calculo de campos en un trafo por mef

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES

COORDINACIÓN DE TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ELÉCTRICA

CÁLCULO DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIAS EN

TRANSFORMADORES POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Por:

Sofía Claret Alvarado Vargas

PROYECTO DE GRADO

Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolívar

como requisito parcial para optar al título de

Ingeniero Electricista

Sartenejas, Junio de 2012

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES

COORDINACIÓN DE TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ELÉCTRICA

CÁLCULO DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIAS EN


Por:

Sofía Claret Alvarado Vargas

Realizado con la asesoría de:

Elmer Sorrentino

PROYECTO DE GRADO

Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolívar

como requisito parcial para optar al título de

Ingeniero Electricista

Sartenejas, Junio 2012

v

CÁLCULO DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIAS DE


1 RESUMEN

Realizado por: Sofía Claret Alvarado Vargas

En este trabajo se empleó un software comercial, basado en el método de los elementos

finitos, con el fin de calcular reactancias y campos magnéticos en transformadores de

potencia. Se realizaron simulaciones en dos dimensiones (2D) y tres dimensiones (3D),

con tanque y sin tanque, para diversos casos correspondientes a la medición de

impedancias de secuencia positiva y cero. Los resultados de la simulación de varios

transformadores fueron comparados con mediciones experimentales, y en algunos casos

se comparó con otras simulaciones 2D, realizadas con un algoritmo que utiliza el método

de las diferencias finitas. En la mayoría de los casos, los resultados fueron calculados con

análisis magnetostático. En los casos sin tanque, los resultados obtenidos con simulación

2D y 3D para la reactancia de secuencia positiva son muy similares a los medidos. En

algunos casos de reactancia de secuencia cero fue necesario realizar aproximaciones para

la simulación 2D con el fin de obtener un resultado similar al de la simulación 3D. Los

campos magnéticos obtenidos son similares a los calculados por el método 2D de las

diferencias finitas, pero son diferentes a los campos medidos. Las simulaciones 3D

arrojaron resultados satisfactorios para los cálculos de reactancias. Adicionalmente, se

realizaron simulaciones considerando las corrientes Eddy en el tanque y el resultado fue

comparado con mediciones experimentales. Sin embargo, en varios casos, los resultados

obtenidos para los campos magnéticos no son similares a los valores experimentales y

esto indica que aún debe dedicarse más tiempo al estudio de este tema en el futuro.

vi

2 AGRADECIMIENTOS

Le agradezco a Dios y a la virgen por guiarme por el buen camino y siempre cuidarme

en este difícil recorrido.

Gracias a mis padres Yanelis y Rommi, por ser los pilares de mi vida, ese ejemplo a

seguir. Gracias a ellos es que hoy completo esta meta, por su esfuerzo y apoyo

incondicional. A mi hermano Rommi A. quien siempre fue una motivación. A toda mi

familia, abuelos, tíos, primos por brindarme su apoyo, a todos ¡LOS AMO!

A la residencia Pariaguan por ser mi segundo hogar en estos años de estudio, Sra.

Bercelis y Sr. Oswaldo, gracias por abrirme las puertas de su hogar y hacerme parte de

su familia. Aquí conocí a grandes amigos que ya son como hermanos, gracias a todos por

compartir conmigo bellos momentos. A mi hermana Thais gracias a Dios por conocerte, a

los que junto a mí formábamos “los cuatro fantásticos”: Jesús, Fernando y Kevin. Son

muchos nombre e infinitos recuerdos: Karla, Kristian, Erika, Rowil, Reny, Andrea, José

L., Geraldine, Mafer, Miguel, Juancho, Ninoska, Rafa, Alba… ¡Los voy a extrañar!

Mi total agradecimiento a mis compañeros de carrera, más que compañeros son grandes

amigos, que me acompañaron en esas veladas de estudio, en las tristezas y las

celebraciones que vivimos con cada materia. Gracias mi querido Tony, Alexander “Keny”,

el gran Charles, Francisco O., Johansito, Edwin, Juan “el gocho” que tanto me ha hecho

reír, al gran Leandro, Eduardo, Antony, Julio C. y a dos personas muy especiales; a mi

gran compañero Pedro S. por soportarme en la realización de este trabajo y a mi amiga

incondicional Elianys Mayora realmente ha sido una bendición conocerte, desde los

vivenciales hasta la graduación, gracias por tanto apoyo ¡Te quiero amiga!

Le agradezco a esos profesores que fueron una gran influencia y motivación; a mi tutor

Prof. Elmer Sorrentino, Prof. Juan Carlos Rodríguez, Prof. José Vivas, Prof. Miguel

Martínez y como olvidar a los grandes técnicos del laboratorio de Maquinas y

Protecciones: Arnaldo y Evaristo.

Gracias a mis amigas que siempre han estado presente: Zoriant, Georyelis y Maria de

los ángeles, que hasta su hogar me brindaron por un tiempo. A mis amigos de la

vii

urbanización Jorge Luis y Grace, por escucharme siempre. Y no puedo dejar de agradecer

a esa persona especial que ha sido muy importante en mi vida, a Hugo Tovar, gracias por

todo lo que me has enseñado y por tener siempre fe en mí, que bueno que te cruzaste en

mi camino.

Para finalizar, son muchas las personas que me apoyaron que lamentablemente no pude

nombrar aquí, a todos muchísimas gracias por estar en este largo recorrido, están y

estarán siempre en mi corazón.

viii

ÍNDICE

1 RESUMEN ......................................................................................................................... v

2 AGRADECIMIENTOS ...................................................................................................... vi

3 INDICE DE FIGURAS .................................................................................................... xii

4 INDICE DE TABLAS ....................................................................................................... xv

5 LISTA DE SIMBOLOS .................................................................................................. xvii

6 LISTA DE ABREVIATURAS ......................................................................................... xix

7 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 1

8 CAPITULO I FUNDAMENTOS DE FLUJOS MAGNÉTICOS EN

TRANSFORMADORES ......................................................................................................... 4

1.1 Flujo Mutuo ............................................................................................................. 4

1.2 Flujo de Dispersión ................................................................................................. 6

1.3 Reactancia de Dispersión ........................................................................................ 7

2 CAPITULO II PRINCIPIOS DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS MAGNETOSTÁTICO ..................... 8

2.1 Magnetostática: Ecuaciones de Maxwell ............................................................... 8

2.2 Métodos para la Solución de Problemas de Magnetostática ............................... 10

2.2.1 Técnicas analíticas ......................................................................................... 10

2.2.2 Técnicas numéricas ........................................................................................ 10

2.3 Método de Elementos Finitos ............................................................................... 11

2.3.1 Método de Galerkin ........................................................................................ 11

2.3.2 Condición de Borde de Dirichlet – Potencial impuesto................................. 20

2.3.3 Ejemplo: Problema de magnetostática de dos dimensiones ......................... 21

3 CAPITULO III FUNDAMENTOS DEL SOFTWARE COMSOL MULTIPHYSISCS

PARA MODELAR Y SIMULAR PROBLEMAS DE MAGNETOSTÁTICA ....................... 25

3.1 Fuente .................................................................................................................... 26

ix

3.2 Modelo del Transformador.................................................................................... 26

3.2.1 Geometría ....................................................................................................... 26

3.2.2 Ecuaciones Diferenciales ............................................................................... 27

3.2.3 Condición de Borde ........................................................................................ 29

3.2.4 Propiedades de los materiales ....................................................................... 30

3.3 Discretización: Malla. ........................................................................................... 30

3.4 Post- Procesado ..................................................................................................... 31

3.5 Problema de magnetostática de dos dimensiones resuelto por COMSOL

Multiphysics. ...................................................................................................................... 31

3.5.1 Fuente ............................................................................................................. 31

3.5.2 Modelo ............................................................................................................. 31

3.5.3 Discretización: Malla ..................................................................................... 33

3.5.4 Post-Procesado ............................................................................................... 34

4 CAPITULO IV CÁLCULO DE REACTANCIAS DE SECUENCIA POSITIVA EN UN

TRANSFORMADOR TRIFÁSICO DE TRES COLUMNAS ............................................... 35

4.1 Características del Transformador ...................................................................... 35

4.1.1 Valores Nominales ......................................................................................... 35

4.1.2 Dimensiones geométricas .............................................................................. 37

4.2 Reactancia de dispersión de la ventana del transformador ................................ 38

4.3 Reactancia de dispersión para un corte a 90° de la ventana .............................. 41

4.4 Reactancia de dispersión para simulación 3D ..................................................... 43

4.5 Comparación de resultados .................................................................................. 44

4.6 Efecto de la distancia horizontal al tanque, en el corte 2D a 90° de la ventana 46

4.7 Efecto de la permeabilidad del tanque, para el corte 2D a 90° de la ventana .... 48

5 CAPITULO V CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIAS DE SECUENCIA CERO

PARA UN TRANSFORMADOR TRIFÁSICO DE TRES COLUMNAS SIN TANQUE .... 49

x

5.1 Características del transformador ....................................................................... 49

5.1.1 Valores nominales .......................................................................................... 49


5.2 Consideraciones para la simulación ..................................................................... 52

5.3 Efecto de la distancia a la frontera, en el corte 2D a 90° de la ventana ............. 53

5.3.1 Reactancia X12 de secuencia cero para pruebas de circuito abierto ............. 53

5.3.2 Reactancia X12 de secuencia cero para pruebas de cortocircuito .................. 54

5.4 Reactancia para simulación en 3D ....................................................................... 56

5.5 Aproximaciones para cálculos de reactancia de secuencia cero .......................... 59

5.6 Campos magnéticos de secuencia cero en el transformador de 5MVA sin tanque

............................................................................................................................... 60

5.6.1 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de circuito abierto ..... 61

5.6.2 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de cortocircuito. ........ 63

6 CAPITULO VI CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIA DE SECUENCIA CERO

PARA UN TRANSFORMADOR TRIFÁSICO DE TRES COLUMNAS CON TANQUE. . 65

6.1 Características del transformador ....................................................................... 66


6.2 Consideraciones para la simulación ..................................................................... 66

6.3 Análisis magnetostático ........................................................................................ 67

6.3.1 Reactancias ..................................................................................................... 67

6.3.2 Campos magnéticos de secuencia cero en el transformador de 5MVA con

tanque. ........................................................................................................................ 69

6.4 Análisis armónico temporal .................................................................................. 72

6.4.2 Campos magnéticos en simulaciones en 2D y 3D, considerando el efecto de

las corrientes de Eddy .................................................................................................... 72

9 CONCLUSIONES ............................................................................................................ 74

xi

10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 76

11 ANEXO A. REACTANCIA DE DISPERSIÓN PARA CORTE 2D A 90° DE LA

VENTANA: EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA HORIZONTAL AL TANQUE Y LA

PERMEABILIDAD RELATIVA. ......................................................................................... 78

A.1 Reactancia de dispersión para corte 2D a 90° de la ventana en función de la

distancia horizontal al tanque........................................................................................... 78

A.2 Reactancia de dispersión X12 para corte 2D a 90° de la ventana en función de la

distancia horizontal al tanque, variando la permeabilidad del tanque ........................... 79

12 ANEXO B. TABLAS DE RESULTADOS DE REACTANCIAS X12 Y CAMPOS

MAGNÉTICOS DEL TRANSFOMADOR TRIFÁSICO DE 5MVA SIN TANQUE. .......... 80

B.1 Reactancia X12 de secuencia cero para el corte 2D a 90° de la ventana del

transformador en función de la distancia a la frontera. .................................................. 80

B.2 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de circuito abierto ............... 81

B.3 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de cortocircuito .................... 82

B.4 Comparación de resultados de campos magnéticos calculados por DF Y MEF. .... 84

13 ANEXO C CAMPOS MAGNÉTICOS DEL TRANSFOMADOR TRIFÁSICO DE 5MVA

CON TANQUE. .................................................................................................................... 88

C.1 Campos magnéticos para simulaciones en 2D: Análisis magnetostático ............... 88

C.2 Campos magnéticos para simulaciones en 2D: Análisis armónico temporal ......... 91

C.3 Campos magnéticos para simulaciones en 3D: Análisis armónico temporal ......... 94

C.4 Densidades de corriente inducidas en el tanque del transformador ...................... 98

14 ANEXO D. ARTÍCULO ENVIADO AL COMITÉ ORGANIZADOR DEL 5TO

CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

(CIBELEC 2012). ................................................................................................................ 103

xii

3 INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Representación de flujo mutuo en un transformador [12] ................................ 4

Figura 1.2 Relaciones de fase entre el flujo y la tensión inducida [13] .............................. 5

Figura 1.3 Representación del flujo mutuo y de dispersión en un transformador [12] ..... 6

Figura 2.1 Elemento triangular de primer orden de una malla.[15] ................................ 12

Figura 2.2 Función de peso Wk y Wk+1[15] ......................................................................... 16

Figura 2.3 Suma de las funciones de peso para el elemento “n” [15] ............................... 16

Figura 2.4 Función en un elemento triangular [15] ..................................................... 18

Figura 2.5 a) Elementos triangulares separados. b) Elementos con potencial continuo y

nodos reenumerados. ............................................................................................................. 19

Figura 2.6 Condición de borde de Dirichlet [15]. ............................................................... 20

Figura 2.7 Ejemplo: malla de elementos finitos con 4 triángulos y sus coordenadas en

metros. [14] ............................................................................................................................ 21

Figura 3.1 Proceso de solución de ecuación diferencial utilizando COMSOL .................. 26

Figura 3.2 Magnetostática: Dirección de fuente (Jz) y variable dependientes (Az) en la

dirección z para la geometría 2D. [16] .................................................................................. 27

Figura 3.3 Geometría del problema de magnetostática de dos dimensiones ................... 32

Figura 3.4 Malla del problema de magnetostática. ........................................................... 33

Figura 3.5 Gráfico de superficie: Potencial magnético Az del problema de

magnetostática. ..................................................................................................................... 34

Figura 4.1 Diagrama de cálculos contenidos en el capítulo IV ......................................... 36

Figura 4.2 Dimensiones geométricas del transformador trifásico de 75 MVA ................ 38

Figura 4.3 Modos de simulación 2D considerando únicamente la ventana ..................... 39

Figura 4.4 Consideraciones para simular el corte 2D A 90° de la ventana ...................... 41

Figura 4.5 Variación de la reactancia HV-LV para el corte 2D a 90° de la ventana, en

función de la distancia horizontal al tanque ........................................................................ 46

Figura 4.6 Variación de la reactancia HV-TER para el corte 2D a 90° de la ventana, en


Figura 4.7 Variación de la reactancia LV-TER para el corte 2D a 90° de la ventana, en


xiii

Figura 4.8 Variación de X12 para el corte 2D a 90° de la ventana, en función de la

distancia, variando la permeabilidad del tanque ................................................................. 48

Figura 5.1 Diagrama de cálculos contenidos en el capítulo IV ......................................... 50

Figura 5.2 Dimensiones geométricas del transformador trifásico de 5 MVA .................. 52

Figura 5.3 Variación de X12 en función de la distancia a la frontera. Prueba:

Alimentación HV-LV circuito abierto ................................................................................... 53


Alimentación LV-HV circuito abierto ................................................................................... 54


Alimentación HV-LV cortocircuitado ................................................................................... 54


Alimentación LV-HV cortocircuitado ................................................................................... 55

Figura 5.7 Geometría 3D para la simulación del Transformador de 5MVA sin tanque.. 56

Figura 5.8 Distribución de la densidad de energía magnética en un corte transversal de

la parte activa del transformador. Prueba: Alimentación LV-HV abierto .......................... 58

Figura 5.9 Distribución de la densidad de energía magnética en un corte transversal de

la parte activa del transformador. Prueba: Alimentación LV-HV cortocircuito ................. 58

Figura 5.10 Áreas consideradas para la aproximación de la energía total almacenada en

el campo magnético ............................................................................................................... 59

Figura 5.11 Puntos de estimación de campos magnéticos ................................................ 61

Figura 5.12 Distribución de densidad de flujo magnético, componente axial Y y

componente radial X, respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV circuito abierto .... 62

Figura 5.13 Distribución de densidad de flujo magnético, axial Y y componente radial X,

respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV circuito abierto ........................................ 62

Figura 5.14 Distribución de densidad de flujo magnético, componente Y y X

respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV cortocircuito ............................................ 63


respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV cortocircuito ............................................ 64

Figura 6.1 Diagrama de cálculos contenidos en el capítulo VI ......................................... 65

Figura 6.2 Distancias entre parte activa y el tanque del transformador ......................... 66

Figura 6.3 Geometría 3D para la simulación del Transformador de 5MVA con tanque . 67

xiv

Figura 6.4 Puntos de estimación de campos magnéticos para transformador con tanque

................................................................................................................................................ 69

Figura 6.5 Distribución de densidad de flujo magnético, componente Y y X,

respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV abierto. .................................................... 70


respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV abierto. .................................................... 70


respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV cortocircuito. ........................................... 71


respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV cortocircuito. ........................................... 71

xv

4 INDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Coordenadas cartesianas de los nodos del problema 2.33 ................................ 22

Tabla 3.1 Propiedades eléctricas de los materiales ........................................................... 30

Tabla 3.2 Propiedades de los materiales del problema de magnetostática ...................... 33

Tabla 4.1 Valores Nominales del transformador trifásico de 75MVA .............................. 36

Tabla 4.2 Dimensiones del núcleo magnético del transformador trifásico de 75MVA .... 37

Tabla 4.3 Dimensiones de los devanados del transformador trifásico de 75MVA ........... 37

Tabla 4.4 Reactancia de dispersión para modo de simulación V1 .................................... 40

Tabla 4.5 Reactancias de dispersión para modo de simulación V2 .................................. 40

Tabla 4.6 Reactancias de dispersión para modo de simulación V3 .................................. 40

Tabla 4.7 Reactancias de dispersión para corte a 90° para devanados HV-LV ............... 42

Tabla 4.8 Reactancias de dispersión para corte a 90° para devanados HV-TER ............. 42

Tabla 4.9 Reactancias de dispersión para corte a 90° para devanados LV-TER ............. 42

Tabla 4.10 Promedio ponderado de reactancias de dispersión para todas las

combinaciones de devanados ................................................................................................ 43

Tabla 4.11 Reactancia de dispersión para simulación en 3D del transformador trifásico

de 75MVA .............................................................................................................................. 44

Tabla 4.12 Reactancias (%) medidas y calculadas del transformador trifásico de 75MVA

................................................................................................................................................ 44

Tabla 4.13 Errores porcentuales en los valores calculados de reactancias ...................... 45

Tabla 5.1 Valores Nominales del transformador trifásico de 5MVA ................................ 50

Tabla 5.2 Dimensiones requeridas del núcleo del transformador de 5MVA .................... 51

Tabla 5.3 Dimensiones requeridas de los devanados del transformador de 5MVA ......... 51

Tabla 5.4 Corrientes inyectadas en las pruebas de secuencia cero .................................. 52

Tabla 5.5 Comparación de resultados medidos con los simulados para el corte en 2D a

90° de la ventana. .................................................................................................................. 55

Tabla 5.6 Reactancias de secuencia cero para simulación en 3D ..................................... 57

Tabla 5.7 Comparación de resultados medidos con los simulados en 2D Y 3D. .............. 57

Tabla 5.8 Comparación de reactancias de dispersión de secuencia cero medidas y

simuladas ............................................................................................................................... 60

Tabla 6.1 Corrientes inyectadas en las pruebas de secuencia cero .................................. 67

xvi

Tabla 6.2 Comparación de resultados medidos con los simulados en 2D Y 3D. .............. 68

xvii

5 LISTA DE SIMBOLOS

ϕ Flujo magnético [Wb]

f Frecuencia [Hz]

ϕm Flujo mutuo [Wb]

ϕmp Valor pico del flujo mutuo [Wb]

w Velocidad angular [rad/s]

E Fuerza electromotriz inducida [V]

ϕL Flujo de dispersión [Wb]

H Intensidad del campo magnético [A/m]

I Intensidad de corriente Eléctrica [A]

Ni Numero de vueltas en el devanado i [vueltas]

V Voltaje [V]

R Resistencia [Ω]

X Reactancia [Ω]

J Densidad de corriente eléctrica [A/m2]

B Densidad de Flujo magnético [T]

µ Permeabilidad magnética del material [H/m]

µr Permeabilidad relativa

µ0 Permeabilidad del vacio [H/m]

A Potencial magnético [Wb/m]

W Función de peso

σ Conductividad eléctrica [S/m]

L Inductancia [H]

Etotal Energía total almacenada en el campo magnético [J]

xviii

d Distancia horizontal tanque-devanado [cm]

v Distancia vertical tanque-núcleo [cm]

xix

6 LISTA DE ABREVIATURAS

MEF Método de los elemento finitos

MDF Método de las diferencias finitas

FBT Formulas básicas Tradicionales

2D 2 Dimensiones

3D 3 Dimensiones

FEM Fuerza magnetomotriz

TRX Transformador

1

7 INTRODUCCIÓN

En este trabajo se presenta una aplicación del método de los elementos finitos (MEF)

para el cálculo de campos magnéticos y reactancias en transformadores de potencia. El

MEF es una de las técnicas numéricas que se puede utilizar para el cálculo de campos

magnéticos en máquinas eléctricas y, en general, dichas técnicas numéricas se basan en

obtener soluciones aproximadas para los valores de las magnitudes físicas que se pueden

describir con ecuaciones diferenciales, válidas en una determinada región. La idea básica

del MEF consiste en subdividir la región de estudio en pequeñas subregiones llamadas

elementos, los cuales son de tamaño finito. Cada elemento posee una ecuación diferencial

característica, a partir de la cual se plantea el conjunto de ecuaciones algebraicas

simultáneas que se debe resolver para la región. El método de los residuos ponderados es

una manera de resolver el conjunto de ecuaciones y está basado en minimizar el error,

ponderado, entre la solución aproximada y las ecuaciones diferenciales originales. El

método de Galerkin probablemente sea el más conocido de los métodos de los residuos

ponderados. Desde hace años hay una gran variedad de software para la simulación de

diverso tipo de problemas por el MEF. Gracias a esto y a la gran potencia de los

computadores actuales (velocidad de procesamiento y capacidad de memoria), en la

actualidad es posible resolver geometrías complejas, que además incluyan la interacción

de un gran número de ecuaciones. En el presente trabajo se empleó el software comercial

COMSOL Multhyphisics [1], que se basa en el MEF.

