calculo´ 1. nociones basicas´ -...

118
alculo 1. Nociones b´ asicas Febrero, 2009

Upload: truongkhuong

Post on 26-Sep-2018

255 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Calculo

1. Nociones basicas

Febrero, 2009

Nociones basicasNumeros complejosFunciones reales de variable realValor absolutoFunciones polinomicas y racionalesFuncion exponencial y logarıtmicaFunciones trigonometricas y trigonometricas inversasLımitesContinuidadDerivacion de funciones reales de variable realExtremos relativosTeoremas del calculo diferencialConcavidad y convexidadDerivacion implıcita y parametricaPolinomio de TaylorLa integral indefinidaMetodos de integracionIntegracion de funciones de una variable realIntegracion impropiaAplicaciones de la integral

Conjuntos de numeros

IN⊂ Z⊂Q⊂ IR⊂ CDensidad de Q en IR: dados a,b ∈ IR, a < b, existe q ∈Q t.q. a < q < bSea un subconjunto A⊂ IR, A 6= φ .

DefinicionDecimos que s ∈ IR es cota superior de A si:

x≤ s, ∀x ∈ A

En este caso, decimos que A esta acotado superiormente

I De manera analoga, se dice que i ∈ IR es cota inferior del conjunto A si i≤ x,∀x ∈ A, y decimos que A esta acotado inferiormente

I Si un subconjunto de IR esta acotado superior e inferiormente, lo llamamosacotado

I Las cotas superior e inferior no son necesariamente unicas

Conjuntos de numeros

DefinicionDecimos que s ∈ IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquier otra cotasuperior, s ′, de A verifica: s≤ s ′. Decimos que i ∈ IR es ınfimo de A si i es cotainferior de A y cualquier otra cota inferior, i ′, de A verifica: i ′ ≤ i

I El supremo e ınfimo de A se representan por sup(A) e ınf(A), resp.

I Si, ademas, pertenecen al propio conjunto A, se les llama maximo y mınimo:

sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = max(A)ınf(A) ∈ A =⇒ ınf(A) = mın(A)

Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacıo y acotadosuperiormente. Entonces existe sup(A)

Numeros complejos

DefinicionEl conjunto de los numeros complejos es

C = {a+bi / a,b ∈ IR},

donde i =√−1 es la unidad imaginaria.

En C operaremos de la siguiente manera:

I (a+bi)+(c+di) = (a+ c)+(b+d)i

I (a+bi) · (c+di) = (ac−bd)+(ad +bc)i

Distintas representaciones de un numero complejo: z = a+ ib = (a,b) = |z|θ|z|=

√a2 +b2 es el modulo, o distancia al origen

θ ∈ [0,2π) se denomina argumento

Propiedades:

I Sea a ∈ IR; entonces a = a+0i ∈ C. Podemos considerar IR⊂ CI Todo polinomio p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0 (ai ∈ C) tiene n

raıces en C

Funcion real de variable real

Sea A⊂ IR

DefinicionLa correspondencia f : A−→ IR es una funcion si a cada x ∈ A le corresponde unaunica imagen f (x) ∈ IR

Llamamos:

I dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)}= {x/f (x) ∈ IR}I imagen: Im (f ) = {y ∈ IR/y = f (x) para algun x ∈ IR}

DefinicionDecimos que f es una funcion acotada si su imagen es un conjunto acotado(respectivamente, hablaremos de funcion acotada inferiormente y/o acotadasuperiormente).

Funcion real de variable real

Sea f : A−→ IR una funcion real de variable real.

DefinicionSea B⊂ A. f es creciente en B si

x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B

I Analogamente se define funcion estrictamente creciente, decreciente yestrictamente decreciente

DefinicionDecimos que f es inyectiva si:

x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)

Funcion real de variable real. Simetrıas

DefinicionDecimos que una funcion f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es impar sif (x) =−f (−x)

NotaEl nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con exponentepar (x2, x4, x6,...) tienen simetrıa par y los monomios con exponente impar (x, x3,x5,...) tienen simetrıa impar.

Funcion real de variable real. Periodicidad

DefinicionSea f : IR→ IR. Diremos que f es periodica, con perıodo T si

f (x) = f (x+T), ∀x ∈ IR.

El ejemplo mas clasico de funciones periodicas son las funciones trigonometricas.Si sabemos que una funcion tiene un perıodo T nos sera suficiente con representarlaen [0,T]. Despues se repetira.

T

Composicion de funciones

DefinicionSean f : A⊂ IR→ IR, g : B⊂ IR→ IR, con f (A)⊂ B. Definimos la funcioncompuesta g◦ f (se lee “f compuesta con g”) a la funcion

g◦ f : A⊂ IR −→ IRx ∈ A −→ (g◦ f )(x) := g(f (x)) .

x ∈ Af−→ f (x)

g−→ g(f (x)) .

Funcion inversa

DefinicionSea f : A⊂ IR→ IR una funcion inyectiva. Existe una unica funcion h : Im f → IR talque h(f (x)) = x, ∀x ∈ A.Esta funcion se denomina inversa de f y suele denotarse como f−1.

Es decir, f−1 ◦ f = Id. Ademas, en este caso se verifica que la composicion esconmutativa, es decir, que f ◦ f−1 = Id (la funcion Id es la funcion identidad, es decir,Id(x) = x, ∀x ∈ IR).

x

y = f−1(x)

No se debe pensar que f−1 = 1f ! La forma practica de calcular una funcion

inversa es despejar la x en funcion de la y (es decir, de f (x)) e intercambiar suspapeles.

Valor absoluto

Sea x ∈ IR

DefinicionLlamamos valor absoluto de x a la cantidad:

|x|={−x, si x < 0,x, si x≥ 0.

DefinicionSean x, y ∈ IR. Definimos la distancia entre estos dos puntos como

d(x,y) := |x− y|.

Valor absoluto

PropiedadSean x,y ∈ IR

I |x| ≥ 0

I |x|= 0 ⇐⇒ x = 0

I |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular)

I |xy|= |x| |y|,∣∣∣∣xy∣∣∣∣= |x||y| .

