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Cálculo Diferencial e

Integral I

2

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 2,915 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Segunda edición 2009. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Revisión de Contenidos: María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez Corrección de Estilo: Alejandro Ernesto Rivas Santoyo Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Francisco Peralta Varela Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar

3

COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

GRUPO:

FÍSICO-MATEMÁTICO Y ECONÓMICO-

ADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las

asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo

Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo

Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

______________________________________________________________

Ubicación Curricular

4

Reglas de derivación

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Aplicaciones

Valores máximos y mínimos

Optimización en las ciencias naturales y

sociales

Graficado de curvas complejas

Límites y continuidad

Derivadas

Funciones elementales

Funciones trascendentes

A problemas de

Inician con el conocimiento de

Conforman las

Se aplican

Para derivar se usan

Se utilizan en

Mapa Conceptual de la Asignatura

5

Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7 Presentación .........................................................................................................8 RIEMS ..............................................................................................................9 UNIDAD 1. LÍMITES ................................................................................... 11 1.1. Límites. ..........................................................................................................13 1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ........................................13 1.1.2. Teorema de propiedades de los límites .............................................20 1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. .................................22 1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito .................................................26 1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................33 1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................34 Sección de tareas ................................................................................................39 Autoevaluación .....................................................................................................49 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................51 UNIDAD 2. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA ....................... 53 2.1. La derivada ........................................................................................................... 55 2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada ................................................ 55 2.1.2. Razón de cambio promedio...................................................................... 64 2.1.3. La razón de cambio instantánea .............................................................. 68 2.2. Reglas de derivación ............................................................................................ 68 2.2.1. Reglas para calcular derivadas ................................................................. 68 2.2.2. Regla de la cadena .................................................................................... 75 2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas ................................................. 78 2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas ............................ 81 Sección de tareas ................................................................................................85 Autoevaluación .....................................................................................................103 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................105

Índice

6

UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS

APLICACIONES ....................................................................... 107 3.1. Aplicaciones de la primera derivada ................................................................... 109

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada .................................................................................. 109 3.1.2. Cálculos de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada ...................................................................................... 115

3.2. Aplicaciones de la derivada ................................................................................. 118 3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ......................................... 118 3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales .................................................................................................... 122

Sección de tareas ............................................................................................... 127 Autoevaluación .................................................................................................... 133 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................... 135 Glosario ............................................................................................................... 135 Bibliografía ........................................................................................................... 137

Índice (continuación)

7

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: • Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos

temáticos a revisar en clase. • Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. • Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de

medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. • Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o

reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. • Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en

cada unidad. • Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario

que aparece al final del módulo. • Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de

aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

Recomendaciones para el alumno

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El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales. La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como: La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes

ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes.

El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental.

La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.

Presentación

9

RIEMS

Introducción El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas

CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICAS

I. Se autodetermina y cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

II. Se expresa y comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

III. Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

IV. Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

V. Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

VI. Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

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Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y

los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias docentes: 1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque

por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.

4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e

integral de los estudiantes. 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la

gestión institucional.

UUnniiddaadd 11

LLíímmiitteess

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Temario:

Límites. Teorema de continuidad de una

función.

Cálculo Diferencial e Integral I

12

Mapa Conceptual de Unidad

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA

FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

TEOREMAS Y

PROPIEDADES

LÍMITES DE FUNCIONESPOLINOMIALES, POR

PARTES Y RACIONALES

LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO

CONDICIONES DE

CONTINUIDAD

13

Límites

LLÍÍMMIITTEESS..

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ¿Qué es cálculo? Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. Algunos ejemplos son:

• Un objeto que viaja con velocidad constante puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la velocidad de un objeto en aceleración es necesario el cálculo.

• La pendiente de una recta puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la pendiente de una curva es necesario el cálculo.

• Una recta tangente a un círculo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar una recta tangente de una gráfica general es necesario el cálculo.

• El área de un rectángulo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar el área debajo de una curva general es necesario el cálculo.

Cada una de estas situaciones comprende la misma estrategia general: el replanteamiento de las matemáticas previas al cálculo a través de la aplicación del proceso de hallar el límite. De este modo, una manera de contestar la pregunta “¿qué es cálculo?” es: cálculo es una “máquina de hallar límites” que comprende tres etapas. La primera la constituye las matemáticas previas al cálculo; la segunda es el proceso de hallar el límite; y la tercera es un nuevo planteamiento del cálculo, como una derivada o una integral.

Como ves la noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves descripciones de dos problemas clásicos del cálculo -el problema de la recta tangente y el problema del área- el primero, se presentará en este curso y el segundo en tu curso subsecuente de Cálculo II, deben de darte cierta idea de cómo se usan los límites en esta disciplina. Supongamos que se te pide trazar la gráfica de la función f dada por:

;11)(

3

−−

=xxxf .1≠x

Para todos los valores diferentes de 1=x , es posible aplicar técnicas estándares de trazado de curvas. Pero en 1=x no resulta claro que pueda esperarse, debido que en ese valor la función no está bien definida. Para darnos una idea del

11..11..

Matemáticas previas al cálculo.

Proceso de hallar el límite.

Cálculo.


14

comportamiento de la gráfica de f cerca de 1=x , se pueden utilizar dos

conjuntos de valores de x ; uno que se aproxime a 1desde la izquierda y otro que se acerque a 1 desde la derecha, como se muestra en las tablas:

x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 )(xf 2.710 2.970 2.9970 2.9997 ? 3.0003 3.003 3.030 3.310

Cuando se traza la gráfica de la función, parece que la gráfica de f es una

parábola que tiene una abertura en el punto )3,1( , como se muestra en la

Fig. 1.1. Aunque x no puede ser igual a 1, puedes moverte arbitrariamente cerca de 1 por la izquierda como por la derecha y, como resultado, )(xf se mueve,

también de modo arbitrario, cerca de 3 . Si utilizas la notación de límites, se puede escribir 3)(lim

1=

→xf

x. Esto se lee como “el límite de )(xf , cuando x tiende a 1, es 3”

Esta explicación conduce a una descripción intuitiva de límite.

Para 1≠x la función puede simplificarse, haciendo una factorización del numerador primeramente y después una división de la siguiente manera: Como pudiste observar en la Fig. 1.1, la gráfica de la función es la de

1)( 2 −+= xxxf , excepto que la gráfica de la función dada, tiene un

corresponde a 1=x , esto debido a pequeño hueco en el punto que que el valor de la función )(xf no existe para dicho valor de x .

Cuando se aproxima cada vez más a 1, los valores correspondientes de )(xf se

aproximan cada vez más a 3 .

Utilizaremos la notación −→ cx para indicar que x tiende al valor c , por la

izquierda, y +→ cx para expresar que x tiende al valor c por la derecha. De esta manera definiremos los límites unilaterales:

Si )(xf se acerca arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a un número c desde cualquiera de los dos lados, el límite de )(xf , cuando x tiende a c , es L . Este límite se escribe como

Lxfcx

=→

)(lim .

)(xf tiende a 3 )(xf tiende a 3

x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derecha

.11

)1)(1(11)( 2

23

−+=−

−+−=

−−

= xxx

xxxxxxf

Fig. 1.1 El límite de )(xf ,

cuando x tiende a 1, es 3.

15

Límites

A) L , es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a c por la izquierda y lo

representamos como: Lxf

cx=

−→)(lim .

B) L , es el límite de f por la derecha cuando x tiende a c por la derecha y lo

representamos como: Lxf

cx=

+→)(lim .

Por tanto, si los límites unilaterales tienen un valor común L : Lxfxf

cxcx==

+− →→)(lim)(lim ;

se dice entonces que )(lim xfcx→

existe y se escribe como ya lo habíamos

determinado en la definición intuitiva de límite: )(lim xf

cx→.

En el caso contrario, cuando los límites unilaterales no coinciden al mismo valor, se dice que el límite no existe y se representa de la siguiente manera: Usualmente haremos referencia al número L como el límite de f en c , sin embargo debes observar lo siguiente:

Como habrás notado, los límites son usados para describir cómo se comporta una función cuando la variable independiente x se mueve alrededor de cierto valor.

Ejemplo 1. Dada la función 22)( 2 −−= xxxf determina ).(lim3

xfx→

La

gráfica de la función dada nos queda de la siguiente manera: Después de elaborar la gráfica, podemos dibujar una tabla para analizar los valores de )(xf cuando x se acerca a 3 :

∃=→

)(lim xfcx

La existencia del límite de una función f no depende de si f está realmente

definida en c , sino solamente si f está definida para valores de x cerca de c .


16

Derecha Izquierda

x 3.1 3.01 3.001 3.0001 3 2.9999 2.999 2.99 2.9 )(xf 1.41 1.04 1.004 1.0004 ? 0.9996 0.996 0.96 0.61

Observando la gráfica y la tabla tenemos que cuando x se acerca a 3 por la izquierda y por la derecha )(xf se aproxima a 1, esto es,

1)(lim3

=−→

xfx

y 1)(lim3

=+→

xfx

;

por lo tanto, 1)(lim

3=

→xf

x.

Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén el límite para la función )(xf cuando x

tiende a 2 , donde f se define como

⎩⎨⎧

>+−<

=262

)(2

xsixxsix

xf .

En esta función, el dominio que tenemos está formado por todos los números reales excepto el 2 ; es decir, la función no está definida para 2=x (fíjate que las desigualdades son estrictas, esto es, no contemplan el igual) esto quiere decir que en la gráfica tendremos un pequeño hueco. Para saber exactamente la posición de ese hueco, le daremos ese valor a la variable x . Como no sabemos si las dos partes de la función se juntarán en ese punto, tomaremos el valor 2=x para cada una de las dos partes de la función y así tendremos la gráfica exacta. Para ubicar bien los valores de x , podemos auxiliarnos de una recta numérica:

De esta manera la tabla de valores es: 2<x 2>x

La gráfica correspondiente a la función está dada en la Fig. 1.2. Para obtener el límite, elaboramos una tabla con los valores de la función para valores de x cercanos a 2 , por la izquierda y por la derecha:

x 2)( xxf =

-2 4 -1 1 0 0 1 1

(2) (4)

x 6)( +−= xxf

(2) (4) 3 3 4 2 5 1 6 0

Observa que la función dada en el ejemplo 1 está definida para

3=x , pero en ningún momento se sustituye dicho valor en la función para encontrar el valor

de )(lim3

xfx→

.

Fig. 1.2 La gráfica tiene un hueco en el punto (2,4).

17

Límites

x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2 1.9999 1.999 1.99 1.9 )(xf 3.9 3.99 3.999 3.9999 ? 3.9996 3.996 3.96 3.61

En este tipo de funciones que se definen por partes, es cuando resulta conveniente la utilización de los límites unilaterales, ya que tenemos funciones diferentes en ambos lados del valor de x . De la tabla anterior obtenemos los límites unilaterales: 4)(lim

2=

−→xf

x y 4)(lim

2=

+→xf

x,

y como son iguales, tenemos que el límite buscado es: 4)(lim

2=

→xf

x.

Ejemplo 3. Elabora la gráfica y obtén )(lim3

xfx→

para la función:

⎩⎨⎧

≥+−<−

=3133|2|2

)(xsixxsix

xf .

El dominio de esta función son todos los números reales, como lo viste en el curso de Matemáticas 4. Sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos dará un “trozo” de una línea en forma de “V”, y la otra parte resultará en una porción de una media parábola horizontal, abierta hacia la derecha. Sin embargo no sabemos si esas dos partes se juntarán en un punto como en el ejemplo anterior. Veamos qué es lo que sucede. La recta numérica para estos valores de x nos quedaría de la siguiente forma:

Para este ejemplo, no sustituiremos el valor de 3=x en la función de valor absoluto de manera abierta, es decir, no lo incluiremos en el dominio de esa parte de la función puesto que la desigualdad es estricta. Sin embargo, para la parte de la función con raíz cuadrada, ese mismo valor sí lo incluiremos pues forma parte del dominio de la raíz cuadrada, tal como lo indica la igualdad debajo de la desigualdad. De esta manera, la tabla de valores nos queda: 3<x 3≥x

La gráfica correspondiente a la función está dada en la Figura 1.3. Podemos notar que las dos partes de la función quedan separadas. Veamos ahora qué significa este comportamiento en la obtención de límites. Para obtener los límites unilaterales, elaboramos una tabla con los valores de la función, para valores de x alrededor de 3 :

x |2|2)( −= xxf

-1 6 0 4 1 2 2 0

(3) (2)

x 13)( +−= xxf

3 1 4 2 5 2.41 6 2.73 7 3

Observa que

)(lim2

xfx→

existe

aún cuando )2(f no está

definida.

Fig. 1.3 Gráfica de la función compuesta

)(xf .


18

EJERCICIO 1

3<x 3≥x

2)(lim3

=−→

xfx

y 1)(lim3

=+→

xfx

Llegamos a que estos dos límites son diferentes, por lo tanto el límite buscado no existe: Este resultado lo podemos interpretar gráficamente observando que a ambos lados de 3=x , la función se “dirige” hacia diferentes puntos: por la izquierda, hacia el punto )2,3( y, por la derecha, hacia el punto )1,3( .

x |2|2)( −= xxf

2.9 1.8 2.99 1.98 2.999 1.998 2.9999 1.9998 2.99999 1.99998

x 13)( +−= xxf

3.1 1.31 3.01 1.1 3.001 1.03 3.0001 1.01 3.00001 1.003

x 32)( 2 +−= xxxf

1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

x 32)( 2 +−= xxxf

2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

∃=→

)(lim3

xfx

Observa que

)(lim3

xfx→

no existe

aún cuando )3(f está definida.

1. Dada la función 32)( 2 +−= xxxf , completa las tablas y grafica los puntos para

obtener el límite de la función cuando x tiende a 2 .

19

Límites

Interpretación de la gráfica: 2.- La función f de la Figura 1.4 no está definida para 3−=x

a) ¿Qué observas de los valores de la función conforme x se acerca al número 3− por la izquierda )3( −<x y por la derecha )3( −>x ?

b) ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (sí o

no)?

c) ¿Cómo se representaría el límite de acuerdo a su definición? 3.- Relaciona las siguientes columnas con su representación correcta. a) Lxf

cx=

→)(lim ( ) Límite por la derecha

b) Lxf

cx=

−→)(lim ( ) Límite de una función

c) Lxf

cx=

+→)(lim ( ) Límite por la izquierda

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.límitesmatemáticos.com

TAREA 1

Página 39

Fig. 1.4 Gráfica de la

función f del reactivo 2.


20

1.1.2. Teorema de propiedades de los límites. En la sección anterior, te presentamos la noción intuitiva de límite, con el in de introducirte al tema de una manera más o menos sencilla e informal. Sin embargo, como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta razón, formalizaremos la obtención de los límites mediante la utilización de algunos teoremas que nos ayudarán a agilizar el procedimiento, para obtener de manera rápida el límite de una función.

