caja pitagórica 1° secundaria
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Libro de actividades matemáticasTRANSCRIPT
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AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica1° de Secundaria
Base de datos03-2009-121509571600-01
Dibujo03-2009-121510103700-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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CONOCIENDO A PITÁGORAS
Ángel Luna
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Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducción •Objetivosgenerales •Antecedentes •Justificación
Actividades con números naturalesTriánguloPitagóricoActividad1 •PosicióndelascifrasActividad2 •ResolverproblemasdeconteoconelTriánguloPitagóricoActividad3 •ConstruirsucesionesdenúmerosActividad4 •PotenciaActividad5 •SimetríaActividad6 •PropiedadesdeltriánguloActividad7 •Perímetroyáreadeltriángulo
Pitágoras sin palabrasActividad8 •DemostrandoPitágorasActividad9 •EltangramserelacionaconPitágorasActividad10 •ÁreasyPitágorasActividad11 •ElrecíprocodePitágorasActividad12 •CorteparaobtenerPitágorasActividad13 •Noesnecesariosiemprecortar
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El cuadrado mágicoIntroducción •NivelCuadradomágico,eljuegoclásicoActividad16 •EjerciciosElcuadradomágicode4×4Actividad17 •EjerciciosElcuadradoperfectoElcuadradodelcaballoEloctágonomágicoEltriángulomágicoLaestrellamágica
Actividad14 •TeselasActividad15 •Ejercicios
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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IntroducciónLas matemáticas en la actualidad se utilizan prácticamente en todas las áreas del quehacer humano, desde la actividad cotidiana y la investigación científica hasta la producción y la prestación de servicios. Por ejemplo, constituyen el marco teórico de la física y son funda-mentales en el desarrollo de esta ciencia. Lo son también para otras disciplinas científicas y técnicas, como la biología, la economía, etc. Además, las matemáticas tienen relación directa con el descubrimiento tecnológico más importante del siglo XX: la computadora. Ésta ha sido un elemento importante de la aplicación de las matemáticas en la prestación de servicios a gran escala y la industria.
Lo anterior nos indica la constante necesidad de fortalecer nuestros conocimien-tos matemáticos, tanto para profesionistas y especialistas como para el ciudadano común. Los alumnos de secundaria forman parte de estos grupos donde las matemáticas resultan indispensables para su formación académica. Como todos nosotros, ellos de-sarrollaron en sus primeros años de vida habilidades matemáticas, siendo posiblemente su primera interacción con las mismas la referida a un criterio de comparación visual del tamaño entre cosas u objetos1 o la de diferenciar entre cerca y lejos2, con lo cual ad-quirieron de manera intuitiva3 los conceptos de igual, menor y mayor4. La motivación para desarrollar esa habilidad matemática, y que resulta ser un razonamiento, la utilizan para una toma de decisión, obteniendo la mayoría de veces un resultado satisfactorio para ellos5. Una vez iniciada su instrucción en los niveles de preescolar y primaria, comienzan a trabajar de manera formal estos conceptos, realizando para ello actividades que utilizan los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto.
La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria tiene como propósito el desarrollo de nociones y conceptos que sean útiles para los alumnos, a fin de com-prender su entorno. Además, el resolver problemas de la vida real simultáneamente proporciona los conocimientos y las habilidades de pensa miento y razonamiento necesarios para ahondar en el estudio de las matemá ticas, así como para acceder al conocimiento de otras disciplinas.
Objetivos generales Por lo anterior, la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria tiene como propósito fundamental que el alumno desarrolle habilidades operatorias, la comunica-ción y el descubrimiento. Por esa razón las actividades en clase deberán permitirle:
• Adquirir seguridad y el empleo de técnicas y procedimientos básicos, a través de la solución de problemas.• Ser capaz de reconocer y analizar los distintos elementos que componen un problema.
1 Aplicación intuitiva de un principio de conteo en función de una cuestión espacial.2 Concepto distancia-tiempo.3 No ha desarrollado la habilidad de contar o medir de manera formal.4 Esto permitirá, más adelante, estudiar las leyes de tricotomía y su relación con el concepto de orden.5 Se considera que aún no inicia ningún tipo de instrucción formal.
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• Elaborar sus propias conjeturas, comunicarlas y poder validarlas. • Reconocer situaciones similares o análogas.• Elegir o implementar estrategias que puedan adecuarse para resolver un problema. • Comunicar las estrategias, los procedimientos y resultados de manera precisa. • Predecir y generalizar resultados. • Desarrollar el razonamiento deductivo.