I Si C > 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C ≤−|x| ≤ x≤ |x| ≤ C

Funciones polinomicas

Las funciones polinomicas son funciones del tipo

p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0,

con a0, a1, ..., an ∈ IR, y an 6= 0.

Diremos que

I grado del polinomio es n,

I coeficiente principal es an.

Ejemplos de polinomios son

1. p1(x) = 5x3−4x+2,

2. p2(x) = 8x3−√

2,

3. p3(x) = πx4 +2x3−3x.

El dominio de una funcion polinomica es siempre IR, mientras que su imagen varıaen cada caso.

Funciones racionales

Las funciones racionales son cocientes de funciones polinomicas, es decir,

f (x) =p(x)q(x)

.

Ejemplos de funciones racionales son

1. f1(x) =5x3−4x+2

8x3−√

2,

2. f2(x) =1

x3 +2.

El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquellos que anulen eldenominador,

Dom f = IR−{x ∈ IR : q(x) = 0} ,mientras que su imagen varıa en cada caso.

Funcion exponencialSea a > 0. Definimos la funcion exponencial de base a como

f (x) = ax.Siempre que a 6= 1,

Dom f = IR, Im f = (0,+∞), f (0) = a0 = 1.

1. a < 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente decreciente,

x < y⇒ ax > ay,

I lımx→−∞

ax = +∞,I lım

x→+∞ax = 0.

2. a > 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente creciente,

x < y⇒ ax < ay,

I lımx→−∞

ax = 0,I lım

x→+∞ay = +∞.

Funcion exponencial

−4 −2 0 2 40

2

4

6

8

10

12

14

16

2x

0.5x

El caso mas importante es la funcion f (x) = ex (recordemos que e = 2,7182818...). Aesta funcion es a la que se suele conocer, por defecto, como funcion exponencial.

Propiedadi) ax+y = axay, ∀x,y ∈ IR,

ii) (ax)y = axy, ∀x,y ∈ IR,

iii) a−x =1ax ∀x ∈ IR (consecuencia de la anterior propiedad).

Funcion logarıtmicaEs la inversa de la funcion exponencial.

DefinicionDado a > 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x,

y = loga(x) ⇐⇒ ay = x .

Para cualquier valor de a,

I el dominio de la funcion logaritmo lo forman los numeros positivos(Dom log = (0,+∞)),

I la imagen es todo IR,

I loga(1) = 0.

Propiedad

loga (xy) = loga (x)+ loga (y) , ∀x,y ∈ IR,

loga (xy) = y loga (x) , ∀x,y ∈ IR,

loga

(xy

)= loga (x)− loga (y) ∀x,y ∈ IR, y 6= 0.

Funcion logarıtmica1. a < 1. En este caso,

I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente decreciente,

x < y =⇒ loga(x) > loga(y),

I lımx→0+

loga(x) = +∞,

I lımx→+∞

loga(x) =−∞.

2. a > 1. En este caso,I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente creciente,

x < y =⇒ loga(x) < loga(y),

I lımx→0+

loga(x) =−∞,

I lımx→+∞

loga(y) = +∞.

0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

4

6log

2(x)

log0.5

(x)

Funcion logarıtmica

0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

4

6log

2(x)

log0.5

(x)

El logaritmo mas importante es el que tiene como base el numero e, f (x) = loge(x).Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse por ln(x) o, simplemente,log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en funcion del ln mediante laformula

loga (x) =ln(x)ln(a)

.

Funciones trigonometricas

Funcion senoLa funcion f (x) = sin(x), verificaI su dominio es todo IR,I su imagen es [−1,1],I es una funcion impar,I es una funcion periodica, con perıodo 2π .

−10 −5 0 5 10

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

sen(x)

Funciones trigonometricas

Funcion cosenoLa funcion f (x) = cos(x), verificaI su dominio es todo IR,I su imagen es [−1,1],I es una funcion par,I es una funcion periodica con perıodo 2π .

−10 −5 0 5 10

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cos(x)

Funciones trigonometricas

El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las proyecciones sobrelos ejes del angulo, en radianes, dibujado sobre la circunferencia de radio unidad.

sin(x)

cos(x)

x

1

Propiedad

I sin2(x)+ cos2(x) = 1 ∀x,

I sin(x+ y) = sin(x)cos(y)+ cos(x)sin(y),

I cos(x+ y) = cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y).

Funciones trigonometricasDefinimos la funcion tangente como

tan(x) :=sin(x)cos(x)

.

El dominio de esta funcion lo forman todos los puntos de IR en los que el coseno nose anule, es decir,

Dom tan = IR−{

π

2+ kπ : k ∈ Z

},

mientras que su imagen es todo IR. Ademas, es una funcion impar y periodica, conperıodo π .

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

tan(x)

Funciones trigonometricas

Otras funciones trigonometricas

I Cosecante, cosec(x) :=1

sin(x),

I Secante, sec(x) :=1

cos(x),

I Cotangente, cotan(x) :=1

tan(x).

Funciones trigonometricas inversas

Funcion arco-senoEs la inversa de la funcion seno. Como esta no es una funcion inyectiva, restringimossu dominio, quedandonos con el seno definido solo en el intervalo [− π

2 , π

2 ].

Definimos entonces la funcion arco-seno, arcsin(x), como la funcion que, dado unx ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [− π

2 , π

2 ].

x

y = asin(x)

Funciones trigonometricas inversas

Funcion arco-seno

Por tanto la funcion arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [−1,1] y como imagenel [− π

2 , π

2 ]. Es una funcion impar.

Funciones trigonometricas inversas

Funcion arco-cosenoEs la inversa de la funcion coseno. En este caso, restringimos el dominio paraquedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π].

Definimos entonces la funcion arco-coseno, arccos(x), como la funcion que, dado unx ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [0,π] tal que x = cos(y).

Funciones trigonometricas inversas

Funcion arco-tangenteEs la inversa de la funcion tangente. Restringimos su dominio al intervalo

(− π

2 , π

2).

