cálculo 8va edición edwin j. purcell, dale varberg, steven e. rigdon lib

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1596-1650
.yhoyendIa La idea de utilizar coordenadas para obtener una figura (grafica) de una ecuación es el principio fundamental explotado por las nuevas calculadoras que grafican.
René
moderno. También fue un
fIsico y matemático.
que lo enviO a una escuela jesuita a Ia
edad de ocho años. Debido a su
delicada salud, a Descartes se le
permitiO pasar las mañanas estudiando
en cama, una práctica que encontró
tan ütil que Ia adoptó para el resto de
su vida. A los 20 años obtuvo el tItulo
de abogado y de aIII en adelante vivió
Ia vida de un caballero de su época,
sirviO en el ejército durante algunos
años y vivió unas veces en Paris y otras
en los PaIses Bajos. Invitado como instructor de Ia reina Cristina, fue a
Suecia, donde muriO de pulmonIa en 1650.
Descartes buscO un método general de pensamiento que diera
coherencia al conocimiento y condujese las ciencias a Ia verdad. La
investigación lo condujo a las matemáticas, de las que concluyO que eran
el medio para establecer Ia verdad en todos los campos. Su trabajo
matemático de mayor trascendencia fue La Géométrie, publicado en
1637. En éI, intentó Ia unificaciôn de Ia antigua y venerable geometrIa
con el algebra, aün en pañales. Junto con otro frances, Pierre Fermat
(1 601-1665), tiene crédito por Ia union que Ilamamos hoy geometrIa
analItica, o geometrIa coordenada. Sin ella, no hubiese podido surgir el
pleno desarrollo del cálculo.
1.1 El sistema de los nümeros reales
1.1 El sistema de Los nmeros reales 1 .2 Decimales, calculadoras y estimación 1.3 Desigualdades 1 .4 Valores absolutos, ralces cuadradas y cuadrados 1.5 El sistema de coordenadas rectangulares 1.6 La Ilnea recta 1 .7 Gráficas de ecuaciones 1.8 Revision del capItulo
Proyecto de tecnologIa 1.1 GraficaciOn Proyecto de tecnologIa 1.2 ResoluciOn de ecuaciones por medlo
de acercamiento
El cálculo está basado en el sistema de los nümeros reales y sus propiedades. Pero, ,cuáles son los nOmeros reales y cuáles son sus propiedades? Para responder, inicia-
mos con algunos sistemas numéricos más sencillos.
Los enteros y los nUmeros racionales Los nUmeros más sencillos de todos son los nümeros naturales,
1,2,3,4,5,6,...
Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si incluimos a sus negativos y al cero, obtenemos los enteros
3,-2,-1,O,1,2,3,... Cuando medirnos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Están
espaciados demasiado uno de otro para dar suficiente precision. Esto nos ileva a considerar cocientes (razones) de enteros (véase La figura 1), nOmeros tales como
Observe que incluimos y aunque normalmente los escribirlamos como 8 y 17 ya que son iguales a aquellos por el significado ordinario de Ia divisiOn. No incluimos o ya que es imposible dar significado a estos sImbolos (véase el problema 36). De hecho, convenimos de una vez por todas desterrar La division entre cero de este libro (véase Ia figura 2). Los niImeros que pueden escribirse en la forma rn/n, donde rn y n son enteros con n son llamados nümeros racionales.
3 7 21 19 16 17 4' 8 ' 5 '-2' 2 1
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6 CAPíTULO 1 Preliminares
mismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuer do con el Teorema fundamental de Id aritmética, todo número natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un único conjunto de primos. Por ejemplo, 45 = 3 . 3 . 5. Escriba ca da uno de los siguientes números como un producto de primos. Nota: El productor es trivial si el número es primo -esto es, tie ne un solo factor.
44. Utilice el teorema fundamental de la aritmética (véase el problema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier núme ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un conjunto único de primos, cada uno de los cuales aparece un nú mero par de veces. Por ejemplo (45)2 = 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.
45. Demuestre que v2 es irracional. Sugerencia: Intente una demostración por contradicción. Suponga que v2 = p / q, donde p y q son números naturales (necesariamente distintos de 1). En tonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el proble ma 44 para obtener una contradicción.
46. Demuestre que v3 es irracional (véase el problema 45).
47. Demuestre que la suma de dos números racionales es ra cional.
48. Demuestre que el producto de un número racional (dis tinto de O) y un número irracional es irracional. Sugerencia: Inten te una demostración por contradicción.
49. ¿Cuál de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales?
