U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

1 / 22

U P C

Calcul I

M. Carme Leseduarte

M. Dolors Llongueras

Antoni Magana

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

2 / 22

Index

1 Els nombres 3

1.1 Distintes classes de nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Els nombres reals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Representacio sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Desigualtats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Intervals i semirectes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Valor absolut i distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Els nombres complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Representacio grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Modul i argument. Diferents maneres d’expressar un nombre complex. . . . 14

Operacions amb complexos en forma polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Descomposicio d’un polinomi en factors primers. . . . . . . . . . . . . . . 21

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

3 / 22

1 Els nombres

1.1 Distintes classes de nombres

Necessitat de comptar ↪→ nombres naturals: N = {1,2,3,4, . . .}

Insuficiencia deN : quantitat de diners que devem, una temperatura sota zero...↪→ nombres enters: Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}

Insuficiencia deZ : per exemple, repartir equitativament un litre de llet entre 3 persones...↪→ nombres racionals:

Q = {x =pq

: p,q∈ Z,q 6= 0}.

Insuficiencia deQ per realitzar mesures tan simples com potesser la longitud del costat d’un trian-gle.

1

1x

Quant fa exactament la hipotenusa? Tin-dremx =

√2. Pero resulta que

√2 no es

racional. Com ampliem el conjunt de nom-bres?

1-2-3-

4- 3/ 1 2/

0 1 2 3

e π. . .. . .

origen unitat

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

4 / 22

La reuni o de tots ↪→ nombres reals: R = Q ∪ I, on I s’anomena conjunt delsnombresirracionals

N⊂ Z⊂Q⊂ R

1.2 Els nombres reals

Representacio sobre una recta

x nombre real

punt

recta realba

infinits irracionalsinfinits racionals

1-2-3-

4- 3/ 1 2/

0 1 2 3

e π. . .. . .

origen unitat

Expressio decimal finita o infinita peri odica (racional):

4,3 =4310

, 3, 4 =319

, 54′678=9022165

Expressio decimal infinita no periodica (irracional) :

π =3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749

44592307816406286208998628034825342117068. . .

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

5 / 22

Desigualtats

Si a i b son nombres reals direm quea es menor que b, a < b, si b−a es positiu.

Propietats

Per a qualssevol nombres realsa,b,c es compleix

• a < b i b < c =⇒ a < c.

• a < b =⇒ a+c < b+c i a−c < b−c.

• a < b i c < d =⇒ a+c < b+d.

• a < b =⇒

ac< bc si c > 0

ac> bc si c < 0.

En particular,a < b =⇒−b <−a.

• 0 < a < b =⇒ 1a

>1b

> 0.

• a < 0 < b =⇒ 1a

< 0 <1b.

• a < b < 0 =⇒ 0 >1a

>1b.

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

6 / 22

Intervals i semirectes

• Interval obert(a,b) = {x : a < x < b}

ba

• Interval tancat[a,b] = {x : a≤ x≤ b}

ba

• Intervals mixtos[a,b) = {x : a≤ x < b}

ba

(a,b] = {x : a < x≤ b}ba

• Semirectes obertes(a,+∞) = {x : a< x< +∞}

a

(−∞,b) = {x :−∞ < x< b}b

• Semirectes tancades[a,+∞) = {x : a≤ x< +∞}

a

(−∞,b] = {x :−∞ < x≤ b}b

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

7 / 22

Valor absolut i distancia

Definicio 1.1 Per a cada numero realx definim elvalor absolut de xcom

|x|=

{x si x≥ 0

−x si x < 0

Observem que

|x|= max{x,−x}

|x|=√

x2

y =|x |y =|x |

x

y

0 x

y

0

Geometricament|x| representa la distancia dex a 0:

xx

xx0 0

Analogament, per a totx,y∈ R la distancia entrex i y es

d(x,y) = |x−y|= |y−x| .