Los campos magnéticos en los transformadores de potencia determinan el valor de sus

reactancias, lo que constituye el objeto de estudio del presente trabajo. Además, los

campos magnéticos en los transformadores inducen corrientes parásitas en los elementos

metálicos por los que circulan (núcleo, devanados, elementos para soporte estructural,

tanque). En este trabajo se analizó el caso de las reactancias que se obtienen durante las

pruebas de determinación de impedancias de secuencia positiva y de secuencia cero. Para

ello, se realizaron simulaciones mediante el MEF, usando modelos en dos dimensiones

(2D) y en tres dimensiones (3D). Los resultados obtenidos fueron comprobados de dos

maneras: a) comparando mediciones de reactancia y campos magnéticos en

2

transformadores de potencia; b) comparando con las simulaciones realizadas

simultáneamente por el Bachiller Pedro Silva en otro trabajo de grado [2], en el que se

utiliza un programa basado en el método de las diferencias finitas (2D) en los mismos

ejemplos usados para el presente trabajo. Es necesario destacar que ambos trabajos de

grado han sido desarrollados para comprobar diversas ideas del tutor (Elmer Sorrentino),

relacionadas con su investigación doctoral. Desde esta perspectiva, puede notarse una

parte de la importancia del presente trabajo de grado.

Otra parte de la importancia del presente trabajo radica en el propio avance relacionado

con el conocimiento de los campos magnéticos en transformadores. Dicho conocimiento,

está relacionado con el diseño de los transformadores, en general, y además puede estar

relacionado con el cálculo de las pérdidas debidas al campo magnético de dispersión en los

transformadores.

La bibliografía sobre la aplicación del MEF para calcular campos magnéticos en

transformadores es muy extensa, pero el tema de reactancias de secuencia cero es

abarcado con profundidad en pocos libros; sin embargo, recientemente se ha presentado

una revisión y clasificación bibliográfica de 229 documentos [3], relacionados con las

reactancias de secuencia cero y pérdidas de potencias en el tanque de transformadores de

potencia, temas que están directamente vinculados con el cálculo de campos magnéticos.

Algunos ejemplos de la literatura sobre el tema son: a) L. Susnjic, Z. Haznadar y Z.

Valkovic [4] analizaron las pérdidas por flujos y corrientes parásitas en transformadores

de potencia trifásicos, utilizando una fuente de corriente, a partir del MEF-3D; b) M.

Hafner, M. Schöning, M. Antczak, A. Demenko, y K. Hameyer [5] proporcionan

información sobre la distribución de las líneas cerradas de los campos electromagnéticos

en 3D para un análisis cuasi-estático, y dicho resultado es contrastado con simulaciones

que aplican el MEF; c) R. Alcock, S. Holland y L. Haydock [6] muestran una propuesta

para calcular la impedancia de secuencia cero de transformadores de potencia, mediante

el MEF.

En la Universidad Simón Bolívar ha habido algunos trabajos relacionados con el cálculo

de campos magnéticos en máquinas eléctricas por el método de elementos finitos y es

posible destacar los siguientes: a) M. González y E. Alonso [7] crearon un modelo circuital

3

para régimen permanente de máquinas sincrónicas de imanes permanentes, el cual

permite incluir el efecto de la saturación del estator; b) C. Candela formuló un método de

diseño óptimo de transformadores de potencia [8] y de máquinas sincrónicas de imanes

permanentes de polos salientes [9], combinando la programación geométrica con el MEF,

con el fin de mejorar el cálculo de la reactancia de cortocircuito del transformador y el

torque de la máquina, respectivamente. Por otra parte, A. Pérez [10] usó el MEF para

determinar la capacidad amperimétrica y analizar los transitorios térmicos de cables, y R.

Díaz aplicó diversos métodos de optimización al diseño de equipos eléctricos mediante el

MEF [11].

4

8 CAPITULO I

FUNDAMENTOS DE FLUJOS MAGNÉTICOS EN TRANSFORMADORES

Un transformador trabaja según el principio de inducción electromagnética, según el

cual se induce una tensión en una bobina si existe un flujo que varía en el tiempo. En un

transformador hay dos tipos de flujo: el flujo mutuo y los flujos de dispersión. Este

capítulo ha sido desarrollado usando como base las referencias [12] y [13].

1.1 Flujo Mutuo

El flujo mutuo circula por el núcleo magnético y atraviesa ambos arrollados del

transformador. La figura 1.1 muestra un transformador monofásico que consta de dos

arrollados, separados en un núcleo magnético y unidos por un flujo mutuo .

El transformador está conectado en vacio a una fuente de tensión sinusoidal de

frecuencia f (Hz). En el arrollado primario se genera una pequeña corriente de excitación

i0 (instantánea) para establecer el flujo mutuo en el núcleo. Los arrollados 1 y 2 tienes

vueltas N1 Y N2 respectivamente, por lo tanto el valor instantáneo de la fuerza

electromotriz inducida en el arrollado 1 debida al flujo mutuo es

Figura 1.1 Representación de flujo mutuo en un transformador [12]

5

(1.1)

En la ecuación 1.1 se iguala la tensión entre terminales a la fuerza electromotriz

inducida, debido a que en un transformador de potencia que funcione en vacio, con

tensión normal y frecuencia normal, el valor eficaz de la caída óhmica en el devanado

excitado suele ser inferior al 0,1% de la tensión eficaz aplicada [13]. En tales condiciones

se desprecia la caída óhmica asumiendo cero la resistencia del devanado.

Si la forma de onda de la tensión aplicada es sinusoidal, la forma de onda del flujo será

casi sinusoidal. Por lo tanto el flujo mutuo es:

(1.2)

donde es el valor pico del flujo mutuo y rad/s. Sustituyendo en la

ecuación 1.1,

(1.3)

La tensión inducida adelanta al flujo en 90° como lo indica la figura 1.2 (a). Si se

representa la tensión y el flujo por los vectores E y , el diagrama vectorial será el de la

figura 1.2 (b)

Figura 1.2 Relaciones de fase entre el flujo y la tensión inducida [13]

La relación entre los valores máximos de la tensión y el flujo mutuo será:

(1.4)

6

El valor eficaz de la tensión generada se obtiene al dividir la ecuación 1.4 por ,

(1.5)

Esta ecuación es una de las relaciones más importantes de la teoría de todos los

aparatos electromagnéticos, mejor conocida como la ecuación de la FEM de un

transformador. Se puede afirmar que para un número determinado de vueltas y

frecuencia, el flujo mutuo en un núcleo está totalmente determinado por la tensión

aplicada.

1.2 Flujo de Dispersión

El flujo disperso a diferencia del flujo mutuo concatena solo a uno de los arrollados, ya

sea primario o secundario, como se muestra en la figura 1.3 en la que el flujo de

dispersión se denota como (flujo de dispersión del primario) y (flujo de dispersión

del secundario).

Si se aplica la ley de Ampere a la línea de flujo de dispersión del arrollado primario se

tiene:

(1.6)

Donde es el vector campo magnético del flujo de dispersión [A·vueltas/m], es la

distancia que recorre el campo magnético [m], el numero de espiras del arrollado

primario e la corriente medida en el primario [A].

Figura 1.3 Representación del flujo mutuo y de dispersión en un transformador [12]

7

De la ecuación 1.6 se deduce que el campo magnético que da origen al flujo de dispersión

se produce solo por los amper-vueltas del arrollado al cual está vinculado. Por tanto el

flujo de dispersión depende de la intensidad de la corriente que circula por el arrollado

correspondiente.

1.3 Reactancia de Dispersión

En un transformador existen dos tipos de flujo, el flujo mutuo y el flujo de dispersión. El

primero depende de la tensión aplicada mientras que el segundo depende de la corriente

aplicada en el arrollado. Cada uno de estos flujos producirá una FEM inducida, por lo

tanto, la tensión primaria del transformador de la figura 1.3, se puede expresar como:

(1.7)

Donde Y son las fuerzas electromotrices producidas por el flujo mutuo y de

dispersión primario, respectivamente. Como es proporcional al flujo de dispersión ,

el cual a su vez es proporcional a la corriente ; por lo tanto la fuerza electromotriz de

dispersión resulta prácticamente proporcional a la corriente que la está produciendo, y se

puede denotar como:

(1.8)

En la que el operador j se utiliza para tener en cuenta que la fuerza electromotriz

inducida adelanta 90° al flujo de dispersión y a la corriente que lo está produciendo, es

decir, están en cuadratura como se ve en la figura 1.2 (b). Debido a que éste caso es

similar a lo que ocurre en una reactancia inductiva, al coeficiente de proporcionalidad se

indica como XL1 y se le denomina reactancia de dispersión.

Sustituyendo la ecuación 1.8 en 1.7, se tiene:

(1.9)

8

2 CAPITULO II

PRINCIPIOS DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS MAGNETOSTÁTICO

El análisis magnetostático de los fenómenos que ocurren en un transformador,

desarrolla ecuaciones diferenciales que se resuelven mediante técnicas analíticas y

numéricas. Las limitaciones de las técnicas analíticas y el desarrollo de los programas

computarizados, ha facilitado el progreso de las técnicas numéricas. Dentro de estas

técnicas el método más popular para la solución de problemas de análisis magnetostático

es el método de los elementos Finitos (MEF), el cual tiene la capacidad de lidiar con

geometrías complejas y producir soluciones estables y precisas. Este capítulo ha sido

desarrollado a partir de las referencias [14] y [15].

2.1 Magnetostática: Ecuaciones de Maxwell

En un transformador los campos magnéticos son prácticamente constantes en el tiempo

[14], por lo que se aplica las dos ecuaciones de Maxwell en forma diferencial:

(2.1)

(2.2)

donde H es la intensidad del campo magnético, B en la densidad del flujo magnético y J

es la densidad de corriente eléctrica.

La relación que existe entre B y H es la siguiente:

(2.3)

donde es la permeabilidad del material magnético que puede ser expresada como:

(2.4)

9

donde es la permeabilidad del espacio libre, la permeabilidad relativa

del material, la reluctividad del material magnético y es la reluctividad relativa.

De acuerdo con la ecuación (2.2) y empleando el vector identidad, se tiene:

(2.5)

con esto se concluye que existe un vector potencial magnético A, tal que:

(2.6)

Despejando H de (2.3) y sustituyendo en (2.1) se obtiene:

(2.7)

La sustitución de (2.6) en (2.7) da la siguiente expresión:

(2.8)

A partir de la relación de cálculo vectorial se cumple que:

(2.9)

Por lo que la expresión (2.8) queda de la siguiente manera:

(2.10)

Suponiendo que y una permeabilidad contante , (2.10) se reduce a la

ecuación de Poisson:

(2.11)

Para problemas de Magnetostática en 2D, la magnitud de la densidad de flujo

magnético B, se calcula en función de sus coordenadas BX y BY, de la siguiente manera:

(2.12)

A partir de (2.6) se sabe que:

(2.13)

(2.14)

10

2.2 Métodos para la Solución de Problemas de Magnetostática

Las técnicas para el análisis de los campos electromagnéticos y la solución de los

problemas de Magnetostática se dividen en dos familias principales [14]:

Técnicas analíticas

Técnicas numéricas

2.2.1 Técnicas analíticas

Las técnicas analíticas incluyen los siguientes enfoques:

1. Método de separación de variables.

2. Método de la transformada de Laplace

3. Método de Rayleigh

4. Método de Ritz

Con éstas técnicas de análisis se puede encontrar la solución exacta del problema del

campo electromagnético, sin embargo estos métodos solo pueden ser aplicados a

problemas de geometría simple.

2.2.2 Técnicas numéricas

Gracias al avance de la tecnología, se ha facilitado el desarrollo de las técnicas

numéricas para la solución de problemas de campo electromagnético y de magnetostática,

dentro de estas técnicas los métodos más importantes son los siguientes:

1. Método de elementos finitos.

2. Método de diferencia finita.

3. Método de elementos de frontera.

4. Circuito magnético equivalente.

Entre las técnicas numéricas, el método más popular para la solución de los problemas

de magnetostática es el método de elementos finitos, que será el tema a desarrollar en el

resto de éste capítulo.

11

2.3 Método de Elementos Finitos

El método de elementos finitos (MEF) es la técnica numérica utilizada por muchas

disciplinas para resolver ecuaciones diferenciales, por ejemplo, el electromagnetismo,

magnetostática, mecánica estructural, conducción térmica, dinámica de fluidos y acústica.

La idea básica del método consiste en tomar un problema complicado y dividirlo en una

serie de sub-problemas más sencillos que formen un sistema de ecuaciones lineales de

fácil solución. En otras palabras, el problema tiene que ser discretizado en un conjunto de

sub-problemas.

En general, según [15], el MEF se asocia con métodos variacionales o métodos

residuales. En el primer caso, el procedimiento numérico se realiza partiendo de una

función de prueba, hasta llegar a una función lo más próxima posible a la solución exacta

del sistema. Para cada problema esta función de prueba debe ser definida, pero en

algunos casos la búsqueda de ésta función puede ser una tarea difícil. Por el contrario, los

métodos residuales se relacionan directamente con la ecuación física que tiene que ser

resuelta. Es una ventaja considerable, ya que es relativamente sencillo, fácil de entender

y de aplicar. Y ciertamente es la razón por la cual en la actualidad la mayoría de los

trabajos que emplean el MEF lo desarrollan mediante métodos residuales.

El método Galerkin es uno de los métodos residuales utilizados ampliamente en

electromagnetismo. Ésta formulación en particular es fácil de poner en práctica y

normalmente proporciona resultados precisos y exactos. Por ésta razón se decidió

presentar en éste trabajo exclusivamente el método de Galerkin.

2.3.1 Método de Galerkin

Para describir el método de elementos finitos de forma breve, sólo se desarrollara los

conceptos básicos del método de Galerkin, empleando la ecuación (2.11) que describe los

problemas de magnetostática en aplicaciones 2D.

12

2.3.1.1 Triángulo de primer orden

En el MEF, el dominio de la solución se divide o discretiza en pequeñas regiones

llamadas elementos finitos. En aplicaciones 2D, el dominio puede ser discretizado en

triángulos o rectángulos. En este desarrollo se toma el triángulo por ser la forma

geométrica más básica. Los puntos que definen el triangulo se le llaman nodos, mientras

que el triángulo es el elemento. El conjunto de elementos se denomina malla.

En la figura 2.1 se muestra el triángulo con las coordenadas cartesianas de sus nodos.

Debido a que es un elemento de primer orden el potencial varía linealmente dentro del

triángulo. Por lo que el potencial magnético se escribe:

(2.15)

Esta relación se aplica a cada nodo del elemento de la figura 2.1, y se obtiene el

siguiente sistema de ecuaciones:

(2.15.a)

(2.15.b)

(2.15.c)

A partir de estas ecuaciones se determinan los valores de , y , mediante el cálculo

de los determinantes:

(2.16)

Figura 2.1 Elemento triangular de primer orden de una malla.[15]

13

Sustituyendo los valores de , , y en la ecuación (2.15) se tiene que el vector

potencial magnético es:

Simplificando la ecuación (2.17) se obtiene la expresión:

Donde

mientras que el resto de los términos , , , , y se obtiene por permutación

cíclica de los índices.

La ecuación (2.18) también puede ser escrita de la siguiente manera:

Donde

A éstas funciones se le suelen llamar “función de forma”. Un punto interesante de

resaltar con respecto a ésta función, es que si verificamos en la ecuación (2.18), se cumple

que:

(2.17)

14

Así, por ejemplo . Lo que quiere decir que tiene su

valor máximo en el nodo 1 y varia linealmente de 1 a cero desde el nodo 1 hasta el 2

respectivamente y lo mismo sucede entre el nodo 1 y el 3.

2.3.1.2 Aplicación del Método Residual

Hay que distinguir entre la solución exacta del problema “ ” y la solución que arroja el

método del elemento finito “ ”.

Como solución exacta, se tiene la ecuación (2.11):

Sin embargo, la solución que se obtiene utilizando el MEF es una aproximación y difiere

de la solución exacta. Para éste caso, en la ecuación (2.11) se genera un residuo:

Por lo tanto, se establece un proceso numérico en el que es necesario forzar el valor de R

a cero, utilizando la siguiente operación:

donde W es la “función de peso” y Ω representa el dominio en el cual la condición es

forzada. Sustituyendo (2.22) en la ecuación (2.23) se tiene que:

Sea W una función escalar y una función vectorial, y sabiendo que

, se cumple que:

Para una mejor comprensión, la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente

forma:

15

Integrando ambos lados de la ecuación:

Aplicando el teorema de la divergencia en el primer termino del lado derecho de la

ecuación (2.25):

Donde S(Ω) es la superficie encerrada en el dominio Ω. La ecuación (2.23) queda

expresada de la siguiente manera:

Ésta ecuación es comúnmente llamada formulación de “forma débil”, ya que si se

observa, la ecuación (2.23) está compuesta por derivadas de segundo orden, mientras que

la ecuación (2.26) solo posee derivadas de primer orden, lo que resulta un orden de

derivación más “débil”, el cual es sencillo de manejar por las técnicas numéricas.

La ecuación del método residual de peso (2.23), se puede relacionar con el concepto de

discretización:

donde Wk es la función de peso para cada nodo k, K es el número total de nodos, y Ωk es

el dominio parcial al que pertenece el nodo k.

La forma de la función de peso se observa en la figura 2.2, la cual presenta un elemento

en 1D, con el propósito de hacer una explicación sencilla del comportamiento de dicha

función, en un segmento de línea “n” delimitado por dos nodos.

16

Las funciones de peso Wk y Wk+1 corresponden a los nodos k y k+1 respectivamente.

Como se nota en la figura la función Wk es más fuerte en el nodo k donde vale 1 y decrece

hasta llegar a cero en los nodos adyacentes. De la misma forma se comporta la función

Wk+1 en el nodo k+1.

En la figura 2.3 se evalúa la suma de las funciones de peso en el elemento. Se puede

observar que las funciones Wk y Wk+1, en el elemento “n” son idénticas a las funciones

y (definidas en las ecuaciones (2.21.a-c)) si se equivale al nodo 1 con el nodo k

y el nodo 2 con el nodo k+1. Por lo tanto, se puede emplear la función como la función

de peso.

Figura 2.2 Función de peso Wk y Wk+1[15]

Figura 2.3 Suma de las funciones de peso para el elemento “n” [15]

17

2.3.1.3 Aplicación del método del elemento finito y solución.

Al tener las ecuaciones básicas planteadas y la función de peso distinguida, se procese a

aplicar el MEF para obtener la respectiva solución. La integral sobre Ω en la ecuación

(2.26) para el dominio discretizado se escribe:

Donde n representa un elemento y N el número total de elementos en la solución. Luego

recordando y desarrollando la ecuación (2.18) se tiene:

A partir de ésta, el es:

Utilizando las ecuaciones (2.21 a-c) se obtiene:

Puesto que las ecuaciones (2.31) y (2.32) son constantes, el primer término de (2.30) se

convierte para el nodo 1 en:

y, notando que la integral sobre es el área de un elemento n, la cual equivale a D/2,

se obtiene la siguiente matriz:

18

Extendiendo la integral a los nodos n=2 y n=3, se presenta la matriz elemental:

La unión de las matrices elementales creara una matriz global cuyos términos

corresponden al número de nodos de la malla global. Hay que recordar que la matriz

elemental (2.33) representa la formulación para la solución del problema en un solo

elemento triangular de la malla que posee N elementos.

