TRABAJO ESCRITO

CURSO

CALCULO II

PRESENTADO POR

JULIAN ALEJANDRO MORA LONDOO

ALVARO JOSE HERNANDEZ DURANGO

EDUIN MONTALVO MEJIA

PRESENTADO A

AMAURI CAMARGO

FACULTAD

INGENIERIAS

PROGRAMA

INGENIERIA DE SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE CORDOBA-COLOMBIA

FECHA

20/12/2012

AREA ENTRE DOS CURVAS

Para encontrar el rea de una regin entre dos curvas, hay que considerar dos

funciones y=f(x) y y=g(x), las cuales deben ser continuas en el intervalo [a, b].

Si las graficas estn sobre el eje x y la grafica y=g(x) esta debajo de la grafica

y=f(x), se puede interpretar geomtricamente el rea de la regin entre las

graficas, es decir restar el rea de la funcin y=g(x) al rea de la funcin y=f(x),

esto nos dar el rea entre dos curvas en determinados intervalos.

Definicin

Si Y=f(x) y Y=g(x) son continuas en [a, b] y Y=g(x) Y=f(x) para todo x en [a,

b], entonces el rea de la regin acotada por las graficas Y=f(x) y Y=g(x) y las

rectas verticales x=a y x=b es:

rea De Una Regin Entre Dos Curvas Que Se Intersecan

Se utiliza el mismo mtodo, con excepcin que aqu los intervalos se buscan,

ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas.

Hay veces que las graficas se intersecan mas de dos veces y de aqu sale que

se suman las dos regiones, sin importar que grafica pase arriba o abajo, ya que

para eso solo se utiliza la misma lgica de Y=g(x) Y=f(x) o Y=f(x) Y=g(x) y

de esa forma se tendr los tres intervalos, uno para [a, b] y otra para [a, b].

Si la grafica de una funcin de y es una frontera de una regin, es a menudo

conveniente usar rectngulos representativos horizontales y encontrar el rea

integrando en la variable y. en general, para determinar el rea entre dos

curvas, se usan:

Donde (x1, x2) y (y1, y2) son los puntos adyacentes de interseccin de las dos

curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.

Ejemplo1:

Encontrar el rea de la regin:

y=x+1, y=9-x^2, x=-1, x=2

Solucin

Como se observa en la figura, nuestra funcin de arriba es y=9-x^2 y la de

abajo es y=x+1 por lo tanto utilizamos nuestra ecuacin donde f(x)=9-x^2,

g(x)=x+1 donde a=-1 y b=2.

Ejemplo2:

Encontrar el rea de la regin:

y=^x, y=x, con x=0 y x=1.

Solucin

Como se muestra en la figura, la funcin de arriba es y=e^x y en la parte de

abajo es y=x por lo tanto utilizamos nuestra ecuacin donde f(x)=e^x, g(x)=x

donde a=0 y b=1.

Ejemplo3:

Calcule el rea de la regin definida por las parbolas:

y=x^2

y=2x x^2

Solucin

Ecuacin de la parbola:

y= -(x^2 2x)

Completamos cuadrado

y = -[ (x 1)^2 1 ]

y = -(x 1)^2 + 1

y 1 = - (x 1)^2

Igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones:

X^2 = 2x x^2

2x^2 = 2x

X^2 = x

X^2 x = 0

X(x 1) = 0

X = 0

X = 1

Ejemplo4:

Encontrar el rea de la regin:

y = sen(x), y= sen(2x), con x=0 y x=/2

Solucin

Longitud de Arco

Es tambin conocida como Rectificacin de una curva.

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o

dimensin lineal. A lo largo de la historia, ha sido difcil determinar esta medida

de longitud en segmentos irregulares; aunque aunque fueron usados varios

mtodos para curvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo la formula

general para obtener soluciones cerras para algunos casos.

Que son los siguientes:

1. Aproximando de la longitud de dicha curva por medio de un polgono

Si las ecuaciones son paramtricas

X=f(t) y Y=g(t) ; a t b.

Y describen una curva C suave, ya que las derivadas de estas funciones

son continuas y simultneamente no son cero a< t

aproximada a la suma de los polgonos y ser ms exacta si la subdivisin

del intervalo es mayor.

Por lo que diremos que la longitud L de la curva C como el lmite de las

longitudes de estos polgonos inscritos.

L=Limn-> Pi-1-Pi ; Pi-1-Pi = (Xi)2+ (Yi)

2

i=1 n. =[(F(ti) t]2+[G(ti) t]

2

=[F(ti)]2+[G(ti)]

2 t

Entonces L F t + [F(t)]=1 dt

Y esto es una suma de riemann para la funcin [F (ti)]2+ [G (ti)]

2

Lo que la sumatoria anterior se convierte en la siguiente expresin:

L= [()]2 + [()]2

Lo que equivalente a la siguiente expresin:

[( )

^2+( )^2 ] dt

Y si nos dan una function de la siguiente forma Y=F(x) la expresin se

simplifica as:

[1 + ( )^2]

Anlogamente para X=F (y).

Ejercicios:

Hallar la longitud de arco y=2/3X3/2+1 entre 0 y 1

Sol:

[1 + ( )^2]

pero F(x)=X1/2

L= [1 + (1

0

1/2)^2 = [1 +

1

0= [2/3(1+x)3/2]10

L= 2/3(8 + 1).

VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

Los solidos de revolucion son solidos que se generan al girar una region una

region plana alrededor de un eje (x,y)

Ejemplo:

=

Al girarla grafica alrededor del eje x el solido que se obtiene es el siguiente:

=

El volumen de los solidos de revolucion se puede calcular usando diferentes

metodos y bien sea por el metodo del disco, metodo de la arandela o por el

metodo de los casquillos cilindricos

Metodo del disco:

Este metodo consiste en hacer n particiones en forma de discos cilindricos en

la grafica cuya suma se aproxima al volumen del solido

Sabiendo que el volumen del disco cilindrico es igual a :

= 2

y observando la grafica podemos decir que:

r

= () y =

Como lo que queremos hacer es una sumatoria los volmenes de los discos

cilndricos podemos usar esto para plantear la integral definida de la siguiente

forma

= ()2

esto si revolucionamos la grafica con respecto a ;si se revoluciona con

respecto a el eje la integral queda de la siguiente forma

= ()2

Ejemplos:

1. Hallar el volumen de solido quese forma al rotarla grafica = cos con

respecto al eje x desde 0 /2

Solucin

Grafica

= cos 0 /2

El solido resultante es el que ese muestra en la grafica

Tomamos un disco dentro del solido

Como = () entonces = cos , nuestra integral queda de la

siguiente forma

= ( cos )2/2

0

= cos /2

0

= () 0/2

=

2 (0)

El volumen del solido es =

= 0.0861 3( )

2. La regin entre la curva = sec , /4 /4 y el eje x se gira

alrededor del eje x para generar un solido. Hallar su volumen.

Solucin

Grafica

= sec

al revolucionar la grafica con respecto al eje x obtenemos la siguiente grafica

Tomamos eldisco y planteamos la integral aplicando la formula para volmenes

por el mtodo del disco

= ()2

= (sec())2/4

/4

= tan() /4/4

= tan(

4) (tan

4 )

El volumen del solido es

= 0.0861 3( )

Hallar elvolumen de un solido que se genera al rotar la regin acotada por el

eje y y la curva = 2 en al punto (6,9) l rededor de eje y

Este es el solido que se genera al rotar la grafica = 2 con respecto al eje

y; y usando el mtodo del disco

= 2

= (2 )29

0 = 4

9

0

=2 2 9

0 = 22 0

9

= 162

El volumen de l solido es 162( )

Volmenes de solido de revolucin por medio del mtodo de la arandela

Ejemplos: calcule el volumen generado al girar alrededor del eje x la regin

acotada por la parbola = 2 + 1 y la recta = + 3

los puntos de interseccin son (-1,2) y (2,5)

grafica

Como lo que obtenemos es una arandela de radio r1 y r2 en el medio del solido

no podemos tomar un disco rectangular dentro de ella

1 =

2 =

Lo que hacemos es hallar el radio interno y el externo y lo aplicamos al a

formula

= ([()2] [()2

])

= ( + 3)2] [(2 + 1)22

1

])

= ([2 + 6 + 9] [4 + 222

1

+ 1])

= 1

5 5

1

33 + 32 + 8

1

2

=117

3 ( )

Ejemplo 2

calcule el volumen de un solido que que se genera al girar la regin acotada

por las curvas =1

42 y = 5 2 en torno al eje x ,desde 0 x 2

grafica

Planteamos la integral

= ([()2] [()2

])

= ([(5 2)2] [(1

42)2

2

0

])

= 25 102 4x [4/162

0

])

= 25 +103

3

5

5

5

80

0

2

= 70 ( )

El volumen del solido es 70 ( )

Ejemplo3 calcule el volumen de un solido generado al girar alrededor de la

recta x=-4 la regin limitada por las dos parbolas = 2 y = 2 3 en

los puntos (-2,1) y (-3/4,3/2)

= ([()2] [()2

])

= ([(4 + 2)2] [(4 + 2 3)23/2

1

])

= (3/2

1

23 92 + 8 + 15)

= 1

24 33 + 42 + 15

1

3/2

=875

32( )

El volumen del solido es de 875

32( ).

Volmenes de solidos mediante el mtodo de las capas cilndricas

en los ejemplos anteriores hemos visto como calcular el volumen de un solido

tomando los elementos rectangulares perpendiculares al eje de revolucin y

los elementos de volumen obtenidos fueron discos a arandelas para algunos

solidos de revolucin este mtodo no es factible suponga que desea calcular el

volumen del solido generado al girar la curva = 3 3 y la recta y =2 .

Esta regin se muestra en la figura si un elemento del rea es perpendicular al

eje al eje y el elemento de volumen es un disco y determinar el volumen del

solido implica una integral de la forma 2

0pero para obtener debe

resolver la ecuacin cubica = 3 3 para x trminos de y lo cual es una

tarea muy laboriosa.

Este mtodo consiste en considerar los elementos rectangulares de rea

paralelos al eje de revolucin despus de girar el elemento de area alrededor

del eje de revolucin se obtiene una capa cilndrica

Con volumen = 22 1

2

Ejemplo

= 2

Regla general: El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0

Halle el volumen de un solido que se obtuba al girar la region limitada por la

curva = 22 2 en el eje x en los puntos 0 x 2.

Aplicamos la regla general

= 2

= 2 22 3 2

0

= 2 23 42

0

= 2 4

2 5

0

2

=16

5( )

El volumen del solido es 16

5( )

Ejemplo 2

La regin limitada por la curva = 2 el eje x y la recta x=2 se gira alrededor

del eje y. Calcule el volumen del solido generado .considere los elementos

paralelos

Grafica

= 2

= 2 22

0

= 2 32

0

= 2 1

44

0

2

= 8( )

Ejemplo 3 determine el volumen del solido de revolucin generado algirar

alrededor del eje y la regin limitada por la grafica de = 3 3el eje y y la

recta y=2

Grafica

Solucin

= 2

= 2 [2 ]1

0

= 2 [2 3 + 3]1

0

= 2 [2 32 + 4]1

0

= 2 2 3 5

5

0

1

=2

5( )

El volumen del solido es =2

5( )