CALCULO AERODINAMICO DE COMPRESORES Y TURBINAS

POR

C\RLOS SANCHEZ TARIFA

I N T R O D U C T I O N

En los ultimos anos ha progresado considerablemente el estudio aero-dinamico de toda clase de compresores y turbinas. Las antiguas teorias unidimensionales o casi-unidimensionales con las que se proyectaban las turbinas de vapor y los compresores centrifugos, han ido sustituyendose por teorias mucho mas conpletas en las que se estudia la corriente en dos e incluso en tres dimensiones [1 , 2, 3 y 4 ] .

No obstante, el estudio de la corriente en un compresor o turbina utili-zando las ecuaciones diferenciales generales de Navier-Stokes de un fhiido viscoso y compresible, no resulta posible por el caracter no lineal de di-chas ecuaciones, que no las hace asequibles ni aun a los metodos nume-ricos de calculo.

Por tanto, es norma general prescindir de la viscosidad en el estudio del campo de velocidades, lo que es posible gracias a que su influencia se circunscribe a la capa limite, de muy pequeno espesor en esta clase de maquinas. Esta hipotesis no seria valida, por ejemplo, si los alabes traba-jasen en perdida, pues el desprendimiento de la capa limite originado por la viscosidad alteraria profundamente el campo de velocidades. Posterior-mente, las perdidas de presion producidas por la viscosidad se tienen en cuenta como una correccion a los resultados obtenidos utilizando las for­mulas de los fluidos ideales, proporcionando fundamentalmente estas ulti­mas la potencia y tamano de la maquina, mientras que las perdidas fric-cionales influyen decisivamente en el rendimiento.

Aun prescindiendo de la viscosidad, la resolution general del problema en corriente tridimensional es en extremo dificil, por lo que han de admi-tirse otras simplificaciones. La hipotesis de simetria axial conduce a los denominados ((metodos de las lineas de corriente», en los que las ecuacio­nes del movimiento se integran sobre superficies de corriente simetricas respecto al eje de giro. A esta clase de calculos, aunque generalmente muy simplificados, pertenecen la mayoria de los metodos con que se proyectan los compresores y turbinas.

El trabajo que aqui se presenta pertenece tambien a esta clase. Se ad-mite en el la hipotesis de simetria axial, pero se consideran las desviacio-

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nes radiales de las lineas de corriente y el posible caracter no isentropico de la corriente fluida. Resulta, por tanto, un metodo de considerable alcan-ce y sera aplicable al estudio de compresores diagonales de alabes radia­les o con pequefia desviacion radial 3 a tocla clase de compresores y tur-binas axiales.

En el caso de turbinas axiales, Holmquist [5] ha desarrollado un me­todo de calculo basado en hipotesis semejantes, aunque el procedimiento cle integration de las ecuaciones es diferente del que aqui se ha seguido.

Para la exposition de este metodo de calculo se plantea en la J parte de este trabajo el problema general de la corriente fluicla en una maquina rotatoria, indicando los diversos metodos de resolution y las simplificacio-nes que hay que ir admitiendo hasta llegar a las ecuaciones que utilizan en el proyecto. De esta manera se fimdamenta el metodo, indicando al mismo tiempo otros de mayor alcance, aunque naturalmente mas laborio-sos, utilizables, por ejemplo, para el proyecto aeroclinamico de un com-presor diagonal de cualquier clase.

PRIMERA PARTE

E C U A C I O N E S G E N E R A L E S Y M E T O D O S DE P R O Y E C T O

1. Notation.

V = velocidad absoluta. W — velocidad relativa.

Fz, F r , F0= componentes axial, radial y tangencial de la velocidad abso­luta.

Vz, Wr, TF8 = id. id. id. de la velocidad relativa.

w = vector velocidad angular segun el eje Z. r = radio vector. a = velocidad del sonido. p =densidad p = pres'ion. T = temperatura. /z = entalpia masica. vS = entropia. <J> == potencial de velocidades. V=operador anabla».

A =s igno del producto vectorial.

2. Ecuaciones generates y consecuencias.

Las ecuaciones del movimiento tridimensional de un fluido ideal, pero compresible, son las siguientes :

Continuidad :

4f-+V(PF) = 0 (1)

54 —

Impulso (en ausencia de fuerzas masicas) :

La expresion de estas ecuaciones en un sistema giratorio con velocidad

angular constante co, son las siguientes :

^ + V ( P T ? ) = 0 (3) dt

DW - ~> -+ Vp Dt p

Siendo r el radio vector y W la velocidad relativa, relacionada con la

velocidad absoluta V mediante la expresion :

W=T-2/\r (5)

DW -* En la formula (4), —~— es la aceleracion relativa, - co2r la aceleracion

centripeta o aceleracion de arrastre, y 2&AW la aceleracion de Coriolis. Introduciendo en (4) la expresion :

DW dW -> - a i f 1 — — -> - ^ ~ = = - ^ ~ + (TFV) W=?lL+j-VW* + {VAW)AW (6)

resulta :

^ - C O 2 7 + ^ V T > + (VAT? + 2 5 A W / = - - A (7) dt 2 p

Teniendo en cuenta que :

rot f = V A F = V A ( f r + wAr)=VA^+2w (8)

queda :

- ^ + (VAf)AT? = t o 2 7 - f T ^ - - ^ (9) dt I p

Del primer principio de Termodinamica :

H-=\jh-TVS (10)

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por tanto :

— + ^ -V W'2 - co^= Vh - TVS+—V W2 - co^ = 0 2 £

= yU + \w*-^U^-TSIS (11)

Llevando esta expresion a (7) y (9), queda :

^ + (V ATF + 2 w ) A # = -Vih + W2 ~^rU2) +TVS (12) at \ 2 2 /

— + (VA^A*P=-v/k + J P - 4 - H +T\/S (13) 8i \ 2 2 /

Si el fliiido es adiabatico, a lo iargo de una linea de corriente es VS = 0. Ademas, si el movimiento relativo es estacionario, resulta en (12) multi-

plicando escalarmente por W :

wv k+YW2--jU2) =° o lo que es lo mismo por ser el movimiento estacionario :

Es decir, que a lo largo de una linea de corriente :

h + ~W2-^-U2 = cte. (15)

Si el movimiento absolute es irrotacional y el movimiento relativo es

estacionario, de (13) se deduce que la variacion de h + -—-W2- — U2 es pro-

porcional a la variacion de entropia, v si el fluido era isentropico a su lle-

gada a la turbina, h+—-W2-—U2 sera constante en todo el fluido.

