calculo-de-limites-formas-indeterminadas.pdf
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Prof. Olinto R LpezEmail: [email protected]
g(#)f(#)
lim# x
!. . &i f(#) o g(#) sone#presiones de tipoe#ponencial se de"e aplicarun "uen cam"io de /aria"lepara transformar la e#presinen otra 0ue contenga soloe#presiones con logaritmos.
E%emplo
p1a
lim p
0 p
&i se sustitu$e p , se o"tiene la
indeterminacin de la forma .
&e puede aplicar el cam"io de /aria"le: )z1ln( p +=
z1a p = 01az 0 =
p1a
lim p
0 p
)z1ln(z
lim0z +
z)z1ln(
lim
1lim
0z
0z+
))z1(limln(
1
z1
0z+
1)eln(
1=
-. &i f(#) o g(#) sone#presiones trigonometricas,se de"en aplicar identidadestrigonometricas , para luegosimplificar.
1ota: se puede utilizar el
resultado:u
)u(senlim
0u !
E%emplo: )xcos(1)x(sen
lim
2
0x
&i se sustitu$e # , se o"tiene la
indeterminacin de la forma .
&e puede utilizar la identidad:
&en (#) !2cos (#) (!2cos(#))(!3 cos(#))
)xcos(1)x(sen
lim2
0x
)xcos(1
))xcos(1))(xcos(1(lim
0x
+
))xcos(1(lim 0x+
!3cos( ) !3!
Limite Forma indet. Casos Ejemplo!.! &i f(#) $ g(#) sone#presiones tipo polinomio,se di/ide cada uno de los
&i x , tanto el numerador tiende a4 por lo 0ue se o"tiene la indeterminacin
P gina de -
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g(#)f(#)
lim# x
t5rminos del numerador $denominador entre la /aria"leele/ada al ma$or e#ponente .&e utiliza el resultado:
;0
x
k lim
nx
=
si n 6
E%emplo : calcular el limite
2xx2
6x5x5lim
2
2
x
+
de la forma
22
2
22
2
x2
2
x
x
x
x
x2
x
x5
x
x5
lim2xx2
6x5x5lim
=
+
25
002005
x
2x1
2
x
6x5
5lim
2
2
2x=
+
+=
+
+
!. . &i f(#) g(#) sone#presiones con radicales seprocede igual 0ue en el casoanterior pero al di/idir elradical entre la /aria"leele/ado al ma$or e#ponente,se introduce esta ele/ada al7ndice del radical.E%emplo: *alcular el limite
z5z3z5z
z2zzzlim
24 8
23 6
z ++
+++
&i z , tanto el numerador tiende a4 por lo 0ue se o"tiene la indeterminacin
de la forma
En este caso el ma$or e#ponente para la/aria"le z es , $a 0ue :
24 823 6 zz;zz ==
1z5z3z5z
3z2zzzlim
24 8
23 6
z ++
+++
222
2
2
4 8
222
2
2
3 6
z
z
1
z
z5
z
z3
z
z5z
z
3
z
z2
z
z
z
zz
lim
++
+++
24
88
8
23
66
6
z
z
1z1
53z
z5
z
z
z
3z1
21z
z
z
z
lim
++
+++
24
7
23
5
z
z
1z5
3z
51
z
3z2
1z
11
lim++
+++
00301001014
3
++
+++
21
42
3111 ==
+
+
Limite FormaIndet.
Caso Ejemplo
!.! &i f(#) $ g(#) sone#presiones tipo fraccin, seprocede a restar la fraccioneslo cual nos conduce al caso
*omo 2x 0
1lim
x 4 , 4x 0
1lim
x48 se
o"tiene la indeterminacin .
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( )0x
lim (x ) ! " ( x
2
de la forma indeterminada
)(#)g(#g
(#)f (#)f
lim !!#
x
(#)(#)gf (#)f 2(#)(#)gf
lim !# x
E%emplo :
2 4x 0
1 1lim
x x
2 4x 0
1 1lim
x x
2
4x 0
x 1lim
x
*omo ( )2x 0
lim 1 x
9 ! 2!,4
x 0lim x
se o"tiene 0ue
2 4x 0
1 1lim
x x
2 4
!. . &i f(#) g(#) sone#presiones con radicales semultiplica $ di/ide por el factor
racionalizante de la e#presinE%emplo: *alcular el limite
( x3)2x)(1x(lim
x++
&i x , tanto el numerador tiende a 4por lo 0ue se o"tiene la indeterminacin dela forma 4 2 4
En este caso se multiplica $ di/ide por el factorracionalizante : x3)2x)(1x( +++
x3)2x)(1x(x)(1x(x3)2x)(1x(
limx +++
+++
x3)2x)(1x(x#)2x)(1x(
lim2
x +++
++
x3)2x)(1x(
x#2x3xlim
22
x +++
++
x3)2x)(1x(2x3x8lim
2
x +++
++
x3
)x
2
x
1)(
x
1
x
1(
x
2x3
8
lim
4343
2
x+++
++
2 4
Limite Forma indet. Caso Ejemplo
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( )0
"(x)
xlim (x)
x
1
&i .0x x
$im (x) ! 8
0x x$im "(x) 4
&e utiliza el resultado:
( )0
"(x)lim (x) x x
x x0lim "(x)[ (x)!1]
e
E%emplo : calcular el limite
2 x 512lim
x
x x
+
&i x , la "ase tiende a !8 $ ele#ponente tiende a 4 por lo 0ue se o"tiene laindeterminacin de la forma : 1 .
2 x 51
2lim
x
x x
+
=
x
x!1lim(2x!5)[ !1]x%2e
x
x!1!x!2lim (2x!5)[ ]
x%2e
x
!3lim (2x!5)[ ]
x%2e
x
!6x%15lim
x%2e
x
15!6%
xlim21%xe
6 0
1 0e +
+
6e
0
0
00
Estos casos ser n tratadoscon el eorema de L;