cálculo diferencial e integral en varias variables. montalvo f

FRANCISCO MONTALVO DURAN

CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

EN VARIAS VARIABLES

Departamento de Matematicas,Universidad de Extremadura,

Badajoz 2003

Indice General

I Iniciacion a los Espacios Normados 1

1 Espacios Normados 3Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3La estructura de espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . 6Conexion en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Normas Equivalentes 15Equivalencia de normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Espacios de dimension finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 El Teorema de Stone-Weierstrass 31El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31El teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Linealidad 39Aplicaciones lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Norma de una aplicacion lineal y continua . . . . . . . . . . . 40Aplicaciones multilineales continuas . . . . . . . . . . . . . . 42Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Calculo Diferencial para Funciones deVarias Variables Reales 47

5 Derivadas Parciales 49Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

vii

viii Contenido

Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 La Diferencial de Frechet 57Tangencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Diferenciabilidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7 Funciones de Clase C1 69Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Condicion suficiente de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . 71Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8 Reglas Formales de Derivacion 77Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Formula de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9 Derivadas Parciales de Orden Superior 91Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91El teorema de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10 Diferenciales de Orden Superior 97La diferencial de orden r en un punto . . . . . . . . . . . . . 97Relacion con las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 98Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Permutacion en el orden de derivacion . . . . . . . . . . . . . 105Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11 Teoremas de Taylor 111Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Los teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12 Extremos Relativos 123Condiciones necesarias de extremo . . . . . . . . . . . . . . . 123Condicion suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . 125La matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Contenido ix

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

13 Funciones Implcitas: Existencia 131Un teorema de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131El problema de las Funciones Implcitas . . . . . . . . . . . . 133Existencia de funciones implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . 136Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

14 Funciones Implcitas: Derivacion 141Lema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Teorema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

15 Funciones Inversas 147Derivada de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Inversion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

16 Variedades y Extremos Condicionados 153Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Variedad tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Distintas presentaciones de una variedad . . . . . . . . . . . . 159Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

III Medida e Integracion en Rn 165

17 Medida Exterior 167Semintervalos de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

18 Conjuntos Medibles 181La identidad de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181La -algebra de conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . 183Conjuntos medibles y no medibles . . . . . . . . . . . . . . . 186Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

x Contenido

19 La Medida de Lebesgue 193Propiedades de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 193El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

20 Conjuntos de Borel 199-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199La -algebra de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Transformaciones de medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Otras propiedades de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

21 Caracterizacion de Funciones Medibles 209Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210El teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

22 Espacio de Funciones Medibles 217Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Aritmetica en [,] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Propiedades de las funciones medibles . . . . . . . . . . . . . 223Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

23 Integracion 229Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Conjuntos de medida nula en la integracion . . . . . . . . . . 231Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

24 Teoremas de Convergencia 245Convergencia monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

25 Primitivas e Integrales 257Las integrales de Riemann y Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 257Teorema Fundamental del Calculo Integral . . . . . . . . . . . 259Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Contenido xi

26 El Teorema de Fubini-Tonelli 267El teorema de Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

27 T. Cambio de Variables 273Transformacion de medibles por funciones de clase C1 . . . . 273El teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . 276Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

iii

Introduccion

La asignatura esta estructurado en tres partes:

I. Iniciacion a los Espacios Normados,

II. Calculo Diferencial,

III. Medida e Integracion en Rn.

La primera parte esta pensada con un triple objetivo: estudiar las cues-tiones esenciales sobre equivalencia de normas y linealidad que despues seutilizaran en el desarrollo del Calculo Diferencial; servir de pretexto pararepasar los conceptos y propiedades basicas de la topologa de un espaciometrico y, en particular, de Rn; y, por ultimo, abordar el estudio de la con-vergencia uniforme, como la convergencia en un cierto espacio de funciones,para concluir con el teorema de aproximacion uniforme de Weierstrass y lageneralizacion del mismo debida a Stone.

En la segunda parte se establece el Calculo Diferencial. Los temas que seincluyen estan muy determinados por la tradicion y por el marcado caracterauxiliar para otras materias. Hay un primer bloque en el que se extienden alas funciones de varias variables las reglas y teoremas habituales del calculocon derivadas, tanto para las de primer orden como para las de orden su-perior. Se obtienen as, la regla de la cadena, la formula de Leibnitz etc.,para terminar con los teoremas de Taylor y su aplicacion a los problemasde extremos relativos. En un segundo bloque, con materia especfica solo delas varias variables, se dan los primeros pasos para el estudio de las Varie-dades Diferenciables: se prueban los teoremas de existencia y derivabilidadde funciones implcitas, los teoremas sobre funciones inversas, para terminarcon un captulo sobre variedades en Rn. En este ultimo tema se incluyenalgunas caracterizaciones del Espacio Tangente a una variedad en un punto,que se aplicaran en la obtencion de condiciones de extremo sobre variedades.

Si bien no hay un interes especial en trabajar en dimension infinita,no se ha querido renunciar a la ventaja que supone el uso de las tecnicasde los Espacios Normados. As, tanto el concepto de funcion diferenciablecomo las reglas del calculo con derivadas de cualquier orden, se formulan eneste marco. Sin embargo, el objetivo son las funciones de varias variablesreales y la obtencion rigurosa de los teoremas ligados con sus propiedades dediferenciacion. En la mayor parte de ellos, de forma mas o menos explcita,interviene el teorema de valor medio de las funciones de una variable o bienuna consecuencia del mismo, que relaciona el caracter lipschitziano de unaaplicacion con la acotacion de sus derivadas parciales o su diferencial. La

iv

version mas fuerte de este ultimo resultado establece que la menor constantede Lipschitz para una funcion f , diferenciable en un segmento de un espacionormado y que toma sus valores en otro espacio normado, es sup Df(x).Por el interes que en s mismo tiene este ultimo resultado, que a vecesse conoce como teorema de valor medio vectorial, se ha incluido en unAnexo la demostracion del mismo, extrada del excelente libro de Flett[12].Sin embargo, para el desarrollo del Calculo Diferencial en Rn tal versionno resulta necesaria. De hecho, sin recurrir a ella y sin ningun esfuerzoadicional, puede obtenerse: el teorema de caracterizacion de las aplicacionesde clase Cr en termino de la continuidad de las derivadas parciales de ordenr; el teorema de Schwartz que, en su forma mas general, establece la simetrade la diferencial de orden r de una funcion en un punto; el teorema localde Taylor (en este caso, la demostracion es algo mas larga que la que usadel teorema del valor medio vectorial, y que puede verse, por ejemplo, enCartan [5]); el teorema de existencia de funciones implcitas...

La tercera parte se dedica a la Medida y la Integral de Lebesgue enRn. Para la construccion de la medida se sigue el metodo de Caratheo-dory, que define los conjuntos medibles utilizando solo la medida exterior.Este procedimiento, ademas de ser completamente generalizable a los espa-cios de medida abstracta, parece el mas rapido y no precisa distinguir elcaso acotado del no acotado. En los primeros captulos se estudian, pues,las propiedades de la familia de los conjuntos medibles y de la medida deLebesgue y su relacion con la topologa de Rn.

El desarrollo de la integracion para funciones de varias variables, quese aborda a continuacion, se basa en el concepto geometrico de funcionmedible. Una funcion no negativa se dira medible cuando su conjunto deordenadas (o subyacente a su grafica) es un conjunto medible. La medidade este conjunto sera, por definicion, su integral. Inmediatamente, con ayu-da de las propiedades ya estudiadas de la medida, se obtendra un teoremade caracterizacion de funciones medibles en los terminos que son habitua-les en los espacios de medida abstracta. Algunas de los tpicos resultadossobre integracion, tales como la desigualdad de Chebyshev o el teorema dela convergencia monotona, seran consecuencias directas de esta definiciongeometrica de integral. El estudio de las Funciones Medibles, la linealidaddel operador integral y los teoremas de convergencia y sus consecuencias,completan basicamente el bloque teorico sobre la Integral de Lebesgue enRn. Los ultimos captulos estan enfocados al Calculo Integral. En primerlugar se estudia, en algunos casos particulares, la relacion entre primitivas eintegrales (teorema fundamental del Calculo Integral), despues se estableceel teorema de Fubini-Tonelli, que reduce el calculo de una integral multiple

val calculo de integrales simples y, por ultimo, el teorema del Cambio deVariables.

Al margen de las referencias utilizadas para elaborar los distintos cap-tulos, quiero destacar aqu dos influencias esenciales. La primera, la de lasnotas sobre Integracion de mi amigo, el profesor Carlos Bentez, y sobretodo de dos de las peculiaridades de esas notas: la presentacion unificada dela medida de Jordan y la de Lebesgue, y la nocion geometrica de la Integral.De hecho, la idea de plasmar en un libro sus notas fue lo que determino midecision de ponerme a escribir. Espero que el resultado conseguido no ledesagrade y, en todo caso, agradezco su confianza y su generosidad, sin locual este proyecto no lo hubiera podido realizar. La otra influencia a queme refiero es la ejercida por un libro muy clasico, y quizas poco conocido,el segundo tomo de las Fontions de Variables Reelles de Garnir [15]. Esimpresionante la cantidad de detalles, ejemplos, ejercicios y problemas conque el autor adorna la exposicion de los resultados. Ahora agradezco a miprofesor en la Universidad de Valladolid, Antonio Perez, que se emplease afondo para explicarnos la Integracion Lebesgue en Rn, a traves de este libro.

Parte I

Iniciacion a los EspaciosNormados

Captulo 1

Espacios Normados

Conceptos basicos

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R o C indistintamente. Unanorma sobre E es una aplicacion de E en R que satisface las tres propiedadessiguientes:

1. x = 0 si y solo si x = 02. x = || x, K, x E3. x+ y x+ y, x, y E

Al numero real x se le denomina norma del vector x y se dice que el par(E, ) es un espacio normado.

Ejemplos 1.1 (1) Las unicas normas sobre R son el valor absoluto y susmultiplos positivos. En efecto, sea una norma cualquiera sobre R y seak = 1. Entonces

x = x1 = |x|1 = k|x|.(2) En Rn las normas mas utilizadas son

(x1, . . . , xn)p =(

ni=1

|xi|p)1/p

, p 1

(x1, . . . , xn) = max{|x1|, . . . , |xn|}.

La comprobacion, en las del tipo p, de la tercera propiedad de norma se basaen la desigualdad de Holder (Ver ejercicio 1A), aunque para el caso p = 2

3

4 Espacios Normados 1.1

cabe una demostracion alternativa, basada en la desigualdad de Cauchy-Schwartz. La 2 es la norma de la geometra eucldea, ella forma partedel importante grupo de normas que se derivan de un producto escalar yque vamos a estudiar a continuacion:

(3) Normas Eucldeas (o Prehilbertianas).

Definicion 1.2 Si E es un espacio vectorial real, un producto escalar sobreE es una aplicacion , : EE R que cumple las siguientes condiciones:

1. x, x > 0, para x 6= 0.2. x, y = y, x, para todos x, y E.3. x, y = x, y.4. x+ y, z = x, z+ y, z.