En el caso de un estator, es ,W=V, U = 0, quedando como ecuacion del movimiento :

df ,„ A ~ A -* / , 1 dt

+ ( V A F ) A F = - V / / H | F 2 ) +T\7S=Vht+TVS (16)

De las ecuaciones anteriores se deducen las observaciones siguientes [1] : Si el fluido entra en el estator con una entalpia total y una entropia

constantes v ademas se considera que el proceso es adiabatico, el fluido

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sera isentropico y el movimiento irrotacional en todo el estator, siendo tambien constante la entalpia total.

Si el rotor esta alejado del estator, de manera que el movimiento pueda considerarse estacionario a la salida del estator, y si la torsion transmitida a la corriente por el rotor es del tipo torbellino libre, es decir, que el pro-ducto de la velocidad tangencial por el radio sea constante, la circulacion a lo largo de los alabes fijos es constante, no produciendpse torbellinos a la salida del estator, y pudiendose considerar estacionario el movimien­to relativo en los alabes moviles.

df Si los alabes moviles estan situados muy proximos a los fijos, —-— no

es constante, desprendiendose del estator en forma periodica pequenos tor­bellinos. Este efecto es, en general, despreciable.

Si el estator proporciona a la corriente cualquier otro tipo de torsion,, distinta del torbellino libre, se desprenden de su borde de salida torbelli­nos que penetran en el rotor, siendo la entropia y la entalpia total cons-

W2 U2 . .

tantes a la entrada del mismo, pero no h-i— ^—, ya que el movimien­

to relativo en el rotor deja de ser estacionario, no siendo el movimiento

absoluto irrotacional. En las turbinas, en el caso general la corriente no es isentropica a causa

de la distribucion de temperaturas a la entrada del estator, crecientes de la base hacia el vertice, con un maximo cerca ya del extremo de los alabes. Este efecto no puede dejar de considerarse, ya que las variaciones de tem-peratura entre la base de los alabes y su valor maximo pueden llegar a ser

W2 U2

superiores al 20%. Por tanto, la entalpia total y h-\— — no seran

constantes en todo el fluido, aunque si pueden serlo a lo largo de las lineas de corriente.

Si se toman coordenadas cilindricas Z> r, 6, la ecuacion vectorial (7) del movimiento se clescompone en las tres ecuaciones escalares siguientes :

dWz dWz W , dWz dWz 1 dp + Wt — — + — + Wz — - — = x— (17;

dt r df r dd dz p dz a IF, dWr W0 dWr BW, W%

• + Wr + — + Wz — or r - 2« W9 dt dr r dd dz

J_ dp ~ p dr

dWB dW0 We dWe dWe W.Wg •+ Wr —- + —— + Wz —= + + 2 ( 0 ^

(18)

dt r dr r dd z dz 1 dp

= - _ _ _ _ _ (19)

— 57

Teniendo en cuenta (5) y que r y u son perpendiculares, resulta :

1 , = ^ (20)

resultando :

W2 = VI + VI + T'J - 2wr Ve + <o V = V2 - 2«r Ve + co V

Por tanto, en el caso de movimiento relativo estacionario, la condicion (15) se expresa :

h + -Lv2-t>rV=cte. (21) 2 e

que es la denominada ecuacion de Euler de las maquinas rotatorias. La resolucion del problema tridimensional mediante el sistema de ecua-

ciones (17), (18) y (19) (junto con la ecuacion de continuidad y las condi-ciones de contorno) es en extreme dificil. En el caso de movimiento isen-tropico e irrotacional, en la referenda [1] se obtiene la ecuacion diferencial del potencial de velociclades :

/i_J^\i!£+/i_Zl\li!i+/i_]5jl)i!?.-2 WtW° { aa»-

si en do

dr2 \ a2 J r2 Se2 \ a2 J cz2 a2 r drdQ

2w9Wj,i aa$ 2 w2wx d^ I / w%\d$ a2 r dOdz a2 dbdz r \ a2 J dr [ '

dz

d(j>

dr

l d(j)

= Vr=Wx (23)

r dd V =W+ur

La principal dificultad para la resolucion cle la ecuacion (22) consiste en que su linearizacion no resulta en general posible, ya que la velocidad varia considerablemente de unos puntos a otros de los alabes, pasando en algunos casos la corriente de subsonica a supersonic^. Ademas el proble­ma de contorno es de segundo orden, de resolucion mas laboriosa, al te-nerse que utilizar el potencial de velociclades en vez cle la funcion de co­rriente. Por otra parte, la condicion de fluido isentropico rara vez se cum-ple en una turbina de gas.

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Se hace, pues, necesario recurrir a soluciones bidimensionales del pro-blema, siendo una de las hipotesis que con frecuencia se utiliza el admitir que la corriente tiene simetria axial.

3.—Caso de simetria axial.

Si se considera movimiento estacionario y se admite la hipotesis de

simetria axial (_TF" = 0 | l a s ecuaciones (17), (18) y (19) quectan :

HV^+WV™!=-1-!L (24) df oz p dz

W™±+ WJ^- ¥• -*-2.Wr -1 - £ (25)

W.l^+W.°%- +J™+2.W.-0 (26) d2 dv r v '

Expresando la ecuacion (26) en ejes absolutos, resulta :

V,™±+K?l± + M±-0 (27) dz dr r

Al ser el movimiento estacionario y con simetria axial, los dos primeros terminos son la derivada sustancial de V, quedanclo :

D7'-LI±-0 (28)

o lo que es lo mismo

de la que se deduce :

A /

D(Ver) rDt

= O (29)

r F =cte . (a lo largo de una linea de corriente) (30)

De (30) y (21) se obtiene :

F 2

h + -^- = ht = cte. (31)

no tomandose energia alguna de la corriente. Por tanto, la hipotesis de si­metria axial, utilizando el sistema (24), (23) y (26), es incompatible con la solucion del problema.

