cala_ 6_11
TRANSCRIPT
-
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1/22
480
6.11 EXERCCIOS pg. 269
1. Calculando as integrais =2
1
21 dxxI , =
2
1
2 dxxI e =2
1
3 dxI , obtemos:
3
72 =I , 2
32 =I e 12 =I . Usando estes resultados encontre o valor de:
a) =2
1
2
1
2
1
6)16( dxdxxdxx
812
3.6 ==
b)
( )[ ] ( )
2
1
232
1
22
1 22322212
+=+=+
xx
dxxxdxxx
3
23
3
9143
3
14
2
3.2
3
7.2 =
+=+=+=
c) ( ) ( ) ( ) +=2
1
22
1
2321 dxxxdxxx
6
1
6
122714
22
9
3
7
1.22
3.3
3
7
=
+
=+=
+=
d) ( ) ( ) ++=+2
1
22
1
2 412923 dxxxdxx
4341821
1.423
.1237
.9
=++=
++=
2. Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades:a) ( ) ( ) ++
3
1
23
1
2 5243 dxxdxx
( ) ( ) ( ] [ )++
+
++
,11,011
01
05243
5243
2
22
22
xxx
x
xx
xx
-
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2/22
481
Portanto vale para [ ].3,1x
b)
1
2
1
2 42
1dx
x
x
dx
04
24
02
1
4
4
2
1
4
4
2
1
4
142
11
2
2
2
++
+
+
+
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
1 Caso: 04
-
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3/22
482
4. Se ,4
9cos9
2
0
2
= dtt calcular .cos2
0
2
d
44
9
9
1cos9
9
1coscos
222
0
2
0
2
0
2
==== dttdttd .
5. Verificar se o resultado dos seguimentos integrais positivo, negativo ou zero, semcalcul-las.
a) +20
0 2xdx
20202
12
1)(
>>++
+=
xxx
xxf
Resultado positivo, porque 02
1)( >
+=x
xf para ].20,0[x
b) 2
0
dttsen
nulo pois +=
2
0
2
0
dttsendttsendttsen e
dttsendttsen =
2
0
c) ( ) +3
2
12 dxx
2
1
12012
12)(
+
+=
x
xx
xxf
positivo, pois 12)( += xxf positivo para ].3,2[x
d) ( )
3
1
2 32 dxxx
-
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483
( ) ( )
( )3,1para0)(
013
032
32)(2
2
+
>
=
xxf
xx
xx
xxxf
Resultado negativo.
6. Determinar as seguintes derivadas.a) +
x
dttdx
d
2
4
Vemos que( )
x
xt
dtt
2
2
2
34
423
+
=+
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) 442
3.
3
2
643
2
643
2
4243
2
21
23
23
23
23
23
23
+=+=
+
+=
++=
xx
xdx
d
x
x
Observamos que o resultado obtido garantido diretamente pela proposio 6.10.1.
b) +
y
dxx
x
dy
d
32 9
2
Pela proposio 6.10.1, temos que:9
2
9
22
32
+=
+ y
ydx
x
x
dy
dy
c)
1
dttsent
d
d
Pela proposio 6.10.1, temos que:
1
dttsentd
d.sen=
-
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7. Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da funo no intervalo dado eesboar o grfico da funo.
a)
-
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485
- -/2 /2
1
x
f (x)
c) |;|2)( xxf = em ]1,1[
-
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d) ;2
||)(
xxxf = em ]1,1[ .
=
0,0
0,2)(
xsense
xsensexsenxf
( )
[ ]
( ) 4112
cos20
20||
0
0
0
=++=
+=
+=+
x
dxxsendxdxxsenxsen
-
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487
- -/2 /2
1
2
x
f (x)
f) |cos|)( xxsenxf += em ],[ .
-
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488
[ ]
( ) 0)11(6
111
14
1
3cos31.
217cos
71.
21
32
17
2
1
)3(72
1
=+++
=
+
=
+=
+=
xx
dxxsendxxsen
dxxsenxsen
b)
=
03cos.2cos dxxx
[ ]
000
2
15
5
1.