A partir de un producto escalar se puede definir una norma sin mas quetomar x = x, x1/2. Para demostrarlo necesitamos establecer antes ladesigualdad de Cauchy-Schwartz:

(1.1) x, y E, x, y| x y.En efecto, sean x, y dos vectores no nulos de E. Entonces, segun la condicion1 de la definicion de producto escalar,

x+ y, x+ y 0, por lo que de la bilinealidad del mismo se deduce que

2y, y+ 2x, y+ x, x 0, .equivalentemente

(1.2) 2y2 + 2x, y+ x 0, .Es bien conocido que un polinomio de segundo grado, ax2 + bx + c, tienesigno constante si y solo si su discriminante, b2 4ac, es menor o igualque 0, Aplicado esto al polinomio (en ) (1.2), resulta inmediatamente ladesigualdad buscada.

Comprobemos ya que x = x, x1/2 es una norma. Las dos primerascondiciones de norma se obtiene directamente de la definicion. Veamos puesla tercera:

x+ y2 = x+ y, x+ y = x2 + y2 + 2 x, y x2 + y2 + 2 x y = (x+ y)2.

1.2 Espacios Normados 5

En particular, si consideramos en Rn el producto escalar habitual:x, y =ni=1 xiyi, la norma asociada es

x = x, x1/2 = (ni=1

x2i )1/2 = x2.

Sea ahora E = C[0, 1], el espacio vectorial de las funciones continuassobre el intervalo compacto [0,1]. Sobre este espacio puede definirse muchasnormas de interes:

(4) Definiendo un producto escalar en E mediante la formula:

f, g = 10f(t)g(t)dt,

(La unica condicion de producto escalar que no es trivial de comprobar esla primera, es decir que el producto escalar de una funcion no nula pors misma es estrictamente positivo (ejercicio)) se construye, siguiendo elprocedimiento descrito antes, una norma eucldea

f = f, f1/2 =( 1

0f2(t)dt

)1/2.

Tambien son normas sobre E:

f = 10|f(t)| d t.(5)

f = max{|f(t)| : t [0, 1]}.(6)

Esta ultima norma se conoce como norma de la convergencia uniforme: Esclaro que una sucesion de funciones de este espacio {fp} converge en elsentido de esta norma a la funcion f si y solo si converge uniformemente i.e.,si, para > 0, existe un ndice tal que, si p , entonces |fp(x)f(x)| < para todo x.

(7) Otros espacios normados habituales del Analisis son los espacios lp, p 1 y l (ver ejercicio 1B). lp, es el espacio vectorial de las sucesiones deK de potencia p-esima sumable, es decir de las sucesiones (xn) tales que |xn|p


l, es el espacio vectorial de las sucesiones acotadas de numeros reales (ocomplejos) con la norma del supremo, es decir:

(x1, x2, ..., xn, ...) = sup{|x1|, |x2|, ..., |xn|, ...}.De la definicion de norma se deducen las siguientes propiedades adicionales:

4. x 0, x E.5. x = x, x E.6. x y x+ y.7.x y x y (x+ y).

Las propiedades 5 y 6 son evidentes. La propiedad 4 se obtiene as:

0 = x x x+ x = 2x x 0.Por ultimo observemos que 7 equivale a que

x y x y x y,desigualdades estas que se prueban facilmente a partir de la condicion (3)de norma.

1.3 Toda norma lleva asociada de forma natural una distancia d definidapor d(x, y) = x y. Esta distancia posee dos propiedades especiales:(i) d es invariante por traslaciones, es decir d(x, y) = d(x + a, y + a),

cualesquiera que sean los puntos x, y, a E.(ii) d es absolutamente homogenea por homotecias, es decir d(x, y) =

|| d(x, y).Ambas propiedades se comprueban de forma inmediata. Recprocamente,es facil ver que toda distancia sobre un espacio vectorial E que tengan laspropiedades (i) y (ii) induce una norma sobre E (concretamente, x =d(x, 0)).

La estructura de espacio normado

Puesto que en un espacio normado se superponen dos estructuras, una alge-braica, la de espacio vectorial, y otra topologica, la inducida por la metrica,todos los conceptos y propiedades asociadas a ellas admiten una formulacionen este nuevo marco. Redefinamos, por ejemplo, los conceptos:


Bola abierta, B(a, r) = {x : xa < r}. Analogamente bola cerrada,B[a, r] y esfera, S[a, r].

Sucesion convergente. {xn} x si para cada > 0 existe un ndice tal que si n entonces xn x < .

Funcion continua en un punto. f : E F es continua en el punto x0si para cada > 0 existe un > 0 tal que si x x0 < entoncesf(x) f(x0) < . Analoga definicion para funcion uniformementecontinua.

Funcion lipschitziana. La funcion f : E F se dice lipschitziana siexiste una constante k > 0 tal que f(x) f(y) kx y.

Isometra. f es una isometra si f(x) f(y) = x y.

Proposicion 1.4 Toda propiedad topologica, uniforme o lipschitziana quetenga una bola abierta (cerrada), la tienen todas las bolas abiertas (cerra-das). En particular si la bola cerrada unidad, B[0, 1], es compacta entoncestoda bola cerrada es compacta.

Demostracion. Consideremos la aplicacion T : E E definida por

T (x) = a+ rx.

Esta aplicacion es un homeomorfismo lipschitziano, ya que es lipschitziana:

T (x) T (y) = a+ rx (a+ rx) = rx y,

e inversible:T1(y) =

ar

+1ry.

Y puesto que T1 resulta del mismo tipo que T , esta aplicacion tambien eslipschitziana.

As pues T es un homeomorfismo lipschitziano que, ademas, lleva la bolaunidad en la bola con centro en a y radio r, ya que trivialmente B[a, r] =a+ rB[0, 1].

Se tiene pues que toda propiedad a lo sumo lipschitziana de la bolaunidad es tambien propiedad de cualquier otra bola, de lo que se deduce yalo que queramos.

1.5 A continuacion vamos a resenar algunas propiedades algebraico-topologicas de los espacios normados.


1. Ningun subespacio vectorial propio tiene puntos interiores.

2. Un espacio normado es localmente compacto si y solo si la bola cerradaunidad es compacta.

3. Ningun espacio normado puede ser compacto.

4. Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente conexo (porarcos).

5. La adherencia de la bola abierta es la bola cerrada del mismo centroy radio.

6. Un conjunto abierto es conexo si y solo si es conexo por arcos.

La primera de estas propiedades es geometricamente intuitiva (Visualizaseen el plano eucldeo). Formalmente es as: En primer lugar observemos que siL es un subespacio vectorial propio, 0 no es interior a L. En efecto, si x 6 L,entonces en toda bola centrada en 0 existe algun vector x proporcional a x.Trasladar a cualquier otro punto la situacion del 0 es un sencillo ejercicio.

(2) Practicamente ha sido demostrada ya. Si la bola cerrada unidad escompacta, entonces cualquier bola cerrada es compacta, luego cada pun-to admite un entorno compacto, es decir que E es localmente compacto.Recprocamente, si a admite un entorno V compacto, entonces tambien escompacta cualquier bola cerrada con centro en a contenida en V, y por laproposicion 1.4, la bola cerrada unidad es compacta.

Que no puede existir un espacio normado compacto es obvio. Todoespacio normado es un conjunto no acotado (si x 6= 0 se pueden encontrarproporcionales a x de norma tan grande como se quiera).

La propiedad (5) se deja como ejercicio.Las demas propiedades las comentamos mas ampliamente a continua-

cion.

Conexion en espacios normados

En un espacio normado tiene sentido considerar varias formas de conexion,algunas de ellas de naturaleza puramente algebraica.

Definicion 1.6 Se denomina segmento de extremos a, b, al conjunto

[a, b] = {a+ t(b a) : t [0, 1]} = {(1 t)a+ tb : t [0, 1]}.El conjunto A se dira convexo si para cada par de puntos de A, el segmentoque los une esta totalmente contenido en A.


Proposicion 1.7 Toda bola es un conjunto convexo.

Demostracion. Sean x, y dos puntos de la bola B(a, r) y sea z = (1t)x+tyun punto del segmento [x, y]. Entonces

z a = (1 t)x+ ty ((1 t)a+ ta (1 t)x a+ ty a < (1 t)r + tr = r.

Proposicion 1.8 Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmenteconexo.

Demostracion. Todo espacio normado es conexo por arcos, ya que para cadapar de puntos x, y de E el segmento [x, y] define un arco (aplicacion continuade un intervalo compacto de R en E) que une al punto x con el punto y.Este arco es la aplicacion continua : [0, 1] E, definida por

(t) = a+ t(b a).

Para demostrar que E es localmente conexo, observemos en primer lugarque por ser cada segmento un arco, se tiene trivialmente que cada conjuntoconvexo es conexo por arcos. Luego, de la proposicion anterior resulta quepara cada punto x de E, las bolas centradas en x constituyen una base deentornos conexos de x.

El concepto de segmento admite una generalizacion natural

Definiciones 1.9 (i) Llamaremos Poligonal de vertices x0, x1, ..., xn al con-junto

n1i=0

[xi, xi+1],

o indistintamente a la aplicacion (claramente continua) : [0, n] E defi-nida por

(t) = xi + (t i)(xi+1 xi), si t [i, i+ 1].(ii) Un conjunto A se dira conexo por poligonales si cada par de puntosx, y A se pueden conectar mediante una poligonal contenida en A y deextremos x e y.

Es claro que

convexo conexo por poligonales conexo por arcos conexo.


Proposicion 1.10 En un espacio normado E, un conjunto abierto U esconexo si y solo si es conexo por poligonales (a fortiori si y solo si es conexopor arcos).

Demostracion. Sea U un abierto conexo y a un punto de U . Llamemos Aal conjunto de puntos de U que se pueden conectar con a mediante unapoligonal contenida en U . Vamos a demostrar que A es un conjunto a la vezabierto y cerrado en el subespacio topologico U . Esto implicara, en virtudde la conexion de U , que A coincide con U (A es no vaco ya que al menosel punto a A).

A es abierto: Sea x A y sea B(x, r) una bola centrada en x y contenidaen U . Esta bola debe estar contenida ntegramente en A, pues cada punto yde la misma se conecta con el centro x mediante el segmento [y, x], y x cona mediante una poligonal, luego tambien y se conecta con a mediante unapoligonal.

A es cerrado en U: Mediante un razonamiento analogo al anterior, seprueba que U \A es un conjunto abierto.

Ejercicios

1A Sean p, q numeros reales positivos tales 1/p + 1/q = 1 (observar que en estascondiciones p y q deben ser mayores que 1).

(a) Demostrar la desigualdad:

xy 1pxp +

1qyq, x, y 0.

Indicacion. Escribir xy = e1p ln x

p+ 1q ln yq

y tener en cuenta que lafuncion ex es convexa.

(b) (Desigualdad de Holder) Utilizar el apartado anterior para demostrar que

ni=1

xiyi (

ni=1

|xi|p)1/p( n

i=1

|yi|q)1/q

.