Definimos entonces la funcion arco-tangente, arctan(x), como la funcion que, dadoun x ∈ IR, le asocia el unico y en

(− π

2 , π

2)

tal que x = tan(y).

y = arctan(x)

x

Funciones trigonometricas inversas

Funcion arco-tangente

Por tanto la funcion arctan(x) tiene como dominio todo IR y como imagen elintervalo

(− π

2 , π

2). Es una funcion impar.

Definicion de lımite. Introduccion

ε

δ

Lımite de una funcion en un punto

Sea f : (a,b)−→ IR

DefinicionDecimos que ` ∈ IR es lımite de f en x0 ∈ (a,b) si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x− x0|< δ =⇒ |f (x)− `|< ε

Se representa por lımx→x0

f (x) = `

PropiedadEl lımite de una aplicacion en un punto, si existe, es unico.

PropiedadSupongamos que lım

x→x0f (x) = `1 y lım

x→x0g(x) = `2. Entonces,

I lımx→x0

(f (x)+g(x)) = `1 + `2

I lımx→x0

(f (x)g(x)) = `1 `2

I lımx→x0

(f (x)g(x)

)=

`1

`2si `2 6= 0

Lımites laterales

DefinicionI Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l si

lımx→x+

0

f (x) = l : ⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0

/0 < x− x0 < δ =⇒ |f (x)− l|< ε

].

I Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, es l si

lımx→x−0

f (x) = l : ⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0

/0 < x0− x < δ =⇒ |f (x)− l|< ε

].

Lımites laterales

x0 x0

Lımite por la derecha Lımite por la izquierda

PropiedadExiste lım

x→x0f (x) si y solo si existen lım

x→x+0

f (x) y lımx→x−0

f (x) y son iguales.

Lımites infinitos

DefinicionI lım

x→x0f (x) = +∞ : ⇐⇒

[∀M > 0,∃δ > 0

/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) > M

],

I lımx→x0

f (x) =−∞ : ⇐⇒[∀M > 0,∃δ > 0

/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) <−M

].

M

−M

lımx→x0

f (x) = +∞ lımx→x0

f (x) =−∞

Lımites en el infinito

DefinicionI lım

x→+∞f (x) = l : ⇐⇒

[∀ε > 0,∃M > 0

/x > M⇒ |f (x)− l|< ε

],

I lımx→−∞

f (x) = l : ⇐⇒[∀ε > 0,∃M > 0

/x <−M⇒ |f (x)− l|< ε

].

lımx→+∞

f (x) = l

M

l

lımx→−∞

f (x) = l

l

−M

Decimos que la funcion f tiene:

I una asıntota horizontal en y = l si: lımx→±∞

f (x) = l

I una asıntota vertical en x = x0 si: lımx→x0

f (x) =±∞

I una asıntota oblicua si lımx→±∞

(f (x)− (mx+n)) = 0.

Para calcular m y n: m = lımx→±∞

f (x)x

y n = lımx→±∞

(f (x)−mx);

la ecuacion de la asıntota es: y = mx+n

Continuidad

Sea f : (a,b)−→ IR, x0 ∈ (a,b)

DefinicionDecimos que la aplicacion f es continua en x0 si y solo si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |x0− x|< δ =⇒ |f (x0)− f (x)|< ε

o bien, teniendo en cuenta la definicion de lımite, si lımx→x0

f (x) = f (x0)

En caso de no cumplir la condicion anterior, decimos que f es discontinua en x0. Lasdiscontinuidades pueden ser de varios tipos:

I evitable: lımx→x0

f (x) 6= f (x0)

I esencial: no existe el lımite de f en x0, porque:I lım

x→x−0f (x) 6= lım

x→x+0

f (x)

I alguno de los lımites laterales (o ambos) no existe

PropiedadSi f ,g : (a,b)−→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a,b),

I λ f es continua en x0, ∀λ ∈ IR,

I (f ±g) y (f ·g) son continuas en x0,

I si g(x0) 6= 0, entonces (f /g) es continua en x0.

PropiedadLa composicion de funciones continuas es una funcion continua. Ademas, si f y g sonfunciones tales que lım

x→x0f (x) = ` y g es continua en `, entonces

lımx→x0

g(f (x)) = g(`)

PropiedadEl lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funciones talesque existe lım

x→x0f (x) = l ∈ IR y g es una funcion continua en l. Entonces

lımx→x0

g(f (x)) = g(

lımx→x0

f (x))

= g(l).

Continuidad en intervalos

DefinicionSea f : (a,b)⊂ IR→ IR. Diremos que f es continua en (a,b) si es continua en todoslos puntos de (a,b).

DefinicionSea f : [a,b]⊂ IR→ IR. Diremos que f es continua en [a,b] si

1. f es continua en (a,b),

2. f es continua en a por la derecha,

3. f es continua en b por la izquierda.

Teorema de Bolzano

Teorema (de Bolzano)Sea f : [a,b]−→ IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces ∃x0 ∈ (a,b)tal que f (x0) = 0

Teorema de Bolzano. Comentarios1. Pueden existir varias raıces,

ba

2. Si se suprime alguna de las hipotesis, el teorema no es valido (en general),

f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]

a b a b

Teorema de Weierstrass

Teorema (de Weierstrass)Si f : [a,b]−→ IR es continua, entonces f alcanza el maximo y el mınimo en elintervalo [a,b], es decir, existen x1,x2 ∈ [a,b] tales que:

f (x1)≤ f (x)≤ f (x2) , ∀x ∈ [a,b]

Derivada. IntroduccionRecordemos la definicion de pendiente de una recta:

αy0

y1

x1x0

Pendiente= m = tanα =y1− y0

x1− x0

Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una funcion, lo que, enel lımite, sera la definicion de derivada:

x0 x0 +h

f (x0 +h)f (x0)

α

h→ 0

x0

f (x0)α

tanα =f (x1)− f (x0)

x1− x0tanα =

f (x0 +h)− f (x0)h

x→ x0

f (x)

x

Definicion de derivada

Sea f : (a,b)−→ IR

DefinicionSe dice que f es derivable en el punto x0 ∈ (a,b) si existe el siguiente lımite:

lımx→x0

f (x)− f (x0)x− x0

= lımh→0

f (x0 +h)− f (x0)h

en cuyo caso dicho lımite se representa por f ′(x0).

