los fenmenos naturales y los procesos sociales propios de tu contexto como estudiante. Para lograr el propsito anterior es importante que continuar desarrollando competencias diversas tales como: Construir e interpretar modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales para compren der y analizar situaciones reales, hipotticas y formales. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos mate mticos y contrastarlos con modelos establecidos o situaciones reales. Analizar las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Establecer la interrelacin entre la ciencia, la tecnologa, la sociedad y el am biente en contextos histricos y sociales especficos. Identificar problemas, formular preguntas de carcter cientfico y plantear las hiptesis necesarias para responderlas. Relacionar las expresiones simblicas de un fenmeno de la naturaleza y los rasgos observables a simple vista o mediante instrumentos o modelos cientfi cos. Disear prototipos o modelos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios cientficos, hechos o fenmenos relacionados con las ciencias experimentales. Establecer la relacin entre las dimensiones poltica, econmica, cultural y geogrfica de un acontecimiento. Tus herramientas iniciales para trabajar son aquellas que ya tienes porque las adquiriste en la vida, la escuela y el estudio de los mdulos anteriores a ste. Posees las bases, los instrumentos y los mtodos para enfrentarte a los saberes de Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales. 1400 Calculo Preliminares.indd 1411/21/12 8:03 PM 15. Tu plan de trabajoEste mdulo se compone de dos unidades. En la primera, El movimiento como razn de cambio y la derivada, analizars los comportamientos de los fenmenos naturales y los procesos sociales propios de tu entorno, mientras que en la segun da, La derivada en la explicacin de los fenmenos naturales y procesos sociales, explicars el comportamiento de stos por medio de la aplicacin de la derivada, la diferencial, la antiderivada, y el teorema fundamental de clculo, para realizar pre dicciones de dichos fenmenos y procesos ocurridos en lapsos definidos e identifi car su impacto en el entorno. El mdulo de Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales est diseado para ser completado en un total de 60 horas; como ya te habrs dado cuenta, la asignacin del tiempo depende de tu disponibilidad por las actividades cotidianas que lleves a cabo, as como de las habilidades que ya hayas desarrollado. Te reco mendamos que organices tu tiempo para dedicar dos horas diarias de lunes a vier nes, con el fin de terminarlo en alrededor de 6 semanas.Instrumentos de evaluacin Por ltimo, antes de dar comienzo al estudio del mdulo, es importante resaltar la importancia que tiene la tarea de realizar una evaluacin continua de tu proceso de enseanza-aprendizaje para la determinacin del grado de desarrollo que durante el estudio del mdulo hayas logrado.Tablas de cotejo En comparacin con otros instrumentos las tablas de cotejo presentan menos complejidad. Su objetivo es determinar la presencia de un desempeo y para ello se requiere identificar las categoras a evaluar y los desempeos que conforman a cada una de ellas. Para valorar su presencia, es suficiente con colocar una lnea para cada indicador o desempeo y escribir sobre ella una marca para identificar su presencia.Escalas de clasificacin Una escala de clasificacin identifica si se presenta o no determinado atributo, ade ms, proporciona un continuo con X opciones para ponderar la frecuencia en que ste se presenta, donde cada opcin tiene un valor especfico.1500 Calculo Preliminares.indd 1511/21/12 8:03 PM 16. Tu plan de trabajoRbricas Las rbricas son instrumentos que permiten describir el grado de desempeo que muestra una persona en el desarrollo de una actividad o problema. Las rbricas son guas o escalas de evaluacin donde se establecen niveles progresivos de domi nio o pericia relativos al desempeo que una persona muestra respecto de un pro ceso o produccin determinada. Tambin es posible decir que las rbricas integran un amplio rango de criterios que cualifican de modo progresivo el trnsito de un desempeo incipiente o novato al grado del experto. www.dgb.sep.gob.mx/portada/lineamientos-eval-aprendizaje.pdf1600 Calculo Preliminares.indd 1611/21/12 8:03 PM 17. Con qu saberes cuento? Por la forma como has trabajado en los mdulos que has cursado te habrs dado cuenta que posees saberes que te permiten avanzar en la construccin de nuevos conocimientos, pero tambin habrs observado que si no tienes los elementos ne cesarios para comenzar un nuevo mdulo su estudio se dificulta. Comprueba que ya desarrollaste las competencias necesarias para comenzar con este mdulo res pondiendo la siguiente evaluacin en tu cuaderno. Resulvela con base en tus co nocimientos y tu lectura analtica.I) Puntograma matemtico 1. La siguiente tabla te servir para trazar una figura geomtrica. La informacin de la columna Eje x te servir para determinar la coordenada de dicho eje, la columna Eje y te dar la coordenada y. Anota ambos resultados en donde se te pide dentro de la columna Coordenadas. Finalmente, localiza dichas coorde nadas en el plano cartesiano y al final une con lneas los puntos en el siguiente orden: A, B, C, D, E, Qu figura obtienes? Eje xEje yCoordenadas (x, y)Si con dos dlares compras 1013 de libras de pin, cunto pin compras con 13 dlares? Si los tringulos son semejantes, cul es el valor de x? (considera el signo contrario en tu resultado.)2 (30 0 ) 15 11+ 3 3 6 = 2 8 A ( __, __ )B ( __, __ )72x7/2Cul es el 30% de 10 euros? 10 jvenes comen cierto nmero de pizzas en 27 minutos. Si ahora se renen 30 jvenes con la misma necesidad de saciar su apetito, en cunto tiempo se devoran el mismo nmero de pizzas?En apoya al No a la violencia intrafamiliar se repar8 tieron equitativamente 4 metros de listn a 30 per4 sonas, cuntos metros de listn le toc a cada persona? (Multiplica por 10 el resultado.)C ( __, __ )1+ 1 3 2 1 19 1 8 = 3 3 6 Diecisis veces la probabilidad de obtener un guila en un volado.D ( __, __ )3 de la edad de su hijo, que tiene 32 2 aos. (Divide el resultado entre -8.)Cul es la probabilidad de obtener un seis al tirar un 7 dado? (Resta al resultado.) 6E ( __, __ )Arturo tiene1700 Calculo Preliminares.indd 1711/21/12 8:03 PM 18. Con qu saberes cuento? 2. De la figura obtenida en el puntograma anterior, el segmento DE se intersecta en un punto P con el segmento AB. Con esta informacin realiza lo que se te pide: a) Cunto mide el segmento EP? (Sugerencia: usa el teorema de Pitgoras). b) Calcula el rea del cuadrado PBCD. (Sugerencia: usa el teorema de Pitgoras y la frmula rea = lado x lado). c) Muestra que el tringulo AEP es semejante al tringulo PBD. (Sugerencia: utiliza las propiedades de los ngulos congruentes).II) Ecuaciones lineales 1. Si se sabe que el agua se congela a 0 Celsius, (32 Fahrenheit) y hierve a 100 C (212 F), cul de las siguientes ecuaciones lineales expresa la relacin entre la temperatura en grados Celsius y grados Fahrenheit? 9 a) F = C + 32 5 9 b) C = F + 32 5 9 c) F + 32 = C 5 9 d) C = F + 32 5 2. Un migrante mexicano tiene dos puestos para elegir en una corporacin gran de en los Estados Unidos de Amrica. En uno de ellos se le paga 12.50 dlares por unidad ms una compensacin unitaria adicional de 0.75 dlar por unidad producida. En el otro se le paga 9.20 dlares por hora ms una compensacin unitaria de 1.30 dlares. a) Determina las ecuaciones lineales para los salarios por hora, S, en trminos de x, el nmero de unidades producidas por hora, para cada puesto. b) Usa un instrumento (software, frmulas, tablas, etc.) para construir las gr ficas de las ecuaciones lineales en un mismo plano cartesiano y encuentra el punto de interseccin. c) Interpreta el significado del punto de interseccin de las grficas del inciso b). Cmo podras usar esta informacin para seleccionar el puesto correc to si el objetivo fuera obtener el salario mejor pagado por hora de trabajo? Resuelve los siguientes problemas planteando un sistema de dos ecuaciones lineales y haciendo uso del mtodo grfico y algebraico. 