CALCULO DEL ERROR DE ESTIMACION DE PLANES MINEROS

Marco Antonio Alfaro Sironvalle Ingeniero Civil de Minas, Universidad de Chile

Consultor Asociado, Metlica Consultores, Chile. Docteur en Sciences et Techniques Minieres, E.N.S. des Mines, Pars.

Profesor de Evaluacin de Recursos Mineros, USACH

RESUMEN

Cualquier estimacin de reservas mineras tiene un error asociado. Las reservas son la base del proceso de planificacin que termina con el clculo del valor actualizado de los beneficios futuros. En consecuencia, la estimacin de los beneficios futuros tiene errores, los cuales es necesario cuantificar. Los parmetros tcnicos y econmicos que condicionan los beneficios son muy numerosos. En nuestro trabajo examinaremos solamente el caso del clculo de los errores de estimacin de leyes y de tonelajes anuales. EL problema es el clculo de la varianza de estimacin de la ley y del tonelaje de un gran volumen V (en general, V es la unin de ms de 1000 bloques con ms de 500 muestras). El problema lo hemos resuelto, de manera exacta, con tiempos de clculo muy pequeos, sin utilizar simulaciones condicionales. Se muestra la aplicacin al caso de un gran sector minero.

INTRODUCCION

Descripcin del problema.

Sea una zona V dentro de un depsito, la cual consiste en la reunin de n bloques.

La zona es por lo general tridimensional y contiene un numero grande N de

compsitos. La figura 1 muestra el plan minero para el ao 2008 de la mina Gaby

de Codelco Chile:

Figura 1: Plan minero mina Gaby, ao 2008.

En este caso se tiene n = 2530 bloques y N = 1375 compsitos, adems coexisten

tres unidades geolgicas.

La ley de V se determin por el mtodo geoestadstico del krigeado, luego se

conoce la ley estimada de los 2350 bloques, por consiguiente se conoce la ley

media anual estimada para el ao 2008.

DESARROLLO.

El problema planteado consiste en calcular, el error cometido en la estimacin de

la ley media de la zona V. Estamos en presencia de un problema clsico de la

geoestadstica, el cual ha sido tratado por varios autores, pero no ha sido bien

resuelto hasta ahora.

Las soluciones al problema planteado son las que se examinan a continuacin:

a) Krigeado de la zona V.

Consiste en realizar el krigeado de la zona V, lo cual es prcticamente imposible,

dado que hay que invertir una matriz de ms de 1300x1300 elementos, tal como

muestran las figuras 2 y 3:

Figura 2: La zona V puede ser inconexa y tener ms de 1000 compsitos.

Figura 3: Matriz del krigeado, N es superior a 1000.

b) La simulacin condicional.

La simulacin condicional es una tcnica geoestadstica la cual consiste en

generar un nmero grande de realizaciones o simulaciones de las leyes dentro de

V y luego caracterizar estadsticamente el error de estimacin (figura 4).

Figura 4: La simulacin condicional.

Este mtodo es general pero es demasiado laborioso. Genera gran cantidad de

archivos voluminosos. Puede demorar varios das en un computador de alta

velocidad, por esta razn, en la prctica, se generan del orden de 50-100

simulaciones o realizaciones.

Por otra parte se deben simular los los contactos entre las unidades geolgicas.

Existe un algoritmo bastante complicado desde el punto de vista de su aplicacin

prctica el cual resuelve esta situacin y es el mtodo gaussiano truncado (ver

referencia 4).

Un ltimo problema relacionado con las simulaciones condicionales es que hay

que utilizar el arte de las anamorfosis, es decir transformar el histograma inicial

de los datos, en un histograma gaussiano, trabajar en el espacio gaussiano para

finalmente volver al espacio original por una transformacin inversa (ver referencia

2)

c) El mtodo gaussiano discreto.

El mtodo (el cual es una aproximacin) consiste en lo siguiente:

Desarrollar la transformacin al espacio gaussiano de los compsitos mediante

polinomios de Hermite. A partir de la anamorfosis puntual, encontrar la anamorfosis de los bloques. Para

ello es necesario encontrar un coeficiente r de cambio de soporte.

La limitacin de este mtodo, adems de ser laborioso, es que el volumen V debe

ser simple, por ejemplo un paraleleppedo (figura 5)

Figura 5: Para aplicar el mtodo gaussiano discreto el volumen V debe ser un

paraleleppedo.

CALCULO EXACTO DE LA VARIANZA DEL ERROR Este mtodo se basa en calcular, de manera exacta, la varianza del error de la ley

media del conjunto V, unin de n bloques (figura 6):

Figura 6: Compsitos y bloques.

La idea es componer los krigeados de los bloques que constituyen el volumen V,

tal como muestra la figura 7:

Figura 7: Composicin de krigeados.