Adicionalmente, este material estimula las áreas cognoscitivas y lúdicas de nuestros alumnos de este nivel. Esto se realiza utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, lo cual permite al alumno relacionar aspectos aritméticos y geomé-tricos, bajo ciertas dinámicas de procedimientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, forma y medida.
Este material permite trabajar el aspecto concreto-abstracto, estimulando áreas de creatividad, destreza, razonamiento deductivo, etc. Además se aborda el aspecto abs-tracto-concreto, con el objetivo de que el alumno pueda aplicar, en caso de ser posible, un aspecto teórico a situaciones concretas, estimulando nuevamente su razonamiento deductivo. También se realizan actividades de construcción de diversos tipos de figuras.
Por otro lado, debido a la naturaleza de los materiales didácticos, el maestro puede dise-ñar e implementar actividades adicionales con los mismos, e incorporar tales actividades según convenga.
AntecedentesExisten un sinnúmero de problemas básicos en matemáticas que involucran aspectos aritméticos, geométricos y algebraicos. Es sorprendente percatarnos que muchos de estos ejercicios requieren para su solución de un planteamiento elemental6, el cual puede utilizar técnicas de conteo, algún cuerpo geométrico o una expresión algebraica, y en algunos casos, pueden estar inmersos simultáneamente todos estos aspectos.
Una de las motivaciones de continuar con el estudio del Teorema de Pitágoras, en la instrucción a nivel secundaria, descansa en su utilidad, en las aplicaciones indirectas de dicho teorema en actividades cotidianas. Para ello describamos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a situaciones como la que se plantea a continuación): colocamos a un niño que ya camina sin dificultad, en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto, un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Le pedimos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos ob-servar que la mayoría de las veces la trayectoria que aproximadamente seguirá (salvo casos
El aprendizaje significativo de las matemáticas no se reduce a la memori-zación de hechos, definiciones y teoremas, ni a la aplicación mecánica de procedimientos.
Observación:
6 Es importante mencionar que “elemental” no significa “fácil”.
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7 Aplicación del concepto distancia-tiempo.8 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.9 Podemos trabajar con él, sin mencionarlo por su nombre.
excepcionales) es la trayectoria que describe la diagonal. De forma inconsciente, el menor hace uso implícitamente de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras, a saber la que expresa: “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y, más aún, en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o un gato y colocamos alimento, según sea el caso, obtendríamos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarían. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario nuestra respuesta es: no. Podríamos aludir la de-cisión de que moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia adquirida de manera empírica, en cuanto al tiempo que requerimos para desplazarnos de un lugar a otro7. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimiza-ción. Sin embargo, si utilizamos a una rata en el experimento anterior, observaremos que la misma se desplaza por las paredes la mayoría de las veces. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con al menos una situación de carácter real, y que involucra distancia8 (aplicaciones en geometría, física, etc.), la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
Aclaremos que los alcances del Teorema de Pitágoras no se limitan a una aplicación como la mencionada en el párrafo anterior, sus alcances y aplicaciones son tales que, introdu-cirlo de manera informal9, facilita al alumno el uso de conceptos y aspectos matemáticos relacionados con el mismo.
La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos trabajar de manera implícita con dicho teorema. Esto es posible porque éste expone de manera aritmética y geométrica tan famoso resultado.
JustificaciónLa dificultad de algunos estudiantes de los niveles medio superior y superior para analizar y resolver problemas básicos en matemáticas ocasiona, en la mayoría de los casos, una baja aprobación de nuestros estudiantes en los correspondientes niveles. Podemos aludir cuestiones multifactoriales del porqué de estos resultados, y en la literatura especializada encontramos un sinnúmero de argumentos que intentan justificar tal situación. Pero ade-más, con base en ciertos análisis, se proponen soluciones alternativas para tales proble-mas. Como bien se mencionó anteriormente, las cuestiones multifactoriales pueden estar inmersas en un solo individuo lo cual, sin lugar a duda, resulta ya en sí un problema.
