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Matemáticas Aplicadas

Equipo Nº2

Cálculo Diferencial

Integrado por:

o Chávez Alfonso Angélica DanielaChávez Alfonso Angélica Danielao González Zuriga BetzairaGonzález Zuriga Betzairao Huesca Yessica ZuleimaHuesca Yessica Zuleimao Ladrón de Guevara Torres CarmenLadrón de Guevara Torres Carmeno Lazo Chelius Lazo Chelius o Márquez Ríos Diana RubíMárquez Ríos Diana Rubío Martínez Moscoso Leonardo DanielMartínez Moscoso Leonardo Danielo Moreno Coatzozón GustavoMoreno Coatzozón Gustavoo Pichale Ramón EstebanPichale Ramón Estebano Rodríguez Canseco IvánRodríguez Canseco Iváno Rodríguez García Cinthia E.Rodríguez García Cinthia E.o Rodríguez Ortiz Julio AdriánRodríguez Ortiz Julio Adriáno Sánchez Barrios EduardoSánchez Barrios Eduardoo Solano Malfavón Carlos RaúlSolano Malfavón Carlos Raúl

Calculo Diferencial

Cálculo:

Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables

Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.

La definición de la derivada de la función y=f(x), es:

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.

La Derivada

Importancia y Aplicación

Aplicación Área

1.- Para cálculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad de probabilidad. Para obtener las segundas se debe obtener la derivada de la distribución. Y estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasas de interés, etc,de manera resumida, cualquier tipo de riesgo que se comporte de forma continua en el tiempo.

Estadística

2.- Para maximizar o minimizar cosas. Por ejemplo si se quiere reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos X, pero se descubre que se puede seguir empacando la misma cantidad de X con cajas más pequeñas.

Administración

3.-En temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Ciencias Exactas

Aplicación Área

4.- Para el análisis de regresión, series de tiempo, etc. Se aplican derivadas. La regresión y las series de tiempo son modelos predictivos. Por ejemplo, se puede crear un modelo matemático para predecir que una empresa Y va a vender P pesos si gasta G pesos en publicidad.

Administración

5.- Sirve para procesos estrocásticos (modelos financieros muy avanzados).

Administración

6.- Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil , ya muchas aplicaciones mas en ingeniería y física.

Ingeniería

Aplicación del Calculo Diferencial al área de Computación o Informática

El calculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:

o Fabricación de chips (obleas de microprocesadores )

oMiniaturización de componentes internos

o Administración de las compuertas de los circuitos integrados

oCompresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.

oHan coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial

Regla general de la derivación:

Primer paso.- Se sustituye en la función x por x +  Δx, y se calcula el nuevo valor de la función y + Δy.

Segundo paso.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy

( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide Δy (incremento de la función ) por Δx ( incremento de la variable independiente ).

Cuarto paso.- Se calcula el limite de este cociente cuando Δx ( incremento de la variable independiente ) tiende a cero. El limite así hallado es la derivada buscada.

Ejemplo 1

Tenemos la función:

el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si entonces

Por lo que para la función planteada en el ejercicio:

Aplicando que la derivada de una función potencia es

Y que la derivada de una constante es cero, tendremos:

Es decir:

Ejemplo 2

Para este caso

Para este caso:

Distribuyendo la derivada tenemos:

y utilizando directamente la fórmula para la cual es

observamos que al derivar, por ejemplo, obtenemos

por lo que :

Ejemplo 3

De forma similar a los dos ejercicios anteriores tenemos:

si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene

por lo tanto: 

Ejemplo 4

determine f x 4 34 3 5.f x x x x si

4 3 4 3

4 3 3 1 3 1 1 1

3 2

4 3 5 4 3 5

4 3 5 4 4 3 3 0

16 9 1

x x x x x

x x x x

f x D x x x D x D x D x D

D x D x D x D x x x

x x

1 2 3 4 nf x f x f x f x f x f x

Ejemplo 5

Si f y g son funciones y h una función definida por ,h x f x g x y si f x g xy

existen, entonces:

d d d dh x f x g x f x g x g x f x

dx dx dx dx

3 22 2 ,h x x x x Sea: determine .h x

Aplicando el teorema en cuestión

3 2 2 3 3 2 2

4 3 4 3 4 3

2 2 2 2 2 2 2 1 6

4 2 4 2 6 6 10 8 4 2

x xh x x D x x x x D x x x x x x

x x x x x x x x

,f x

h xg x

0g x f x

g x

2

x x

x

g x D f x f x D g xf xD

g x g x

23.

3x

xD

x

2 2 22 2 2

2 2 2

2

2

3 3 3 3 3 6 3 13 6 18 3

3 3 3 3

3 18

3

x x

x

x D x x D x x x xx x x xD

x x x x

x x

x

Si f y g son funciones y h una función definida por Donde: Y si:

y Existen, entonces:

Calcule:

Debemos aplicar el teorema:

Ejemplo 6

Funciones

Conclusiones

El calculo diferencial estudia los incrementos en las variables.

El calculo diferencial , diferente a lo que piensa la mayoría de la gente, tiene un campo de aplicación practico muy amplio.