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. racionales 2. v2; 1T 3. reales 4. teoremas
(b) 0.375 (d) (1 + V3)2 (f) 50
(a) - V9 (c) 1 - 0 (e) (30)(50)
50. La suma de dos números irracionales, ¿necesariamente es irracional? Explique.
51. Demuestre que si el número natural Viii no es un cuadrado perfecto, entonces m es irracional.
52. Demuestre que v'6 + V3 es irracional.
53. Demuestre que 0 - V3 + v'6 es irracional.
54. Demuestre que log105 es irracional.
55. Escriba el recíproco y el contrarrecíproco de los enuncia: dos siguientes.
(a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A en este curso.
(b) Si x es un número real, entonces x es un entero. (c) Si MBC es un triángulo equilátero, entonces MBC es un
triángulo isósceles.
(b) 127 (d) 346
(a) 243 (c) 5100
También los números irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejem plo,
V2 = 1.4142135623 ... , V3 = 1.7320508075 ...
7T = 3.1415926535 ...
Cualquier número racional puede escribirse como decimal, ya que por definición siempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denomina dor entre el numerador, obtenemos un decimal (véase la figura 1). Por ejemplo,
0.375
0.428571428571428571 ...
1311 = 1.181818 ...
Decimales periódicos y no periódicos La representación decimal de un nú mero racional o bien termina (como en ~ = 0.375) o bien se repite hasta el infinito en ciclos regulares (como en H= 1.181818 ...). Un poco de experimentación con el al goritmo de la división le mostrará el porqué. (Observe que sólo puede haber un nú mero finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse como un decimal periódico con ceros que se repiten. Por ejemplo,
,. .2 Decimales, calculadoras
38" = 0.375 = 0.3750000 ...
Así, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. En otras pala bras, si x es un número racional, entonces x puede escribirse como un decimal perió dico. Es notable el hecho de que el recíproco también es verdadero, si x puede escri birse como un decimal periódico, entonces x es un número racional. Esto es obvio en el caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fácil demos trar para el caso de decimales periódicos.
EJEMPLO 1 (Decimales periódicos son racionales.) Demuestre que
x = 0.136136136... y y = 0.27171717 ...
representan números racionales.
Solución Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.
1000x = 136.136136 . x = 0.136136 .
x = 999 De manera análoga,
Las representaciones decimales de los números irracionales no se repiten en ci clos. Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar a un número irracio nal. Así, por ejemplo,Figura 2
Los números reales
0.101001000100001 ...
debe representar un número irracional (observe que el patrón de más y más ceros en tre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.
Densidad Entre cualesquiera dos números reales diferentes a y b, no importa qué tan cercanos se encuentren, existe otro número real. En particular, el número Xl = (a + b)/2 es un número real que está a la mitad entre a y b (véase la figura 3). Ya que exis te otro número real, x2' entre a y Xl' Yotro número real, x3' entre Xl y x2' y puesto que este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un número infini to de números reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor núme ro real mayor que 3".
En realidad, podemos decir más. Entre cualesquiera dos números reales distintos, existe tanto un número racional como un número irracional. (En el ejercicio 29 le pe dimos demostrar que existe un número racional entre cualesquiera dos números rea les.) De aquí que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada uno de ellos (racionales e irracionales).
Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos expuesto, es decir, que los números racionales y los números irracionales son densos en la recta real. Todo número tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos a él. Los dos tipos de números están inseparablemente entrelazados e inexorablemente aglomerados entre sí.
Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier número irracional puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un número racional-de hecho, por medio de un número racional con una representación decimal finita. Como un ejemplo tome \12. La sucesión de números racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421, 1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (véase la figura 4). Avanzan do lo suficiente en esta sucesión, podemos estar tan cerca como queramos de \12.
Calculadoras y computadoras Hubo una época cuando todos los científicos e ingenieros caminaban por el campus con dispositivos mecánicos llamados reglas de cálculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras que podían realizar las operaciones básicas y obtener raíces cuadradas, y en los principios de los 80 una calculadora barata podría evaluar funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios de los 90, estas calculadoras pueden expandir (x - 3y)12, pueden resolver x3 - 2x2+ X = O Ypueden aproximar una solución a x2 - cos \IX = O.
8 CAPíTULO 1 Preliminares
Muchos problemas en este texto están marcados con un símbolo especial.
[g significa UTILICE UNA CALCULADORA.
IGCI significa UTILICE UNA CALCULADORA GRÁFICA.
ICAS I significa UTILICE UN SISTEMA DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL.