Es necesario aplicar diversas técnicas de enseñanza-aprendizaje para conducir al alum-no, con base en un sinnúmero de actividades, a adquirir el conocimiento necesario para conducirse con éxito durante su formación educativa. La experiencia nos permite obser-var que el alumno que ha recibido una adecuada estimulación a edad temprana en sus capacidades y habilidades de lenguaje, coordinación, etc., logra asimilar de mejor manera el conocimiento, permitiéndole esto conducirse exitosamente en su andar académico. Por tal razón, es indispensable contar con una herramienta didáctica que permita al alumno desarrollar sus capacidades de coordinación, orientación, visualización espacial, asigna-
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ción, identificación, etc. El material didáctico de la Caja Pitagórica está orientado a los alumnos de los niveles de secundaria, intentando con el mismo reforzar técnicas de con-teo, repaso de operaciones básicas y análisis de problemas, incorporando una perspectiva de tipo aritmético-geométrico-algebraico.
Es de interés que el alumno adquiera los conocimientos de la matemática propios de cada grado. Importa sobremanera que desarrolle paulatinamente, a lo largo de la educa-ción básica, habilidades intelectuales que le permitan, entre otras cosas, manejar el con-tenido de diversas formas y realizar procesos en los cuales deba utilizar estrategias para resolver problemas.
El material didáctico de la Caja Pitagórica permite trabajar los siguientes aspectos referi-dos a los contenidos del temario del primer grado de secundaria:
• Enriquecimiento del concepto de número y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos.• Uso de la calculadora como un auxiliar en la solución de problemas.• Práctica de los algoritmos de las operaciones, así como del cálculo y la estimación mental de resultados.• Inicio gradual en el razonamiento proporcional y sus aplicaciones.• Práctica de los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición, explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría, así como resolver problemas que conduzcan al cálculo de perímetros y áreas de las figuras usuales.• Desarrollo de la imaginación espacial, a partir de la construcción y manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de cubos, paralelepípedos y cuerpos for-mados por su combinación.
• El maestro debe elegir y organi zar de la manera que considere conveniente las actividades, a fin de propiciar el aprendizaje de los alumnos, utilizando para ello su experiencia. • Debe considerar además lo siguiente:
- Desarrollar las actividades que se adapten al grado de madurez y los distintos ritmos de aprendizaje del alumno.
- Considerar los conocimientos adquiridos previamente por el alumno, para profundizar en ellos, con el fin de producir nuevos conocimientos, etcétera.
- Considerar los contenidos y propósitos básicos.
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Actividades con
números naturales
Triángulo Pitagórico
El Triángulo Pitagórico es un material didáctico que nos facilitará la interpretación geométri-ca, algebraica y aritmética del Teorema de Pitágoras. Este material permite al alumno verificar la validez del famoso teorema, cuya representación está dada por la siguiente expresión algebraica:
c2 =a2+b2
Esta expresión establece la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
El Triángulo Pitagórico tiene el propósito de apoyar al maestro de nivel secundaria en la explicación de algunos contenidos temáticos del Teorema de Pitágoras, que constituye un tema de gran utilidad en diversas áreas de la matemática. Invita al pensamiento lógico, matemático, y fomenta el desarrollo de habilidades matemáticas, a través de la utilización de diversos sentidos. Por ejemplo: jugando con los cubos (psicomotricidad, conteo, etc.) se estimula la observación (desarrolla actividades que permiten clasificar, obtener seriacio-nes, simetrías, conteo mental, etc.), con el objetivo de establecer y comprender la relación entre los catetos y la hipotenusa de los triángulos rectángulos, relación que se establece en el Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cua-drado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; el recíproco del teorema se estudia en la sección Pitágoras sin palabras.
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: resolución de problemas, estimación de resultados, cálculo mental, uso inteligente de la cal-culadora, uso de los instrumentos de dibujo y manejo del lenguaje simbólico.
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En la ecuación anterior, cada uno de los términos representa el área de un cuadrado de lado a, b y c, respectivamente. Por tanto la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángu-lo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Actividad 1
Posición de las cifras
En esta actividad, los alumnos amplían sus conocimientos sobre los principios de base y posición que caracterizan al sistema de numeración decimal.
El uso de los tableros para representar la cardinalidad de colecciones constituye un importante paso intermedio para llegar a la representación convencional de cantidades.
El registrar cantidades en los tableros del Triángulo Pitagórico favorece que los alumnos comprendan que cada cifra representa un agrupamiento distinto, según la posición que ocupa, es decir, cada cifra tiene un valor relativo.
El material didáctico del Triángulo Pitagórico incluido en la Caja Pitagórica muestra la utili-zación de fichas de colores, con las que el alumno puede interactuar, y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemática: el sistema de numeración decimal.