2
1
cos2
15cos
2
1
cos5cos2
1
=+=
+
=
+=
+=
xsenxsen
dxxdxx
dxxx
c)
=
02.5 dxxsenxsen
[ ]
000
7cos2
13cos
2
1
7cos3cos2
1
==
=
=
dxxdxx
dxxx
9.Se )(xf contnua e Mxf )( para todo x em ],[ ba , provar que b
a
abMdxxf ).()( Ilustrar graficamente, supondo .0)( xf
Como )(xf contnua em ],[ ba e Mxf )( para todo x em ],[ ba ,
b
a
b
a
dxMdxxf )( ] )( abMMx ba == .
-
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x
f (x)
M
ba
Observamos que na figura utilizamos o valor mximo absoluto da funo nointervalo ],[ ba como M.
10. Se )(xf contnua e )(xfm para todo x em ],[ ba , provar queb
a
dxxfabm .)()( Ilustrar graficamente, supondo .0>m
Como f contnua em ],[ ba e ],[)( baxmxf , temos que:
)()( abmdxmdxmdxxfb
a
b
a
b
a
==
ou b
a
abmdxxf ).()(
x
f (x)
m
ba
Observamos que na figura utilizamos o valor mnimo absoluto da funo nointervalo ],[ ba como m.
-
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11.Aplicar os resultados dos exerccios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valorpossvel das integrais dadas a seguir:
Neste exerccio tomamos Me m, respectivamente, como o valor mximo e ovalor mnimo absolutos da funo no intervalo de integrao.
a) 4
3
5 dxx
Temos que15
20
=
=
m
M
Portanto,
20515
)34(205)34(15
4
3
4
3
dxx
dxx
b)
4
2
22 dxx
32)4(
0)0(
2)( 2
==
==
=
fM
fm
xxf
++
4
2
2
4
2
2
19220
)24(322)24.(0
dxx
dxx
c) 4
1
|1| dxx
|1|)( = xxf
3)4(
0)1(
==
==
fM
fm
( ) ( )
4
1
4
1
9|1|0
143|1|14.0
dxx
dxx
d) ( )
+
4
1
24 168 dxxx
168)( 24 += xxxf
-
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491
14416128256)4(
0163216)2(
91981)1(
=+==
=+==
=++=
fM
fm
f
( ) ( ) ( )
( ) 7201680
1414416814.0
4
1
24
4
1
24
+
+++
dxxx
dxxx
Nos exerccios 12 a 34 calcule as integrais.
12. ( )
+
2
1
31 dxxx
( )
10
81
5
1
2
1
5
322
52
2
1
52
2
1
4
=
++=
+=
+=
xx
dxxx
13. ( )
+
0
3
2 74 dxxx
48
219.23
277
24
3
0
3
23
=
=
+=
xxx
14. 2
16
x
dx
160
31
1321515
2
1
5
=
=
=
x
15. 9
4
2 dttt
-
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492
( )
5
844211.
5
4
322435
2.2
2
522
9
4
9
4
25
23
==
=
== t
dtt
16. +
1
0 13y
dy
( )
[ ]32
1232
21
13
3
1
1
0
21
==
+
=y
17. 4
3
4
cos
dxxxsen
02
1
2
1
2
1
2
43
4
2
=
=
xsen
18. +
1
13
2
9x
dxx
( )
[ ] ( )253
22810
3
2 2
19
3
1
1
1
2/13
==
+
x
19. 2
0
|| dxxsen
-
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493
] ]
41111
cos2cos0coscos
coscos 20
2
00
=+++=
++=
+=
+=
xx
dxxsendxxsen
20.
5
2
|42| dtt
( ) ( )
25
8420258484
42
242
2
4242
5
2
22
2
2
5
2
2
2
=
+++++=
+
+=
++=
tt
tt
dttdtt
21. +4
0
2 |23| dxxx
( ) ( ) ( )
3
17
42
12
3
88
2
48
3
642
2
3
3
14
2
12
3
82
2
3
3
1
22
33
22
33
22
33
232323
4
2
232
1
231
0
23
4
2
22
1
21
0
2
=
+++++++=
++
++
+=
+++++=
xxxxxxxxx
dxxxdxxxdxxx
22. +
4
0
2
.9
4
x
+
=
4
02
9.99
9
4
x
-
8/4/2019 CalA_ 6_11
15/22
494
4
0
24
02
133
ln3
43
13
3
4
+
+=
+
=
xx
x
dx
3ln43
5
3
4ln4
9 91634ln4
=+=
++=
23.( )
0
223
2
2v
dvv
( )
15
2
10
1
2
1
3
1
1
2
3
10
2
13
=
+
=
=
v
24. 5
1
12 dxx
( )
( )3
2626.