Esta dificultad puede soslayarse utilizando el metodo de Lorentz [3] , el cual plantea las ecuaciones en el caso de simetria axial considerando infinito mimero de alabes, infinitamente proximos, e introcluciendo las pre-

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siones ejercidas por los alabes sobre la unidad de masa del fluido. Si qz, qe y qv son las componentes de dichas presiones segiin las direcciones axial, tangencial y radial, se obtienen las ecuaciones siguientes (movimien-to estacionario) :

dWz dWz 1 dp rcV-a— + Wz-—~ ~qz = -f- (32)

or dz p oz TT7 dWv TT7 dWv W2

e 9 1 dp

Wr-jf- + w*—zf- ~ ~ - w r - 2*> - ** = - 7 ~af (33) f F v _ — l + I P , - — 1 + °- + 2col>Fr -qe=0 (34)

Estas ecuaciones se completan con las condiciones de Bauersfeld [3] , que expresan que las qz, qr y q& son las componentes de las presiones norma-

les a la superflcie de los alabes. Este metodo de Lorentz ha sido seguido por J. T . Hamrick [4] y cola-

boradores para el estudio de la corriente en compresores diagonales utili-zando metodos de aproximaciones sucesivas, resultando el procedimiento •en extremo laborioso.

Para el estudio de la corriente en un compresor o turbina axiales, y aun en ciertos tipos de compresores diagonales, pueden llevarse mas adelante las aproximaciones, utilizando para ello datos 3 experiences de otros com­presores o turbinas y de estudios de alabes en cascada, a fin de obtener metodos de proyecto flexibles y que puedan resolverse en un tiempo ra-zonable.

4. Metodos de proyecto.

En el estudio de las maquinas rotatorias, o simplemente en el de una hilera de alabes, se presentan dos casos que han sido denominados el problema directo y el problema inverso.

En el primer problema se conocen el estado del fluido antes de la ma-quina, el regimen, la geometria de los alabes 3 de las paredes de la raa-quina ; debiendo determinarse el campo tridimensional de velociclades, el estado del fluido en cualquier punto 3 la potencia de la maquina.

En el segundo problema se conocen el estado del fluido antes de la turbina o compresor, el regimen 3 la potencia ; debiendo determinarse la forma de los alabes 3 geometria general de la maquina, el campo tridi­mensional de velociclades 3 el estado del fluido en cualauier punto.

El primer problema corresponde al caso del calculo de actuaciones de la maquina fuera del punto de diseiio, mientras que el segundo problema es el que se presenta en el p i ^ e c t o de la misma.

La resolucion de estos problemas mediante el empleo de las ecuaciones tridimensionales completas o linearizaclas, combinaciones de soluciones hi-

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dimensionales o aun con las ecuaciones de Lorentz, conducen a metodos numericos, tales como el metodo de Southwell, en extremo laboriosos, que implican semanas o meses para su resolucion. Este inconveniente se agra-va con la falta de fiexibilidad de estos metodos, entendiendose por falta de flexibilidad el que con ellos no puede saberse «a priori)) que forma van a tener los alabes en el caso del problema de proyecto o problema inversor

y aun tampoco puede predecirse si los alabes han de tener buenas o malas caracteristicas en el caso del problema directo.

Por estas razones estos metodos, aunque de gran interes con fines de investigacion, no son aconsejables en una oficina de proyectos, que uni-camente debera hacer uso de ellos cuando no sea admisible recurrir a ulte-riores simplificaciones, como en el caso de algunos tipos de compresores diagonales.

Todo metodo de proyecto ha de poderse llevar a cabo en un tiempo ra-zonable, y sobre todo ha de ser flexible, permitiendo conocer en cada caso como la alteracion de cualquier variable ha de afectar a los resultados. Por tanto, ha cle utilizar los conocimientos generales que se obtienen en los ensayos de alabes en cascada y beneficiarse de experiencias previas de otros proyectos, con las reglas y formulas de tipo empirico que estos han permitido establecer.

5. Metodo de las lineas de corriente.

El metodo de las lineas de corriente, que a continuacion se va a expo-ner, es el que casi exclusivamente se utiliza, mas o menos simplificadOj para el calculo de toda clase de compresores y turbinas axiales, siendo apli-cable tambien a compresores diagonales de alabes radiales. Se analiza aqui en general a fin cle poder posteriormente deducir de el los calculos de cada caso particular.

6. Hipdtesis.

a) Fluido ideal, compresible. b) Se admite que el movimiento es estacionario en ejes relativos, des-

preciando la infiuencia de los torbellinos, o aclmitiendo que la per-turbacion por ellos producida es periodica, en el caso de que la torsion de la corriente no sea del tipo torbellino libre.

c) Se admite la hipdtesis de simetria axial. d) Se supone que los alabes son radiales o casi radiales. La idea basica del metodo consiste en renunciar al estudio de la co­

rriente en el interior de los alabes. Con las hipdtesis anteriores es posible relacionar directamente el estado y velocidades del fluido entre dos seccio-nes anterior j posterior a los alabes. La infiuencia de estos alabes se tra­duce en proporcionar una deflexion a la corriente, cuyo valor viene fijado por la direccion media de la velocidacl cle salida. Esta direccion de la ve-locidad de salida se calcula mediante reglas semiemplricas (formula del

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coseno en el caso de las turbinas, formulas de Howell y Constant para compresores axiales, etc., suponiendo que es independiente, como en la practica con gran aproximacion acontece, del angulo de incidencia.