En otros terminos, x, y xpyq, x = (x1, . . . , xn); y = (y1, . . . , yn).Indicacion. Suponer en una primera etapa que xp = 1, yq = 1 ydemostrar que entonces x, y 1.

(c) Demostrar que xp = (n

i=1 |xi|p)1/p es una norma sobre Rn.

1B Sea p un numero real mayor o igual que 1 y denotemos por lp al conjunto desucesiones de numeros reales (xn) tales que

n=1 |xn|p < . Definamos tambien

l como el conjunto de las sucesiones acotadas de numeros reales.

1F Espacios Normados 11

(a) Probar que lp y l son espacios vectoriales y que la expresiones

xp =( n=1

|xn|p)1/p; x = supnN

|xn|

definen sendas normas sobre lp y l(b) Demostrar que la adherencia en l del conjunto de sucesiones que tienen

todos sus terminos nulos, salvo un numero finito de ellos, es c0: el espaciovectorial de sucesiones reales que convergen a 0.

(c) Probar que l no es separable pero c0 s.

1C Demostrar que si es una norma sobre Rn tal que(u1, . . . , un) 1 |ui| 1,(*)

entonces |xi| x, para cada x = (x1, . . . , xn) Rn. Dar ejemplos de normas queno satisfagan la condicion (*) para ningun i.

1D Estudiar si las expresiones siguientes definen una norma sobre R2 :

1. (x, y) =4x2 + y2.

2. (x, y) =|x|+ |y|.3. (x, y) = |x|+ | 3

x3 + y3|.

4. (x, y) =(x y)2 + y2.1E Demostrar que el conjunto {(x, y) R2 : |x| + |y| < 1} no es convexo(hacer un dibujo de este conjunto). Deducir de ello que

(x, y) = (|x|+|y|)2no es una norma sobre R2 que condicion falla?

1F Sean (Ei, i = 1, 2, . . . , n) una familia finita de espacios normados y empleemosla notacion comun para designar a las normas de Ei.(a) Demostrar que

(x1, . . . , xn) =ni=1

ixi, i 0,

(x1, . . . , xn) =x12 + . . .+ xn2

son normas sobre E = E1 . . . En.(b) Utilizar lo anterior para demostrar que

(x, y, z) =(2|x|+ |y|)2 + z2

es una norma sobre R3.

12 Espacios Normados 1G

1G Sea (E, ) un espacio normado. Estudiar si la aplicacion de E en s mismo,f(x) = xx, es continua, uniformemente continua o lipschitziana.

1H Encontrar una norma sobre R2 para la que la esfera unidad sea la elipse deecuacion x2 + 4y2 = 4.

1I (a) Probar que en un espacio normado un conjunto A es acotado si y solo siexiste una constante k tal que x k, para todo x de A.

(b) Demostrar que en C[0, 1] todo conjunto acotado mediante la norma es tambien acotado mediante la norma f1 =

10|f(t)|dt. Es cierto el

recproco?(c) Sea A = {Pn(t) = t+1/2 t2+ . . .+1/n tn : n N} Es A un conjunto acotado

para estas normas?

1J Sea F un espacio vectorial cerrado del espacio normado E. Probar que al espa-cio vectorial cociente E/F se le dota de estructura de espacio normado definiendo

x+ F = inf{x+ y : y F} = d(x, F ).

1K Sea (E, ) un espacio normado y sea d(x, y) = x y Puede ser d ladistancia discreta?

1L (a) Probar que

d(x, y) =|x y|

1 + |x y|es una distancia sobre R invariante por traslaciones, pero que no es absolu-tamente homogenea por homotecias.

(b) Probar qued(x, y) = 3

|x3 y3|

es una distancia sobre R absolutamente homogenea por homotecias, pero noinvariante por traslaciones.

(c) Si d es una distancia sobre el espacio vectorial E, que no es invariante portraslaciones o absolutamente homogenea, puede ser la aplicacion x d(x, 0)una norma sobre E.

1M Probar que la bola abierta unidad de un espacio normado E es homeomorfaa todo el espacio E.

Indicacion. Probar que la aplicacion

T (x) =x

1 + xestablece el homeomorfismo buscado.

1T Espacios Normados 13

1N Sea E un espacio normado y f una aplicacion continua de E en R tal quef(x) 6= 0 para todo punto x E. Probar que entonces, o bien f(x) > 0 para cadax, o bien f(x) < 0 para cada x Es valida esta conclusion si se sustituye en loanterior E por la esfera unidad?

1O (a) Probar que un espacio normado es completo (se dice entonces que es deBanach) si y solo si su bola cerrada unidad es completa.

(b) Probar que un espacio normado es separable si y solo si la bola unidad esseparable.

1P Sea {xn} con xn 6= 0 para todo n, una sucesion de Cauchy en un espacionormado.

(a) Probar que la sucesion de numeros reales {xn} es convergente. Sea sulmite.

(b) Probar que si > 0 entonces la sucesion { xnxn} es de Cauchy.(c) Demostrar con un ejemplo que si = 0, la sucesion { xnxn} no es necesaria-

mente de Cauchy.

1Q Sea {xn} una sucesion convergente a 0 en un espacio normado. Probar quetambien converge a 0 la sucesion:

yn =x1 + x2 + . . .+ xn

n

1R Sea E el espacio normado C[0, 1] dotado de la norma de la convergencia uni-forme y A = {f : f(0) = f(1) = 1; f = 1}.(a) Calcular la adherencia y el interior de A.(b) Es A un conjunto conexo?(c) Es A compacto?

1S Sea E un espacio vectorial sobre R. Demostrar que una aplicacion : E Res una norma si y solo si satisface las condiciones 1 y 2 de norma y la bola unidad{x : x 1} es un conjunto convexo.

1T Sea A un conjunto convexo de un espacio normado tal queo

A 6= . Probar quecl (A) = cl (

o

A).

Indicacion. Probar que si a o

A, x A entonces el segmento [a, x) o

A.

Captulo 2

Normas Equivalentes.Espacios Normados deDimension Finita

Dos son los resultados mas importantes que, sobre la equivalencia de nor-mas, veremos en este captulo. El primero de ellos establece que, en el marcode los espacios normados, la equivalencia de normas es siempre lipschitzia-na. El segundo que sobre un espacio de dimension finita, todas las normasson equivalentes. Incluiremos tambien en este captulo la caracterizaciontopologica, dada por F. Riesz, de los espacios normados de dimension finita.Para terminar desarrollaremos algunas tecnicas de ndole practico para laexistencia de lmite (continuidad) de funciones de varias variables.

Equivalencia de normas

Definicion 2.1 Dos normas sobre un mismo espacio vectorial E se dicenequivalentes, cuando inducen la misma topologa sobre E.

La proposicion que veremos a continuacion determinara que no tengamosnecesidad de distinguir, como pasaba en los espacios metricos, entre distintasformas de equivalencia de normas.

Proposicion 2.2 Dos normas y sobre E son equivalentes si y solosi existen dos constantes a, b > 0 tales que

(2.1) ax x bx , x E.

15

16 Normas Equivalentes 2.2

Demostracion. En efecto, si ambas normas son equivalentes, las bolas abier-tas relativas a ellas, {B(x, r) : x E, r > 0} y {B(x, r) : x E, r > 0}constituyen dos bases de una misma topologa. Entonces, puesto que B(0, 1)es un conjunto abierto debe existir r > 0 tal que B(0, r) B(0, 1). Lo quesignifica que

x < r x < 1.Sea a un numero real tal que 0 < a < r, y un vector cualquiera. Si y 6= 0es claro que el vector u = a(y/y) verifica que u = a < r, y por tantoque u < 1. Se deduce pues que para y 6= 0, ay < y. En todo casoay y. Intercambiando los papeles de ambas normas, se obtiene laotra desigualdad.

Recprocamente, si para todo x E se tiene que ay y bx,es facil deducir entonces que la aplicacion Identidad:

Id : (E, ) (E, )es un homeomorfismo lipschitziano. En particular, las topologas que indu-cen estas normas sobre E coinciden, luego y son equivalentes.

En la proposicion anterior hemos demostrado que si dos normas sobre unmismo espacio vectorial E son equivalentes, los espacios normados (E, )y (E, ) no solo tienen las mismas propiedades topologicas, sino tambienlas mismas propiedades uniformes y lipschitzianas. Puede resumirse estehecho diciendo que en los espacios normados, la equivalencia de normas essiempre lipschitziana.

Antes de pasar al estudio de los espacios normados de dimension finita, esconveniente establecer algunas cuestiones referentes al producto de espaciosnormados.

Definicion 2.3 (Norma producto) Sean (Ei, i), i = 1, 2, . . . , n, unnumero finito de espacios normados. Llamaremos norma producto de lasnormas i a la norma sobre E = E1 . . . En,

(x1, . . . , xn) = max(x11, . . . , xnn).

Ademas de la norma producto, se puede probar que tambien definen normassobre E las expresiones

(x1, . . . , xn)p =(

pi=1

xipi)1/p

.

2.6 Normas Equivalentes 17

Obviamente, si los espacios Ei = R para todo i y i = | |, entonces lasnormas anteriores son las ya estudiadas y p de Rn.

Proposicion 2.4 Todas las normas anteriores son equivalentes e inducenen E la topologa producto de los espacios (Ei, i).

Demostracion. Es facil ver que

x xp n1/px,

lo que demuestra que todas estas normas son equivalentes.Asimismo constituye un sencillo ejercicio comprobar que la topologa

que estas inducen sobre E es la producto de los espacios (Ei, i). Comoindicacion, observar que, con respecto a la norma producto , las bolasen E son productos de bolas en Ei, es decir:

B(a, r) =ni=1

B(ai, r) ; a = (a1, . . . , an).

Espacios de dimension finita

Como establece el teorema de Riesz, los espacios normados de dimensionfinita son, bajo el punto de vista topologico, esencialmente diferente a losde dimension infinita. Antes de enunciar este teorema, observemos queel modelo matematico en el que se representan los espacios normados dedimension finita es Rn, en el sentido de que:

Proposicion 2.5 Si E es un espacio normado de dimension finita n, en-tonces existe alguna norma sobre Rn, tal que E es isometrico a Rn con esanorma.

Demostracion. Sea T : x (xi) el isomorfismo de espacio vectoriales queasocia a cada vector x de E sus coordenadas xi R en una base dada.Obviamente y = T1(y) define una norma sobre Rn, para la que T esuna isometra.

La propiedad mas importante de Rn como espacio normado, se establece enla proposicion siguiente

Proposicion 2.6 En Rn todas las normas son equivalentes.


Demostracion. Vamos a probar que cada norma sobre Rn es equivalentea la norma 1 ((x1, . . . , xn)1 = |x1|+ + |xn|).

Consideremos para ello la aplicacion

: (Rn, 1) R.Esta aplicacion es continua pues, si denotamos por ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) yM = max(e1, . . . , en) , entoncesx y n

i=1

|xi yi|ei Mx y1.