En esta actividad el alumno se familiariza con el uso de la notación posicional del sis-tema de numeración decimal, es decir, debe recordar que la base de nuestro sistema de numeración es 10, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una centena o unidad del tercer orden, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
1.- Diga a los alumnos cómo están formados los números:
1 3 8
Centenas 1 decenas 3 unidades 8
3 9 3 8
unidades de millar: 3 centenas:9 decenas: 3 unidades:8
No olvide que se deben colocar las fichas en el tablero de derecha a izquierda y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente. Por ejemplo se colocan a la izquierda de la ficha de las centenas las fichas de las unidades de millar. Indique a los
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En los números, cada cifra tiene un valor de acuerdo al lugar que ocupa. Siempre debe considerarse que para escribir un número se anota y se lee de izquierda a derecha.
Observación:
alumnos que, después de realizar los ejercicios, escriban en un cuaderno la notación de-sarrollada.
De esta manera, pueden realizarse varios ejercicios de práctica, quedando en la creati-vidad del maestro otras variantes.
2.- Una sugerencia para jugar con el sistema numérico del tablero del Triángulo Pitagórico: utilizando cuatro dados (proporcionados por el maestro), uno de ellos representará uni-dades, otro decenas, uno más centenas y el último unidades de millar. Primero, que tiren con dos dados, después con tres y por último con cuatro.
Explique a los alumnos que la actividad consistirá en que cuando ellos tiren los dados, se escribirán los números en el pizarrón. Cada equipo o alumno, según como se decida, representará con las fichas dicho número en el tablero del Triángulo Pitagórico. Ganarán los equipos o alumnos que logren representar la mayor cantidad de números en forma correcta. Con las fichas de colores pueden asignarse valores, de acuerdo con el criterio del maestro. Por ejemplo:
Amarillo = 1000Verde = 100Rojo = 10Azul = 1
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3.- Otro juego consiste en que formen tres equipos de cuatro alumnos. Cada equi-po escoge un tablero para jugar. Cada alumno del equipo lanza dos dados; suma o resta los puntos y coloca en la casilla el número que sale des-pués de realizar la operación y repre-sentarlo como las unidades. Después, el siguiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos y coloca en la ca-silla el número que representa las decenas y así sucesivamente, hasta las unidades de millar.
Queda a criterio del maestro el método de evaluación en esta actividad.
4.- Representen el valor posicional del sistema de numeración de las cantidades siguientes:
a) 2 6 7 4b) 4 9 0 1c) 5 2 3 0d) 7 5 4 3e) 2 9 8 5
3
3
33 9 8
8
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5 2
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Ejercicios:
Resolver problemas de conteo con el Triángulo Pitagórico
Realicen los siguientes ejercicios de conteo mental con el tablero del Triángulo Pitagórico, jugando con el kit de cubos, regletas y tabletas de diversos tamaños.
1.- El objetivo es comenzar la interpretación geométrica, algebraica y aritmética del Teo-rema de Pitágoras. Considere la siguiente expresión algebraica c2 =a2+b2, la cual establece la relación entre los catetos y la hipotenusa en los triángulos rectángulos.
Cuando el resultado del cálculo mental exceda el espacio de los tableros, ya sea algún cateto o hipotenusa, podrá apilar las regletas, tabletas, etc., para completar los resultados.
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Triángulo Pitagórico:
• ¿Cómo interpretar el Teorema de Pitágoras?
Objetivos:
• Desarrollarán habilidades prácticas de operaciones matemáticas básicas como suma, resta, multiplicación, etcétera.• Comprenderán la interpretación geométrica, algebraica y aritmética del Teorema de Pitágoras.• Aplicarán de manera inmediata los aprendizajes adquiridos al trabajo real, cumplien-do con la característica de “aprender haciendo”.
Integrantes:
• Todos los miembros del grupo divididos en equipos.• Disposición del grupo: en forma de círculo o semicírculo, para que todos observen la ejecución de la actividad. Recursos materiales:
• El material didáctico del Triángulo Pitagórico.• Hojas blancas y lápiz.
Introducción:
• Explique al grupo que aprenderán a manejar el material didáctico y a realizar una serie de pasos para ejecutar la actividad. Aquí el resultado del aprendizaje es la interpre-tación del Teorema de Pitágoras, la visualización geométrica de la relación pitagórica que se verifica con la igualdad fundamentada en la expresión algebraica del teorema.• Comprobarán que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los ca-tetos de un triángulo rectángulo es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Organice al grupo para que todos observen y escuchen.