Ahora, se evalúa el segundo término de (2.30)

Como se explicó anteriormente, cada función vale 1 en el nodo i y decrece a cero en

los demás nodos del elemento. Por ejemplo, vale 1 en el nodo 1 y cero en los nodos 2 y

3. Como se muestra en la figura 2.4

La evaluación de la integral (2.34) corresponde a calcular el volumen de una pirámide

cuya altura es h=1. A partir de

, se presenta el siguiente resultado:

Realizando los mismos cálculos en los demás nodos, se obtiene:

Figura 2.4 Función en un elemento triangular [15]

19

Éste es llamado el “término fuente” ya que no depende de los potenciales desconocidos.

El término se anexa al lado derecho de la matriz elemental (2.33) para formar el sistema

matricial:

Con este sistema matricial, se calcula aproximadamente los tres valores de potencial

asociados a cada triángulo, pero cuando existe una malla compuesta por un conjunto de

triángulos, es necesario examinar cómo se cumple con la continuidad cuando se añade un

elemento triangular a un conjunto ya existente. Se supondrá que el conjunto ya existente

es el triangulo 1-2-3 de la figura (2.5.a) y que se le añadirá el triangulo 4-5-6. El

potencial, en la figura (2.5.b) será continuo si se exige que los potenciales en los nodos 1 y

6 sean exactamente iguales, de forma similar en los nodos 2 y 4. Ahora se pasa de tener

dos matrices elementales de tres potenciales cada una, a una matriz global de cuatro

potenciales que ensambla los dos elementos y muestra todos los estados posibles de dicha

pareja de triángulos.

Figura 2.5 a) Elementos triangulares separados. b) Elementos con potencial

continuo y nodos reenumerados.

20

La matriz S representa la matriz global de coeficientes ensamblados de la figura (2.5.b),

así:

S11+S66 S12+S64 S13 S65

S = S21+S46 S22+S44 S23 S45

S31 S32 S33 0

S56 S54 0 S55

2.3.2 Condición de Borde de Dirichlet – Potencial impuesto

La condición de borde está relacionada con el primer término del lado derecho de la

ecuación (2.26), el cual es:

En éste caso se considera la posibilidad de una configuración física en que los

potenciales en la frontera de S son conocidos. Cuando se escriben las ecuaciones para las

incógnitas en los nodos de la malla, las funciones de peso Wk sólo son necesarias en los

nodos internos de la malla. En los nodos del borde de Dirichlet las funciones de peso son

iguales a cero (Figura 2.6)

Esta condición supone que la ecuación (2.36) se cumple.

Figura 2.6 Condición de borde de Dirichlet [15].

21

2.3.3 Ejemplo: Problema de magnetostática de dos dimensiones

El siguiente problema fue tomado de [14] y resuelto siguiendo la formulación antes

planteada. Como se observa en la figura 2.7 la malla de dos dimensiones del problema

está compuesta por 4 elementos. En los triángulos 2 y 4 existe una densidad de corriente

de Jz = 0,9 x 106 A/m2, con una permeabilidad relativa µr=1. En los triángulos 1 y 3 no se

inyecta corriente Jz=0, mientras que su permeabilidad relativa es µr=1000. Las

condiciones de borde son tales que el potencial magnético en los nodos 1 y 2 es cero. Se

calcula el potencial magnético en los nodos 3, 4 y 5.

Figura 2.7 Ejemplo: malla de elementos finitos con 4 triángulos y sus coordenadas en

metros. [14]

22

Solución:

Tabla 2.1 Coordenadas cartesianas de los nodos del problema 2.33

Elemento

(nodos)

x1 x2 x3 y1 y2 y3 q1 q2 q3 r1 r2 r3

1 (215) 0 0 0,625 2,5 0 1,25 -1.25 -1,25 2,5 0,625 -0,625 0

2 (325) 1,25 0 0,625 2,5 2,5 1,25 1,25 -1,25 0 0,625 0,625 -1,25

3 (435) 1,25 1,25 0,625 0 2,5 1,25 1,25 1,25 -2,5 -0,625 0,625 0

4 (145) 0 1,25 0,625 0 0 1,25 -1,25 1,25 0 -0,625 -0,625 1,25

Ya con los términos de las ecuaciones 2.19 definidos, se procede a crear las matrices de

cada elemento.

Matriz elemental (2.33) de cada elemento finito:

Para elemento 1 (2-1-5), D = 1,5625 y µr = 1000



23


Se ensamblan las matrices elementales para obtener la matriz global del sistema lineal:

Donde los subíndices representan los nodos de los elementos, propios en la diagonal

principal y los comunes en el resto de la matriz. Los superíndices subrayados identifican

la matriz elemental de la que proviene cada valor.

Así, la matriz global es la siguiente:

0,625625 0,000375 0 -0,375 -0,251 0,000375 0,625625 -0,375 0 -0,251

0 -0,375 0,625625 0,000375 -0,251 -0,375 0 0,000375 0,625625 -0,251

-0,251 -0,251 -0,251 -0,251 1,004

S111+S114

S121 0 S144 S151+S154

S211

S221+S222 S233 0 S251+S252

0

S322 S332+S333 S343 S352+S353

S144

0 S433 S443+S444 S453+S454

S511+S514

S521+S522 S532+S533 S543+S544 S551+S552+S553

+S554

24

Anexando el término fuente (2.35) y recordando que por las condiciones de borde A1= 0 y

A2= 0, se tiene:

0,625625 0,000375 0 -0,375 -0,251 0

J1 0,000375 0,625625 -0,375 0 -0,251 0

J2

0 -0,375 0,625625 0,000375 -0,251 A3

J3

-0,375 0 0,000375 0,625625 -0,251 A4

J4 -0,251 -0,251 -0,251 -0,251 1,004 A5

J5

Simplificando, se obtiene el sistema lineal a resolver:

Donde y ya que el nodo 5 es común para los dos elementos que

poseen densidad de corriente, entonces

Así se tiene la solución:

25

3 CAPITULO III

FUNDAMENTOS DEL SOFTWARE COMSOL MULTIPHYSISCS PARA MODELAR Y

SIMULAR PROBLEMAS DE MAGNETOSTÁTICA

COMSOL Multiphysics [16] es una herramienta interactiva para la modelación y

solución de problemas científicos y de ingeniería basada en ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales aplicando el método de los elementos finitos. Este capítulo ha sido

desarrollado usando como base la referencia [16].

En su configuración básica, COMSOL ofrece módulos de modelación y análisis para

diferentes áreas de aplicación. Estos módulos emplean terminologías y métodos de

solución específicos para la disciplina en particular, lo que simplifica la creación y el

análisis de los modelos. COMSOL 3.5a ofrece los siguientes módulos:

Módulo AC/DC

Módulo de Acústica

Módulo de Ingeniería Química

Módulo de Ciencias de la Tierra

Módulo de transferencia de Calor

Módulo de RF

En el capitulo anterior se mostró la forma matemática de solucionar la ecuación

diferencial (2.11) aplicando el MEF. La figura 3.1 muestra el proceso se solución de dicha

ecuación, empleando el módulo AC/DC. Este módulo es una herramienta para el análisis

detallado de bobinas, condensadores y máquinas eléctricas, simuladas en 2D y 3D.

26

Figura 3.1 Proceso de solución de ecuación diferencial utilizando COMSOL

3.1 Fuente

Para el modelo del transformador el dato de entrada es la densidad de corriente externa

inyectada, la cual se calcula de la siguiente forma:

(3.1)

Donde I es la corriente inyectada en el devanado, Nv es el número de vueltas del

devanado y AreaT es el área del corte transversal del devanado.

3.2 Modelo del Transformador

En las siguientes secciones se muestran los principales parámetros que hay que definir

y especificar, así como las condiciones de frontera para obtener la distribución de

potencial magnético en el modelo de estudio.

3.2.1 Geometría

Los problemas que se resuelven en COMSOL son en su mayoría de tres dimensiones

(3D) en el mundo real. El MEF permite analizar estos problemas que poseen geometrías

complejas, pero el aumento de la complejidad de un modelo para que sea más preciso, por

lo general, genera un mayor costo computacional, ya que la cantidad de memoria

requerida para completar la solución sería muy grande para un modelo de transformador

de potencia. El aumento de los elementos en el reticulado equivale a un incremento en el

Fuente

1. Geometría

2. Ecuación Diferencial

3. Condición de Borde

4. Propiedades de los

materiales

Modelo del Transformador

Discretización

MALLA Solución AZ

(post-

procesado)

27

tiempo de resolución del problema, por lo que en muchos casos, es suficiente con resolver

un problema bidimensional (2D) que sea cercano al problema real, o aplicar una serie de

simplificaciones válidas con el fin de reducir el modelo 3D.

Hay que destacar que en la geometría existen diversos materiales, cada uno de ellos con

distintas propiedades que se representan en regiones independientes, llamadas

subdominios.

3.2.2 Ecuaciones Diferenciales

Para especificar las ecuaciones diferenciales y las variables dependientes que se desean

resolver, es necesario elegir el tipo de análisis. Los tipos de análisis disponibles son:

estático y cuasi-estático, éste último se divide en transitorio y armónico temporal. Todos

los análisis mencionados se emplean para estudios eléctricos y magnéticos, a fines de este

trabajo sólo se estudiara la aplicación magnética.

3.2.2.1 Magnetostática

Este modo de aplicación se utiliza para analizar el campo magnético producido por una

corriente continua. Para las geometrías en 2D se simulan materiales conductores y

magnéticos con corrientes eléctricas que fluyen perpendiculares al plano y cuya variable

dependiente es el vector potencial AZ (Figura 3.2).

Figura 3.2 Magnetostática: Dirección de fuente (Jz) y variable dependientes

(Az) en la dirección z para la geometría 2D. [16]

28

La ecuación diferencial a resolver en magnetostática es la siguiente:

(3.2)

ez es el vector unitario en la dirección z. El término representa el

movimiento de la corriente externa generada , con una velocidad

constante en un campo magnético estático . De forma similar el término

representa la corriente generada , por un campo eléctrico estático .

Asumiendo que y se simplifica la ecuación 3.1 y se tiene:

(3.3)

Aplicando la relación de cálculo vectorial y suponiendo que

se llega de nuevo a la ecuación diferencial (2.11):

(3.4)

Para la geometría 3D se emplea la ecuación 3.4 para resolver el problema pero en éste

caso la variable dependiente A se presentan en sus tres coordenadas espaciales Ax, Ay, y

Az, al igual que se deben definir las tres coordenadas de la corriente externa Jex, Je

y y Jez.

3.2.2.2 Cuasi-Estático Magnético

Cuando en el problema se presentan variaciones lentas en el tiempo, éste es cuasi-

estático. Lo que significa que toda la geometría sólo debe ser una fracción de la longitud

de la onda. En la simulación en 2D, la geometría es igual a la del estudio magnetostático

(Figura 3.2) y siguen compartiendo la misma variable dependiente Az. Los tipos de

análisis disponibles para el modo de aplicación cuasi-estático son el transitorio y amónico

temporal.

3.2.2.2.1 Análisis Transitorio

La ecuación diferencial a resolver con el análisis transitorio magnético es:

29

(3.5)

3.2.2.2.2 Análisis Armónico Temporal

La ecuación diferencial a resolver con el análisis armónico temporal magnético es:

(3,6)

3.2.3 Condición de Borde

Para emplear el método de los elementos finitos es necesario definir los límites en los

que se conoce o no, el potencial magnético. Como la geometría real del problema no se

encuentra acotada, es necesario agregar una frontera que limite la región de solución.

Esta frontera se coloca a una distancia radial del arreglo que se estudia, alrededor de 5 a

6 veces el tamaño del objeto estudiado [10].

La condición de borde que se utiliza para la geometría 2D; en la que las corrientes

eléctricas y la variable dependiente Az son perpendiculares al plano, es la siguiente:

(3.7)

Esta condición establece el potencial magnético a cero en la frontera.

En el caso que se tienen geometrías 3D, la condición de borde es:

(3.8)

En este caso se establece que la componente tangencial del potencial magnético es igual

a cero.

Normalmente estas condiciones se aplican a los límites que confinan una región

circundante de aire. Ambas condiciones, que poseen el mismo propósito pero en diferentes

espacios, son llamadas aislamiento magnético por COMSOL.

30

3.2.4 Propiedades de los materiales

Si las propiedades de los materiales no cambian con la variación del campo magnético,

se habla de un problema lineal. En caso contrario, se presenta un problema no lineal. Los

materiales ferromagnéticos presentan histéresis y no linealidad, pero debido a que éste es

un modelo simplificado, se asume que todos los materiales que componen el

transformador, son lineales y además isotrópicos, es decir, sus propiedades son idénticas

en todas las direcciones.

Las propiedades eléctricas de los materiales utilizados fueron tomadas de la “librería de

materiales” ofrecida por el programa. Estas propiedades se muestran en la tabla 31.

Tabla 3.1 Propiedades eléctricas de los materiales

Material Permeabilidad relativa µr Conductividad Eléctrica σ [S/m]

Cobre 1 5.998e7

Hierro 4000 1.12e7

La permeabilidad absoluta del aire es igual a y cero

conductividad eléctrica.

3.3 Discretización: Malla.

Como se dijo en el capitulo anterior, la malla es un conjunto de elementos. Estos

elementos para la geometría 2D, están representados por triángulos. Mientras que para

el caso 3D, la malla es conformada por tetraedros.

Existen muchas técnicas para crear la malla en la geometría del modelo, en éste trabajo

se utilizo el Mallado Libre, el cual está disponible en todas las dimensiones del espacio y

para todo tipo de geometría. Esta técnica crea automáticamente una malla no

estructurada.

A cada subdominio se le aplico un tamaño de malla predefinido, los cuales se dividen en:

extra fina, más fina, fina, normal, gruesa, más gruesa, extra gruesa y extremadamente

gruesa. Se aplica el tamaño de malla más adecuado según sea el caso.

31

3.4 Post- Procesado

Una vez encontrada la solución a la ecuación 3.4, 3.5 o 3.6, se calcula la densidad de

flujos magnéticos, campos magnéticos, energía almacenada en el campo magnético, entre

otros. Dichas cantidades son expuestas en diferentes tipos de gráficos, que ayudan a

visualizar el comportamiento del modelo. También es necesario integrar subdominios, la

cual es una función del programa, para obtener flujos totales, inductancias, etc.

3.5 Problema de magnetostática de dos dimensiones resuelto por COMSOL

Multiphysics.

Para hacer una pequeña demostración de todo lo antes planteado, se simuló el problema

de análisis magnetostático de dos dimensiones resuelto en el capítulo anterior, con el

programa de cálculo. Siguiendo paso a paso el proceso de solución de la ecuación

diferencial (Figura 3.1) se obtuvo los siguientes resultados.

3.5.1 Fuente

La densidad de corriente externa inyectada en los triángulos 2 y 4, es Jz = 0,9 x 106

A/m2. Para los triángulos 1 y 3 corresponden Jz = 0 A/m2.

3.5.2 Modelo

A partir del problema se especifica lo siguiente:

3.5.2.1 Geometría

Se simula una geometría de dos dimensiones, donde cada triangulo representa un

subdominio. La figura 3.3 muestra los cuatros triángulos identificados como T1, T2,T3 y

T4.

32

3.5.2.2 Ecuaciones diferenciales

Para obtener la solución del problema de magnetostática se empleó un tipo de análisis

estático. Seleccionando materiales conductores y magnéticos con corrientes eléctricas que

fluyen perpendiculares al plano.

3.5.2.3 Condiciones de borde

Como lo especifica el problema, en los nodos 1 y 2 cuyas coordenadas son (0,0) y (0,1.25)

m respectivamente, se impone un potencial Az= 0 y el potencial en los nodos restantes son

las incógnitas del problema.

3.5.2.4 Propiedades de los materiales

Se trabaja con materiales lineales e isotrópicos. Y cuyas permeabilidades magnéticas se

observan en la tabla 3.2

Figura 3.3 Geometría del problema de magnetostática de dos dimensiones

33

Tabla 3.2 Propiedades de los materiales del problema de magnetostática

Subdominio Permeabilidad magnética

relativa µr

T1 1000

T2 1

T3 1000

T4 1

3.5.3 Discretización: Malla

La malla se creó a partir de un conjunto de elementos triangulares. Se utilizó un

tamaño de malla predefinida extremadamente grueso, ya que por estar comparando con

un ejemplo básico, no es necesario obtener tanta precisión. Es importante destacar que se

intentó realizar con el programa una malla que sólo estuviera conformada por los cuatro

elemento triangulares que presenta el problema, pero se observó que los elementos no se

pueden colocar perfectamente situados, otra razón para seleccionar el mallado

extremadamente grande. La malla consiste de 18 elementos (Figura 3.4).

Figura 3.4 Malla del problema de magnetostática.

34

3.5.4 Post-Procesado

El grafico de superficie (Figura 3.5) muestra el potencial magnético perpendicular al

plano a lo largo de toda el área de estudio. De forma explícita se observa la solución del

problema, cuyas incógnitas eran los potenciales magnéticos en los nodos 3,4 y 5.

[Wb/m]

Los valores se asemejan mucho al caso calculado por el planteamiento básico, pero para

los resultados obtenidos con el programa poseen más precisión.

Figura 3.5 Gráfico de superficie: Potencial magnético Az del problema de

magnetostática.

35

4 CAPITULO IV

CÁLCULO DE REACTANCIAS DE SECUENCIA POSITIVA EN UN TRANSFORMADOR

TRIFÁSICO DE TRES COLUMNAS

En este capítulo se exponen los resultados de las reactancias en secuencia positiva de

un transformador trifásico de tres columnas de 75MVA, a partir de simulaciones

magnetostáticas en 2D, que describen diferentes cortes transversales del transformador.

El primero es un corte en la ventana del transformador, en esta simulación se calculan

las reactancias para diferentes alturas de la ventana y devanados. El segundo es un corte

a 90° de la ventana del transformador, donde se observa la influencia del tanque en el

cálculo de la reactancia, al variar su permeabilidad relativa y su tamaño. También se

realiza una simulación en 3D para calcular las reactancias del transformador de 75MVA,

dichos resultados se comparan con los obtenidos en la simulación en 2D utilizando el

MEF y con los resultados empleando del MDF [2]. Otro punto de comparación son

mediciones experimentales suministradas por una empresa española, quien brindó los

datos reales del transformador y las mediciones de las reactancias de secuencia positiva

para cada par de devanados. La Figura 4.1 muestra en resumen los cálculos que se

realizan a lo largo del capítulo.

4.1 Características del Transformador

En este caso de estudio se muestra un transformador trifásico de 3 columnas de 75MVA,

de tres devanados, los cuales se encuentra situados en cada columna de forma

concéntrica.

4.1.1 Valores Nominales

Las magnitudes nominales del transformador se encuentran en la tabla 4.1

36

Tabla 4.1 Valores Nominales del transformador trifásico de 75MVA

Transformador Trifásico 75MVA

Potencia nominal [MVA] 75/75/25

Voltaje nominal [kV] 220/71/10

Conexión YNyn

Frecuencia [Hz] 50

Figura 4.1 Diagrama de cálculos contenidos en el capítulo IV

37

4.1.2 Dimensiones geométricas

Las dimensiones del núcleo magnético se presentan en la tabla 4.2 y la de los devanados

en la tabla 4.3

Tabla 4.2 Dimensiones del núcleo magnético del transformador trifásico de 75MVA

Dimensiones del Núcleo magnético

Altura del yugo A [mm] 680

Altura de la ventana B [mm] 2190

Ancho de columnas C [mm] 680

Distancia entre columnas D [mm] 1632

Tabla 4.3 Dimensiones de los devanados del transformador trifásico de 75MVA

Devanados Primario

HV

Secundario

LV

Terciario

TER

Diámetro interno E [mm] 1161 863 727

Grosor F [mm] 137 79 44

Distancia al yugo superior G [mm] 205 170 140

Distancia al yugo inferior H [mm] 125 90 60

Altura I [mm] 1860 1930 1990

La figura 4.2 muestra las dimensiones reflejadas en un corte transversal del

transformador.

38

Figura 4.2 Dimensiones geométricas del transformador trifásico de 75 MVA

4.2 Reactancia de dispersión de la ventana del transformador

En la figura 4.3 se muestran los modos en que se considero sólo la ventana del

transformador:

Modo V1: La altura de la ventana y los devanados son iguales a Hr (altura corregida por

el factor de rogowski) [12], ésta es una formulación básica para calcular las reactancias de

los transformadores. (Figura 4.3.a)

Modo V2: Se promedia la altura de los devanados Hm la cual será distinta a la altura de

la ventana Hw. (Figura 4.3.b)

Modo V3: Altura reales de ventana y devanados. (Figura 4.3.c)

Cabe destacar que se considera sólo dos devanados a la vez, por lo tanto se simulan las

tres combinaciones posibles: reactancia considerando los devanados primario- secundario

X12, primario-terciario X13 y secundarios-terciario X23.