7. Ecuaciones.

l.°) Ecuaciones del movimiento.—Al admitir la hipotesis de simetria axial pueden utilizarse las ecuaciones de Lorentz. Al admitirse que los ala­bes son radiales o casi radiales, es qr = 0. Por tanto, la ecuacion (33) ex-presada en ejes absolutos resulta :

7^r= ,. -T'-ar-F-ir <35> las otras dos ecuaciones de Lorentz no se utilizan, sustituyendose por :

a) La ecuacion de la energia (21), aplicable de acuerdo con la hipote­sis b), y que es consecuencia de las ecuaciones del movimiento, es decir :

h + ~V2- w r F e = c t e . (36)

b) Por una ecuacion que expresa que la direction de la componente cilindrica (resultante de V y Fz) de la velocidacl de salida, es una funcion conocida del radio, es decir :

Ve a = f(r) o - f / - = /(r) (37)

En el caso del problema directo la ecuacion anterior proporciona el angulo de salida en funcion de la disposicion geometrica de los alabes. En el caso del problema in verso se fija un tipo de torsion de los alabes y una distri­bution radial de la energia tomada a la corriente (generalmente constante con el radio), deduciendose la forma de los alabes a partir de dicha ecua­cion.

2.°) Ecitation d'e continuidad.—En forma diferencial, aplicada a una superficie de corriente entre dos secciones, una anterior y otra posterior, a los alabes, se escribe :

9xV7Ar1df,=9J\2rJr2 (38)

o bien su expresion integrada :

2*f " p9V„r0dr0 = G (39)

en la que G es el gasto en peso v r0, y roe son los radios interior y exterior en la section 2.

— 62 —

3.° Ecuaciones del movimiento isentropico a lo largo de las lineas de corriente.—En una misma superficie de corriente, entre las secciones 1 j 2> se verifica :

A veces, estas ecuaciones se sustituyen por las que resultan de suponer una transformacion politropica en vez de considerar la transformacion isen-tropica, resultando :

T1 YTTI \?J en la que el exponente n puede obtenerse a partir de los valores medios esti-mados para las perdidas o para el rendimiento adiabatico de la turbina.

La utilization de las ecuaciones anteriores, junto con datos y experiencias de alabes en cascada 3 del diseilo y actuaciones de otros compresores o tur-binas, es en lo que esta basado el metodo de calculo que se desarrolla en la segunda parte de este trabajo.

SEGUNDA PARTE

METODO DE CALCULO Y APLICACIONES

1. Intro dticcidn.

Una vez expuestos en la primera parte de este trabajo los fundamentos en que se basa el calculo aerodinamico de maquinas rotatorias, y las simpli-ficaciones que se admiten hasta llegar a un metodo practico de proyecto o de calculo de actuaciones, se desarrolla en esta segunda parte el citado metodo de calculo.

Como ya se ha indicado, el metodo es aplicable a compresores diagona­l s de alabes radiales o casi-radiales y para cualquier clase de turbinas y compresores axiales.

Se expondra primeramente' en general el metodo, para despues hacer aplicacion a los diversos tipos de maquinas rotatorias, dedicanclose especial atencion a los compresores y turbinas axiales. '.

Los calculos se limitaran a la parte fundamental de los mismos, es decir, al estudio de como se relacionan las magnitudes que caracterizan la corriente fluida, presion, densidad y velocidades, entre las secciones de entrada y salida de una maquia rotatoria o hilera de alabes ; asi como a la determina-cion de estas magnitudes en la seccion de salida en funcion de sus valores en la seccion de entrada y de la clisposicion geometrica de la maduina.

2. Notctcion.

ft = presion. p= densidad.

T = temperatura. y=velocidad absoluta.

W = velocidad relativa. w = velocidad angular. r = radio. Y=exponente de la transformacion isentropica.

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A=pendiente de las lineas de corriente. F, £, t,, fe = funciones.

o, p, v, etc.=valores medios en las secciones 1 6 2.

Subindices :

Mr

Vz

r 2

Zf * cte. Zo " cte.

z= axial. r = radial. 6 = tangencial.

m = valor medio entre 1 y 2. i= interior. e= exterior.

3. Hipdtesis y ecuaciones generates.

De acuerdo con lo expuesto en la primera parte de este trabajo, el es-tudio de la corriente en una maquina rotatoria, compresor o turbina, ha de efectuarse con las ecuaciones de los fluidos ideales, no considerando los efectos de la friccion mas que como una correccion a los resultados obte-nidos con las citachs ecuaciones de los fluidos ideales.

Por otra parte, tambien se indico que todo metodo practico de proyec-to ha de basarse en la hipotesis de simetria axial, renunciandose a estu-diar la corriente en el interior cle los alabes y relacionandcse las variables que caracterizan el estado de la corriente fliiida entre las secciones de en-trada y salida de los mismos.

Admitiendo tambien que el movimiento es estacionario en ejes relati­ves, v que es clespreciable la componente radial de las fuerzas ejercidas

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por la presion de la corriente sobre los alabes, resultan las ecuaciones fundamentales siguientes :

a) Ecuacion del impulso integrada sobre una linea de corriente :

Y Pl - + 4- (K + VI+ 7^-2^7^) = _ ! - 4*- + 4-(71,+ 7i + - 1 Pl

T2 v zl 61 ' r l J w ; Y - l p7 2

+ ^ a - 2 c o r 2 F w ) (1)

b) Ecuacion del impulso en sentido radial :

±^Vi_y^_yJVz_ ( i = l i 2 )

c) Ecuacion de continuidad :

V2lPlrx drx = VZ2p2 r2dr2 (3)

d) Movimiento isentropico (sobre cada linea de corriente) :

Pi P2

p\ pl (4)

Ademas de estas cuatro ecuaciones existe otra mas : en el problema directo la relacion que expresa que el angulo de salida <x2 es una funcion conocida del radio, relacion que puede expresarse en la forma :

r„(0o - 7 02

-=5(r a) (5) 7

y en el caso del problema inverso, o problema de diseno, la ecuacion de la distribucion que se imponga de presiones- o temperaturas totales a la salida de los alabes moviles, es decir :

'J^-'J^W (6)

El estado del fluido en la seccion 1 se conoce, tanto en el problema di­recto como en el inverso, disponiendose de cinco ecuaciones para la deter­mination de las cinco incognitas 7Z2, V62 VI2, f2 y p2, junto con las con-diciones de contorno para la determination de las constantes de integration, condiciones que se introduciran mas adelante.