3
1127
3
2
2
1
2
3 1221
5
1
23
===
= x
25.( ) +
4
13
1xx
dx
dxx
du
xu
2
11
=
+=
-
8/4/2019 CalA_ 6_11
16/22
495
( )
( )
36
5
4
1
9
1
23
2
12
22
4
1
2
=+=
=
+=
x
26. +3
0
1 dxxx
( )
( )
23
1
11
23
21
x
dxxvdxxdv
dxduxu
+=
+=+=
==
( ) ( )
( ) ( )
( )
15
116
1325
2.
3
28.
3
3.2
15
2.
3
21
3
2
13
21
3
2.
3
0
3
0
25
23
23
23
=
=
+
+=
+
+=
xxx
dxxxx
27. 2
0
2
dxxsen
4
2.
2
122
1
.2
1
2
1
2
2cos1
2
2
0
0
=
=
=
=
xsenx
dxx
-
8/4/2019 CalA_ 6_11
17/22
496
28.( ) +
2
051
cos
dxxsen
x
dxxdu
xsenu
cos
1
=
+=
( )( )
64
15
116
1
4
1
12
14
1
4
1 44
0
4 2
=
=
+=
+=
senxsen
29. ( )
+
4
0
2
1
12 dxx
( )213
21
12
2
1
4
0
21
==
+
=x
30. ( ) +2
0
52 dxxx
( )
( ) ( )
3
5822
23
2104
2
2
2
310
22
102
102
3
2
0
2
2
0
2
1
2
0
2
23
+=
+=
+=
+=
+=
xx
dxxx
dxxx
-
8/4/2019 CalA_ 6_11
18/22
497
31. ++2
12
23 2575dx
x
xxx
2ln52
31
21ln572
512ln52.72.5
12||ln57
25
2575
2
1
12
2
12
=
+++=
++=
++=
xxx
x
dxxx
x
32. 2
1
ln dxxx
2
ln
2xvdxxdv
x
dxduxu
==
==
( ) ( )
4
32ln2
144
12ln4
2
12
.2
1ln
2
.22
ln
2
1
22
2
1
22
=
=
=
=
xx
x
x
dxxxx
33.
2
3
21
dtt
t
+=
2
32
2 11.2 dttt
tt
( ) ( )
2
9
3
1
2
1322278
3
1
12
3
2
3
13
=
++=
+=
t
tt
-
8/4/2019 CalA_ 6_11
19/22
498
34.
+
+1
0
3
2
8dx
x
x
++
=
0
1
3
2
8dx
x
x
Dividindo os polinmios, obtemos:
( )dxxxdxx
x
+=+
+
0
1
20
1
3
422
8
3
1641
3
1
42
23
0
1
23
=
=
+=
xxx
35.Seja f contnua em [ ]aa, . Mostrar que:a) Se f par, ento .)(2)(
0 =
aa
a
xfdxxf
Seja f par. Ento )()( xfxf = .
+=
+=
a
a
a
a
a
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
0
0
0
0
)()(
)()()(
Fazemos uma mudana de varivel na primeira integral:
auaxux
dxduxu
====
==
;00
Temos:
=
+
=
+=
a
aa
a
a
a
a
dxxf
dxxfduuf
dxxfduufdxxf
0
00
0
0
)(2
)()(
)()()(
interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:
-
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20/22
499
x
y
a-a
b) Se f mpar, ento .0)( =a
adxxf
Seja f mpar. Ento )()( xfxf = .
+=
+=
a
a
a
a
a
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
0
0
0
0
)()(
)()()(
Fazemos uma mudana de varivel na primeira integral:
auaxux
dxduxu
====
==
;00
Temos:
0
)()(
)()()(
00
0
0
=
+=
+=
aa
a
a
a
a
dxxfduuf
dxxfduufdxxf
interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:
-
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21/22
500
x
y
a-a
36.Usar o resultado do Exerccio 35 para calcular.a)
dxxsen2
xsenxf =)( funo mpar. Portanto,
dxxsen2 02
==
senxdx
b)
dxxcos
xxf cos)( = par
00.22
cos2
0
0
==
=
=
xsen
dxx
c) ( )
+
1
1
24 dxxx f par.
-
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22/22
( )
15
16
3
1
5
12
3522
1
0
351
0
24
=
+=
+=+= xx
dxxx