39

Figura 4.3 Modos de simulación 2D considerando únicamente la ventana

El valor de las reactancias se obtiene a partir del valor de la energía magnética total en

el campo magnético:

(4.1)

(4.2)

Para obtener la energía total en el campo magnético fue necesario integrar en el

volumen considerado a la energía por unidad de volumen. El modo más conveniente

encontrado para ello en el caso 2D, fue tomar el valor de energía magnética que indica el

software para una región del espacio y realizar una integral de revolución asumiendo

simetría cilíndrica. Esto implicó la subdivisión del espacio 2D en subregiones de pequeño

espesor en el eje x (que tienen el mismo radio para la integral de revolución), con el fin de

maximizar la precisión del cálculo. En el caso 3D es mucho más sencillo pues el software

proporciona directamente el valor total de la energía magnética en el volumen. El

software también posee la opción de considerar simetría axial para el caso 2D, pero no fue

40

posible obtener resultados confiables con dicha opción durante el desarrollo del presente

trabajo.

Las siguientes tablas muestran los resultados obtenidos de las simulaciones para todas

las combinaciones posibles de los devanados y para cada modo de ventana.

Tabla 4.4 Reactancia de dispersión para modo de simulación V1

Combinación Etotal [J] %X

HV-LV (12) 5716,53 14,41

HV-TER (13) 8405,30 21,19

LV-TER (23) 1990,22 5,02

Tabla 4.5 Reactancias de dispersión para modo de simulación V2


HV-LV (12) 5609,01 14,14

HV-TER (13) 8342,18 21,04

LV-TER (23) 1970,36 4,97

Tabla 4.6 Reactancias de dispersión para modo de simulación V3


HV-LV (12) 5606,63 14,14

HV-TER (13) 8405,30 21,19

LV-TER (23) 1969,97 4,97

41

4.3 Reactancia de dispersión para un corte a 90° de la ventana

Se realizó un corte a 90° de la ventana, conservando la altura real de los devanados y

colocando las distancias laterales al tanque iguales entre sí (Figura 4.4.a) para obtener

un eje de simetría en el medio del núcleo. En la realidad las distancias al tanque (Si)

tienden a ser distintas hacia cada lado de la parte activa (Figura 4.4.b), por ello se calculó

una promedio ponderado de las reactancias, considerando todas las distancias al tanque

(S1, S2, S3 y S4) y el número de columnas.

(4.3)

(4.4)

Donde:

XSi: Reactancia calculada para el corte a 90°, con la distancia Si.

XPN: Reactancia promedio para los cortes a 90°.

XV3: Reactancia calculada para la ventana, con alturas reales de devanados y ventana

(modo V3).

XPT: Reactancia promedio total, considerando la ventana (modo V3) y los cortes a 90°.

b) Corte a 90° de la ventana a) Distancias horizontales reales al tanque

Figura 4.4 Consideraciones para simular el corte 2D A 90° de la ventana

42

Las distancias al tanque son: v1 =1cm; v2 =15cm; S1 =20cm; S2 =45cm; S3 =30cm;

S4=100cm. Las distancias horizontales al tanque corresponden al devanado externo

analizado (alta tensión). Para este caso se simularon las láminas del tanque con un

espesor de 10mm. Las siguientes tablas muestran los resultados de las reactancias para

todas las combinaciones de los devanados.

Tabla 4.7 Reactancias de dispersión para corte a 90° para devanados HV-LV

Si [cm] Etotal %X12

20 5518,32 13,92

30 5489,41 13,84

45 5464,95 13.78

100 5437,52 13,71

Tabla 4.8 Reactancias de dispersión para corte a 90° para devanados HV-TER

Si [cm] Etotal [J] %X13

20 8206,41 20,69

30 8161,51 20,58

45 8123,98 20,49

100 8080,67 20,38

Tabla 4.9 Reactancias de dispersión para corte a 90° para devanados LV-TER

Si [cm] Etotal [J] %X23

20 1992,15 5,02

43

30 1990,32 5,018

45 1988,78 5,014

100 1987,01 5,01

Sustituyendo estos resultados en las ecuaciones (4.3) y (4.4), se tienen las reactancias

promedio XPN para el corte de 90° y la reactancia promedio total XPT considerando la

ventana en la siguiente tabla:

Tabla 4.10 Promedio ponderado de reactancias de dispersión para todas las

combinaciones de devanados

Reactancias HV-LV HV-TER LV-TER

XPN 13,83 20,56 5,018

XPT 13,93 20,77 5,002

4.4 Reactancia de dispersión para simulación 3D

Para esta simulación se realizó un modelo a escala del transformador trifásico de 75

MVA, considerando las mismas distancias reales al tanque utilizadas para el corte a 90°

de la ventana. Los resultados se calcularon con una permeabilidad relativa del núcleo y

del tanque igual a infinito. Se colocaron tres corrientes desfasadas 120°, en un instante de

tiempo y tomando como referencia la fase A, las corrientes inyectadas fueron:

(4.5)

44

Para calcular la reactancia fue necesario tomar en cuenta las tres corrientes prescritas,

por lo tanto, para la simulación en 3D:

(4.6)

La tabla 4.11 muestra los resultados obtenidos para las tres combinaciones de

devanados.

Tabla 4.11 Reactancia de dispersión para simulación en 3D del transformador trifásico

de 75MVA

Combinación Etotal %X

HV-LV (12) 8238,87 13,85

HV-TER (13) 12268,71 20,63

LV-TER (23) 2290,03 4,91

4.5 Comparación de resultados

La tabla 4.12 resume los valores de reactancia medidos y calculados, por las formulas

básicas tradicionales (FBT) [9] y el método de diferencia finita (MDF) y la tabla 4.13

indica los errores del MEF con respecto a los valores medidos.

Tabla 4.12 Reactancias (%) medidas y calculadas del transformador trifásico de 75MVA

Medida FBT

MDF MEF-2D

3D

V1 V2 V3 XPN XPT V1 V2 V3 XPN XPT

X12 13,99 14,40 14,38 14,10 14,11 13,78 13,89 14,41 14,14 14,14 13,83 13,93 13,85

X13 20,81 21,10 21,17 21,04 21,10 20,29 20,56 21,19 21,04 20,99 20,56 20,77 20,63

X23 4,93 5,00 5,03 4,96 4,99 4,97 4,97 5,02 4,97 4,97 5,02 5,00 4,91

45

Tabla 4.13 Errores porcentuales en los valores calculados de reactancias

MEF-2D

3D

V1 V2 V3 XPN XPT

X12 2,9 1,1 1,1 -1,2 -0,4 -1,0

X13 1,8 1,1 0,9 -1,2 -0,2 -0,9

X23 1,8 0,8 0,7 1,8 1,4 -0,4

Los resultados obtenidos por el MEF-2D para el modo V1 se asemejan a los resultados

de las FBT, pero son los que poseen mayor error con respecto a los valores medidos. Esto

se debe a que para la simulación del modo V1 se tomaron una serie de consideraciones

utilizadas por las FBT. Los valores obtenidos para el modo V2 y V3, son muy similares

entre sí, por lo que simular la altura promedio o real de los devanados no tiene un efecto

significativo en los resultados. Para V2 y V3, el mayor error con respecto al valor medido

fue de 1.1%. Los errores para la reactancia promedio son moderados (menores al 2%), con

respecto a los valores medidos, sin embargo el modo V3, tiende a parecerse más a dichos

valores. Al tomas en cuenta tanto V3 como XPN, los resultados son satisfactorios para un

modelo 2D ya que el error en XPT es menor al 1.5% con respecto a las mediciones. La

diferencia máxima entre los valores obtenidos en 3D y el promedio ponderado en 2D

(XPT), es de 1.8%, lo que implica que aplicar promedio ponderados en 2D arroja

resultados muy similares a la simulación 3D. Con respecto a los valores medidos en caso

3D mostró un error máximo de 1%. Se observa que entre los resultados del MDF y MEF-

2D, existe una diferencia mínima.

46

4.6 Efecto de la distancia horizontal al tanque, en el corte 2D a 90° de la ventana

Para este caso se estudió la variación de la reactancia conforme se alejaba el tanque a

una distancia horizontal “d”, dejando fija la distancia vertical y usando una

permeabilidad relativa del núcleo y del tanque igual a infinito. Las siguientes figuras

muestran las reactancias calculadas para las tres combinaciones de devanados en función

de la distancia horizontal al tanque, los valores de las reactancias para cada distancia se

encuentran reflejados en el ANEXO A.1.

Puede apreciarse en las tres combinaciones de devanados (Figura 4.5, 4.6 y 4.7), que la

reactancia se parece al valor calculado de los modos de ventana cuando la distancia en

muy pequeña y que todos tienden a disminuir levemente al incrementar la distancia.

Hasta llegar a una distancia (d=100cm), en la que comienza a establecerse el resultados,

es decir, deja de variar.

Figura 4.5 Variación de la reactancia HV-LV para el corte 2D a 90° de la ventana, en

función de la distancia horizontal al tanque

13,65

13,70

13,75

13,80

13,85

13,90

13,95

14,00

14,05

14,10

10 100 1000

%X

12

d (cm)

47

Figura 4.6 Variación de la reactancia HV-TER para el corte 2D a 90° de la ventana, en


Figura 4.7 Variación de la reactancia LV-TER para el corte 2D a 90° de la ventana, en


20,30

20,40

20,50

20,60

20,70

20,80

20,90

21,00

10 100 1000

%X

13

d (cm)

5,01

5,01

5,02

5,02

5,03

5,03

5,04

10 100 1000

%X

23

d(cm)

48

4.7 Efecto de la permeabilidad del tanque, para el corte 2D a 90° de la ventana

En esta sección se muestra la reactancia HV-LV calculada en función de la distancia

horizontal al tanque, usando una permeabilidad relativa del núcleo igual a infinito y

variando la permeabilidad relativa del tanque (µr) a tres valores: infinito, 200 y cero

(ANEXO A.2).

La figura 4.8 muestra que al usarse un µr=200, hay una variación muy leve en la

magnitud de las reactancias calculadas (µr=∞), por lo tanto no es un efecto significativo

en los resultados. Para el caso en el que la permeabilidad relativa es cero, teóricamente se

tiene un tanque apantallado, en el que no penetran los campos magnéticos. Los

resultados varían con respecto a las reactancias calculadas, pero no drásticamente, esto

se debe a que el núcleo se simuló con un µr= ∞, actuando como camino de retorno de los

campos magnéticos.

Figura 4.8 Variación de X12 para el corte 2D a 90° de la ventana, en función de la

distancia, variando la permeabilidad del tanque

013

013

013

013

014

014

014

014

014

014

014

10 100 1000

%X

12

d (cm)

%X12_miu_inf vs d

%X12_miu_200 vs d

%X12_miu_0 vs d

49

5 CAPITULO V

CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIAS DE SECUENCIA CERO PARA UN

TRANSFORMADOR TRIFÁSICO DE TRES COLUMNAS SIN TANQUE

En este capítulo de presentan los resultados obtenidos de campos magnéticos y

reactancias de secuencia cero a partir de simulaciones magnetostáticas de un

transformador trifásico de tres columnas de 5MVA sin tanque, sólo se toma en cuenta la

parte activa. La Figura 5.1 muestra que la simulación en 2D será un corte a 90° de la

ventana del transformador, donde se estudiara la influencia de la distancia a la frontera

sobre la reactancia, para luego calcular los campos magnéticos. Para la simulación en 3D,

se calculan las reactancias de secuencia cero con los datos reales del trasformador y

dejando una distancia a la frontera fija. Se comparan los resultados en 2D y 3D, y de ser

necesario se realizan aproximaciones para que sean semejantes.

Los resultados se comparan con mediciones experimentales [17] realizadas en la

empresa CAIVET, fabricantes de transformadores en Venezuela. Gracias a su

colaboración se logró medir reactancias y campos magnéticos de secuencia cero.

5.1 Características del transformador

En este caso de estudio se muestra un transformador trifásico de tres columnas de 5

MVA, cuyos devanados se encuentran situados en cada columna de forma concéntrica.

Siendo los devanados de baja tensión lo mas internos y los de alta tensión los devanados

externo. En los devanados de alta tensión se encuentran los cambiadores de toma de

hasta .

5.1.1 Valores nominales

Las magnitudes nominales del transformador se encuentran en la tabla 5.1

50

Tabla 5.1 Valores Nominales del transformador trifásico de 5MVA

Transformador Trifásico 75MVA

Potencia nominal [MVA] 5

Voltaje nominal Alta Tensión[kV] 34,5

Voltaje nominal baja Tensión[kV] 13,8

Conexión YNyn

Frecuencia [Hz] 60

Figura 5.1 Diagrama de cálculos contenidos en el capítulo IV

51


Las dimensiones requeridas para el núcleo magnético se indican en la tabla 5.2 y las de

los devanados en la tabla 5.3.

Tabla 5.2 Dimensiones requeridas del núcleo del transformador de 5MVA

Dimensiones del Núcleo magnético

Altura del yugo A

Altura de la ventana B

Ancho de columnas C

Distancia entre columnas D

Tabla 5.3 Dimensiones requeridas de los devanados del transformador de 5MVA

Devanados Primario

HV

Secundario

LV

Diámetro interno E

Grosor F F

Distancia al yugo superior G G

Distancia al yugo inferior H H

Altura I I

Altura de la zona de TAP. Posición nominal K K

Distancia vertical entre comienzo de devanado y

el inicio de la zona del TAP L

L

52

La figura 5.2 muestra las dimensiones reflejadas en un corte transversal del

transformador.

5.2 Consideraciones para la simulación

Se realizó un corte a 90° de la ventana para todos los casos, el núcleo se simuló con

permeabilidad infinita y se definió como condición de borde Az= 0.

Las cuatro pruebas experimentales de secuencia cero con las cuales se contrastará el

resultado se realizaron con las siguientes corrientes por devanados:

Tabla 5.4 Corrientes inyectadas en las pruebas de secuencia cero

PRUEBA I HV [A] I LV [A]

Alimentación HV

LV circuito abierto 7,23 0,00

LV cortocircuitada 31,04 70,23

Alimentación LV

HV circuito abierto 0,00 16,30

HV cortocircuitada 26,56 66,40

Figura 5.2 Dimensiones geométricas del transformador trifásico de 5 MVA

53

5.3 Efecto de la distancia a la frontera, en el corte 2D a 90° de la ventana

Ya que para estas simulaciones no hay tanque, es importante verificar la distancia que

existe entre los devanados y la frontera para que la condición de borde no afecte los

resultados. Por ello, en esta sección se calcula la reactancia de dispersión para cada

prueba variando la distancia entre la frontera y los devanados, hasta llegar a un valor de

distancia en que se establezca la reactancia. En todos los casos las distancias verticales y

horizontales a la frontera se consideran iguales. Los resultados de las reactancias para

cada prueba se encuentran especificados en el ANEXO B.1

5.3.1 Reactancia X12 de secuencia cero para pruebas de circuito abierto

En las pruebas de secuencia cero en circuito abierto, tanto para LV abierto (Figura 5.3)

como para HV abierto (Figura 5.4), hay una variación significante de los resultados de

reactancia al ir aumentado la frontera d (donde se fija la condición de borde), es a partir

de d=10m de distancia que comienza a establecerse el resultado.

120

125

130

135

140

145

0 2 4 6 8 10 12

%X

12

d frontera (m)


Alimentación HV-LV circuito abierto

54

5.3.2 Reactancia X12 de secuencia cero para pruebas de cortocircuito

Como se observa en la Figura 5.5, cuando el devanado de baja tensión LV se encuentra

cortocircuitado los resultados de la reactancia varían levemente al aumentar la frontera,

a partir de d=8m se establece por completo. Por su parte, con HV cortocircuitado (Figura

5.6.) se tiene que la distancia a la frontera no tiene ninguna influencia sobre los

resultados.

125

130

135

140

145

150

0 2 4 6 8 10 12

%X

12

d frontera (m)


Alimentación LV-HV circuito abierto


Alimentación HV-LV cortocircuitado

6

6,5

7

7,5

8

0 2 4 6 8 10 12

%X

12

d frontera (m)

55

Se toman como finales los resultados ya establecidos (Tabla 5.5) y son comparados con

los resultados de reactancia medidos. La simulación arroja valores con 130% de error con

respecto a los obtenidos experimentalmente para las pruebas de circuito abierto, mientras

que para las pruebas de cortocircuito las diferencias entre valores medidos de reactancia

y valores simulados, son más modestas, pero sigue existiendo un error máximo de 10%.

Tabla 5.5 Comparación de resultados medidos con los simulados para el corte en 2D a

90° de la ventana.

PRUEBAS %X12 MEDIDO MEF

Alim. HV-LV abierto 59,12 141,32

Alim. LV-HV abierto 65,57 144,52

Alim. HV-LV CC 6,38 7,06

Alim. LV-HV CC 6,88 6,69


Alimentación LV-HV cortocircuitado

6

6,5

7

7,5

8

0 2 4 6 8 10 12

%X

12

d frontera (m)

56

5.4 Reactancia para simulación en 3D

Ya que los resultados en el apartado anterior no se asemejan a los medidos

experimentalmente, se procedió a calcular las reactancias para una geometría en 3D

(Figura 5.7), dejando una distancia a la frontera de 5m, que.se supuso que no afecta tanto

la respuesta y que no aumenta excesivamente el tiempo de solución. Las corrientes

expuestas en la tabla 5.4 se inyectaron en los devanados simulados.

La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos para las cuatro pruebas de

secuencia cero:

Figura 5.7 Geometría 3D para la simulación del Transformador

de 5MVA sin tanque

57

Tabla 5.6 Reactancias de secuencia cero para simulación en 3D

PRUEBA %X12

Alimentación HV

LV circuito abierto 72,02

LV cortocircuitada 6,21

Alimentación LV

HV circuito abierto 78,57

HV cortocircuitada 6,77

Tabla 5.7 Comparación de resultados medidos con los simulados en 2D Y 3D.

PRUEBAS %X12 MEDIDO MEF-2D MEF-3D

Alim. HV-LV abierto 59,12 141,32 72,02

Alim. LV-HV abierto 65,57 144,52 78,57

Alim. HV-LV CC 6,38 7,06 6,21

Alim. LV-HV CC 6,88 6,69 6,77

La simulación en 3D muestra resultados más coherentes, pero aún con errores de hasta

22% con respecto a los medidos, para los casos de circuito abierto y en los casos de

devanados cortocircuitados, el error máximo es no mayor a 3%. Ante la ausencia de una

explicación satisfactoria con respecto a la diferencia entre los resultados de las

mediciones y de la simulación en 3D, se procedió a tomar los resultados de la simulación

en 3D como punto de referencia para ubicar una manera de obtener resultados

razonables con las simulaciones en 2D, ya que el nivel de detalle usado para describir la

geometría de los transformadores es similar en ambos casos. La importancia de obtener

resultados en 2D que se asemejen a los resultados en 3D está en la mayor sencillez de las

simulaciones en 2D.

Los resultados en 2D de circuito abierto presentan un error de 96% con respecto a los

valores en 3D y para devanados en cortocircuito el error máximo es de 14%. Estos errores

se deben a las simplificaciones impuestas en la simulación, donde sólo se está tomando en

58

cuenta el comportamiento magnético de una sola columna. Al realizar un corte

transversal de la parte activa del transformador en la simulación en 3D, se observa que

en las pruebas de circuito abierto (Figura 5.8) la densidad de energía magnética se

distribuye de forma desigual en cada fase, mientras que en las pruebas de cortocircuito la

densidad de energía se concentra en los devanados y el canal entre devanados (Figura

5.9), por esta razón los errores entre la simulación 2D y 3D son muy elevados, para

obtener un resultado satisfactorio es necesario realizar una formulación que aproxime la

energía almacenada en el campo magnético considerando las tres columnas.

Figura 5.8 Distribución de la densidad de energía magnética en un corte transversal

de la parte activa del transformador. Prueba: Alimentación LV-HV abierto

Figura 5.9 Distribución de la densidad de energía magnética en un corte transversal

de la parte activa del transformador. Prueba: Alimentación LV-HV cortocircuito

59

5.5 Aproximaciones para cálculos de reactancia de secuencia cero

En el estudio del modelo en 3D se observó que para las pruebas de secuencia cero en

vacio, la energía almacenada en el campo magnético no se concentra entre los devanados,

como sucede en las pruebas de secuencia positiva, sino que se distribuye de forma

desigual. En la simulación en 2D no se están tomando en cuenta las tres columnas del

transformador, por lo tanto, en conjunto con el tutor (Elmer Sorrentino) y el tesista que

trabajó paralelamente con el método las diferencias finitas (Pedro Silva, [2]), se

desarrolló una expresión aproximada para calcular la reactancia de secuencia cero, a

partir de un corte2D, a 90º de la ventana. El objetivo de esta aproximación es obtener un

valor similar al que se obtiene mediante simulación 3D (obtenida por el método de

elementos finitos), y se basa en una expresión aproximada para la energía total

almacenada en el espacio que rodea a la parte activa del transformador (Figura 5.10).