Desarrollo:
• Proporcione medidas de los catetos y omita la longitud de la hipotenusa. Pida que realicen el cálculo de las áreas de los cuadrados adyacentes a los catetos, sumen para encontrar el área del cuadrado adyacente a la hipotenusa y obtengan así la medida de la hipotenusa. Luego que embonen los cubos, regletas y tabletas con las cantidades obtenidas al aplicar cálculo mental.• Repita la ejecución cuantas veces sea necesario. Practiquen con los ejercicios que se proponen.• Cuando termine la demostración, invite al grupo a trabajar en parejas, tríadas o equipos de más alumnos. Pídales que solucionen todos los ejer-cicios en forma correcta.
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El siguiente ejemplo muestra cómo debe de realizarse la actividad:
2.- Las tercias para realizar los ejercicios de cálculo mental son las siguientes:
a² + b² = c²3² + 4² = 5²9 + 16 = 25
• Considere el triángulo rectángu-lo cuya medida o longitud de los ca-tetos es a=3 y b=4 y cuya hipotenusa mide o tiene una longitud de c=5.
• Solicite al alumno que construya el cuadrado de la hipotenusa a partir de los cuadrados de los catetos.
Las respuestas se encuentran al final de este apartado.
Observación:
a) 12 b) 8c) 12d) 16e) 8f) 21g) 24h) 10
5691215207 24
13101520 17 292526
Catetos Hipotenusa Relación
a² + b² = c² c² = a² + b²
13² = 12²+5²10² = 8²+6²15² = 12²+9²20² = 16²+12²17² = 8²+15²29² = 21²+20²25² = 24²+7²26² = 10²+24²
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Construir sucesiones de números
1.- Con los cubos 1× 1×1 del material didáctico, realicen las siguientes construcciones de sucesiones de números, mediante cantidades de objetos dispuestos geométricamente. En este caso, la variación de un número implica la variación del otro. Por ejemplo, los trian-gulares son 1, 3, 6, 10, 15, porque se representan con los siguientes arreglos:
a) Números triangulares.
b) Números cuadrados
c) Números pentagonales
Ejercicios:
• Construye los arreglos de los siguientes tres números triangulares.
• Construye los arreglos de los siguientes tres números cuadrados.
• Construye los arreglos de los siguientes tres números pentagonales.
Actividad 3
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2.- Realicen con los cubos 1×1×1 la siguiente sucesión de figuras dada:
Obtenga la fórmula recursiva, que describe la serie numérica anterior.
Preguntas:
• ¿El número de cubos que conformará la figura siguiente aumentará en la misma cantidad?• ¿Cuántos cubos tendrá la figura que ocupe el lugar 10?• ¿Cuántos cubos tendrá la figura que ocupe el lugar 20?• ¿Cuántos cubos tendrá la figura que ocupe el lugar 30?
Pregunta:
• ¿Encuentras alguna relación entre los números triangulares, cuadrados y pentagonales?Pida a los alumnos que observen y escriban las relaciones que encuentren.
Potencia
Un producto en el que todos sus factores son iguales se reescribe utilizando el concepto de potencia. Por ejemplo el siguiente producto 2×2×2×2×2×2×2×2 se reemplaza utili-zando la expresión 28, es decir 2×2×2×2×2×2×2×2=28. En esta expresión al número 8 se le llama exponente y al número 2 se le llama base. El exponente indica el número de veces que la base se usa como factor. Considere de manera similar la expresión algebraica a×a×a=a3, en este caso, el exponente es 3 y la base es a.
Actividad 4
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Pregunta:
• ¿Cómo calcular el total de cubos?
Pregunta:
• ¿Existe una regla que permita hallar de forma mental el cuadrado de un número con sus dos dígitos iguales?
1.- Con las tabletas 2×2×1 exprese en forma de productos de factores iguales, solicitán-dole a los alumnos que observen los agrupamientos como 4 grupos de tabletas, cada grupo con 4 tabletas 2×2×1 y cada tableta con 4 cubos.
• Represente la situación anterior con una multiplicación de factores iguales: 4×4×4.• Pida a los alumnos que indiquen cuál es el total de cubos.• Realice otros ejercicios semejantes.
2.- Considere el siguiente procedimiento para encontrar mentalmente el resultado de las potencias:
35²
3×4 = 12 Se multiplica la decena por el número que le sigue en el orden ascendente.
1 225A la derecha del resultado obtenido se coloca el número 25.