Definicion de derivada. Observaciones

1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x0 (en este caso, el punto h = 0) en la

definicion de lımite. En la expresion lımh→0

f (x0 +h)− f (x0)h

no podemos hacer

nada si h = 0, ya que tendrıamos una division entre 0.

2. El cociente f (x)−f (x0)x−x0

mide la variacion de la funcion respecto a la variacion dela variable. Por ese motivo a f ′(x0) se le denomina, en ocasiones, coeficiente devariacion de f , o razon de cambio de la funcion f , en el punto x0.

3. Ahora ya podemos calcular la ecuacion de la recta tangente utilizando laformula punto-pendiente,

y− y0 = m(x− x0) =⇒ y = y0 +m(x− x0) .

En este caso, (x0,y0) = (x0, f (x0)), m = f ′ (x0). Y la recta tangente,

y = f (x0)+ f ′ (x0)(x− x0) .

Derivadas laterales

DefinicionSea f : (a,b)→ IR, x0 ∈ (a,b). Definimos

I derivada por la izquierda de f en x0 como

f ′(x−0 ) := lımh→0−

f (x0 +h)− f (x0)h

,

I derivada por la derecha de f en x0 como

f ′(x+0 ) := lım

h→0+

f (x0 +h)− f (x0)h

.

PropiedadSea f : (a,b)→ IR, x0 ∈ (a,b). f es derivable en x0 si y solo si es derivable por laizquierda y por la derecha en x0 y ambas derivadas coinciden.

Derivable⇒ continua

PropiedadSi f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. El recıproco no siempre escierto.

Consecuencia: Si f no es continua en x0 entonces f no puede ser derivable en x0.

Recuerda:

I Derivable en x0⇒ continua en x0

I No continua en x0⇒ no derivable en x0

Derivadas elementales

.ddx

xn = nxn−1,

.ddx

logx =1x,

ddx

loga x =1x

loga e,

.ddx

ex = ex,ddx

ax = ax loga,

.ddx

sinx = cosx,ddx

cosx =−sinx,

.ddx

tanx =1

cos2 x,

.ddx

arcsinx =1√

1− x2, arccosx =

−1√1− x2

,

.ddx

arctanx =1

1+ x2 .

Propiedades aritmeticas de la derivada

PropiedadSean f ,g : (a,b)→ IR, dos funciones derivables en un punto x0 ∈ (a,b). Entonces

I para cualquier λ ∈ IR, la funcion λ f es derivable en x0 y

(λ f )′ (x0) = λ f ′(x0),

I f ±g es derivable en x0 y

(f ±g)′ (x0) = f ′(x0)±g′(x0),

I fg es derivable en x0 y

(fg)′ (x0) = f ′(x0)g(x0)+ f (x0)g′(x0),

I si g(x0) 6= 0, entonces fg es derivable en x0 y(

fg

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)g(x0)2 .

Regla de la cadenaSean f y g dos funciones tales que f es derivable en x0 y g es derivable en f (x0).Entonces (g◦ f ) es derivable en x0 y

(g◦ f )′ (x0) = g′ (f (x0)) f ′(x0)

Derivacion implıcitaSe trata de calcular el valor de dy

dx a partir de expresiones de la forma F(x,y) = 0.Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar una expresion que dependa de ydebemos derivar de la forma ordinaria y anadir al final dy

dx = y′.

Derivacion logarıtmicaPara obtener la expresion de y′ a partir de formulas como

y = f (x)g(x),

tomaremos logaritmos, logy = g(x) log(f (x)), y despues aplicaremos derivacionimplıcita para obtener

y′ = f (x)g(x)(

g′(x) log(f (x))+g(x)f ′(x)

f (x)

).

Derivadas sucesivas

DefinicionSea f : (a,b)−→ IR una funcion derivable en todos los puntos de (a,b). Definimos lafuncion derivada como:

f ′ : (a,b) −→ IRx f ′(x)

I Dado x0 ∈ (a,b) se define:

f ′′(x0) = lımh→0

f ′(x0 +h)− f ′(x0)h

si este lımite existe y es finito. En este caso, se dice que f es derivable dos vecesen x0

I En general, una vez que se tiene f (n) : (a,b)−→ IR, se define:

f (n+1)(x0) =(

f (n))′

(x0)

DefinicionDiremos que f es de clase n en (a,b), y se representa por:

f ∈ C n(a,b)

si existe la derivada n–esima de f en (a,b) y es continua.

I Diremos que f ∈ C ∞(a,b) si f ∈ C n(a,b), ∀n ∈ IN

I Diremos que f ∈ C n[a,b], si existe (c,d)⊃ [a,b] tal que f ∈ C n(c,d)

Extremos relativos

DefinicionSea f : (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene un mınimo local o relativo enx0 ∈ (a,b) si existe r > 0 tal que:

f (x0)≤ f (x) , ∀x ∈ (x0− r,x0 + r)

Extremos relativos

DefinicionSea f : (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene un maximo local o relativo enx0 ∈ (a,b) si existe r > 0 tal que:

f (x0)≥ f (x) , ∀x ∈ (x0− r,x0 + r)

PropiedadSea f : (a,b)−→ IR derivable en x0 ∈ (a,b). Si f tiene en x0 un extremo relativo,entonces f ′(x0) = 0.

Criterio de la primera derivadaSea f : [a,b]−→ IR una funcion continua, x0 ∈ (a,b) y existe r > 0 tal que f esderivable en (x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r).

I Si f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0− r,x0), y f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0,x0 + r), entonces f presentaen x0 un mınimo relativo

I Si f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0− r,x0), y f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0,x0 + r), entonces f presentaen x0 un maximo relativo

Criterio de la segunda derivadaSea f : (a,b)−→ IR con derivada segunda continua en (a,b). Sea x0 ∈ (a,b) tal quef ′(x0) = 0. Entonces:

I si f ′′(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativo,

I si f ′′(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativo.