(5.1)

Donde:

Ed: es la energía almacenada en un corte 2D a 90° de la ventana para un radio igual a

la distancia de la frontera. (En este caso se utilizó 10 m)

Erext: es la energía total almacenada en un corte 2D a 90° de la ventana para un radio

igual a la mitad de la distancia entre columnas.

α: Ángulo de aproximación

β: 180°-α

Figura 5.10 Áreas consideradas para la aproximación de la energía total almacenada

en el campo magnético

60

Ya que para este caso se están tomando en cuenta las tres columnas, es necesario

incluir las tres corrientes de los devanados, ahora:

(5.2)

Aplicando la ecuación (5.1) para un ángulo de aproximación α=57° se obtienen los

siguientes resultados:

Tabla 5.8 Comparación de reactancias de dispersión de secuencia cero medidas y

simuladas

PRUEBA %X12 MEDIDO %X12 MEF-2D %X12 MEF-3D %X12aprox

Alim. HV-LV abierto 59,12 141,32 72,02 72,65

Alim. LV-HV abierto 65,57 144,52 78,57 78,04

Alim. HV-LV CC 6,38 7,06 6,21 6,20

Alim. LV-HV CC 6,88 6,69 6,77 6,63

Los valores de reactancia aproximados para las pruebas de secuencia cero en circuito

abierto, presentan un error menor al 1% con respecto a los resultados en 3D. Por su parte

para las pruebas en cortocircuito el error máximo es de 2%. La aproximación realizada

muestra resultados satisfactorios, al ser semejantes a los resultados obtenidos en la

simulación en 3D.

5.6 Campos magnéticos de secuencia cero en el transformador de 5MVA sin tanque

Para las mismas simulaciones del cálculo de las reactancias de dispersión para el corte

2D a 90° de la ventana, se tomaron en 12 puntos específicos el valor de la densidad de

flujo magnético (B) en el transformador trifásico de 5MVA. Los puntos se ven reflejados

en la figura 5.11, donde los primeros tres puntos están pegados al devanado primario y se

61

van alejando de tres en tres, a 5cm, 10cm y 20cm. La densidad de flujo se medirá tanto

para el eje axial, como para el eje radial y los resultados serán expuestos en [mT].

Figura 5.11 Puntos de estimación de campos magnéticos

Ya que se observó que para 10 metros la condición de borde no altera los resultados, los

valores a continuación se darán para esa distancia de frontera.

5.6.1 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de circuito abierto

Las Figuras 5.12 y 5.13 muestran que para las pruebas en secuencia cero de circuito

abierto, la densidad de flujo magnético axial (componente Y) es más intensa en el núcleo

ferromagnético y se dispersa en el resto del espacio. Los flujos radiales (Componente X) se

esparcen en dirección contrario con respecto al eje de simetría, saliendo por la parte

62

superior de los devanados y volviendo por el núcleo. Por lo tanto se intensifican en la

parte superior e inferior de los devanados.

Figura 5.12 Distribución de densidad de flujo magnético, componente axial Y y

componente radial X, respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV circuito

abierto

Figura 5.13 Distribución de densidad de flujo magnético, axial Y y componente

radial X, respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV circuito abierto

63

5.6.2 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de cortocircuito.

Las Figuras 5.14 y 5.15 muestran como la densidad de flujo magnético axial

(componente Y) es más intensa entre los devanados para las pruebas de cortocircuito. En

el caso en que LV está cortocircuitado (Figura 5.14), éste funciona como apantallamiento

del núcleo al no permitir un mayor ingreso de flujo magnético en el mismo, mientras que

para HV cortocircuitado (Figura 5.15), los flujos magnéticos en el aire son apantallados y

tienden a cerrar su camino por el núcleo. La Figura 5.12 afirma que cuando HV esta

cortocircuitado, una mayor parte del flujo radial entra al núcleo y una menor parte sale

hacia el espacio.


respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV cortocircuito

64

Al comparar todos los resultados de la simulación de campos magnéticos a diferentes

distancias del devanado HV, con los medidos en las pruebas experimentales (ANEXO B),

se observa de manera general que no se asemejan. Para calcular el error porcentual

promedio, se promediaron los valores absolutos de los errores porcentuales, pero sin

incluir los valores que corresponden a resultados de simulación cuyas magnitudes sean

muy pequeñas (menor a 0,1 mT). Las pruebas de secuencia cero en donde se energiza el

transformador por el devanado de baja tensión, presentan un error porcentual promedio

mayor a los casos en que la alimentación es por el devanado de alta tensión, es decir, que

para este caso existe menor diferencia entre la magnitud los campos magnéticos medidos

y simulados. Entre todas las pruebas realizadas, en la prueba de vacio alimentando por

HV (ANEXO B.2), es donde existe menor diferencia entre los valores medidos y

simulares, mientras que en la prueba de corto alimentando por LV (ANEXO B.3),

presenta las mayores diferencias.

Se realizó una comparación con los resultados obtenidos por el MDF [2] para los campos

magnéticos en las pruebas de secuencia cero sin tanque y se observó que son muy

semejantes a los obtenidos por el MEF (ANEXO B.4). Para realizar esta comparación fue

necesario que la simulación fuese con una distancia de 2m a la frontera, debido a

limitaciones en el manejo de memoria por el MDF.


respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV cortocircuito

65

6 CAPITULO VI

CAMPOS MAGNÉTICOS Y REACTANCIA DE SECUENCIA CERO PARA UN

TRANSFORMADOR TRIFÁSICO DE TRES COLUMNAS CON TANQUE.

Después de haber estudiado el comportamiento del transformador trifásico de 5MVA sin

tanque, se analizó el efecto del tanque sobre las reactancias y los campos magnéticos

(Figura 6.1). Al comienzo de este capítulo se realiza un análisis magnetostático y luego un

“análisis armónico temporal”. El análisis armónico temporal implica la inclusión de la

ecuación diferencial que permite conocer la influencia de las corrientes de Eddy y se

realiza a una frecuencia específica.

Figura 6.1 Diagrama de cálculos contenidos en el capítulo VI

66

6.1 Características del transformador

El transformador en estudio es el descrito en el capítulo anterior, donde se especificó la

geometría de su parte activa, a continuación se muestran las dimensiones geométricas del

tanque a simular.


Los valores requeridos son las dimensiones básicas del tanque (figura 6.2), asumiendo

que su forma es de paralelepípedo, y el espesor de las láminas de hierro del tanque.

6.2 Consideraciones para la simulación

En la simulación en 2D (Figura 6.2) se realizó un corte a 90° de la ventana para todos

los casos, donde el núcleo se simuló con permeabilidad infinita y el tanque con

permeabilidad relativa 200, se definió como condición de borde Az= 0, colocando una

distancia a la frontera de 5m, ya que en el caso del transformador con tanque los

resultados se estabilizan a fronteras más cercanas, sin embargo se dejo una distancia

considerable. Para la simulación en 3D (Figura 6.3) se aplicaron las mismas

consideraciones de permeabilidad, la frontera se colocó a 2m del tanque, con la condición

de borde Axn=0. Tanto para la simulación en 2D como 3D se colocaron las distancias

verticales entre parte activa y tanque (v1=4cm y v2=60,2cm) y se dejaron todas las

distancias horizontales en d=20cm.

Figura 6.2 Distancias entre parte activa y el tanque del transformador

67

Las cuatro pruebas experimentales de secuencia cero con las cuales se contrastará el

resultado se realizaron con las siguientes corrientes por devanados:

Tabla 6.1 Corrientes inyectadas en las pruebas de secuencia cero

PRUEBA I HV [A] I LV [A]

Alimentación HV

LV circuito abierto 4,15 0,00

LV cortocircuitada 31,22 69,33

Alimentación LV

HV circuito abierto 0,00 9,21

HV cortocircuitada 26,68 66,7

6.3 Análisis magnetostático

6.3.1 Reactancias

Teniendo como entrada las corrientes de la Tabla 6.1 se obtuvo los resultados de las

cuatro pruebas de secuencia cero de las simulaciones en 2D y 3D, los cuales se muestran

en la Tabla 6.2 y se comparan con los valores medidos experimentalmente.

Figura 6.3 Geometría 3D para la simulación del Transformador de 5MVA con

tanque

68

Tabla 6.2 Comparación de resultados medidos con los simulados en 2D Y 3D.

PRUEBAS %X12 MEDIDO MEF-2D MEF-3D

Alim. HV-LV abierto 50,2 146,20 118,48

Alim. LV-HV abierto 56,99 149,58 124,82

Alim. HV-LV CC 6,20 7,43 6,68

Alim. LV-HV CC 6,83 6,69 6,74

Los resultados obtenidos para la simulación en 2D y 3D difieren con los valores

medidos. Para las pruebas de secuencia cero con circuito abierto el MEF-2D presenta un

error máximo de 190% con respecto al valor medido, mientras que el MEF-3D muestra un

error de 136%.

Al comparar los resultados de las simulaciones en 3D con tanque (Tabla 6.2) y sin

tanque (Tabla 5.6) se observa lo siguiente:

a) En la prueba de con LV abierto, la impedancia del caso con tanque aumenta un

65% con respecto al caso sin tanque,

b) Para el caso HV abierto, el aumento es de 59%,

c) Para el caso LV en cortocircuito, el aumento es de 8%,

d) Para el caso HV en cortocircuito, la diferencia es sólo de 0,5%.

Por lo tanto, se observa que para a), b) y c) la simulación magnetostática indica que las

reactancias aumentan con la presencia del tanque, y para d) indica que el tanque no

ejerce una influencia significativa sobre los resultados.

La diferencia principal entre los resultados de las mediciones y de las simulaciones 3D

es que los valores medidos con tanque son menores que sin tanque, al contrario de lo que

sucede con la simulación 3D. Esto ocurre debido a que la simulación magnetostática no

considera el efecto de las corrientes inducidas en el tanque. Para las simulaciones del

corte en 2D a 90° de la ventana, en el caso con tanque no se buscó una aproximación al

caso 3D.

69

6.3.2 Campos magnéticos de secuencia cero en el transformador de 5MVA con tanque.

Para las mismas simulaciones en 2D del cálculo de las reactancias de dispersión se

tomaron en 9 puntos específicos el valor de la densidad de flujo magnético (B) en el

transformador trifásico de 5MVA. Los puntos se ven reflejados en la Figura 6.4., donde

los primeros tres puntos están pegados al devanado primario y se van alejando de tres en

tres, a 5cm y 15cm. La densidad de flujo se medirá tanto para el eje axial, como para el

eje radial y los resultados serán expuestos en [mT].

Figura 6.4 Puntos de estimación de campos magnéticos para transformador con

tanque

70

6.3.2.1 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de circuito abierto

Las Figuras 6.5 y 6.6 muestran como para las pruebas de vacio los campos magnéticos

se comportan de manera similar, los campos fluyen por el núcleo hasta la tapa inferior del

tanque para luego retornar por las paredes laterales, donde la intensidad es máxima. El

tanque crea un apantallamiento que no permite que los flujos se distribuyan en el

espacio.


respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV abierto.


respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV abierto.

71

6.3.2.2 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de cortocircuito

Cuando el devanado LV es cortocircuitado (Figura 6.7), se produce un apantallamiento

del núcleo lo que genera una mayor intensidad de campo en el tanque, sucede todo lo

contrario cuando se cortocircuita el devanado HV (Figura 6.8), donde los campos fluyen

por el núcleo con mayor intensidad.


respectivamente. Prueba: Alimentación HV-LV cortocircuito.


respectivamente. Prueba: Alimentación LV-HV cortocircuito.

72

Los errores porcentuales reflejan que para todas las pruebas de secuencia cero

realizadas, existe gran diferencia entre los valores de campo medidos y simulados. En la

prueba en que el devanado HV es cortocircuitado, es donde las mediciones se alejan más

de los resultados obtenidos por la simulación. (ANEXO C.1)

6.4 Análisis armónico temporal

6.4.2 Campos magnéticos en simulaciones en 2D y 3D, considerando el efecto de las

corrientes de Eddy

Para este estudio se emplearon las mismas geometrías de las simulaciones anteriores,

tanto para 2D como 3D. Se aplicó un análisis armónico temporal, para que hubiese

inducción de corrientes en el tanque y ver su efecto en los campos magnéticos. Todos los

materiales conductores fueron simulados con conductividad prácticamente nula para

evitar incluir la inducción de corrientes en ellos (ya que se conocen las corrientes en los

devanados); sólo en el tanque se consideró una conductividad realista del hierro, con el fin

de obtener las corrientes inducidas en él.

Los resultados de las mediciones estaban disponibles presentados en módulo y ángulo,

pero la medición del campo según el eje x en cada punto medido fue tomada como

referencia para los ángulos [17]. Debido a esto, fue necesario convertir el ángulo obtenido

de la simulación en otro ángulo (α) que fuese compatible con la manera en que fueron

tomadas las mediciones (es decir, tomando el eje x de cada punto medido como referencia,

al igual que en las mediciones). Los resultados para la simulación 2D se muestran en el

ANEXO C.2.

Las magnitudes de los campos magnéticos resultantes tomando en cuenta el efecto de

las corrientes de Eddy, difieren levemente de los resultados magnetostáticos. Sin

embargo, los errores dan muy semejantes tanto para las pruebas de vacio como para las

de cortocircuito.

En las pruebas de vacío, a 0 cm del devanado HV, los ángulos α simulados presentan

resultados satisfactorios con respecto a los medidos, cuando se incrementa la distancia de

73

medición los resultados de los ángulos difieren en la mayoría de los casos con los

medidos.

Los resultados para la simulación 3D se presentan en el ANEXO C.3. En este caso no se

incluyó en las tablas el cálculo de los ángulos con respecto al eje x de cada punto de

medición.

De forma general se puede observar que las magnitudes de los campos magnéticos

simulados para todas las pruebas de secuencia cero, son en la mayoría de los casos

menores a los valores medidos. La comparación entre el caso 2D y 3D tomando en cuenta

la corriente de Eddy, muestra que la simulación en 3D arroja resultados de menor

magnitud con respecto a lo resultados del modelo en 2D.

En resumen, el efecto de las corrientes de Eddy sobre los campos magnéticos (C.M.) es el

siguiente:

Comparación de mediciones con simulación 2D:

C.M. Simulados > C.M. Medidos para vacio y CC.

Comparación de mediciones con simulación 3D:

C.M. Simulados > C.M. Medidos para CC.

C.M. Simulados < C.M. Medidos para Vacio.

Comparación entre simulación 2D y 3D:

En vacio C.M. en 2D > C.M. en 3D, aproximadamente en 5 veces

En CC, C.M. en 2D también es > C.M. en 3D (aproximadamente 1,5 veces)

En el anexo C.4 se muestran los gráficos obtenidos para la corriente inducida en

el tanque, tanto en la simulación 2D como 3D. Además, se muestra la corriente neta

obtenida para las paredes del tanque con la simulación 2D.

74

9 CONCLUSIONES

-El método de los elementos finitos permite estimar las reactancias de dispersión de

secuencia positiva de forma precisa, para la ventana de un transformador trifásico de 3

columnas, considerando un análisis magnetostático y simulación de geometría 2D.

-Los resultados del método de los elementos finitos fueron comparados con otros

métodos numéricos, para diversas simulaciones en geometría 2D, y los resultados fueron

muy similares. Esta comparación fue de suma utilidad para obtener certidumbre sobre la

validez de los resultados obtenidos, ya que hay diversos detalles que influyen de manera

significativa en los resultados, por ejemplo: condición de borde, geometría correcta,

corrientes de prueba, entre otros. En algunos casos esto sirvió para corregir errores en el

modelo por elementos finitos y en otros casos para corregirlos en el modelo por diferencias

finitas.

-Realizar simulaciones en 3D, para el cálculo de reactancia de dispersión de secuencia

positiva en transformadores trifásicos de tres columnas, muestra resultados admisibles,

muy similares a los medidos. Aplicar promedios ponderados en 2D arroja resultados muy

similares a la simulación en 3D.

-Incrementar la distancia horizontal del tanque equivale a disminuir levemente la

reactancia de secuencia positiva del transformador. A partir de una distancia horizontal

muy lejana, el valor calculado de reactancia tiende a ser un valor constante. Variar la

permeabilidad relativa del tanque no produce efectos muy grandes sobre los resultados de

la reactancia de secuencia positiva.

-La distancia entre la parte activa del transformador y la frontera influye

significativamente en los resultados de reactancia y campos magnéticos, para las pruebas

de secuencia cero en el caso sin tanque.

- En las pruebas de secuencia cero en vacio sin tanque, la simulación en 3D muestra que

la densidad de energía magnética no se distribuye de forma homogénea en los posibles

cortes 2D (ni para la parte activa del transformador ni para el espacio circundante). En

las pruebas de secuencia cero en cortocircuito, la densidad de energía se concentra

75

básicamente en los devanados y en el canal entre los devanados concéntricos,

especialmente cuando el devanado cortocircuitado es el de alta tensión.

-Los resultados calculados de reactancia para las pruebas de secuencia cero en

transformadores son incorrectos si se usa directamente las simulaciones en 2D para el

corte a 90° de la ventana, excepto cuando el devanado cortocircuitado es el de alta

tensión.

-Las aproximaciones desarrolladas para el cálculo de las reactancias de secuencia cero

por simulación 2D, muestra resultados muy similares a las simulaciones en 3D.

-Al usar simulación magnetostática, las reactancias de secuencia cero en vacio se

incrementan al agregar el tanque en la simulación 3D, debido a que no se está

representando la circulación de corrientes en el tanque.

-En las pruebas de secuencia cero simuladas, el tanque crea un apantallamiento que no

permite que el campo magnético circule en gran magnitud por el espacio exterior del

tanque, si no que fluye de forma intensa por las paredes del tanque.

-Considerar las corrientes de Eddy inducidas en el tanque del transformador, para

estimar los campos magnéticos proporciona cambios significantes con respecto al estudio

magnetostático.

-Es necesario realizar un estudio detallado del comportamiento de las corrientes

inducidas en el tanque, para complementar este trabajo en el futuro.

76

10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] (2011, Mayo). [Electrónico]. Disponible en: http://www.comsol.com/

[2] P. Silva, “Cálculo de Campos Magnético y Reactancias en Transformadores Mediante

el Método de Elementos Finitos,” Tesis de Pregrado. Universidad Simón Bolívar, Marzo

2012.

[3] E. Sorrentino, J Burgos, “Revisión Bibliográfica Sobre Impedancias de Secuencia Cero

y Perdidas en el Tanque de Transformadores Trifásicos de 3-Columnas”. III Congreso

Venezolano de Redes y Energía Eléctrica, Marzo 2012.

[4] L. Susnjic, Z. Haznadar, Z. Valkovic. “Electromagnetic Analysis Applied to the

Prediction of Stray Losses in Power Transformer”. Croatia.

[5] M. Hafner, M. Schöning, M. Antczak, A. Demenko, and K. Hameyer. “Methods for

Computation and Visualization of Magnetic Flux Lines in 3-D”. IEEE Trans. Magn., vol.

46, no. 8, pp. 3349-3342, 2010.

[6] R. Allcock, S. Holland and L. Haydock. “Calculation of Zero Phase Sequence

Impedance for Power Transformers using Numerical Methods”. IEEE Trans. Magn., vol.

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Synchronous Motors with Saturated Parameters” Universidad Simón Bolívar. Caracas,

República Bolivariana de Venezuela.

[8] C. Candela. “Optimal Power Transformer Design combining Geometric Programming

and Finite Element Method”. Universidad Simón Bolivar. Caracas, Venezuela.

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Permanent Magnet Synchronous Motor Using Geometric Programming and Finite

Element Method”. International Conference on Electrical Machines. Universidad Simón

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[10] A. Pérez, “Desarrollo de una Metodología para el Cálculo de la Ampacidad de cables

utilizando elementos finitos”. Trabajo de Maestría. Universidad Simón Bolívar, Marzo

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[11] R. Diaz, “Aplicación de Métodos de Optimización al diseño de equipos eléctricos

mediante el método de los elemento finitos” Trabajo de Maestría. Universidad Simón

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[12] S. Kulkarni, S. Khaparde, Transformer engineering: design and practice, Marcel

Dekker Inc., 2004.