4. R osolucion genGTcil da] sistema de ecuaciones.

Sea :

Y l Pi *

en la que F ^ ) es una funcion conocida de r1.

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Tenemos, pues :

v _lf_ + — ( V \ + VI + F*> - 2wr2 F ) = F(rx) (8)

Y - 1 p2

Diferenciando respecto a rx y r3, resulta :

_Y L _ / - i * - \ + — — ? - ( F \ 4 - F * +7%-2o>r 0 7 r 2 ) Y - 1 dr2 \ o2 J 2 dr, z~

Ahora bien :

dr2 = ^ - % ) ^ i ( 9 ) arx

a / P., \_ 1 ^ 3 lP> _?£* = 1 ^ J_^3.JP: (10)

de la que se obtiene :

P2

(11)

o bien y - l

T 2 ^ _ i _L i^_^_- l - / -A Y

1 o\ dr2 y - l p2 5r2 v - 1 dr2 \ p? (12)

Sustituyendo este valor en :

Y _l_{Jj^\=-l L_ 9^2 Y P2 I dP2

Y - l dr2\ p2 / Y - 1 P2 d r2 Y " 1 p: \ dr

2

(13)

resulta

- 1 ar2 I p2 I p2 5r2 Y ~l dr2\ pa (14)

y con (4) :

v - 1 ar - ( — ) 2 \ Pa '

a / o \ _ _ J _ _ ^ . _ L _ 2 ! d i Pi o ar, + Y - 1 o2 Pi 5 r

2 \ P/ P71

(15)

y tambien :

_Y a / p2 Y - l dr2\ p2 ,

i 8*..+_L7i.._L.i0gin ar0 Y - 1 p2 ar2

(16)

por ultimo

1 dr. _L j?*>. + _ L JJ ?2 ar„ P2 drx

logi_vr)'^r (17)

— 67 - -

Sustituyendo en (8), resulta :

i dp2 i a + (V2 + V2 + V2 -2cor V ) I - ^ - + — tl ?_ p2 dr2 2 dr2

{ z2 is2 12 W 2 e 2 ; I dr, + Y - 1 Pn dr,

log Px

dr, F(?r) (18)

Introduciendo el valor de 1 3P2 dado por (2) (i = 2), y simplificando, queda:

F2 a / F 2

' 02 U I y 02

+. drn

+ • 1 £3 a

3 F V V2 + F

020

dVz.,

drn

dr2

dr.

dr., log P-/ a?\

F(rx) (19)

Ahora bien

y con

dr2 l 7Z i P i r i

d r i T/Z2p2r2

(20)

Pi m^ *&r l*-f frr Br)717

(21)

habiendo denominado

1 . y P i '

Introduciendo (20) y (21) en (19), queda :

T7e2 d I 62 \ dV • + F ,

3 F .

arr

F r ' z i ' 1

' zo ' o

(22)

X _ P A ^ + 1 £

y - i P?

^ l o g f e x ^ - ^ - ^ x ) dr dr. (23)

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Esta ecuacion junto con :

^ j ^ = F ^ ) - ^ ( ^ a + l 7 ; a + ^ 2 - 2 c o r a 7 O T ) ( 2 4 )

y con las ecuaciones (5) o (6), constituyen un sistema en el que las incog-

P nitas son las componentes de la velocidad, FZ2, V g 2 VV2 ; —— 3 r2 como funcion de r1.

Primeramente se tratara de la solution en lineas generates de este sis­tema, para despues concretar en cada caso particular.

En el problema directo se conoce la disposition geometrica de la ma-quina, y en el problema inverso las dimensiones generales de la misma, que se obtienen en primera aproximacion mediante las ecuaciones de la teoria unidimensional.-

En ambos casos se comienza por un' trazado previo aproximado de las lineas de corriente en el piano meridiano (intersection de las superficies de corriente con un piano que pase por el eje de la maquina).

El criterio a seguir en este primer trazado es el de que las superficies de corriente dividan el espacio anular entre los alabes en superficies de igual area ; siendo en general suficiente que se dibujen de 5 a 7 secciones ademas de las superficies exterior e interior, que ya de por si son lineas de corriente.

Una vez trazadas las lineas de corriente queda establecida la funcion r2=f(r1). Ademas, si A es la pendiente de las lineas de corriente, tenemos :

Vr2 = A2VZ2 (25)

y

a n 2 ^ 1 / F 3 A ^

dz2 2 dz2

z2 dz^

obteniendose asi d VV2/dz2 en funcion de la pendiente y curvatura de las lineas de corriente y en funcion de dVZ2jdz2. Para esta ultima derivada puede tomarse un valor aproximado, ya que en la expresion

V2 d V d V 02 d (V2 -wr V )-V ° +V —

r2 dr2 2 2

predominan fundamentalmente los dos primeros terminos. Por otra parte, las velocidades axiales varian poco entre las secciones de entrada y salida, y ademas, esta variacion suele ser gradual. Por tanto, en la mayoria de los casos es suficiente que se tome :

22 ^ _ ^ i !L (27) dz2 zx -

en la que zx-z0 tiene un valor constante.

— 69 —

Esta aproximacion, generalmente suliciente en la practica, simplifica grandemente el problema, ya. que al no quedar entonces mas que derivadas respecto a r2, pueclen tratarse las ecuaciones diferenciales resultantes como ecuaciones diferenciales ordinarias en vez de como ecuaciones en deriva­das parciales.

