calculo aplicado. competencias matematicas a traves de contextos i

C

LCU

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cias matem

ticas a travs de contextos

PATRICIA SALINAS, JUAN ANTONIO ALANS, RICARDO PULIDOFRANCISCO SANTOS, JULIO CSAR ESCOBEDO, JOS LUIS GARZA

SA

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TOMO I

Competencias matemticas a travs de contextos

CLCULO APLICADOCompetencias matemticas a travs de contextos

TOMO I

Este texto propone un qu, un cmo, y un para qu ensear Clculo que favorezcan un aprendizaje funcional.

La meta es lograr que puedas inferir resultados del Clculo a partir de una variedad de contextos reales, y que razones utilizando sus nociones y procedimientos.

Reconocers un contenido que surge al abordar problemas relacionados con la prctica de predecir el valor de una magnitud que est cambiando.

Tendrs oportunidad de ser partcipe en la generacin de conocimientos relacionados con la problemtica de variacin que el Clculo trata, y utilizars recursos tecnolgicos integrados al contenido para interactuar con dicha problemtica.

Hemos considerado problemas reales para asociar un signicado a las nociones y procedimientos, procurando con ello un aprendizaje efectivo y transferible a los cursos de especialidad de tu carrera profesional.

Lograr en ti la movilizacin de la informacin obtenida sobre Clculo hacia otros campos disciplinares, es la empresa que nos motiva a proponer esta nueva obra como un medio para impulsar tu desarrollo de competencias matemticas.

FORROS CALCULO SALINAS_Cengage.indd 1 8/11/11 9:13:51 AM

Tec_U1T8_406-436.indd 437Tec_U1T8_406-436.indd 437 8/10/11 8:50:52 PM8/10/11 8:50:52 PM

CLCULO APLICADO


TOMO I

Tec_preliminares.indd 1 8/10/11 8:20:05 PM

El Sistema Tecnolgico de Monterrey mantiene una iniciativa por actualizar sus

programas de estudio ante las nuevas demandas que la sociedad impone a la

educacin universitaria.

Esta realidad ha impulsado una dinmica de trabajo continuo para los autores

de esta obra, quienes toman para s, el problema de dar respuesta a la

institucin construyendo una alternativa que considere el carcter instrumental

del sector curricular de Matemticas.

En ese sentido, esta obra ofrece a los estudiantes un conocimiento de la

Matemtica que les sea til como instrumento para plantear y resolver

problemas propios de diversas reas y de las diferentes especialidades

profesionales.

Vista del Edificio de Rectora


CLCULO APLICADOCompetencias matemticas

a travs de contextosTOMO I

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Contenido r v

Prefacio viIntroduccin viii

UNIDAD I La problemtica 2

TEMA 1.1: Estudio del cambio uniforme. Modelo lineal 2

Situacin Problema 1.1 4Analizando la Situacin Problema 1.1 7Qu tienen en comn los contextos

reales analizados? 10Cmo visualizar de manera global

el comportamiento de la temperatura? 11

Problema Complementario 1 14

Problema Propuesto 1 22

TEMA 1.2: Clculo del Valor aproximado del cambio acumulado 27

Situacin Problema 1.2 27Generalizacin y uso de la notacin

matemtica 31


TEMA 1.3: Clculo del Valor exacto del cambio acumulado. Modelo polinomial 45

Situacin Problema 1.3 45Generalizacin de la Situacin

Problema 1.3 51Primer generalizacin 51Una segunda generalizacin 52Generalizacin: procedimientos

algortmicos 58Modelo matemtico polinomial 64


TEMA 1.4: Estudio Cualitativo del Cambio NO Uniforme: Modelo cuadrtico 81

Situacin Problema 1.4 81

Generalizaciones a partir de la Situacin Problema 1.4 89

Primer resultado: mximos y mnimos 89

Segundo resultado: cuatro tipos de comportamiento 91

Tercer resultado: funcin cuadrtica y sus grcas 98

Cuarto resultado: cada libre y parbolas 107El lenguaje simblico en Matemticas:

Modelo cuadrtico 112Aplicacin: La funcin cuadrtica

en contextos reales 112

TEMA 1.5: Estudio cualitativo del Cambio NO uniforme: Modelo cbico 133

Situacin Problema 1.5 133Generalizaciones a partir

de la Situacin Problema 1.5 135

TEMA 1.6: Valor Exacto del Cambio Acumulado: Modelo exponencial 219

Situacin Problema 1.6 219Generalizacin a partir

de la Situacin Problema 1.6 225Construccin del modelo

exponencial en base e 225Situacin Problema adicional 226Solucin de la ecuacin diferencial

` y t y tk 236El lenguaje simblico en Matemticas:

Modelo Exponencial 238Aspectos visuales de la funcin

exponencial 239

Caractersticas de yx e

y algunos efectos grcos 239Similitudes y diferencias entre

y x e y y xn

242

Contenido


Aplicacin: La funcin exponencial en contextos reales 243


Derivada y antiderivada de funciones

exponenciales base e 267

TEMA 1.7: Valor Exacto del cambio acumulado. Modelo trigonomtrico 278

Situacin Problema 1.7 278Establecimiento de las funciones seno

y coseno 284Efectos grcos en las funciones seno

y coseno. 296Situacin Problema Adicional 296Generalizacin 302Los parmetros en las funciones senoidales

y cosenoidales 302Sntesis y Aplicacin de efectos combinados 314

Problema 1 317

Problema 1 321

Relacin grca entre funcin y derivada 324Aplicacin. La funcin senoidal

en contextos reales 332Prctica de percepcin visual y conversin 352

Ejercicio de prctica de percepcin visual y conversin 356

Ejercicios de Algoritmia en derivadas y antiderivadas 357

TEMA 1.8: Nuevos modelos 365

Funciones Racionales 365

Efectos grcos en y f xx

1 368Identicacin de asntotas

para gracacin 369Funciones con radicales 377Caso 1. Mitad de parbola horizontal 377Prctica de percepcin visual y conversin 381Caso 2. Mitad del crculo 385Caso 3. Mitad de elipse 388La funcin logaritmo natural 392

Problema 1 396

Funcin exponencial con base arbitraria 406Aplicacin. La funcin logaritmo

en contextos reales 411Las funciones trigonomtricas 423Las funciones trigonomtricas inyectivas

y trigonomtricas inversas 428Las funciones hiperblicas 432

vi r Contenido


Prefacio r vii

Prefacio

CLCULO APLICADO Competencias matemticas a travs de contextos

TOMO I

C on esta obra se hace una propuesta sobre qu, cmo, y para qu ensear/aprender Clculo

pensando en favorecer un aprendizaje funcional del mismo. En este sentido, la meta que perseguimos es lograr que quien le estudie:

z infiera relaciones y resultados del Clculo a partir de una variedad de contextos reales,z analice y razone utilizando nociones y procedimientos propios del Clculo, z formule y resuelva problemas utilizando el lenguaje simblico,z argumente adecuadamente decisiones y estrategias de solucin al resolver problemas, z y comunique de manera eficaz las soluciones que construya.Estamos proponiendo una manera de interactuar con el conocimiento del Clculo en el

aula universitaria que favorezca la formacin de profesionales competentes en Matemti-cas; poseedores de un aprendizaje propenso a ser aplicado en las reas de especialidad de las distintas carreras universitarias.

Para dar oportunidad a esta meta hemos estructurado el contenido del Clculo de forma tal que sus resultados se identifiquen al enfrentar problemas relacionados con el predecir el valor de una magnitud que est cambiando.

La prctica de la prediccin conduce al contenido y provee de significado a las nociones y procedimientos asociados a la razn de cambio y el cambio acumulado, que se entrelazan para dar respuesta a la problemtica.

Compartimos la idea de que esta forma de estructurar el contenido, (el qu) ofrece la oportunidad de ser partcipe en la generacin de conocimientos relacionados con la proble-mtica de variacin que el Clculo trata.

Cuando este significado permea el contenido del Clculo, las nociones de derivada e inte-gral llegan a constituir el Teorema Fundamental del Clculo, el cual resulta ser una verdad evidente cuando se acta conforme a la problemtica de prediccin.

Es incuestionable la importancia que tiene para quien estudia Matemticas contar con un manejo fluido y simultneo de smbolos y grficas, de la representacin grfica, numri-ca y algebraica de sus nociones y procesos. Igualmente importante resulta la identificacin de patrones de comportamiento en cada una de estas representaciones, y a la vez, la co-ordinacin de un mismo patrn en diferentes contextos de representacin.

Estamos claros que habilidades como las anteriores no se alcanzan como consecuencia inmediata de la enseanza, an y cuando sta haga un uso insistente de las diferentes representaciones. Nuestro anlisis de esta problemtica didctica nos ha permitido tomar decisiones en cuanto a la forma adecuada y oportuna de introducir las diferentes repre-


sentaciones en el contenido matemtico, incluyendo entre ellas al mismo lenguaje cotidiano en el que se plantean los problemas reales incitando su modelacin matemtica.

Hemos por tanto dosificado la integracin de las diferentes representaciones (numrica, algebraica y grfica) segn su pertinencia en el desarrollo del contenido, y sin olvidar el propsito de arribar al momen-to propicio para encarar el desarrollo de habilidades matemticas como son el manejo y la transformacin de estas representaciones. Se estimula adems la competencia de modelacin al transformar el lenguaje cotidiano en informacin numrica, algebraica y/o grfica, siempre en relacin con una problemtica comn.

En particular, haremos uso de diferentes recursos tecnolgicos didcticamente integrados al contenido para interactuar con la problemtica de prediccin, ofreciendo con ello una nueva manera de interactuar con el contenido del Clculo (el cmo) donde la tecnologa nos permite observar, organizar y conjeturar razonamientos.

Estamos confiriendo a la competencia de visualizacin un papel activo en el proceso de aprendizaje, competencia que se desarrolla especialmente cuando la tecnologa apropiada se utiliza como un medio para acceder a nuevos escenarios de interaccin con el Clculo.

En la propuesta que esta obra presenta, se considera una amplia variedad de contextos reales en los que la problemtica de la prediccin plantea preguntas de inters actual, y provoca procesos de ac-tivacin de la aplicacin del aprendizaje, demandando con ello capacidades de anlisis, razonamiento y comunicacin.

A nuestro juicio, un aprendizaje del Clculo donde el conocimiento emerge de un conjunto de proble-mas bien identificados resulta motivador pues se comprende la utilidad de la Matemtica con la que se est interactuando.

Hablamos de apreciar el conocimiento matemtico en su calidad de herramienta til para resolver problemas (el para qu), y generar procesos cognitivos con ms posibilidades de ser transferibles a dife-rentes situaciones.