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

8 / 22

Propietats del valor absolut

Per a totx,y∈ R:

• |x| ≥ 0, |x|= 0⇐⇒ x = 0.

• |x|= |−x|.

•

Si c > 0, |x|< c⇐⇒−c < x < c.

Si c≥ 0, |x| ≤ c⇐⇒−c≤ x≤ c.

Si c≥ 0, |x| ≥ c⇐⇒ x≤−c o x≥ c.

• −|x| ≤ x≤ |x|.

• |xy|= |x||y|.

• |x+y| ≤ |x|+ |y| (desigualtat triangular).

• |x−y| ≤ |x|+ |y|.

• |x−y| ≥ ||x|− |y||.

•∣∣∣∣xy

∣∣∣∣ =|x||y|

si y 6= 0.

• |xn|= |x|n.

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

9 / 22

Exemples 1.2Resol les inequacions seguents:

(a) (x+2)(x−3) > 0 [(−∞,−2)∪ (3,+∞)]

(b) −9x2−3x+2≥ 0 [[−23, 1

3]]

(c) 5x2 +2x+1 < 0 [No te solucio]

(d) x3−9x2 +11x+21< 0 [(−∞,−1)∪ (3,7)]

(e)x−1x+1

≥ 3 [[−2,−1)]

(f) 1x + 1

1−x > 0 [(0,1)]

(g) |x2−5x+5| ≥ 1 [(−∞,1]∪ [4,+∞)∪ [2,3]]

(h) |x+4|< |x| [(−∞,−2)]

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

10 / 22

1.3 Els nombres complexos

Introducci o

Gerolamo Cardano (1501-1576):resolucio de l’equacio cubica mitjancant arrels.

ax3 +bx2 +cx= d

fent la substitucio, x = y− b3a, s’obte l’equacio y3 +my= n, d’on

y =3

√n2

+

√n2

4+

m3

27− 3

√−n

2+

√n2

4+

m3

27.

Finalment desfem el canvi i determinen lax.

A l’equacio 2x3−30x2 +162x = 350 obtenimy3 +6y−20= 0 i es te:

y =3√

10+√

108− 3√−10+

√108= 2, x = 7.

I perx3−15x = 4:

x =3√

2+√−121− 3

√−2+

√−121, ↪→

√−121 ??pero x = 4 es una solucio!

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

11 / 22

Bombelli (1526-1573)decidı treballar amb les arrels quadrades de nombres negatius, aplicant-li lesmateixes regles que les dels nombres reals.

El fet que les solucions d’una equacio de segon grau, com per exemple,

2x2−3x+5 = 0

siguin

x =34±√

31√−1

4ens condueix a considerarnombresde la forma

x = a+bi on a,b∈ R amb i2 =−1 ,

anomenatscomplexos.

Definicio 1.3 Anomenemnombre complexde part reala i part imaginariab, a unsımbol de la forma

z= a+bi on a,b∈ R amb i2 =−1.

Designem perC al conjunt dels nombre complexos.

Observem que tot nombre real,a, es complex ja quea = a+0i. Per tant,

N⊂ Z⊂Q⊂ R⊂ C .

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

12 / 22

Definicio 1.4 Donats els nombres complexosz1 = a+ bi i z2 = c+ d i, definimla suma, el producte:

z1 +z2 = (a+bi)+(c+d i) = a+c+(b+d) i

z1 ·z2 = (a+bi) · (c+d i) = ac−bd+(ad+bc) i ,

i el quocient:

z1

z2=

a+bic+d i

=(a+bi)(c−d i)(c+d i)(c−d i)

=ac+bdc2 +d2 +

bc−adc2 +d2 i sempre quec,d 6= 0.