PropiedadSean f ∈ C n(a,b) y x0 ∈ (a,b) tales que f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 yf (n)(x0) 6= 0. Entonces

I Si n es par y f (n)(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativo

I Si n es par y f (n)(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativo

I Si n es impar, f no tiene extremos relativos en x0

Teorema (de Rolle)Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua en [a,b], derivable en (a,b) y tal quef (a) = f (b). Entonces existe al menos un punto x0 ∈ (a,b) tal que f ′(x0) = 0

Consecuencias:

I Si f tiene n raıces reales, f ′ tendra, al menos n−1 raıces reales

I Si f ′ tiene n raıces reales, f tendra, a lo sumo n+1 raıces reales

Teoremas de Cauchy y de Lagrange

Teorema (de Cauchy)Sean f ,g : [a,b]−→ IR dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Existex0 ∈ (a,b) tal que

[g(b)−g(a)] f ′(x0) = [f (b)− f (a)] g′(x0)

Teorema (del valor medio de Lagrange)Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b). Existex0 ∈ (a,b) tal que

f ′(x0) =f (b)− f (a)

b−a

Aplicaciones

PropiedadSea f derivable en (a,b)

1. Si f ′(x)≥ 0, ∀x ∈ (a,b), f es monotona creciente en el intervalo

2. Si f ′(x)≤ 0, ∀x ∈ (a,b), f es monotona decreciente en el intervalo

3. Si f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a,b), f es constante en el intervalo

4. Si f ′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a,b), f es inyectiva en el intervalo

Regla de L’Hopital

Regla de L’HopitalSean f ,g : (a,b)−→ IR funciones derivables en (x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r), conx0 ∈ (a,b) y r > 0. Si

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

g(x) = 0 y ∃ lımx→x0

f ′(x)g′(x)

entonces,

∃ lımx→x0

f (x)g(x)

y lımx→x0

f (x)g(x)

= lımx→x0

f ′(x)g′(x)

Regla de L’Hopital

I El recıproco no es cierto:

∃ lımx→x0

f (x)g(x)

6=⇒ ∃ lımx→x0

f ′(x)g′(x)

I El enunciado del teorema tambien es valido si:

lımx→x0

f (x) =±∞ y lımx→x0

g(x) =±∞

o cuando calculamos los lımites en ±∞

I Si en la expresion lımx→x0

f ′(x)g′(x)

se vuelve a producir una indeterminacion del tipo

00

o∞

∞se puede volver a aplicar l’Hopital (si se verifican las hipotesis)

I Las indeterminaciones 0 ·∞, ∞−∞, 00, ∞0 y 1∞ se pueden reducir aindeterminaciones de tipo l’Hopital

Concavidad y convexidad

Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua.

DefinicionDecimos que f es convexa en [a,b] si

f (x)≤ f (b)− f (a)b−a

(x−a)+ f (a) , ∀x ∈ [a,b]

DefinicionDecimos que f es concava en [a,b] si (−f ) es convexa en [a,b]

Definicionf tiene un punto de inflexion en x0 si cambia de concava a convexa (o viceversa) enx0

Concavidad y convexidad

Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua.

PropiedadSea f : [a,b]−→ IR continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces f es convexa en[a,b] si y solo si f ′ es creciente en (a,b). Esto equivale a que f ′′ ≥ 0, si f tienederivada segunda.

I Respectivamente, f es concava en [a,b] si y solo si f ′ es decreciente en (a,b) (esdecir, si existe derivada segunda, si y solo si f ′′ ≤ 0)

Derivacion implıcita

Una ecuacion F(x,y) = 0 define implıcitamente una funcion f en un intervalo (a,b)si:

F(x, f (x)) = 0 ∀x ∈ (a,b)

I Por ejemplo, la ecuacion:x2 + y2 = 4

define la funcionf (x) =

√4− x2 ∀x ∈ (−2,+2)

PropiedadSi f es derivable, entonces F tambien lo es.

I Como consecuencia, podemos calcular f ′ a partir de F′

Derivacion implıcita

I Dada la ecuacion x2 +2y2−3xy = 0, deseamos calcular y′(1,1)

Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:

2x+4yy′−3y−3xy′ = 0.

Para x = 1, y = 1,

2+4y′−3−3y′ =−1+ y′ = 0 ,

de donde y′(1,1) = 1

I Dada la ecuacionx−1

4+4y2 = 1, deseamos calcular y′(1,0,5)

I Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:

14

+8yy′ = 0 =⇒ y′ =− 132y

de donde y′(1,0,5) =−1/16

Derivacion logarıtmica

Es un caso particular del tema anterior.

I Supongamos que queremos calcular la derivada de la funcion f (x) = xx

Sea y = xx. Tomando logaritmos:

lny = x lnx

y derivando:

y′

y= lnx+

xx

= 1+ lnx

de donde: y′ = y(1+ lnx) = xx (1+ lnx)

Polinomio de Taylor

Sea f : [a,b]−→ IR una funcion que admite derivada n−sima.Para x0 ∈ [a,b], definimos el polinomio de Taylor de grado n−1 relativo a lafuncion f y al punto x0 como:

Pn−1(x) = f (x0)+f ′(x0)

1!(x− x0)+

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .+f (n−1)(x0)(n−1)!

(x− x0)n−1

Entonces, para todo x ∈ (a,b) existe ξ ∈ (a,x0) o ξ ∈ (x0,b) tal que:

f (x) = P(x)+f (n)(ξ )

n!(x− x0)n = P(x)+Rn

I Si x0 = 0, el polinomio se denomina de McLaurin

Polinomio de Taylor

f (x) = ex P0(x) = e1

Polinomio de Taylor

f (x) = ex P1(x) = e1 + e1(x−1)

Polinomio de Taylor

f (x) = ex P2(x) = e1 + e1(x−1)+ e1 (x−1)2

2

Polinomio de Taylor

f (x) = ex P3(x) = e1 + e1(x−1)+ e1 (x−1)2

2+ e1 (x−1)3

3!