Ejemplo 4. Usando los teoremas básicos determinaremos los siguientes límites. Límites de una función constante.

a) .1010lim3

=→x

b) .lim 33

2ππ −=−

−→x

En otras palabras, el teorema del límite de una función constante, nos indica que el límite de una función constante es la misma constante. Recuerda que identificas una función constante si en ella no aparece la variable independiente x . Límites de la función identidad.

c) .1lim1

=→

xx

d) .5lim5

−=−→

xx

e) .6lim6

=→

xx

Aquí el teorema nos dice que el límite de la función identidad se acerca siempre al mismo valor hacia donde tiende la variable independiente x . Límites de una función potencia.

f) .8lim 3

2=

→x

x

g) .1lim 5

1−=

−→x

x

Algunos teoremas básicos: Sean k y c números reales y n un entero positivo. 1. Límite de una función constante. Si kxf =)( , donde k es una constante, entonces:

.lim kkcx

=→

2. límite de la función identidad. Si xxf =)( , entonces:

.lim cxcx

=→

3. Límite de una función potencia. Si nxxf =)( , entonces:

.lim nn

cxcx =

→

21

Límites

Ejemplo 5. Haciendo uso de las propiedades de límites determina. Límite de un polinomio. a) .172)3(52limlim52lim5lim)25(lim

33333=+=+=+=+

→→→→→ xxxxxxxx

b) .13)2(37lim37lim3lim7lim)37(lim

22222=−−=−=−=−

−→−→−→−→−→xxx

xxxxx

c) .423)5(4)5(3lim4limlim)34(lim 2

55

2

5

2

5=−+=−+=−+

→→→→ xxxxxxxx

Límite de una potencia.

d) .343]7[]lim[lim 33

7

3

7===

→→xx

xx

Límite de un cociente.

e) .?2

1lim 21=

−+−

→ xxx

x

En este caso, el límite del cociente no puede escribirse inmediatamente como el

cociente de límites porque 0)2(lim 2

1=−+

→xx

x; sin embargo, podemos

simplificar primero la función para poder obtenerlo:

Del tema factorización, debes recordar lo siguiente: 1. Factor común. 2. La diferencia de cuadrados perfectos. 3. Trinomios cuadrados perfectos. 4. Trinomios cuadrados imperfectos. 5. Racionalización y graficación de funciones.

Teorema: propiedades de los límites: Sean k y c números reales y n un entero positivo, y f y g funciones con los

límites siguientes: Lxfcx

=→

)(lim y Kxgcx

=→

)(lim .

1. Límite de una constante por una función o múltiplo escalar: .)(lim kLxkf

cx=

→

2. Suma o diferencia: .)]()([lim KLxgxf

cx±=±

→

3. Producto: .)]()([lim KLxgxfcx

⋅=⋅→

4. Cociente: KL

xgxf

cx=

→ )()(lim , siempre que .0≠K

5. Raíz: ncx

ncx

xfxf )(lim)(lim→→

= , siempre y cuando n sea

un entero positivo impar, o bien, n sea un entero positivo par y .0)(lim >→

xfcx


22

.31

211

2limlim

1lim

21lim

)2)(1(1lim

21lim

11

1

1121=

+=

+=

+=

+−−

=−+

−

→→

→

→→→xx

x

xxx xxxxx

xxx

f) .27

1418216

1)4(24)4(4

1limlim2

limlim4

124lim

44

44

4==

−−

=−−

=−

−=

−−

→→

→→

→xx

xx

x x

xx

xx

Límite de un radical.

g) .112)1(32limlim3)23(lim23lim 55511

51

51

==−=−=−=−→→→→ xxxx

xxx

Si el límite de la función radical de orden par es igual a cero, tenemos que por la izquierda o por la derecha, los valores de la raíz no existen por ser negativo el valor; en este caso, el límite de la raíz no existe, pues no podemos decir que algo inexistente (la función) se acerque a algún valor.

3)1(33lim

1=−=

−→x

x .lim cx

cx=

→

55lim2

1=

→x .lim nn

cxcx =

→

8)2(lim 33

2−=−=

−→x

x .

)()(lim

KL

xgxf

cx=

→

413)1(3)133(lim133lim 22

1

2

1=+=+=+

→→xx

xx .lim kk

cx=

→

1.1.3. Límites de funciones definidas por partes y funciones racionales. Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas en la sección anterior, pudimos obtener el límite de la función simplemente sustituyendo el valor de c en la variable independiente x , siempre y cuando se pueda obtener ese valor, es decir, que al hacerlo, no resulte en una raíz de un número negativo o en una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas funciones

radicales que nos de como resultado n 0 cuando n es par. En la primera sección de esta unidad, vimos cómo graficar aquellas funciones que están definidas por partes, es decir, donde el dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente. También obtuvimos los límites de manera intuitiva, y observamos que este tipo de funciones se comportan de manera

EJERCICIO 2 1. Obtén los siguientes límites y entrégalos a tu profesor:

1. 12

4lim 24 −−−

−→ xxx

x 3.

44lim 2

2

2 +−

−→ xx

x 5. 2

425lim x

x−

→

2. 4

4lim2

2 +−−

−→ xxx

x 4. )14(lim 2

2+−

→xx

x 6.

22lim

3 −+

→ xx

x

2. Relaciona mediante líneas la columna de la derecha con la columna de la izquierda de acuerdo al teorema aplicado en el ejemplo:

23

Límites

extraña, precisamente en aquel valor de x donde se divide el dominio. Debido a esto, tendremos dos maneras de obtener el límite, dependiendo de cual sea el valor de c , hacia donde tiende la x , es decir, si c coincide o no con el valor donde se divide el dominio. Al desarrollar este tema, encontraremos que existen funciones que se indefinen o indeterminan en el valor c , esto es, que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un valor real. De aquí que la intención de este tema sea utilizar técnicas que nos convertirán dichas funciones en funciones determinadas. Ejemplo 6. Consideremos la función:

⎩⎨⎧

>−+−≤+−

=28622|1|

)( 2 xsixxxsix

xf

Solución: Gráficamente tenemos: En este ejemplo, si 2→x necesitaremos los límites unilaterales para ver si son iguales o diferentes, pero si x tiende a cualquier otro valor, no será necesario obtenerlos, pues sabemos que por cualquiera de los dos lados cercanos a c , la función es la misma y no presentará problema el límite. Obtendremos los siguientes límites para entender, cómo se obtienen dependiendo del valor de c : 1. )(lim

0xf

x→

Como x no se acerca a 2 , que es el valor donde se divide el dominio, obtendremos el valor del límite utilizando el procedimiento visto en la sección anterior; esto lo haremos debido a que cerca de 0 , le corresponde la función

2|1| +−x y la parte cuadrática no interviene.

.3212|1|2|10|2|10|)(lim0

=+=+−=+−=+−=→

xfx

2. )(lim

3xf

x→

En este límite sucede lo mismo que en el anterior, x tiende a 3 , y como no se acerca 2 , sólo sustituimos en la parte cuadrática que es donde corresponde:

.18189|8)3(6)3()(lim 2

3=−+−=−+−=

→xf

x

Observa en la gráfica que cerca de 0=x , la función se acerca a 3=y y

que la parte cuadrática no interviene.

En la gráfica puedes observar que cerca de

3=x , la función se acerca a 1=y y

que la parte del valor absoluto no interviene.

TAREAS 2

Página 41.


24

3. )(lim

2xf

x→

En este límite, x tiende a 2 , que es el valor donde se divide el dominio de la función. Es en estos casos cuando estamos obligados a obtener los límites unilaterales, pues por cada lado de 2=x , hay funciones diferentes y no sabemos con certeza qué es lo que sucederá cuando la x se acerque a 2 por lados diferentes. Para ubicarnos en qué parte sustituiremos, podemos elaborar una recta numérica como lo hicimos en la primera sección:

a) .3212|1|2|12|)(lim2

=+=+=+−=−→

xfx

b) .081248)2(6)2()(lim 2

2=−+−=−+−=

+→xf

x

Como estos dos límites son diferentes, tenemos que: Observa que si el límite no existe, tenemos que las dos partes de la función quedan separadas en la gráfica. Ejemplo 7. Tenemos la función

⎩⎨⎧

>−≤−

= .0202

)( 2 xsixxsi

xf

Obtener: )(lim1

xfx −→

, )(lim2

xfx→

y )(lim0

xfx→

.

Solución: .2)(lim

1−=

−→xf

x

.2242)2()(lim 2

2=−=−=

→xf

x

Como 0 es el valor donde se divide el dominio, obtendremos los límites unilaterales: a) .2)(lim

0−=

−→xf

x

b) .2202)0()(lim 2

0−=−=−=

+→xf

x

Tenemos que los dos límites unilaterales son iguales, por lo tanto: .2)(lim

0−=

→xf

x

Ahora observa la Figura 1.5, y relaciona el hecho de que el límite sea 2− y la forma que ésta presenta a pesar de ser por partes.

∃=→

)(lim2

xfx

Cuando +→ 2x ,

y se acerca a 0,

pero no llega a ser igual a 0; esto lo puedes observar en la gráfica con el punto hueco que aparece en (2,0).

Fig. 1.5 En este ejemplo el límite es igual a -2. Observa cómo las dos partes de la gráfica de la función se juntan en el punto (0,-2).

25

Límites

Estrategias para calcular límites. 1. Aprende a reconocer los límites calculables por sustitución directa. 2. Si el límite de )(xf cuando cx → no puede evaluarse por sustitución directa,

intenta, por medio de álgebra, hallar una función g que coincida con f en cx = (es decir, encuentra una función g de modo que su límite sea calculable por sustitución directa)

Ejemplo 8. Encuentra el límite de 1

2)(2

+++

=x

xxxf cuando .1→x

Solución: Debido a que el denominador no es cero para 1=x , se puede evaluar directamente quedando:

.224

1)1(2)1()1(

12lim

22

1==

+++

=+++

→ xxx

x

Ejemplo 9. Hallar .3

6lim2

3 +−+

−→ xxx

x

Solución: Puesto que el denominador es cero para 3−=x , no se puede hacer la sustitución

directa, entonces se factoriza 62 −+ xx :

)2)(3(62 −+=−+ xxxx y hacemos la sustitución en el límite,

3)2)(3(lim

36lim

3

2

3 +−+

=+−+

−→−→ xxx

xxx

xx

.52)3()2(lim3

−=−−=−=−→

xx

En la Figura 1.6 se muestra gráficamente este resultado. Observa que la gráfica de la función f coincide con la de la función 2)( −= xxg , excepto que la de

f tiene una abertura o hueco en el punto )5,3( −− . En el ejemplo 9, la sustitución directa produjo la forma fraccionaria sin significado

00 . Una expresión de este tipo se le conoce como “forma

indeterminada o indefinida”, porque no se puede (a partir sólo de la forma) determinar el límite. Cuando intentes evaluar un límite y te encuentres esta forma, recuerda que debes volver a escribir la fracción de modo que el nuevo denominador no sea 0 cuando cx = . Una manera de llevar a cabo esto es cancelar los factores iguales, como se mostró en este ejemplo. Una segunda manera es racionalizar el numerador, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10. Hallar .11lim0 x

xx

−+→

Solución:

Técnica de cancelación

Fig. 1.6 Observa que )(xf no

está definida cuando 3−=x .


26

Dado que el denominador es cero en 0=x , no se puede hacer la sustitución directa, entonces se racionaliza el numerador, es decir, se multiplica y divide por el binomio conjugado del numerador. (Recuerda que una diferencia de cuadrados se factoriza como un producto de binomios conjugados).

;)11(1)1(

)11()11)(11(lim11lim

2

00 ++−+

=++

++−+=

−+→→ xx

xxx

xxx

xxx

Se cancela la raíz cuadrada con el cuadrado, al igual que , 11−+ en consecuencia:

.21

111

111

111lim

)11(lim11lim

000=

+=

+=

++=

++=

−+→→→ xxx

xx

xxxx

5. 52

152lim2

25 +

−−−→ x

xxx

6. 8143

23lim 23

2 +−−

→ xxx

x

7. 245

27lim 2

3

3 −+−

→ xxx

x 8.

24527lim 2

3

3 −+−

→ xxx

x

9. 25

5lim5 −

−→ x

xx

10. 49

32lim 27 −++

→ xx

x

1.1.4. Límites infinitos.

Consideremos la función f dada por: .2

3)(−

=x

xf

EJERCICIO 3 En cada una de las siguientes funciones, obtén el límite indicado, si es que existe. Entrégalo a tu profesor:

1. ⎩⎨⎧

>−≤

=131

)(3

xsixxsix

xf 2. ⎩⎨⎧

≥<−

=22

24)(

xsixsix

xf

a) )(lim0

xfx→

b) )(lim1

xfx→

a) )(lim3

xfx −→

b) )(lim2

xfx→

3. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=23

224

)(2

xsi

xsixx

xf 4.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≥−−<≤−−−<−−

=13

14244

)(2 xsix

xsixsix

xf

a) )(lim3

xfx −→

b) )(lim2

xfx→

a) )(lim4

xfx −→

b) )(lim0

xfx→

c) )(lim1

xfx→

27

Límites

Con base en la gráfica y la tabla, es posible ver que )(xf decrece sin cota cuando

x tiende a 2 desde la izquierda, es decir, para valores de x menores que 2 , )(xf se va haciendo más y más pequeña indefinidamente; y )(xf crece sin cota

cuando x tiende a 2 desde la derecha, esto es, para valores de x mayores que 2 , )(xf se va haciendo más y más grande indefinidamente . Este comportamiento se denota como:

−∞=−−→ 23lim

2 xx

y

∞=−+→ 23lim

2 xx

x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 )(xf -6 -30 -300 -3000 ? 3000 300 30 6

Explicaremos de una manera sencilla lo que acabamos de decir a través de los límites unilaterales, del párrafo anterior. Los límites anteriores significan que podemos hacer a )(xf suficientemente tan grande como se desee, haciendo a x

suficientemente cercana a 2 . Esto es, que el valor absoluto de la diferencia entre x y 2 ( |2| −x ) sea tan pequeña como se desee. En términos matemáticos esto

se puede expresar como sigue: δ<− |2| x , donde δ es un valor positivo muy pequeño, tan pequeño como se quiera. (Por esta razón agregamos más nueves por la izquierda de 2 y más ceros por la derecha de 2 ). Entonces si la distancia

x tiende a 2 desde la izquierda x tiende a 2 desde la derecha

)(xf decrece sin cota )(xf crece sin cota

)(xf decrece sin cota cuando 2→x desde la izquierda

)(xf crece sin cota cuando 2→x desde la derecha

Recuerda que el valor absoluto es una distancia; por tanto, su resultado siempre tiene que ser un valor positivo.


28

entre x y 2 es cada vez más pequeña tanto por la izquierda como por la derecha, el valor que toma )(xf se va haciendo cada vez más pequeño o más grande, es decir, se va a ∞− ó ∞+ respectivamente. En otras palabras va decreciendo y creciendo sin cota alguna. En términos matemáticos, se dice, que el valor de )(xf

es menor que algún número positivo M (ó 0>M ) si el acercamiento es por la izquierda, por otro lado decimos que )(xf es mayor que un número 0>N , si el acercamiento es por la derecha. El razonamiento anterior nos lleva a una definición formal de límites infinitos, definición un tanto compleja que omitiremos en este curso y que seguramente verás en el nivel superior. Un límite en el que )(xf crece o decrece sin cota cuando x tiende a un número c se llama límite infinito. En la proposición ∞=

→)(lim xf

cx, el signo igual no significa que el límite existe. Por

el contrario expresa cómo el límite deja de existir al denotar un comportamiento no acotado de )(xf , cuando x tiende a c . Esto último lo podemos visualizar en la gráfica de la función. Observa el comportamiento de la función: cuando hacemos que x se aproxime al valor 2 tanto por la izquierda como por la derecha, la función se curvea sin tocar una recta vertical imaginaria en 2=x ; esta recta recibe el nombre de asíntota. Ahora fíjate en el denominador de la función 2−x ; no es casualidad que en 2=x pase la asíntota. Esto se debe a que el valor 2 es el que hace cero al denominador, es decir, 2 es la raíz del polinomio 2−x . Mas allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es saber identificar lo que es un límite infinito. De manera sencilla podemos decir que un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está determinado.

Ejemplo11. Encontrar 22

2lim 24 +−−

→ xxx

x.