Ademas, si en la desigualdad anterior se toma y = 0, se tiene

(2.2) x Mx1.Sea ahora S = {x : x1 = 1}. Este conjunto es compacto ya que es un

cerrado que es subconjunto de un compacto. Concretamente, S [1, 1]n.(Notese que segun 2.4 la topologa del espacio normado (Rn, 1) es latopologa producto). Se deduce entonces que la aplicacion : (Rn, 1)R alcanza un mnimo sobre S, es decir existe un punto u0 S tal queu0 u cualquiera que sea u S. Sea m = u0 y x 6= 0, cualquiera(m > 0 pues u0 6= 0). Puesto que x/x1 es un punto de S, se tiene:

(2.3) m xx1

mx1 x.De 2.2 y 2.3, se deduce que ambas normas son equivalentes.

2.7 De lo anterior se pueden extraer las siguientes consecuencias

1. En Rn un conjunto es compacto si y solo si es cerrado y acotado(respecto de cualquier norma).

Sabemos que en todo espacio metrico cada compacto es un conjuntocerrado y acotado. Para probar que en Rn el recproco tambien escierto, basta observar que si un conjunto es acotado respecto de unanorma es tambien acotado respecto de cualquier norma equivalente.As, si K es cerrado y acotado, entonces es acotado respecto a lanorma producto, luego existe alguna constante r > 0 tal que, paratodo x = (x1, . . . , xn) K

|xi| r, (i = 1, 2, . . . , n) K [r, r]n.De esto se sigue pues que K es compacto.


2. Rn es un espacio de Banach respecto de cualquier norma.

Es facil ver que esto es cierto para la norma producto (una sucesion depuntos de Rn es de Cauchy si y solo si las sucesiones coordenadas sonde Cauchy etc.) Ademas, si es otra norma cualquiera, Rn tienelas mismas propiedades topologicas, uniformes y lipschitzianas paraambas normas, ya que segun la proposicion anterior, son equivalentes.En particular (Rn, ) es completo (propiedad uniforme).

3. Todo subespacio vectorial de dimension finita de un espacio normadoes cerrado.

En efecto, si F es un subespacio vectorial de dimension n del espacionormado (E, ), entonces (F, ) es isometrico a Rn (proposicion2.5), luego es completo. Como todo conjunto completo de un espaciometrico es cerrado, se deduce ya que F es cerrado.

Vamos a terminar esta seccion con la caracterizacion topologica de los espa-cios normadas de dimension finita, dada por F.Riesz. Usaremos para ello elsiguiente lema

Lema 2.8 Sea E un espacio normado y F un subespacio vectorial propioy cerrado en E. Entonces para cada 0 < < 1 existe un vector x E talque

< d(x, F ) < 1.

Demostracion. Puesto que F es un conjunto cerrado distinto de E, existealgun vector y tal que d(y, F ) > 0. Entonces algun proporcional de y, y,debe verificar que

< d(y, F ) < 1.

Tomemos ahora un vector u F tal que y u < 1, y sea x = y u.Es claro entonces que

< d(y, F ) = d(x, F ) x < 1.

Teorema 2.9 (T. de Riesz) Si E es un espacio normado, son equivalentes:

(a) E es de dimension finita.

(b) La bola cerrada unidad es compacta.


(c) Los conjuntos compactos de E son, justamente, los cerrados y acota-dos.

(d) E es localmente compacto.

Demostracion. En primer lugar veamos que las condiciones (b), (c) y (d) sonequivalentes: Supongamos que se verifica (b), y sea K un conjunto cerradoy acotado. Entonces K es subconjunto de una bola cerrada, por ejemplo

K B[a, r].

Por la proposicion 1.4, sabemos que B[0, 1] y cualquier otra bola cerradaresultan simultaneamente compactas o no compactas. Se deduce pues queK es un subconjunto cerrado de un compacto, y por lo tanto K tambien escompacto.

Trivialmente (c) implica (d). Y aplicando de nuevo la proposicion 1.4,se demuestra que (d) implica (b).

(a) implica todas las demas condiciones.Por ultimo, veamos que los espacios normados de dimension finita son

los unicos en los que la bola cerrada unidad es compacta:En efecto, supongamos queE tiene dimension infinita. Vamos a aplicar el

lema 2.8 para encontrar una sucesion en la bola unidad que no tiene ningunasubsucesion convergente: Sea x1 un vector no nulo de E y sea F1 = lin {x1},el subespacio generado por x1. Como dim(F1)=1, F1 es cerrado. Existe portanto un punto x2 tal que

x2 < 1, x1 x2 > 12 .

Procediendo igual con el subespacio cerrado (y propio) generado por losvectores x1, x2, encontramos un punto x3 tal que

x3 < 1, x1 x3 > 12 , x2 x3 >12.

Es evidente que, de este modo, se construye una sucesion {xn} de puntosde la bola unidad, que no admite subsucesiones de Cauchy, pues cada dosterminos de la misma distan entre s mas de 1/2. Por lo tanto tampoco admi-te subsucesiones convergentes, luego la bola cerrada unidad no es compacta,como se trataba de probar.


Lmites y continuidad

El contenido de este paragrafo es eminentemente practico. En el se exponenalgunas tecnicas para el estudio de la continuidad (existencia de lmite) parauna funcion de varias variables reales, f : A Rn Rp. Si p = 1, es decirsi f toma sus valores en R, se dira que f es una funcion escalar. Cuandop > 1, una funcion de este tipo se dira que es una funcion vectorial. En esecaso escribiremos

f = (f1, f2, . . . , fp),

donde fi(x) es la coordenada i-esima de f(x), es decir las funciones f1,f2, . . . , fp son las funciones coordenadas de f .

Definicion 2.10 Sea f : A Rn Rp y a un punto de acumulacion de A.Diremos que el punto l Rp es lmite de la funcion en el punto a, lo quedenotaremos como

limxa f(x) = l,

si para > 0, existe > 0 tal que

0 < x a < f(x) l < .

Es claro que la funcion f es continua en a si y solo si

limxa f(x) = f(a).

Notese que en la definicion anterior, de acuerdo con la proposicion 2.6, pue-den utilizarse las normas que se quieran, es decir: Si l es lmite de la funcionf en el punto a con respecto a dos normas en Rn y Rp, l es tambien lmitede f en a respecto a cualquier otro par de normas.

Proposicion 2.11 Sea f = (f1, f2, . . . , fp) una funcion de A Rn Rp ya un punto de acumulacion de A. Entonces

limxa f(x) = l = (l1, . . . , lp) limxa fi(x) = li

Demostracion. Si en Rp utilizamos la norma producto, es evidente que ladefinicion de lmite para f en a puede expresarse en los siguientes terminos:para cada > 0, existe > 0 tal que

0 < x a < |fi(x) li| < , ilo que equivale a decir que li es el lmite de fi en a, para todo i.


2.12 Para estudiar la existencia de lmite y/o la continuidad para funcio-nes de varias variables se tendra en cuenta, en primer lugar, las propiedadesgenerales de las funciones continuas entre espacios topologicos (la composi-cion de continuas es continuas, las aplicaciones constantes, la identidad, lasproyecciones,... son continuas), o las que hacen referencia a la estructuravectorial de los espacios normados (el conjunto de las aplicaciones que to-man sus valores en un espacio normado y que son continuas en un punto estambien un espacio vectorial, ver ejercicios 2A,2B). Ademas, despues de laproposicion anterior, dicho estudio bastara hacerse para funciones escalares.Para ellas podemos establecer sin dificultad que

1. El producto de funciones continuas en un punto es una funcion conti-nua en ese punto.

2. Si f, g son funciones continuas en un punto a y g(a) 6= 0, entonces f/ges continua en a.

Analogos resultados y consideraciones se pueden obtener sobre la existenciade lmites en un punto.

Ejemplo 2.13 Las funciones polinomicas son continuas: En efecto, todafuncion polinomica es suma de monomios, es decir de aplicaciones de laforma

(x1, ..., xn) axk11 . . . xknn ,que son continuas por ser el producto de aplicaciones del tipo

(x1, ..., xn) a , (x1, ..., xn) xi.

2.14 En lo que sigue trataremos de buscar criterios que nos permitan estu-diar la existencia de lmite (continuidad), en aquellos casos en que las reglasgenerales para el calculo de lmites (2.12) no sean aplicables, es decir cuan-do aparezcan indeterminaciones. Cuando tales criterios sean aplicables, seevitara tener que usar, para resolver esas indeterminaciones, el engorrosometodo que proporciona la definicion de lmite.

Para simplificar trabajaremos con funciones escalares de dos variables.Si f : A R2 R y (x0, y0) un punto de acumulacion de A, entonces, deacuerdo con la definicion 2.10,

l = lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y),


si para cada > 0 existe > 0 tal que

0 < (x x0, y y0) <

|x x0| < , |y y0| < |x x0|+ |y y0| < (x x0)2 + (y y0)2 <

......................

|f(x, y) l| < ,

2.15 (Condicion suficiente para existencia de lmite) Con las nota-ciones anteriores, si existen dos constantes positivas M y tales que, para(x, y) en algun entorno de (x0, y0), se verifica que

|f(x, y) l| M(x x0, y y0)

entonces l = lim(x,y)(x0,y0) f(x, y).

Ejemplo 2.16 Consideremos la funcion

f(x, y) =(1 y)(x 1)2 + y2

(x 1)2 + y2 si (x, y) 6= (1, 0) ; f(1, 0) = 1.

Esta funcion es continua en el punto (1,0), pues

|f(x, y) 1| =(1 y)(x 1)2 + y2(x 1)2 + y2 1

=

|y|(x 1)2(x 1)2 + y2 |y| (x, y) (1, 0).

Hay que hacer notar que la condicion de la proposicion anterior no esnecesaria, es decir una funcion puede tener lmite y no satisfacer ningunadesigualdad de ese tipo. (Compruebense, por ejemplo, con la funcion

f(x, y) =1

ln(x2 + y2)

en el punto (0,0)).


Definicion 2.17 (Lmites iterados) Con las notaciones anteriores, a ca-da uno de los lmites

limxx0

( limyy0

f(x, y)), limyy0

( limxx0

f(x, y))

se les denomina lmites iterados.

Proposicion 2.18 Si existe el lmite de una funcion en un punto (x0, y0)es decir, l = lim(x,y)(x0,y0) f(x, y), entonces tambien existen y son igualesa llos lmites iterados. (Se supone que para cada y 6= y0 y x 6= x0 existenlos lmites limxx0 f(x, y) y limyy0 f(x, y)).

Demostracion. Resulta directamente de aplicar la definicion de lmite.

Definicion 2.19 (Lmites direccionales) Llamaremos lmites direccio-nales de la funcion f en el punto (x0, y0) a los lmites siguiendo rectas quepasen por el punto, es decir limxx0 f(x, y0+m(xx0)). (Analoga definicionpara lmite siguiendo curvas que pasan por el punto).

Nota. La condicion 2.15 as como la definicion 2.17 se generalizan de maneranatural al caso de funciones de 3 o mas variables. Para generalizar tambienla nocion de lmites direccionales de una funcion en un punto, deberemosescribir en forma parametrica las ecuaciones de las rectas que pasan por elpunto. As si a = (a1, . . . , an), entonces

x1 = a1 + th1, x2 = a2 + th2, . . . , xn = an + thn

es la ecuacion de la recta que tiene como vector director h = (h1, . . . , hn) yque pasa por a. El lmite siguiendo esta recta sera entonces

limt0

f(a1 + th1, . . . , an + thn).