Introduciendo los valores (25), (26) y (27), en (23) y (24), y eliminando V y dV$2/dr2 mediante (5) o (6) queda un sistema formado por una unica

ecuacion dif erencial y una ecuacion ordinaria en ——, Fz„ 3 — Z2 , pu-p ?2 " dr2

diendo tambien eliminarse —— mediante (24) a fin de obtener una unica p2

ecuacion dif erencial. Este sistema, o bien la ecuacion, pueden resolverse por iteration o por cualquier otro metodo numerico.

La constante de integration de la ecuacion diferencial se obtiene con la condicion :

e2 G = 2%\ **" P,VzorJr0 (28)

fX2

Una vez obtenicla la funcion FZ 2=/(r2), las demas variables se obtienen de un modo inmediato.

Una vez efectuado este primer tanteo, se corrigen en segunda aproxi­macion las lineas de corriente valiendose de la condicion

p2Vzl,r2dr2= \ p1l\1r1dr1 (29)

'12 '11

que proporciona r2 en funcion cle rx, permitiendo un nuevo trazado de las lineas de corriente y con el una segunda aproximacion de los resultados, no siendo en general necesario seguir con nuevas aproximaciones.

El metodo general que acaba de exponerse corresponderia, por ejem-plo, al caso de una turbina con gran divergencia en sus parecles 3 con tem-peraturas variables en la entrada de su estator. Asi en general, la resolu-cion del problema es bastante larga, pero pueden introducirse numerosas simplificaciones en los diferentes casos particulares que se consideren.

5. Compresores diagonales.

En la ma3^oria de los casos puede admitirse en los compresores diago­n a l s que la corriente es isentropica. En estas condiciones, al ser

— 70 —

la ecuacion (20) se reduce a la expresion

VI a / V / ' 02 \ d Vr dV V r

dr, \ 2 2 6-l ' dz2 ~ dr, VZ2r2 I

?2 I i $

9 fc, v~x dr, F{rr) (30)

En el caso mas frecuente, los compresores diagonales se disenan de manera que el incremento de temperatiira total sea constante en todas las lineas de corriente, es decir :

^Vei-f2Ve2 = cte. (31)

y al ser :

cvTlt = - ^ A . + J ^ c t e . (32)

la ecuacion (30) se reduce a la expresion

+ V„ + Ve, -^-!3L. _ F _ 1 L I L _ = o (33)

^2 dr2 " dr2 dz2

cuya resolucion, aunque tambien exige el trazado previo de las lineas de corriente para estimar la derivada de la velocidad radial, es mucho mas sen-cilia que en el caso general.

6. Mdquinas axiales.

En el caso de maquinas axiales, compresores o turbinas, de forma mas o menos cilinclrica, la desviacion radial de las lineas de corriente es peque-na, lo que permite una importante simplificacion de las ecuaciones.

En secciones situadas lejos de los alabes las velocidades radiales y sus derivaclas se anulan, pero sin mucho error puede admitirse que lo mismo acontece en las proximidades de los alabes, es decir, en las secciones 1 y 2 de referenda. Por tanto :

V = F = 8 F r l = a F r 2 = 0 (34) r l l'2 dr1 dr2

K '

Asi, pues, las ecuaciones (1) y (2) queclan en la forma

T^r "7T+i(Ki + v'n"2ori Vn) = ~^r -J-+i(v'>+r»-- ~2ar*y^ '35)

— 71 -

Pi dr

y la ecuacion (23) :

= (36) 1 dp, V2

62

dr„ (37)

^ ,JL(_Zk_w r F ) + F ^ F r ' Z l ' l

PA ^ F r ' Z2 ' 2 H£r

1 Pi , ^ - l o g f e ^ - - ^ )

siendo en este caso

,F(r1) = - Y ^ + — (V2 + F 2 -2cor F A ) ~ 9 V r i ! i r ' W ""0J'i 01' Y - 1 px 2

En este tipo de maquinas tambien se verifica :

(38)

(39)

(40)

No obstante, no es correcto tomar directamente en (35) y en la ecuacion de continuidad (3) r1 = r2 y dr1 = dr2, con lo que esta ultima ecuacion propor-cionarfa :

T7z lPi=F22p2 (40)

ya que la practica enseiia que si bien es rx^r2, por el contrario drx y dr2

pueden diferir en gran proporcion, siendo posible que se cometan errores de importancia al admitir esta ultima hipotesis y, por tanto, la relation (40).

Utilizando la formula (40) los calculos se simplifican considerablemente, siendo en esta forma como se trata elementalmente el calculo aerodinamico de compresores y turbinas axiales.

La forma correcta de proceder consiste en tomar r1 = r2, pero no drx = dr2. Para ello, una vez efectuada la derivation y sustituido el valor de drjdr2

mediante la ecuacion (3) de continuidad hasta llegar a la ecuacion (38), se toma en ella r1 — r2 = r) quedando :

VI 62 d dr

Vs

<*rVnn) + F dV7.

dr

Vzl Plkx

i

V • + P, \ —

P2

+ • P

T _ l P2

2 ! ~ l o g f e x ~ F 0 i > or dr *x

f z=r (41)

— 72 —

La ecuacion de continuidad en la forma (3) deja ya de utilizarse, em-pleandose su forma integrada :

6r = 2lC VZ2p2rdr (42)

n Si los radios interior y exterior de los alabes en las secciones 1 y 2 difie-

ren ligeramente, como suele acontecer en la practica, puede tomarse en (41) un valor intermedio.

La anterior simplificacion tiene un caracter fundamental, ya que con ella pueden efectuarse todos los calculos sin necesidad de dibujar previamente las lineas de corriente. No obstante, una vez efectuados los calculos puede determinarse la forma aproximada de las lineas de corriente utilizando la relacion (29).

7. Compresores axiales.

Para el calculo de una hilera de alabes en un compresor axial puede, generalmente, admitirse que la corriente es isentropica. Por tanto, la ecua­cion (41) se reduce a la expresion :

' 62 O

dr (-^-—T/J + T/2

dV.