Solución: Si intentas hacer el cálculo del límite por simple sustitución como en los casos anteriores, cuando x se aproxima a 4 el denominador de la función se hace cero. Esto se debe a que el polinomio se puede descomponer en

factores como sigue: )2)(4(822 +−=−− xxxx , de esta manera el 4 hace cero a uno de los factores haciendo que todo el polinomio se haga cero, es decir, el 4 es una raíz del polinomio; además el valor de 2− también hace que el denominador de la función se haga cero. Esto quiere decir que la función se indefine en dos valores, en 2−=x y en 4=x , resulta lógico puesto que la función es de segundo grado, significando esto que cuenta con dos raíces. Considerando entonces la aproximación por la izquierda y por la derecha, tenemos que los límites unilaterales de acuerdo a la tabla son:

∞=+−

−−→ 22

2lim 24 xxx

x; y −∞=

+−−

+→ 222lim 24 xx

xx

.

x 3.9 3.99 3.999 3.9999 4 4.0001 4.001 4.01 4.1 )(xf 3.2203 33.22203 333.2 3333.2 ? -3333. -333. -33. -3.4

Recuerda que cuando hablamos de números negativos, entre más lejos esté del cero un número que es negativo, éste es más pequeño.

29

Límites

La gráfica de la función te dará una idea del comportamiento de una función que tiene dos valores donde ésta se indefine. A estos valores se les llama singularidades, pasando justamente por esos valores las asíntotas. Ejemplo12. Resolución de límites infinitos. Encuentra qué signo debe tener ∞ en las siguientes funciones con límites cuando x tienda a la izquierda o a la derecha.

1. 2

3lim2 −−→ x

xx

.

Se toma un valor muy cercano a 2 por la izquierda, consideremos 1.999 y los sustituimos en la función

5997001.0

997.52999.1)999.1(3

23

−=−

=−

=−xx

.

Como el resultado es un valor negativo muy alejado del cero, entonces:

−∞=−−→ 23lim

2 xx

x.

2. x

xx −+→ 4lim

2

4;

Consideramos un valor muy cercano a 4 por la derecha, 4.001 por ejemplo y sustituimos:

001.16008001.0

008001.16001.44)001.4(

4

22

−=−

=−

=− xx

.

Entonces:

−∞=−+→ xx

x 4lim

2

4.

3. 1532lim

51 +

−+

−→ xx

x;

4.68000005.04002.3

1)2001.0(53)2001.0(2

1532

=−−

=+−−−

=+−

xx

.


30

Entonces:

∞=+−

+−→ 15

32lim5

1 xx

x.

4. ∞=−+→ 1

lim1 x

xx

.

5. −∞=+−→ 4

lim4 x

xx

.

6. ∞=−+

+→ 255lim 25 x

xx

.

Límites en el infinito. Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real. Trataremos ahora con el cálculo de límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras, es decir, indefinidamente. Para ello definimos lo siguiente: A. Si x aumenta sin cota (es decir crece infinitamente hacia la derecha), se dice que tiende hacia un infinito positivo. Se denota por:

∞→x .

B. Si x decrece sin cota (disminuye infinitamente hacia la izquierda), se dice que tiende a un infinito negativo. Se denota por:

−∞→x .

En la resolución de los límites infinitos se utiliza fundamentalmente un teorema sobre límites, el cual nos dice que el límite de una constante dividida entre una variable, cuando la variable tiende a infinito, es igual a cero.

;0lim =∞→ x

cx

donde c es una constante.

Ejemplo13. Hallar el límite de las siguientes funciones:

1. 10848663453lim 234

234

++−++−+−

∞→ xxxxxxxx

x;

Dividimos cada término del numerador y del denominador por la potencia más

grande de x que aparezca en la función, esto es 4x . Obtenemos

444

2

4

3

4

4

444

2

4

3

4

4

234

234

108486

63453

lim10848663453lim

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

xxxxxxxx

xx++−+

+−+−=

++−++−+−

∞→∞→,

Recuerda que para saber hacia dónde tiende el límite de la función tienes que dar un valor de x muy, pero muy cercano al valor de c .

31

Límites

hacemos la división de las x

432

432

234

234

108486

63453lim

10848663453lim

xxxx

xxxxxxxxxxxx

xx++−+

+−+−=

++−++−+−

∞→∞→;

y aplicamos el teorema ;0lim =∞→ x

cx

entonces todos los términos divididos entre x

se harán cero,

Por tanto

.21

63

10848663453lim 234

234

==++−++−+−

∞→ xxxxxxxx

x

2. Hallar 1

23lim3

+−

∞→ xx

x;

Dividimos numerador y denominador por 3x ,

32

3

33

3

3

33

11

23

lim1

23

lim1

23lim

xx

x

xxx

xx

xx

xxxx

+

−=

+

−=

+−

∞→∞→∞→;

Ya que el límite del denominador de la función es cero, no podemos aplicar el

teorema ;0lim =∞→ x

cx

sin embargo, podemos argumentar hacia dónde se indefine

el límite. En el numerador 33

x se aproxima a 0 cuando +∞→x así que

233 −x

es eventualmente negativo y se aproxima a 2− . Como ya dijimos,

cuando +∞→x , el denominador es una cantidad positiva que se aproxima a 0 . Así que la razón es una cantidad negativa que decrece sin cota. Esto es,

−∞=+

−∞→ 1

23lim3

xx

x.

3. xx

xx 108

62lim 5

3

++

∞→;

Dividimos entre 5x

432

432

234

234

108486

63453lim

10848663453lim

xxxx

xxxxxxxxxxxx

xx++−+

+−+−=

++−++−+−

∞→∞→

0

Calcula el xx

1lim∞→

Para que comprendas por qué a la función del ejemplo 2 no se le puede aplicar el teorema


32

4

52

55

5

55

3

5

3

108

62

lim108

62

lim108

62lim

x

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx+

+=

+

+=

++

∞→∞→∞→;

aplicamos el teorema,

080

108

62

lim108

62lim

4

52

5

3

==+

+=

++

∞→∞→

x

xxxx

xxx

.

Recuerda que aunque el número cero represente la ausencia de valor, eso no significa que el límite no exista. En el ejemplo 3 el límite existe y su valor es 0 .

4. xxxx

x −+

∞→ 3

3

lim ;

Tendríamos que expresar los radicales a potencias, como 3

12

1 > , entonces 2

1 es

el mayor exponente,

1

1limlimlim

21

31

21

31

21

21

21

31

21

21

21

31

3

3

−

+

=

−

+

=−+

∞→∞→∞→

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

xxxx

xxx;

aplicamos el teorema y obtenemos,

11

1lim3

3

−=−

=−+

∞→ xxxx

x.

Pareciera que un tema tan abstracto como éste, de límites en el infinito, no tuviera manera de aplicarse. Para que te des una idea de dónde se puede aplicar, te presentamos el siguiente problema. 5. Sea )(tf el nivel de oxígeno en un estanque, donde 1)( =tf es el nivel normal

(sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando 0=t , se arroja materia orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por:

1

1)( 2

2

++−

=t

tttf

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para t desmesuradamente grande? Solución: Cuando ,1=t 2 y 10 , los niveles de oxígeno son:

%5021

1)1(1)1()1()1( 2

2

==++−

=f en 1 semana;

Observa dónde se encuentra, dentro de la función, la potencia más grande y elabora tus conclusiones acerca de la existencia o no existencia de los límites.

33

Límites

%6053

1)2(1)2()2()2( 2

2

==++−

=f en 2 semanas,

%17.9010191

1)10(1)10()10()10( 2

2

==+

+−=f en 10 semanas;

Para un tiempo infinitamente grande calculamos el límite al infinito de )(tf ,

%10101

00111

111lim

11lim

2

2

2

2

==++−

=+

+−=

++−

∞→∞→

t

ttt

tttt

.

Por tanto el porcentaje de oxígeno del nivel normal del estanque en un tiempo en el infinito es aproximadamente un 10%.

TTEEOORREEMMAA DDEE CCOONNTTIINNUUIIDDAADD DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN..

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto. Por ejemplo, cuando vas caminando y encuentras algún obstáculo, como un charco de agua, es necesario brincarlo para poder seguir tu camino. En este ejemplo nos damos cuenta que el salto que diste fue un impedimento para que tu caminar se diera de manera continua, en otras palabras, te diste cuenta que para continuar la marcha tuviste que despegar los pies del suelo. En las gráficas de funciones también se presenta el mismo caso; es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En el caso de que la gráfica de una función la podamos realizar sin despegar el lápiz del papel, decimos que la función es una función continua. En el caso contrario, es decir, cuando despegamos el lápiz del papel para poder dibujar la gráfica diremos que la función es discontinua.

11..22..

TAREAS 3 y 4

Páginas. 43 y 45.

EJERCICIO 4 Determina el signo que debe tener ∞ en los siguientes límites infinitos:

1. 3

6lim3 −−→ x

xx

2. x

xx −+→ 4lim

2

2 3.

1423lim

41 +

−−

→ xx

x

4. 2

3lim2 ++→ x

xx

Resuelve los siguientes límites en el infinito:

4. 536394lim 3

23

+−++

∞→ xxxxx

x 5.

7253510lim 3

2

−+−+

∞→ xxxx

x

6. 5

5

534lim

xxxx

x +−−

∞→ 7.

12583210lim 279

234

−+−−+−

∞→ xxxxxx

x


34

Observa las siguientes figuras para obtener las definiciones de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva.

En el siguiente subtema llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a establecer las condiciones para que una función sea continua. 1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD. En estos ejemplos te presentaremos distintas formas de discontinuidad que puede tomar una función.

1. Sea la función5

103)(2

−−−

=x

xxxf .

La gráfica de la función es: En esta función )(xf no está definida para 5=x ; esto nos dice que hay una

ruptura en la gráfica en 5=x concluimos que la función f es discontinua en

5=x y continua para todos los otros valores de x diferentes de 5 ( 5≠x ). Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a 5 tenemos:

.7)2(lim5

)2)(5(lim5

103lim55

2

5=+=

−+−

=−−−

→→→x

xxx

xxx

xxx

Como te darás cuenta el límite existe y es igual a 7; sin embargo, )5(f no existe,

es decir, el valor que toma la función en 5=x no existe ya que hace 0 al denominador de la función racional provocando que ésta se indefina.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

La gráfica representada en esta función, presenta un hueco, es decir, hay un trazo interrumpido. Concluimos que es una función discontinua.

En forma intuitiva se puede decir que la gráfica de esta función puede dibujarse en un trazo ininterrumpido. Concluimos que es una función continua.

35

Límites

Concluimos entonces que el valor del límite es diferente al valor de la función valuada en .5=x Esto es, )5()(lim

5fxf

x≠

→.

2. Consideremos ahora la función g :

.212

228

)(3

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=xcuando

xcuandoxx

xg

Esta función )(xg se compone de dos partes (Figura 1.7), la primera parte está

definida para todos los números reales 2≠x excepto para 2=x , ya que en ese valor el denominador de la función racional se hace 0 , haciendo que esa parte de la función quede indefinida; es precisamente en ese valor que la gráfica de la función presenta un hueco. Por otro lado en la segunda parte de )(xg , la función

toma el valor de un punto con coordenadas )12,2( , haciendo que el hueco que existe de la primera parte de la función quede definido en esta segunda parte; es decir, el hueco se rellena. Ya que no hay una ruptura en la gráfica de )(xg debemos afirmar entonces que g es una función continua. Nuevamente, si calculamos el límite de esta función g tenemos:

.12)42(lim2

)42)(2(lim28lim 2

2

2

2

3

2=++=

−++−

=−−

→→→xx

xxxx

xx

xxx

Si comparamos el valor del límite, es igual al valor que toma la función g en

2=x . Esto es )2()(lim2

gxgx

=→

.

Otro ejemplo es la función presentada en el ejemplo 6 de este módulo (pág. 21),

⎩⎨⎧

>−+−≤+−

=28622|1|

)( 2 xsixxxsix

xf ,

su forma es un claro ejemplo de una función discontinua, ya que ésta presenta un salto en el valor 2=x . Si recuerdas, el cálculo de los límites unilaterales de la función f fueron:

a) .3212|1|2|12|)(lim2

=+=+=+−=−→

xfx

b) .081248)2(6)2()(lim 2

2=−+−=−+−=

+→xf

x

Como estos dos límites son diferentes, tenemos que: Por otro lado tenemos que el valor de la función )(xf valuada en 2 es igual a 3 . Lo anterior nos dice que aún teniendo a una función definida en algún punto, en este caso 2 , es una condición necesaria para la continuidad en ese punto, pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista ya que el límite no existe en ese mismo punto. Los ejemplos antes mencionados son suficientes para determinar ahora las condiciones que una función debe cumplir para hablar de continuidad en un punto.

Fig. 1.7 Gráfica de la función )(xg .

∃=→

)(lim2

xfx


36

El significado de esta definición nos asegura tres condiciones: I. )(cf esté definida. Es decir que exista, que c pertenezca al dominio de f .

II. )(lim xfcx→

exista.

III. ).()(lim cfxfcx

=→

Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que la función f no es continua en el punto c , esto es, que es discontinua en c . En pocas palabras, si quieres determinar si una función es continua en un punto dado c , tienes que verificar primero si la función está bien definida en c , esto lo logras sustituyendo en la función dicho valor para determinar si el resultado es un número real. Luego determinar que el límite de la función en ese valor c existe, y por último verificar que el valor del límite y el de la función valuada en c es el mismo. Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos: 1. Una división entre cero. 2. Extraer una raíz de índice par a una cantidad negativa. Esto es, si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente x y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores, la función será continua para ese valor.

Ejemplo14. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en los puntos que se te indican:

1. Sea ;1

132

12)( 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

−+=

=xsi

xxx

xsixf determina si es continua en

1=x . Aplicando las tres condiciones: I. Veremos primero que )(xf en 1=x , existe. (Tomamos ese valor ya que es el punto crítico donde la función cambia de forma). .2)1( =f Efectivamente se cumple la condición I. Calcularemos ahora el límite de la función f cuando x tiende a 1.

II. .5)32(lim1

)32)(1(lim1

32lim11

2

1=+=

−+−

=−

−+→→→

xx

xxx

xxxxx

Como el valor del límite es un número real, entonces existe. Por último verificaremos que se cumpla la condición ).()(lim cfxf

cx=

→

Continuidad en un punto: Sea f una función definida en un intervalo

abierto que contiene a c . Decimos que f es continua en c si

).()(lim cfxfcx

=→

37

Límites

III. .2)1(,5)(lim1

==→

fperoxfx

Entonces ).1(25)(lim1

fxfx

=≠=→

La condición III no se cumplió, por lo tanto la función f no es continua en 1=x ; es discontinua en ese valor.

2. Sea 3

1)(−

=x

xf ; determina si es continua o discontinua en 3=x .

En el caso de las funciones racionales es necesario, primeramente, ver para qué valores de x la función se indefine; es decir, dónde el denominador de la función se hace .0 Para ello se toma el denominador 3−x y se iguala a cero con la finalidad de despejar x .

.3;3033

;03

=+=+−

=−

xxx

Entonces )(xf se indefine cuando x toma el valor 3 , ya que la división por cero no es posible. Así vemos inmediatamente que la condición I no se cumple ya que

)3(f no existe; por lo que f es discontinua en 3=x .

Observa en la Figura 1.8 que si cambiamos el valor de c , entonces f estaría bien

definida, por lo que )(cf existiría. Haciendo posible que sea continua en un valor

de c diferente de 3 .