Lograr la movilizacin de la informacin obtenida sobre Clculo hacia otros campos disciplinares, es la empresa que nos motiva a proponer esta nueva obra como medio para impulsar, de manera decidida, una perspectiva de desarrollo de competencias matemticas.

Vista del Jardn junto al Edificio de Rectora, al fondo el CETEC

viii r Prefacio


Introduccin a la Unidad 1 La Problemtica r ix

Introduccin a la Unidad I: La Problemtica

P ara comprender el Clculo resulta necesario conocer el problema o la clase de problemas que provocaron su surgimiento y su evolucin en estrecha relacin.

Para el caso del Clculo tales problemas y su relacin estn a la vista en el mismo enunciado del Teorema Fundamental del Clculo.

Este teorema, en una de sus versiones (la de la integral) establece que:

Sea f x( ) funcin de variable real continua en el intervalo cerrado a b,; = . Entonces

f x d x F b F aa

b

( )

donde F x es una antiderivada de la funcin f x( ) .Lejos de pretender que este enunciado hable por s mismo, lo que pretendemos ms

bien es subrayar que su significado, el que es factible de ser aplicado, no est evidente en el enunciado.

Los conceptos de derivada, integral, antiderivada y diferencial, los cuatro conceptos clave en la teora del Clculo, no surgieron en la forma que puede apreciarse cuando se estructura la teora desde un punto de vista formal y con cierto grado de rigor.

Los cuatro conceptos funcionaban en la solucin de problemas sin preocupar su defini-cin terica. El mismo teorema era, por decirlo de alguna manera, la verdad evidente que entrelaza nociones y que permiti crear procedimientos en la bsqueda de solucionar un rango cada vez ms amplio de problemas que comparten algo en comn.

Las nociones de razn de cambio y cambio acumulado han sido precursoras de los con-ceptos de derivada e integral (definida). Es con el significado asociado a estas nociones que podemos presentar la problemtica en la que el Clculo surgi y en la que adquiere sentido para su aplicacin en la solucin de problemas.

Esta Unidad considera la problemtica de predecir el valor de una magnitud que est cambiando con respecto a otra cuando se conoce sobre la razn de cambio. Se presenta la solucin de la problemtica a travs de la aplicacin de un mtodo numrico para aproxi-mar valores de la magnitud.

A travs de presentar diferentes contextos reales se muestra el surgimiento de los modelos matemticos que representan el valor exacto de la magnitud en considera-cin, asociando de este modo la utilidad de cada modelo en relacin con el contexto real correspondiente.

De este modo se reconoce en los diferentes tipos de funciones de una variable real la solucin de la problemtica de prediccin de valores de la magnitud bajo estudio. A travs de la representacin grfica de la funcin, se analiza e interpreta el comportamiento de la magnitud y se construyen estrategias algebraicas apoyadas en la visualizacin para eviden-ciar caractersticas del tipo de crecimiento o decrecimiento que experimenta. La deteccin de valores mximos y/o mnimos forma parte fundamental de este anlisis.


Cabe mencionar que la competencia de resolver problemas se desarrolla en cada tema tratado, y tambin se hace en forma transversal al aplicar el mtodo numrico que responda a la obtencin del clculo aproximado de valores de la magnitud. El uso de recursos tecnolgicos se motiva en la bsqueda de la mejora de la aproximacin obtenida mediante el mtodo numrico, ofreciendo un escenario donde el razonamiento sobre procesos infinitos encuentra oportunidad de trascender intuiciones de naturaleza conflictiva. De esta forma se podr dar solucin a la problemtica de prediccin an y cuando la funcin que modela a la magnitud no se conoce explcitamente, pero s se conoce la relacin que existe entre ella y sus sucesivas razones de cambio.

En sntesis, presentar la problemtica (ttulo de esta Unidad) es evidenciar la forma en que el Teorema Fundamental del Clculo tiene un sentido funcional de enfrentar problemas, y es a travs de ello que es-peramos caracterizar los distintos modelos matemticos representados con las funciones de una variable real.

Vista del Lago adjunto al Edificio CIAP.

x r Introduccin a la Unidad 1 La Problemtica


CLCULO APLICADO


TOMO I


2 r Unidad 1 La problemtica

La problemtica

Unidad 1

Temas

1.1 Estudio del Cambio uniforme. Modelo lineal.

1.2 Clculo del Valor aproximado del cambio acumulado.

1.3 Clculo del Valor exacto del cambio acumulado. Modelo polinomial.

1.4 Estudio Cualitativo del cambio NO uniforme. Modelo cuadrtico.

1.5 Estudio Cualitativo del cambio NO uniforme. Modelo Cbico.

1.6 Valor Exacto del cambio acumulado. Modelo exponencial.

1.7 Valor Exacto del cambio acumulado. Modelo trigonomtrico.

1.8 Nuevos modelos.

Tec_U1T1_02-26.indd 2 8/5/11 10:47:23 AM

Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme. Modelo lineal r 3 3l r

UN

IDA

D

1U

NID

AD

En esta Unidad se introduce la problemtica de predecir el valor de una magnitud que est cambiando con respecto a otra cuando se conoce sobre la razn de cambio de dicha magnitud. Se presenta la solu-cin de la problemtica a travs de la aplicacin de un mtodo numrico para aproximar valores de la magnitud. A travs de presentar diferentes contextos reales se muestra el surgimiento de los modelos matemticos que representan el valor exacto de la magnitud en consideracin, asociando de este modo la utilidad de cada modelo en relacin con el contexto real correspondiente.

Esta Unidad I permitir al estudiante reconocer en los diferentes tipos de funciones de una variable real la solucin de la problemtica de prediccin de valores de una magnitud bajo estudio, adems de interpretar en la representacin grfica de la funcin un modelo matemtico para analizar el compor-tamiento de la magnitud. A su vez, se desarrollar en el estudiante la competencia de solucin de pro-blemas al aplicar un mtodo numrico que responda al clculo aproximado de valores de la magnitud; y el uso de recursos tecnolgicos se motivar en la bsqueda de la mejora de la aproximacin obtenida mediante el mtodo numrico. De esta forma el estudiante podr dar solucin a la problemtica de prediccin an y cuando la funcin que modela a la magnitud no se conoce explcitamente, pero se conoce la relacin que existe entre ella y sus sucesivas razones de cambio.

Tec_U1T1_02-26.indd 3 8/5/11 10:47:24 AM


1.1Estudio del cambio uniforme.

Modelo lineal

1.1

t (en horas)

x (kilmetro sobre la carretera)

0 25

.5 51

1 77

1.5 103

2 129

SITUACIN PROBLEMA 1.1

En seguida presentamos tres contextos reales en los que se considera la variacin de una magnitud con respecto a otra. En cada contexto se cuenta con in-formacin a partir de la cual se pueden responder las preguntas planteadas. El propsito de esta Situacin Problema consiste, adems de contestar, en analizar la problemtica comn que se presenta en los tres contextos reales y su estrategia de solucin.

Primer contexto real. Un automvil transita por una carretera recta.

EEstudddiiioo dddelll cambbbiio uniiifforrrrmmmme.MMMMMoooddddeeelllooo llliiinnneeeeeaaaaalll

....

La siguiente tabla muestra el kilmetro sobre la ca-rretera en el que se encuentra el automvil para dife-rentes valores del tiempo en su recorrido:

a) Cul ser la posicin del automvil a las t 3 horas?

Suponiendo que cada hora el automvil avanza 77 25 52 kilmetros, como lo sugiere la ta-bla, entonces a las 3 horas el automvil estar 52 kilmetros despus de su posicin a las 2 horas.

x 129 52 181 kilmetros.

b) Dnde estar el automvil a las 2 horas y cuarto?

En este tema analizamos diferentes contextos reales en los que se consideran ciertas magnitudes que varan de manera uniforme con respecto a otra magnitud. De este anlisis identificamos al modelo matemtico que permite precisar el comportamiento de la magnitud en cuestin: la funcin lineal. Establecemos y utilizamos las representaciones numrica, algebraica y grfica del Modelo lineal. Enfatizamos el papel de los coeficientes en la representacin algebraica del Modelo lineal como parmetros que muestran un valor inicial de la magnitud y el de la razn de cambio de la magnitud, el cual es constante.

Tec_U1T1_02-26.indd 4 8/5/11 10:47:27 AM

Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme. Modelo lineal r 5

Suponiendo que cada hora el automvil avanza 52 kilmetros, y que durante el transcurso entre las 2 y las 3 horas mantiene su velocidad constante, entonces a las 2 horas y cuarto habr pasado un intervalo de tiempo de un cuarto de hora (a partir de t 2) durante el cual recorrera la cuarta parte de los 52 kilmetros. Por tanto la posicin del automvil ser

x 129 (52) (0.25) 142 kilmetros.

c) Suponiendo que el automvil mantiene su velocidad constante, en qu instante pasar por la gasolinera ms cercana que se encuentra en el kilmetro 167 de la carretera?

Suponer la velocidad constante permite modelar el comportamiento de la posicin del automvil mediante la expresin matemtica

x 25 52 t

El nmero 25 indica la posicin que inicialmente tiene el automvil (cuando t 0) y el nmero 52 expresa la velocidad constante en kilmetros por hora. Al multiplicar 52 por t se est calculando la distancia recorrida por el automvil desde el tiempo 0 hasta el tiem-po arbitrario t, esto es, durante el intervalo de tiempo transcurrido de t horas.

Cuando se sustituye en la expresin anterior el valor de x 167 se produce una ecuacin lineal de la que se despeja el tiempo t :

167 25 52 t

167 25 52 t

142 52 t14252 t o bien t 71

26

Al aproximar a dos decimales este quebrado, podemos decir que a las 2.73 horas (2 horas con 44 minutos) el automvil pasa por la gasolinera.

Segundo contexto real. Se coloca una olla con agua en una parrilla en-cendida de modo que la temperatura T del agua aumenta uniformemente a razn de 6 C/minuto.

a) En un lapso de tres minutos, cunto aumenta la temperatura?

En 1997 el automvil con forma de avin, Thrust Super Sonic, rebas por 8.5 km/hora la barrera del sonido, sin embargo para el 2012 se espera contar con un nuevo rcord establecido por el Bloodhound Super Sonic Car, alcanzando una velocidad de 1 600 kilmetros por hora, es decir, 1.4 veces ms rpido que la velocidad del sonido.

Sabasque?...