[13] E.E. Staff del MIT, Circuitos magnéticos y transformadores, Editorial Reverte , 1980.

[14] P. Georgilakis, Spotlight on Modern Transformer Design, Springer, 2009.

[15] J. Bastos, N. Sadowski, “Electromagnetic modeling by finite element methods”,

Marcel Dekker Inc., 2003.

[16] (2011, Mayo). Guide User [Electrónico]. Disponible en: http://www.comsol.com/

[17] E. Sorrentino, A. De Gouveia, J. Burgos, P. Hormazábal, J. Marquez, “Medición De

Campos Magnéticos De Dispersión De Secuencia Positiva Y Cero En

Transformadores Trifásicos De 3 Columnas,” III Congreso Venezolano de Redes y

Energía Eléctrica, Marzo 2012.

http://www.comsol.com/

78

11 ANEXO A.

REACTANCIA DE DISPERSIÓN PARA CORTE 2D A 90° DE LA VENTANA:

EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA HORIZONTAL AL TANQUE Y LA

PERMEABILIDAD RELATIVA.

A.1 Reactancia de dispersión para corte 2D a 90° de la ventana en función de la distancia

horizontal al tanque

Distancia [cm] %X12 %X13 %X23

10 14,04 20,89 5,031

20 13,91 20,69 5,023

30 13,84 20,58 5,019

40 13,80 20,51 5,016

50 13,77 20,46 5,014

60 13,75 20,43 5,013

70 13,73 20,41 5,012

80 13,72 20,39 5,011

90 13,72 20,38 5,011

100 13,71 20,38 5,010

500 13,70 20,36 5,010

1000 13,70 20,36 5,010

79

A.2 Reactancia de dispersión X12 para corte 2D a 90° de la ventana en función de la

distancia horizontal al tanque, variando la permeabilidad del tanque

Distancia

[cm] %X12 µr=

∞ %X12 µr=

200 %X12 µr=

0

10 14,04 13,84 13,23

20 13,91 13,77 13,33

30 13,84 13,74 13,40

40 13,80 13,71 13,45

50 13,77 13,70 13,48

60 13,75 13,69 13,51

70 13,73 13,69 13,53

80 13,72 13,68 13,55

90 13,72 13,68 13,57

100 13,71 13,68 13,58

500 13,70 13,68 13,66

1000 13,70 13,68 13,66

80

12 ANEXO B.

TABLAS DE RESULTADOS DE REACTANCIAS X12 Y CAMPOS

MAGNÉTICOS DEL TRANSFOMADOR TRIFÁSICO DE 5MVA SIN

TANQUE.

B.1 Reactancia X12 de secuencia cero para el corte 2D a 90° de la ventana del

transformador en función de la distancia a la frontera.

Pruebas de

secuencia cero Circuito Abierto Cortocircuito

Distancia

Frontera [m] %X12

LVabierto %X12

HVabierto %X12

LV CC

%X12 HV CC

2 124,37 127,91 6,87 6,69

4 136,68 139,97 7,01 6,69

6 139,66 142,89 7,03 6,69

8 140,80 144,01 7,05 6,69

10 141,32 144,52 7,06 6,69

81

B.2 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de circuito abierto

Prueba Alimentación HV-LV abierto

0cm de la superficie exterior del devanado HV

Eje Medición

[mT] MEF[mT] Error %

ABAJO Y 2,580 2,704 4,57

ABAJO X 3,713 4,698 20,98

MEDIO Y 2,537 3,489 27,29

MEDIO X 0,337 0,002 -18730,25

ARRIBA Y 2,013 2,704 25,56

ARRIBA X 4,512 4,71 4,19


ABAJO Y 2,156 2,487 13,31

ABAJO X 3,058 3,602 15,11

MEDIO Y 2,425 3,931 38,32

MEDIO X 0,235 0,001 -18234,23

ARRIBA Y 1,369 2,485 44,91

ARRIBA X 3,646 3,595 -1,42


ABAJO Y 1,585 2,302 31,14

ABAJO X 2,305 2,915 20,91

MEDIO Y 2,242 3,715 39,66

MEDIO X 0,257 0,003 -7974,10

ARRIBA Y 0,966 2,304 58,06

ARRIBA X 2,885 2,932 1,59


ABAJO Y 1,099 1,986 44,67

ABAJO X 1,593 2,123 24,99

MEDIO Y 1,710 3,106 44,94

MEDIO X 0,200 0,001 -18855,39

ARRIBA Y 0,724 1,974 63,33

ARRIBA X 1,841 2,118 13,09

Error % promedio 26,90

Prueba Alimentación LV-HV abierto


Eje Medición[mT] MEF[mT] Error %

82

ABAJO Y 0,875 2,396 63,50

ABAJO X 2,861 3,317 13,76

MEDIO Y 0,045 4,19 98,92

MEDIO X 0,235 0,0002 -143952,26

ARRIBA Y 0,511 2,378 78,51

ARRIBA X 3,318 3,318 0,01


ABAJO Y 0,463 2,198 78,92

ABAJO X 2,447 2,788 12,23

MEDIO Y 0,022 3,773 99,41

MEDIO X 0,165 0,0003 -55790,72

ARRIBA Y 0,399 2,199 81,85

ARRIBA X 3,070 2,787 -10,14


ABAJO Y 0,344 2,033 83,10

ABAJO X 2,028 2,374 14,56

MEDIO Y 0,035 3,394 98,96

MEDIO X 0,163 0,002 -7842,54

ARRIBA Y 0,229 2,034 88,74

ARRIBA X 2,538 2,381 -6,61


ABAJO Y 0,264 1,755 84,95

ABAJO X 1,359 1,794 24,26

MEDIO Y 0,004 2,757 99,85

MEDIO X 0,025 0,002 -1453,75

ARRIBA Y 0,066 1,748 96,22

ARRIBA X 1,765 1,791 1,47


B.3 Campos magnéticos para pruebas de secuencia cero de cortocircuito

Prueba Alimentación HV-LV cortocircuito


Eje Módulo[mT] MEF[mT] Error %

ABAJO Y 1,725 1,366 -26,26

ABAJO X 4,112 5,877 30,03

MEDIO Y 0,620 3,114 80,09

MEDIO X 0,496 0,030 -1531,10

83

ARRIBA Y 1,155 1,363 15,24

ARRIBA X 4,800 5,924 18,97


ABAJO Y 0,774 1,21 36,03

ABAJO X 2,203 3,452 36,17

MEDIO Y 0,417 0,622 32,99

MEDIO X 0,263 0,007 -3780,35

ARRIBA Y 0,504 1,196 57,82

ARRIBA X 2,505 3,43 26,98


ABAJO Y 0,860 1,123 23,41

ABAJO X 1,523 2,288 33,43

MEDIO Y 0,630 1,325 52,48

MEDIO X 0,169 0,023 -651,72

ARRIBA Y 0,442 1,127 60,78

ARRIBA X 1,808 2,329 22,35


ABAJO Y 0,624 0,962 35,09

ABAJO X 0,919 1,386 33,68

MEDIO Y 0,756 1,456 48,07

MEDIO X 0,125 0,002 -5041,71

ARRIBA Y 0,412 0,944 56,41

ARRIBA X 1,006 1,378 26,96


Prueba Alimentación LV-HV cortocircuito


Eje Módulo[mT] MEF[mT] Error %

ABAJO Y 0,996 0,249 -300,01

ABAJO X 1,756 3,745 53,11

MEDIO Y 1,548 4,283 63,85

MEDIO X 0,595 0,026 -2186,80

ARRIBA Y 0,198 0,246 19,66

ARRIBA X 2,661 3,785 29,69


ABAJO Y 0,430 0,185 -132,27

ABAJO X 0,959 1,875 48,86

84

MEDIO Y 0,628 0,928 32,30

MEDIO X 0,277 0,006 -4591,67

ARRIBA Y 0,043 0,173 75,01

ARRIBA X 1,161 1,856 37,42


ABAJO Y 0,051 0,175 70,95

ABAJO X 0,423 1,04 59,34

MEDIO Y 0,022 0,180 88,02

MEDIO X 0,139 0,020 -591,75

ARRIBA Y 0,044 0,178 75,34

ARRIBA X 0,532 1,072 50,33


ABAJO Y 0,016 0,144 88,99

ABAJO X 0,123 0,492 75,04

MEDIO Y 0,003 0,179 98,48

MEDIO X 0,004 0,003 -53,87

ARRIBA Y 0,013 0,131 90,03

ARRIBA X 0,168 0,487 65,44


B.4 Comparación de resultados de campos magnéticos calculados por DF Y MEF.

Comparación de resultados de campos magnéticos para un transformador sin tanque,

obtenidos por el método de diferencias finitas codificado en MATLAB y el software

comercial COMSOL Multiphysics en 2D, bajo las mismas condiciones de simulación.

(Distancia a la frontera = 2m; para el caso de “Alimentación HV-LV cortocircuito”, la

corriente en baja tensión es igual al valor medido, es decir: 70,23A).

Prueba Alimentación LV-HV cortocircuito

0 cm de la superficie exterior del devanado HV

Eje DF

[mT] MEF-2D

[mT] Error

[%]

ABAJO Y 1,094 0,272 75,1

ABAJO X 3,669 3,725 1,5

MEDIO Y 3,382 4,283 26,6

MEDIO X 0,000 0,026

ARRIBA Y 1,094 0,073 93,3

85

ARRIBA X 3,669 4,278 16,6


ABAJO Y 0,250 0,209 16,3

ABAJO X 1,500 1,889 25,9

MEDIO Y 0,714 0,926 29,7

MEDIO X 0,000 0,001

ARRIBA Y 0,250 0,201 19,8

ARRIBA X 1,500 1,889 25,9


ABAJO Y 0,142 0,157 10,5

ABAJO X 0,844 1,096 29,9

MEDIO Y 0,124 0,172 38,3

MEDIO X 0,000 0,014

ARRIBA Y 0,142 0,177 25,1

ARRIBA X 0,844 1,052 24,6


ABAJO Y 0,070 0,137 96,1

ABAJO X 0,365 0,457 25,2

MEDIO Y 0,141 0,181 28,2

MEDIO X 0,000 0,003

ARRIBA Y 0,070 0,140 99,3

ARRIBA X 0,365 0,484 32,5

Prueba Alimentación HV-LV cortocircuito


Eje DF

[mT] MEF-2D

[mT] Error

[%]

ABAJO Y 2,441 1,416 42,0

ABAJO X 6,382 5,809 9,0

MEDIO Y 2,066 3,097 49,9

MEDIO X 0,000 0,030

ARRIBA Y 2,441 1,179 51,7

ARRIBA X 6,382 6,472 1,4


ABAJO Y 1,347 1,262 6,3

ABAJO X 3,221 3,437 6,7

MEDIO Y 0,854 0,642 24,8

MEDIO X 0,000 0,001

ARRIBA Y 1,347 1,252 7,1

ARRIBA X 3,221 3,436 6,7

86


ABAJO Y 1,132 1,127 0,4

ABAJO X 2,108 2,328 10,4

MEDIO Y 1,365 1,355 0,7

MEDIO X 0,000 0,016

ARRIBA Y 1,132 1,154 1,9

ARRIBA X 2,108 2,274 7,9


ABAJO Y 0,907 0,986 8,7

ABAJO X 1,291 1,311 1,5

MEDIO Y 1,383 1,488 7,6

MEDIO X 0,000 0,003

ARRIBA Y 0,907 0,989 9,1

ARRIBA X 1,291 1,347 4,3

Prueba Alimentación LV-HV abierto


Eje DF

[mT] MEF-2D

[mT] Error

[%]

ABAJO Y 2,570 2,428 5,5

ABAJO X 3,111 3,221 3,5

MEDIO Y 4,172 4,220 1,2

MEDIO X 0,000 0,000

ARRIBA Y 2,570 2,418 5,9

ARRIBA X 3,111 3,257 4,7


ABAJO Y 2,332 2,250 3,5

ABAJO X 2,574 2,718 5,6

MEDIO Y 3,732 3,812 2,1

MEDIO X 0,000 0,000

ARRIBA Y 2,332 2,249 3,6

ARRIBA X 2,574 2,718 5,6


ABAJO Y 2,138 2,088 2,3

ABAJO X 2,171 2,317 6,7

MEDIO Y 3,340 3,441 3,0

MEDIO X 0,000 0,001

ARRIBA Y 2,138 2,094 2,1

ARRIBA X 2,171 2,309 6,4


ABAJO Y 1,826 1,826 0,0

87

ABAJO X 1,594 1,718 7,8

MEDIO Y 2,693 2,822 4,8

MEDIO X 0,000 0,002

ARRIBA Y 1,826 1,828 0,1

ARRIBA X 1,594 1,730 8,5

Prueba Alimentación HV-LV abierto


Eje DF

[mT] MEF-2D

[mT] Error

[%]

ABAJO Y 3,148 2,766 12,1

ABAJO X 4,448 4,585 3,1

MEDIO Y 3,705 3,514 5,2

MEDIO X 0,000 0,007

ARRIBA Y 3,148 2,702 14,2

ARRIBA X 4,448 4,776 7,4


ABAJO Y 2,654 2,552 3,8

ABAJO X 3,262 3,529 8,2

MEDIO Y 3,945 3,975 0,8

MEDIO X 0,000 0,000

ARRIBA Y 2,654 2,549 4,0

ARRIBA X 3,262 3,528 8,2


ABAJO Y 2,410 2,358 2,2

ABAJO X 2,637 2,867 8,7

MEDIO Y 3,670 3,769 2,7

MEDIO X 0,000 0,002

ARRIBA Y 2,410 2,370 1,7

ARRIBA X 2,637 2,847 8,0


ABAJO Y 2,044 2,062 0,9

ABAJO X 1,867 2,030 8,7

MEDIO Y 3,024 3,179 5,1

MEDIO X 0,000 0,002

ARRIBA Y 2,044 2,065 1,0

ARRIBA X 1,867 2,050 9,8

88

13 ANEXO C

CAMPOS MAGNÉTICOS DEL TRANSFOMADOR TRIFÁSICO DE 5MVA

CON TANQUE.

C.1 Campos magnéticos para simulaciones en 2D: Análisis magnetostático



Eje Medición MEF Error %

ABAJO Y 0,830 1,4 40,70

ABAJO X 1,424 3,251 56,19

MEDIO Y 1,327 1,637 18,92

MEDIO X 0,191 0,461 58,53

ARRIBA Y 0,499 1,34 62,73

ARRIBA X 1,736 4,245 59,10


ABAJO Y 1,066 1,242 14,13

ABAJO X 1,168 2,342 50,14

MEDIO Y 1,222 1,798 32,03

MEDIO X 0,217 0,460 52,83

ARRIBA Y 0,522 1,165 55,22

ARRIBA X 1,419 3,335 57,44


ABAJO Y 0,879 0,947 7,17

ABAJO X 0,944 1,856 49,15

MEDIO Y 0,900 1,235 27,16

MEDIO X 0,202 0,443 54,46

ARRIBA Y 0,509 0,822 38,12

ARRIBA X 1,146 2,822 59,40


89




ABAJO Y 1,014 1,227 17,39

ABAJO X 1,097 2,047 46,40

MEDIO Y 1,213 2,074 41,51

MEDIO X 0,174 0,412 57,71

ARRIBA Y 0,528 1,173 54,98

ARRIBA X 1,385 2,94 52,91


ABAJO Y 0,909 1,083 16,02

ABAJO X 1,056 1,784 40,80

MEDIO Y 1,141 1,736 34,29

MEDIO X 0,171 0,408 58,17

ARRIBA Y 0,465 1,01 53,99

ARRIBA X 1,256 2,67 52,94


ABAJO Y 0,731 0,829 11,85

ABAJO X 0,879 1,502 41,46

MEDIO Y 0,900 1,102 18,32

MEDIO X 0,153 0,396 61,46

ARRIBA Y 0,424 0,716 40,79

ARRIBA X 1,029 2,364 56,47





ABAJO Y 1,630 1,294 -25,94

ABAJO X 1,419 9,051 84,32

MEDIO Y 1,100 3,299 66,64

MEDIO X 0,410 0,362 -13,27

ARRIBA Y 0,545 1,253 56,49

ARRIBA X 2,258 9,806 76,98

90


ABAJO Y 1,205 1,193 -0,97

ABAJO X 1,318 4,19 68,55

MEDIO Y 1,129 0,458 -146,42

MEDIO X 0,268 0,391 31,47

ARRIBA Y 0,478 1,154 58,61

ARRIBA X 1,862 4,989 62,67


ABAJO Y 0,998 0,887 -12,51

ABAJO X 1,225 2,656 53,88

MEDIO Y 0,983 1,001 1,78

MEDIO X 0,172 0,356 51,54

ARRIBA Y 0,509 0,791 35,65

ARRIBA X 1,439 3,432 58,06





ABAJO Y 0,263 0,113 -132,59

ABAJO X 0,499 6,079 91,78

MEDIO Y 0,358 4,497 92,03

MEDIO X 0,126 0,024 -426,18

ARRIBA Y 0,145 0,122 -19,36

ARRIBA X 0,700 6,001 88,33


ABAJO Y 0,248 0,144 -72,12

ABAJO X 0,365 2,138 82,92

MEDIO Y 0,149 1,013 85,30

MEDIO X 0,105 0,004 -2469,72

ARRIBA Y 0,108 0,169 36,36

ARRIBA X 0,390 2,103 81,47


ABAJO Y 0,171 0,087 -95,55

ABAJO X 0,202 1,055 80,84

MEDIO Y 0,073 0,036 -100,34

91

MEDIO X 0,094 0,016 -474,75

ARRIBA Y 0,094 0,096 1,95

ARRIBA X 0,223 1,020 78,17


C.2 Campos magnéticos para simulaciones en 2D: Análisis armónico temporal



Eje Medición Ángulo Simulación Áng.

simulado α Error %

módulo

ABAJO Y 0,830 -98,2 1,614 -177,57 -165,76 48,58

ABAJO X 1,424 0,0 2,136 168,18 0,0 33,32

MEDIO Y 1,327 154,9 2,382 -174,94 -144,36 44,28

MEDIO X 0,191 0,0 0,009 149,43 0,0 -1934,38

ARRIBA Y 0,499 21,6 1,810 -177,60 14,86 72,40

ARRIBA X 1,736 0,0 2,002 -12,47 0,0 13,29


ABAJO Y 1,066 -163,4 1,813 -177,13 -155,48 41,18

ABAJO X 1,168 0,0 1,304 158,36 0,0 10,44

MEDIO Y 1,222 37,1 2,797 -174,20 -135,25 56,31

MEDIO X 0,217 0,0 0,008 141,04 0,0 -2592,66

ARRIBA Y 0,522 32,0 1,834 -176,95 24,70 71,55

ARRIBA X 1,419 0,0 1,280 -21,65 0,0 -10,86


ABAJO Y 0,879 -150,1 1,775 -175,59 -169,98 50,47

ABAJO X 0,944 0,0 6,250 174,39 0,0 84,90

MEDIO Y 0,900 -77,7 2,791 -171,15 -178,97 67,77

MEDIO X 0,202 0,0 0,070 -172,18 0,0 -186,52

ARRIBA Y 0,509 51,1 1,794 -175,45 53,33 71,65

ARRIBA X 1,146 0,0 0,816 -48,77 0,0 -40,42


92



Eje Medición Ángulo Simulación

Áng.