Para n = 2 el lmite anterior coincide con el lmite direccional en el sentidode la definicion 2.19, siguiendo la recta de pendiente m = h2/h1.

Como en el caso de los lmites iterados, es evidente que la existencia de lmiteimplica la de los lmites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues,que la existencia de los lmites iterados, direccionales y siguiendo curvas soncondiciones necesarias para la existencia del lmite. Por lo tanto:

NO existe lmite cuando

1. No existe alguno de los lmites iterados o existen pero son distintos.



f(x, y) =x2 + yx2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Esta funcion no es continua en (0, 0) ya que uno de los lmites iterados noexiste:

limy0

( limx0

x2 + yx2 + y2

) = limy0

y

|y| = 1.

Ejemplo 2.21 Este es un ejemplo de una funcion para la que los lmitesiterados existen pero son diferentes (luego el lmite no existe)

f(x, y) =(x+ y 1) ln(x2 + 2y2)

(x 1)2 + y2 , si (x, y) 6= (1, 0).

Se tiene que

limx1

(limy0

f(x, y)) = limx1

2(x 1) lnx(x 1)2 = 2

limy0

( limx1

f(x, y)) = limy0

y ln(1 + 2y2)y2

= limy0

4y1 + 2y2

= 0.

2. No existe alguno de los lmites direccionales o existen, pero no soniguales.

Ejemplo 2.22 Sea

f(x, y) =xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0).

Los lmites direccionales de esta funcion no son todos iguales. En efecto:

limx0

f(x,mx) = limx0

mx2

(m2 + 1)x2=

m

m2 + 1

que depende de m. Se deduce pues que el lmite no existe.

Ejemplo 2.23 Sea

f(x, y) =x2y

x4 + (y x)2 si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Es inmediato comprobar que limx0 f(x,mx) = 0 para m 6= 1. En cambiopara m = 1 el lmite anterior no existe, es decir la funcion no tiene lmite en(0,0) siguiendo la recta y = x y por lo tanto no admite lmite en ese punto(no es continua en (0,0)).


3. No existe el lmite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o ellmite vara dependiendo de la curva que se tome.


f(x, y) =xy2

x2 + y4si (x, y) 6= (0, 0).

Tanto los lmite iterados como los lmites direccionales en el punto (0,0)existen y valen 0, sin embargo esta funcion no tiene lmite en ese punto, yaque si tomamos las curvas y = m

x, se tiene:

limx0

f(x,mx) = lim

x0m2x2

x2 +m4x2=

m2

m4 + 1.

Es decir los lmites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero sondiferentes entre s, luego el lmite no existe.

Ejemplo 2.25 Sea

f(x, y) =x2 ln y

x4 + (x2 + ln y)2, si (x, y) 6= (0, 1); f(0, 1) = 0.

Es inmediato comprobar que tambien en este caso los lmites iterados en(0,1) valen 0. En cuanto a los lmites direccionales

limx0

x2 ln(1 +mx)x4 + (x+ ln(1 +mx))2

= limx0

ln(1 +mx)x2 + (x+ 1/x ln(1 +mx))2

=ln 1m2

= 0.

Sin embargo tampoco existe el lmite ya que si consideramos la curva y =ex2 , que obviamente pasa por (0,1), la funcion admite lmite siguiendo estacurva, pero es diferente de 0.

Aunque los casos mas frecuentes sobre la existencia de lmite en un pun-to se resuelven mediante el estudio desarrollado anteriormente, a veces noqueda mas remedio que acudir al estudio . En esos casos puede ayudarel paso a coordenadas polares (solo si f es una funcion de dos variables).

2.26 (Coordenadas polares para lmite en (0,0)) La funcion f tienelmite en (0, 0), es decir l = lim(x,y)(x0,y0) f(x, y), si y solo si para cada > 0 existe un > 0 tal que si r < entonces

|f(r cos , rsen ) l| < (uniformemente en ).

2C Normas Equivalentes 27

Demostracion. Basta espresar la condicion de lmite en coordenadas polares.

Ejemplo 2.27 Sea

f(x, y) =y

xsen (x2 + y2) si x 6= 0; f(0, y) = 0.

Pasando a polares se obtiene

f(r cos , rsen ) = tan sen r2.

La condicion anterior no se cumple, pues existe (por ejemplo = 1) talque cualquiera que sea > 0 se puede encontrar r < de manera que| tan sen r2| > 1 para algun . Basta tomar r < con la condicion r2 6= kpiy tal que | tan | > 1/|sen r2|. Se deduce pues que la aplicacion no escontinua en (0,0).

Tampoco resulta continua en ningun punto de la forma (0, y0). Si y20 6=kpi es obvio, pues entonces lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) =. En otro caso, puedecomprobarse que los lmites direccionales no son todos iguales.

En los puntos con x 6= 0 se pueden aplicar los teoremas generales sobrefunciones continuas para probar que la funcion s que es continua.

Ejercicios

2A Demostrar que en todo espacio normado la aplicacion suma

(i) Es continua.(ii) Es abierta. Mas precisamente, si U es un conjunto abierto de E y A es un

conjunto cualquiera, entonces A+ U es abierto.(iii) No es cerrada. Sin embargo, si K es compacto y F cerrado, entonces K + F

es tambien cerrado.Indicacion. Para probar que no es cerrada considerense los conjuntos F1 =Eje X y F2 = {(x, 1/x) : x > 0}.

2B (a) Demostrar que, en todo espacio normado E, la aplicacion multiplica-cion por escalareses una aplicacion continua.

(b) Sea S = {x E : x = 1}. Demostrar que esta aplicacion lleva el conjunto[0, 1] S sobre la bola cerrada unidad, B[0, 1] = {x E : x 1}.

(c) Deducir de (b) que el espacio normado E es de dimension finita si y solo sila esfera unidad S es compacta.

2C Demostrar que en todo espacio normado

28 Normas Equivalentes 2C

(a) La adherencia de un subespacio vectorial es un subespacio vectorial.

(b) La adherencia de un conjunto convexo es tambien convexo.

2D Sea E un espacio normado y , dos normas comparables sobre E,i.e., o bien existe una constante positiva a > 0 tal que x ax, x E, obien existe una constante positiva b > 0 tal que x bx, x E. Probar quesi {xn} es una sucesion en E que converge respecto a ambas normas, entonces loslimites coinciden.

2E Sea f la aplicacion definida sobre el conjunto C = {(x, y) : x2 6= y2} de R2como

f(x, y) =(senx sen y

x y ,ex eyx+ y

).

Demostrar que f es continua sobre C y que se puede extender a R2 continuamente.

2F Estudiar la existencia de los siguientes lmites

1. lim(x,y)(0,0)

1 cos(x y)x2 + y2

2. lim(x,y)(0,0)

(x+ 1)y2 + x2x4 + y4

3. lim(x,y)(0,0)

(x+ 1)y3 + x2x2 + y4

4. lim(x,y)(1,0)

xy2 + pi2(x 1)2sen 4pix+ y4

5. lim(x,y)(0,0)

2x2 + y2 xy2x2 + y2

3x2 + 2y2

6. lim(x,y)(0,0)

x3(x+ y)(x+ y)2 + x2y2

7. lim(x,y)(0,0)

xy

senx2 + sen y28. lim

(x,y)(0,0)(x2 + y3)(x2 + y2)

x2 + y4

9. lim(x,y,z)(0,0,0)

x3 y2 + z3x2 + y2 + z2

10. lim(x,y,z)(0,0,0)

x3 y3 + z3x2 + y2 + z2

11. lim(x,y,z)(0,0,0)

cosxz cos yzx2 + y2 + z2

12. lim(x,y,z)(0,0,0)

cosxz cos yz(x2 + y2 + z2)2

13. lim(x,y)(pi,0)

1 + cos(x+3y)

1 + y2 + cos(x y) 14. lim(x,y)(2,0)(y + ln(x 1))2ey2 + x2 4x+ 3

2G Demostrar que si (Ei) es una familia infinita de espacios normados, ningunanorma sobre el espacio vectorial E =

Ei puede inducir sobre E la topologa

producto de los espacios Ei.

2H Demostrar que la expresion

(x, y, z) =x2 + (y x)2 + (z y)2

define una norma sobre R3. Compararla con la norma eucldea.

2N Normas Equivalentes 29

2I Sea (E, ) un espacio normado. Probar que mediante la expresion

(x, y) = x+ y+ x y

se define una norma sobre E E, equivalente a la norma producto.Indicacion. La equivalencia entre esta norma y la norma producto constituye unfacil ejercicio si antes se prueba la desigualdad 2x x+y+xy, para todosx, y E.

2J Sea E = C([0, 1] y consideremos las normas

f = maxt[0,1]

|f(t)| , f1 = 10

|f(t)|dt.

(a) Son comparables ambas normas? y equivalentes?(b) Estudiar la continuidad del producto de funciones de E, respecto a las normas

anteriores.

2K Sea E el espacio vectorial de las funciones polinomicas sobre el intervalo [0, 1].Consideremos sobre el las normas:

a0 + a1x+ . . .+ anxn = max(|a0|, . . . , |an|)a0 + a1x+ . . .+ anxn1 = |a0|+ + |an|a0 + a1x+ . . .+ anxn = max

x[0,1]|a0 + a1x+ . . .+ anxn|.

Establecer las comparaciones posibles entre ellas, probando, en particular, que laprimera y la tercera no son comparables.

2L Sea f una aplicacion entre espacios normados y supongamos que existelimxx0 f(x) se mantendra la existencia de este lmite si se cambia la norma por otra equivalente?

2M Calcular la adherencia del conjunto

A ={(x, y, z) R3 : 1

x+1y+1z= 1}.

2N Sea K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 2z 2, x+ y + z 1}.

(a) Probar que K es un conjunto compacto de R3 y hallaro

K y Fr(K).(b) Sea S = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 2z = 2} y M la traza sobre S del conjunto

{(x, y, z) : x+ y + z < 1}. Obtener el interior, la adherencia y la frontera deM , relativo al subespacio S.

30 Normas Equivalentes 2O

2O (a) Demostrar las desigualdades

1. x2 + y2 x2y2 1/2(x2 + y2), si |x| < 2 o |y| < 2.2. x4 + y4 x2y2 1/2(x4 + y4), x, y.

(b) Estudiar, teniendo en cuenta las desigualdades anteriores, los siguientes lmites:

lim(x,y)(0,0)

x3y2(x2y2 (x2 + y2))2 , lim(x,y)(0,0) x

y

x4 + y4 x2y2 , , 0.

2P Estudiar, pasando a coordenadas polares, los siguientes lmites

lim(x,y)(0,0)

y(x2 + y2)3/2

(x2 + y2)2 + y2, lim

(x,y)(0,0)x3(x+ y)

(x+ y)2 + x2y2.