3. Sea ⎩⎨⎧

<−≥+

=512512

)(xsixxsix

xg , determina si es continua o

discontinua en 5=x . Aplicando las tres condiciones de continuidad: I. )(cf existe ; 111)5(2)5( =+=f , existe. Por tanto cumple. II. )(lim xf

cx→ existe ;

;11)(lim5

=+→

xfx

;9)(lim5

=−→

xfx

ya que los límites unilaterales son diferentes concluímos que por lo que no se cumplió la condición II. Por lo tanto )(xf es discontinua en 5=x .

Fig. 1.8 Gráfica de la función

31)(−

=x

xf .

∃=→

)(lim5

xfx


38

Contesta lo que se te pide. 1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. En el punto donde se indica.

a) 1)( 2 −= xxf , en 2=x . b) 53)( += xxf , en 1−=x .

c) xxf += 21)( , en 0=x .

d) 39)(

2

+−

=xxxf , en 3−=x .

e) 1)( −= xxf , en 9=x .

f) ⎩⎨⎧

<+≥

=33233

)(xsixxsix

xg en 3=x .

g) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<

= ;991099

)(2 xsix

xsixsix

xh en 9=x .

h)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>>

=−+

= ;333

333

)(2 xsix

xsix

xsixx

xf en 3=x .

2. Demostrar que la función 1)( 2 −= xxf es continua en 3=x .

3. Dada la función ⎩⎨⎧

<+≥−

=31323

)(xsikxxsix

xg ; para que valor de k la función

es continua en 3=x .

EJERCICIO 5

TAREA 5

Página 47.

39

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega los resultados a tu profesor. A) Para cada una de las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye para cada una

la tabla de valores para encontrar el límite dado. 1. )21(lim

1x

x−

→

2. )2(lim5

−→

xx

3. )2(lim 2

0xx

x−

→

4. )32(lim 2

2+−

→xx

x

5. 312lim

3 −+

−→ xx

x

6. 39lim

2

3 −−

→ xx

x

7. sixfx

)(lim1→

⎩⎨⎧

≥+<+

=15112

)(xsixxsix

xf

8. sixgx

)(lim1−→

⎪⎩

⎪⎨⎧

−<+−≤+

=12

14

112

)(2

xsixxsixx

xg

9. 16865lim 2

2

6 ++++

→ xxxx

x

10. sixhx

)(lim2−→

⎩⎨⎧

≥+−<

=262

)(2

xsixxsix

xh

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1


40

B) Escribe cinco ejemplos de la vida real donde se apliquen los límites. 1. 2. 3. 4. 5.

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

41

Límites

INSTRUCCIONES: En los siguientes límites de funciones indica el teorema que se aplica y evalúalos. 1. π

ex→lim

2. x

x 1lim

−→

3. )23285(lim 234

21

+−−−→

xxxxx

4. )95)(23(lim 22

2++

→xx

x

5. 3

1)15(lim +

→x

x

6. )(lim 2

91

xxx

+→

7. 6523lim

4 ++

→ xx

x

8. )76(lim 24

2+++

−→xx

x

9. 8359lim

37 −

+→ x

xx

10. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

→ xxxx

x

8)]79)(3[(lim 6

8

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


42


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

43

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te indica en cada caso y entrega el resultado a tu profesor. I. En los siguientes ejercicios aplicarás los teoremas sobre límites.

1. Sea ,123)( 2 +−= xxxf 4)( 2 −= xxg y 34)( −= xxh Hallar: a) )]()()([lim

2xhxgxf

x−+

→

b) )(

)]()([lim1 xh

xgxfx

⋅→

c) )(

)]()()([lim5 xf

xfxgxhx

−⋅→

2. De los siguientes límites, indica cuáles son determinados; y cuáles, indeterminados.

a) 5102lim

5 +−

−→ xx

x __________________________

b) 2

2

2 )2()3(lim

−+

−→ xx

x __________________________

c) )2)(65(

1245lim2

56 −+

−−→ xx

xxx

___________________________

d) xx

xcoslim ⋅

→π ____________________________

e) 1

12lim2

0 −+−

→ hhh

h _____________________________

f) k

xe9

6lim→

______________________________

g) ]22ln[lim

1xx

x+

−→ _______________________________

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


44

3. ¿Qué entiendes por funciones determinadas y funciones indeterminadas? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4. ¿Cuáles son las técnicas o procesos que se tienen que seguir para convertir una función indeterminada en determinada? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5. Una escalera de 25 pies se apoya en una casa y su base se separa de la casa a razón de 2 pies por segundo. Sabiendo que su extremo superior desciende por la pared con velocidad,

./625

22

segpiesx

xr−

=

a) Hallar la velocidad cuando x es 7 pies. b) Hallar la velocidad cuando x es 15 pies. c) Hallar el límite de r cuando x tiende a 25 pies.


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

45

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide y entrega un reporte a tu profesor. 1. De los siguientes límites infinitos encuentra el signo que debe de asignarse al ∞ .

a) 1

5lim1 −→ x

xx

b) 3294lim

23 +

+−→ x

xx

c) 12

lim2

1 −→ xx

x

2. Resuelve los siguientes límites en el infinito para comprobar las siguientes igualdades.

a) 3742356lim 3

23

−=−+−+−

∞→ xxxx

x b) 0

3226lim 35

24

=+−−−

∞→ xxxxx

x

c) 13234lim 23

2

=+−

∞→ xxx

x d)

xhxxhhxxhh

x 21

23423lim 33

322

=−−++

∞→

e) 111lim =

−+

∞→ xx

x f) 0cos3lim =

+∞→ x

xx

g) 11

lim −=+∞→ nn

n h) 5

6535lim 2

2

=++

+∞→ xx

xx

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


46


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

47

Límites

INSTRUCCIONES: 1. Determina si las funciones son continuas o discontinuas en el punto indicado y compruébalas con la gráfica de cada una de ellas.

a) 1)( 2 −= xxf , en 2−=x . b) 53)( += xxf , en 0=x .

c) xxf −= 31)( , en 1−=x .

d) 416)(

2

+−

=x

xxf , en 4−=x .

e) ||)( xxf = , en 0=x .

f) ⎩⎨⎧

>−≤

=22522

)(2

xsixxsix

xh , en 2=x .

g) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤=

11

11)(

2 xsix

xsixxf , en 1=x .

h) 1

3)(−

=x

xf , en 1−=x .

i) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=−≥−

=423411

432)(

xsixxsi

xsixxg , en 4=x .

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 5


48


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

49

Límites

INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la letra que corresponda:

1. 525lim

2

5 +−

−→ xx

x

6 10−

existeNo

1

2. )14(lim 2

2+−

→xx

x

0 7 3−

2

3. 53

4lim2

2

2 +−

−→ x

xx

71

x2 5 6

4. 7923lim

+−

∞→ xx

x

31

56

0 2−

5. senx

x 2

limπ→

∞ 1 0 1−

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN


50

6. El valor de k en la función ⎩⎨⎧

>+≤+

=2623

)(xsikxxsix

xf es:

2 ∞−

21−

4

7. )32ln(lim 42

3

xx

xee ⋅

→

32− 8

100 180

8. La siguiente gráfica corresponde a una función:

continua en 0=x discontinua en 0=x constante en 0=x constante en 0<x

9. ¿Cómo es la función 4)( 2 −= xxg en 0=x ?

continua continua removible discontinua discontinua removible

10. La función x

xf−

=21)( es continua en 2−=x :

Verdadero Falso

Verdadero si 2=x Falso si 2=x

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

51

Límites

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un reporte a tu profesor.

1. Obtén los siguientes límites:

a) 327lim

3

3 −−

→ xx

x

b) x

xx

25)5(lim2

0

−+→

c) 42lim

4 −−

→ xx

x

d) ]32[lim

0θ

θsen+

→

e) 33652lim 23

23

1 +−−+−−

−→ xxxxxx

x

f) 3

lim0

xx

x

ee −

→

−

g) ]5)82ln[(lim 32

2xx

x+−

→

h) )3)(23(lim 2

3−+−

−→xxx

x

i) 5244lim

++

∞→ xx

x

j) 52

43lim2 −

+∞→ x

xx

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________




52

2. Determina el signo −+ ó del ∞ , resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos.

a) 2

5lim2 +−+→ x

xx

b) 3

lim2

3 −−→ xx

x

c) 2732lim

72 +

−+−→ x

xx

3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado.

a) 53)( += xxf ; en 2=x .

b) 7)2(5)( 2 −+= xxf ; en 1−=x . c) 4|1|1)( +−−= xxf ; en 0=x .

d) 636)(

2

−−

=x

xxf ; en 36=x .

e) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>++

≤=

25)1(22

1)(

2

3

xsixxsixxf ; en 2=x .

f) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−−=−−<−+

=111111)1(3

)(

2

xsixxsixsix

xg ; en 1−=x .

4. Hallar el valor de x donde la función es discontinua y determina si esa discontinuidad puede ser removible o no; es decir, si la función se puede expresar como otra función mediante factorización.

a) x

xf 2)( =

b) 927)( 2

3

−−

=xxxf

c) ⎩⎨⎧

≠=

=0200

)(xsixsi

xg

UUnniiddaadd 22 LLaass rraazzoonneess ddee

ccaammbbiioo yy llaa ddeerriivvaaddaa

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

Temario:

La derivada. Reglas de derivación.

El libro de la naturaleza “El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito… Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos matemáticos). Galileo Galilei Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.


54

Mapa Conceptual de Unidad

Interpretación geométrica de la derivada.

La ecuación de la recta tangente en un punto.

La Derivada.

Razón de cambio promedio e instantánea.

Las reglas de derivación.

Las cuales son:

Se obtiene por

De la cual obtenemos

Lo que nos permite calcular

Regla de la potencia.

Reglas del producto y del cociente.

Regla de la cadena.

Derivadas de funciones trigonométricas.

Derivadas de funciones exponenciales y

logarítmicas.

55

Las razones de cambio y la derivada

LLAA DDEERRIIVVAADDAA..

Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1. El problema de la tangente. 2. El problema de la aceleración. 3. El problema de máximos y mínimos. 4. El problema del área. Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo. 2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada. Sea )(xf una función cualquiera, si tomamos los puntos ( ))(, 11 xfx y

( ))(, 22 xfx como se muestra en la figura:

22..11..

Gottgried Wilhem Leibniz (1646-1716) Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal

1x

)( 1xf

2x

)( 2xf ( (, 22 xfx

( )(, 11 xfx

)(xf


56

Llamaremos sm a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos

( ))(, 11 xfx , ( ))(, 22 xfx , la cual la podemos calcular de la siguiente manera:

12

12 )()(xxxfxf

ms −−

=

Si hacemos que el punto 2x se aproxime al punto 1x , la pendiente de las rectas secante que se van generando la podemos calcular utilizando la misma fórmula, esto lo podemos observar en la siguiente figura: Apoyándonos en la gráfica anterior se puede observar también que conforme 2x se aproxima a 1x , las rectas secantes que se generaron se

aproximan a la recta tangente a )(xf en el punto 1x , y por lo tanto las pendientes de las rectas secantes se estarán aproximando a la pendiente de la recta tangente, la cual la denotaremos como tm . Si recuerdas, al proceso de ir aproximando lo relacionamos con el concepto de límite; de tal manera que podemos afirmar que el valor de la pendiente de la recta tangente de una función )(xf en el punto 1x es igual al límite

de las pendientes de las rectas secantes cuando el punto 2x se aproxima a

1x y esto lo podemos escribir de la siguiente manera:

1x 2x 2x 2x

)( 2xf

)( 2xf

)( 2xf

)( 1xf

57


sxxt mlímm12 →

=

Es decir:

12

12 )()(12 xx

xfxflímmxxt −

−=

→

Si en la fórmula anterior hacemos 12 xxh −= , se puede observar

fácilmente que si 2x se aproxima a 1x , la diferencia 12 xx − se va haciendo cada vez más pequeña; de tal manera que podemos decir que si

2x se aproxima a 1x , entonces 12 xxh −= se aproxima a cero.

Por otro lado, si de la igualdad 12 xxh −= despejamos 2x , obtenemos

hxx += 12 ; si estos cambios los sustituimos en:

12

12 )()(12 xx

xfxflímmxxt −

−=

→ Ecuación 2.1

Se obtiene:

hxfhxf

límmht

)()( 11

0

−+=

→

Ecuación 2.2 Ejemplos:

1) Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente ( tm ) de la

función 1)( 2 += xxf en el punto 21 =x . Para utilizar la fórmula, debemos calcular:

1)()( 211 += xxf

1)()( 211 ++=+ hxhxf

Si estos valores los sustituimos en:

hxfhxflímm

ht)()( 11

0

−+=

→

Tendremos:

)(2)(2))(2(

))((21)(1))((2)()1)((1)(

110

1

0

21

0

21

21

21

0

21

21

0

xhxlímh

hxhlím

hhhxlím

hxhhxxlím

hxhxlímm

hh

hhht

=+=+

=+=−−+++=+−++=

→→

→→→


58

)(2)(2))(2(

))((22)(2))((2)()2)((2)(

110

1

0

21

0

21

21

21

0

21

21

0

xhxlímh

hxhlím

hhhxlím

hxhhxxlím

hxhxlímm

hh

hhht

=+=+

=+=+−−++=−−−+=

→→

→→→

Por lo tanto )(2 1xmt = , si sustituimos 21 =x obtenemos )2(2=tm ,

4=tm

2) Hallar la ecuación de la recta tangente ( tR ) a la función

2)( 2 −= xxf en 21 =x Para resolver este ejercicio, necesitamos calcular tm , y punto formado por

( ))(, 11 xfxP para sustituirlo en la ecuación de la recta, que si recuerdas

está dada por )()( 11 xxmxfy t −=− .

Para calcular tm procederemos como en el ejemplo anterior:

2)()( 211 −= xxf

2)()( 211 −+=+ hxhxf

Estos valores los sustituimos en:

hxfhxflímm

ht)()( 11

0

−+=

→

Tendremos: Por lo tanto )(2 1xmt = , si sustituimos 21 =x obtenemos )2(2=tm ,

4=tm El punto es )2,2(P ya que 2242)2(2)()(2 22

111 =−=−=−== xxfyx Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta

)()( 11 xxmxfy t −=− , obtenemos:

)2(42 −=− xy desarrollando 842 −=− xy igualando a cero

064: =++− yxRt que corresponde a la ecuación de la recta tangente a

2)( 2 −= xxf en el punto 21 =x .

59


Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros.

I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

21463)()3

4)()2

032)()1

2

2

−=++=

==

=+−=

xenxxxf

xenxxf

xenxxxf

II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

1)()5334)()4

12)()31)()2

11)()1

3

2

2

2

−==

−=++==+−=

==

−=−=

xenxxfxenxxxf

xenxxfxenxxf

xenxxf

III. Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes (Función y Recta tangente) de los ejercicios del punto II.

EJERCICIO 1

TAREA 1

Página 85.


