cálculo d.i.f.v.v.2.1

1Clculo Dif. e Int. F.V. VariveisProf. Emerson Silva de Sousa

Clculo Dif. e Int. F.V. VariveisProf. Emerson Silva de Sousa

Aula 2.1Aula 2.1

C l c u l o D i f . e I n t . F. V. Va r i v e i s U F O P A

Prof. Emerson Silva de SousaAula 2.1

Introduo

Superfcie( , )z f x y=

Derivada Direcional e o Gradiente

Vetor Unitr (i , )o u a b=



Inclinao na direo u: Taxa de

variao de z em relao a s.

0x x s a= +

0y y sb= +

e

Equaes Paramtricas

da reta l

P

s : o parmetrocomprimento de arco



A Derivada Direcional de f na direo e sentido de u em P :

[ ]0 0 0 0 0( , ) ( , )u sdD f x y f x sa y sbds == + +

Outra Notao: 0 0 0 0( , ) ( , )ufD f x y x yu

=

Determine , sendo e(1, 2)uD f ( , )f x y x y= 3 1,2 2u

=





A figura mostra um mapa

de contorno da funo

temperatura (, )para os estados da

Califrnia e Nevada s

15 horas em um dia deoutubro. As curvas de

nvel, ou isotrmicas,

ligam localizaes com a

mesma temperatura.

Estime o valor da derivada direcional da funo temperatura em

Reno na direo sudeste.

2Se (, ) diferencivel em (, ) e se = (, ) um

vetor unitrio, ento a Derivada Direcional (, ) existe e

dada por:

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y a f x y b= +



!"#$

Podemos considerar o vetor unitrio = (cos * , +,-*), da

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) cos ( , )senu x yD f x y f x y f x y = +

Determine a derivada direcional da funo no

ponto na direo do vetor

2( , )f x y x x y= +(1, 2)P = 1 1( , ).

2 2u =



.

Calcule a derivada direcional de , = ,/0 em (2, 0) na

direo e sentido do vetor unitrio que faz um ngulo de 4/3 com

o eixo positivo.

7

A Derivada Direcional pode ser escrita como o Produto Escalar

entre dois vetores: ( , ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y a f x y b= +

( )( , ), ( , ) ( , )x yf x y f x y a b= da funo Gradiente f

144424443

( )( , ) ( , ), ( , )x yf x y f x y f x y =

Determine o Gradiente e a Derivada Direcional da funo

, = 89 4 no ponto (2,1) na direo do vetor; = (3, 4).

( , ) ( , )uD f x y f x y u=



!"#$

< o ngulo entre e .

O Valor Mximo da Derivada Direcional e

ocorre quando o vetor tem a mesma direo e sentido do vetor

gradiente

Valor Mximo: , ou seja,



Determine a Taxa de variao de no ponto P na

direo do vetor , onde e . Em

que direo f tem a mxima taxa de variao? Qual essa taxade variao?

( , ) yf x y x e=(2,0)P =v PQ=

uuur 1

2( ,2)Q =

3 3 42 5 5

( , 2) ( , )v PQ u == =uuur

( , ) ( , ) (2,0) (1, 2)y yf x y e x e f = =

3 45 5

(2,0) (2,0) (1, 2) ( , ) 1u

D f f u = = =

(2,0) (1, 2) 5f = =



=



3A temperatura do ar em certa altitude dada pela funo

Um avio localizado no ponto deseja resfriar o motor o

mais rapidamente possvel. Em que direo deve voar?

2 3 2 3 2 3( , , )T x y z x y z x y z x y z= + +( 1, 2, 1)



>

2 3 3 3( , , ) 2 2 ( 1,2,1) 16x x

T x y z y z x y z x y z T= + + = 3 2 3 2 2( , , ) 2 3 ( 1,2,1) 9y yT x y z x y z x z x y z T= + + =

2 2 2 2 2 3( , , ) 3 3 ( 1,2,1) 2z zT x y z x y z x y z x y T= + + =( 1,2,1) ( 16, 9, 2)T =

De todas as direes possveis, a direo do gradiente aquela

onde a funo cresce mais rapidamente. Logo, o avio dever

voar na direo contrria a do gradiente.

Portanto, o avio dever voar na direo (16, 9, 2).

Soluo



Gradiente e Conjuntos de Nvel

Sabe-se que ? aponta na direo para a qual cresce o mais

rapidamente, mas nas curvas de nvel a funo permanece

constante, isto , ao andarmos por uma curva de nvel, os valores

de so constantes; logo, a derivada direcional nessa direo

ser zero.

0 0 0 0( , ) ( , ) 0uD f x y f x y u= =Considere uma funo de duas variveis, temos:

Isto significa que o vetor gradiente perpendicular curva de nvel





Reta Tangente



Encontre uma equao para a tangente elipse/@

AB 8 2 no

ponto 12, 1.

C



Um rastreador trmico se encontra no ponto 2, 13 sobre uma

placa metlica cuja temperatura em ,

D

, 20 1 48 1 8

Encontre a trajetria do rastreador, sabendo que se move

continuamente em direo do aumento mximo da temperatura.

( )( ) ( ), ( )r t x t y t='( ) ( , )r t k T x y=

, (2) 34dx dy y

x y= =

Curva:

Condio:

Equao Diferencial:

4C l c u l o D i f . e I n t . F. V. Va r i v e i s U F O P A


Trajetria

Superfcie de nvel

0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) 0F x y z x x y y z z =



Plano Tangente



Encontre uma equao do plano tangente ao elipsoide dado pela

equao 8 B 48 B E8 18 no ponto 1, 2, 1.

G

Encontre as equaes do

plano tangente e da reta

normal superfcie



8 B 8 B E 1 9 0

no ponto I1, 2, 4.

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