Obtengan las siguientes potencias mentalmente:
a) 15² b) 25² c) 45² d) 55² e) 65²
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Simetría
Es una propiedad geométrica. Se usa en diversas actividades como el arte, la ingeniería, la arquitectura. La intención es iniciar el desarrollo de esta noción mediante actividades, empezando por trabajar con figuras sencillas con las cuales los alumnos descubrirán esta propiedad. Conforme adquieran habilidad para identificar los ejes de simetría de las figu-ras y para construir figuras simétricas, pueden introducirse figuras más complejas.
1.- Construyan figuras simétricas respecto de un eje, analizándolas y explicitando las propiedades: igualdad de lados y ángulos, paralelismo y perpendicularidad. Para ello usen los cubos 1×1×1 del material didáctico.
• Comprueben la simetría colocando un espejo so-bre la línea que representa el eje de la misma y observen si la figura se ve completa:
• En la figura construida, identifiquen los dos ejes de simetría y comprueben:
2.- Recorten varias figuras de revistas y periódicos. Busquen los ejes de simetría de las mismas y trácenlos. Pero cuidado, porque no todas las figuras tienen ejes de simetría, es decir, no son simétricas.
3.- Construyan figuras simétricas: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuál es la figura que tiene más ejes de simetría?• ¿Cuántos ejes tiene esa figura?• ¿Qué hacer para que las figuras sin ejes de simetría tengan, al menos, un eje de simetría?• ¿Qué puede decirse acerca de la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica?• ¿Cómo son las diagonales de la figura con más de tres lados?• ¿Y de la simétrica?
Actividad 5
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Propiedades del triángulo
En esta actividad se analizan propiedades y características geométricas de los triángu-los, a través de la observación, manipulación, clasificación y trazo de los mismos. Expli-que a los alumnos el concepto de triángulo: un polígono de tres lados y tres ángulos.
• Tomando en cuenta sus lados, los triángulos se clasifican:
• Tomando en cuenta sus ángulos, se llaman:
Los triángulos anteriores se reproducirán utilizando los materiales didácticos.
Observación:
Actividad 6
Escalenossi sus tres lados son
desiguales
Obtusángulossi tienen un ángulo ob-
tuso (>90°)
Isóscelessi tienen dos lados
iguales
Rectángulossi tienen un ángulo
recto (=90°)
Equiláterossi tienen sus tres
lados iguales
Acutángulossi sus tres ángulos
son agudos (<90°)Obra
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La altura en un triángulo es la perpendicular del vértice a la base.
Explique a los alumnos que las medidas de los tres lados y los tres ángulos de un triángulo están relacionadas entre sí y no son independientes.
Indique que en el triángulo rectángulo, los lados reciben nombres especiales: catetos e hipotenusa. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Los lados que forman el ángulo recto se llama catetos. El ángulo recto esta marcado con un pequeño cuadrito para identificarlo más fácilmente.
1.- Forme 5 equipos de dos integrantes.• Se tira un dado y, de acuerdo con el número asignado, el representante de cada equipo
toma nota.• Coloque seis triángulos rectángulos sobre los tableros, en distintas posiciones, y enu-
mere del 1 al 6, tal como se muestra en la figura siguiente:• Pida a cada equipo que identifique el nombre de cada uno de los lados del triángulo (ca-
teto o hipotenusa).
Ejercicios:
h hh
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• Al terminar el proceso, verifique las respuestas dadas. El equipo que conteste correc-tamente y termine primero es el ganador.
2.- Construya un triángulo con sus vértices en los extremos de un segmento AB dado. El tercer vértice se localiza a una altura h sobre la mediatriz del segmento dado. ¿Qué tipo de triángulo se construyó?
3.- En el cuadrado, compruebe que las bisectrices de los ángulos y las diagonales coinciden.
4.- Dados tres segmentos de longitud no cero, tales que la suma de las longitudes de dos de ellos es igual a la longitud del tercer segmento, ¿es posible construir un triángulo?
5.- Construya los siguientes polígonos, dibuje el contorno de los mismos y todas sus diagonales. Con regla graduada, obtenga la medida de los lados de los triángulos; con el círculo trigonométrico, los ángulos. Puede construir otras figuras poligonales no necesa-riamente regulares.
900900
900
900
900
900
900
900
900
900
90 0
90 0 300 300 300
300
300
300
300
30030
0300
30 030 0
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600
600
600
600
600
600
600
600
60 0
60 0
450 450 450 450
450
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Perímetro y área del triángulo
Recuerde a los alumnos las siguientes notaciones utilizadas para los triángulos:
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo A, B y C. Cada uno de los segmentos AB, BC y CA son los lados del triángulo, que se designan por una letra minús-cula e igual a la del vértice opuesto; así, el lado AB se denomina c, ya que el vértice C es el opuesto a dicho lado.
