cal 2 ef 2015 1 ind

[] CAL 2 EF / CICLO 2015 1

INTEGRALES DOBLES

I.COORDENADAS CARTESIANAS:

A. INTERCAMBIAR ORDEN DE INTEGRACIÓN:

1.ELECTRONICA (09-2)

Dada la integral ∫01∫

y3

y yex

xdxdy

a) Graficar dominio de integración G. b) Intercambiar el orden de integración de la

integral dada. c) Calcular el área de G, usando (b). (4p)

2.INDUSTRIAL (09-1)

Dado la integral ∫0

2

∫2 y

4e x

2

dxdy

a) Graficar la región de integración. b) Intercambiar orden de integración. c) Evaluar la integral. (4p)

B. AGRUPACIÓN DE INTEGRALES:

3.MECATRONICA (10-1)a) Dada la integral

Graficar la región de integración.b) Cambiando el orden de integración,

expresar como una sola integral. (4p)

4.CIVIL (09-1)

, con a) Exprese como una sola integral.b) Evaluar la integral resultante, si

(4p)

II.COORDENADAS POLARES:

A. POLARES NORMALES:

5. CIVIL (11-1)

Calcular ∬D

√x2+ y2−9)dxdy, donde D es

la región anular entre las circunferencias x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 25.

6. INDUSTRIAL (09-2)

Calcular si la región D

está limita por ( una cte).


Dada la integral a) Describir y graficar la región de integración.b) Hallar el valor de la integral doble. (4p)

8. INDUSTRIAL (08-2)Sea D la región del plano del primer cuadrante dentro de la circunferencia de

ecuación , determinar

. (4p)

9. INDUSTRIAL (08-2)Sea D la región del plano, que se encuentra en el primer cuadrante fuera de la

circunferencia , dentro de la

circunferencia , determinar

. (4p)

B. POLARES MODIFICADAS:

10.MECATRONICA (10-2)

1

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Evaluar la integral ,

donde , .

11.CIVIL (08-1)

Evaluar la integral , si

(4p)

III.COORDENADAS GENERALES:


a) Utilice la transformación , para generar la imagen de la elipse

en el plano UV. b) Usando la transformación de la parte (a)

evaluar la integral donde G es la región transformada. (4p)

13.GUIA

Calcular∬R

( x+ y )2cos ( x− y )dxdy, donde

R es la región limitada por el triángulo de vértices A(0, 0), B(, ) , C( -, ) .

APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES:

A. CÁLCULO DE ÁREAS:

14.INDUSTRIAL (10-2) (Usar Cartesianas)Hallar el área de la región limitada por las

curvas , . (4p)

15.CIVIL (10-1) (Usar Cartesianas)Dado el conjunto D definido por:

a) Graficar la región .b) Calcular el área de la región . (4p)

B. CÁLCULO DE VOLUMENES:

16.MECATRONICA (10-1) (Usar generale )

Si U es la región del trapecio de vértices A(1,1), B(5,1), C(10,2), D(2,2) .

a) Graficar la región U. b) Determinar el área de U. (4p)

17.CIVIL (09-2) (Usar Polares)Usando integral doble calcular el área de la

región acotada por: ,

, , . (4p)

18.CIVIL (09-1) (Usar Cartesianas)Usando integral doble, hallar el área de la región limitada por las curvas

; . (4p)

19.INDUSTRIAL (09-1) (Usar Cartesianas)Usando integral doble hallar el área de la región plana limitada por las funciones;

; . (4p)

20.INDUSTRIAL (08-1) (Usar Cartesianas)Hallar el área de la regio D acotado por las

curvas , . (4p)

C. CENTRO DE MASA:

21.CIVIL (11-1) (Usar Cartesianas)Sea G una lámina acotada por la curva

, el eje desde hasta . Si la densidad de área varía con la

distancia al eje . Determinar: a) La masa total de la lámina .b) Los momentos con respecto a cada uno de

los ejes coordenados. (4p)

22.CIVIL (10-2) (Usar Generales)Sea M una lámina, acotada por las rectas

, , , .