[;] significa HAGA UNA ESTIMACIÓN DE LA RESPUESTA ANTES DE TRABAJAR EN EL PROBLEMA; LUEGO VERIFIQUE SU RESPUESTA CONTRA ESTA ESTIMACIÓN.
IEXPL Isignifica EL PROBLEMA LE PIDE EXPLORAR E IR MÁS ALLÁ DE LAS EXPLICACIONES DADAS EN EL TEXTO.
Figura 5
Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especial en los problemas marcados con un [Q .
Ahora existe una gran cantidad de poderosos paquetes de cómputo que puede realizar cálculos tales como (1T - v2)100, manipulaciones simbólicas como el desarro llo de (2x - 3y)22 Ygráficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarle en el proceso de aprendizaje y comprensión del cálculo, pero no debe depender de ellos para hacer cálculo por usted. Los paquetes de cómputo tienen la ventaja so bre las calculadoras gráficas de ser más poderosos y capaces de mostrar los resultados en una pantalla de alta resolución. Las calculadoras gráficas tiene la ventaja de que cuestan menos y caben en su bolsillo.
Por lo común, las calculadoras y las computadoras trabajan con números racionales en la forma decimal con alguna longitud preestablecida, por ejemplo, diez dígitos. Al gunos paquetes de cómputo son capaces de almacenar algunos números irracionales en formato simbólico que, en efecto, retiene el valor exacto. Por ejemplo, tanto Maple como Mathematica pueden almacenar v2 de tal manera que las manipulaciones sub secuentes utilicen este valor exacto. Por ejemplo, Mathematica simplificará la entrada 4/Sqrt [2] y regresará 2 Sqrt [2].
Con respecto a las calculadoras y computadoras, nuestra advertencia es ésta: Ha ga los cálculos que puedan realizarse con facilidad a mano sin una calculadora, espe cialmente si esto permite una respuesta exacta. Por ejemplo, por lo general preferimos la respuesta exacta V3/2 para el seno de 60° al valor de la calculadora 0.8660254. Sin embargo, en cualquier cálculo complicado recomendamos el uso de una calculadora.
Estimación Dado un problema aritmético complicado, un estudiante descuidado podría presionar unas cuantas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sin darse cuenta de la falta de paréntesis o un "error de dedo" ha dado un resultado erró neo. Un estudiante cuidadoso con un sentido de los números presionará las mismas te clas, inmediatamente se dará cuenta que la respuesta es equivocada si es demasiado grande o demasiado pequeña, y la recalculará de manera correcta. Es importante co nocer cómo hacer una estimación mental.
EJEMPLO 2 Calcular (V430 + 72 + V73)/2.75.
Solución Una estudiante juiciosa aproximó lo anterior como (20 + 72 + 2)/3 y dijo que la respuesta debería ser cercana a 30. Así, cuando su calculadora dio 93.448 co mo respuesta, ella desconfió (lo que en realidad había calculado fue V430 + 72 + "V73/2.75). Al recalcular, ella obtuvo la respuesta correcta: 34.434. _
Si un hombre le dice que el volumen de su cuerpo es de 20,000 pulgadas cúbicas, dúdelo. Usted podría estimar su volumen de esta manera. Él tiene una estatura apro ximada de 70 pulgadas y el largo de su cinturón es 30 pulgadas, dando un radio de la cintura de casi 5 pulgadas. Si aproximamos su volumen por medio de la de un cilindro, encontramos que el volumen será 1Tr2h = 3(52)70 = 5000 pulgadas cúbicas. Él no es tan grande como dice.
Aquí hemos utilizado = para querer decir "aproximadamente igual". Utilice este símbolo en su trabajo de borrador cuando esté haciendo una aproximación a una res puesta. En un trabajo más formal nunca debe utilizar este símbolo sin saber qué tan grande podría ser el error. A continuación está un ejemplo más relacionado con cálculo.
EJEMPLO 3 Suponga que la región sombreada R mostrada en la figura 5, gira alre dedor del eje x. Estime el volumen del anillo sólido resultantes.
Solución La región R es de alrededor de 3 unidades de longitud y 0.9 unidades de al to. Estimamos su área como 3(0.9) = 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo sóli do S se abre y se aplana, formando una caja de alrededor de 21Tr = 2(3)(6) = 36 unida des de longitud. El volumen de una caja es el área de su sección transversal por su longitud. Así, estimamos que el volumen de la caja sería 3(36) = 108 unidades cúbicas. Si la calculó y obtuvo 1000 unidades cúbicas, necesita verificar su trabajo. _
A continuación está un problema práctico que utiliza el mismo tipo de razona miento.