Los lados forman los ángulos interiores que se designan por las letras de los vértices. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.
Fórmulas de perímetro y área del triángulo
Perímetro:
Es la medida del contorno de una figurageométrica. Se representa con la letra P.
P = a + b + cÁrea:
Es la medida de una superficie.Se representa con la letra A.La b es la medida de la basey es perpendicular a la altura.
A = (b) (h) 2
Actividad 7
Ángulos: A, B, CNotación: ΔABC
Vértices: A, B, CSegmentos: AB, BC y CA Lados: c, a, y b, respectivamente
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Con los materiales de la Caja Pitagórico realicen el siguiente ejercicio:
1.- ¿Cuál es el perímetro y el área de un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente?
2.- Calcula las siguientes áreas y perímetros de cada triángulo:
a) Calcula el perímetro de los triángulos con la fórmula P = a + b + c.
Ejercicios:
• Apliquen las siguientes fórmulas para perímetro y área:
P = a +b +c A = (b) (h) 2
Los resultados de este ejercicio son:
P= 12 cm, A= 6 cm²
Las figuras van a construirse utilizando los materiales didácticos.
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b) Calcula el área de los triángulos con la fórmula A = (b) (h) 2
3.- Si el área de un triángulo es 27 cm², y la altura 9 cm, ¿cuánto mide la base?
4.- Fije un lado del triángulo como base, en el vértice opuesto al lado trace una recta paralela a la base, desplace el vértice sobre esta recta y construya el triángulo correspondiente, tal como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué sucede con el área de cada uno de los triángu-los que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro? ¿Por qué creen que suceda esto?
Respuestas
Actividad 2
a) b)c)d)e)f )g) h)
169 cubos =100 cubos =225 cubos =400 cubos =289 cubos =841 cubos =625 cubos =676 cubos =
144 cubos64 cubos144 cubos256 cubos64 cubos441 cubos576 cubos100 cubos
+ 25 cubos + 36 cubos+ 81 cubos+ 144 cubos+ 225 cubos+ 400 cubos+ 49 cubos + 576 cubos
c² = a² + b²
Hipotenusa = Catetos
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Pitágoras
sin palabrasUno de los objetivos es iniciar a los alumnos de nivel secundaria con el que, quizá, sea el resultado matemático más conocido. Cuántas veces en nuestra vida diaria hemos oído mencionar la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referirnos de manera explí-cita al resultado como tal. El teorema lleva ese nombre, porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teorema del triángulo rectángulo que ahora lleva universalmente su nombre, y que enuncia lo siguiente: “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Aunque se sabe que este teorema lo conocieron los babilonios de la época de Hammura-bi, más de mil años antes, la primera demostración general del teorema pudo haber sido dada por Pitágoras. Se han hecho muchas conjeturas respecto a la demostración de Pitá-goras y se considera en general que posiblemente fue un tipo de disección que utilizo en su demostración. Cabe mencionar además que este, quizá, haya sido el primer resultado en matemáticas que posee demostración.
Las siguientes actividades tienen como objetivo reforzar habilidades manuales, visuales, y espaciales, así como estimular los procesos de razonamiento, pues el alumno utilizará la comparación entre objetos. También podrá quitar o agregar objetos, diferenciar objetos planos, etc. Más aún, obtendremos con estos conocimientos básicos demostraciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importe recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar las siguientes actividades.
La implementación de las siguientes actividades puede modificarse a criterio del maes-tro, según lo considere conveniente.
Demostrando Pitágoras
Para efectuar está actividad requerimos de las siguientes figuras:
Ejercicio:
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Utilizando los treinta y seis cuadriláteros, solicite a los alumnos que los separen en gru-pos del mismo tamaño (o color, perímetro, área, longitud de un lado común, proporciona-lidad). Debe contabilizar el número de piezas de cada uno de estos grupos, independien-temente del criterio de selección que se haya solicitado. Cada grupo debe conformarse de 12 piezas iguales. El alumno debe concluir que, en ocasiones, existen objetos que pueden elegirse con diversos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común). Muestre a los alumnos mediante un dibujo los dos tipos diferentes de cuadrados que se pueden construir, tal como se ilustra en la siguiente figura:
Tome de cada colección 8 piezas y arme ambos cuadrados. Indique a los alumnos que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro, no lo es el área que cubren; esta última es la misma. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anteriormente expuesto.