simulado

α Error %

módulo

ABAJO Y 1,014 -166,3 1,609 2,05 -160,51 37,00

ABAJO X 1,097 0,0 1,205 -17,45 0,0 8,98

MEDIO Y 1,213 155,2 2,707 3,82 -143,21 55,19

MEDIO X 0,174 0,0 0,008 -32,97 0,0 -2169,83

ARRIBA Y 0,528 21,3 1,611 2,32 19,89 67,23

ARRIBA X 1,385 0,0 1,185 162,42 0,0 -16,80


ABAJO Y 0,909 -162,1 1,579 2,76 -151,87 42,40

ABAJO X 1,056 0,0 0,919 -25,37 0,0 -14,93

MEDIO Y 1,141 42,9 2,589 5,42 -135,70 55,93

MEDIO X 0,171 0,0 0,007 -38,88 0,0 -2279,34

ARRIBA Y 0,465 27,9 1,596 3,00 28,46 70,89

ARRIBA X 1,256 0,0 0,901 154,55 0,0 -39,44


ABAJO Y 0,731 -144,7 1,547 4,18 -129,70 52,78

ABAJO X 0,879 0,0 0,669 -46,12 0,0 -31,36

MEDIO Y 0,900 5,7 2,424 9,19 -178,86 62,87

MEDIO X 0,153 0,0 0,061 8,05 0,0 -148,13

ARRIBA Y 0,424 47,9 1,505 4,58 55,80 71,81

ARRIBA X 1,029 0,0 0,621 128,77 0,0 -65,80





simulado α Error %

módulo

ABAJO Y 1,630 -165,6 0,086 -108,78 -104,17 -1785,07

ABAJO X 1,419 0,0 7,095 175,39 0,0 79,99

MEDIO Y 1,100 -151,4 2,492 -5,18 14,76 55,84

MEDIO X 0,410 0,0 0,013 160,06 0,0 -3029,06

ARRIBA Y 0,545 -0,9 1,484 -176,94 8,22 63,26

ARRIBA X 2,258 0,0 6,192 -5,16 0,0 63,54


ABAJO Y 1,205 -157,1 1,758 -176,36 -163,51 31,46

93

ABAJO X 1,318 0,0 2,940 167,15 0,0 55,17

MEDIO Y 1,129 -159,4 1,565 -169,50 -129,94 27,84

MEDIO X 0,268 0,0 0,007 140,44 0,0 -3919,71

ARRIBA Y 0,478 40,0 1,784 -176,69 -163,98 73,23

ARRIBA X 1,862 0,0 2,902 167,29 0,0 35,83


ABAJO Y 0,998 -147,0 1,710 -174,04 -134,86 41,66

ABAJO X 1,225 0,0 1,530 140,83 0,0 19,93

MEDIO Y 0,983 -160,6 2,748 -173,42 -180,36 64,22

MEDIO X 0,172 0,0 0,067 -173,78 0,0 -155,87

ARRIBA Y 0,509 58,0 1,713 -174,38 46,63 70,31

ARRIBA X 1,439 0,0 1,484 -41,01 0,0 3,03





simulación α Error %

módulo

ABAJO Y 0,263 -146,0 1,278 -1,05 1,14 79,45

ABAJO X 0,499 0,0 5,114 177,81 0,0 90,23

MEDIO Y 0,358 1,0 4,307 -0,62 4,11 91,68

MEDIO X 0,126 0,0 0,005 175,27 0,0 -2257,26

ARRIBA Y 0,145 81,6 0,039 -22,66 159,7

9

-272,62

ARRIBA X 0,700 0,0 4,356 -2,45 0,0 83,92


ABAJO Y 0,248 -148,5 0,226 -171,39 -163,66 -9,56

ABAJO X 0,365 0,0 1,786 172,27 0,0 79,56

MEDIO Y 0,149 -61,6 0,772 -3,42 177,0

7

80,69

MEDIO X 0,105 0,0 0,000 -6,35 0,0 -84180,26

ARRIBA Y 0,108 41,5 0,234 -175,02 12,51 54,00

ARRIBA X 0,390 0,0 1,775 -7,53 0,0 78,05


ABAJO Y 0,171 -134,1 0,215 -163,59 -159,69 20,46

ABAJO X 0,202 0,0 6,399 176,10 0,0 96,84

MEDIO Y 0,073 -32,5 3,962 179,36 -180,11 98,16

MEDIO X 0,094 0,0 0,080 179,48 0,0 -17,36

ARRIBA Y 0,094 52,1 0,200 166,70 21,16 53,00

ARRIBA X 0,223 0,0 0,779 -34,46 0,0 71,42


94

C.3 Campos magnéticos para simulaciones en 3D: Análisis armónico temporal


FASE A

FASE B

FASE C

MEDIDO Simulación 3D MEDIDO Simulación 3D MEDIDO Simulación 3D

Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng.


Abajo

x 0,098 20,5 0,056 -2,3

0,146 -19,5 0,011 -179,9

0,276 6,4 0,01 170,3

z 1,171 0 0,491 179,2 1,808 0 0,431 178,8 1,295 0 0,45 179,1

y 1,175 -167 0,292 179,0 0,352 34,2 0,305 179,4 0,963 -162,1 0,29 178,3

Medio

x 0,09 1 0,018 -171,7 0,238 -64,5 0,004 -127,3 0,29 -3,4 0,02 174,4

z 0,219 0 0,022 168,9 0,123 0 0,067 179,9 0,231 0 0,03 175,8

y 1,32 168 0,345 -179,3 1,35 119 0,336 -179,9 1,313 177,8 0,22 179,8

Arriba

x 0,481 5,4 0,011 -3,8 0,143 159,7 0,037 -0,8 0,284 4,3 0,01 -165,3

z 1,948 0 0,432 -1,6 1,695 0 0,388 -1,5 1,566 0 0,39 -1,2

y 0,531 10,8 0,234 179,3 0,341 31,7 0,314 178,8 0,627 22,4 0,24 177,7


Abajo

x 0,033 70,8 0,025 -4,5

0,194 11,8 0,003 -175,7

0,251 2,6 0,02 173,2

z 1,104 0 0,293 178,5 1,016 0 0,297 178,4 1,384 0 0,30 178,6

y 0,976 -164 0,323 179,4 1,298 -161 0,335 179,6 0,925 -165,7 0,30 178,8

Medio

x 0,088 5,9 0,009 -178,8 0,265 -72,8 0,029 -175,9 0,233 4,2 0,04 178,9

z 0,215 0 0,011 167,7 0,111 0 0,012 8,3 0,325 0 0,01 165,4

y 1,208 175 0,378 179,9 1,295 106,9 0,408 -179,8 1,163 -170,9 0,38 179,5

Arriba

x 0,356 17 0,020 177,0 0,064 48,1 0,017 -4,4 0,32 5 0,01 -7,7

z 1,358 0 0,281 -1,6 1,565 0 0,300 -1,9 1,336 0 0,28 -1,7

y 0,489 26,7 0,315 179,8 0,394 38,8 0,301 179,1 0,682 30,5 0,27 178,4


Abajo

x 0,343 -175 0,020 3,0

0,151 30,6 0,014 178,6

0,26 -1,9 0,03 -179,0

z 0,778 0 0,070 172,6 0,963 0 0,073 166,2 1,09 0 0,07 173,4

y 0,861 -150 0,239 179,0 0,937 -148 0,253 -179,8 0,84 -151,9 0,21 179,4

Medio

x 0,024 84,7 0,008 164,0 0,132 -83,6 0,020 173,7 0,185 4,8 0,00 -83,1

z 0,21 0 0,012 176,5 0,123 0 0,004 128,9 0,272 0 0,03 -1,8

y 0,952 -175 0,337 179,8 1,106 91,8 0,348 179,1 0,641 -150,4 0,34 178,9

Arriba

x 0,159 101 0,019 176,6 0,119 26,1 0,004 -154,8 0,324 4,1 0,01 0,8

z 1,035 0 0,057 -11,1 1,27 0 0,058 -13,3 1,133 0 0,08 -9,9

y 0,521 39,3 0,245 179,4 0,448 63,7 0,254 178,9 0,557 50,4 0,23 179,1

95


FASE A

FASE B

FASE C

MEDIDO Simulación 3D MEDIDO Simulación 3D MEDIDO Simulación

3D

Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng. Módulo Áng. Mód. Áng.


Abajo

x 0,046 121,8 0,008 164

,8

0,058 158,9 0,006 -13,9

0,201 -168 0,00 -66,8

z 1,089 0 0,167 -1,8 0,997 0 0,160 -2,1 1,206 0 0,17 -1,4

y 1,017 -168,7 0,168 -1,1 1,112 -163 0,189 -1,2 0,912 -167,4 0,18 -1,5

Medio

x 0,154 -101,5 0,005 178

,7

0,162 -59,1 0,012 -2,0 0,144 -12,3 0,02 -170,5

z 0,229 0 0,012 -3,4 0,109 0 0,025 -0,5 0,185 0 0,02 -162,1

y 1,197 171,1 0,321 -0,1 1,228 122 0,273 -0,4 1,214 172,6 0,29 -0,5

Arriba

x 0,811 3,5 0,003 171

,4

0,106 29,9 0,013 171,3 0,204 175,3 0,00 18,7

z 1,344 0 0,158 178

,3

1,425 0 0,145 178,3 1,385 0 0,14 178,7

y 0,547 12,7 0,165 -0,9 0,401 31,2 0,200 -0,6 0,635 20,2 0,16 -1,1

5cm de la superficie exterior del devanado

HV

Abajo

x 0,057 33,2 0,010 170

,0

0,111 14,8 0,004 -14,5

0,037 -15,1 0,01 -13,2

z 0,992 0 0,107 -2,3 1,057 0 0,112 -2,9 1,12 0 0,11 -2,0

y 0,917 -163,1 0,168 -0,9 1,03 -162 0,181 -1,1 0,782 -161 0,17 -1,4

Medio

x 0,104 -11 0,007 179

,4

0,15 -32,5 0,009 -1,7 0,207 26,4 0,00 -62,8

z 0,152 0 0,006 1,9 0,115 0 0,007 -2,0 0,245 0 0,02 -173,2

y 1,124 160,5 0,238 -0,2 1,128 145,3 0,268 -0,2 1,17 -177 0,24 -0,7

Arriba

x 0,288 13,8 0,014 -2,3 0,19 19,4 0,007 162,3 0,081 6,4 0,00 158,9

z 1,219 0 0,109 178

,0

1,281 0 0,117 177,8 1,27 0 0,10 178,0

y 0,378 20,1 0,171 -0,4 0,429 36,6 0,166 -0,5 0,588 26,8 0,15 -1,0


HV

Abajo

x 0,096 -170,2 0,012 -178,9

0,1 47,6 0,005 3,3

0,05 -127,7 0,01 -3,1

z 0,882 0 0,030 -7,9 0,914 0 0,030 -17,1 0,842 0 0,03 -7,2

y 0,816 -151,2 0,130 -1,0 0,518 -133 0,135 0,1 0,857 -149,6 0,12 0,0

Medio

x 0,02 56,4 0,002 -27,6 0,146 -73,4 0,011 -4,2 0,157 -94,5 0,00 170,6

z 0,221 0 0,007 -2,0 0,115 0 0,004 -24,6 0,121 0 0,02 176,3

y 0,814 -179,1 0,185 -0,6 0,981 103,5 0,192 -1,0 0,906 92,7 0,19 -0,9

Arriba

x 0,187 50 0,011 -5,9 0,095 167,8 0,001 82,7 0,08 164,8 0,01 -178,0

z 0,755 0 0,024 168,1 1,202 0 0,026 167,8 1,13 0 0,03 168,6

y 0,422 36,6 0,133 -0,4 0,423 55,4 0,140 -0,3 0,428 51,7 0,12 -0,2

96


FASE A

FASE B

FASE C

MEDIDO Simulación 3D MEDIDO Simulación 3D MEDIDO Simulación

3D



HV

Abajo

x 0,335 178,7 0,197 -2,3

0,039 -164 0,208 1,2

0,446 7,9 0,38 179,1

z 1,562 0 3,268 178,3 1,242 0 3,717 178,5 1,454 0 3,98 178,4

y 1,672 -165,9 0,609 179,6 1,691 -163 0,469 178,5 1,526 -168,3 0,20 2,3

Medio

x 0,081 58,2 0,081 -2,6 0,27 14,8 0,228 179,9 0,199 19,9 0,23 0,7

z 0,69 0 0,188 -179,2 0,351 0 0,605 0,1 0,19 0 0,31 176,6

y 1,104 -144,9 0,740 3,5 1,313 -151 0,677 3,5 0,884 -158 0,24 16,0

Arriba

x 0,645 7,6 0,252 4,2 0,168 19,7 0,219 -178,8 0,229 -172,3 0,20 -1,9

z 3,322 0 3,591 -1,5 1,922 0 3,897 -1,4 1,53 0 3,23 -1,9

y 0,202 92,8 0,686 179,6 0,185 67,8 0,734 178,7 1,249 -163,4 0,76 179,0


HV

Abajo

x 0,451 -177,7 0,115 -4,8

0,05 163,2 0,179 1,9

0,088 2,5 0,06 169,2

z 1,268 0 1,845 177,0 1,105 0 1,897 177,1 1,581 0 2,19 177,2

y 1,273 -158,7 1,267 179,5 1,305 -153 1,405 179,4 1,036 -159,6 1,27 179,4

Medio

x 0,054 67 0,060 -11,8 0,223 11,3 0,056 -0,9 0,207 18,7 0,05 -3,6

z 0,354 0 0,190 179,1 0,186 0 0,008 -176,9 0,263 0 0,07 175,2

y 1,131 -155,7 1,312 178,2 1,15 -163 1,275 178,2 1,107 -159,6 1,18 177,2

Arriba

x 0,175 135,4 0,026 124,0 0,079 48,3 0,042 -177,3 0,372 2,2 0,14 -3,4

z 2,126 0 1,848 -2,9 1,706 0 2,201 -2,5 1,755 0 2,12 -2,8

y 0,384 35,2 1,260 179,7 0,354 55,1 1,305 179,2 0,694 29,8 1,21 179,4


HV

Abajo

x 0,098 -162,7 0,097 -4,1

0,078 74,2 0,040 -156,4

0,095 -178 0,04 165,7

z 1,321 0 0,612 166,9 1,092 0 0,593 168,1 1,262 0 0,50 164,9

y 0,946 -146,8 1,306 -178,8 1,152 -144 1,217 179,9 0,896 -150,6 1,30 179,7

Medio

x 0,129 22,2 0,016 -28,5 0,121 11,7 0,043 167,9 0,141 30,4 0,02 -14,1

z 0,209 0 0,008 -100,5 0,065 0 0,063 -18,0 0,243 0 0,04 156,2

y 0,792 -156,9 1,846 179,0 1,126 -172 1,839 179,2 1,032 -153 1,84 179,1

Arriba

x 0,126 103,6 0,090 -177,5 0,004 142,4 0,013 -150,0 0,122 165,6 0,14 -6,0

z 1,505 0 0,495 -13,6 1,461 0 0,508 -15,9 1,352 0 0,50 -14,6

y 0,441 52,5 1,287 -178,8 0,437 70,4 1,265 179

,8

0,648 51,2 1,30 179,6

97


FASE A

FASE B

FASE C

MEDIDO Simulación 3D





Abajo

x 0,097 5 0,232 -1,5

0,052 3,6 0,043 -10,1

0,237 -2,1 0,16 -165,2

z 0,277 0 2,675 -179,2 0,271 0 3,501 -179,9 0,951 0 3,88 -179,7

y 0,135 -138,7 0,704 -22,0 0,272 -147,7 0,619 -15,7 0,382 -151,7 1,60 -9,5

Medio

x 0,011 56,7 0,089 -24,0 0,031 41,5 0,061 -101,6 0,214 -19,4 0,17 6,9

z 0,028 0 0,038 -47,2 0,228 0 0,127 32,6 0,122 0 0,04 -138,1

y 0,183 -77,2 3,336 -7,7 0,137 -77,3 3,351 -4,8 0,755 157,4 2,78 -11,6

Arriba

x 0,215 10,6 0,042 -12,5 0,051 22,7 0,122 -22,8 0,238 2,7 0,07 26,1

z 0,994 0 2,672 1,8 0,429 0 3,049 1,5 0,678 0 2,89 1,3

y 0,138 135,6 0,398 -37,5 0,063 92,6 0,431 -22,5 0,235 16,5 0,45 -36,4


Abajo

x 0,004 -51,9 0,091 -179,5

0,051 14,5 0,038 10,3

0,127 -0,9 0,01 -27,5

z 0,385 0 1,391 -179,6 0,206 0 1,467 -179,3 0,505 0 1,44 -178,4

y 0,249 -151,7 0,274 -103,6 0,182 -139,9 0,200 -70,9 0,312 -153,9 0,29 -99,1

Medio

x 0,006 80 0,118 -173,7 0,034 43,4 0,009 -80,9 0,03 138,7 0,10 7,0

z 0,058 0 0,033 -127,7 0,147 0 0,083 -3,1 0,111 0 0,03 -145,6

y 0,101 -64,6 1,048 -27,7 0,129 -91,4 1,009 -18,7 0,217 -28,8 1,05 -29,8

Arriba

x 0,122 12,7 0,050 -30,5 0,036 21,9 0,047 -136,5 0,082 10,4 0,04 24,0

z 0,34 0 1,384 0,2 0,336 0 1,470 1,2 0,494 0 1,54 1,1

y 0,09 35,5 0,274 -90,0 0,077 60,1 0,213 -81,8 0,156 28,9 0,31 -88,8


HV

Abajo

x 0,061 -169 0,053 176,1

0,021 134,6 0,072 108,2

0,031 -160,6 0,04 177,3

z 0,222 0 0,343 164,9 0,172 0 0,344 158,6 0,212 0 0,37 162,3

y 0,161 -136,2 0,294 -104,0 0,176 -130,4 0,099 -69,1 0,175 -135,6 0,35 -85,0

Medio

x 0,008 63,7 0,041 -43,6 0,02 90,1 0,035 -92,1 0,006 109,6 0,02 75,5

z 0,147 0 0,022 66,6 0,105 0 0,002 54,8 0,029 0 0,02 3,4

y 0,05 129,8 0,498 -107,2 0,136 -112,3 0,219 -83,9 0,032 -114,9 0,58 -87,1

Arriba

x 0,046 89,2 0,056 -40,8 0,031 139,7 0,051 -97,3 0,027 40,9 0,03 -43,6

z 0,23 0 0,399 -19,7 0,214 0 0,385 -22,6 0,224 0 0,35 -17,4

y 0,11 42,4 0,260 -106,5 0,109 48,8 0,152 -82,9 0,064 65,2 0,38 -94,4

98

C.4 Densidades de corriente inducidas en el tanque del transformador

Las siguientes figuras muestran la distribución obtenida para las densidades de

corriente inducidas en el espesor del tanque, tanto para la simulación 2D como para la

3D, de las pruebas de secuencia cero. En el caso 3D se seleccionaron cortes en la mitad de

las paredes laterales del tanque, con el fin de comparar los resultados con la simulación

2D. En todos los casos se observa que la densidad de corriente es más intensa en la parte

interior del tanque y es menor en la parte exterior.

Caso: Alimentado por Baja Tensión con Alta Tensión en abierto

a) Corrientes inducidas en

el lado lateral mayor del

tanque (3D)


el lado lateral menor del

tanque (3D).

c) Corrientes inducidas en

el lado lateral del

tanque (2D).

Medio

Arriba

Abajo

99

Caso: Alimentado por Baja Tensión con Alta Tensión en cortocircuito

Arriba

Medio

Abajo

b) Corrientes inducidas en

el lado lateral mayor del

tanque (3D)


el lado lateral menor del

tanque (3D).


el lado lateral del

tanque (2D).

100

Caso: Alimentado por Alta tensión con Baja en abierto

b) Corrientes inducidas en el

lado lateral mayor del

tanque (3D)

a) Corrientes inducidas en el

lado lateral menor del

tanque (3D).

c) Corrientes inducidas en el

lado lateral del tanque (2D).

Arriba

Medio

Abajo

101

Caso: Alimentado por Alta Tensión con Baja Tensión en cortocircuito

Para el caso 2D es posible obtener fácilmente, con el software utilizado, las

corrientes netas en las paredes del tanque, pero no fue posible obtener dicha

información para la simulación 3D. La siguiente tabla muestra dos conjuntos de

valores obtenidos: a) un resultado preliminar, cuando se estaba comenzando a usar

esta parte del software, el cual fue suministrado al tesista que trabajó con el método

de las diferencias finitas [2] para que pudiese obtener a tiempo sus resultados en el

b) Corrientes inducidas en

el lado lateral mayor

del tanque (3D)


el lado lateral menor

del tanque (3D).


el lado lateral del

tanque (2D).

102

caso con tanque; b) un resultado definitivo, correspondiente al conjunto de resultados

mostrados en el presente trabajo. Ambos resultados son muy parecidos, pero no son

exactamente iguales, lo que indica que hubo alguna diferencia menor en la manera de

realizar ambas simulaciones.

Valores de corriente inducida en las paredes del tanque, en Amperios, para las

simulaciones 2D, de los casos en secuencia cero

PRUEBA IHV ILV Corriente neta

inducida

(preliminar)

Corriente

neta inducida

(definitivo)

LV circuito abierto 4,15 0 2088+j276 2076+j160

HV circuito abierto 0 9,21 1834+j224 1827+j141

HV cortocircuitada 26,68 66,7 144,1+j8,99 113+j1,14

LV cortocircuitada 31,22 69,33 - 1862+j135

103

14 ANEXO D.

ARTÍCULO ENVIADO AL COMITÉ ORGANIZADOR DEL 5TO CONGRESO

IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

(CIBELEC 2012).