2Q Estudiar la continuidad uniforme de la aplicacion

f(x, y) = sen 21

x2 + y2

en C1 = {(x, y) : 0 < x2 + y2 < 1} y en C2 = {(x, y) : x2 + y2 > 1}.

Captulo 3

El Teorema deStone-Weierstrass

Vamos a ver en esta leccion el teorema clasico de Weierstrass y la importantegeneralizacion del mismo dada por Stone.

El teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass establece que cada funcion continua sobre un in-tervalo [a, b] de R puede ser aproximada uniformemente por polinomios o,dicho de otro modo, que los polinomios constituyen una familia uniforme-mente densa de C[a, b].

Cuando se trata de aproximar una funcion por polinomios, parece ine-vitable pensar en los polinomios de interpolacion (polinomios que toman elmismo valor que la funcion en un numero finito de puntos dados)1, comobuenos aproximantes. Sin embargo, los polinomios de interpolacion de unafuncion no convergen, en general, ni siquiera puntualmente hacia la funcion.Por ejemplo, Berstein [4] demostro que los polinomios de interpolacion dela funcion |x| en [1, 1], para puntos igualmente separados, solo convergenen los puntos 1, 1 y 0. Tambien es famoso el ejemplo de Runge: los po-linomios de interpolacion de la funcion (incluso analtica) 1/(1 + x2), parapuntos equidistantes del intervalo [5, 5], diverge para |x| 3, 63....(Ver[18]). Por otra parte solo para las funciones analticas puede garantizarseque los polinomios de Taylor converjan uniformemente. Se observa, pues,

1Es bien conocido que para cada n+ 1 puntos del plano {(xi, yi) : x1 < x2 < . . . xn+1}existe un unico polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

31

32 El Teorema de Stone-Weierstrass 3.1

que la aproximacion uniforme de una funcion continua mediante polinomiosdebe ir por otros derroteros (Ver Cheney [6]).

La demostracion que vamos a hacer del teorema de Weierstrass es debidaa Berstein.

Teorema 3.1 Para una funcion continua f definida sobre el intervalo [0, 1],la sucesion de polinomios

Bn(f)x =n

k=0

f(k/n)(nk

)xk(1 x)nk

converge uniformemente hacia la funcion f .

Demostracion. Denotemos por rk(x) =(nk

)xk(1 x)nk, con lo que podre-

mos escribir, Bn(f)x =n

k=0 f(k/n)rk(x). Llamaremos a Bn(f) el polino-mio n-esimo de Berstein de la funcion f . Tendremos necesidad de conocerlos polinomios de Berstein de las funciones 1, x y x2 :

Bn(1)x =n

k=0

rk(x) =n

k=0

(nk

)xk(1 x)nk = (x+ (1 x))n = 1,

Bn(x)x =n

k=0

(k/n)rk(x) =n

k=0

(k/n)(nk

)xk(1 x)nk

= xn

k=1

(n1k1)xk1(1 x)nk = x,

Bn(x2)x =n

k=0

(k/n)2rk(x) =x

n

nk=1

k(n1k1)xk1(1 x)nk

=x

n

n1j=0

(j + 1)(n1j

)xj(1 x)n1j

=n 1n

xn1j=0

j

n 1(n1j

)xj(1 x)n1j

+x

n

n1j=0

(n1j

)xj(1 x)n1j

=n 1n

x2 +1nx.

3.1 El Teorema de Stone-Weierstrass 33

Veamos que Bn(f) converge uniformemente hacia f . (Observemos que estoes verdad para f = 1, x o x2). Hemos de probar que para > 0 existeun ndice tal que

Si n , |f(x)Bn(f)(x)| x,o lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que

nk=0 rk(x) = 1, que

Si n , nk=0

(f(x) f(k/n))rk(x) x [0, 1].

Puesto que f es uniformemente continua en [0,1], debe existir un > 0tal que si |x y| < entonces |f(x) f(y)| < . Sean x [0, 1] y n Ncualesquiera y consideremos los conjuntos

I1 = {k : 0 k n, |x k/n| } , I2 = {k : 0 k n, |x k/n| > }.Entonces n

k=0

(f(x) f(k/n))rk(x)

kI1|f(x) f(k/n)|rk(x)

+kI2

|f(x) f(k/n)|rk(x)

+kI2

|f(x) f(k/n)|rk(x).

(3.1)

Sea M una cota superior de la funcion f en [0,1]. Observemos que la condi-cion k I2 significa que (x k/n)2 > 2. Luego

k I2 1 < 12(x k/n)2.

Se tiene entonces quekI2

|f(x) f(k/n)|rk(x) 2M2

kI2

(x k/n)2rk(x)

2M2

nk=0

(x k/n)2rk(x)

=2M2(x2

nk=0

rk(x) 2xn

k=0

(k/n)rk(x) +n

k=0

(k/n)2rk(x))

=2M2(x2 2x2 + n 1

nx2 +

1nx)

=2M2n

x(1 x) 2M2n

.


De lo anterior se deduce que tambien el segundo sumatorio en 3.1 puedehacerse menor que , independientemente de cual sea x, sin mas que tomarn suficientemente grande. Por tanto la sucesion de polinomios de Bersteinde la funcion f converge uniformemente a f .

Nota. Notese que la demostracion del teorema anterior esta basada funda-mentalmente en el hecho de que los polinomios de Berstein correspondientesa las funciones 1, x y x2 convergen uniformemente a estas funciones. Estehecho fue destacado y utilizado por el matematico ruso Korovkin, que consi-guio de esta manera, una fructfera generalizacion del teorema de Weierstrass(Ver [6]).

Nota. El teorema de Weierstrass se generaliza sin dificultad a un intervalocompacto [a, b] de R. En efecto:

Sea f : [a, b] R continua y sea g = f donde (t) = (b a)x + a.La funcion g esta definida entonces en [0,1]. Si Bn(g) son los polinomios deBerstein para la funcion g, es claro que la sucesion Bn(f) = Bn(g) 1converge uniformemente a f y se obtiene facilmente que

Bn(f)x =1

(b a)nn

k=0

f((b a)k/n+ a)(x a)k(b x)nk.

El teorema de Stone

La generalizacion mas importante del teorema de Weierstrass es la de Stone.Su teorema, conocido como el teorema de Stone-Weierstrass, caracteriza enterminos sumamente sencillos las algebras de funciones continuas que sonuniformemente densas en C(X), para X compacto. Este es un teoremade gran interes, no solo practico, en cuanto que permite la construccion denuevos ejemplos, sino tambien teorico. Sin el no se concibe, actualmente,un estudio serio de los anillos de funciones continuas y su relacion con latopologa del espacio.

En todo lo que sigue X denotara un espacio topologico compacto. Xsustituira as al intervalo [0,1], que era el espacio marco para la seccionanterior. Sobre C(X) consideraremos la norma de la convergencia uniforme.Necesitaremos algunas definiciones y resultados previos antes de establecerel teorema de Stone-Weierstrass:

Definicion 3.2 Una familia F de funciones de C(X) se dice que separapuntos de X si para cada par de puntos distintos de X, x 6= y, existe

3.4 El Teorema de Stone-Weierstrass 35

alguna funcion f F tal que f(x) 6= f(y). La familia F se dice que separapuntos fuertemente si para cada par de puntos distintos de X, x 6= y, ypara cada par de numeros reales , existe alguna funcion f F tal quef(x) = , f(y) = .

Lema 3.3 Todo subespacio vectorial F de C(X) que separa puntos de X ycontiene las funciones constantes, separa puntos fuertemente.

Demostracion. Sean x, y dos puntos distintos de X, , dos numeros realesy f F una funcion que separe x de y. Vamos a probar que existe algunafuncion de la forma f+ (y por tanto perteneciente a F) que toma el valor en x y el valor en y. Bastara resolver el sistema

f(x) + = f(y) + =

que tiene solucion unica ya que f(x) 6= f(y). Concretamente resulta:

=

f(x) f(y) ; =

f(x) f(y)f(x).

Lema 3.4 (Kakutani-Stone) Si F es un retulo vectorial (i.e., F es un es-pacio vectorial que satisface la condicion: si f, g F entonces sup(f, g) F einf(f, g) F), que separa puntos de X y contiene a las funciones constantes,entonces F es uniformemente denso en C(X).

Demostracion. Sea > 0, f F y x X. Para cada t 6= x sea ft unafuncion de F tal que ft(t) = f(t); ft(x) = f(x). Tal funcion existe puestoque F separa puntos fuertemente. Sea entonces

Vt = {z : ft(z) > f(z) }.Vt es un conjunto abierto que contiene, obviamente, a x y a t y sobre el lafuncion ft no sobrepasa, por debajo, en mas de a la funcion f . Cuando trecorre X \ {x} los conjuntos Vt constituyen un recubrimiento abierto de Xque, como X es un espacio compacto, admitira un subrecubrimiento finito,es decir

X = Vt1 Vt2 . . . Vtk .Consideremos la funcion de F, gx = sup(ft1 , . . . , ftk). Entonces si z es unpunto de X que pertenece, por ejemplo, al abierto Vtj , se tiene:

gx(z) ftj (z) > f(z) .


Se deduce, pues, que la funcion gx no sobrepasa, por debajo, en mas de ala funcion f en ningun punto z de X. Ademas gx coincide con f en el puntox, es decir gx(x) = f(x).

Procediendo con las funciones gx como hicimos antes con las funcionesft, o sea construyendo el recubrimiento de X mediante los abiertos

Ux = {z : gx(z) < f(z) + }y extrayendo un subrecubrimiento finito, se obtiene una funcion g = inf(gx1 ,-. . . , gxp) de F que no sobrepasa a la funcion f en mas de , ni por abajo nipor arriba, es decir

f(z) < g(z) < f(z) + , z X.

Teorema 3.5 (Stone-Weierstrass) Todo algebra F de C(X) que sepa-ra puntos y contiene a las funciones constantes es uniformemente densaen C(X) (i.e., densa respecto a la norma de la convergencia uniforme enC(X)).

Demostracion. Todo se reduce a probar que la clausura uniforme de unalgebra de C(X) es un retculo vectorial. Pues entonces, aplicando el teo-rema de Kakutani, cl(F) resultara ser un conjunto denso en C(X), lo queimplicara, por ser cerrado, que cl(F) = C(X).

Teniendo en cuenta las formula

sup(f, g) = 1/2(f + g + |f g|) , inf(f, g) = 1/2(f + g |f g|),y que en todo espacio normado la adherencia de un subespacio vectorial esun espacio vectorial, solo falta probar que

(3.2) f cl (F) |f | cl (F).Sea > 0 y consideremos g F tal que g f < . Entonces tambien severifica que |g| |f | g f < . Por lo tanto, para demostrar 3.2 solosera preciso demostrar a su vez que

g F |g| cl (F).Sea M tal que |g(x)| M para todo x X (g es continua sobre un

compacto). La funcion |g| es la composicion de las funciones

Xg [M,M ] || R

x g(x) |g(x)|

3D El Teorema de Stone-Weierstrass 37

Por el teorema de Weierstrass la funcion t |t| puede aproximarse uni-formemente por polinomios, es decir que para > 0 existe un polinomioP (t) = a0+ a1t+ + aktk tal que

|t| P (t) , para todo t [M,M ].Como para cada x X, t = g(x) [M,M ], se tiene que|g(x)| a0 + a1g(x) + + akgk(x) , x X.Entonces, teniendo en cuenta que F es un algebra que contiene a las funcionesconstantes, la funcion a0+a1g+ +akgk F y por lo tanto la desigualdadanterior prueba que |g| cl (F).