60

DEFINICIÓN: La derivada de una función )(xf que representaremos como )´(xf se define como el valor de la pendiente de la recta tangente a la función )(xf en el punto x , es decir:

hxfhxflímmxf

ht)()()´(

0

−+==→

Ecuación 2.3 Existen otras formas para representar a la derivada, las cuales puedes encontrar en diferentes bibliografías, algunas de ellas son:

dxdy

, ´y , dxdf

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición (Ecuación 2.3). 1) 23)( += xxf Para resolverlo, necesitamos encontrar:

23)(2332)(3)(

+=++=++=+

xxfhxhxhxf

Si estas expresiones las sustituimos en la Ecuación 2.3, obtenemos:

.333

23233)23(233)()()´(

00

000

===

=−−++=+−++=−+=

→→

→→→

hh

hhh

límhhlím

hxhxlím

hxhxlím

hxfhxflímxf

Por lo tanto:

3)´( =xf

61


2) 52)( 2 +−= xxxf Calculemos:

52)(52225)(2)()(

2

222

+−=+−−++=++−+=+

xxxfhxhxhxhxhxhxf

Sustituyendo en la Ecuación 2.3, se obtiene: Por lo tanto:

22)´( −= xxf

3) 2

1)(−

=x

xf

hxhxlímxf

h

21

21

)´(0

−−

−+=→

si multiplicamos cruzado para realizar la

resta de las fracciones, obtenemos:

20

000

)2(1

)2)(2(1

)2)(20(1

)2)(2(1

)2)(2(1

)2)(2(22

)2)(2()2(1)2(1

)´(

−−=

−−−=

−−+−=

−−+−=

=−−+

−=−−++−−−

=−−+−+−−

=

→

→→→

xxxxxxhxlím

xhxhhlím

hxhxhxx

límhxhxhxx

límxf

h

hhh

Por lo tanto:

2)2(1)´(−

−=x

xf

Recuerda que:

222 2)( bababa ++=+

Si factorizamos h

2220222)22(

22525222

)52(5222)()()´(

00

2

0

222

0

222

00

−=−−=−+=−+=

=−+=−+−+−−++=

+−−+−−++=−+=

→→

→→

→→

xxhxlímhhxhlím

hhhxhlím

hxxhxhxhxlím

hxxhxhxhxlím

hxfhxflímxf

hh

hh

hh


62

4) xxf =)(

hxhxlímxf

h

−+=→0

)´( si multiplicamos y dividimos por el conjugado de

xhx −+ que es xhx ++ , tendremos:

( ) ( )

xxxxxxhxlím

xhxhhlím

xhxhxhxlím

xhxhxhxlím

xhxxhx

hxhxlímxf

hh

hhh

211

011

)(

)()()´(

00

0

22

00

=+

=++

=++

=++

=

=++−+=

++−+=

++++−+=

→→

→→→

Por lo tanto:

xxf

21)´( =

63


I. Calcula la derivada de las siguientes funciones (utilizando la

ecuación 2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.

1) 25)( −= xxf

2) 543)( += xxf

3) xxf −=)(

4) 8

3)( −= xxf

5) xxxf += 2)( 6) 23)( xxf = 7) 354)( 2 +−= xxxf

8) 45

21

32)( 2 +−= xxxf

9) 3)( xxf =

10) 5

1)(+

=x

xf

11) x

xf 1)( −=

12) 52

3)(+

=x

xf

13) 3

)(+

=xxxf

14) 2

1)(x

xf =

15) 2)( −= xxf 16) xxf 3)( = 17) 13)( += xxf

18) x

xf 1)( =

19) 5

2)(+

=x

xf

20) 75

1)(−

−=x

xf

EJERCICIO 2

TAREA 2

Página 87.


64

1x 2x

1y

2y

y

P1

P2

y∆

x∆

x

2.1.2. Razón de cambio promedio. En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta que pasa por los puntos

),(),( 222111 yxPyyxP denotada como ""m , la cual la podías calcular utilizando la fórmula:

12

12

xxyym

−−

=

La podemos transcribir como:

xym

∆∆=

Donde:

12 xxx −=∆ . Es la diferencia de las abscisas ( x )

12 yyy −=∆ . Es la diferencia de las ordenadas ( y ) Como se muestra en la siguiente gráfica: Por lo tanto:

xy

∆∆

se lee como “razón de cambio de “ y ” con respecto a “ x ”.

Lo que nos permitir definir:

∆ Es una letra griega llamada delta. Que significa: CAMBIO.

Razón de cambio promedio. Sea f una función tal que )(xfy = y ),(),( 222111 yxPyyxP un par de puntos de f . Definimos la razón de cambio promedio de “ y ” con respecto a “ x ” como:

12

12

12

12 )()(xxxfxf

xxyy

xy

−−=

−−=

∆∆

65


Ejemplo 1. Determinar la razón de cambio promedio de la función

13)( += xxf en el intervalo ]7,3[ Solución: Hagamos una partición del intervalo ]7,3[ de la siguiente Si realizamos una tabla de valor como la siguiente: x )(xfy = x∆ y∆

xy

∆∆

3 10)3( =f

134 =− 31013)3()4( =−=− ff

13

4 13)4( =f

145 =− 31316)4()5( =−=− ff

13

5 16)5( =f

156 =− 31619)5()6( =−=− ff 1

3

6 19)6( =f 167 =− 31922)6()7( =−=− ff

13

7 22)7( =f

Observamos la tabla y nos damos cuenta que la razón de cambio promedio de la función en el intervalo ]7,3[ con la partición del intervalo dada permanece constante y es igual a :

313 ==

∆∆xy

NOTA: Si tomamos el punto 5.41 =x y 2.62 =x , si sustituimos estos

valores en la función se tiene que 5.1415.131)5.4(3)( 1 =+=+=xf y

6.1916.181)2.6(3)( 2 =+=+=xf Entonces la razón de cambio promedio de la función será:

37.11.5

5.42.65.146.19)()(

12

12 ==−−=

−−

=∆∆

xxxfxf

xy

Es decir que la razón de cambio promedio de la función independientemente de la partición permanece constante.

3 4 5 6 7


66

Ejemplo 2. Determinar la razón de cambio promedio de la función: 32)( 2 ++= xxxf En el intervalo ]1,2[− Solución: Si tomamos 21 −=x y 12 =x , entonces

33443)2(2)2()( 21 =+−=+−+−=xf

63213)1(2)1()( 22 =++=++=xf

Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

12

12

12

12 )()(xxxfxf

xxyy

xy

−−=

−−=

∆∆

133

2136

)2(136)()(

12

12

12

12 ==+−=

−−−=

−−

=−−

=∆∆

xxxfxf

xxyy

xy

1=∆∆xy

Geométricamente, 1=∆∆xy

es la pendiente de la recta secante que une

Los puntos . )6,1()3,2( y− como se muestra en la siguiente figura:

x

y

67


En equipo realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los miembros de tu equipo. 1.- Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan. a) 2xy = , para x ∈ [-3, 4]

b) )37(2 −= xxy , para x ∈ [1, 6] 2.- Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se te da en las siguientes funciones:

a) 852 −+= xxy , ∈x [1,1.2] Respuesta: 2.7=∆∆xy

b) xxy 22 += , ∈x [1, 1.5] Respuesta: 5.4=∆∆xy

c) Hallar y∆ , dado que y 532 +−= xxy , y x∆ = 0.01. ¿Cuál es el valor de “ y ” cuando x = 4.9? Respuesta: y∆ = - 0.0699 y = 14.9301 3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas. Recordar que:

3

34 rV π=

b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son:

0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no. e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica.

EJERCICIO 3

TAREA 3

Página 89.


68

Razón de cambio instantáneo. Sea )(xfy = una función definida en todos puntos del intervalo ),( 21 xx Definimos la razón de cambio instantáneo de la función en x .

xylím

x ∆∆

→∆ 0

O bien:

12

12 )()(12 xx

xfxflímxx −

−→

2.1.3. La razón de cambio instantánea. La que corresponde, a la Ecuación 2.1 que representa la pendiente de la recta tangente a la función. Una definición más general de la derivada sería entonces: La derivada es la razón de cambio instantánea de una función en un intervalo.

RREEGGLLAASS DDEE DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN..

Existen reglas que nos permiten encontrar la derivada de una función de una manera más práctica las cuáles están basadas en la definición formal mediante límites, pero tiene la desventaja de que es muy laborioso y en algunas ocasiones difícil de aplicar. Algunas de estas reglas son: 2.2.1. REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS. 1.- Regla de la función constante.

Si cxf =)( , donde ""c es una constante, entonces: 0)´( =xf Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) 5)( =xf 0)´( =xf

2) 87)( −=xf

0)´( =xf

22..22..

69


2.- Regla de una constante por la función identidad:

Si xcxf =)( entonces: cxf =)´( Ejemplos: calcular la derivada de las siguientes funciones: 1) xxf 4)( = entonces: 4)´( =xf

2) xxg35)( −= entonces:

35)´( −=xg

3) xxf =)( entonces: 1)´( =xf 3.- Regla de la función potencia: Si ncxxf =)( , entonces:

1))(()´( −= nxncxf Ejemplo: 1) 2)( xxf =

xxxf 22)´( 12 == −

2) 3

1)(x

xf = si recuerdas 33 11 −= xx

, entonces:

413 33)´( −−− −=−= xxxf o bien:

4

3)´(x

xf −=


70

3) xxf =)( que la podemos representar: 21

)( xxf =

121

21)´(

−= xxf y restando los exponentes quedaría

21

21)´(

−= xxf o bien

xxf

21)´( =

4) 35)( xxf −= entonces:

213 15)3)(5()´( xxxf −=−= −

5) 5 23)( xxf = , es decir 52

3)( xxf = entonces:

5 3

531

52

56

56

52)3()´(

xxxxf ==

=

−−

4.- Regla de la suma o diferencia de funciones: Si )()()( xhxgxf ±= entonces: )´()´()´( xhxgxf ±= Es decir, la derivada de una suma es la suma de las derivadas; o bien, la derivada de una resta es la resta de las derivadas. Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1) 64)( += xxf entonces: 404)´( =+=xf 2) 782)( 4 −+−= xxxg entonces:

88)´( 3 +−= xxg

3) 1023)( 4 54

5 ++−= xx

xxh para este tipo de ejercicio, primero hay que

preparar la función para que podamos derivar cada uno de sus términos, es decir:

10231023)( 45

454 54

5 ++−=++−= − xxxxx

xxh , entonces:

45

441

54

45815

45815)´( x

xxxxxxh ++=++= −

71


Individual: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) 753)( 3 +−= xxxf 2) 9874)( 25 −++−= − xxxxg

3) 5)( xxh =

4) 3946)( 41

2 +−+= xxxxf

5) 15)( 7 2 −+= xxxg

6) 432

4321)(xxxx

xM +−+=

7) 53)(5 7

−=x

xT

8) 2

23 753)(x

xxxxQ −+−=

9) π=)(xf

10) 272945)( 23456 +−+−+−= xxxxxxxh

EJERCICIO 4

TAREA 4

Página 91.


72

5.-Regla del producto de funciones. Si )()()( xhxgxf = entonces: )´()()´()()´( xgxhxhxgxf += Escrito en palabras: La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Ejemplos: 1) ( )( )3553)( 32 +−= xxxf entonces: ( )( ) ( )( )xxxxxf 6351053)´( 322 ++−= o bien:

xxxxxf 18305030)´( 424 ++−= , si sumamos los términos semejantes, obtenemos:

xxxxf 185060)´( 24 +−= 2) ( )( )952)( 35 ++−= xxxxf entonces: ( )( ) ( )( )259352)´( 4325 −+++−= xxxxxxf o bien:

1845251563)´( 437237 −+−++−= xxxxxxxf , si sumamos los términos semejantes, obtenemos:

18158458)´( 2347 −+−+= xxxxxf Hay ocasiones que es mucho más práctico multiplicar primero y después derivar, por ejemplo: 1) ( )( )55)( 22 +−= xxxf Como puedes darte cuenta, tenemos un producto de binomios conjugados. Si recuerdas, el resultado de la multiplicación es una diferencia de cuadrados, es decir )(xf la podemos expresar de la siguiente manera: 25)( 4 −= xxf de tal manera que:

34)´( xxf =

73


6.- Regla del cociente de funciones.

Si 0)()()()( ≠= xhconxhxgxf entonces:

[ ]2)()´()()´()()´(

xhxhxgxgxhxf −=

Escrito en palabras: La derivada del cociente de funciones es igual a la de abajo por la derivada de la de arriba menos la de arriba por la derivada de la de abajo todo sobre la de abajo elevada al cuadrado. Ejemplo:

1) 735)( 2

3

+−=

xxxf

( )( ) ( )( )

( )22

322

7365373)´(

+

−−+=x

xxxxxf , si eliminamos paréntesis

obtenemos:

( )22

424

73306219)´(

+

+−+=x

xxxxxf , sumando términos semejantes tenemos:

( )22

24

7330213)´(

+

++=x

xxxxf

Al igual que en el caso de la multiplicación, hay ocasiones que es mucho más práctico dividir primero y después derivar, por ejemplo:

1) 636)(

2

+−=xxxf como puedes observar tenemos una diferencia de

cuadrados que podemos factorizar como el producto de binomios conjugados, de tal manera que la función )(xf podemos expresarla de la siguiente manera:

6

)6)(6()(+

+−=xxxxf o bien,

6)( −= xxf , entonces:

1)´( =xf


74

En equipo de cuatro, deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus resultados con los de tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1) )5)(63()( 4xxxf +=

2) )84)(36()( 3 −−−= xxxxf

3) )13)(54()( 42 +−+= xxxxxf

4) ( )( )xxxf −+= 11)(

5) ( )( )933)( 242 ++−= xxxxh

6) x

xxf5

35)(3 +=

7) 2653)(

2

+−=x

xxxf

8) 964

278)( 2

3

+−+=xx

xxM

9) x

xxg+

−=1

1)(

10) 81

276)( 2

2

−−−=

xxxxG

EJERCICIO 5

TAREA 5

Página 93.

75


2.2.2. REGLA DE LA CADENA 7.- Teorema de la regla de la cadena.

Si ))(()( xhgxf o= es decir, ))(()( xhgxf = entonces:

)´())(´()´( xhxhgxf = Antes de ejemplificar ejercicios donde se utilice la regla de la cadena para derivar, es necesario que veamos unos ejemplos donde puedas encontrar la función composición: Ejemplos: 1) Sean

74)(,2)(,53)( 2 +=−=−+= xxhyxxgxxxf , entonces:

723

5232

5)2(3)2(5))((3))(())(())(( 22

−−+=

=−−+−=

=−−+−=−+==

xx

xx

xxxgxgxgfxgf o

Como puedes darte cuenta, para encontrar la función composición

))(( xgf o lo que tuvimos que hacer fue sustituir la función )(xg donde aparece la variable x en la función )(xf . Si encuentras la función composición ))(( xfg o te darás cuenta que no es la misma que la función composición ))(( xgf o , veámoslo:

732532)())(())(( 22 −+=−−+=−== xxxxxfxfgxfg o Puedes observa que:

723))(( −−+= xxxgf o y 73))(( 2 −+= xxxfg o que obviamente no son iguales.

EJERCICIO 6 Con las funciones señaladas en el ejemplo anterior, encuentra: 1) ))(( xhf o 2) ))(( xgh o 3) ))(( xhg o 4) ))(( xfh o

TAREA 6

Página 95.