La integral indefinida

Sea f : I −→ IR

DefinicionDiremos que F es primitiva de f en I si

F′(x) = f (x) , ∀x ∈ I

TeoremaSi F y G son dos primitivas de una misma funcion f en un intervalo I, entonces,

∃k ∈ IR tal que F(x) = G(x)+ k , ∀x ∈ I

La integral indefinida

DefinicionDada una funcion f : I −→ IR, llamaremos integral indefinida de f al conjunto detodas sus primitivas, y escribiremos:∫

f (x)dx ={

F/

F′(x) = f (x), ∀x ∈ I}

I En consecuencia, si conocemos una primitiva F de f , conocemos todas:∫f (x)dx = {F + k, ∀k ∈ IR}

Propiedad (linealidad de la integral)

I

∫[f (x)+g(x)] dx =

∫f (x)dx+

∫g(x)dx

I

∫α f (x)dx = α

∫f (x)dx, ∀α ∈ IR

Integrales inmediatas

∫f (x)mf ′(x)dx =

1m+1

f (x)m+1 +C, m 6=−1∫ f ′(x)f (x)

dx = ln |f (x)|+C

∫ef (x) f ′(x)dx = ef (x) +C ∫

af (x) f ′(x)dx =af (x)

lna+C, a > 0, a 6= 1

∫[sin f (x)] f ′(x)dx =−cos f (x)+C ∫

[cos f (x)] f ′(x)dx = sin f (x)+C

Integrales inmediatas

∫ f ′(x)1+ f 2(x)

dx = arctan f (x)+C ∫ f ′(x)√1− f 2(x)

dx = arcsin f (x)+C

∫ f ′(x)sin2 f (x)

dx =−cot f (x)+C ∫ f ′(x)cos2 f (x)

dx = tan f (x)+C

∫[tan f (x)] f ′(x)dx =− ln |cos f (x)|+C∫

[cot f (x)] f ′(x)dx = ln |sin f (x)|+C

Integracion por partes

∫u(x)v′(x)dx = (uv)(x)−

∫v(x)u′(x)dx

o bien, ∫udv = uv−

∫vdu

Es conveniente cuando el integrando es un producto de:

I polinomio y exponencial

I polinomio y seno o coseno

I exponencial y seno o coseno

Integracion por cambio de variable

Sean:

f : [a,b]−→ IR integrable,

ϕ : [α,β ]−→ IR inyectiva, con derivada continua y tal que:

ϕ ([α,β ])⊂ [a,b]

Entonces ∫f (x)dx =

∫f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt

Integrales racionales

Son integrales del tipo∫ P(x)

Q(x)dx, siendo P y Q polinomios

I Si gr(P)≥ gr(Q), debemos calcular el cociente de los polinomios paraexpresarlo en la forma:

P(x)Q(x)

= C(x)+R(x)Q(x)

I Si gr(P) < gr(Q), podemos encontrar cuatro situaciones:

(a) Todas las raıces son reales y simples(b) Todas las raıces son reales y alguna es multiple(c) Algunas raıces son complejas y simples(d) Algunas raıces son complejas y multiples

Integrales racionales

Todas las raıces son reales y simples.Entonces, podemos hacer:

Q(x) = (x−a1)(x−a2) . . . (x−an)

Se descompone el cociente en fracciones sencillas, como sigue:

P(x)Q(x)

=A1

x−a1+

A2

x−a2+ . . .+

An

x−an

Integrales racionales

Todas las raıces son reales y alguna es multipleEl polinomio Q puede factorizarse en la forma:

Q(x) = (x−a1)α1 (x−a2)α2 . . . (x−ar)αr ,

donder∑

i=1αi = gr(Q)

Se descompone el cociente en fracciones sencillas, como sigue:

P(x)Q(x)

=A11

(x−a1)+

A12

(x−a1)2 + . . .+A1α1

(x−a1)α1+

+A21

(x−a2)+

A22

(x−a2)2 + . . .+A2α2

(x−a2)α2+ . . .+

+Ar1

(x−ar)+

Ar2

(x−ar)2 + . . .+Arαr

(x−ar)αr

Algunas raıces son complejas simples.

I Toda raız compleja siempre aparece con su conjugada

Para cada raız compleja tendremos un termino de la forma:

(x− (r + si)) (x− (r− si)) = (x− r)2 + s2

El desarrollo de Q(x) tendra entonces la forma:

Q(x) = (x−a1) (x−a2) . . . (x−an)((x− r)2 + s2

)y la descomposicion del cociente sera:

P(x)Q(x)

=A1

x−a1+

A2

x−a2+ . . .+

An

x−an+

Ax+B(x− r)2 + s2

Finalmente,∫ Ax+B(x− r)2 + s2 dx =

A2

ln[(x− r)2 + s2

]+

Ar +Bs

arctanx− r

s+C

Integrales trigonometricas

Son integrales del tipo∫

R(senx,cosx)dx, donde R denota una funcion que combina

operaciones racionales.Por ejemplo:

∫ 1cos2 x+ senx

dx

∫ sen2 x+ cos3 x1− tan5 x

dx

Integrales trigonometricasEstas integrales se reducen a integrales racionales con los siguientes cambios:

I Caso R(senx,−cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambio t = senx:

cosx =√

1− t2 dx =1√

1− t2dt

I Caso R(−senx,cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambio t = cosx:

senx =√

1− t2 dx =− 1√1− t2

dt

I Caso R(−senx,−cosx) = R(senx,cosx): se hace el cambio t = tanx:

senx =t√

1+ t2cosx =

1√1+ t2

dx =1

1+ t2dt

I En otro caso se realiza el cambio trigonometrico universal t = tan( x

2):

senx =2t

1+ t2cosx =

1− t2

1+ t2dx =

21+ t2

dt

Integrales irracionales

I

∫R

(x,(

ax+bcx+d

)m/n, . . . ,

(ax+bcx+d

)r/s)

dx

ax+bcx+d

= tα , α = mcm(n, ...,s)

I

∫R(

x,√−ax2 + c

)dx

x =√

c√a

sen t

I

∫R(

x,√

ax2− c)

dx

x =√

c√a

sec t

I

∫R(

x,√

ax2 + c)

dx

x =√

c√a

tan t

Particiones

Sea un intervalo [a,b]⊂ IR.