5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 2012)

Resumen—Se presenta una comparación de 4 métodos para estimar la reactancia de secuencia positiva en transformadores trifásicos de 3 columnas: a) fórmulas tradicionales; b) método de diferencias finitas en 2 dimensiones (2D), mediante un programa elaborado para el presente trabajo; c) método de elementos finitos 2D; d) método de elementos finitos 3D; para el caso del método de elementos finitos se usó un programa comercial. Los 4 métodos son magnetostáticos, fueron aplicados a un transformador de 3 devanados, y comparados con los resultados de las pruebas. Las fórmulas tradicionales son bastante precisas, a pesar de usar sólo un corte 2D de la ventana. Los resultados con otros cortes 2D son levemente distintos y esto confirma que el espacio entre los devanados determina en gran medida el valor de la reactancia de secuencia positiva. Se planteó el uso de un promedio ponderado entre los resultados con varios cortes 2D y su resultado es muy similar al obtenido con el método 3D. Se incluye una discusión sobre varias de las simplificaciones asociadas al uso de métodos magnetostáticos y al uso de simulación en dos dimensiones.

Palabras claves—Reactancias en transformadores, métodos numéricos para calcular campos magnéticos, magnetostática.

I. INTRODUCCIÓN Las reactancias de dispersión en transformadores suelen ser

estimadas a partir de las dimensiones geométricas principales usando fórmulas sencillas [1-4], basadas en magnetostática, que en algunos casos deben ser complementadas para considerar diversos detalles específicos de la geometría del transformador [5-9]. Las fórmulas sencillas típicamente usadas en la literatura consideran una geometría muy simple, en dos dimensiones (2D), en la que los devanados están plenamente rodeados de material ferromagnético. Algo similar a ello ocurre en la ventana del transformador, pero no en una vista 2D a 90°, en la que el devanado tiene a un lado al núcleo, y los otros lados tienen distancias diversas al tanque. El objetivo de este artículo es mostrar lo que sucede con el cálculo magnetostático para los demás cortes 2D, y su efecto sobre la estimación de las reactancias del transformador. Para hacer el

Artículo recibido el 20 de Enero de 2012. E.S., S.A. y P.S. están con la Universidad Simón Bolívar, Apdo. Postal

89000, Caracas, Venezuela, Tlf. +58-212-9063720, E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

E.S.. y J.C.B. están con la Universidad Carlos III de Madrid, Leganés, Madrid, España, Tlf. +34-91-6249405, E-mail: [email protected]

análisis de los resultados se compara con un análisis en tres dimensiones (3D), que debiera ser más preciso, y con los resultados de la medición de las impedancias. El análisis 2D y 3D de los campos magnéticos de dispersión en el transformador puede realizarse por métodos diversos [10-14]. En este trabajo se programó un algoritmo basado en el método de las diferencias finitas, y se complementó con un programa comercial de cálculo 2D y 3D por el método de elementos finitos [15].

II. MÉTODOS USADOS PARA CALCULAR LAS REACTANCIAS

A. Fórmulas básicas tradicionales (FBT) La formulación básica para calcular las reactancias del

transformador [1-4] ha sido planteada de diversas formas. En este artículo se sigue la formulación del libro de Kulkarni y Khaparde [2]. En primer lugar, se calcula la altura media de los devanados (hM) a partir de la altura de cada devanado (h1, h2), con el fin de calcular la altura equivalente (hE), corregida por el factor de Rogowski (KR). Para calcular el factor de Rogowski también se requiere el espesor de cada devanado (t1, t2) y del gap entre devanados (tG): hM = (h1 + h2)/2 (1) R = π hM /(t1+t2+tG) (2) KR = 1 - (1 – e -R)/R (3) hE = hM /KR (4)

El área equivalente (A) se calcula usando además los diámetros medios de cada devanado (d1, d2) y del gap entre devanados (dG): A = dGtG + (d1t1+d2t2)/3 (5)

Expresando el área equivalente (A) en cm2 y la altura equivalente (hE) en cm, se obtiene el valor porcentual de reactancia (XCC) al usar los demás valores en el sistema internacional: XCC = ω µ0 π (NI) A / (hE (V/N)) (6) ω: Frecuencia angular. N: Número de vueltas. I, V: Corriente y voltaje nominales.

B. Uso del método de las diferencias finitas (MDF) La formulación 2D usada en este artículo para el método

de las diferencias finitas fue tomada de un libro editado por Sykulski [10]. El potencial magnético vectorial (A), al seleccionar la condición ∇ · A = 0, puede expresarse fácilmente en función de la densidad de corriente (J):

Comparación de Métodos para Estimar las Reactancias de Secuencia Positiva en

Transformadores Trifásicos de 3 Columnas Elmer Sorrentino, Sofía Alvarado, Pedro Silva, Juan Carlos Burgos


∇ 2 A = - µ J (7) El caso 2D considera que el potencial magnético (A) y la

densidad de corriente (J) son magnitudes escalares, ya que sólo tienen componentes perpendiculares a la superficie xy (es decir, en el eje z): (∂2A/∂x2) + (∂2A/∂y2) = - µ J (8)

Este método aproxima numéricamente las derivadas parciales, usando los valores de potencial magnético en un reticulado (A0, A1, A2, A3, A4) y las distancias horizontales y verticales entre puntos del reticulado (h, a): (A1-A0)/h2 + (A3-A0)/h2 + (A2-A0)/a2 + (A4-A0)/a2 = - µ J (9)

Al relacionar los potenciales magnéticos (A) con los flujos magnéticos (φ), considerar las reluctancias (R) en por unidad de la dimensión de profundidad, y considerar la corriente neta encerrada en la retícula (I0), se obtiene: φ1 RY + φ3 RY + φ2 RX + φ4 RX = I0 (10)

Este planteamiento en términos de reluctancias, flujos y corrientes netas encerradas es intuitivo para los ingenieros electricistas que han visto cursos sobre circuitos magnéticos, y puede ser muy fácilmente programado, tal como se hizo en el presente trabajo.

C. Uso del método de elementos finitos (MEF) El método de los elementos finitos [16] se basa en

subdividir la región en pequeños elementos de tamaño finito. A cada elemento se le asignan sus ecuaciones características y se resuelven como un conjunto de ecuaciones simultáneas para la región en estudio. La solución puede consistir en minimizar un funcional (método variacional), o en minimizar un error o residuo (método de los residuos ponderados). El método de Galerkin corresponde a este último caso y la descripción siguiente se basa en dicho método.

El caso magnetostático 2D también se resuelve a partir de la ecuación 8. La región puede ser discretizada en triángulos y el potencial magnético vectorial en los nodos (Ai) puede ser aproximado de forma lineal: Ai(x,y)= a1+a2xi+a3yi (11)

a1, a2 y a3 pueden expresarse en función del potencial magnético vectorial en los nodos (A1, A2, A3), y con ello se obtiene la expresión del potencial magnético vectorial para dicho elemento: A(x,y)=1(x,y)A1 + 2(x,y)A2 + 3(x,y)A3 (12)

Al sustituir en la ecuación 8, se genera un residuo debido a que la solución es aproximada. El método de los residuos ponderados se basa usar una función de peso para que la integral de los residuos ponderados, en la región en estudio (dominio, ) sea cero. Al usar i(x,y) como función de peso se obtiene: i=1,2,3 ( (∇ 2Ai) i + µJ i) d = 0 (13)

Esto permite evaluar A, para calcular después el campo magnético. Los resultados mostrados en este artículo se obtuvieron usando un programa comercial [15].

D. Formas de simulación usadas en dos dimensiones (2D) La Fig. 1 muestra tres los modos de simulación usados al

considerar únicamente la ventana: V1) con la ventana y los dos

devanados con una altura igual a hE (corregida por el factor de Rogowski; hW: altura de la ventana), lo que debiera ser equivalente a las fórmulas tradicionales descritas; V2) con la altura promedio (hM) de los devanados, distinta a altura de la ventana; V3) con las alturas reales de los devanados y de la ventana.

h E=

hW

h M h W

h 2 h Wh 1

Modo V1)

Modo V2)

Modo V3)

FIG. 1. Simulación 2D, considerando sólo la ventana.

Las fórmulas básicas tradicionales se basan en el modo V1;

esto considera que las líneas de campo magnético son paralelas y perfectamente verticales, y no hace falta conocer la dimensión horizontal de la ventana. Los modos V2 y V3 se usan sólo para los otros métodos 2D (MDF y MEF) y se considera la dimensión horizontal real de la ventana; en estos casos, una parte de la ventana aloja devanados que abrazan otra columna magnética y dicha región fue simulada como un espacio vacío.

Por otra parte, se realizaron simulaciones simplificadas considerando un corte a 90° de la ventana, con las distancias laterales al tanque iguales entre sí (Fig. 2a) para obtener un eje de simetría en el medio del núcleo. Esto es equivalente a simular sólo la mitad del espacio mostrado en la Fig. 2a (como suele ser representado este corte en la literatura). Realmente las distancias horizontales al tanque son distintas hacia cada lado de la parte activa (Fig. 2b), debido a la presencia del cambiador de tomas y de las conexiones. Para simplificar la naturaleza tridimensional del problema, se calculó un simple promedio ponderado de las reactancias (X), considerando cada una de las distancias al tanque y el número de columnas: XPN = (3 XS1 + 3 XS2 + XS3 + XS4)/ 8 (14) XPT = (3 XS1 + 3 XS2 + XS3 + XS4 + 4XV3)/12 (15) XSi: X calculada para corte a 90° (Fig. 2a), con la distancia si. XPN: X promedio para los cortes a 90°. XV3: X calculada para la ventana en el caso V3. XPT: X promedio total, considerando ventana y cortes a 90°.


d dv2

v1

s4

s1

s2

s3

a) Corte a 90° de la ventana (simplificado)

b) Las distancias horizontales al tanque son distintas

NÚ

CLE

O

NÚCLEO

TAN

QU

E

VISTA SUPERIOR

TAN

QU

E

FIG. 2. Consideraciones para el corte 2D a 90° de la ventana.

E. Obtención de reactancias a partir del campo magnético En el caso 2D, el valor de la inductancia se obtuvo a partir

de la energía almacenada en el campo magnético (EMAG) y del valor de la corriente inyectada (I). EMAG se obtiene por integración de la energía por unidad de volumen (V), que depende de la densidad o intensidad de campo magnético (B o H, respectivamente): L = 2 EMAG / I2 (16) EMAG = V ½µH2 dV = V ½(B2/µ) dV (17)

El radio de cada devanado no se muestra en la Fig. 1, pero se usa para calcular la energía en todo el volumen, asumiendo simetría cilíndrica. En el caso del MDF se usó el valor de energía en cada punto para la integración en el volumen, usando el radio correspondiente a cada punto. En el caso del MEF se usó el valor de la energía por cada región del espacio y el radio medio de dicha región del espacio.

En el caso 3D, el valor de la inductancia también se obtuvo a partir de la energía almacenada en el campo magnético (EMAG) y, además, se usó el valor instantáneo de la corriente inyectada en cada fase (IA, IB, IC): L = 2 EMAG / (IA

2 + IB2 + IC

2) (18)

III. RESULTADOS

A. Descripción del transformador usado como ejemplo La unidad usada como ejemplo es de tres devanados

(75MVA-75MVA-25MVA, 220kV-71kV-10kV). Las principales dimensiones geométricas de la parte activa se muestran en la figura 3 y las distancias al tanque son: v1=1cm; v2=15cm; s1=20cm; s2=45cm; s3=30cm; s4=100cm. Las distancias horizontales al tanque corresponden al devanado externo analizado (alta tensión). Las simulaciones se realizan considerando sólo 2 devanados a la vez, de manera similar a la manera de realizar las pruebas para determinar las impedancias.

B. Descripción del transformador usado como ejemplo La Tabla 1 resume los valores de reactancia medidos y

calculados, y la Tabla 2 indica los errores de los modelos con respecto a los valores medidos. Estos resultados fueron calculados con una permeabilidad relativa del núcleo y del tanque igual a infinito. Para el MDF, la ventana se simuló con un reticulado de 140 elementos horizontales y 140 elementos verticales, y el corte a 90° se simuló con 744 elementos verticales y el número de elementos horizontales varió entre 134 y 252, dependiendo de la distancia horizontal entre el devanado y el tanque (manteniendo un ancho de retícula igual a 13,6mm). Para el MEF, el software empleado [15] ofrece 7 opciones en cuanto a la precisión del reticulado y se usó el valor intermedio ya que ofrece suficiente precisión para el caso analizado.

2190

1930

1990

4479137

70 24 363,5

1860

680

680 952

FIG. 3. Dimensiones (en mm) de la parte activa del transformador analizado (no está a escala).

TABLA 1: REACTANCIAS (%) MEDIDAS Y CALCULADAS.

Medida FBT MDF MEF-2D

3D V1 V2 V3 XPN XPT V1 V2 V3 XPN XPT X12 13,99 14,40 14,38 14,10 14,11 13,78 13,89 14,41 14,14 14,14 13,98 14,04 13,85 X13 20,81 21,10 21,17 21,04 21,10 20,29 20,56 21,19 20,93 20,99 20,76 20,84 20,62 X23 4,93 5,00 5,03 4,96 4,99 4,97 4,97 5,02 4,97 4,97 4,97 4,97 4,91

X12: reactancia primario-secundario; X13: reactancia primario-terciario; X23: reactancia secundario-terciario


TABLA 2: ERRORES PORCENTUALES EN LOS VALORES CALCULADOS DE REACTANCIAS.

FBT MDF MEF-2D

3D V1 V2 V3 XPN XPT V1 V2 V3 XPN XPT X12 2,9 2,8 0,8 0,9 -1,5 -0,7 3,0 1,1 1,1 -0,1 0,4 -1,0 X13 1,4 1,7 1,1 1,4 -2,5 -1,2 1,8 0,6 0,9 -0,2 0,1 -0,9 X23 1,4 2,0 0,6 1,2 0,8 0,8 1,8 0,8 0,8 0,8 0,8 -0,4

C. Análisis de los resultados mostrados en la Tabla 1 a) Los resultados con las fórmulas tradicionales (FBT) son

muy similares a los obtenidos para el caso V1 (MDF y MEF-2D). Esto se debe a que el cálculo de campos magnéticos mediante métodos numéricos para el caso V1 fue planteado para emular las premisas usadas en las fórmulas básicas tradicionales.

b) A pesar de que las fórmulas tradicionales (FBT) se basan en una geometría 2D muy simple, en la que los devanados están plenamente rodeados de material ferromagnético, su error con respecto al valor medido fue menor al 3% en los casos analizados.

c) Los valores obtenidos para los casos V2 y V3 fueron similares en este transformador. Esto indica que considerar la altura promedio de los devanados, en vez de la real para cada devanado, no introdujo un cambio significativo en los resultados. Para V2 y V3, el error con respecto al valor medido fue menor al 2% en los casos analizados.

d) La reactancia promedio para los cortes a 90° (XPN) también tiene un error moderado (menor o igual al 2,5%) con respecto al valor medido, y XPN es menor que el valor V3, calculado para el caso de la ventana. Considerando que el valor V3 es mayor que el valor medido, la consecuencia es que reactancia promedio total (XPT) tiende a parecerse más al valor medido. Para XPT, el error con respecto al valor medido fue menor al 1,2% en los casos analizados.

e) La reactancia calculada por el método 3D tiene un error máximo del 1%, con respecto al valor medido, para los casos analizados. Por otra parte, la diferencia máxima entre los valores obtenidos por el método 3D y por el promedio ponderado para los cortes 2D (XPT) es del 1,2%. Esto implica que la manera de realizar el promedio ponderado de los cortes 2D tiende a dar resultados muy similares a la simulación 3D.

D. Efecto de la distancia horizontal al tanque, en el corte 2D a 90° de la ventana

La Fig. 4 muestra la reactancia calculada con el MEF-2D, en función de la distancia horizontal al tanque (d, Fig. 2), usando una permeabilidad relativa del núcleo y del tanque igual a infinito. Puede apreciarse que la reactancia (XSi; si=d) se parece más al valor calculado para la ventana (V3) cuando la distancia es muy pequeña, y tiende a disminuir levemente al incrementar la distancia.

13,6

13,7

13,8

13,9

14,0

14,1

14,2

10 100 1000

X12 (%)

d (cm)

µR=

20,1

20,3

20,5

20,7

20,9

21,1

10 100 1000

X13 (%)

d (cm)

µR=

4,91

4,92

4,93

4,94

4,95

4,96

10 100 1000

X23 (%)

d (cm)

µR=

FIG. 4. Reactancia para el corte 2D a 90° de la ventana, en

función de la distancia horizontal al tanque (MEF-2D).

E. Efecto de la permeabilidad del tanque, para el corte 2D a 90° de la ventana

La Fig. 5 muestra la reactancia X12 calculada con el MEF-2D, en función de la distancia horizontal al tanque (d, Fig. 2), usando una permeabilidad relativa del núcleo igual a infinito y variando la permeabilidad relativa del tanque (µR). Puede apreciarse que al usar µR=200 (para este caso se simuló la lámina del tanque con un espesor de 10mm), hay una variación muy leve en la magnitud de la reactancia calculada y, por lo tanto, puede considerarse que ese efecto no es significativo. Por otra parte, la Fig. 5 muestra también el caso de µR=0, lo que resulta similar a un tanque teóricamente apantallado de manera perfecta ante los campos magnéticos; el valor calculado de reactancia no se aleja demasiado de los valores previos, aún en este caso extremo (esto sucede porque el campo magnético puede retornar por el núcleo, con las condiciones de simulación impuestas).


13,6

13,7

13,8

13,9

14,0

14,1

14,2

10 100 1000

X12 (%)

d (cm)

µR=

13,2

13,3

13,4

13,5

13,6

13,7

13,8

10 100 1000

X12 (%)

d (cm)

µR= 0

13,6

13,7

13,8

13,9

14,0

14,1

14,2

10 100 1000

X12 (%)

d (cm)

µR= 200

FIG. 5. X12 en función de la distancia, para corte 2D a 90° de la ventana, variando la permeabilidad del tanque (MEF-2D).

F. Simplificaciones presentes en el análisis realizado

El análisis realizado tiene las siguientes simplificaciones: a) El análisis 2D no considera que la medición de

impedancias se realiza en condiciones trifásicas prácticamente balanceadas. Esto implica que los campos magnéticos de dispersión tienden a sumar cero, para los devanados de las tres columnas, en la parte superior e inferior de los devanados. Es decir, los campos magnéticos de dispersión de los devanados de las tres columnas pueden tender a combinarse entre ellos, sin necesidad de usar otra trayectoria de retorno. A pesar de esto, las reactancias calculadas con simulación 2D son muy similares a las obtenidas con simulación 3D.

b) El análisis magnetostático no considera las corrientes Eddy inducidas en el tanque. Estas corrientes tienen un efecto de incremento de la reluctancia aparente del tanque, el cual no debiera ser tan grande como el caso 2D mostrado con µR=0, pues su profundidad de penetración es relativamente elevada. Debido a la condición trifásica descrita en párrafo anterior, el cálculo adecuado del efecto de las corrientes Eddy en el tanque sólo podría realizarse con una simulación 3D, como ha sido indicado en algunos casos [1].

c) El análisis realizado no considera que los campos magnéticos en el núcleo debieran tender a cero, debido a que las pruebas de determinación de impedancias se realizan alimentando el transformador por el lado de mayor tensión. Esto implica que el devanado cortocircuitado está en una posición más interna, en el transformador en estudio. Para imponer esta condición en el método de cálculo de campos magnéticos se requiere vincularlo con una ecuación eléctrica que limite el valor de la derivada de los enlaces de flujo en el devanado cortocircuitado. Debido a que esta condición no ha sido impuesta en las simulaciones magnetostáticas realizadas, existe una trayectoria de retorno para los campos magnéticos por el núcleo que no necesariamente representa el fenómeno real de manera fidedigna.

IV. CONCLUSIONES -Las fórmulas básicas tradicionales para estimar las

reactancias de secuencia positiva son muy precisas para el caso del transformador trifásico 3-columnas, a pesar de basarse en un análisis magnetostático de una geometría 2D muy sencilla. Esto confirma que la principal restricción para el paso del campo magnético está determinada por el espacio entre devanados y que los demás factores influyen mucho menos en el resultado de la reactancia.

-En este trabajo se usó también un promedio ponderado de los valores de reactancia calculados con métodos 2D para la ventana y para cortes a 90° de la ventana. Los resultados obtenidos son levemente más precisos que en el caso de las fórmulas básicas tradicionales.

-Los resultados mediante simulación 3D confirman la validez del promedio ponderado usado en el caso 2D para considerar tanto la ventana como los cortes a 90° de ella.

-Este trabajo puede ser complementado en el futuro mediante la comparación con métodos 3D que consideren: a) el efecto de corrientes Eddy en el tanque, b) el efecto de apantallamiento del núcleo debido a que el arrollado interno está cortocircuitado.

AGRADECIMIENTOS Los autores desean expresar su agradecimiento a los

ingenieros Diego García (Universidad Carlos III de Madrid) y Ángel Pérez (Universidad Simón Bolívar), por su valiosa ayuda con el uso del programa de cálculo por el método de elementos finitos, y a Gas Natural Fenosa por su colaboración suministrando datos de transformadores reales.

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calculo de campos en un trafo por mef

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