Exemple 1.5Calcula:

(a) (4+3i)(3−2i) . [18+ i]

(b)3−2i1+3i

. [− 310−

1110i]

Representacio grafica

Podem establir una relacio entre els nombres complexos i els punts del pla, analoga a la corres-pondencia entre els punts d’una recta i els nombres reals.

x+y i ⇐⇒ (x,y)

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

13 / 22

Aix ı, representem un nombre complex com un vector dirigit des de l’origen fins al punt(x,y). Aquestenfocament fa que puguem treballar amb els nombres complexos seguint les mateixeslleis que lesquantitats vectorials utilitzades en la fısica i en la mecanica: forces, velocitats, acceleracions...

Donat el nombre complexz= x+y i anomenem

conjugat a z= x−y i

oposat a −z=−x−y i

-z

zcomplex

conjugatoposat

x

-y

y-x

z

Exemple 1.6Determina els conjugats i els oposats de:

(a) z1 = 3+2i . [3−2i; −3−2i]

(b) z2 =−4−2i . [−4+2i; 4+2i]

(c) z3 = 10. [10;−10]

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

14 / 22

Modul i argument. Diferents maneres d’expressar un nombre complex

Donat el nombre complexz= x+y i, anomenemmodul de z, |z| o ρ, a la longitud del vector associat.es a dir,

|z|=√

x2 +y2

|z|=√

z·zz

z

0

y

x

z

0

y

αx

L’angle α, format per la direccio positiva del’eix real i el vectorOZ (mesurat en sentitposi-tiu, es a dir, en sentit contrari a les agulles delrellotge) s’anomenaargument dez.

Observem que α no es unic ja queα + 2π, α + 32π, α− 2π... tambe son validsper representar l’argument. En endavantconsiderarem:α ∈ [0,2π)α ∈ [0,2π)α ∈ [0,2π).

Fixem-nos que

cosα =x|z|

, sinα =y|z|

.

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

15 / 22

Tot nombre complex,z, es pot expressar en alguna de les formes:

z= x+y i binomica

z= (x,y) cartesiana

z= |z|(cosα+ i sinα) trigonometrica

z= |z|α polar

z= |z|eiα exponencial

on el pas de cartesianes a polars, o a l’inreves, es fa aixı:

si x 6= 0

(x,y)(x,y)(x,y) ↪→ r =√

x2 +y2

α = arctanyx

si x > 0

α = arctanyx

+ π si x < 0

↪→ (r,α)(r,α)(r,α)

(r,α)(r,α)(r,α) ↪→ x = r cosαy = r sinα ↪→ (x,y)(x,y)(x,y)

0

αx

yr

(x,y)

si x = 0 α =

{π2 si y > 03π2 si y < 0

03π/2

y

y

0

π/2

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

16 / 22

Exemple 1.7

(a) Expressa de forma polar el nombrez=−√

2+√

2i . [23π4

]

(b) Escriu de forma binomica el nombrez=(1

2

)5π6

. [−√

34 + 1

4 i]

Operacions amb complexos en forma polar

Considerem els complexosz i z′ tals que

z= |z|(cosα+ i sinα), z′ = |z′|(cosβ+ i sinβ)

Producte

z·z′ = (|z|(cosα+ i sinα)) · (|z′|(cosβ+ i sinβ)) = · · ·= |z| · |z′|(cos(α+β)+ i sin(α+β))

per tant,z·z′ = (|z| · |z′|)α+β

Quocient

zz′

=|z|(cosα+ i sinα)|z′|(cosβ+ i sinβ)

= · · · (multiplicant i dividint pel conjugat)=|z||z′|

[cos(α−β)+ i sin(α−β)]

per tant,zz′

=(|z||z′|

)α−β

sempre que |z′| 6= 0.

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

17 / 22

Exemple 1.8Donats els nombres complexos

z=√

2−√

2i, z′ =−12−√

32

i,

calculem en forma polar:z·z′ izz′

.

z

21

z’

z·z’

z/z’

[213π12

; 25π12

]

Potencia

zn = [|z|(cosα+ i sinα)]n = |z|n(n︷ ︸︸ ︷

(cosα+ i sinα) · · ·(cosα+ i sinα))

= |z|n(cosnα+ i sinnα), on n∈ Z .