Tec_U1T1_02-26.indd 5 8/5/11 10:47:29 AM


La razn de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es de 6 C/minuto, por tanto, pasado cada minuto se tiene un aumento de 6 C, entonces, en 3 minutos se tiene un aumento de (6) (3) 18 C en la temperatura.

b) Si a los 2 minutos la temperatura del agua era de 50 C, cul ser su temperatura a los cinco minutos?, y cul fue la temperatura al inicio, cuando se coloc la olla en la parrilla?

De los 2 a los 5 minutos se tiene un lapso de 3 minutos, durante el cual la temperatura aumenta 18 C. Por otra parte, la temperatu-ra a los 2 minutos era 50 C, entonces, a los 5 minutos ser de 50 18 68 C.El valor inicial de la temperatura podemos calcularlo al restar a los 50 C el cambio de temperatura ocurrido en un lapso de 2 minu-tos, que es (6) (2) 12 C. Por tanto, la temperatura al inicio fue 50 12 38 C.

c) Cul es el cambio en la temperatura ocurrido entre los 5 y los 6.5 minutos?, y entre los 8 y 9.5 minutos?De los 5 a los 6.5 minutos se tiene un lapso de 1.5 minutos en los cuales el cambio de la temperatura es de (6) (1.5) 9 C. Entre los 8 y 9.5 minutos el cambio de temperatura es el mismo, 9 C, ya que el cambio en el tiempo es el mismo, 1.5 minutos.

d) Construye una expresin matemtica a travs de la cual se pueda pre-decir la temperatura del agua, T (en C) cuando transcurre un nmero arbitrario de t minutos. Considerando el valor inicial de la temperatura obtenido en b) y agre-gando el cambio que experimenta la temperatura en un lapso de tiem-po representado por t, se puede expresar la temperatura en trminos del tiempo mediante T 38 6 t.

e) En qu instante comienza a hervir el agua? (Suponer el grado de ebu-llicin de 100 C).Para encontrar el valor del tiempo t en que se llega al grado de ebu-llicin, sustituimos en la expresin construida en d) el valor 100 para generar una ecuacin lineal y despejar t :

100 38 6 t 100 38 6 t 62 6 t

t 626

313

El agua comienza a hervir a los 10 y un tercio minutos, esto es a los 10 minutos 20 segundos.

Tercer contexto real. La temperatura de la atmsfera en la primera de sus capas (la tropsfera) disminuye uniformemente con respecto a la altitud; lo hace a razn de 6.5 C/kilmetro. Cierto montaista llega a la cum-bre de una montaa de altura desconocida y le reporta por radio a su compaero (que est en la base de la montaa) que la temperatura all arriba es 1 C. Por su parte, su compaero, en la parte ms baja de la montaa, observa que el termmetro marca 20 C.

El punto de ebullicin de un lquido se refiere a la temperatura a la cual la presin de vapor del lquido es igual a la presin atmosfrica. Como la presin atmosfrica vara en diferentes lugares, el punto de ebullicin vara tambin. Se habla del punto de ebullicin normal al que se calcula con una presin de una atmsfera.

Sabasque?...

Tec_U1T1_02-26.indd 6 8/5/11 10:47:30 AM


a) Construye una expresin matemtica que permita predecir la tempera-tura T para diferentes valores de la altitud h.

Considerando que la altitud 0 coincide con la base de la montaa, el valor inicial de la temperatura es 20 C. Adems, esta temperatura se ver disminuida en 6.5 C por cada kilmetro; esto se puede expre-sar matemticamente como

T 20 6.5 h donde h representa el aumento en los kilmetros de altitud a partir de la base de la montaa.

b) Cul es la altura de la montaa?

La expresin construida en el inciso anterior nos sugiere sustituir el valor de la temperatura T por 1 y encontrar el valor de la altitud h correspondiente:

1 20 6.5 h 6.5 h 20 1 21

h z216.5

3 23.

La altura de la montaa es prcticamente 3.23 kilmetros.

ANALIZANDO LA SITUACIN PROBLEMA 1.1

En los tres contextos reales se observan diferentes magnitudes que es-tn cambiando: en el primero, la posicin del automvil cambia respecto al tiempo transcurrido; en el segundo, la temperatura del agua cambia, nuevamente, con respecto al tiempo transcurrido y en el tercer contexto, la temperatura cambia con respecto a la altitud. Esas magnitudes se han representado mediante variables x, t, T y h y se ha establecido una re-lacin entre ellas expresada como

x 25 52 t, T 38 6 t, T 20 6 h.

Los fenmenos meteorolgicos que nos afectan como viento, lluvia y huracanes ocurren en la capa de la atmsfera ms baja: la tropsfera. El espesor de esta capa que est en contacto con la superficie de la Tierra vara en diferentes zonas del globo terrestre; en el ecuador mide alrededor de 17 kilmetros. Sin embargo, en latitudes templadas su grosor es menor, alrededor de 10 kilmetros, y en los polos decrece a 8 kilmetros. La tropsfera acta como un regulador trmico de nuestro planeta.

Sabasque?...

La palabra

raznen el lenguaje cotidiano tiene un significado diferente al que se utiliza en Matemticas:

razn = cociente = divisin

alabraalaTOMA NOTA!

La palabra cambio

en el lenguaje cotidiano

se usa en diversas condiciones,

pero en Matemticas:

cambio = resta = diferencia

Tec_U1T1_02-26.indd 7 8/5/11 10:47:33 AM


El valor inicial de la magnitud bajo estudio aparece en las expresiones, as como el dato de la razn de cambio de la magnitud que se estudia con res-pecto a la magnitud de la que se va a cambiar. Este ltimo dato de la razn de cambio se refiere al cociente del cambio que experimenta la magnitud bajo estudio entre el cambio de la magnitud de la que depende. En cada contexto, tenemos

velocidad(constante)

cambio de posicin

camb

iio de tiempo

razn de cambio (constante)

cambio de tempe

rratura

cambio de tiempo

razn de cambio (constante)

cambio de tempe

rratura

cambio de altura

Cada uno de los cambios expresados es una resta o diferencia entre dos valores de la magnitud en cuestin, por ejemplo, el cambio del tiempo es la resta

tf t

i

donde tf representa el tiempo final y t

i el inicial. De manera natural este

cambio se calcula al restar, de un despus, el antes.Es conveniente representar el cambio de posicin, tiempo, temperatura y altitud utilizando la letra griega delta, de este modo, las diferentes razones de cambio se representan en forma compacta como

$$

$$

$$

xt

Tt

Th

, ,

En la siguiente figura hacemos una generalizacin de cada contexto real, utilizando como parmetros los valores iniciales y las razones de cambio de las magnitudes. Observamos adems en los tres contextos el empleo de la notacin matemtica de una funcin, la cual permite expresar con res-pecto a qu magnitud se est considerando la variacin de la magnitud bajo estudio. En el cuarto recuadro hemos querido introducir el contexto formal, donde se utilizan las letras x y y que representan las magnitudes variables, o simplemente, las variables x y y, en las cuales se ha quitado o extrado el significado original de las magnitudes consideradas. Proponemos con ese cuarto recuadro la transferencia de la informacin de los diferentes contextos reales en un contexto matemtico nico, donde se modelan las caractersticas de los fenmenos analizados en cada contexto real.

La palabra formal

en el lenguaje cotidiano

tiene un uso diferente

a su uso en Matemticas.

La palabra

TOMA NOTA!

En Matemticas la palabraformal

se refiere a la ausencia de significados reales: x es x y es yslo letras que representan nmeros

Para aplicar la Matemtica

se necesita que

x y y

posean un significado real

x es la posicin de un objeto,

x es un instante de tiempo,

y es un dato de temperatura

Para referirnos al cambio

del valor 5 al valor 3 calculamos:3 5 = 2

Para calcular el cambio

que experimenta una magnitu

d,

debes tomar en cuenta el

orden

como ocurren los valores.

TOMA NOTA!

Para referirnos al

cambio

del valor 3 al valor 5

calculamos:5 3 = 2

Tec_U1T1_02-26.indd 8 8/5/11 10:47:34 AM

Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme. Modelo lineal r 9 Tema 1.1 Estudio del l ccambio uniforme. Modelo linineal r 9

Contexto real 1

x 25 52 t

x (t ) 25 52 t

En general: x (t ) x0 v t

donde v xt

$$

Contexto real 2

T 38 6 t

T (t ) 38 6 t

En general:

T (t ) T0 r t

donde r $$Tt

Contexto real 3

T 20 6.5 h

T (h ) 20 6.5 hEn general:

T (h) T0 r h

donde r $$

Th

Contexto formal

(ausencia de significado en un contexto real)

Funcin Lineal

y (x) y0 r x

y0 representa el valor de y cuando x = 0

ryx

$$

es la razn de cambio

de y con respecto a x


Tec_U1T1_02-26.indd 9 8/5/11 10:47:37 AM


Qu tienen en comn los contextos reales analizados?

Situaciones que satisfacen un Cambio uniforme. Los tres contextos reales han quedado modelados mate-mticamente con una funcin lineal

y (x) y0 r x

donde el parmetro y0 representa el valor inicial de la variable y y el parmetro r representa la razn de cambio constante de y con respecto a x.

La expresin de la razn de cambio constante

r $$

yx

puede ser expresada despejando $y, como

$y r $xy esta ltima expresin establece la proporcionalidad entre los cambios de las variables x y y. Se dice que y cambia uniformemente con respecto a x para manifestar este tipo de dependencia entre las dos magnitudes.Para responder en cada contexto a las preguntas de prediccin planteadas y a todas las que podamos plantear, debemos construir la funcin lineal que modela la situacin, y para ello debemos interpretar del contexto real cul magnitud est cambiando (la magnitud de nuestro inters) y con respecto a cul (la magnitud de referencia), adems de precisar la

razn de cambio de la magnitud bajo estudio entre la magnitud de la que depende. Siendo esta razn de cambio constante se tiene que el cambio de la magnitud de inters es proporcional al de la magnitud de referencia, lo que se representa matemticamente con la expresin $y r $x.

Procedimientos algebraicos y grficos. Las pre-guntas de prediccin provocan el planteamiento de ecuaciones lineales para contestar. De manera formal dado un valor de x , se sustituye ste en la funcin y se obtiene el valor correspondiente de y. A su vez, dado un valor y, se sustituye ese valor en el lugar de y (x) generando una ecuacin lineal de la cual se despeja x. Ejemplificamos lo anterior retomando el tercer con-texto real modelado ahora formalmente por

y(x) 20 6.5x

Contestar cul es la altura de la montaa equivalente a sustituir y (x) por 1, que es el dato de la tem-peratura en la cspide,

1 20 6.5 x

de donde al despejar se obtiene (como lo hicimos antes) que x { 3.23.Por otra parte, podemos preguntarnos qu tempera-tura se tiene a los 2 500 metros, lo que equivale a evaluar la funcin a los 2.5 kilmetros, esto es,

y (2.5) 20 6.5 (2.5) 3.75 C

En el ltimo recuadro la variable y representa la posicin y la temperatura de los contextos reales; mientras que la variable x representa el tiempo y la altitud en dichos contextos.