Corolario 3.6 Si K es un compacto de Rn, entonces los polinomios sobreK constituyen una familia uniformemente densa de C(K).

Demostracion. La familia P de polinomios sobre K esta formada por lasfunciones del tipo

finitas

ai1i2...inxi11 x

i22 xinn , (ik = 0, 1, . . .),

luego es obvio que constituye un algebra que contiene a las funciones cons-tantes. Ademas separa puntos: Sean a, b son dos puntos distintos de K,supongamos, por ejemplo, que la coordenada k de a es diferente que la de b,es decir ak 6= bk, entonces el polinomio P (x) = xk toma un valor distinto ena que en b. Del teorema anterior se deduce, pues, que P es uniformementedenso en C(K).

Ejercicios

3A Obtener los polinomios de Berstein de la funcion |x| sobre el intervalo [1, 1].

3B Demostrar que las siguientes familias de funciones de C[0, 1] son uniformementedensas en C[0, 1]: Las poligonales. Las funciones de clase C. Las funcioneslipschitzianas.

3C Demostrar que el espacio vectorial de C[0, 1] generado por las funciones {enx :n Z}, es uniformemente denso en C[0, 1].

3D Demostrar que, en C(R), los polinomios no solo no son uniformemente den-sos, sino que, ademas, es imposible que una sucesion de polinomios pueda convergeruniformemente en todo R a una funcion que no sea un polinomio.

38 El Teorema de Stone-Weierstrass 3E

3E Demostrar que todo algebra E de funciones de C[0, 1], cerrada uniformemente,que contiene a las funciones constantes, es cerrada respecto a la composicion confunciones continuas definidas sobre R, es decir

f E f E , C(R).

(Por ejemplo, si f E entonces sen f E).

3F Probar que ni el algebra, ni el retculo de C[0, 1] generados por la funcionh(x) = x es uniformemente denso en C[0, 1]. Calcular las clausuras respectivas.Que hipotesis de los teoremas de densidad se incumplen?

3G Demostrar que la familia, L, de los polinomios de grado impar, es unifor-memente densa en C[0, 1], a pesar de no constituir un algebra ni contener a lasfunciones constantes.

3H Demostrar que una condicion necesaria para que una familia F de C(X) conX compacto sea uniformemente densa es que F separe puntos. Como aplicacion,vease que la familia F de polinomios que tienen todos sus terminos de grado par,no puede ser densa en C[1, 1] Y en C[0, 1]?.

3I Demostrar que si una funcion f , continua sobre el intervalo [a, b], satisface lacondicion b

a

xkf(x)dx = 0, k 0,

entonces f = 0.

Captulo 4

Aplicaciones Lineales yMultilineales Continuas

La conexion entre las estructuras vectorial y topologica de los espacios nor-mados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicacioneslineales y n-lineales continuas. Los teoremas de caracterizacion para estasaplicaciones, que veremos en este captulo, son consecuencias importantesde esa conexion. Puesto que no es nuestro objetivo en este curso profundizaren el conocimiento de los espacios normados, nos limitaremos a considerar,ademas de los teoremas de caracterizacion aludidos, solo algunas tecnicas delinealidad, que nos seran utiles despues para el Calculo Diferencial.

Aplicaciones lineales continuas

Proposicion 4.1 Si E,F son dos espacios normados y T : E F es unaaplicacion lineal entre ellos, entonces son equivalentes:

(a) T es continua.

(b) T es continua en 0.

(c) T esta acotada en la bola unidad.

(d) Existe una constante M tal que T (x) Mx para todo x E.(e) T es lipschitziana.

Demostracion. (a) implica (b) trivialmente.(b) implica (c) La continuidad en 0 garantiza que T (x) 1 siempre

que x , para algun . Entonces, si x B[0, 1] se tiene x y portanto T (x) = T (x) 1, es decir T (x) 1/ =M.

39

40 Linealidad 4.1

(c) implica (d) Supongamos T acotada por M en B[0, 1] y sea x 6= 0cualquiera. Entonces T (x/x) M y por tanto T (x) Mx.

(d) implica (e) Es evidente, debido a la linealidad de la aplicacion T .(e) implica (a) Trivial.

Ejercicio. Probar que los enunciados anteriores son tambien equivalentesa T es continua en algun punto.

Ejemplo 4.2 Toda aplicacion lineal entre espacios de dimension finita escontinua. En efecto, si T : Rn F es una aplicacion lineal, entonces

T (x) = T (xiei) |xi|T (ei) M x1,donde ei = (0, .., 1, 0..0) y M = max{T (ei) : i = 1, 2, .., n}.

Ejemplo 4.3 Sea E = C[0, 1] dotado de la norma de la convergencia uni-forme, y consideremos la aplicacion T : E R definida por

T (f) = 10f(t) dt.

T es una aplicacion lineal trivialmente, y es continua pues

|T (f)| = 10f(t) dt

10|f(t)| dt f.

Ejemplo 4.4 Consideremos ahora el operador derivacion definido entre losespacios C1[0, 1] y C[0, 1], D(f) = f . Esta aplicacion es claramente lineal,pero no es continua respecto a la norma de la convergencia uniforme, pueses bien conocido que aunque una funcion (derivable) sea lmite uniforme deuna sucesion de funciones derivables {fn}, la funcion derivada f no es engeneral el lmite (ni siquiera puntual) de la sucesion {f n}.

Norma de una aplicacion lineal y continua

Hemos demostrado que si T es una aplicacion lineal y continua entre losespacios normados E y F , entonces T esta acotada sobre la bola cerradaunidad, es decir el conjunto {T (x) : x 1} esta acotado superiormente.Si denotamos por T al extremo superior (la menor de las cotas superiores)de este conjunto, es inmediato comprobar que, de esta forma, definimos una

4.5 Linealidad 41

norma en el espacio vectorialL (E,F ) de las aplicaciones lineales y continuasde E en F . Abreviadamente escribiremos

T = supx1

T (x).

Por otra parte, si se observa la demostracion de que (c) implica (d) enla proposicion anterior, es claro que lo que en realidad se demuestra alles que cualquier cota superior de T en la bola unidad vale tambien comoconstante en la desigualdad (d) y como constante de Lipschitz para T (yrecprocamente, como facilmente se comprueba). Por tanto T es tambienla menor constante de Lipschitz para la aplicacion T .

4.5 Algunas de las propiedades elementales de la norma de una aplicacionlineal son las siguientes:

(a) T (x) Tx, x E.(b) T M T (x) Mx, x.(c) T = sup{T (x) : x 1} = sup{T (x) : x < 1}

= sup{T (x) : x = 1}.(d) T U T U.

En (a) solo dice que T es una constante de Lipschitz, lo cual forma partede la definicion de T.

(b) T M , significa que M es una cota superior de T en la bolaunidad, lo que, segun establecimos antes, equivale a queM sea constante deLipschitz para T o a que T (x) Mx.

(c) Hemos de demostrar que T es tambien la menor de las cotas supe-riores de cada uno de los conjuntos

{T (x) : x = 1} , {T (x) : x < 1}.Como T es cota superior del conjunto {T (x) : x 1}, es evidente quees tambien cota superior de cada uno de los conjuntos anteriores.

Demostremos primero que T es tambien la menor cota superior de{T (x) : x = 1}, es decir que si es cota superior de {T (x) : x = 1}entonces T . Teniendo en cuenta la definicion de T, para que estosuceda bastara probar que es cota de {T (x) : x 1}. En efecto, six 6= 0 y x 1 entonces x/x es un vector de norma 1, luego

T (x/x) (1/x)T (x) T (x) x .

42 Linealidad 4.5

Veamos finalmente que T es tambien la menor cota superior de{T (x) : x < 1}, es decir que si es cota superior de {T (x) : x < 1}entonces T . Como antes, solo habra que demostrar que es cotasuperior de {T (x) : x 1}. Sea x con x 1, entonces para cada0 < < 1, se tiene que x < 1, luego T (x) . Por otra parte, esclaro que

T (x) = lim1

T (x).

De ambas hechos se deduce entonces que T (x) , que era lo quequeramos demostrar.

(d) Aplicando dos veces (a) resulta (T U)(x) T U x, es decirque T U es una constante de Lipschitz para la aplicacion lineal T U ,luego

T U T U.

Aplicaciones multilineales continuas

Para las aplicaciones multilineales continuas cabe hacer un estudio paraleloal anterior. As pues, comenzaremos con un teorema de caracterizacion paraestas aplicaciones, para pasar despues a construir una norma canonica en elespacio vectorial que ellas forman.

Una aplicacion T : E1 E2 . . . En F se dice n-lineal cuando eslineal en cada coordenada, es decir

T (. . . , xi + yi, . . .) = T (. . . , xi, . . .) + T (. . . , yi, . . .).

Proposicion 4.6 . Para una aplicacion n-lineal, las condiciones siguientesson equivalentes:

(a) T es continua.

(b) T es continua en 0.

(c) T esta acotada sobre la bola unidad.

(d) Existe una constante M tal que

T (x1, x2, . . . , xn) M x1 x2 . . . xn.

4.6 Linealidad 43

Demostracion. Obviamente (a) implica (b).(b) implica (c). Por ser T continua en 0, existe un tal que

T (x1, . . . , xn) 1 si x1 , . . . , xn .

Por tanto, si y1, . . . , yn son puntos de la bola unidad se tiene queT (y1, . . . , yn) 1, lo que implica que

T (y1, . . . , yn) M = 1n.

(c) implica (d). Sean x1, .., xn puntos distintos de 0, entonces por (c) setiene que

T ( x1x1 , . . . , xnxn) M T (x1, x2, . . . , xn) M x1 x2 . . . xn.

(d) implica (a) Sea a = (a1, .., an) un punto cualquiera. Para probar queT es continua en a basta hacer tender hacia amediante puntos x = (x1, .., xn)de un entorno acotado de a. As puede suponerse x1 , .., xn ,para alguna constante . Entonces:

T (x1, . . . , xn) T (a1, . . . , an) T (x1, x2, . . . , xn) T (a1, x2, . . . , xn)+ T (a1, x2, . . . , xn) T (a1, a2, x3, . . . , xn)+ . . . . . .+ T (a1, . . . , an1, xn) T (a1, a2, . . . , an)

= T (x1 a1,x2, . . . , xn)+ T (a1, x2 a2, x3, . . . , xn)+ . . .+T (a1, . . . ,an1, xn an)

M n1(x1 a1+ . . . + xn an).

De estas desigualdades se sigue que la funcion T es continua en a.