Entonces es fcil de ver que, en general, el krigeado ordinario de la unin de un

conjunto de bloques equivale a una combinacin lineal de los compsitos

utilizados en los krigeados parciales. Se puede comprobar tambin que los pesos

asignados a los compsitos suman 1. Luego, el estimador de la ley media de la zona V corresponde a una combinacin

lineal de las leyes de los datos. Por consiguiente se puede aplicar la frmula

clsica, fundamental, de la geoestadstica para calcular la varianza del error de

estimacin (figura 8):

Figura 8: Varianza de estimacin.

El problema consiste entonces en calcular los pesos ai para lo cual, en el programa de krigeado, se guardan los ponderadores de cada compsito. Se puede hacer un ranking de los compsitos segn su peso ai Finalmente, podemos afirmar, con una buena confianza, que el error de estimacin es del orden de 2.

Se observar que este mtodo de clculo del error es exacto, sin arte. Se

requiere previamente un estudio de efecto proporcional para hacer locales los

resultados.

EL ERROR DE TONELAJE.

Adems del error en la ley media, existe un error de tonelaje. En la figura 9 se ha

representado un banco de la mina Gaby junto a los bloques que constituyen la

zona sobre la ley de corte. Resulta evidente que a la hora de explotar, utilizando

informacin de pozos de tronadura, la zona ser diferente a la de la figura, luego

existe tambin un error de tonelaje, el cual puede ser cuantificado, mediante una

frmula de aproximacin, al utilizar la geoestadstica transitiva (ver referencia 1).

La Geoestadstica transitiva es una rama de la Geoestadstica en la cual se

estudian las variables regionalizadas sin hacer hiptesis probabilsticas acerca del

fenmeno en estudio. Una de las aplicaciones ms importantes de los mtodos

transitivos es el clculo de la varianza del error de superficie y de volumen.

Figura 9: Banco con zona sobre la ley de corte. Malla aproximada de 70mx70m. La presencia de un error de tonelaje aumenta el error de las leyes, luego hay que

aumentar el error de la ley media (ver referencia 3) utilizando una frmula simple.

APLICACION AL CASO DE CODELCO NORTE.

A continuacin presentamos algunos resultados obtenidos al aplicar las

metodologas anteriores al caso de Codelco Norte. Las escalas de los grficos han

sido modificadas por razones de confidenciabilidad minera.

Las figuras 10 a 16 muestran grficamente los diferentes errores anuales para

diferentes depsitos:

Chuquicamata

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Ao

% C

u

Ley media (% CuT) Inferior % CuT Superior % CuT

Figura 10: Error anual de la ley media Chuquicamata rajo.

Mansa Mina Rajo

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Ao

% C

u

Ley media (% CuT) Inferior % CuT Superior % CuT

Figura 11: Error anual de la ley media Mansa Mina rajo.

ENMS

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

2.000

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Ao

% C

u

Ley media (% CuT) Inferior % CuT Superior % CuT

Figura 12: Error anual de la ley media Extensin Norte Mina Sur.

Radomiro Tomic xidos

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

Ao

% C

u

Ley media (% CuT) Inferior % CuT Superior % CuT

Figura 13: Error anual de la ley media Radomiro Tomic xidos.

Radomiro Tomic Sulfuros

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

2014 2017 2020 2023 2026 2029 2032 2035 2038 2041 2044 2047

Ao

% C

u

Ley media (% CuT) Inferior % CuT Superior % CuT

Figura 14: Error anual de la ley media Radomiro Tomic Slfuros.

Error! Not a valid link.

Figura 15: Error de tonelaje anual Radomiro Tomic Oxidos.

Error! Not a valid link.

Figura 16: Error de tonelaje anual Chuquicamata rajo

CONCLUSIONES. La metodologa presentada constituye una aplicacin prctica y simple de

desarrollos geoestadsticos matemticos existentes y probados para estimar el

error anual de estimacin de la ley y del tonelaje. Anteriormente, la estimacin de

error se limitaba a los bloques individuales del krigeado, sin reflejar este

conocimiento en los resultados econmicos de un determinado proyecto o del plan

de largo plazo de una determinada faena.

El conocimiento de los errores anuales es fundamental para el diseo de

campaas de reconocimiento en el tiempo.

El mtodo puede ser una herramienta de apoyo en la evaluacin de proyectos,

analizando la variabilidad esperada del flujo econmico y de la rentabilidad,

utilizando el mtodo de Montecarlo.

REFERENCIAS

1. G. Matheron: La Teora de las Variables Regionalizadas y sus Aplicaciones.

Traduccin al espaol por M. Alfaro. Tecniterrae 2005.

2. P. Chauvet: Calcul dune variance destimation globale par simulations

conditionnelles. Escuela de Minas de Pars N-37/98/G, 1998.

3. A. Journel y Ch. Huijbregts: Mining Geostatistics. Academic Press, 1978.

4. J. P. Chiles y P. Delfiner: Geostatistics, modelling spatial uncertainty. Willey,

1999.