En matemticas a la expresin y (x ) = y0 + r x se le conoce como funcin lineal. Se dice que la variable y es funcin lineal de la variable x, lo que queda resaltado con

el uso de la notacin de funcin,

y (x ),que se lee y depende de x .En el lenguaje matemtico formal, la palabra lineal se reere al exponente 1 que tiene

la variable x, pero que no se acostumbra escribir.

Tec_U1T1_02-26.indd 10 8/5/11 10:47:41 AM


Cmo visualizar de manera global el comportamiento de la temperatura?

Sabiendo que la tropsfera tiene un espesor de 17 kilmetros, podemos representar grficamente el comportamiento de la temperatura con respec-to a la altitud mediante la recta que inicia en el eje vertical a los 20 C y que termina en el punto donde la altitud en el eje horizontal marca los 17 kilmetros.Evaluamos la funcin de la temperatura y obtenemos

y (17) 20 6.5 (17) 90.5 C

Por tanto, la grfica que modela el comportamiento de la temperatura con respecto a la altitud consiste de un segmento de recta que inicia en el punto (0, 20) y termina en el punto (17, 90.5).

T y

h x

40

60

80

90.5

20

4 8 12 16 20

17

?

y(x)= 20 6.5x

T (h)= 20 6.5h

En la grfica hemos dejado un signo de interrogacin que seala un punto importante de la imagen visual que estamos construyendo; se trata del corte (o interseccin) con el eje horizontal.Al retomar el contexto real de la temperatura en funcin de la altitud, ob-servamos que encontrar ese corte significa conocer la altitud a la cual la temperatura es 0 C.Como la temperatura se modela con la funcin lineal

y (x) 20 6.5 x,

igualamos a 0 esta funcin de modo que

0 20 6.5 x 6.5 x 20

x z206 5

4013

3 077.

.

Con la palabra

visualizar

queremos dar lugar

al desarrollo de una

competencia matemtica.

Una

imagen visualest cargada de informacin pero no basta

verpara captarla

Una

TOMA NOTA!

Visualizar esinterpretar y procesar cognitivamente informacin a partir de una imagen visual, para producir un nuevo

conocimiento.

Tec_U1T1_02-26.indd 11 8/5/11 10:47:41 AM


Prcticamente, a los 3 kilmetros se llega a una temperatura de 0 C.El signo de interrogacin seala el valor de x (o bien h) en la grfica y con esto determinado podemos visualizar de manera global el comporta-miento de la temperatura que describimos en seguida. Al nivel del suelo la temperatura es 20 C y desciende uniformemente con respecto al aumento de la altitud. Al llegar esta ltima a los 3.044 kilmetros la temperatura llega a los 0 C y contina descendiendo a me-dida que la altitud aumenta, de tal forma que en los lmites de la tropsfe-ra, a los 17 kilmetros de altitud, la temperatura llega a los 90.5 C de acuerdo al modelo matemtico utilizado.

La funcin lineal

y (x ) y0 rx

modela el comportamiento de una magnitud (representada por la variable y ) que vara uniformemente con respecto a otra magnitud (representada por la variable x ).

El parmetro y0 representa el valor inicial de la magnitud, y0 y (0); es el valor de y justo cuando x 0.

El parmetro r representa la razn de cambio constante de y con respecto a x, que se denota por:

r $$

yx

cambio = resta

cambio = restarazn = cociente

La representacin grca de esta funcin es una recta (o parte de ella)

que cruza el eje vertical en y0 y cuya pendiente es precisamente el valor r de la razn de cambio de y respecto a x.

x

y

y0

valor inicialde la magnitud

(en = 0)

y > 0

yx > 0 x

es positiva

r = ____x

y

y

x

0

x > 0

y < 0

valor inicial de la magnitud (en = 0)

x y

es negativar =

x

Tec_U1T1_02-26.indd 12 8/5/11 10:47:48 AM


Observamos que en ambos casos, siendo r 0 o r 0, si prolongamos el segmento dibujado, inevitablemente la recta llega a cortar el eje hori-zontal x w. Cmo encontrar el valor de x correspondiente al corte (o interseccin) de la recta con el eje horizontal?Identificamos un nuevo proceso algebraico para dar respuesta: Primero, igualar a 0 la funcin y (x), lo que significa forzar a que el punto de la recta est sobre el eje x , y segundo, despejar el valor de x de la ecuacin lineal que se ha generado.La expresin $y r $x establece que cambios en la variable y son directamente proporcionales a los cambios en la variable x.Cuando se tiene el caso de que el valor inicial y

0 es cero, se tiene que la

funcin lineal queda expresada por

y (x) r x

Esto se representa grficamente por una recta que pasa por el origen (0, 0) del sistema coordenado, lo que asegura dems la proporcionalidad directa entre los valores de las magnitudes y y x y no slo la proporcionalidad de sus cambio $y y $x. En la siguiente imagen visual se tienen diferentes casos donde los diferentes valores de la razn de cambio r expresan diferentes comportamientos en las magnitudes representadas. Los signos positivos en r corresponden con crecimiento de y cuando x crece, mientras que signos negativos en r co-rresponden con decrecimiento en y cuando x crece.

Decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un nmero, la otra se afecta de la misma forma, se multiplica (o divide) por el mismo nmero. Matemticamente decimos que y y x son directamente proporcionales si y k x donde k es la constante de proporcionalidad.

Sabasque?...

r 10.153

r 1.496

r 0.668

r 0.414

r 0.098

r 0.098

r 0.414

r 0.668r 1

r 1.496r 2.414

r 10.153

r 0

r 2.414

r 1

Cada punto de un plano coordenado tiene asignados dos valores numricos: x (su abscisa) y (su ordenada)y sus coordenadas:

(x, y)nos permiten ubicarlo.

Cada pu t d

TOMA NOTA!

y

y

y

y

y

x

x x

x x

( x, y )

( x, y ) ( x, y )

( x, y )

Tec_U1T1_02-26.indd 13 8/5/11 10:47:49 AM


UNIDAD 1 TEMA 1.1

PROBLEMA 1

Cuando un paracaidista se lanza desde una gran altura y abre su paracadas, llega un instante en que su movimiento es prcticamente uniforme. Consideremos que un paracaidista se encuentra a 2 500 metros de altura y est descendiendo unifor-memente a una rapidez de 5 metros/segundo.

a) Construye la funcin que permita predecir la altura h (en metros) del paracaidista.

Consideramos el valor inicial de la altura del paracaidista, h0 2 500 metros, y la velocidad constante que lleva de 5 metros/segundo, donde el signo negati-vo provoca la disminucin de la altura. Construimos la funcin lineal que permite predecir el valor de la altura h del paracaidista en cualquier instante t mientras se encuentre en descenso:

h (t ) 2 500 5 t

b) Calcula el tiempo que tarda el paracaidista en llegar al suelo.

Para que llegue al suelo, el valor de h debe ser 0, igualamos a 0 la funcin y despejamos de la ecuacin construida el valor de t:

h (t ) 2 500 5 t 0

2 500 5 t

t = 2 5005

= 500

Por tanto, pasados 500 segundos, que equivale a (8 minutos con 20 segundos) el paracaidista llega al suelo.

PROBLEMA 2

La presin P que experimenta bajo el agua un buzo depende de la profundidad x a la que se encuentra ste. La razn con lo que est cambiando la presin (con respecto a la profundidad) es constante e igual a 0.0994 atmsferas/metro.

a) Construye la funcin que permita predecir la presin atmosfrica a la que est ex-puesto un buzo considerando que la presin en la superficie es de 1 atmsfera.

Por las condiciones de la situacin, se sabe que la presin vara de manera uniforme con respecto a la profundidad, por tanto se representa con una funcin lineal. El va-lor inicial de la presin es el que se tiene en la superficie, P0 1 atmsfera. La razn

de cambio de la presin respecto a la profundidad est dada por rPx

$$

0 0994.

Cuando un objeto cae desde suficiente altura bajo la accin de la gravedad, se produce una fuerza de rozamiento del aire que es proporcional a la velocidad

del cuerpo. Con esto se llega a un valor lmite (o valor terminal) de la velocidad y a partir de ese momento, puede considerarse que el objeto cae prcticamente con esa velocidad constante.

Sabasque?...

Problemas COMPLEMENTARIOS

Tec_U1T1_02-26.indd 14 8/5/11 10:47:51 AM

Problemas complementarios r 15

atmsferas/metro. Por tanto, la funcin que permite predecir el valor de la presin es:

P(x) P0 + rx 1 0.0994x

b) Cul ser la presin a la que se encuentra el buzo a los 50 metros de profundidad, si la presin en la superficie es de 1 atmsfera?

Para predecir el valor de la presin a la que est sujeto el buzo a los 50 metros de profundidad, basta con sustituir este valor en la funcin:

P(50) 1 + 0.0994 (50) 5.97 atmsferas.

c) Una presin de 11 atmsferas ejerce un efecto daino en el buzo. Qu profundidad debe el buzo tener muy presente para evitarse el dao?

Predecir la profundidad a la que se experimenta una presin de 11 atmsferas equivale a igualar P(x) a 11 y despejar el valor de x.

11 1 + 0.0994x

10 0.0994x

x z100 0994

100 604.

.

El buzo debe evitar llegar a una profundidad de 100 metros.

PROBLEMA 3Cuando un automvil est en movi-miento, la cantidad de gasolina en su tanque disminuye uniformemente con respecto a la distancia que recorre. En un TSURU 2011 la razn con la que dismi-nuye la gasolina es de 0.05 litros por kilmetro. Supongamos que vamos en ese automvil por la carretera nacional y sabemos que hay 40 litros de gasoli-na en el tanque del carro.

a) Construye la funcin que predice la cantidad de gasolina en el tanque en trminos de los kilmetros recorridos.

Consideramos el dato inicial de 40 litros de gasolina correspondiente a los 0 kilmetros recorridos.

Si g representa litros de gasolina en el tanque y x representa kilmetros recorridos, entonces siendo x 0 se tiene g (0) g0 40.