Nota. A diferencia de las aplicaciones lineales, una aplicacion n-lineal ycontinua no nula nunca es lipchitziana. Para simplificar, supongamos queT es una aplicacion bilineal y sean u, v dos vectores tales que T (u, v) 6= 0.Que T no es lipschitziana se deduce entonces de la igualdad T (u, v) =T (u, v) y de que la aplicacion bilineal de R R en R, (, ) , noes ni siquiera uniformemente continua (Ejercicio).

44 Linealidad 4.7

4.7 Como para el caso lineal, la proposicion anterior permite definir de for-ma natural una norma en el espacio L n(E1 . . .En, F ) de las aplicacionesn-lineales continuas de E1 . . . En en F :

T = sup{T (x1, . . . , xn) : x1 1, . . . , xn 1}.

Y, como antes, T es la menor de las constantes M para la que es ciertala desigualdad T (x1, x2, . . . , xn) M x1 x2 . . . xn, y por lo tanto setiene

T (x1, x2, . . . , xn) T x1 x2 . . . xn.

Ejercicios

4A Considerar C[0, 1], el espacio vectorial de las aplicaciones continuas sobre [0, 1]que toman sus valores en R, y sea T : C[0, 1] C[0, 1] la aplicacion T (f)(x) =p(x) f(x), donde p es una aplicacion fija de C[0, 1] .(a) Probar que T es una aplicacion lineal y continua, tanto si en C[0, 1] se tiene

la norma de la convergencia uniforme como si se tiene la norma f1 = 10|f(t)|dt.

(b) Obtener, para cada una de las normas anteriores, la norma de la aplicacionT , suponiendo que p sea la funcion p(x) = x.

Indicacion (Para el apartado (b) en el caso que la norma sobre C[0, 1] sea 1).Para conseguir una funcion f tal que

10|f(x)|dx y 1

0x|f(x)|dx se diferencien poco,

pensar que bastara con que f fuese distinta de 0 solo cerca del punto x = 1.

4B Sean E y F dos espacios normados.

(a) Probar que la convergencia en el espacio L (E,F ) implica la convergenciapuntual.

(b) Si {Tn} es una sucesion convergente de L (E,F ) y {xn} es una sucesionconvergente de puntos de E, probar que {Tn(xn)} es una sucesion convergentede puntos de F

4C Sea E un espacio normado y denotemos por E al espacio normado L (E,K)(que se le denomina dual topologico de E). Probar que E es un espacio de Banach.

4D Sea E = C[a, b], dotado de la norma de la convergencia uniforme, y sea T : E E la aplicacion T (f)(x) =

xaf(t)dt.

(a) Probar que T es lineal y continua y hallar T.

4H Linealidad 45

(b) Deducir de (a) el siguiente teorema: Si {fn} es una sucesion de funciones declase C1 sobre el intervalo [a, b] tal que1. La sucesion {fn(a)} es convergente.2. La sucesion de las derivadas {f n} converge uniformemente en [a, b] haciaalguna funcion g.

Entonces la sucesion {fn} converge uniformemente en [a, b] hacia una funcionf de clase C1 tal que f = g.

4E (a) Sean E, F espacios normados, S un subespacio vectorial denso de E y Tuna aplicacion lineal y continua de E en F . Probar que entonces T = T|S,donde con T|S se denota a la restriccion de T a S.

(b) Sea T : (R2, 1) (R2, 1) la aplicacion lineal T (x, y) = (x + y, y).Determinar T y T|S, siendo S = {(x, y) : x = y}.

4F (a) Sea E un espacio normado y T L (E,E). Probar que la imagen porT de la bola abierta unidad, T (B(0, 1)), esta contenida en B(0, T).

(b) Sea T la aplicacion lineal de R2 en R2 dada por la matriz(1 22 2

)Comprobar que T (B(0, 1)) es un conjunto abierto, pero distinto de B(0, T).

(c) Demostrar que si la imagen de la bola abierta unidad por una aplicacionT L (E,F ) es un conjunto abierto, entonces la aplicacion T es abierta einversible.Indicacion. La condicion implica, en particular, que 0 es interior al subes-pacio vectorial ImT , luego ImT = E.

(d) Dar un ejemplo de aplicacion T L (E,F ) tal que T (B(0, 1)) no sea unconjunto abierto.

4G Sea T la aplicacion lineal de R3 en R definida por T (x, y, z) = ax + by + cz.Demostrar que

T =

|a|+ |b|+ |c|a2 + b2 + c2

max(|a|, |b|, |c|)

segun que consideremos en R3 respectivamente las normas , 2, 1.

4H Sea T la aplicacion lineal de (R2, i en (R2, i dada por la matriz(a 11 a

)siendo a un numero real arbitrario. Probar que para i = 1, 2 y , T = 1 + |a|.

46 Linealidad 4I

4I Calcular la norma de:

(a) La aplicacion lineal T (x, y) = 2xy, segun se considere en R2 la norma 1o la norma eucldea.

(b) La aplicacion lineal T : (R2, ) (R2, 1) dada por la matriz(2 11 1

)(c) La aplicacion bilineal de (R2, 1) R en R, T (x, y, z) = (2x+ y)z(d) La aplicacion lineal de C[0, 1] en R

T (f) = 1/20

f(x)dx 11/2

f(x)dx

(Se supone en C[0, 1] la norma de la convergencia uniforme)

Parte II

Calculo Diferencial paraFunciones de VariasVariables Reales

Captulo 5

Derivadas Direccionales yDerivadas Parciales

Iniciamos, con este captulo, el calculo diferencial para funciones de variasvariables reales. Aunque el marco de trabajo sera, con frecuencia, el delos espacios normados, nuestro interes se centra en la generalizacion delconcepto de derivada, y el estudio de sus propiedades, a las funciones devarias variables reales. Si esta extension se hace a las funciones definidassobre un espacio normado, es para aprovechar las tecnicas ya estudiadas delos espacios normados y tambien porque, en ocasiones, necesitaremos de estageneralidad para poder establecer con comodidad algunos de los resultadosclasicos del calculo diferencial.

Si f es una funcion real de una variable real, sabemos que f es derivableen el punto a si existe

(5.1) f (a) = limh0

f(a+ h) f(a)h

.

Es obvio que el concepto anterior de funcion derivable puede extenderse, sinmodificacion alguna, a las funciones de una sola variable, pero que toman va-lores en un espacio normado cualquiera F . En particular si f : A R Rp,es facil ver que f (a) = (f 1(a), f 2(a), . . . , f p(a)). Esta formula es igualmentevalida si f es una funcion de 1 variable que toma sus valores en un productofinito de espacios normados. Sin embargo, cuando f es una funcion variasvariables (o de variable vectorial), no podemos definir f (a) como en (5.1)pues el h por el que habra que dividir no sera, en ese caso, elemento deun cuerpo. Aun sera esto posible para las funciones de variable compleja,pero estas no son objeto de estudio en este curso. En lo sucesivo, por tanto,

49

50 Derivadas Parciales 5.1

el termino variable habra que entenderlo como variable real, y del mismomodo un espacio normado sera, siempre, un espacio normado real. No obs-tante, hemos de senalar que no existen diferencias esenciales entre un calculodiferencial real y un calculo diferencial complejo.

Antes de proceder a la extension definitiva del concepto de derivada alas funciones de varias variables, vamos a dedicar un primer captulo a laintroduccion de dos conceptos basicos, el de derivada direccional y el dederivada parcial. Aunque pueda parecer exagerado, se podra afirmar que elCalculo Diferencial en dimension finita consiste en el calculo con derivadasparciales.

Derivadas direccionales

Definicion 5.1 Sea f : A E F, a o

A y h 6= 0 un vector de E. Se diraque f es derivable en el punto a, siguiendo el vector h, si existe

(5.2) Dhf(a) = limt0

f(a+ th) f(a)t

.

Al elemento de F, Dhf(a), se le denominara derivada de f en a, siguiendoel vector h. Cuando f admite derivada siguiendo cualquier vector no nulo,se dira tambien que f admite derivadas en todos las direcciones.

Sea f , para concretar, una funcion de A Rn en R. Consideremos larecta de ecuacion x = a + th, t R (recta que pasa por a y tiene a hcomo vector director). Entonces f(a+ th) son los valores que toma f sobreesta recta, y por tanto, por analoga con los lmites direccionales, podrapensarse en denominar al lmite 5.2, como la derivada de la funcion f en asiguiendo la recta x = a+th. Esto sera correcto, de no ser porque para cadavector director de esa recta puede resultar un valor distinto para Dhf(a).Concretamente, es facil ver que

Dhf(a) = Dhf(a).

Debido a esto, se ha convenido en destacar por cada direccion dos de es-tas derivadas: Dhf(a) y Dhf(a), siendo h uno de los dos vectores deesa direccion y norma 1, denominando derivada direccional en a al va-lor |Dhf(a)| = |Dhf(a)|. (Solo hablaremos de derivada direccional en elsentido anterior para funciones escalares varias variables reales, y la normaque se utilizara en ese caso sera la norma eucldea).

5.4 Derivadas Parciales 51

5.2 La existencia de derivadas en todas las direcciones, sera una condicionnecesaria para que una funcion sea derivable en un punto. Pero esta condi-cion es muy debil. Es posible, por ejemplo, que una funcion verifique esto yno sea ni siquiera continua.

Ejemplo (Una funcion no continua en un punto, que admite en ese puntoderivadas en todas las direcciones).

f(x, y) =x2y

x4 + y2si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Si tomamos v = (h, k) y aplicamos la definicion para calcular la derivada enel punto (0,0) siguiendo el vector v, resulta

Si k 6= 0, Dvf(0, 0) = limt0

f(th, tk)t

= limt0

t3h2k

(t4h4 + t2k2)t=h2

k

Si k = 0, Dvf(0, 0) = 0.

Sin embargo, esta funcion no es continua en (0,0), pues aunque los lmitesiterados y direccionales existen todos y valen 0, los lmites siguiendo lascurvas y = mx2 son todos diferentes.

Derivadas parciales

Definicion 5.3 Sea f : A Rn F y sea a o

A. Se dira que f admitederivada parcial j-esima en a, si f es derivable en a, siguiendo el vectorej = (0, ..0, 1, 0, .., 0). Emplearemos la notacion (f/xj)(a) o, tambien,Djf(a), para designar a la derivada parcial j-esima de f en a. Es decir:

f

xj(a) = Dejf(a) = lim

t0f(a+ tej) f(a)

t

= limhj0

f(a1, . . . , aj + hj , . . . , an) f(a)hj

= limxjaj

f(a1, . . . , aj1, xj , aj+1, . . . , an) f(a)xj aj .

De las igualdades anteriores resulta:

Proposicion 5.4 La funcion f admite derivada parcial j-esima en a si, ysolo si, la aplicacion

g : xj f(a1, .., aj1, xj , aj+1, .., an)es derivable en aj , siendo (f / xj)(a) = g(aj).

52 Derivadas Parciales 5.4

De lo que ya hemos visto, se deduce que la existencia de derivadas parcialesen un punto, respecto a

cálculo diferencial e integral en varias variables. montalvo f

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