76

Para aplicar el teorema de la regla de la cadena en la derivación de funciones composición, primero resolveremos un ejemplo haciendo una separación de las funciones: Sea ))(()( xhgxf o= donde 3)( xxg = y 9)( 2 += xxh , entonces:

( )32 9)( += xxf Para calcular )´(xf utilizando la regla de la cadena que como anteriormente lo mencionamos está dada por 1. )´())(´()´( xhxhgxf = Tenemos que calcular:

xxhxxhxhg

xxg

2)´()9(3))((3))(´(

3)´(222

2

=+==

=

Si sustituimos estos resultados en: )´())(´()´( xhxhgxf = , obtenemos:

)2()9(3)´()´())(´()´(

22 xxxfxhxhgxf

+===

Si comparamos el ejercicio original con el resultado que obtuvimos al derivar, se observa lo siguiente:

( )32 9)( += xxf )2()9(3)´( 22 xxxf += Puedes darte cuenta de que lo que sucedió fue que el exponente 3 lo bajamos multiplicando a )9( 2 +x y se le restó 1 al exponente para que nos quedara el 2; y el resultado de esto se multiplicó por x2 que corresponde a la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis. Esto último es lo que estaremos aplicando para hallar la derivada de una función composición utilizando la regla de la cadena. Resolvamos algunos ejemplos: Ejemplos: Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) ( )65 93)( −= xxf entonces:

554455 )93(90)15()93(6)´( −=−= xxxxxf

2) ( )923 6378)( +−= xxxf entonces:

( ) ( )82322823 637)4321512()621(63772)´( +−−=−+−= xxxxxxxxxf

3) 47

44 74 )83()83()( −=−= xxxf entonces:

4 343343

4 )83(21)12()83(47)( −=−= xxxxxf

77


I. En equipo de cuatro personas deriva las siguientes funciones

utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 52 )82()( += xxF

2) 73 )65()( +−= xxF

3) 34 )3()( xxxF −−=

4) 4 5)35()( −= xxf

5) 64)( 3 += xxf II. Con el apoyo de tu profesor(a), deriva las siguientes funciones

utilizando las diferentes reglas de derivación.

1) 4352 )7()1()( −+= xxxF

2) 7373 )6()6()( xxxF ++−=

3) 32

5

)5()23()(

−+=

xxxF

4) 5

52

)8()403()(

−−−=

xxxxF

5) )3)(64()( 33 −+= xxxf

6) 8

52)(

+−=xxxg

7) )2)(5()( 4 +−= xxxM

8) 42 5

2)(−

+=x

xxQ

9) 19)(

+−=xxxG

10) )3)(5()( 7 27 3 +−= xxxL

EJERCICIO 7

TAREA 7

Páginas 97.


78

2.2.3. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TEOREMAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS. 1.- Si ))(()( xgSenxf = entonces: ))(()´()´( xgCosxgxf = 2.- Si ))(()( xgCosxf = entonces: ))(()´()´( xgSenxgxf −= 3 Si ))(()( xgTanxf = entonces: ))(()´()´( 2 xgSecxgxf = 4.- Si ))(()( xgCotxf = entonces: ))(()´()´( 2 xgCscxgxf −= 5.- Si ))(()( xgSecxf = entonces: ))(())(()´()´( xgTanxgSecxgxf = 6.- Si ))(()( xgCscxf = entonces: ))(())(()´()´( xgCotxgCscxgxf −=

79


Ejemplos: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas. 1) )()( 2xSenxf = , entonces:

)(2)´( 2xxCosxf = 2) )123()( 5 +−= xxCosxg , entonces: )123()215()´( 54 +−−−= xxSenxxg

3) )()()( 21

xTanxTanxh == , entonces:

)(2

1)(21)´( 222

1

xSecx

xSecxxh ==−

4) 3)52()( −= xCotxM , entonces: )52()52(6)52()2()52(3)´( 2222 −−−=−−−= xCscxxCscxxM

5)

−+=

23)(

xxSecxH , entonces:

−+

−+

−

+−−=23

23

)2()1)(3()1)(2()´( 2 x

xTanxxSec

xxxxH

−+

−+

−

−−−=23

23

)2(32)´( 2 x

xTanxxSec

xxxxH

−+

−+

−−=

23

23

)2(5)´( 2 x

xTanxxSec

xxH

6) )73()( −= xCscxT

21

)73()( −= xCscxT

)73()73()3()73(21)´( 2

1

−−−−=−

xCotxCscxxT

)73()73()73(23)´( 2

1

−−−−=−

xCotxCscxxT

)73()73(732

3)´( −−−

−= xCotxCscx

xT


80

Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1.- xxsenxf )()( =

2.- )2tan()5()( xxsenxf −=

3.- )tan()( 2xxf =

4.- )(tan)( 2 xxf =

5.- )21cot()( 2xxf −=

6.- )36(sec)( 6 += xxf

7.- )2()( −= xCosxh

8.- 6)36()( += xSecxL

9.-

+−=

24)(

2

xxCscxQ

10.- )8()8()( 5252 −+−= xCosxSenxf

11.- )()()(xSenxCosxg =

12.- )(

1)(xCot

xT =

13.- )9823()( 23 −+−= xxxSenxG

14.-

=x

Cosxf 1)(

15.- )(

)(xSenxxg =

16.- )35()35()( 22 ++= xSecxCosxK

17.- )(

1)(2 xCos

xF =

18.- )23()4()( 3 −= xTanxxf

19.- )tan(

1)(x

xxh −=

20.- )()()( 35 xCosxSenxM =

EJERCICIO 8

TAREA 8

Páginas 99.

81


2.2.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. Derivada de la función exponencial. Si )()( xgexf = , entonces:

)()´()´( xgexgxf = Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales.

1) )35(

)35(

5)´()(

+

+

=

=x

x

exfexf

2) )4(

)4(

)4(4)´()(

xCos

xCos

exSenxfexf−=

=

3)

25

225

225

2

25

)2(7

)2(52

)2()1)(5()1)(2()´(

)(

+−

+−

+−

+−

+

=

+

+−+=

+

−−+=

=

xx

xx

xx

xx

ex

ex

xxex

xxxh

exh

Derivada de la función logaritmo natural. Si ))(()( xgLnxf = , entonces:

0)()()´()´( ≠= xgconxgxgxf

Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1)

6364)´(

)63()(

24

3

24

+−−=

+−=

xxxxxf

xxLnxf

2) )1(9

)1()1(9

)1()1()3(3)´(

))1((3)(

323

32

3

32

3

+=+

+=+

+=

+=

xCotxxSenxCosx

xSenxCosxxg

xSenLnxg


82

Hay ocasiones en las cuales es conveniente aplicar las leyes de los logaritmos, antes de derivar, porque al hacerlo se facilita el cálculo de la derivada. Estas leyes las viste en el curso de Matemáticas 4, pero si no las recuerdas te las volvemos a presentar: Leyes de Logaritmos:

)(1)4

)()()3

)()()2

)()()])([()1

ALnn

ALn

ALnnALn

BLnALnBALn

BLnALnBALn

n

n

=

=

−=

+=

Veamos un ejemplo donde, al aplicar estas leyes, se facilita el cálculo de la derivada: EJEMPLOS: Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1) 7

3

4

15)(

−+=

xxLnxf si observas la función, para derivarla sería

necesario aplicar primeramente la regla de la cadena, el teorema de la división y el teorema de la función logaritmo; sin embargo, si aplicamos las leyes de los logaritmos anteriormente mencionadas te darás cuenta que encontrar la derivada de la misma función se hará de una manera más fácil. Enseguida te la presentamos:

7

3

4

15)(

−+=

xxLnxf Si aplicamos la ley #3 tenemos:

−+=

157)( 3

4

xxLnxf ahora si aplicamos la ley #2 se tiene:

[ ])1()5(7)( 34 −−+= xLnxLnxf si por último derivamos se obtiene:

−

−+

=1

35

47)´( 3

2

4

3

xx

xxxf o bien si simplificamos:

)1)(5(105287

)1)(5(1547)´(

)1)(5(153447

)1)(5()5)(3()1)(4(7)´(

34

236

34

236

34

2636

34

4233

−+−−=

−+

−−=

−+−−−=

−+

+−−=

xxxxx

xxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

83


¡Ojo! Recuerda que debes

resolver la auto evaluación y los

ejercicios de reforzamiento;

esto te ayudará a enriquecer

los temas vistos en clase.

Encuentra la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logaritmicas y preséntalas a tu profesor para su revisión:

1.- )()( xSenexf = 2.- 2

1

)( xexf =

3.- xexg =)( 4.- )1)(5( 74

)( +−= xxexM

5.- 242

5)( −+

= xx

exh 6.- 92 )135()( +−= xxexL

7.- ( )( )15523 22

)( −++−= xxxx eexF 8.- 52

74

)( −

+

= x

x

eexg

9.- ( )( ))()( 22

)( xCosxSen eexT = 10.- 52 )1()( −+= xxLnexG

11.- )()( 3xLnxf = 12.-

=x

Lnxg 1)(

13.- [ ])2)(6()( −+= xxLnxf 14.-

+−=5213)(

2

xxLnxM

15.- ( )73 524)( ++= xxLnxH 16.- )]5([)( 2 −= xCosLnxf

17.-

=x

Lnxh 1)( 18.- [ ]3 55 )73()( −= xLnxG

19.- ( )52

)( += xeLnxh 20.- )()()( 2

3

xLnxLnxT =

EJERCICIO 9

TAREA 9

Página 101.


84

85


INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros.

I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

62)()7212)()6

12)()5212)()4

0463)()31)()2

032)()1

2

2

2

2

=−=

==

−=+−=

−=+==+−=

==

=++=

xenxxf

xenxxf

xenxxhxenxxg

xenxxxfxenxxf

xenxxxf

II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

11)()5034)()4

11)()332)()2

21)()1

3

2

2

2

==

=++=−=+−=

=−=

=−=

xenxxfxenxxxf

xenxxfxenxxf

xenxxf

III. Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas

correspondientes (Función y Recta tangente) de los siguientes ejercicios:

12)()3

13)()2

221)()1

2

2

−=+=

−=+−=

==

xenxxf

xenxxf

xenxxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


86


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

87


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones

utilizando la (Ecuación 2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.

1) 52)( −= xxf 2) 234)( += xxf

3) 2)( xxf −= 4) 5

3)( xxf −=

5) xxxf −= 2)( 6) 25)( xxf =

7) 53)( 2 +−= xxxf 8) 45

31

23)( 2 +−= xxxf

9) 3)( xxf −= 10) 5

1)(−

=x

xf

11) 2

1)(x

xf −= 12) 53

2)(+

=x

xf

13) 3

)(−

=xxxf 14)

11)( 2 +

=x

xf

15) 2)( += xxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


88


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

89


INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus compañeros. 1.- Determina la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan. a) 2xy = , para [ ]1,1−∈x

b) 32 += xy , para [ ]4,0∈x c) 542 +−= xxy , [ ]5.1,1∈x

d) xxy 22 += , [ ]0,2−∈x 2.- Hallar y∆ , dado que y 532 +−= xxy , y x∆ = 0.001. ¿Cuál es el valor de “ y ” cuando x = 4.9? 3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 2.1 pulgadas. Recordar que:

3

34 rV π=

b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son:

0, 39, 65, 88, 107, 124, 138, 148 y 155. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,155] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no. e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica.

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


90


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

91


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados con tus compañeros. . 1) 25)( 6 +−= xxxf 2) 1135)( 43 −++−= − xxxxg

3) 5 7)( xxh =

4) 1987)( 81

5 +−+= xxxxf

5) 27)( 3 5 −+= xxxg

6) 2345

4321)(xxxx

xM +−+=

7) 31)(8 9

+=x

xT

8) 5

23 753)(x

xxxxQ −+−=

9) exf =)( 10) 1072946)( 23455 ++−+−+= xxxxxxxh

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


92


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

93


INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus resultados con los de tus compañeros. 1) )4)(48()( 5xxxf += 2) )75)(2()( 3 −−= xxxxf 3) )10)(954()( 42 +−++= xxxxxf 4) ( )( )33 11)( xxxf −+= 5) ( )( )933)( 242 +−+= xxxxh

6) x

xxf3

53)(5 +=

7) 2372)(

2

−−=x

xxxf

8) 964

278)( 2

3

++−=xx

xxM

9) x

xxg−

+=1

1)(

10) 9

276)( 2

2

−−−=

xxxxG

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 5


94


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

95


INSTRUCCIONES: Dadas las siguientes funciones, encuentra la función composición señalada en cada uno de los siguientes ejercicios y coteja tus resultados con los de tus compañeros.

10)()(5)(3)(92)( 32 ==+=+−=+= xTxxMxxhxxxgxxf Hallar:

==

===

==

==

====

==

))(()15))(()14

))(()13))(()12))(()11

))(()10))(()9

))(()8))(()7

))(()6))(()5))(()4))(()3

))(()2))(()1

xMTxgMxfgxffxTMxThxMhxTgxMgxhgxTfxgfxMfxhfxgf

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 6


96


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

97


INSTRUCCIONES: I. Deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 52 )13()( += xxF

2) 64 )92()( +−= xxF

3) 23 )2()( xxxF −−=

4) 9 10)23()( −= xxf

5) 2)( 3 += xxf

6) 42 )52(1)(

+−=

xxxG

7) 1

2)(−

−=x

xM

8) 3 53 )4(

1)(+

=x

xh

9) 82 )193()( +−= xxxf

10) 7

1)( 2 +−=

xxxg

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 7


98

II. Con el apoyo de tu profesor (a), deriva las siguientes funciones

utilizando las diferentes reglas de derivación.

11) 4352 )7()1()( xxxF +−=

12) 5353 )49()94()( xxxF ++−=

13) 39

5

)4()15()(

−+=

xxxF

14) 5

52

)5()403()(

+−−=

xxxxF

15) )32)(4()( 35 3 +−= xxxf

16) 5

71)(

+−=xxxg

17) )1)(5()( 3 ++= xxxM

18) 53 6

1)(−

+=x

xxQ

19) 19)(

−+=xxxG

20) )5)(5()( 9 29 2 +−= xxxL


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

99


INSTRUCCIONES: Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1.- xxCosxf )()( =

2.- )2()5()( xCotxCosxf −=

3.- )()( 2xCotxf =

4.- )()( 2 xSecxf =

5.- )21()( 2xTanxf −=

6.- )36()( 6 += xSenxf

7.- )2()( −= xCscxh

8.- 6)36()( += xSenxL

9.-

+−=

24)(

2

xxCosxQ

10.- 10521052 )8()8()( −+−= xCosxSenxf

11.- )()()(xCosxSenxg =

12.- )(

1)(xTan

xT =

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 8


100

13.- )9823()( 23 −+−= xxxCosxG

14.-

=x

Senxf 1)(

15.- )(

)(xCos

xxg =

16.- )35()35()( 22 ++= xSenxCscxK

17.- )(

1)(2 xSen

xF =

18.- )2()4()( 3 −= xCotxxf

19.- )(

1)(xCot

xxh −=

20.- )()()( 35 xCscxSecxM =


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

101


INSTRUCCIONES: Hallar la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logaritmicas y presentalas a tu profesor para su revisión:

1.- )()( xCosexf = 2.- 101

)( xexf =

3.- 5

)( xexg = 4.- )3)(1( 96

)( +−= xxexM

5.- 395

8)( −+

= xx

exh 6.- 102 )122()( −+= xxexL

7.- ( )( )1432 22

)( −++−= xxxx eexF 8.- 2

13

)( −

+

= x

x

eexg

9.- ( )( ))15()15( 22

)( ++= xCosxSen eexT 10.- 62 )112()( −+= xxLnexG

11.- )()( 7xLnxf = 12.-

=

11

1)(x

Lnxg

13.- [ ])1)(10()( −+= xxLnxf 14.-

+

+=5

12)(2

xxLnxM

15.- ( )42 856)( ++= xxLnxH 16.- )]6([)( 7 −= xCosLnxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 9


102

17.-

= 2

1)(x

Lnxh 18.- [ ]5 65 )98()( −= xLnxG

19.- ( )35

)( += xeLnxh 20.- )()()( 3

2

xLnxLnxT =


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

103


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta. 1. La interpretación geométrica de la derivada de una función es: La pendiente de la recta secante a la función. La pendiente de la recta tangente a la función. Es límite de la función cuando x permanece constante. La gráfica de la función.