DefinicionLlamamos particion P de [a,b] al conjunto de puntos {x0,x1, . . . ,xn} que verifica:

a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .≤ xn−1 ≤ xn = b

DefinicionLa particion P∗ es un refinamiento de P si P⊂ P∗: todos los puntos de P estan en laparticion P∗

DefinicionLlamamos conjunto de las particiones P[a,b] al conjunto de todas las particionesposibles del intervalo [a,b]

Sea f una funcion real y acotada en el intervalo [a,b] y sea P una particion.Llamamos:

Mi = supxi−1≤x≤xi

f (x) mi = ınfxi−1≤x≤xi

f (x)

Sumas de Riemann

Sea f : [a,b]−→ IR una funcion acotada.

DefinicionLlamamos suma superior de Riemann y suma inferior de Riemann de la funcion frelativas a la particion P a:

U(P, f ) =n

∑i=1

Mi(xi− xi−1) L(P, f ) =n

∑i=1

mi(xi− xi−1)

I Asimismo, se definen las sumas intermedias:

n

∑i=1

f (ξi)(xi− xi−1), ξi ∈ [xi−1,xi]

Sumas de Riemann

Propiedad

L(P, f )≤ U(P, f ), ∀P ∈P[a,b]

TeoremaSi P∗ es un refinamiento de P, entonces:

L(P∗, f )≥ L(P, f ) y U(P∗, f )≤ U(P, f )

Propiedad

L(P1, f )≤ U(P2, f ) , ∀P1,P2 ∈P[a,b]

La integral de Riemann

DefinicionLlamamos integral superior de Riemann e integral inferior de Riemann de lafuncion f en el intervalo [a,b] a:

∫ b

af dx = ınf

P∈P[a,b]U(P, f )

∫ b

af dx = sup

P∈P[a,b]L(P, f )

TeoremaPara toda funcion f real y acotada,

∫ b

af dx≤

∫ b

af dx

La integral de Riemann

DefinicionSi las integrales superior e inferior de Riemann de una funcion coinciden, llamamosa este valor integral de Riemann de f en el intervalo [a,b]:

∫ b

af dx =

∫ b

af dx =

∫ b

af dx

y decimos que f es integrable segun Riemann: f ∈R[a,b]

Interpretacion graficaDada una funcion positiva en un intervalo [a,b], su integral de Riemann representa elarea encerrada por la curva y = f (x) y el eje y = 0, entre las abscisas x = a y x = b

Teorema (Existencia de la integral de Riemann)La funcion f es integrable en [a,b] en el sentido de Riemann si y solo si:

∀ε > 0, ∃P ∈P[a,b] tal que U(P, f )−L(P, f ) < ε

Teorema (de integrabilidad)

I Toda funcion continua en [a,b] es integrable en dicho intervalo

=⇒ Toda funcion derivable es continua, y por lo tanto integrable

I Toda funcion monotona y acotada en [a,b] es integrable en dicho intervalo

I Toda funcion acotada en [a,b] que presenta en dicho intervalo un numero finitode puntos de discontinuidad, es integrable en [a,b]

I Sea f una funcion integrable en [a,b] en el sentido de Riemann, y tal que:

m≤ f (x)≤M, ∀x ∈ [a,b]

Si g es continua en [m,M], entonces la funcion compuesta (g◦ f ) es integrableen [a,b]

PropiedadSean f ,g ∈R[a,b]

I (f ±g) ∈R[a,b] y (cf ) ∈R[a,b], ∀c ∈ IR, y se cumple:∫ b

a(f ±g)dx =

∫ b

af dx±

∫ b

agdx

∫ b

acf dx = c

∫ b

af dx

I Si f (x)≤ g(x) en [a,b], entonces∫ b

af dx≤

∫ b

agdx

I Si a < c < b, entonces f ∈R[a,c] y f ∈R[c,b], y se verifica:∫ b

af dx =

∫ c

af dx+

∫ b

cf dx

I Si |f (x)| ≤M, ∀x ∈ [a,b], entonces∫ b

af dx≤M(b−a)

I fg ∈R[a,b]

I |f | ∈R[a,b], y se cumple:∣∣∣∣∫ b

af dx∣∣∣∣≤ ∫ b

a|f |dx

Teorema (del cambio de variable)Sea f ∈R[a,b], y g una funcion real de clase C 1([c,d]). Si g([c,d])⊂ [a,b], severifica: ∫ g(d)

g(c)f (t)dt =

∫ d

cf (g(x))g′(x)dx

Teorema (del valor medio)Sea f ∈R[a,b], y llamemos:

M = supx∈[a,b]

f (x) m = ınfx∈[a,b]

f (x)

Entonces, ∃c ∈ IR, m≤ c≤M tal que:∫ b

af dx = c(b−a).

Ademas, si f es continua en [a,b], ∃x0 ∈ [a,b] tal que c = f (x0)

Teorema (fundamental del calculo)Sea f ∈R[a,b]. Para a≤ x≤ b, llamemos:

F(x) =∫ x

af (t)dt.

Entonces, F ∈ C [a,b]. Ademas, si f es continua en [a,b], F es derivable en [a,b], yF ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b].

Tambien puede enunciarse de la siguiente manera:

Si f : I −→ IR es continua en I, entonces tiene primitivas en I; una de ellases la integral definida F dada por:

F(x) =∫ x

af (t)dt

donde a ∈ I es cualquiera.