1800 Calculo Preliminares.indd 1811/21/12 8:03 PM 19. Con qu saberes cuento? 3. Dos soluciones de un cido, una con 97% y otra con 90%, se mezclan para ob tener 21 litros de una solucin con 95%. Cuntos litros de cada solucin se emplean? 4. Una tripulacin se desplaza 28 kilmetros por hora a favor de la corriente y 24 kilmetros en tres horas contra la corriente. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del agua en el ro.III) Relaciones y funciones 1. Un estudiante que recorre diariamente 7 kilmetros para asistir a la universi dad recuerda, despus de manejar su automvil algunos minutos, que se le ha olvidado el trabajo final que debe entregar. Manejando ms rpido que de cos tumbre, el estudiante regresa a su casa, recoge el trabajo y de nuevo se dirige hacia la escuela. Dibuja una grfica posible de la distancia recorrida por el es tudiante desde su casa, como funcin del tiempo. 2. En una conferencia internacional haba 112 delegados; 68 hablaban alemn; 80 hablaban francs y 64 italiano. Adems 28 delegados hablaban exclusivamente francs, mientras que 45 hablaban alemn y francs; 51 hablaban francs e ita liano y 48 hablaban italiano y alemn. Si todos hablaban al menos un idioma: Cuntos hablan los tres idiomas?, cuntos hablan slo italiano? a) 40 y 13 b) 34 y 10 c) 44 y 9 d) 45 y 8 3. Un proyectil es arrojado verticalmente hacia arriba desde el suelo con una ve locidad inicial (Vo) de 78.4 m/seg. a) Gracias a Galileo Galilei se sabe que la distancia recorrida por el mvil en cada libre es siempre la mitad de la gravedad por el tiempo al cuadrado 1900 Calculo Preliminares.indd 1911/21/12 8:03 PM 20. Con qu saberes cuento?ms el valor de la velocidad inicial por el tiempo, ms la distancia inicial. Escribe la funcin distancia, d ( t ) , que describe el movimiento del proyec til en el tiempo. b) En qu tiempo choca el proyectil con la superficie terrestre? c) Cul es la altura mxima que alcanza el proyectil y en qu tiempo lo hace? d) Realiza la grfica la funcin distancia d ( t ) que esquematiza el desplaza miento del proyectil en el tiempo. 4. Los gastos totales de una excursin ascienden a $90 pesos; si no van 3 perso nas, cada una de las restantes debe pagar un peso ms. Cuntas personas for man el grupo y cunto pagarn cada una?IV) Problema de movimiento En 1957 los rusos lanzaron al espacio el primer satlite fabricado por el hombre, el Sputnik 1. Su rbita alrededor de nuestro planeta fue elptica, siendo el centro de la Tierra un foco de la misma. La altura mxima sobre la superficie terrestre fue, aproximadamente, de 580 millas y la mnima de 30 millas. a) Suponiendo que el radio de la Tierra mide 4,000 millas, deduce la ecuacin de la rbita del Sputnik 1. (no simplifiques el valor de b2). b) Calcula el valor de b con precisin de una milla y vuelve a escribir la ecuacin de la elipse con este resultado. c) Realiza la grfica de la trayectoria del Sputnik 1 (elipse). Al finalizar esta evaluacin diagnstica revisa tus respuestas con las que se presentan en el Apndice 1; toma en consideracin en qu temas no obtuviste re sultados como los que esperabas y repasa esos conocimientos, de tal manera que puedas seguir el estudio de este mdulo con seguridad y un aprovechamiento que te apoye a terminar tus estudios de Preparatoria Abierta.2000 Calculo Preliminares.indd 2011/21/12 8:03 PM 21. 1 unidadEl movimiento como razn de cambio y la derivada Qu voy a aprender y cmo? La mayora de los campos del saber humano se valen de tcnicas matemticas para explicar las relaciones causales de los procesos sociales y los diversos fenmenos que ocurren en la naturaleza. Las matemticas te proporcionan el lenguaje y los conceptos necesarios para estudiar y elaborar un modelo de nuestro entorno, el cual resulta necesario para expresar reglas generales de su comportamiento y para obtener predicciones de validez general. Lo anterior propicia el desarrollo cientfico y tecnolgico y por ende la adquisicin y consolidacin tanto de conocimiento como del aprendizaje significativo. glosario El anlisis crtico y objetivo de diversos fenmenos naturales y procesos sociales, mediante la A priori:dice la Real Aca aplicacin del mtodo de anlisis cuantitativo y cualitativo propio de una rama de las matemticas demia Espaola, antes de denominada clculo, representa el objetivo a priori de este libro. examinar el asunto de que En todo momento requieres hacer uso de tus conocimientos previos para estudiar y tratar los se trata. Se dice de lo que cuatro problemas histricos que dieron origen al clculo matemtico. Cada uno de tales problemas se sabe antes del anisis l del tema. comprende individualmente la nocin del lmite, por lo que es posible definir el clculo matemtico a partir de cualquiera de ellos. El primero de los problemas mencionados se muestra en la unidad inicial y hace referencia al concepto de razn de cambio a travs del estudio y anlisis de la velocidad y aceleracin instantnea de un proyectil en cada libre. Su solucin contribuy al origen del concepto de derivada de una funcin y al denominado clculo diferencial. La construccin de la recta tangente a una curva y la determinacin de los valores mximos y mnimos en situaciones que demandan optimizar recursos representan el segundo y tercer problema que dieron origen al clculo, por lo que su estudio tiene relacin directa con la derivada como concepto fundamental y con la descripcin del clculo diferencial como herramienta de anlisis de la naturaleza.01 Calculo U1_a.indd 2111/21/12 8:04 PM 22. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADA Esta primera unidad, denominada El movimiento como razn de cambio y la derivada, se basa en el estudio y tratado de nuestro entorno a partir de los conceptos de movimiento, cambio y lmite. El objetivo central del presente libro consiste en aplicar las habilidades matemticas para obtener respuestas tiles a problemas reales (es decir, a problemas relacionados con los fenmenos naturales y los procesos sociales), llevndose a cabo a travs de la construccin de modelos matemticos. Por consiguiente, y para aprender a aplicar las habilidades matemticas en nuestro entorno, es muy importante que tengas una participacin activa en las actividades propuestas y descritas en cada una de las secciones.Con qu propsito? El propsito de esta unidad es analizar de manera crtica y objetiva los comportamientos de los fenmenos naturales y/o procesos sociales propios del entorno mediante la aplicacin de los conceptos de razn de cambio, lmite, derivada y elaboracin de grficas.Qu saberes trabajar? Cuando identificas y aplicas modelos matemticos para llevar a cabo el anlisis de tu entorno, desarrollas conceptos y habilidades matemticas que dan origen a la herramienta ms poderosa de esta disciplina, el clculo. A partir de tus conocimientos previos en matemticas y otras reas, as como del concepto de movimiento como eje rector del presente libro se introduce y desarrolla el concepto de derivada de una funcin que permite identificar y predecir el comportamiento de diversos fenmenos naturales y procesos sociales. El estudio del cambio climtico, los movimientos telricos de la corteza terrestre (sismos) y la cada libre de los cuerpos cerca de la superficie terrestre, sin considerar la resistencia del aire, representan un importante punto de partida para comprender y aplicar conceptos como distancia, desplazamiento, velocidad, rapidez y aceleracin, los cuales forman parte central del movimiento rectilneo uniforme y acelerado. Conocers funciones que representan distintos tipos de movimientos, tambin aprenders a despejar variables en diferentes funciones para obtener informacin sobre objetos en movimiento usando representaciones y mtodos tanto grficos como algebraicos para describir mejor el comportamiento del problema real. Comprenders mejor diversas situaciones que involucran al movimiento y expresars con claridad ideas y conceptos relativos al clculo. Aprenders que los modelos matemticos permiten expresar cantidades fsicas empleando diferentes sistemas de unidades y referencia; de esta manera podrs trasladar informacin del mundo real al matemtico y viceversa. Adems, valorars la importancia del uso de herramientas tecnolgicas como apoyo para describir y resolver problemas reales que involucren razones de cambio. Al mismo tiempo que adquieres las competencias mencionadas aprenders a ser ms analtico, creativo, autnomo y sistemtico.Cmo organizar mi estudio? TemasPrimera semanaSegunda semanaCon qu saberes cuento?FuncionesConstruccin de la recta tangente2201 Calculo U1_a.indd 2211/21/12 8:04 PM 23. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesTe recomendamos que dediques 20 horas al estudio esta unidad, dividiendo para ello esta cantidad en 10 sesiones de dos horas cada una, de tal forma que si decides realizar sesiones de estudio diarias en periodos semanales de lunes a viernes, puedas concluir el estudio de esta unidad en un lapso no mayor a dos semanas. Logrars as que el avance acadmico se sustente y describa como sigue: Semana 1. Comenzando por la necesaria evaluacin diagnstica Con qu saberes cuento? hasta tu actividad definida al final de la segunda parte: 1. Funcin, un concepto matemtico imprescindible para comprender nuestro entorno. En el camino se tratan diversos problemas reales, como la cada libre de los cuerpos, que justifican la necesidad del estudio del movimiento para identificar la razn instantnea de cambio, que no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a una curva o derivada de una funcin. De esta forma identificars y comprenders los problemas que dieron origen al clculo abordando situaciones reales que involucran movimiento, para incidir y predecir el comportamiento a travs de la velocidad y aceleracin instantnea del objeto a travs del tiempo. La semana termina con el estudio a detalle del concepto matemtico de funcin, que permite la descripcin simplificada de todo aquello que nos rodea, desde el microcosmos hasta el macrocosmos como muestra de interaccin y movimiento de materia. Semana 2. La continuidad en el estudio del mdulo implica trabajar desde la seccin Construccin de la recta tangente a una curva, razn instantnea de cambio y la derivada de una funcin; hasta llegar al final de la unidad. Se analiza el problema de la recta tangente a una curva y el de mximos y mnimos, casos particulares del desarrollo del clculo diferencial y sus implicaciones al estudiar y tratar fenmenos naturales y procesos sociales; adems, se analiza la derivada de los distintos tipos de funciones, se inducen las propiedades y distintas formas de aplicacin. Todo esto es muy importante para el estudio de la segunda unidad, que identifica el proceso inverso del estudio aqu trabajado.Cules sern los resultados de mi trabajo? Al trmino de la primera unidad, sers capaz de: Seleccionar las funciones que utilizars en el anlisis de los fenmenos naturales y procesos sociales para explicar, predecir y proponer alternativas de solucin, mostrando una actitud reflexiva y analtica. Elaborar e interpretar grficas o tablas de funciones (lineales, cuadrticas, polinomiales, exponenciales y logartmicas) que representen cuantitativamente fenmenos naturales y procesos sociales a fin de analizar y describir objetivamente su comportamiento e impacto en tu regin o pas. Identificar el concepto de lmite de una funcin al evaluar numricamente funciones (lineales, cuadrticas, polinomiales, exponenciales y logartmicas) que representen un fenmeno fsico o proceso social como base para el anlisis de stos. Reconocer de manera autnoma en un modelo matemtico, si el fenmeno y/o proceso descrito es continuo o presenta intervalos. Emplear tcnicas desarrolladas en la geometra elemental y la analtica, tales como la obtencin de la pendiente de una recta a partir de dos puntos dados o la utilizacin de tringulos rectngulos para obtener las rectas tangentes a un punto dado en una curva, que describan los fenmenos y/o procesos estudiados, de manera autnoma y sistemtica. Argumentar el comportamiento de los fenmenos naturales y procesos sociales que inciden en tu vida cotidiana empleando el concepto de razn de cambio, as como la utilizacin de mtodos para 2301 Calculo U1_a.indd 2311/21/12 8:04 PM 24. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADAglosarioDerivada de una funcin: representa la pendiente de la recta tangente a la gr fica de la funcin en un punto. Clculo diferencial:es el estudio del cambio de las variables dependientes cuando se modifican las va riables independientes de las funciones.obtener la recta tangente y la pendiente de una recta tangente a un punto de la curva, a fin de reconocer la variacin de una funcin (creciente o decreciente), teniendo siempre una actitud participativa, sistemtica y reflexiva. Utilizar de manera sistemtica el concepto de razn de cambio como medio de anlisis del comportamiento de fenmenos naturales y/o procesos sociales presentes en el entorno. Calcular la derivada de funciones para tener una idea aproximada de la variacin de las mismas, a fin de explicar y predecir situaciones o hechos de manera objetiva, propositiva, crtica y analtica. Tener conciencia de la importancia del clculo para el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen. Comencemos!INICIOEste mdulo, denominado Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales, se basa en el aprendizaje que hace nfasis en el desarrollo de competencias matem ticas, por consiguiente es muy importante que participes activa y concientemente en las actividades propuestas y descritas en cada una de las secciones.PrimeraparteEl libro de la naturaleza, quiero decir el universo, est siempre abierto ante nuestros ojos, pero no lo descifrar nadie que no aprenda y entienda antes el idioma y las letras con que est escrito. El idioma es matemtico y las letras son figuras geomtricas. Galileo Galilei (1564-1642)Movimiento, cambio y lmite Ests trabajando para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y/o procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen.El movimiento es una caracterstica de las cosas que existen en la naturaleza, desde partculas muy pequeas como los tomos y los electrones, hasta los cuerpos de grandes dimensiones como los planetas y las galaxias que experimentan cambios con respecto a su posicin; dicho de otra forma, nada permanece eternamente en estado de reposo.1En este primer apartado es muy importante que a partir de una reflexin respondas la siguiente pregunta considerando tus conocimientos previos: qu2401 Calculo U1_a.indd 2411/21/12 8:04 PM 25. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialessabes sobre el movimiento y el cambio? Menciona algunos ejemplos de tu vida cotidiana que ilustren estos conceptos.Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1.La naturaleza transforma constantemente la materia, la cual se encuentra en movi miento, y al hacerlo realiza un proceso que altera o modifica su estado o constitu cin, es decir, la cambia. Diferentes aspectos de estos cambios y movimientos son estudiados por alguna de las disciplinas cientficas como la qumica, f sica, biolo ga, economa y demograf a, entre otras. La qumica por ejemplo, es la ciencia en cargada de estudiar la estructura y el comportamiento de la materia que nos rodea. La f sica hace su parte como ciencia natural al estudiar y analizar las pro iedades p del espacio, el movimiento, el tiempo, la materia y energa, as como sus interrela ciones. En la biologa se estudia la motilidad, que se refiere a la capacidad adquirida por los organismos vivos para desplazarse de forma espontnea e inde endiente, p mientras que en psicologa dicho trmino representa la capacidad de realizar mo Issac Newton. glosario vimientos complejos y coordinados. Lmite:en matemticas un lmite es una magnitud a la que se Ahora bien, la rama de la matemtica que propor acercan progresivamente los trminos de una secuencia infinita ciona el mtodo de anlisiscuantitativo y cualitativo de magnitudes. Un lmite matemtico, por lo tanto, expresa la de los distintos procesos de cambio, movimiento y de tendencia de una funcin o de una sucesin mientras sus par metros se aproximan a un cierto valor. Una definicin informal pendencia de una magnitud respecto de otra es el Cl del lmite matemtico indica que el lmite de una funcin f(x) es culo, tambin llamado Anlisis matemtico, que T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada constituye en esencia un mtodo que utiliza como ocasin un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan base el concepto de los infinitesimales, el cual tambin cercano a T como se pretenda. Tomado de http://definicion. se conoce como lmite. El lmite tiene que ver con los de/matematicas/ procesos infinitos en el razonamiento matemtico; ta les procesos infinitos se haban evitado hasta antes de Gestin del aprendizaje inventarse el clculo. Si queremos determinar el valor exacto de una cierta magnitud Cuestionarse sobre las causas del movimiento ha podramos comenzar primero dando una aproximacin a dicha sido una tarea que ocupa la mente del ser humano des magnitud, y despus realizar varias aproximaciones cada vez de hace ms de 25 siglos; sin embargo las respuestas ms precisas. Del anlisis de esta cadena de aproximaciones lleque hoy conocemos se desarrollaron a partir de los si garamos al valor exacto de la magnitud si este proceso se siguiera indefinidamente. El valor que deseamos conocer adquieglos xvi y xvii gracias a los trabajos realizados por re el carcter de una constante como resultado de un proceso de cientficos como Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac esa naturaleza. Newton (1642-1727). 2501 Calculo U1_a.indd 2511/21/12 8:04 PM 26. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADALa dependencia del movimiento en los fenmenos naturales y los procesos sociales La vida es como andar en bicicleta, para mantener el equilibrio se debe permanecer en constante movimiento. Albert Einstein (1879-1955)A travs de la historia los cambios incesantes de la naturaleza han detonado proce sos permanentes de movimientos y de transformaciones que influyen en la vida humana y su existencia misma.a) El clima, motor de movimiento social Ests trabajando para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y/o procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen.glosarioSistema climtico: con junto de condiciones del clima y la interaccin en tre ellas.Sin duda el clima en la Tierra es un factor crucial para la vida y subsistencia de to dos los seres humanos. En todas las pocas la sociedad ha tenido que afrontar la variabilidad del clima, en particular los fenmenos extremos. Hablar del clima de un lugar implica hablar de continuo movimiento, ya que con su constante varia cin afecta la vida cotidiana, las actividades econmicas y las condiciones sociales y culturales de ese lugar. La lluvia hace posible la agricultura y la industria; el calor puede acelerar el crecimiento de las plantas y la formacin de los frutos; el viento, la lluvia y la temperatura determinan el diseo de las casas, y las pautas continua das del viento en la atmsfera superior determinan las trayectorias de vuelo pre ferente de las aeronaves. Las sequas prolongadas, las lluvias torrenciales o los inviernos inclementes afectan a los medios de subsistencia, causando inseguridad y, en ocasiones, muerte y destruccin. Por consiguiente, el clima como factor de cambio y movimiento de cada lugar reviste un inters considerable para la mayora de las personas. Los conocimientos y datos climticos, obtenidos tanto de fuentes cientficas y tradicionales como empricas, encuentran aplicaciones diversas para muy distintos fines, como la organizacin de las actividades agrcolas, la prevencin de brotes de enfermedades infecciosas, el diseo de sistemas de suministro hidrulico y de des age o la seleccin de destinos tursticos. Para entender los mecanismos propios del clima, es necesario comprender que todos ellos estn vinculados al denominado sistema climtico (vase el grfico 1). Ciertos gases atmosfricos, como el dixido de carbono, contrarrestan la pr dida de calor hacia el espacio, dando lugar al conocido efecto invernadero, que mantiene la Tierra a mayor temperatura de lo que cabra esperar. Esos elementos actan y reaccionan entre s en un flujo constante, creando pautas continuamente cambiantes de temperatura, nubes, lluvia y viento, entre otros y determinando re gmenes climticos caractersticos, como los de desiertos, trpicos clidos y hme dos, bosques montaosos fros, y dems.2601 Calculo U1_a.indd 2611/21/12 8:04 PM 27. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesGrfico 1 Sistema climtico mundial.2Con base en la informacin obtenida en los prrafos anteriores, responde las siguientes preguntas: 1. Cmo ayudan las matemticas en el estudio del cambio climtico? 2. De qu forma impacta el clima o los sismos en nuestra vida diaria? 3. Analiza los cambios en la temperatura ambiental que contribuyen a la prediccin del cli ma en determinado perodo. Justifica tu respuesta.Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1Uno de los requisitos importantes de la informacin climtica est relacionado con el futuro, es decir, con la toma de decisiones sobre lo que suceder o podra sucederEsts trabajando para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y/o procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen. Ms informacin en... Puedes apoyarte en los siguientes enlaces electrnicos: Portal de la Organizacin Meteorolgica Mundial: http://www. wmo.int/pages/index_es. html; Portal del Servicio Meteorlgico Nacional http://smn.cna.gob.mx/.2701 Calculo U1_a.indd 2711/21/12 8:04 PM 28. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADAen un periodo inmediato, mediato o de largo plazo. La manera ms sencilla de es timar las condiciones climticas por adelantado consiste en presuponer que las pau tas futuras sern muy similares a las del pasado, tal como lo hacen suponer las estadsticas climatolgicas, ya que el sistema climtico est configurado por los mis mos procesos ao tras ao. As, esperamos que se mantengan los ciclos diarios y anuales de temperatura y que los meses de invierno sigan siendo ms fros que los de verano. Hay otras maneras de estimar lo que suceder en el futuro, por ejemplo consi derar otras caractersticas del sistema climtico, como las fluctuaciones de tempe ratura del ocano o las variaciones de los niveles de gases de efecto invernadero (dicha situacin se trata y estudia ms adelante). En las siguientes grficas se repre sentan dos caractersticas del clima de Reynosa, Tamaulipas, de las cuales podemos obtener informacin y tomar decisiones.3De acuerdo con la informacin presentada en los grficos 2a y 2b contesta las siguientes preguntas:Grfico 2a y 2b. (a) Promedio mensual de precipitacin pluvial en Reynosa, Tamaulipas. (b) Variacin de temperatura por mes en Reynosa, Tamaulipas.2801 Calculo U1_a.indd 2811/21/12 8:04 PM 29. Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales 1. Considerando la lluvia y la temperatura, cul es el mes ms benigno para visitar Reyno sa? Justifica tu respuesta. 2. Es cierto que cuando en Reynosa hace ms fro, llueve menos? Justifica tu respuesta.Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1Como se puede observar el concepto de cambio es sinnimo de variacin; en el ejemplo anterior se hace presente que la temperatura y la precipitacin pluvial son dos caractersticas del clima que impactan en la organizacin de diversas activida des humanas.b) Los sismosEsts trabajando para utilizar de manera sistemtica el concepto de razn de cambio como medio de anlisis del comportamiento de fenmenos naturales y/o procesos sociales presentes en el entorno.Tambin un sismo implica movimiento, siendo otro ejemplo de fenmeno natural que implica movimiento y tiene repercusiones en los procesos sociales. Los sismos son resultado de movimientos de las capas geolgicas en el interior de la Tierra que liberan de forma repentina enormes cantidades de energa, a pesar de estar siempre en movimiento. Dicha energa se propaga en forma de ondas que pro vocan movimientos de la superficie terrestre, mismos que conocemos como sismos o terremotos. Las conse Las placas tectnicas viajan como bloques de corcho cuencias de un sismo pueden ser muy negativas no en agua sobre la astenosfera, la cual es una capa visco-els tica donde el material fluye al ejercer una fuerza sobre slo por sus aspectos de destruccin y muerte, sino l. Estos desplazamientos aleatorios de las placas se de por el desastre que significan para las economas de benamovimientos convectivos en la capa intermedia de la los pases que padecen estos fenmenos. Tierra o manto, formado por material caliente del interior Para entender el origen de un sismo se debe con de la Tierra que sube a la superficie liberando calor interno, siderar que la capa ms superficial de la Tierra, deno mientras que el material fro baja al interior. Este fenmeno provoca el movimiento de las placas y es justo en los lmites minada litosfera, es una capa rgida compuesta por entre placas donde hacen contacto unas con otras que material que puede fracturarse al ejercer una fuerza se generan fuerzas de friccin manteniendo atoradas dos sobre l y forma un rompecabezas llamado placas placas adyacentes y produciendo grandes esfuerzos en tectnicas. losmateriales. Cuando dichos esfuerzos sobrepasan la re El 19 de enero de 1995 ocurri un sismo en Kobe, sistencia de la roca, o cuando se vence la fuerza de friccin, Japn, que provoc 6,000 muertos y 30,000 heridos se produce la ruptura violenta y la liberacin repentina de la energa acumulada generndose as un temblor que irra y gener graves consecuencias de carcter econmi dia dicha energa en forma de ondas que se propagan en co:300,000 personas sin hogar, destruy o da seve todas direcciones a travs del medio slido de la Tierra. ramente 100,000 edificios, se produjeron 148 incendios2901 Calculo U1_a.indd 2911/21/12 8:04 PM 30. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADAque destruyeron un rea de 65 hectreas y los daos se estimaron inicialmente en 200,000 millones de dlares. El caso de Kobe resulta interesante porque en Japn se consideraba que era una zona de riesgo ssmico moderado. Los hechos demos traron lo contrario: Kobe se encuentra en la zona de encuentro de cuatro placas tectnicas. Como se puede observar las consecuencias de los desastres naturales pueden ser muy significativas y destruir en pocos segundos miles de vidas e inmensos y sostenidos esfuerzos econmicos de los pases. Para que se produzca un desastre, adems de la accin de la naturaleza debe estar asociada la vulnerabilidad generada por el hombre. Se entiende por vulnera bilidad el aumento en la ocupacin irracional del territorio, el crecimiento de la poblacin, viviendas e infraestructura inadecuadas, los procesos de degradacin ambiental, entre otros factores. Ests trabajando para elaborar e interpretar grficas o tablas de funciones (lineales, cuadrticas, polinomiales, exponenciales y logartmicas) que representen cuantitativamente fenmenos naturales y procesos sociales para analizar y describir objetivamente su comportamiento e impacto en tu regin, pas o mundo.4A partir de la siguiente tabla, donde se especifica el nmero de sismos en Mxico entre los aos 1990 al 2008, clasificados por su magnitud, elabora las siguientes grficas, en la computadora o en tu cuaderno, y responde las preguntas.Tabla 1 Nmero de sismos en Mxico de 1990 al ao 2008 (vase: http://www.ssn.unam.mx/). Estadsticas de los sismos reportados por el SSN TOTAL DEAOSISMO DE MAGNITUDSISMOS0 - 2.93 - 3.94 - 4.95 - 5.96 - 6.97 - 7.98 - 8.9199079213246509231001991732618451030200199261351833982700019939174827554840510199462220192383243001995676161884382662019967909203543323001997101957388533345201998102313453531215001999109713540527114202000105237463531182102001134417704585326003001 Calculo U1_a.indd 3011/21/12 8:04 PM 31. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesEstadsticas de los sismos reportados por el SSN TOTAL DEAOSISMO DE MAGNITUDSISMOS0 - 2.93 - 3.94 - 4.95 - 5.96 - 6.97 - 7.98 - 8.920021688487976140400200313245729568183102004*9451429491240002005*8471459373122002006*10770589464231002007*12340533670274002008*177241037709184002009*218441552594313002010*3425122386995283102011*416825332178830400* resultados preliminares 1. Realiza la grfica del nmero de sismos de 3 a 5 grados de magnitud (de leves a mode rados) ocurridos cada uno de los aos de ese periodo en Mxico. Est aumentando el nmero de sismos? 2. Realiza la grfica del nmero de sismos de 5 a 7 grados de magnitud (de moderados a fuertes) ocurridos cada ao desde 1990 a 2008 en Mxico. Est aumentando el nme ro de sismos? 3. Realiza la grfica del nmero de sismos mayores de 7 grados de magnitud (muy fuertes) ocurridos cada ao desde 1990 a 2008 en Mxico. Est aumentando el nmero de sismos? Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1A partir de lo anterior se debe enfatizar que el estudio de diversos fenmenos naturales que provocan efectos importantes en la sociedad, como el clima o los sismos, tienen sustento al tratar conceptos como el movimiento, el cambio y el lmite. Analizar la informacin sobre la variacin de la temperatura, la precipita cin pluvial o los movimientos telricos con respecto al tiempo y en diferentes re giones, permite no slo identificar escenarios que se gestan en diferentes perodos, sino que cobra relevancia al predecir factores de riesgo y la viabilidad de la toma de decisiones para la prevencin de desastres. Ahora bien, independientemente del fenmeno natural o proceso social en estudio, las matemticas representan una herramienta poderosa para modelar si tuaciones o problemas reales a partir del concepto funcin, y una de las ms im portantes para el planteamiento y resolucin de diversos problemas relacionadosEsts trabajando para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen. glosarioFuncin:es una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un nico elemento de un se gundo conjunto.3101 Calculo U1_a.indd 3111/21/12 8:04 PM 32. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADAglosarioRazn de cambio: es la medida en que una varia ble cambia con respecto a otra.con procesos de cambio es lo que conocemos hoy en da como derivada de una funcin, que de forma objetiva describe la comparacin entre magnitudes que cambian instantneamente, es decir, describen la razn instantnea de cambio. As, el determinar para cierto instante el cambio de la temperatura ambiental, el crecimiento de cierta poblacin o la velocidad de un proyectil en cada libre, repre sentan ejemplos de problemas que permiten entender mejor nuestro entorno y que se abordan y resuelven con el uso de la derivada de una funcin.La cada libre de un proyectil, un excelente punto de partida Ests trabajando para utilizar de manera sistemtica el concepto de razn de cambio como medio de anlisis del comportamiento de fenmenos naturales y/o procesos sociales presentes en el entorno.Galileo Galilei.Determinar en cualquier instante la velocidad de un cierto cuerpo, objeto o proyec til que cae libremente por accin de la gravedad es y ha sido histricamente un gran desaf o para el ser humano, sobre todo porque el establecer mtodos de anlisis cuantitativos y cualitativos que contribuyan a estudiar y tratar este tipo de fenme nos ha propiciado avances cientficos, tecnolgicos y la necesaria comprensin de nuestro entorno. Con base en la ley de cada libre propuesta por Galileo, la distancia desde el nivel del piso de un proyectil que cae desde una cierta altura (despreciando la resis tencia del aire) est expresada por la funcin cuadrtica siguiente: 1 d (t ) = g t 2 + v 0t + d 0 ... (1) 2 donde: d(t) es la funcin distancia que representa el movimiento del proyectil y t es la variable independiente que representa el tiempo transcurrido. g = 9.8 m 2 representa el valor aproximado de la aceleracin debida a la gra s vedad (el signo negativo hace referencia al movimiento del objeto con direccin al centro del planeta); d0 es la distancia inicial al suelo desde donde se suelta o arroja el proyectil y v0 es la velocidad inicial del proyectil.El filsofo griego Aristteles (384 a.C.