Adems, la razn de cambio de la cantidad de gasolina con respecto al kilmetro recorrido es

r $$

gx

0 0 5. l i t r o sk i l m e t r o

Por tanto, la funcin

g (x ) 40 0.05 x

El barmetro es un instrumento que mide el peso que ejerce la atmsfera sobre los cuerpos por

unidad de superficie. Los primeros instrumentos consistieron de un tubo largo cerrado por un lado que se llena de mercurio, voltea y coloca en un recipiente tambin con mercurio. Al nivel del mar en un da despejado, la columna de mercurio sostenida por la presin atmosfrica se eleva aproximadamente 76 centmetros, y esto es lo que se conoce como presin atmosfrica:

760 mm de mercurio 1 atmsfera.

Sabasque?...

Tec_U1T1_02-26.indd 15 8/5/11 10:47:52 AM


modela el comportamiento de la cantidad de gasolina con respecto a los kilmetros recorridos a partir de tener 40 litros en el tanque.

b) Cuntos litros quedarn en el tanque una vez que el carro ha recorrido 130 kilmetros?

Los litros necesarios para recorrer 130 kilmetros se obtienen evaluando la funcin en x 130

g (130) 400.05 (130) 40 6.5 33.5

Por tanto, en el tanque quedan 33.5 litros una vez recorridos 130 kilmetros.

c) Cuntos kilmetros se habrn recorrido cuando en el tanque quedan 18 litros de gasolina?

El que queden 18 litros en el tanque se representa igualando g (x ) a 18, construimos la ecuacin lineal sustitu-yendo ese valor en su lugar:

18 400.05 x y despejamos x:

0.05 x 40 18 22

x 220 05

440.

por tanto, se habrn recorrido 440 kilmetros una vez que quedan 18 litros en el tanque.

d) Alcanzar o no alcanzar la cantidad actual de gasolina para viajar desde Monterrey a Mxico, que se encuen-tra aproximadamente a 930 kilmetros de distancia?

Para determinar si alcanza la cantidad de gasolina para recorrer 930 kilmetros podemos evaluar

g (930) 40.05 (930) 4046.5 6.5 litros.

El resultado negativo en la cantidad de litros se debe interpretar en una respuesta negativa: no alcanzan los 40 litros que tiene inicialmente el tanque para recorrer la distancia de 930 kilmetros, para llegar a Mxico se deber volver a cargar gasolina.

PROBLEMA 4Una llave est llenando de agua un tanque que tiene la forma de un cilindro de un me-tro y medio de altura y radio en su base de 45 centmetros. La siguiente tabla muestra los valores del nivel del agua en el tanque en determinados tiempos:

6 r U id d 1 bl

Tiempo t (minutos)

Nivel h (centmetros)

0 20

2 29

4 38

6 47

8 56

Tec_U1T1_02-26.indd 16 8/5/11 10:47:53 AM


Los datos en la tabla nos permiten suponer que a partir de que lo observamos (en t 0) el nivel del agua en el tanque est cambiando uniformemente en el tiempo.

a) Cul es el valor de la razn de cambio (constante) del nivel respecto al tiempo?

La razn de cambio constante puede obtenerse de cualesquier dos renglones de datos en la tabla, mientras se di-vida un cambio en el nivel ocurrido entre el respectivo cambio de tiempo. Por ejemplo, utilizando los primeros dos renglones obtenemos:

r

$$

ht

29 202 0

92

4 5. centmetros/minuto.

Podemos comprobar que llegamos al mismo valor utilizando los renglones segundo y cuarto, por ejemplo:

r

$$

ht

47 296 2

184

4 5.

b) Construye la funcin lineal que permite predecir el nivel del agua en cualquier tiempo admisible, mientras el tanque se est llenando.

Con el dato inicial del nivel, h0 20 tomado de la tabla y la razn de cambio calculada en el inciso anterior tenemos que:

h (t) h0 r t 20 4.5 t

c) Cul ser el nivel del agua en el tanque a los 21.5 minutos?

Evaluamos la funcin que hemos construido en el valor del tiempo t 21.5 minutos:

h (21.5) 20 4.5 (21.5) 116.75 centmetros

El nivel de agua en el tanque a los 21.5 minutos es 116.75 centmetros.

d) Cunto tiempo se tardar en llenar el tanque?

Para que el tanque se llene, el nivel debe llegar a ser de 150 centmetros. Igualamos el nivel a este valor y con ello construimos una ecuacin lineal por resolver:

h (t ) 20 4.5 t = 150

4.5 t 150 20 130

t z1304 5

2609

28 889.

. minutos.

Aproximado a nmeros enteros, pasados prcticamente 29 minutos, el tanque se llena.

e) Cul es el cambio que se produce en el nivel entre los 3 y 3.5 minutos?

Tec_U1T1_02-26.indd 17 8/5/11 10:47:53 AM


De los 3 a los 3.5 minutos ha habido un cambio de

$t 3.5 3 0.5 minutos

Como la razn de cambio constante es

r $$

ht

3 5. entonces $h 3.5 $t

Por tanto $h (3.5)(0.5) 1.75 centmetros es el aumento del nivel.

Mismo que ocurre cada medio minuto: $h es directamente proporcional a $t.

Cada medio minuto va aumentando 1.75 centmetros el nivel.

PROBLEMA 5

Haciendo ejercicio en una bicicleta elptica, mantenindose a un ritmo de 30 revo-luciones por minuto, por cada segundo que pasa el tablero muestra que se acumulan 0.2 caloras. Supongamos que se realiza una rutina de calentamiento en la que se han acumulado 40 caloras.

a) Construye la funcin que calcula las caloras acumuladas en trminos del tiempo (medido en minutos) una vez que ya se ha realizado la rutina de calentamiento y se mantiene el ritmo.

Consideramos el valor inicial de las caloras acumuladas como c0 40 caloras. Por otra parte, la razn de cambio de la cantidad de caloras acumuladas con respecto al tiempo transcurrido se calcula tomando en cuenta el dato de 0.2 caloras por segundo, el cual debemos traducir de segundos a minutos:

r $$

ct

0 21

60

12. caloras

minuto

Con este dato construimos la funcin que calcula la cantidad de caloras acumuladas a los t minutos (luego del calentamiento) como

c (t ) c0 r t

c (t ) 40 12 t

b) Cuntas caloras muestra el tablero un cuarto de hora despus del calentamiento?

Evaluamos la funcin en t 15 minutos

c (15) 40 12 (15) 240 caloras

c) Para satisfacer los requerimientos de una dieta balanceada en carbohidratos, protenas y grasas se recomienda acumular en la bicicleta elptica diariamente 375 caloras. Cuntos minutos (aparte de los del calentamiento) se debe usar la elptica diariamente al ritmo de 30 revoluciones por minuto?

Tec_U1T1_02-26.indd 18 8/5/11 10:47:54 AM


Acumular 375 caloras se representa igualando la funcin que hemos construido a este valor y generando una ecuacin lineal por resolver:

375 40 12 t

12 t 375 40 335

t z335

1227 917.

Prcticamente, se requieren 28 minutos adicionales al calentamiento.

d) Cul es el cambio que se produce en la cantidad de caloras por cada 5 minutos?

Como la razn de cambio es constante

r $$

ct

1 2 c a l o r a sm i n u t o

entonces $c 12 $t

El cambio en la cantidad de caloras es proporcional al tiempo transcurrido.

Luego, pasados 5 minutos se tiene

$t 5 y as $c 12(5) 60.

Cada 5 minutos el tablero muestra que se acumulan 60 caloras.

PROBLEMA 6

La Ley de Charles establece que a presin constante, el volumen de un gas cambia uniformemente respecto a la temperatura. La siguiente tabla muestra valores del volumen de un gas contenido en un recipiente a determinadas temperaturas:

Temperatura en grados centgrados

Volumen en mililitros

0 107.9

5 109.875

10 111.85

15 113.825

20 115.8

a) Cul es la razn constante con la cual cambia el volumen del gas respecto a la temperatura?

Tec_U1T1_02-26.indd 19 8/5/11 10:47:56 AM


La razn con la cual cambia el volumen respecto de la temperatura se puede calcular mediante el cociente $$

VT

donde $V es el cambio que experimenta el volumen en un intervalo de temperatura en la que sta cambia $T. Si consideramos, por ejemplo, el intervalo en el que la temperatura cambia de 0 a 5 grados centgrados, tenemos que

r $$

VT

109 875 107 95 0

1 9755

0 395. - .

-.

.

Por tanto, la razn de cambio constante con la cual cambia el volumen respecto a la temperatura es de 0.395 mi-lilitros/grado centgrado.

b) Construye la funcin que modela el comportamiento del volumen V del gas (medido en mililitros) en trminos de la temperatura T (medida en grados centgrados).

Denotemos por V (T ) al volumen del gas en mililitros cuando la temperatura en grados centgrados es T. Sabemos que V (0) V0 107.9, como se establece en la tabla, y adems

rVT

$$

0 395.

Por tanto, V (T ) V0 $V 107.9 0.395 T

La funcin lineal V (T ) 107.9 0.395 T

expresa al volumen V del gas (medido en mililitros) en trminos de la temperatura T (medida en grados centgra-dos).

c) Cul ser el volumen del gas cuando la temperatura sea de 40 C?

Si T 40, entonces evaluamos la funcin:

V (40) 107.9 0.395(40) 123.7

Por tanto, cuando la temperatura sea 40 C el volumen ser de 123.7 mililitros.

d) Si extrapolamos la funcin lineal para valores de la temperatura fuera del intervalo donde esta magnitud es conocida, podras contestar a qu temperatura el volumen del gas es igual a cero.

Si T es la temperatura a la cual el volumen es igual a cero, entonces

V (T ) 107.9 0.395 T 0

Resolviendo esta ecuacin tenemos107.9 0.395 T 0

0.395 T 107.9

T z 1 0 7 90 3 9 5

2 7 3 1 6 5.

..

Por tanto, segn el modelo planteado, 273.165 C sera la temperatura a la cual el volumen es igual a cero.

Tec_U1T1_02-26.indd 20 8/5/11 10:47:56 AM


e) Grafica la funcin lineal V (T ) desde la temperatura en la que V se su-pone 0 hasta que se llega a la temperatura de 100 C.

En la siguiente figura se muestra la grfica del volumen contra la tempe-ratura correspondiente al intervalo desde 273.165 hasta los 100 C. Sealamos adems el dato inicial del volumen en su eje vertical.

273.165 100 50 50 100

147.4

107.9

T

V

f ) Cunto cambia el volumen del gas cuando la temperatura incrementa de 40 C a 45 C?

Sabemos que V es el cambio que experimenta el volumen en un intervalo de temperatura en la que sta cambia T, adems, conocemos la razn de cambio, la cual es constante:

$$

VT 0 395.