2

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Considerando la transformación

, . Determinar: a) La región y de su transformación.

b) Si la densidad es . Calcular la masa total de M. (4p)

23.ELECTRONICA (10-1) (Usar Cartesianas)Una lámina delgada cubre la región triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,2). La densidad en cada punto de la lámina es

. Determinar:a) La masa de la lámina.b) Centro de masa de la lámina. (4p)

24.INDUSTRIAL (10-1) (Usar Cartesianas)Una lámina ocupa la región limitada por las

curvas: , . La densidad de

la lámina es . Encuentre la masa total de la lámina. (4p)

25.CIVIL (10-1) (Usar Cartesianas)Una lámina tiene la forma de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones

, , la densidad en cada

punto de la lámina es .a) Graficar la región .b) Determinar la masa de la lámina. (4p)

26.CIVIL (09-2) (Usar Cartesianas) Hallar el centro de masa de una lámina

limitada por las curvas , , y cuya función de densidad es

una constante. (4p)

27.CIVIL (09-1) (Usar Cartesianas)Encontrar el centro de masa de una región D acotada por las curvas , el eje X, de a , si la densidad de área varía con la distancia de un punto de D al eje X. (4p)

D. CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA:

28.GUIACalcular los momentos de inercia Ix, Iy de una lámina delgada S del plano XY bordeada por: y = ex, y = 0 , 0 x a con densidad (x, y) = xy

INTEGRALES TRIPLES

I.COORDENADAS CARTESIANAS:

29.CIVIL (11-1)

a) Calcular donde “c” , en el primer octante.

b) Si , determinar el trabajo realizado por F de una partícula

sobre una recta desde hasta

. (4p)

30.CIVIL (10-2)Sea un sólido en el espacio acotado por

el cilindro parabólico , y los planos , .

a) Graficar las regiones proyectadas sobres los planos: , .

b) Escribir el volumen del sólido, sobre cada región proyectada.

c) Evaluar el volumen del solido usando una de las integrales de la parte (b). (4p)

31.CIVIL (08-1)

3

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Calcular la integral , donde T es la región acotado por los planos

coordenados y . (4p)

II.COORDENADAS CILINDRICAS:

32.CIVIL (11-1)Dada la integral:

.a) Graficar la región de integración. b) Evaluar la integral dada. (4p)


Calcular donde es el sólido acotado por las superficies

y


Calcular la integral donde el sólido , es acotada por las superficies

, , ,

. (4p)

III.COORDENADAS ESFERICAS:


Calcular la integral ,

si . (4p)

APLICACIONES DE TRIPLES:

A. CÁLCULO DE VOLÚMENES:


Hallar el volumen del solido S acotado por

la esfera y dentro del

paraboloide . (4p)

37.CIVIL (10-1)Calcular el volumen del solido encima del plano XY, limitado por la superficie

y el cono

(4p)


Una región solida está limitado por el

cilindro y los planos , .

a) Graficar .

b) Determinar el volumen del sólido . (4p)

39.MECATRONICA (10-1)i) Mediante integrales triples, determinar el

volumen del solido S acotado por

y . (3p)ii) Calcular:

si es la curva que va desde el punto

hasta . (2p)INTEGRALES DE LINEA

1° ESPECIE: FUNCIONES ESCALARES

I.PARAMETRIZACION EN ESCALAR:

40.Prof. Rivas-Ramos-Clemente (10-2)

Calcular , donde es la

frontera (4p)

41.GUIA:

Evaluar donde λ es la

frontera de

4

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2° ESPECIE: FUNCIONES VECTORIALES

I.PARAMETRIZACION EN VECTORIAL:

42.CIVIL (09-2) Hallar la integral curvilínea

a lo largo de la curva C descrita por la intersección de

los planos: ,

desde hasta . (4p)

43.INDUSTRIAL (09-2)Hallar la integral de línea

donde C es el segmento de recta que va del

punto al punto y luego del

punto al punto . (4p)

II.TEOREMA DE GREEN:

44.MECATRONICA (10-2)Evaluar la integral de línea

donde

frontera de . (4p)

45.CIVIL (10-2)Aplicando el teorema de Green evaluar:

Donde es el círculo

46.INDUSTRIAL (10-1)Usando el Teorema de Green, evaluar la integral curvilínea:

donde es el contorno del rectángulo

, . (4p)

47.CIVIL (10-1)a) Verificar si el campo vectorial

admite la función potencial .b) Usando el Teorema de Green calcular la

integral de línea . A lo largo

de la elipse . (5p)

48.ELECTRONICA (10-1)Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

donde es la elipse . (4p)

49.ELECTRONICA (09-1)Aplicando el Teorema de Green hallar

a lo largo de la curva cerrada C limitada por las gráficas de

; entre los puntos A y B . (4p)

50.INDUSTRIAL (09-1)Aplicando el Teorema de Green calcular,

donde y C está limitada por la porción del círculo

de a y los

segmentos de recta de a y

de a . (4p)

III.DIFERENCIAL EXACTA: A. CON DOS VARIABLES:

51.CIVIL (11-1)Dado el campo vectorial

a) Verificar si es un campo conservativo.