-322 a.C.) propuso explicaciones sobre lo que ocurra en la naturaleza considerando las observaciones que haca de las experiencias cotidianas y sus razonamiento, aunque no se preocupaba por comprobar sus afirmaciones. Formul su teora sobre la cada de los cuerpos afirmando que los ms pesados caan ms rpido que los ms lige ros, es decir entre ms peso tengan los cuerpos ms rpido caen. Esta teora fue aceptada durante casi dos mil aos hasta que en el siglo xvii Galileo realiz un estudio ms cuidadoso sobre el movimiento de los cuerpos y su cada. Cuenta la leyenda que se subi a lo ms alto de la torre de Pisa y al soltar dos objetos de distinto peso, observ que los cuerpos caen a la misma velocidad sin importar su peso, quedando as descartada la teora de la cada de los cuerpos de Aristteles.3201 Calculo U1_a.indd 3211/21/12 8:04 PM 33. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesFigura1 Movimiento de un proyectil que cae libremente, despreciando la resistencia al aire, con velocidad inicial v0, desde una distancia inicial d0 y bajo la influencia de la fuerza de atraccin terrestre (gravedad).A continuacin se describe un ejemplo concreto donde la cada libre de un cuerpo permite determinar una razn instantnea de cambio, en este caso la velocidad. Analicemos un problema particular del movimiento de un proyectil en cada libre, donde el objetivo ser el determinar la velocidad justo en el primer segundo trans currido. Para ello consideremos que dicho mvil se deja caer (velocidad inicial cero) desde la azotea de un edificio cuya altura es de 78.4 metros. Entonces, qu ecuacin se obtiene al sustituir los datos en la ecuacin (1)? Escrbela aqu, a continuacin: Observa que la funcin distancia depende del tiempo y describe el movimiento del objeto. Si tu respuesta coincide con la ecuacin siguiente, lo has hecho bien, si no, re visa tu razonamiento previo.d (t ) = 4.9t 2 + 78.4 ...(2) sta es una funcin cuadrtica que puede ser representada grficamente en el plano cartesiano. Qu te indica el signo negativo del coeficiente del trmino t2? Si has respondido que se trata de una parbola cncava hacia abajo, vas bien; en caso contrario reflexiona sobre tu razonamiento, Cul es el eje de simetra? Seguramente contestate que es el eje vertical d(t), y ello es correcto; si no, ya lo sabes, revisa tus procesos de reflexin. Los cortes en los ejes de coordenadas del plano cartesiano (tiempo vs distan cia) se determinan a continuacin. Si hacemos t = 0 en la funcin distancia d(t), entonces, cmo queda la ecua cin que tuviste anteriormente? 3301 Calculo U1_a.indd 3311/21/12 8:05 PM 34. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADASi tu respuesta es igual a esta d ( 0 ) = 4.9 ( 0 ) + 78.4 = 78.4, vas bien. El valor 78.4 determina el punto (0, 78.4), qu representa dicho valor? Representa el corte en el eje vertical, de hecho es el punto de partida del fen meno observado. Ahora bien, si hacemos d(t) = 0, cmo queda la ecuacin que encontraste? Pues s, si hacemos la sustitucin queda 0 = 4.9t 2 + 78.4 ; al despejar la varia 78.4 ble independiente se obtiene: t = = 16 = 4 s. 4.9 Dado este resultado, cules son los puntos donde corta la parbola al eje hori zontal?glosarioVelocidad constante: es un movimiento en donde la rapidez y la direccin no varan.Cierto, los puntos son t1 = (4.0) y t2 = (4.0). De hecho el tiempo establecido por t2 es el momento de impacto del proyectil con el piso, mientras que el tiempo t1 carece de sentido en el fenmeno estudiado. Una pregunta interesante sera el responder por qu carece de sentido el preguntarnos sobre la posicin o distancia del proyectil en el tiempo t1 = (4.0). Las figuras 2a y 2b describen el fenmeno anterior desde la perspectiva de la f sica y la matemtica respectivamente. De acuerdo con el problema planteado la grfica de la funcin distancia slo tiene sentido para cualquier t 0, as que para poder determinar la distancia del proyectil respecto al piso basta con evaluar la funcin en cualquier tiempo t [ 0, 4 ], es decir, dentro de dicho intervalo, lo que nos indica por qu no tiene significado el tiempo t1 = (4.0). Ahora bien, para determinar la velocidad del proyectil en cualquier instante conviene recordar algunos principios de la f sica. Si un cuerpo en movimiento tie ne una velocidad constante, entonces sta queda expresada como el cociente de la distancia entre el tiempo de la siguiente forma: d v = t Pero si la velocidad del cuerpo o proyectil en movimiento no es constante, como sucede en el problema que estamos analizando, entonces se define la velocidad media o promedio a travs del cociente entre las diferencia de las distancias y las del tiempo, como lo representa la siguiente expresin matemtica:vpromedio =( )d t f d (ti ) t f ti3401 Calculo U1_a.indd 3411/21/12 8:05 PM 35. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesFigura 2a y 2b. (a) Representacin fsica de la distancia recorrida por un proyectil que cae libremente desde una altura de 78.4m y con velocidad inicial cero. (b) Grfica de la funcin cuadrtica (ecuacin 2) que representa el movimiento del proyectil, una parbola con vrtice en el punto (0, 78.4), cncava hacia abajo y con cortes en el eje horizontal en t1 y t2 respectivamente.La velocidad promedio es la distancia final menos la distancia inicial entre el tiem po final menos el tiempo inicial, es decir, representa la razn del incremento de la distancia respecto al incremento en el tiempo. Debe quedar claro que la definicin anterior est basada en la idea de aproximar la velocidad del proyectil en un inter valo de tiempo a partir de una velocidad constante conocida como velocidad promedio o velocidad media. De esta forma la velocidad promedio permite realizar aproximaciones para determinar la velocidad del proyectil en un determinado instante. Es importante resaltar que las aproximaciones ofrecen resultados ms precisos conforme el inter valo en el tiempo se reduce. A continuacin se realiza un anlisis del cambio en las velocidades promedio para poder calcular el valor exacto de la velocidad del pro yectil justo en el primer segundo transcurrido de tiempo, es decir, la velocidad instantnea en t = 1. En la siguiente tabla se toma como ancla o distancia final el 3501 Calculo U1_a.indd 3511/21/12 8:05 PM 36. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADAtiempo final t = 1, y se asignan valores al tiempo (inicial) cada vez ms cercanos tanto mayores como menores que 1. Tabla 2 Velocidad promedio de un proyectil en cada libre Tiempo incial (ti)Distancia inicial, d(ti)=4.9(ti)+78.4Incremento en la distancia, d(t) = d(tf) d(ti)Incremento en el tiempo, t = tf tiVelocidad promedio, d(t) / t0.577.1750-3.67500.50-7.3500.676.6360-3.13600.40-7.8400.775.9990-2.49900.30-8.3300.875.2640-1.76400.20-8.8200.974.4310-0.93100.10-9.3100.9973.5975-0.09750.010-9.75100.99973.50980-0.009800.0010-9.795100.999973.500980-0.0009800.00010-9.7995100.9999973.5000980-0.00009800.000010-9.79995100.999999-0.000009800.0000010-9.79999511273.500000980-0.0000009800.00000010-9.799999526173.50000000001.000000173.4999990200.000000980-0.00000010-9.80000037881.00000173.499990200.00000980-0.0000010-9.8000048901.0000173.49990200.0000980-0.000010-9.80004901.000173.4990200.000980-0.00010-9.8004901.00173.490200.00980-0.0010-9.804901.0173.40150.0985-0.010-9.84901.172.47101.0290-0.10-10.2901.271.34402.1560-0.20-10.7801.370.11903.3810-0.30-11.2701.468.79604.7040-0.40-11.7601.5tf73.500009800.999999967.37506.1250-0.50-12.250Del anlisis de los datos en la ltima columna, velocidad promedio, se obtiene un valor constante que determina la velocidad instantnea del proyectil para t = 1. Una pregunta importante para ti es: podras identificar dicho valor constante al que tienden las diferentes aproximaciones infinitas (velocidades promedio)? De la tabla anterior se observa que para intervalos tanto por arriba como por debajo del ancla t = 1, las velocidades promedio tienden (se acercan) entre s a un valor constante. En esta parte se ha utilizado un paso de acercamiento muy fino, es decir, se obtienen mejores aproximaciones al reducir gradualmente el incremento 3601 Calculo U1_a.indd 3611/21/12 8:05 PM 37. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesen el tiempo, por ejemplo, al definir t f = 1 y el tiempo inicial t 1 = 1.0001, entonces el incremento en el tiempo es t f t i = 0.0001 ; de tal forma que la velocidad pro medio resultante es: d t f d ( t i ) d (1) d (1.0001) vpromedio = = = 9.800490 m s t f ti 0.0001 ( )Grfico 3 Conforme el incremento en el tiempo tiende a cero, la velocidad promedio tiende a la velocidad instantnea del proyectil.Al utilizar un paso de acercamiento cada vez ms fino, o dicho de otra forma, ha ciendo que el incremento en el tiempo sea cada vez ms pequeo, se obtiene un proceso infinito de mejores aproximaciones que tienden a un valor constante de la velocidad del proyectil en el tiempo t = 1, a saber = 9.8 m/s, valor que coincide con la aceleracin debida a la gravedad. En el lenguaje de las matemticas el concepto llamado lmite, representa el valor constante al que tienden las aproximaciones infinitas de las velocidades promedio conforme el incremento en el tiempo tiende a cero.5Si alguien te preguntara qu caer ms rpido al soltarlo desde una terraza, un piano o un trozo de papel, qu responderas? Justifica tu respuesta y comprala con el siguiente experimento; si es distinta tu respuesta a la conclusin del experimento, analiza por qu sucedi as. Materiales: Trozo de papel MonedaProcedimiento: Primera parte Toma el trozo de papel sin doblarlo, no importa si es de peridico o de mayor calidad, y tampoco importa su tamao, aunque el experimento funciona mejor con un trozo noEsts trabajando para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen.3701 Calculo U1_a.indd 3711/21/12 8:05 PM 38. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADAmayor a 20 cm por lado aproximadamente. Tambin toma una moneda; tampoco importa el material ni el tamao Debes tomar uno con cada mano y dejarlos caer al mismo tiempo al suelo desde la misma altura. Como vers, la moneda llega primero al piso que el trozo de papel. 1. Por qu?Segunda parte Ahora toma de nuevo el trozo de papel y con fuerza transfrmalo en una pelota muy pequea y compacta. Nuevamente deja caer al mismo tiempo ambos, observa y responde qu sucede, 2. Cmo funciona?Seguramente y a primera impresin parece que la pelota de papel es ms pesada al compactarla, pero si piensas un poco esto no es as, ya que la cantidad de papel que hay antes y despus de compactarlo es la misma. Ms informacin en... Entra a la pgina de la NASA: http://www.jsc.nasa. gov/Bios/htmlbios/scott-dr. html, para conocer algunos experimentos que se han realizado en la Luna. 3. Cmo explicas lo que realmente sucedi en estas dos partes del experimento casero? Escribe tus conclusiones con base en los resultados que acabas de obtener y explica lo que est pasando.Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1Con estas ideas como base vamos a describir el mtodo de anlisis que permite resolver el problema de encontrar la velocidad de un proyectil en cada libre para cualquier tiempo t. Esta herramienta matemtica, tan importante en el estudio y tratado de fenmenos naturales y procesos sociales, se conoce como mtodo de incrementos y contribuye en la determinacin de la razn instantnea de cambio. Este tipo de anlisis se puede aplicar al estudio de fenmenos sociales, como se ver ms adelante.Mtodo de los incrementos Ests trabajando para utilizar la obtencin de la derivada para formar una idea aproximada de la variacin de la funcin de los fenmenos naturales y procesos sociales a fin de explicar y predecir situaciones o hechos de manera objetiva, propositiva, crtica y analtica.Este mtodo consiste en aumentar una determinada cantidad arbitraria a una de las variables y proceder a analizar el comportamiento de la funcin incrementada. Consideremos un intervalo de tiempo, expresado en trminos generales a partir de [ t , t + t ] , en donde3801 Calculo U1_a.indd 3811/21/12 8:05 PM 39. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialesse ha introducido la notacin Dt (delta t) que significa incremento del tiempo. Aho ra calculemos la velocidad promedio entre el tiempo t y t + Dt, para la funcin distancia descrita anteriormente: d t f d ( t i ) d d ( t + t ) d ( t ) Vpromedio = = = , t f ti t ( t + t t ) sustituyendo valores se tiene: 2 2 d 4.9 ( t + t ) + 78.4 ( 4.9t + 78.4 ) Vpromedio = = , t t desarrollando: 2 2 2 d 4.9 t + 2t ( t ) + ( t ) + 78.4 ( 4.9t + 78.4 ) Vpromedio = = t t 2 2 d 4.9t 9.8t ( t ) 4.9 ( t ) + 78.4 + 4.9t 2 78.4 Vpromedio = = , t t d Vpromedio = = 9.8t 4.9 t t ( )()Del anlisis de esta ltima ecuacin, qu pasa si el incremento en el tiempo disminuye cada vez ms? Qu significado tiene esta disminucin? De hecho, si el incremento del tiempo tiende a cero (es cada vez ms pequeo), qu pasa con la velocidad promedio? Seguro ya lo respondiste correctamente, se aproxima al valor de la velocidad instantnea en el tiempo t, esto implica que el segundo sumando tienda a cero tam bin (se hace arbitrariamente pequeo), en otras palabras, qu pasa si Dt tiende a cero? As es, la velocidad promedio tiende a 9.8t. En lenguaje matemtico, lo ante rior se expresa de la siguiente forma: v instantnea = lm {v promedio } = lm t 0t 0{ } d tdonde lm t o{ } , representa la notacin matemtica del concepto denominadolmite, el que al final de la presente seccin se describe en palabras de Isaac Newton y se presenta una definicin. Es decir, en trminos del problema planteado se tiene que: vinstantnea = lm {9.8t 4.9 t } = 9.8t t 03901 Calculo U1_a.indd 3911/21/12 8:05 PM 40. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADApor lo que la velocidad del proyectil en el instante t = 1 es: vinstantnea = 9.8 (1) = 9.8 m s A partir del mtodo de incrementos y con el simple hecho de sustituir valores, podemos responder fcilmente la siguiente pregunta: cul es la velocidad de im pacto con el piso del proyectil?, o dicho de otra forma, cul es la velocidad instan tnea del proyectil en t = 4? El tiempo de choque con el piso ya se haba calculado anteriormente al realizar la grfica de la funcin distancia, de hecho representa uno de los cortes con el ejet. Por lo tanto, la velocidad del proyectil al momento del choque con el piso es: vinstantnea = 9.8 ( 4 ) = 39.2 m s La idea y desarrollo del concepto del lmite como mtodo de anlisis matem tico fue producto del trabajo de muchas generaciones que comenzaron con Arqu medes, uno de los grandes exponentes de las matemticas de la antigua Grecia, hasta culminar con los trabajos de Issac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) en el siglo xvii, quienes desarrollaron el clculo matemtico que hoy en da se utiliza para estudiar y tratar fenmenos naturales y procesos sociales. Este trabajo matemtico tiene sustento en la bsqueda de solucin de problemas que no se haban podido resolver mediante los mtodos de la aritmtica, el lgebra y la geometra elemental. De la misma forma, en la construccin de los conocimientos anteriores pusiste en prctica competencias que te servirn a lo largo de la vida, incluso en contextos que rebasan con mucho los saberes propios de las matemti cas, ya que te han ayudado a formar una concepcin sistemtica, objetiva y cient fica que pondrs en prctica al afrontar cualquier problema de tu contexto. Gottfried Leibniz.Como ya se dijo al principio, el clculo se desarroll gracias a cuatro importan tes problemas en los que los matemticos europeos trabajaban durante el siglo xvii: Busca en alguna bi blioteca cercana libros sobre Isaac Newton y Gottfried Leibniz. En contrars que sus vidas y aportes estn ntima mente relacionados y han sido muy importantes para cimentar los avan ces cientficos que la humanidad ha tenido desde entonces. problema de la velocidad y la aceleracin. El problema de la recta tangente. El problema de mximos y mnimos. El problema del rea en figuras cuya frontera es curva. ElCada uno de estos problemas comprende la nocin del lmite y es posible tratar el clculo matemtico con cualquiera de ellos. El primero de los proble mas mencionados es precisamente el que se ha estudiado en esta seccin como ejemplo y cuya solucin contribuy al origen del concepto de derivada de una funcin y al denominado Clculo diferencial. El segundo y el tercer pro blema mencionados tienen relacin con la derivada y el Clculo diferencial,4001 Calculo U1_a.indd 4011/21/12 8:05 PM 41. Clculo en fenmenos naturales y procesos socialespor lo que sern estudiados durante esta unidad. El ltimo problema nos per mite, entre otras cosas, calcular reas de figuras con frontera curva, o la dis tancia recorrida por un mvil, y esto representa el origen del Clculo integral que estudiaremos en la segunda unidad de este libro. Este nuevo mtodo de anlisis, el lmite y en general el Clculo diferencial e integral tuvo enormes repercusiones en la ciencia y la tecnologa, en especial en la mecnica y en la solucin de problemas de geometra. La rpida extensin de las aplicaciones del clculo motivaron el desarrollo de otras ramas de la matemtica como la teora de series y las ecuaciones diferenciales. En un principio, en la poca de Newton, el clculo no era muy conocido; la notacin definitiva y el formalismo que actualmente se utiliza se asent hasta la mitad del siglo xix con el trabajo del matemtico francs Augusto Cauchy (1789-1857). La presente seccin termina citando el lema que Isaac Newton ofrece sobre el concepto de lmite en su obra maestra: Las cantidades, y las razones de cantidades, que en cualquier tiempo finito tien den continuamente a la igualdad, y antes de terminar ese tiempo se aproximan una a otra ms que por ninguna diferencia dada, acaban hacindose en ltima instan cia iguales.Ahora bien, debe quedar claro que el enfoque del presente libro no trata al Clculo desde el punto de vista de los infinitesimales, pero dada su importancia histrica para las matemticas, a continuacin se ofrece al lector una definicin que resulta til para la determinacin del valor lmite de una funcin. Definicin de lmite de una funcinEl lmite de una funcin f en a es L, si para a infinitesimal se tiene que:Augusto Cauchy.Busca la biograf a de Augusto Cauchy para poder conocer otras apor taciones de este brillan te matemtico francs al desarrollo de la ciencia.F (q + ) = L + F (a + ) = L + , con b infinitesimal. Es importante sealar que la definicin anterior tiene sentido aplicarla cuando se presenta la forma indeterminada 0/0. Por ejemplo, si f es la funcin definida por 1 3 x 1 4 x se debe observar que para x = 1 el denominador y numerador anterior se anu lan, por lo que se tiene la forma indeterminada. Conviene entonces preguntar se por el lmite de la funcin cuando x tiende a 1 (x 1).f (x ) =4101 Calculo U1_a.indd 4111/21/12 8:05 PM 42. U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADADe esta forma al aplicar la definicin de lmite de una funcin se tiene que: 2 1 1 1 + + 0 ( ) 1 + 0 ( )2 1 3 3 f (1 + ) = = = 3 1 = 2 1 1 2 1 + 0 ( ) 1 (1 + ) 4 1 1 + + 0 ( ) 4 4 4 4 f (1 + ) 0 + infinitesimal . 3 11 (1 + ) 3 Por lo tanto,1 3 x 4 = x1 1 4 x 3lmAutoevaluacin Ests trabajando para elaborar e interpretar grficas o tablas de funciones (lineales, cuadrticas, polinomiales, exponenciales y logartmicas) que representen cuantitativamente fenmenos naturales y procesos sociales para analizar y describir objetivamente su comportamiento e impacto en tu regin, pas o mundo y para valorar la importancia del clculo en el estudio del comportamiento de los fenmenos naturales y/o procesos sociales, como concepto para simplificar el anlisis de modelos matemticos que los representen.Trabaja en tu cuaderno o en hojas sueltas para que pue das disponer del espacio suficiente para realizar todas las operaciones y reflexiones que requieras.1. Elabora un cuadro sinptico que te permita iden tificar las caractersticas de los conceptos de movimiento, cambio y lmite, as como las relaciones que se establecen entre ellos para el estudio de los fenmenos naturales y procesos sociales. 2. Contesta las siguientes preguntas acerca de tu relacin con los fenmenos na turales y procesos sociales. a) Cul es la importancia del clculo en tu vida cotidiana? b) Por qu razn te es til el conocimiento sobre los comportamientos de los fenmenos naturales y los procesos sociales mediante el clculo? c) Qu otros aspectos te gustara saber acerca del comportamiento de fen menos naturales y procesos sociales de tu entorno? 3. Resuelve los siguientes ejercicios referentes a lo expuesto en la seccin Cada libre de cuerpos para determinar la velocidad instantnea a partir del concepto de lmite. a) proyectil se arroja verticalmente hacia abajo, despreciando la resisten Un cia del aire, con una velocidad inicial de 19.6 m/s desde la parte alta de una torre cuya altura as 147 metros. La funcin distancia que describe el movi 1 miento del proyectil en el tiempo est dada por: d ( t ) = gt 2 19.6t + 147 , 2 m 2 es el valor de la aceleracin debido a la gravedad. donde g = 9.8 s4201 Calculo U1_a.indd 4211/21/12 8:05 PM 43. Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales b) Haz una tabla como la tabla 2 Velocidad promedio de un proyectil en cada libre, que permita obtener las velocidades promedio en distintos intervalos de tiempo alrededor de t = 5 segundos. I. Utiliza la tabla anterior para analizar las aproximaciones obtenidas y determina el valor de la velocidad al instante o tiempo t = 5. II. Realiza la grfica de la funcin distancia d(t) que esquematiza el des plazamiento del proyectil en el tiempo. III. partir de los resultados obtenidos en los incisos anteriores y del ejem A plo tratado en la seccin, responde la siguiente pregunta: cul es la velocidad instantnea del proyectil para todo tiempo? c) proyectil es arrojado hacia arriba con una velocidad inicial de 98 m/s Un desde el lugar ms elevado de una torre cuya altura asciende a 245 metros. I. Escribe la funcin distancia d(t) que describe el movimiento del pro yectil en el tiempo. II. Realiza una tabla para obtener las velocidades promedio en distintos intervalos de tiempo alrededor de t = 8 segundos. III. Utilizando la tabla anterior analiza las aproximaciones obteni as y de d termina el valor de la velocidad instantnea en el tiempo t = 8. IV. Traza la grfica de la funcin distancia d(t) que esquematiza el des plazamiento del proyectil en el tiempo. V. Cul es la altura mxima desde la superficie que alcanza el proyectil? VI. En qu tiempo choca el proyectil con la superficie terrestre? V II. Cul es la velocidad ins