Podemos despejar en la expresin anterior:

$V 0.395 $T

y en ello observamos la proporcionalidad de estos cambios.

Ahora bien, cuando la temperatura incrementa de 40 a 45 C se tiene que $T 45 40 5, luego

$V 0.395 $T 0.395 (5) 1.975

Por tanto, el volumen incrementa 1.975 mililitros cuando la tempe-ratura aumenta de 40 a 45 grados centgrados. De hecho, podemos afirmar que cada $T de 5 C provoca un aumento en el volumen de $V 1.975 mililitros, tal y como se observa en los datos de la tabla en el enunciado de este problema.

y

x

... aqu en el eje x: y =0

TOMA NOTA!

En un sistema coordenado x-y lo

s

puntos situados sobre el eje

horizontal x , tienen forzosamente

su ordenada

y = 0.

( x, 0 )

y

x

... aqu en el eje =0y: x

En un sistema coordenado x-y lospuntos situados sobre el ejevertical y, tienen forzosamentesu abscisa x = 0

A fines del siglo XVIII los experimentos que el fsico francs Jacques Charles llev a cabo le hicieron

concluir que, dada cierta cantidad de gas mantenida a presin constante, existe una relacin entre las magnitudes volumen y temperatura: el volumen del gas es directamente proporcional a la temperatura. Por cada grado centgrado que disminuye la temperatura, el volumen del gas disminuye 1/273 de su volumen a los 0 grados. En 1860, Lord Kelvin concluye que la temperatura ms baja posible es 2 273 C y este valor se constituye en el cero absoluto de las temperaturas; conocido como el 0 en la escala Kelvin. De este modo, la temperatura de un objeto en grados Kelvin coincide con su temperatura en grados centgrados ms 273.

Sabasque?...

Tec_U1T1_02-26.indd 21 8/5/11 10:47:57 AM

Problemas PROPUESTOS

PROBLEMA 1

Una taza de caf se calienta en un horno de micro-ondas alcanzando una temperatura de 65 C. Se extrae y se expone al medio ambiente que se en-cuentra a una temperatura de 21 C. Para fines prcticos se puede suponer que en los primeros 8 minutos la temperatura de la taza de caf disminuye uniformemente a razn de 3.5 grados centgrados por minuto.

a) Construye la funcin que permite predecir la tem-peratura T para diferentes valores del tiempo t medido en minutos.

b) Cuntos minutos se deber esperar a partir de su extraccin del horno para beber el caf a una tem-peratura de 40 grados centgrados?

c) Si consideramos este modelo lineal funcionando por ms tiempo Qu temperatura alcanza el caf a los 15 minutos? Es esto posible?

Respuestas:

a) T (t ) 65 3.5 t b) t { 7.143 c) T 12.5, no.PROBLEMA 2

Los aviones comerciales deben estar provistos de siste-mas de presurizacin en la cabina de pasajeros ya que la presin atmosfrica disminuye a razn de 1 milibar por cada 9 metros de altura. A nivel del mar la presin at-mosfrica es de 1 013 milibares.

a) Construye la funcin que representa la presin at-mosfrica en trminos de la altura, tomando como referencia el nivel del mar.

b) Encuentra la presin atmosfrica en el exterior de un avin que est volando a 8 kilmetros de altura.

c) Predice el valor de la altura que debe alcanzar un avin para que la presin atmosfrica a esa altura sea de 927.5 milibares.

Respuestas:

a) phh () 10131

9

b) p { 124.111 c) h 769.5

UNIDAD 1 TEMA 1.1


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Problemas propuestos r 23

PROBLEMA 3

La temperatura T en cualquier lugar de nuestro pla-neta disminuye a razn constante con respecto a la altura h sobre el nivel del mar. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas (en grados centgrados) a diferentes alturas (en kilmetros) en cierto lugar del planeta.

h T0 151 8.72 2.43 3.94 10.2

a) A qu razn est cambiando la temperatura T con respecto a la altura h?

b) Construye la funcin que calcula la temperatura T en trminos de la altura h.

c) A qu altura podemos esperar que la temperatura sea 0 C?

Respuestas:

a) r 6.3 b) T (h) 15 6.3 h c) h { 2.381

PROBLEMA 4

Al saltar de un bungee, el alargamiento de la cuerda elstica cambia uniformemente en funcin del peso de la persona que est saltando. Consideremos que el largo de la cuerda sin deformar es 15 metros y que alcanza un largo de 24 metros cuando lo utiliza una persona de peso 45 kilogramos.

a) Calcula la razn de cambio del largo de la cuerda con respecto al peso de la persona

b) Construye la funcin que prediga el largo de la cuerda l , en trmi-nos del peso, p, de la persona:

c) Si la superficie de concreto se encuentra a 45 metros abajo del pun-to donde est atada la cuerda del bungee, cul es el mximo peso para que una persona de 1.7 metros de altura se pueda lanzar sin que se golpee con el suelo. Se asume que la cuerda del bungee est atada a los tobillos de la persona.

Respuestas:

a) r 0.2 b) l (p) 15 0.2 p c) p 141.5

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PROBLEMA 5

Consideremos una gota de lluvia que se encuentra a 3 kilmetros de altura y des-ciende con una velocidad terminal de 7 metros/segundo. Determina:

a) Construye la funcin de la altura h (en metros) de la gota en trmi-nos del tiempo t (en segundos).

b) Calcula el tiempo que tarda la gota en llegar al suelo.

De acuerdo con la presentacin

formal de la Matemtica,

tradicionalmente se utilizan l

as

letras x y y para las variab

les:

x es la variable independient

e y

y es la variable que depende d

e x.

d con la presentacin taci

TOMA NOTA!

La dependencia funcional entre las variables x y y se representa por:y = f (x)que se lee:

y es funcin de x.

La funcin y = f (x)

establece que:

a cada valor de x

se le asocia

un nico valor de y.

Los valores numricosque acepta la variable x

se refieren como el dominio de f (x) y los que toma la variable y como

el rango o imagen de la funcin f (x)

En contextos reales eldominio comnmente incluye slo nmeros

positivos, pero hay casos (problema 6)

en que los nmerosnegativos

son igual de tiles.

Si damos el significado: x es tiempo, y es posicinde un objeto que se mueve en una lnea rectatiene sentido que

y = f (x)a cada valor del tiempo x le asocie un nico valor de la posicin y porque el objeto no puede estar en dos posiciones distintas al mismo tiempo

amos el significado: amos el significado:

TOMA NOTA!

Cuando damos significado a

las

variables

y es la variable que se asocia

con la magnitud bajo estudio,

y

x es la variable que se asocia

con la magnitud con respecto a

la cual est cambiando la mag

nitud

bajo estudio, y.Respuestas:

a) h (t ) 3000 7 t b) t { 428.571


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Ejercicios UNIDAD 1 TEMA 1.1

Ejercicios r 25

Respuesta: xy 2

5

6

5

1) Evala la funcin lineal y(x) 2.5 x 1.3 en x 1.1.

Estos son ejercicios,no son problemas...

aqu x y ytoman todos los valores

numricos porqueslo representan

nmeros sin relacincon alguna magnitud.

TOMA NOTA!

Respuesta: y (1.1) 4.05

2) Iguala a 1.1 la funcin lineal y (x) 2.5 x 1.3 y obtn el valor correspondiente de x.

Respuesta: x 0.08

3) Despeja x de y 52

3x .

4) Despeja y de 32

5 13

x y .

Respuesta: yx 3

10

1

15

5) Sustituye y 1 2 x en 2 x 3 y 5 0 y encuentra el valor de x.

Respuesta: x 0.25

6) Sustituye x 2 y 5 en y 2 x 1.5 y encuentra el valor de y.

Respuesta: y 2.3

Usar correctamente

el lenguaje algebraico

en Matemticas

exige desarrollar una

habilidad...

y por tanto...

requiere prctica,

asi que... practica!

TOMA NOTA!

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Respuesta: y1

3

7) Iguala a 0 la y en 52

3 6 0x y y encuentra x.

Respuesta: x 2.4

8) Iguala a 0 la x en 2 53

6 0. xy

y encuentra el valor de y.

Respuesta: y 18

9) Sustituye x por 2 en 2.5 x 3 y 6 0 y encuentra y.

10) En la funcin y x x( ) 23

13

, si y vale 5 cunto vale x?

Respuesta: x 17

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Tema 1.2 Clculo del valor aproximado del cambio acumulado r 27

1.2.

t tiempo (segundos)

v velocidad (metros/segundo)

0 20

1 19.365

2 17.321

3 13.229

4 0

SITUACIN PROBLEMA 1.2

Un carro transita por una carretera recta a una ve-locidad de 20 metros/segundo, cuando de pronto aplica los frenos.

Basta que evaluemos la funcin de velocidad en t 4

v( ) ( )4 400 25 16 0

para comprobar que en ese instante la velo-cidad lleg al valor 0 y el automvil se ha detenido por completo.

b) Completa la siguiente tabla aproximando los va-lores a 3 decimales exactos.

Clculo del valor aproximado del cambio acumulado

En este tema proponemos retomar el contexto real del movimiento de un objeto en lnea recta para apoyar el surgimiento de una estrategia que permite aproximar el cambio que experimenta la posicin del objeto en determinado intervalo de tiempo transcurrido. Dado que no se trata del caso de un movimiento rectilneo uniforme, la velocidad, adems de la posicin, ser una magnitud que tambin estar cambiando en esta situacin. La idea de considerar que la velocidad se mantenga constante en intervalos de tiempo pequeos resultar ser fructfera para atacar la problemtica de prediccin. Con ella, se identifica un proceso numrico que est apoyado en el conocimiento de la razn de cambio de la magnitud y que puede ser realizado con el uso de recursos tecnolgicos actuales. La eficacia de este mtodo numrico para calcular valores suficientemente cercanos a los valores de la magnitud en consideracin, le consolida como un mtodo efectivo aplicable en mltiples y variadas situaciones.

A partir de ese instante (t 0) la velocidad del au-tomvil disminuye y est modelada por la funcin

v t t 400 25 2 metros/segundo.

a) Verifica que el carro se detiene a los 4 segundos.

en cada rengln evaluamos

v 2 400 25 2

17 320508

2 z

( )

.

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Una afirmacin es

Verdadera

si es vlida en todos

y cada uno de los casos

TOMA NOTA!