2

P2

dr Vn V,

1

7 - 1

dr F(U) (43)

Y-l

siendo

k = - - = cte. en todo el fluido (44)

En el caso de un compresor axial de tipo transonico no pueden llevarse mas adelante las simplificaciones. Por el contrario, para el calculo de un es-calon de un compresor subsonico ( M < 0 , 8 ) , puede tomarse sin gran error una densidad media constante en el escalon. Esto es posible porque se re-nuncia a estudiar la corriente en las proximidades y en el interior de los alabes, relacionandose unicamente las magnitudes que caracterizan el estado del fluido entre las secciones de entrada y salida.

En este caso, la simplificacion es tan importante que puede llegarse a la integracion directa de la ecuacion (43).

En efecto, con la hipotesis de fluido incompresible la ecuacion (43) se

— 73 —

reduce a la siguiente :

F2 1 L + "

a / F ar \ 2 wr T + V, Z2 dr J Fzo 5r

^ (rx) (45) r, = r

En el caso del problema directo, sustituyendo el valor de Ffl3 dado por la expresion :

r w F * 2 •—y = tan a2 = E(r)

y escribiendo explicitamente F (rx), resulta : r,=r

-—• (tan a2 log r) tan2a2 Vl2 - 2w tan a2 + dV,

dr cos" a„ dr

Lf _Zk + -1 j L (V\ + F2 - 2«r F .) / I r

+2 dr zl "

o bien :

F,

^F7,, d T, • + ~ — (tan oc2 log r) sen2 a2 Fz dr dr

cos2 a2 f F2ei

+ Y - ^ - (V*tl+ VI - 2 o r F e i ) j -2<o sen a2 cos a2 = 0

(46>

(47)

ecuacion diferencial lineal de primer orden de la forma :

d F " a - + *(r) F22 + g(r) = 0 dr

(48)

cuya solucion general es

p(r)dr p(r) dr C - j q(r) e J dr

(49)

determinandose la constante de integracion mediante la ecuacion de conti-nuidad :

(50) G = 2irpm I Vz2rdr

En el caso del problema inverso, suponienclo como condicion de disefio la constancia de las presiones totales en las secciones 1 j 2, o lo que es

— 74

lo mismo :

£ l t = cte. „ r1Vei-r2Ve2 = cte. (51)

queda simplemente como ecuacion (44) :

-Ik.+ ' j ' <Fi+Fy = 0 (52) r 2 dr

que se integra una vez prefijado el tipo de torsi6n, es decir, la variaci6n deseada de la velocidad tangencial en funcion del radio.

La densidad media pm se determina previamente aplicando la teoria uni-dimensional, incluyendo perdidas friccionales, de los fliiidos compresibles

.al escalon del compresor con objeto.de determinar el valor medio p2 de la densidad en la seccion 2. A continuacion se toma simplemente :

P1 + P2 / « v p m = — 2 — ^ ^

S. Turbinas axiales.

En el caso de una turbina de un motor de reaction la corriente en gene­ral no es isentropica, ya que suelen disenarse las camaras de combustion de manera que produzcan una distribucion radial de temperaturas de manera que produzcan una distribucion radial de temperaturas creciente de la base hacia el vertice de los alabes (*), con objeto de que la zona que soporta ma-yores esfuerzos—la base—este sometida a menores temperaturas. La dife-rencia entre los valores maximo 3 minimo de esta distribucion de tempera­turas puede llegar a ser del orden del 20%, por lo cual no puede dejar de considerarse el caracter no isentropico de la corriente fluida.

9. Problema direct0.

En el caso del problema directo las ecuaciones de que se dispone son las siguientes :

•+ vBi — = cor —=- - - t o | / + K_ •

1

fet ^ 1

r dr dr m z2 dr J Vz

fr)7* + —L- *±- - - log K = -§-F (r) (54)

y-1 p2 dr dr

(*) Generalmente el maximo de la curva de temperaturas no se produce en el vertice de los alabes, sino en una zona situada en las proximidades del 70% de la altura de los mismos.

— 75 —

— V -**- + 4? -+ -5=- - «.r V„ = F(r) (55) Y - 1 p2 d, <L °-

t a n « 2 = — _ - * = * ( r ) (56)

d F Sustituyendo el valor de V y el de ?L obtenidos de (56) en (54)

resulta :

d . . 1 d F „ [log (r tan «2)] tan2 «2 FZ2 - 2co tan «2 + • ar cos- a2 ar

I

(*P P i f e i

L l_ <^ F(r) ^ T - ^ L . _ ^ i 0 g f e 1

T7Zi 1 I dr v - 1 p2 rfr

(57)

7 - 1

Si el segundo miembro de esta ecuacion no dependiese de FZ2 resultaria una ecuacion diferencial lineal de primer orden, cuya integral es de la for­ma (49). Por tanto, puede obtenerse facilmente la solucion de la ecuacion (57) mediante iteracion. Para ello basta tomar inicialmente un valor medio del termino :

(57)

que puede obtenerse mediante la teoria unidimensional, tomando tambien inicialmente :

^° d logfe1 = 0 (58)

i

/ p2 \ — . / p2 - 7-1 _ \ p2 / ?2

1 9\

Pi K 7~l

y - 1 p2 dr

Con la primera solucion obtenida de la distribucion de la velocidad axial las ecuaciones (55) y (56) proporcionan los valores de pjp2, que introducidos en (57) suministran la segunda aproximacion del metodo de iteracion, y asi sucesivamente.

10. Problema inverso (diseno).

Como condicion de diseno se tomara :

'Sn-<SK=+=<**• (59)

76 —

que es la que se utiliza con mayor frecuencia. De esta forma la energ'ia que se toma de La corriente fluida es constante por unidad de altura, mante-niendose a la salida del rotor la misma distribucion de temperaturas totales que se haya fijado a la entrada en la turbina, lo que es conveniente bajo el punto de vista de la resistencia de materiales.