5

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b) Si la verificación de (a) es afirmativa

evaluar la integral , donde está

descrito por , , . (4p)

52.ELECTRONICA (09-2)Dado el campo vectorial

;

a) Pruebe que es un campo conservativo. b) Determine la función potencial. c) Calcule la integra a lo largo de la curva C

que une los puntos y . (4p)

53.CIVIL (09-1)Una partícula corre a lo largo de la curva C, donde C está descrita por la

transformación de para

. Calcular:

54.ELECTRONICA (09-1)Hallar la integral curvilínea

,Si “C”

es el segmento AB con A y B .(4p)

55.INDUSTRIAL (09-1)Hallar la integral curvilínea

donde C es la curva ,

B. CON TRES VARIABLES:

56.INDUSTRIAL (08-1)

Evaluar

donde es el segmento que une los

puntos y . (4p)

57.GUIA:Calcular

a lo largo del segmento que une los

puntos: y .

APLICACION DE INTEGRAL DE LINEA

A. TRABAJO DE UNA FUERZA:

58.INDUSTRIAL(10-2)(Usar Parametrización)Calcular el trabajo realizado por la fuerza

para mover una partícula sobre la curva

recorrido veces en sentido antihorario. (4p)

59.CIVIL (10-2) (Usar Parametrización)Dado el campo de fuerza

, determinar el trabajo efectuado por una partícula que se mueve en la intersección

de los planos dados por ,

desde hasta

. (4p)

60.CIVIL (10-1) (Usar Diferencial Exacta)Sea el campo de fuerza

en unidades Newton; determine el trabajo que desarrolla esta fuerza al desplazar una

partícula del punto hasta el punto

a lo largo de la curva en el sentido positivo. (4p)

6

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61.CIVIL (09-2) (Usar Parametrización)Hallar el trabajo realizado por la fuerza

al desplazar una partícula en el plano XY a

lo largo de la curva en sentido antihorario. (4p)

62.ELECTRONICA (09-2) (Usar Green)Sea el campo de fuerzas

calcular el trabajo realizado por F para mover una

partícula desde el punto una vuelta completa, en el sentido antihorario, a lo largo del borde de una circunferencia de centro en el origen de radio 5. (4p)

63.CIVIL (09-1) (Usar Green)Dado el campo vectorial

unidades en Newton, determinar el trabajo que desarrolla este campo al desplazar una partícula a lo largo de la curva

, en sentido antihorario, a las agujas del reloj (coordenadas en metro). (4p)

64.ELECTRONICA (09-1) (Usar Dif. Exacta)Hallar el trabajo realizado por la fuerza

al desplazar una partícula del punto A

hasta el punto B a lo largo de la curva

en sentido antihorario. (4p)

65.INDUSTRIAL (08-2) (Usar Green)Dado el campo de fuerza

determinar el trabajo que desarrolla este campo, al mover una partícula sólo una vuelta en el sentido positivo a lo largo de la

circunferencia de ecuación .

66.CIVIL (08-1) (Usar Parametrización)Un móvil se desplaza a lo largo del segmento de recta que une los puntos

y . Determinar el trabajo desarrollado por la fuerza

,

para desplazar el móvil. (4p)

INTEGRAL DE SUPERFICIE

1° ESPECIE: FUNCIONES ESCALARES

A. MÉTODO GENERAL:

67.Sea la superficie parametrizada por:

,

, , a) Determinar el producto vectorial

fundamental . (2p)b) Calcular el área de la superficie . (3p)

B. MÉTODO PARTICULAR:

68.CIVIL (10-2)Encuentre el área de la parte de la esfera

, interior al cilindro

. (4p)

69.ELECTRONICA (10-1)Determinar el área de la superficie

que se encuentra dentro

del cono , con . (4p)

70.CIVIL (08-1)

7

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Evaluar la integral , donde S es la parte de la superficie cónica

, comprendido entre los planos y . (4p)

71.GUIA:

Evaluar suponiendo que es la

parte del cono circular que se encuentra entre los planos y .

2° ESPECIE: FUNCIONES VECTORIALES

A. TEROEMA DE GAUSS (DIVERGENCIA O FLUJO)

72.GUIA:Determinar el flujo del campo vectorial

a través del

elipsoide

73.GUIA:Calcular el flujo del campo vectorial

a

través de , , con sus normales apuntando hacia su exterior.

B. TEOREMA DE STOKES:

74.GUIA:Aplicar el teorema de Stokes para calcular el flujo del campo vectorial

a través del

hemisferio .

75.GUIA:Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial

y la superficie

.

8

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}+

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