Verdadero o Falso?

posicin = posicin +

distancia

final inicial recorrida

es V o F ?

c) Haciendo uso de la tabla anterior, calcula en forma aproximada la dis-tancia recorrida por el carro desde que aplica los frenos hasta que se detiene por completo. Para ello considera que la velocidad se manten-dr constante en cada subintervalo de tiempo:

[0, 1 ], [1, 2 ], [ 2, 3 ] y [ 3, 4]

Si la velocidad fuese constante, la distancia se calcula simplemente multiplicando ese valor constante por el tiempo transcurrido desde los 0 a los 4 segundos. ste no es el caso, pues la funcin de velocidad nos est dando evidencia de que est cambiando, de hecho, sus valores estn disminuyendo a medida que pasa el tiempo.

Sin embargo, si recurrimos a la idea de subdividir el intervalo de tiem-po transcurrido en pequeos subintervalos, podemos hacer la supo-sicin de que en ellos la velocidad se mantenga constante. Esta idea (intuitiva, mas no obvia) nos permite ahora aproximar la distancia recorrida por el automvil. Aproximaremos su valor considerando que la velocidad se mantiene constante en los 4 intervalos de tiempo que se construyen a partir de los datos de la tabla:

[0, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 3 ] y [ 3, 4]

Calcularemos una aproximacin de la distancia real recorrida en cada uno de esos intervalos tomando la velocidad constante con el valor que toma justo en el extremo izquierdo de cada subintervalo:

En el intervalo [0, 1] se tiene que t 1, suponiendo que la veloci-dad se mantiene constante e igual a v (0) 20 en ese subintervalo, tenemos que la distancia recorrida ser

(20) (1) 20 metros.

Si $1d representa la distancia recorrida en el intervalo [0, 1], hemos obtenido una aproximacin de este valor:

$1 0 20 1 20d tz v $ metros.En el intervalo [1, 2] se tiene que %t 1 nuevamente. Suponiendo la velocidad constante en ese intervalo tambin, pero ahora con el valor v (1) 19.365, obtenemos una aproximacin de la distancia recorrida en ese intervalo con

$ $2 1 19 365 1 19 365d tz z v . . metros.Procederemos de la misma manera en los dos intervalos restantes de modo que

$ $3 2 17 321 1 17 321d tz z v . . y$ $4 3 13 229 1 13 229d tz z v . .

Sumamos los 4 valores y obtenemos que la distancia recorrida en los 4 subintervalos es aproximadamente igual a 69.914 metros

$ $ $ $ $ii

d d d d d z 1

1

4

2 3 4 69 914.

F

Si camino del 5 al 2

2 5

entonces

2 = 5 + 3 ?...es _____

p f p i d r

p fp i d r

Si camino del 2 al 8y me regreso al 5

2 5 8entonces

5 = 2 + 9 !!!...es _____F

V

Si camino del 2 al 5

2 5entonces

5 = 2 + 3 ?...es _____p f p i d r

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TOMA

NOTA!

La afirmacinVerdadera es:

posicin =

posicin +

cambio de final inicial la posicin

d) Con ayuda de la funcin velocidad, completa la siguiente tabla (aproxi-ma con 3 decimales exactos):

t tiempo (segundos)

v velocidad (metros/segundo)

0 v (0) 20.5 v (.5) { 19.8431 v (1) { 19.365

1.5 v (1.5) { 18.5402 v (2) { 17.321

2.5 v (2.5) { 15.6123 v (3) { 13.229

3.5 v (3.5) { 9.6824 v (4) 0

en cada rengln evaluamos

v 1 5 400 25 1 5

18 540496

2. ( . )

.

z

e) Haciendo uso de esta tabla calcula en forma aproximada la distancia recorrida por el automvil desde que aplica los frenos hasta que se de-tiene por completo considerando que la velocidad se mantendr cons-tante en cada subintervalo de tiempo.

Con los datos adicionales de la tabla, el intervalo original de variacin del tiempo [0, 4], se divide en 8 subintervalos cada uno de longi-tud de medio segundo, esto es, t 0.5 En cada uno de ellos vamos a suponer que la velocidad se mantiene constante, y el valor de esa velocidad ser justo el que se tiene en el extremo izquierdo de cada subintervalo. En [0, 0.5] tomamos v (0) 20 constante en ese subintervalo. En [0.5, 1] tomamos v (0.5) { 19.843 constante. En [1, 1.5] tomamos v (1) { 19.365 constante. En [1.5, 2] tomamos v (1.5) { 18.540 constante. En [2, 2.5] tomamos v (2) { 17.321 constante. En [2.5, 3] tomamos v (2.5) { 15.612 constante.En [3, 3.5] tomamos v (3) 13.229 constante.

Finalmente, en [3.5, 4] tomamos v (3.5) { 9.682 constante en ese ltimo subintervalo.

Podemos representar esta accin de la siguiente manera

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4tiempo

Los nmeros naturales surgen de la necesidad prctica de contar objetos individuales. Tres hombres, tres piedras, tres CD, tres canciones, etc.

Estos conjuntos tienen en comn la propiedad que se denota de manera abstracta con el smbolo 3 tan familiar para nosotros.

Pero en la vida diaria no slo contar es importante, tambin es necesario medir.

Medir es asignar un nmero a diferentes magnitudes, como longitud, rea, peso, energa, velocidad, tiempo, temperatura, costo, etc.

Los nmeros naturales (enteros positivos)

N [ ]1 2 3 4 5, , , , ,...

son suficientes para contar pero no son suficientes para

resolver el problema de medir.

Sabasque?...

...aquv (0)

constante

...aquv (1)

constante

...aquv (2)

constante

...aquv (3)

constante

...aquv (3.5)

constante

...aquv (2.5)

constante

...aquv (1.5)

constante

...aquv (.5)

constante

2 5 8

5 = 2 + posicin 5 = 2 + 3 x

f = xi + x

xf

xi

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Con la gua de la figura anterior obtenemos aproximaciones de la distancia recorrida en cada subintervalo multiplicando la velocidad constan-te por el tiempo transcurrido en el subintervalo, que en este caso siempre es medio segundo.

$1 0 0 5 20 0 5 10d vz z . .$2 0 5 0 5 19 843 0 5 9 9215d vz z . . . . .$3 1 0 5 19 365 0 5 9 6825d vz z . . . .$4 1 5 0 5 18 540 0 5 9 270d vz z . . . . .$5 2 0 5 17 321 0 5 8 660d vz z . . . .

$6 2 5 0 5 15 612 0 5 7 806d vz z . . . . .$7 3 0 5 13 229 0 5 6 6145d vz z . . . .$8 3 5 0 5 9 682 0 5 4 841d vz z . . . . .

Por tanto, la distancia recorrida por el automvil se aproxima con la suma

$ $ $ $ $ $ $ $ $id d d d d d d d d 1

1

8

2 3 4 5 6 7 8i

z 10 9 9215 9 6825 9 270. . .

8 66 7 806 6 6145 4. . . ..841 66 7955.

f) De las aproximaciones calculadas en los dos inci-sos anteriores, cul de ellas es una mejor aproxi-macin a la distancia real recorrida por el auto-mvil?, por qu? Cmo podras obtener una mejor aproximacin an?

Esta ltima aproximacin mejora el clculo de la distancia recorrida. Argumentamos esto al ob-servar que la variacin que se da en los valores de la velocidad en cada subintervalo es menor ahora, ya que se ha considerado menos tiempo en el que puede variar la velocidad. Esto hace de ella una mejor aproximacin que la obtenida en el inciso c). Podemos generar una mejor aproximacin si consideramos un mayor nmero de subinterva-los en que se divide el intervalo original [0, 4]; esto siempre actuando bajo el supuesto (que resulta natural) de que los valores de la veloci-dad varan menos entre s cuando consideramos un intervalo de tiempo cada vez ms pequeo.

g) Analiza la situacin para que decidas si la aproxi-macin que se ha obtenido de la distancia reco-rrida por el automvil es mayor o menor que di-cha distancia.

La aproximacin obtenida de 66.7955 metros es mayor a la distancia recorrida por el autom-vil, porque en cada subintervalo de tiempo consi-deramos el dato del valor mayor de la velocidad al que se llega en ese subintervalo. Como supusi-mos que este valor se mantendra constante, los valores de la velocidad que se consideraron para calcular la aproximacin son realmente valores mayores a los que llevaba realmente el autom-vil en cada subintervalo. Para hacer esta consi-deracin es clave tomar en cuenta la situacin real planteada en el problema que nos asegura que los valores de la velocidad estn disminu-yendo a medida que transcurre el tiempo.

h) Supongamos que la causa del frenado del auto-mvil fue haber observado una vaca parada en medio del camino. Supongamos que la vaca es-taba justo a 67 metros del automvil en el mo-mento en que inicia el frenado. La aproximacin obtenida para la distancia recorrida por el auto-mvil, te permite asegurar que la vaca no fue atropellada? Argumenta tu respuesta.

La vaca no fue atropellada porque la aproxima-cin de la distancia recorrida por el automvil es un valor mayor que dicha distancia. Si le llamamos d, entonces d b 66 7955. y como 66 7955 67. < entonces d < 67. El automvil se par antes de impactarse con la vaca, qu tanto antes? eso no lo sabemos con precisin pero s sabemos que se detiene en una posicin menor que 66.7955, por tanto menor que 67.

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GENERALIZACIN Y USO DE LA NOTACIN MATEMTICA

clculo, en el que podemos realizar de manera auto-mtica los clculos expresados en el procedimiento numrico que hemos estado recreando. En seguida aparece la imagen con cierta organizacin de la in-formacin que te proponemos realices en la hoja de clculo que tengas a la mano.

t v (t ) v (t )t t0 20.000 20.000 11 19.365 19.3652 17.321 17.3213 13.229 13.229

x distancia4 0.000 0.000 aproximacin 69.9142

... aqu se introduce la frmula que agrega t a la celda de arriba

... aqu se calculan los productos manteniendo la velocidad constante

... aqu se suman los 4 primeros datos de la

tercera columna

... aqu se introduce la frmula de v (t )

TOMA NOTA!Expresiones del tipo:

10

100

00

, ,

que incluyen la divisin entre el nmero 0

no representan nmeros!

Partiendo de: a = b

multiplico por a: a 2 = ab

resto b 2: a 2 b 2 = ab b

2

factorizo: (a b) (a + b) = b (a b)

divido entre a b: a + b = b

sustituyo a = b: b + b = b

sumo: 2b = b

y divido entre b: 2 = 1

Qu estuvo mal ?!

Si vas a dividir y cancelarasegrate de no hacerlo entre cero!00 no es 1

a ba b

1

s y slo s a bx

xx x

2 11 1

s y slo s x x 1

El problema de medir se reduce, en una primera instancia, al problema de contar:

se elige una unidad de medida y se trata de ver cuntas veces esa unidad est contenida en la magnitud que buscamos medir.