Per tant,zn = (|z|α)n = (|z|n)nα.

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

18 / 22

En particular siz te modul 1, sera

(cosα+ i sinα)n = cosnα+ i sinnα

igualtat coneguda com aformula de de Moivre(F. de Moivre (1667–1754))

Exemple 1.9Calculem:

(a) i94 [−1]

(b) (−4+4i)12 [1073741824π]

Radicacio

Donatz∈C i n∈N, anomenemarrel enesima de za un altre nombrew∈C tal quewn = z. Denotaremtotes les arrels enesimes pern

√z.

Si z= |z|α es compleix que n√

z=(

n√|z|

)α+2πk

n

, k = 0,1,2, · · · ,n−1

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

19 / 22

Exemple 1.10Donat el nombre complexz=−8+8√

3i calculem 4√

z.k = 0 ⇒ w0 = 2π

6= 2(cosπ

6 + i sinπ6) =

√3+ i

k = 1 ⇒ w1 = 22π3

= 2(cos2π3 + i sin2π

3 ) = −1+√

3i

k = 2 ⇒ w2 = 27π6

= 2(cos7π6 + i sin7π

6 ) = −√

3− i

k = 3 ⇒ w3 = 210π6

= 2(cos10π6 + i sin10π

6 ) = 1−√

3i .

Graficament tenim:0

x

y

π/6

π/2

w1

w0

w3

w2

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

20 / 22

En general,els afixos de les arrels enesimes d’un nombre complexz son els vertexs d’un polıgonregular inscrit en una circumferencia de centre l’origen i radi n

√|z|.

x

y

0

2π/3x

y

0

π/2

x

y

0

2π/5

x

y

0

π/3

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

21 / 22

Descomposicio d’un polinomi en factors primers

En aquesta seccio utilitzarem elteorema fonamental de l’algebra que ens permet assegurar la des-composicio d’un polinomi en factors primers.

Un numeroα es unaarrel d´un polinomiP(z) si es solucio de l’equacio P(z) = 0, es a dir, si compleixP(α) = 0P(α) = 0P(α) = 0.

Teorema 1.11(Teorema fonamental de l’algebra) Un polinomi de grau n (n≥ 1)amb coeficients complexos

P(z) = a0 +a1z+a2z2 + · · ·+anzn, an 6= 0,

te alguna arrel a C.

Corol.lari 1.12 Aplicant n vegades el Teorema fonamental de l’algebra s’obte:

P(z) = an(z−α1)(z−α2) · · ·(z−αn)

on α1,α2, . . . ,αn son les arrels del polinomi P(z).

Observem que les arrelsα1,α2, . . . ,αn no son necessariament diferents. Una arrel que apareix mesd’una vegada s’anomenamultiple i la que nomes ho fa un copsimple.

U P C

Cal

culI

ET

SE

IAT

JJ

II

J

I

Imp.

Sortir

22 / 22

Per exemple, donat el polinomi:

P(z) = 3(z−1)2(z+2i)(z−2i)(z+4)3

α1 = 1 es una arrel multiple amb multiplicitat 2,α2 =−2i es una arrel simple (o be amb multiplicitat 1),α3 = 2i es una arrel simple,α4 =−4 es una arrel multiple amb multiplicitat 3.

Propietat. Si una equacio amb coeficients reals te una arrel complexa, amb multiplicitats, ales-horeste tambe la seva arrel conjugadaamb la mateixa multiplicitat.Es a dir, les arrels complexesapareixen a parells.

Exemple 1.13Donat el polinomiP(z) = z4−1, determinen

(a) les seves arrels,

(b) la descomposicio en factors primers a coeficients complexos,

(c) la descomposicio en factors primers a coeficients reals.

(a) 1, i,−1,−i

(b) z4−1 = (z−1)(z+1)(z− i)(z+ i)

(c) z4−1 = (z−1)(z+1)(z2 +1)