2. El valor de la pendiente de la recta tangente a la función

523)( 2 +−= xxxf en 1=x es:

4=tm

6=tm

existeNomt =

0=tm

3. La derivada de una función constante es igual a: La misma constante. No existe. Cero. Uno

4. Si )()()( xhxgxf = entonces el valor de su derivada es: )´()()´()()´( xgxhxhxgxf += )´()()´()()´( xgxhxhxgxf −= )´()´()´( xhxgxf =

[ ]2)()´()()´()()´(

xgxgxhxhxgxf −=

5. Si 3 4

1)(x

xf = , entonces, )´(xf es igual a:

34

)´(−

= xxf

xxf34)´( −=

3

34)´( xxf =

3 734)´(x

xf −=

Nombre _________________________________________________________



AUTOEVALUACIÓN


104

6. La derivada de 53 )3()( += xxf es:

432 )3(15)´( += xxxf

532 )3(15)´( += xxxf

43 )3(15)´( += xxxf

42 )3(5)´( xxf =

7. La derivada de la función )()( xCosxf = es: )(1)´( xCosxf = )()´( xSenxf −= )()´( xSenxf = )()()´( xCosxSenxf −= 8. Es el valor de la derivada de )()( xLnxf = )()´( xLnxf =

x

xf 1)´( −=

x

xf 1)´( =

)()´( xLnxf −= 9. La razón de cambio promedio de la función 1)( 2 −= xxf en el

intervalo [ ]2,0 es: 2 1 – 1 – 2

10. El resultado de derivar la función 3

)( xexf = es:

3

)´( xexf =

23)´( xexf =

2323)´( xexxf =

323)´( xexxf =

105


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión. I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada en el punto dado:

II. Hallar y graficar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado: 1) 174)( 2 =+−= xenxxxf 2) 4)( =−= xenxxf III. Hallar la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en el intervalo dado: 1) [ ]0,232)( 2 −∈−+= xsixxxf

2)

∈+=

310,

211

21)( xsixxf

3) [ ]1,2163)( 2 −∈−+= xsixxxf IV. Calcula la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla según le corresponda. 1) 53 )632()( −+−= xxxf 2) )27)(34()( 3 −−= xxxxf

3) 3596)( 2

4

++−=

xxxxf 4) 5 33 )54()( −= xxf

5) )42()( 2 −= xSecxf 6) )5

3()( xCotxf =

7) )28()( 42 −= xTanxf 8) )12()( 2 += xCscxf 9) )5()5()( 22 xCosxSenxf += 10) )26()( 3 −= xCotxf

11) ))(()( 22 xSecxTanxf = 12) x

Cosxxf =)(

13) 3 )3()( xCosxf = 14) ))2(ln()( xSenxf =

15) )93ln()( −= xxf 16) xxxf ln)( 3=

17) xCscexf 3)( = 18) 638 3

)( +−= xxexf


Nombre _________________________________________________________



23

1)()3

42)()2

12)()1 2

=−

=

==

=+−=

xenx

xM

xenxxh

xenxxf


106

19) 2535)(5 42

2 −−++−=x

xx

xxxf

20)3

1)( 23 +−+=

xxxxf

UUnniiddaadd 33 VVaalloorreess mmááxxiimmooss

yy mmíínniimmooss rreellaattiivvooss yy ssuuss

aapplliiccaacciioonneess

Objetivo: El alumno: Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función mediante la aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.

Temario:

Aplicaciones de la primera derivada.

Concavidad. Aplicaciones de la derivada.

Organizador anticipado: El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias de ingeniería, ciencias naturales, económico-administrativas y sociales. En esta unidad se verá como utilizar la derivada para resolver problemas de la vida diaria. La mayor parte de los problemas de las ciencias sociales son propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aún, la computadora, exacta y rápida para manejar cantidades discretas. Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos primero en curvas continuas? Por esta razón los invito a ver el contenido de esta Unidad.


108

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVOS Y SUS APLICACIONES

APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA

109

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA PPRRIIMMEERRAA DDEERRIIVVAADDAA..

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio

de la primera derivada. A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, problemas de esta naturaleza pueden formularse, de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que se verá en esta unidad. Supongamos entonces que nos dan una función f y un dominio S como en la

Figura 1. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un

mínimo en el dominio S . Suponiendo que tales valores existen, queremos determinar los valores máximos y mínimos.

Figura 1

Para la cuestión de existencia ¿tiene f un máximo o un mínimo en S ?, la

respuesta depende, antes que todo, del dominio; esto es, del conjunto S .

33..11..

x

y

S

Y=f(x)

Isaac Newton 1642-1727 Descubrió el Teorema del binomio, los elementos de Cálculo tanto Diferencial como Integral, la Teoría del color y la Ley Universal de la Gravitación.

Definición: Sea c un punto en el dominio S de la función f . Decimos que:

a) )(cf es el valor máximo de f en S si: )()( xfcf ≥ Para toda “ x ” que

pertenezca a S . b) )(cf es el valor mínimo de f en S si: )()( xfcf ≤ Para toda “ x ” que

pertenezca a S . c) )(cf es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.


110

Veremos algunos teoremas que responde a las pregunta para algunos de los problemas que se presenten en la práctica.

Fíjate bien que para que exista un punto máximo o un mínimo se requiere que f

sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.

Si observas bien, los puntos frontera son los extremos del intervalo, o lo que es lo mismo, los extremos de la función en el dominio considerado. Los puntos estacionarios son los puntos donde la función cambia de dirección, es decir, son los puntos de inflexión donde la función sube o baja. Por último los puntos singulares son los puntos donde la derivada de la función en ese valor c no existe.

Máx.

Min.

Puntos frontera

Máx.

Min.

Puntos estacionarios

Máx.

mín

Puntos singulares.

TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS: Si f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , entonces f tiene allí un valor máximo y un mínimo.

Recuerda que un intervalo sea cerrado, significa que contiene a los extremos. Por ejemplo el intervalo cerrado [2,5] incluye todos los números que van del 2 al 5, incluyendo a ambos.

TEOREMA DEL PUNTO CRÍTICO: Sea f definida en un intervalo I que

contiene al punto c . Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos: a) Un punto frontera de I . b) Un punto estacionario de )0)´(( =cff .

c) Un punto singular de f en el que )´(cf no existe.

111


Esto último se ve representado en el corte que presenta la función, es decir, en la discontinuidad.

Los siguientes gráficos te darán una idea de lo que dicen los criterios anteriores.

Máximo relativo en Mínimo relativo en En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua f en un intervalo cerrado I .

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS: Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al punto crítico c . (i) Si 0)´( >xf para toda x del intervalo ),( ca y 0)´( <xf para toda x

del intervalo ),( bc , entonces )(cf es un máximo local (o relativo) de

.f (es decir: si )´(xf cambia de positiva a negativa en c ).

(ii) Si 0)´( <xf para toda x del intervalo ),( ca y 0)´( >xf para toda x

del intervalo ),( bc , entonces )(cf es un mínimo local (o relativo) de .f (es

decir: si )´(xf cambia de negativa a positiva en c ).

(iii) Si )´(xf tiene el mismo signo a ambos lados de c , entonces )(cf no

es un extremo local de f .


112

Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

23 32)( xxxf +−= ; en el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−= 2,

21I

Paso 1.- Encontramos los puntos críticos de f en I , para ello: a) Derivamos la función:

xxxf 66)´( 2 +−= b) E igualamos a cero la derivada )´(xf , para obtener las raíces 21, xx ya que es de segundo grado. Recuerda que puedes resolver una ecuación de segundo grado por factorización, fórmula general o completando el Trinomio cuadrado perfecto. Resolviendo dicha ecuación cuadrática por factorización tenemos.

066 2 =+− xx 0)1(6 =+−xx

Por lo tanto:

06 =x y 01=+− x

01 =x 12 =x

Los puntos críticos son: 2,1,0,21

−

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo.

a) En 21

−=x tenemos:

23 32)( xxxf +−=

23 )2/1(3)2/1(2)2/1( −+−−=−f ⇒ 43

82)2/1( +=−f ⇒

1)2/1( =−f .

b) En 01 =x tenemos:

23 32)( xxxf +−= ⇒ 23 )0(3)0(2)( +−=xf

0)0( =f . c) En 22 =x tenemos:

23 32)( xxxf +−= ⇒ 23 )2(3)2(2)2( +−=f

4)2( −=f .

Los valores extremos del Intervalo como son:

21

− y 2 se

consideran puntos críticos sólo por ser puntos frontera de I . (Teorema del punto crítico).

113


d) En 1=x tenemos: 23 32)( xxxf +−= ⇒ 23 )1(3)1(2)1( +−=f

1)1( =f . Acomodando los datos en una tabla, tenemos: El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4. la gráfica de la función

23 32)( xxxf +−= es: Observa en la gráfica que efectivamente en el extremo derecho del intervalo,

2=x , 4)2( −=f que es el valor mínimo que presenta la función en toda la

curva. Por otro lado en 121 =−= xenyx , 1)1()2

1( ==− ff , que es el

máximo valor que alcanza la curva de la función, es decir, es el máximo valor de f . Ejemplo 2.- Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

xxxf 3)( 2 += , en [ ]1,2−=I

Paso 1.- Encontramos los puntos críticos de f en I . a) Derivamos la función:

xxxf 3)( 2 += ⇒ 32)`( += xxf

b) Igualamos a cero )´(xf para obtener la raíz 1x , en esta ocasión sólo obtendremos una solución puesto que la ecuación es de primer grado.

x )(xf

-1/2 1

0 0

1 1

2 -4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4y = -2X^3+3X^2


114

Resolviendo la siguiente ecuación tenemos:

032 =+x

23

1 −=x

Los puntos críticos son: 1,2,23−−

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo.

a) En 23

−=x tenemos:

xxxf 3)( 2 += ⇒ )2/3(3)2/3()2/3( 2 −+−=−f ⇒49)2/3( −=−f .

b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla de valores queda de la siguiente manera: El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4.

Esta es la grafica correspondiente a la función xxxf 3)( 2 +=

x )(xf

-3/2 -9/4 -2 -2 1 4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = x^2+3x

115


3.1.2. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares. La segunda derivada es una derivada de orden superior que consiste en volver a derivar la derivada de una función. La primer derivada la denotamos como )(' xf ; para la segunda derivada

utilizamos dos comillas, )('' xf .

Ejemplo 1.- Para 56)( 2 +−= xxxf , usa la prueba de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos. Paso 1.- Derivar la función.

56)( 2 +−= xxxf ⇒ 62)`( −= xxf Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de 1x , es

decir, el valor donde se hace cero la ecuación lineal 62)`( −= xxf .

062 =−x 3=x ⇒ 31 =x Este es un punto crítico.

TAREA 1

Página 127.

Identifica los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos, realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

a) xxxf 4)( 2 +−= en [ ]3,0=I

b) 13)( 3 +−= xxxf en )3,23(−=I

c) 1634)( 23 +−+= tttth en [ ]1,2−=I

d) 3)( 2 += xxf en [ ]2,2−=I

EJERCICIO 1

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sean ´f y ´´f dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo

abierto ),( ba que contenga a c . Supóngase que 0)´( =xf .

(i) )(,0)´´( cfxf < es un máximo local de f .

(ii) )(,0)´´( cfxf > es un mínimo local de f .


116

Paso 3.- Sustituimos ese punto crítico en la segunda derivada. 2)3(''2)(''62)´( =⇒=⇒−= fxfxxf .

2)3´´( >f (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.)

De acuerdo al teorema de la segunda derivada )(,0)´´( cfxf > Es un mínimo

local de f . Y ese mismo punto crítico valuado en la primera derivada veremos que se cumple que 0)(' =xf . 62)´( −= xxf ⇒ 6)3(2)3´( −=f ⇒ 0)3´( =f . Tenemos entonces que )3(f es efectivamente un mínimo local.

El punto crítico valuado en la función f resulta:

56)( 2 +−= xxxf ⇒ 5)3(6)3()3( 2 +−=f ⇒ 4)3( −=f . Paso 4.- Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos. El valor mínimo de la función es 4− . Ejemplo 2.- Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada de la función.

21232)( 23 +−−= xxxxf Paso 1.- Derivamos la función

1266)(' 2 −−= xxxf

Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces 21, xx

de 'f mediante factorización.

01266 2 =−− xx Dividimos entre 6 para simplificar la ecuación

062 =−− xx 0)1)(2( =+− xx Factorizamos

21 =x y 12 −=x Igualamos a cero cada binomio para determinar las raíces

Los cuales son puntos críticos. Paso 3.- Sustituimos las raíces en la segunda derivada.

612)´´( −= xxf

6)2(12)2´´( −=f ⇒ 18)2´´( =f Por el criterio de la segunda derivada como 0)2´´( >f hay un mínimo en

21 =x .

x )(xf

3 -4

Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).

117


Y por otro lado, para 12 −=x tenemos:

6)1(12)1´´( −−=−f ⇒ 18)1´´( −=−f

Por lo tanto, para este valor 0)1``( <−f entonces hay un máximo en 12 −=x . Paso 4.- Calculamos las coordenadas y tabulamos.

x )(xf

-1 9

2 -18

21232)( 23 +−−= xxxxf

2)1(12)1(3)1(2)1( 23 +−−−−−=−f

9)1( =−f El valor del máximo está en )9,1(− ). Y es 9 .

2)2(12)2(3)2(2)1( 23 +−−=−f

18)1( −=−f El valor del mínimo está en )18,2( − . Y es 18− .

TAREA 2

Página 129.

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.matematicastyt.cl/.../inicio.htm


118

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA..

3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos. Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo, menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de máximos y mínimos. Te presentamos los siguientes casos: a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su

solución. b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla

utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con los datos disponibles.

c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda: De ser posible trazar una gráfica. Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en el

problema. Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y expresarla

en función de las otras cantidades. Si resulta una función de una sola variable aplicamos los procedimientos

ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos. PROBLEMA 1. Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de

15 minutos según la ecuación 1004

144)(4

2 +−=tttf ; si se mide el tiempo y

el espacio en metros, calcula:

a) Distancia que recorre el móvil. b) Velocidad máxima que alcanza. c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

RESOLUCIÓN:

a) Distancia que recorre en 15 minutos. Ya que f es la expresión del recorrido del móvil, esto significa que sólo tenemos que evaluar en la función f el tiempo 15=t .

Cuando 15=t tenemos:

1004)15()15(144)15(

42 +−=f ⇒ min844,19)15( =f .

33..22..

La primera derivada en física se le llama velocidad y a la segunda derivada se le llama aceleración.

119


b) Velocidad y aceleración máximas que alcanza. Ya que la velocidad y la aceleración son cambios, para determinarlas

tenemos que considerar la derivada de 1004

144)(4

2 +−=tttf y para la

velocidad y luego volver a derivar la derivada para determinar la segunda derivada para la aceleración, puesto que nuestro objetivo es maximizar.

44288)´(

3tttf −= ⇒ 3288)´( tttf −= ⇒ 23288)´´( ttf −=

Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo (imagínate al móvil subiendo una montaña), debe haber aceleración (positiva) en el momento en que la aceleración es cero (es decir, cuando está en la cima de la montaña); pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a disminuir (esto es, se mantiene en línea recta o empieza a descender de la montaña); por esto, el punto crítico es cuando 0=a (aceleración igual a cero).

Entonces: 23288)´´( ttfa −==

03288 2 =− t Igualamos a cero, para encontrar sus raíces.