DEMOSTRACION

(a) Sea c ∈ [a,b]. Por la definicion de F, tenemos:

F(c+∆x)−F(c) =∫ c+∆x

af (t)dt−

∫ c

af (t)dt =

=∫ c

af (t)dt +

∫ c+∆x

cf (t)dt−

∫ c

af (t)dt =

=∫ c+∆x

cf (t)dt = µ ∆x, µ ∈ [m,M]

Por lo tanto,

lım∆x→0

[F(c+∆x)−F(c)] = lım∆x→0

µ ∆x = 0

lım∆x→0

F(c+∆x) = lım∆x→0

F(c) = F(c)

lımx→c

F(x) = F(c)

o, lo que es lo mismo, F es continua en c ∈ [a,b]. Puesto que la igualdad esvalida para cualquier punto c, F es continua en [a,b].

(b) Por ser f continua,

F(c+∆x)−F(c) = f (ξ )∆x , ξ ∈ [c,c+∆x]

F(c+∆x)−F(c)∆x

= f (ξ ) , ξ ∈ [c,c+∆x]

lım∆x→0

F(c+∆x)−F(c)∆x

= F ′(c) = f (c) = lım∆x→0

f (ξ )

Como la igualdad es valida para cualquier c ∈ [a,b],

F ′(x) = f (x) , ∀x ∈ [a,b]

Regla de BarrowSi f ∈R[a,b] y existe una funcion F derivable en [a,b] tal que F ′ = f , entonces:

∫ b

af (x)dx = F(x)

∣∣∣∣ba

= F(b)−F(a)

Teorema (Integracion por partes)Si F y G son dos funciones derivables en [a,b], y se tiene:{

F ′ = fG ′ = g

en [a,b]

siendo f y g integrables en [a,b], entonces,∫ b

aF(x)g(x)dx = F(b)G(b)−F(a)G(a)−

∫ b

af (x)G(x)dx

TeoremaSea la funcion F dada por la integral definida:

F(x) =∫ b(x)

a(x)f (t)dt

La derivada de F con respecto a x viene dada por:

F ′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x)

Integracion impropia

DefinicionLa integral

∫ b

af (x)dx se denomina impropia si tiene al menos una de las

condiciones siguientes:

I el intervalo (a,b) no es acotado

I f no esta acotada en (a,b)

I Clasificamos las integrales impropias en 3 tipos.

Integrales impropias de primera especieSea f : (−∞,b]−→ IR integrable en [m,b], ∀m≤ b. Definimos:∫ b

−∞

f (x)dx = lımm→−∞

∫ b

mf (x)dx

si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.

f (x) =12

ex , x ∈ (−∞,2)

Integrales impropias de primera especie

De igual forma se definen:∫ +∞

af (x)dx = lım

M→+∞

∫ M

af (x)dx∫ +∞

−∞

f (x)dx =∫ a

−∞

f (x)dx+∫ +∞

af (x)dx

si ambas integrales convergen. Las definiciones no dependen de a ∈ IR

f (x) = e−x2, x ∈ (−∞,+∞)

Integrales impropias de segunda especie

Consideramos la funcion f : [a,b]−→ IR no acotada en uno de los extremos delintervalo, por ejemplo en a. Si f es integrable en [t,b] para todo t tal que a≤ t ≤ b,entonces definimos: ∫ b

af (x)dx = lım

t→a

∫ b

tf (x)dx

si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.

Si la funcion pierde el caracter acotado en un punto c ∈ (a,b), definimos:∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx+

∫ b

cf (x)dx

donde las dos ultimas integrales se han descrito anteriormente.

Integrales impropias de segunda especie

f (x) =1

x−1, x ∈ [−2,+2]

Integrales impropias de tercera especie

Corresponden a un intervalo no acotado y una funcion no acotada en un numerofinito de puntos del intervalo.

EjemploLa integral ∫

0

1x

dx

se reduce a los casos anteriores de la siguiente forma:∫∞

0

1x

dx =∫ 1

0

1x

dx︸ ︷︷ ︸2a especie

+∫

1

1x

dx︸ ︷︷ ︸1a especie

Area de superficies planas

Sean las funciones f ,g : [a,b]−→ IR integrables. Entonces el area A limitada por losgrafos de ambas, las rectas x = a y x = b viene dada por:

A =∫ b

a|f (x)−g(x)| dx

Caso particular: g(x) = 0, luego A =∫ b

a|f (x)| dx

Longitud de un arco de curvaSea f ∈ C 1([a,b], IR). La longitud ` del grafo de f que une los puntos (a, f (a)) y(b, f (b)) es:

` =∫ b

a

√1+ f ′(x)2 dx

Longitud de un arco de curva

DEMOSTRACION. Aproximamos ` mediante la longitud de una lınea poligonalconstruida uniendo los puntos (xi, f (xi)), donde P = {x0,x1, ...,xn} es una particiondel intervalo [a,b]. Ası:

`P =n

∑i=1

√(xi− xi−1)2 +(f (xi)− f (xi−1))2 =

=n

∑i=1

(xi− xi−1)

√1+

[f (xi)− f (xi−1)]2

(xi− xi−1)2 = (tma. valor medio)

=n

∑i=1

(xi− xi−1)√

1+ f ′(ci)2 (ci ∈ [xi−1,xi])

`P es la suma intermedia de la funcion g(x) =√

1+ f ′(x)2. Aplicando un proceso delımite cuando el diametro de la particion tiende a 0,

` =∫ b

a

√1+ f ′(x)2 dx

Volumen de un solidoSupongamos un solido que, al ser cortado por un plano perpendicular al eje OX, paracada x ∈ [a,b] produce una seccion de area A(x).El volumen de dicho cuerpo comprendido entre x = a y x = b es:

V =∫ b

aA(x)dx

I De igual forma, se obtendrıa el volumen del cuerpo a partir de las areas de lassecciones producidas por planos perpendiculares al eje OY en el intervalo [a,b].

Volumen de un solido

Caso particular: volumen de revolucion. Si giramos el grafo de f : [a,b]−→ IRalrededor del eje OX, se construye una figura cuyo volumen es:

V = π

∫ b

af (x)2 dx

Superficie lateral de revolucion

El area lateral del solido construido al girar el grafo de f : [a,b]−→ IR alrededor deleje OX, donde f es una funcion de clase C 1, se calcula mediante:

AL = 2π

∫ b

af (x)

√1+ f ′(x)2 dx