Diferenciando (59) respecto a rx y r2, resulta :

dV V +r ei

' ex ~ i dr. dr, Vfio + r , °2

dr„ drn (60)

o bien

•VI + T/

d Ve2 I dr2 7

dr.. dr, Va

r I V2

r2 L rx

+ F dV ei

^2Vei

V2

+ v 01

61 dr

d_Ve±

dr. (61)

Por otra parte, sustituyendo (59) en (35) queda :

Y i>« 1 ^ - - L - L / J / Z + v2) = — Y - l p 9 c. y - l p

- 1 - + y ( ^ 1 + F y + x (62)

que diferenciada respecto a rx y r2 proporciona :

- 1 dr. HM + V dVZ2 dV

— + V drn

62 dr r M ^ ^ ) +

9 ^» i dVBX + V —+ V -+ Z1 drx + &1 drx

dr, (63)

Utilizando las relaciones :

T d ( P2 \ 1 dP,

Y - 1 3r3 \ p

7 3 / * i

• + p3 <9r,

i a^

i £2 a Y - 1 p2 dr,

log

1

Px \ drx

dr^,

y - 1 drx \ P l / P]

1 ^ 2 ^ 2

dr, + Y - 1 pi ^

Px d , / #i

P2 5r„ (66)

1 dpt

Pi ^ r i

J/2 ' 81

(64)

(65)

(67)

— 77 —

resulta

Y\, dVeo T/ dVM \ dr2 1 m drn

P2 d

V

dr2 I dr

T = _ ^ + F / ^ + FZ1——+•

tx e dr1 drx

Siistituyendo en (61) y poniendo :

dr2 T / * i r i Pl]Zl

T - 1 p2 drx

1 Pl d

queda:

- 1

I

7 - 1

dr,

lOg fer:

log kx (68)

cir, V,nrn

HM I

7 - 1

(69)

r2 wr3T/6u

F~, + F. dr,

ft, rx

, v i F», a, •

y-\ dV. Z l P l r- ' p0 \ JL ar-

7 - 1 P3

•.+

+ • 1 £9 a 7 v\x dv0i

log fe^—^-+ Vei~^ r i . ^ r i -1 3r,

ayal l + F z l — •.+ dr, - 1

Pi d x — z — log kx Pi a r i

Tomando ahora, rx~r2 — r ; y simplificando

(70)

o bien

^ . i P ,

fex y~x dvM

(~F dr

V2 1 01 + F,

dV 01

urVei \ dr _Bl dr +

+ • - 1 dr

d I P. Pi log U — - - - 1 = 0 Pi

dVZ2

dr M P. J r

cor2 a r (^«)

__ 78 —

Pu Pi \ d ' , / Pi log - 1 \ p2 Pl / dr \ P / (71)

Por otra parte, de (62)

- + J L = L - + J ^ _ y + J L — x (72) p2 Pi T 2 Y

w r \ 01 2wr

Este sistema formado por (71) y (72) se resuelve facilmente mediante itera­tion, viniendo dada, como siempre, la constante de integracion mediante la ecuacion :

G Cr» p2VZ2rdr (73)

2TU fi

11. Influencia de la friction.

Existen numerosos trabajos en los que se estudian las perdidas de pre-sion debidas a efectos de friccion, estudiando tanto su valor como su distri-bucion a lo largo de los alabes. Para fines de proyecto o de calculos de tipo practico no es posible considerar la distribucion radial de estas perdidas, debiendo contentarnos con el valor medio de las mismas. Indicaremos dos metodos sencillos para considerarlas, con los cuales se introduce unicamente una correccion a los metodos de calculo que hemos desarrollado.

Mediante la teoria unidimensional se estima el valor medio de las perdi­das y con ellos el rendimiento adiabatico o politropico de la misma. Para ello se utilizan metodos bien conocidos (Aimley, Howell, etc.), segun el tipo de compresor o turbina que se considere. Una vez efectuado esto puede procederse de dos maneras :

1 .a Con el valor estimado del rendimiento politropico medio se utilizan las ecuaciones anteriores, sustituyendo unicamente la ecuacion :

Pi P 2_

Pl ' Pl

por la ecuacion politropica :

?2

(74)

(75)

2.a Mediante la teoria unidimensional, considerando las perdidas fric-cionales, se determinan los valores medios Fz 2 , Ffl2, p2 y p2. Estos valores se admite que se producen en el radio r2 (radio que divide la seccion anular

79 —

en dos partes de igual area). Estos valores medios son los que proporcionan directamente la constante de integration de la ecuacion diferencial resul-tante, sirviendo como valores de partida en los metodos de iteration. Por tanto, la ecuacion de continuidad :

G = 2TU fe p2V22r2dr2 (76>

no se utiliza mas que para corregir, si fuese necesario, la altura previamente estimada de los alabes mediante la teoria unidimensional.

R E F E R E N C I A S

1 .—CHUNG-HUA W U : «A General Theory of Three-Dimensional Flow in Subsonic and Supersonic Turbomachines of Axial-Radial and Mixed-Flow Types», NACA, TN 2604, 1952.

2.—STANITZ, J. D. : ((Approximate Design Method for High-Solidity Blade Elements in Compressors and Turbines», NACA, T N 2408, 1951.

3.—STODOLA, A. : Steam and Gas Turbines, P . Smith, New York, 1945, vol. I I , pagi-nas 990-992.

4.—HAMRICK, J. T. ; GINGSBURG, A, y OSBORN, W. M. : «Method of Analysis for Com­pressible Flow through Mixed-Flow Centrifugal Impellers of Arbitrary Design», NACA, T N 2165, 1950.

5. '—HOLMQUIST, C. O. : An Approximate Method of Calculating Three-Dimensional Com­pressible Flow in Axial Turbomachines. California Inst i tute of Technology, 1953.

6 . — B O W E N , J. T . ; SABERSKY, R. H . , y RANNIE, W. D . : Theoretical and Experimental Investigations of Axial Flozv Compressors. California Inst i tute of Techno­logy, 1951.