2883 2 −=− t Despejamos

32882 =t

min8.996 =±=t , se cancela la cantidad negativa puesto que el tiempo no puede ser negativo. Por tanto 9.8 es un punto crítico. Analizamos en la aceleración para observar su comportamiento:

23288 ta −= con 8.9=t Para un valor menor de 8.9=t , sea 9=t

23288)´´( ttf −=

45)9(3288)9´´( 2 =−=f

La 0)´´( >tf . (La aceleración resultó positiva) Para un valor mayor de 8.9=t , sea 10=t

23288)´´( ttf −=

12)10(3288)10´´( 2 −=−=f

La 0)´´( <tf . (La aceleración resultó negativa)

Como pasa de positiva a negativa, decimos que existe un máximo en 8.9=t . Y la velocidad máxima en ese tiempo es:

3288)´( ttf −=

21.1881)8.9(288)´( 3 =−=tf

min/21.1881 mv = .

TAREA 3

Página 131.


120

c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima. Consiste en

sustituir en la expresión del recorrido del móvil, el tiempo crítico 8.9=t .

1004

144)(4

2 +−=tttf .

mf 624,1110067.230576.829,131004

)8.9()8.9(144)8.9(4

2 =+−=+−=

SOLUCIÓN: El móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624 metros. PROBLEMA 2. Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares

adyacentes idénticos, cada uno de 2900m de área, como se muestra en la figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?

PLANTEAMIENTO: Área = A = 1800m2 xyA 2=

Perímetro = P yxP 34 += Paso 1. Para no utilizar dos incógnitas, despejaremos una de ellas de la ecuación del área. Y la sustituiremos en la ecuación del perímetro (con la finalidad de que la ecuación quede en términos de una variable), ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales en la construcción de la barda.

xyA 2=

xy21800 = Sustituimos el valor del Área

xy

21800

= Despejamos y

xy 900= Simplificamos

Sustituimos el valor de y en el perímetro

yxP 34 +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

xxxP 90034)(

x

xxP 27004)( += Así queda el perímetro en función de “ x ”.

x

y

121


Paso 2. Derivamos )(xP .

x

xxP 27004)( +=

Si subimos la variable x al numerador, esta función se puede expresar de la siguiente manera:

127004)( −+= xxxP Ya que así es más fácil para derivarla. 227004)´( −−= xxP

Es decir:

227004)´(

xxP −=

Paso 3. Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces.

2

27004)´(x

xP −=

027004 2 =−x

Despejamos “ x ”

427002 −=−

x Resolvemos

98.25675 ==x . Este es un punto crítico. Paso 4. Analizamos los valores de la primera derivada para ese punto crítico Tomamos un valor menor a 98.25=x , sea 24=x .

2

27004)´(x

xP −=

6875.0)24(

27004)24´( 2 −=−=P

0)´( <xP .

Tomamos un valor mayor a 98.25=x , sea 27=x .

2962.0)27(

27004)27´( 2 =−=P .

0)´( >xP .

Ya que tuvo un comportamiento de negativo a positivo. Eso quiere decir que tiene un mínimo en 98.25=x . Es decir, el ranchero requiere para sus terrenos un largo mínimo de 25.98 para minimizar la construcción de la barda.


122

El valor del ancho del terreno en ese largo mínimo es.

x

y 900=

64.3498.25

900==y

SOLUCIÓN: Los valores que deben medir el largo y ancho “ x ” y “ y ” de los

terrenos son: 98.25=x y 64.34=y respectivamente, y la mínima cantidad de

barda que se necesita es de m84.207 .

3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-

administrativas y sociales.

PROBLEMA 3. Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a $5.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá vender 10 piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad máxima y cuál sería el ingreso al venderlas. PLANTEAMIENTO: 1000+x número de unidades por vender.

xx 002.0510

02.05 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− Precio de cada unidad.

Paso 1. El ingreso I es igual al número de unidades por el precio unitario.

)002.05)(1000( xxI −+= 2002.0255000 xxxI −−+=

2002.035000 xxI −+= Paso 2. Calculamos la derivada de I .

2002.035000)( xxxfI −+==

xxf 004.03)´( −= Paso 3. Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.

0004.03 =− x

004.03

=x

750=x Punto crítico. Tomamos un valor poco menor a 750=x , sea 700=x

xxf 004.03)´( −=

)700(004.03)700´( −=f

200.0)700´( =f

La 0)´( >xf

Vocabulario económico: Como la economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos, su profesor puede definir el costo marginal de x como el costo de producir una unidad adicional, esto es,

)()1( xCxC −+

Y

dxdC

Es el costo marginal

123


Tomamos un valor poco mayor a 750=x , sea 800=x

)800(004.03)800´( −=f

200.0)800´( −=f

La 0)´( <xf

Como pasa de positivo a negativo, decimos que existe un máximo en 750=x . SOLUCIÓN: El ingreso es máximo si se vende 1000 +750 =1750 piezas a $4.98 cada una; se obtiene un ingreso de $8,715.00 pesos. PROBLEMA 4. El director de una editorial ha observado que si fija el precio de un determinado libro, $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso? PLANTEAMIENTO: I = Ingreso x = número de pesos en que se incrementa el precio del libro.

x+20 = es el nuevo precio del libro. x400 = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que

aumenta el precio. x400000,10 − = es el nuevo número de ejemplares vendidos.

Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos en que se aumenta el precio del libro es:

)400000,10)(20()( xxxI −+=

Esta función )(xI recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que requiere optimizar. SOLUCION: PASO1. Aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante, para encontrar el valor de x.

)400000,10)(20()( xxxI −+=

)20(400)400000,10)(1()´( xxxI +−−=

xxxI 4008000400000,10)´( −−−=

xxI 8002000)´( −= Igualando a cero tenemos:

02000800 =+− x

Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:

8002000−−

=x

5.2$=x

¿Cómo crees que se calculan los ingresos? Los ingresos se calculan multiplicando el precio de artículos vendidos


124

Que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el máximo Ingreso. De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye x=2.5 en la función objetivo y resulta: )400000,10)(20()( xxxI −+=

))5.2(400000,10)(5.220()5.2( −+=I

00.500,202)5.2( =I Que representa el máximo Ingreso.

para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.http://actividadesinfor.webcindario.com/.com/derivadasaplicaciones.htm www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial.

125


EJERCICIO 2 Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y mínimos; compara con tus compañeros los resultados obtenidos y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1. El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía

particular por semana es 329331000)( xxxxC +−+= encuentra: a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo. b) El costo marginal mínimo.

2. Para la función precio dada por 33

800)( −+

=x

xP encuentra el número

de 1x de unidades que hace máximo el ingreso total y establece el valor de

éste. ¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número óptimo 1x de unidades?

3. El gas de un globo esférico se escapa a razón de min

000,13cm

en el mismo

instante en que el radio es de 25cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?


126

127


INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1) 23)( xxf −= ; [ ]2,2−=I

2) 25)( 2 ++= xxxf ; [ ]4,3−=I

3) [ ]3,0;16)( 2 =−+= Ixxxf

4) [ ]1,2;3)( 2 −=−= Ixxxf

5) [ ]1,2;1634)( 23 −=+−+−= Ittttf

6) [ ]4,3;59023)( 23 −=+−+= Ixxxxf

7) [ ]3,0;316834)( 234 =−−−+= Ixxxxxf

8) [ ]1,2;768)( 3 −=+= Ix

xxf

9) [ ]1,1;2)2()( 3 −=+−= Ixxf

10) [ ]3,0;74)( 2 =+−= Ixxxf

11) [ ]3,2;12)( 2 −=+−−= Ixxxf

12) [ ]3,14432)( 234 −=+−−+= Ixxxxxf

13) [ ]2,1;48)( 3 −=+= Ix

xxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


128


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

129


INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 23)( 23 +−= xxxf

2) 54)( 3 +−= xxxf

3) 141)( 4 += xxf

4) 34 43)( xxxf −=

5) 896)( 23 −+−= xxxxf

6) 2)2)(1()( +−= xxxf

7) 234 23)( xxxxf +−=

8) 242)( 23 ++−= xxxf

9) xxxxxf 8922)( 234 −+−=

10) x

xxf 4841)( 3 +=

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


130


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

131


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas.

1.- Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 2900m de área, como se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se necesita?

2.- Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de

largo por 9 de ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando

los lados, como se muestra en la figura, encuentra las dimensiones de la caja de

máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

3.- La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de xxP 001.010)( −=

dólares, donde x es el número producido cada mes. Su costo mensual total es 201.04200)( xxxC −+= .

La producción máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima mensual y qué nivel de

producción da esta utilidad?

15- 2x

9-2x

x

x

15

9

x

x

y

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


132

4. La manta de un póster con la foto impresa de uno de los candidatos a la gubernatura del Estado de

Sonora debe tener 18 pies2 de área, márgenes laterales de 6 pies y márgenes superior e inferior de 9 pies.

¿Cuáles han de ser las dimensiones de la manta para maximizar la foto del candidato?

5. Una lata cilíndrica de base circular ha de tener 64 plg3 de volumen. Hallar las dimensiones de manera que

la cantidad de material requerida sea mínima, suponiendo que la lata está:

a) Abierta, es decir, no tiene tapa superior.

b) Cerrada.

6. Divide el número 150 en dos partes, tales que el producto de una parte por el cuadrado de la otra sea un

máximo.

7. El costo total de producción de x spots de radio en un día es 253541)( 2 ++= xxxC dólares, y el

precio de venta de cada spot es de xxV 2150)( −= dólares.

a) ¿Con qué producción diaria se consigue mayor ganancia?

b) Probar que el costo de producción de un spot es mínimo para ese nivel de producción.


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

133


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. El valor máximo y mínimo de la siguiente función 163)( 2 ++= xxxf utilizando el criterio de la primera

derivada en el intervalo ]1,2[−=I es:

El valor mínimo está en )2,1( −− y el valor máximo está en )10,1(

El valor mínimo está en )2,1(− y el valor máximo está en )10,1(−

El valor mínimo está en )4,1(− y el valor máximo está en )9,1(−

El valor mínimo está en )5,1( y el valor máximo está en )10,1(

2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 2

4 1)(x

xxf += , según el criterio de la segunda derivada

son: El valor mínimo está en )2,2(− y un máximo está en )6,2( .

El valor mínimo está en )2,1( y un mínimo está en )2,1(− .

El valor mínimo está en )2,5( y un mínimo está en )2,2(− .

El valor mínimo está en )6,1( y un máximo está en )5,1(− .

3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 86)( 23 +−= xxxf , según el criterio de la segunda derivada son: El valor mínimo está en )2,0( y un máximo está en )3,2( − .

El valor mínimo está en )2,4(− y un máximo está en )6,4( .

El valor mínimo está en )24,4( − y un máximo está en )8,0( .

El valor mínimo está en )0,2(− y un máximo está en )6,0( .

4.- Los intervalos en que la función 163)( 2 ++= xxxf es creciente o decreciente son:

En )1,( −−∞ es decreciente y en ),1( ∞− es creciente.

En )2,( −−∞ es decreciente y en ),2( ∞ es creciente.

En )1,(−∞ es decreciente y en ),1( ∞− es creciente.

En )5,( −−∞ es decreciente y en ),4( ∞− es creciente.

5.- La concavidad de la siguiente función 362)( 23 +−= xxxf está dada en los intervalos:

Cóncava hacia abajo en )3,(−∞ y cóncava hacia arriba en ),3( ∞ .

Cóncava hacia abajo en )1,(−∞ y cóncava hacia arriba en ),1( ∞ .

Cóncava hacia abajo en )1,( −−∞ y cóncava hacia arriba en ),1( ∞− .

Cóncava hacia abajo en )4,( −−∞ y cóncava hacia arriba en ),3( ∞ .

Nombre _________________________________________________________



AUTOEVALUACIÓN


134

6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función 3)2()( +−= xxf son:

)2,3()0,5( y

)3,2()4,1( y−

)0,2(

)2,3( 7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto

sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son: Un número es el 12 y el otro es el 24 . Un número es el 10 y el otro es el 20 . Un número es el 12− y el otro es el 24− . Un número es el 11 y el otro es el 22 .

8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma

sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de éste es: Cuando 6=x se obtiene un máximo igual a 456,3 .

Cuando 3=x se obtiene un máximo igual a 289,1 .

Cuando 8=x se obtiene un máximo igual a 496,8 .

Cuando 6=x se obtiene un máximo igual a 956,3 . 9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea

de área máxima. El área y sus dimensiones son:

El área máxima es de 21600m ; las dimensiones del rectángulo son de m40 por lado.



El área máxima es de 24900m ; las dimensiones del rectángulo son de m70 por lado. 10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en

dólares) están dados por: xxp 002.000.5)( −=

xxC 10.100.3)( += Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total.

La utilidad máxima es de 25.1998$)995( =p




Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

135


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.

a) xxxf 5)( 2 += en ]2,2[−=I .

b) 163)( 3 +−= xxxf en ]2,3[−=I 2.- Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones.

a) 9365)( 34 ++−= xxxxf

b) 53 )68()( xxxf −=

c) )4csc()( xxf = 3.- Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones. Realiza su gráfica.

a) 125)( 2 ++= xxxf

b) 636)( 23 +−−= xxxf 4.- Encuentra en qué intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1.


Nombre _________________________________________________________




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5.- Utiliza el teorema de concavidad para determinar dónde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además indica cuáles con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica.

a) 22)( 34 +−= xxxf

b) 12)( 23 ++= xxxf RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 6.- Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto que tiene como radio cmb 4= y como altura cma 12= . Ver la figura. 7.- El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo directo de $110, por cada unidad producida. Escribe una expresión )(xC , el costo total de fabricar muebles en un mes.

137

CÁLCULO DIFERENCIAL

Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado.

CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva.

CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa

DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas. FUNCIÓN CRECIENTE

Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) también aumenta.

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) disminuye.

FUNCIÓN EXPLÍCITA

Es aquella en la es posible expresar una variable en términos de la otra.

FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica.

RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente. RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de

contacto a la curva en dicho punto. VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al

tiempo. VELOCIDAD PROMEDIO

Es la distancia entre la primera posición y la segunda, dividida entre el tiempo consumido.

FUNCIÓN

Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento de X le corresponda uno y solamente uno de los elementos de Y.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de los elementos del conjunto.

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son imagen de un valor X.

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente, cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo.

EVALUAR O DETERMINAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COC IENTE

Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten convertir a una función indeterminada a una función determinada.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Representación en un sistema rectangular de coordenadas de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular.

PAR ORDENADO

Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama ordenada.

Glosario

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CONTINUIDAD

Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el dominio de f(x) y si: 1) f(c) está definida 2) Lim f(x) existe x c 3) Lim f(x)=f(c) x c

LÍMITES LATERALES

Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones.

DISCONTINUIDAD

Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad.

RAZÓN

Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra.

PENDIENTE DE UNA RECTA

La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Existencia de límite: (definición) Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo x 0 h

PENDIENTE DE UNA CURVA

La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la curva en p.

LEYES DE LOGARITMOS

Si M > 0 y N > 0 entonces; 1. Log M . N = Log M+ Log N 2. Log M/N = Log M – Log N 3. Log MN = N Log M

DISCONTINUIDAD REMOVIBLE

Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función En x0 produce una función que es continua en x0.

DISCONTINUIDAD DE SALTO

Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x) x x0

- x x0+ x x0

- x x0+

tal discontinuidad no es removible. TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO

Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0

en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c TEOREMA DE VALOR EXTREMO

Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M y un valor máximo M en el infinito.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES alnx = x Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS Ln(ax) = x RAZÓN DE CAMBIO ∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f( PROMEDIO ∆X cambio en X h VELOCIDAD PROMEDIO ∆S = desplazamiento DE UN CUERPO EN UN ∆t tiempo INTERVALO DE TIEMPO

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AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la

Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V. FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill. MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial

Prentice Hall. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.

Bibliografía General

cálculo diferencial e integral i · pdf fileconstruye e interpreta modelos...

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