EJEMPLO 5 Un vaso de precipitados de! litro (500 centímetros cúbicos) tiene un ra dio interno de 4 centímetros. ¿Qué tan exacto debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos! litro de agua con un error de menos del 1%, esto es, un error de menos de 5 centímetros cúbicos? Véase la figura 5.
Solución El volumen V de agua en el vaso está dado por la fórmula V = 161Th. Que remos que IV - 5001 < 5 o, de manera equivalente, 1161Th - 5001 < 5. Ahora
16 CAPíTULO 1
Preliminares
Por tanto, elegimos o = 8/6. Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos que
8 Ix - 31 < o=> Ix - 31 < 6 => 16x - 181 < e •
1167Th - 5001 < 5~ [167T( h - i2~) I < 5
# 161T1 h - 500 I < 5 161T
~ [h - i~[ < 1¿7T # Ih - 9.9471 < 0.0947 ::::; 0.1
Así, debemos medir la altura con una precisión de alrededor de 1 milímetro. •
Raíces cuadradas Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 9 son 3 y - 3. Algunas veces representamos estos dos números como ±3. Para a 2:: O, el símbolo ~, denominado raíz cuadrada principal de a, denota la raíz cuadrada no negativa de a. Así, V9 = 3 Yv'i2I = 11. Es incorrecto escribir \116 = ±4 ya que \116 representa la raíz cuadrada no negativa de 16, es de cir, 4. El número 7 tiene dos raíces cuadradas, que pueden escribirse como ±Y7, pero Y7 representa a un solo número.
Aquí está un hecho muy valioso qué recordar.
La mayoría de los estudiantes recordarán la fórmula cuadrática. Las soluciones a la ecuación cuadrática ax2 + bx + e = Oestán dadas por
I x = - b ± ~:2 -4ac I
El número d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Esta ecua ción tiene dos soluciones reales si d > O, una solución real si d = OYsoluciones no rea les si d < O.
Con la fórmula cuadrática, fácilmente podemos resolver desigualdades cuadráti cas incluso si no se pueden factorizar por inspección.
EJEMPLO 6 Resuelva x2 - 2x - 4 ::; o. Solución Las dos soluciones de x2 - 2x - 4 = Oson
-( -2) -2V4+16 = 1 - V5 ::::; -1.24
Ésta se denomina fórmula de la distancia.
I d(P, Q) = vh - XI)' + (y, - YI)' I
(b) p( V2, v'3) y Q( 1T, 1T)(a) p( -2,3) YQ(4, -1)
Solución
V( -2 - 6)2 + (2 - 2)2 = V64 = 8
La fórmula es válida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta hori
zontal o a la misma recta vertical. Así, la distancia entre P( - 2,2) YQ(6, 2) es
La ecuación de un círculo Es un paso pequeño pasar de la fórmula de la dis tancia a la ecuación de un círculo. Un círculo es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo, considere el círculo de radio 3 con centro en (-1,2) (véase la figura 6). Sea (x, y) un punto cualquiera de este círculo. Por medio de la fórmula de la distancia,
V(x + 1)2 + (y - 2)2 = 3
•
V(1T - V2)2 + (1T - v'3)2 ~ \14.971 ~ 2.23
(a) d(P, Q)
(b) d(P, Q)
Cuando elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 9
que llamamos la ecuación de este círculo. En forma más general, el círculo de radio r y centro (h, k) tiene la ecuación
I (x - h)' + (y - k)2 = r'l(1)
EJEMPLO 2 Determine la ecuación estándar de un círculo de radio 5y centro en (1, -5). También, encuentre las ordenadas de los dos puntos en este círculo con abscisa 2.
Solución La ecuación buscada es
1. Si un punto está en el círculo, entonces sus coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación.
2. Si x y y son números que satisfacen la ecuación, entonces son las coordenadas de un punto que está en el círculo.
Círculo ~ Ecuacíón
Decir que (x + 1)2 + (y-2)2 = 9
es la ecuación del círculo de radio 3 con centro en (-1,2) significa dos cosas:
(x - 1)2 + (y + 5)2 = 25
Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuación y despejamos ay.
(2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25
(y + 5)2 = 24
y + 5 = ±V24 y = -5 ± V24 = -5 ± 2V6 •
Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) Yreducimos las constantes, en tonces la ecuación adquiere la forma
x2 + ax + l + by = c
Esto sugiere la pregunta de si toda ecuación de la última…

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