Piensa, por ejemplo, en medir el filo de tu escritorio utilizando una cuarta, es decir, considerando como unidad a la longitud entre las puntas de tu dedo pulgar y meique al extender tu mano.

Seguro te dars cuenta que este proceso, en general, no es suficiente, porque puede ser que la medida buscada no sea un mltiplo de la unidad.

Es comn que quede un resto de la magnitud sin medir, una parte restante que queda del todo.

En ese momento se requiere subdividir a la unidad original en un cierto nmero de partes iguales. Se toma

una de ellas como unidad para medir con ella el resto de la magnitud. Cuando la unidad de medida se asocia con el nmero 1 y sta se

divide en n partes iguales, se genera la subunidad

1n .

Si la medida de la magnitud se asocia con el nmero mn ,

esto significa que la subunidad 1n cabe m veces en la

magnitud: m nmn

1 .

Despus de realizar varias veces esta accin de subdividir la subunidad para medir el resto quedar an un resto sin medir?

Sabasque?...

En esta situacin problema hemos considerado la dis-tancia recorrida por el automvil respecto al tiempo y calculamos un valor aproximado de la misma que fuimos mejorando conforme obtenamos ms datos de la velocidad. Conviene en este momento valorar el uso de un recurso tecnolgico, como la hoja de

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t v (t ) v (t ) t t0.0 20.000 10.0000 0.5

0.5 19.843 9.9216

1.0 19.365 9.6825

1.5 18.540 9.2702

2.0 17.321 8.6603

2.5 15.612 7.8062

3.0 13.229 6.6144

3.5 9.682 4.8412 x distancia

4.0 0.000 0.000 aproximacin 66.7964

Observamos que en cada celda de la tercer columna se utiliza la idea de considerar la velocidad constante en el intervalo que comienza en el valor de t del mismo rengln y acaba en el valor de t del siguiente rengln; por ejemplo, en el intervalo de tiempo de t 1 a t 2 la velocidad constante 19.365 metros/segundo provoca un cambio en la posicin de 19.365 metros dado que t 1. De esta forma, basta sumar los prime-ros 4 renglones de la tercer columna para obtener la aproximacin de la distancia recorrida hasta t 4.La ventaja de contar con este recurso es que de una manera sencilla podemos obtener la mejora en la aproximacin al cambiar el dato de t por 0.5 y prolongar el efecto de las operaciones declaradas en la hoja de clculo hasta obtener el rengln donde el tiempo llega a 4 segundos. La certeza de que el dato t 0.5 brinde una mejor aproximacin de la distancia lo seguimos apoyando en el hecho intuitivo (pero no obvio) de que la va-riacin de los valores de la velocidad en un intervalo menor de tiempo es menor a la variacin que puede tener en un intervalo mayor de tiempo.Habr ocasin de ahondar en esto posteriormente. Por el momento vale la pena que realices en tu propio recurso tecnolgico el cambio de t 0.5, prolongues las operaciones en el archivo electrnico y compa-res con la tabla que en seguida presentamos.

Los nmeros enteros resultan al agregar a los naturales el nmero 0 y los negativos de cada nmero natural:

Z [ ]... ...4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4

Los nmeros racionales resultan del cociente (divisin, razn) de dos nmeros enteros claro, siempre y cuando el denominador no sea 0.

Q Z x

mn

n ntal que m, , 0

La nueva aproximacin obtenida es 66.7964 y difiere un poco de la que calculamos manualmente, la razn es que estamos permitiendo al recurso tecnolgico que considere todas las cifras decimales que puede utilizar, lo que hace nuestra aproximacin ms certera. Acostumbrndonos a manejar este recurso tecnolgico y considerando una cantidad de cifras decimales fija (3, 4 o 5 decimales) para obtener nuestras respuestas, podremos comparar los resultados obtenidos sin problema.Nuevamente la hoja de clculo nos invita a mejorar la aproximacin para la distancia recorrida por el automvil antes de quedar en reposo. Con un t 0.1 obtenemos la aproximacin de la distancia 63.73895 metros, que es menor al valor obtenido anteriormente y es ms cercano al valor exacto de la distancia. Interacta con tu propia hoja para que compruebes el dato que te damos.

Sabasque?...

Con los nmeros

racionales

aparece nuevamente

la palabra

razn

para denotar

divisin o cociente

l nmerosl nmerosTOMA NOT

A!

Los nmeros racionalesson la razn

de dos nmeros enteros,donde la divisin

no incluye al nmero 0

mn

numerador

denominador razn

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Primera precisin.

La distancia recorrida por el automvil puede ser considerada como el cambio de su posicin x, donde la posicin inicial es 0. Estamos fijando el origen del sistema coordenado en el que se mueve el automvil justo en donde ste se encontraba al aplicar los frenos.

0 1 2 x

De esta manera, el valor de la distancia recorrida puede denotarse como x y siendo que el clculo se hizo de los 0 a los 4 segundos, podemos sealar esto como

$x 0 4,

que se lee: el cambio de la posicin en el intervalo de 0 a 4. Habiendo considerado la subdivisin del intervalo de tiempo en 8 subintervalos, calculamos que

$ $ $ $x x x x0 4 0 0 5 0 5 1 3 3, , . . , ... , .. . ,5 3 5 4 $ x

$ x v v v0 4 0 0 5 0 5 0 5 3 0 5, . . . ... . z v 3 5 0 5. .La expresin anterior invita a pensar el cambio de la posicin en el intervalo [0, 4] como una acumulacin del cambio de la posicin en los consecutivos 8 subintervalos que se determinan.Apoyndonos en la siguiente figura podemos generalizar la expresin del cambio de la posicin en el intervalo de tiempo [0, 4] introduciendo la notacin ti para enumerar las divisiones que se hacen del intervalo. Observa que t0 coincide con el valor inicial del tiempo y t8 con el valor final del tiempo, en este caso, 4.

tiempot00 t10.5 t21 t31.5 t42 t52.5 t63 t73.5 t84

t t t t t t t t

Utilizando la declaracin de los puntos de subdivisin escribimos en seguida el cambio de la posicin en el inter-valo de 0 a 4 y su aproximacin:

$

$ $ $ $

x

v t t v t t v t t v t t v

0 4

0 1 2 3

,

( ) ( ) ( ) ( ) z

(( ) ( ) ( ) ( )t t v t t v t t v t t4 5 6 7$ $ $ $

$ $x v t t0 4 11

8

, ( ) z ii

Observa que en la expresin para la sumatoria hemos utilizado el subndice i que vara de i = 1 a i = 8 ha-ciendo que el dato de la velocidad se calcule en ti-1 generando t0, t1 hasta t7, porque v (t7) es el ltimo valor de velocidad que debe considerarse para mantenerle constante en el ltimo subintervalo [t7, t8] = [3.5, 4].


Est haciendo falta que compartamos una manera de denotar el proceso numrico que estamos imple-

mentando y poder generalizarlo. Para ello, debemos hacer algunas precisiones.

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Segunda precisin.

Pensar que el clculo del cambio que se acumula en el intervalo [0, 4] fuese calculado en el intervalo [0, 3.4], en [0, 3], o [0, 2.5], en general en cualquier tiempo t posible para la situacin, nos sugiere generalizar la manera de denotar el cambio acumulado de la posicin en el intervalo [ 0, t ] como

$ $x t v t t0 11

8

, ( ) z ii

Pero esta expresin estara considerando que el intervalo de tiempo [ 0, t ] fuese subdividido en 8 subin-tervalos, sin embargo pensando en la mejora de la aproximacin del cambio acumulado, propongamos en seguida una subdivisin general del intervalo [ 0, t ] que sea de n subintervalos de igual longitud. La longitud del intervalo [ 0, t ] es t y subdividido [ 0, t ] en n subintervalos generar longitudes iguales

$t tn

,

como lo representamos en la siguiente figura:

t t t t

t t ttt0 t1 t2=0 i 1 n 1 ni = ttiempo

. . . . . .

Apoyados en la figura anterior expresamos:

$ $ $ $x t x t t x t t x t t[ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ]0 0 1 1 2 1 i i ... [ , ]$ x t tn n1

$ $ $ $x t v t t v t t v t t v[ , ] ( ) ( ) ... ( ) ...0 0 1 1z i (( )t tn1 $

$ $x t v t t[ , ] ( )0 11

z ii

n

Observa nuevamente que la notacin de sumatoria utiliza el subndice i que al variar de i = 1 a i = n pro-duce los valores para la velocidad desde t0 hasta tn-1 donde v (tn-1) es el ltimo valor de velocidad que se mantiene constante en el ltimo intervalo [tn-1, tn] que termina en tn = t.

Tercera precisin.

Un ltimo paso hacia la generalizacin consiste en transferir el proceso numrico que hemos generado en el contexto real del movimiento en lnea recta al contexto general de una magnitud de inters que vara con respecto a otra magnitud:

La posicin x representa a la magnitud M y el tiempo t a la magnitud x de la que depende M.

Sea M una magnitud que depende de la magnitud x y cuya razn de cambio r (x ) es conocida. El cambio acumulado de M en el intervalo [0, x ] se denota por $M [0, x ]

y se aproxima mediante:

$ $M x r x x[ , ] ( )0 11

z ii

n

Generalizacin

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El algoritmo de la divisin

nos informa que

la expansin decimal de los

nmeros racionales

es muy peculiar

di i inTOMA NOT

A!

Si divido dos enteros,por ejemplo 2

5 0.45 2.0 0

25

0 4 .

este nmero racional tiene una expansin decimal finita

Si divido los enteros

43

:

1.333...3 4.000 10 10 10.

.

.

43

1 333 . ......

este nmero racional

tiene una

expansin decimalinfinita!

Expansiones decimales

infinitas perdicas:

13

0 333 0 3 . ... .

0.111...111...= 0 1.

0.123123... 0 123.

207

2 85714285714 .

2 85714285714 .

Divide 258 , tambin

207

y comprueba cul tiene expansin decimal

finita y cul infinita

25

TOMA NOTA!

Los nmeros racionales, Q , son densos en la recta numrica. Esto quiere decir que dados dos nmeros racionales, siempre existe otro nmero racional entre ellos.

0 1

0.5 1.8 1.9

2 3

Cada vez que propongas dos nmeros racionales, bastante cercanos entre s, por decir:

2.71845 y 2.71846,

podrs encontrar otro nmero racional entre ellos, por ejemplo

2.7184572

Habrs notado que estamos a las puertas de un proceso infinito...

Sabasque?...

entre 0 y 1 est 0.5

entre 1.8 y 1.9 est 1.

calculo aplicado. competencias matematicas a traves de contextos i

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