Subdividan en los cuadrados dos colecciones: una debe agrupar a los cuadrados con hueco y la otra a los cuadrados sin hueco. Solicite que ordenen las colecciones por ta-maños, utilizando cualquiera de los siguientes criterios: de menor a mayor o de mayor a menor (puede subdividir al grupo en dos secciones y solicitar a una que los ordene con un cierto orden y a la otra con el otro orden).
Preguntas:
• ¿Cuál es el área que abarca cada cuadrado?• ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado?• ¿Cuál es el perímetro del cuadrado hueco y su área?• ¿Qué proporción hay entre las figuras?
Preguntas:
• En ambos grupos existen piezas que son del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no). ¿Equivalentemente abarcan las mismas áreas (no que cubran)? En caso afirmativo, sepárelas del resto del grupo.• Del grupo de las figuras no huecas ¿una de estas puede introducirse en la pieza hueca y cubrir el hueco? En caso afirmativo separe y complete la pieza.
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Finalmente, pida al alumno que, de la figura formada por los dos cuadrados, separe y forme los dos cuadrados sin hueco y los ordene por tamaño, adjuntado el otro cuadrado en cuestión. Podremos concluir que al agregar o sumar los dos primeros cuadrados ob-tenemos el otro cuadrado. Concluimos además que esta es la única combinación posible que satisface tal situación.
• Una variante de esta actividad es solici-tar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mismo tamaño de cada grupo de doce y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco (esto debe indicarles que es posible construir tal vez otro cuadrado pero hue-co). Una vez obtenido esto, ordénenlos por tamaño de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de menor tamaño y, a partir de estás, construyan un cuadrado. Aquí se desarro-llan habilidades como las referidas a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no implica una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alumno (sin embargo, aquí es importante puntualizar que se estimula el ra-zonamiento, ya que a partir de ciertas condiciones debemos de determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo). Una vez logrado el propósito, solicite al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra. Si el maestro desea facilitar el procedimiento, puede efectuar toda esta actividad, solicitando al alumno que mire con atención todo el procedimiento (armado y desarmado), ya que él realizará el mismo posteriormente.
Hemos obtenido una demostración formal del Teorema de Pitágoras, que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que la demostración es completamente geométrica. Más aún, estamos reproduciendo una de las posibles demostraciones obte-nidas por Pitágoras.
Adicionalmente, puede solicitarles que calculen el área de cada uno de los cuadrados, sumen y comparen las mismas.
Por último, solicíteles que comenten acerca de la actividad desarrollada (estamos esti-mulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado la obtención de una conclusión).
Una posible respuesta es que, a partir de dos cuadrados, podemos armar otro cuadrado, o que la suma de área de dos cuadrados generan otro cua-drado, etcétera.
Hemos aquí probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.
Observación:
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El tangram se relaciona con Pitágoras
1.- Utilizaremos en esta actividad dos tangrams. Solicite a los alumnos que con el primer tangram construyan un cuadrado y con el otro tangram construyan dos cuadrados del mismo tamaño (puede indicarles que para armar uno de los dos cuadrados se requieren dos piezas iguales, las restantes cinco piezas permiten construir el otro cuadrado). Es cla-ro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor ¿Por qué?
• Además solicite que construyan un triángulo, utilizando los lados de cada cuadrado. ¿El triángulo que se forma es isósceles? Justifique su respuesta.
2.- Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras, utilizando las piezas del tangram.
Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles pequeños o un cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños. Agregue a cualquie-ra de las colecciones anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles media-nos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse,
Ejercicios:
Actividad 9
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tal como se muestra en la siguiente figura:• Solicite que verifiquen que el área total que cubren los 2 cuadrados pequeños es igual
al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Como en la actividad anterior, pida que construyan el triángulo rectángulo correspondientes, a partir de las piezas que satisfacen lo previamente solicitado.
3.- Ahora reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando para ello 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nuevamente verificamos Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza, si consideramos piezas del tangram gigante.
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras:
4.- Compare las áreas utilizando fracciones.
Preguntas:
• Si el área del cuadrado del tangram es de una unidad cuadrada ¿cuál es el área del cuadrado más grande que puede construirse utilizando un solo tangram?• Si utilizamos el tangram gigante ¿cuál es el área, en términos del cuadrado del tan-gram del cuadrado más grande, que puede construirse?• Si iniciamos con el cuadrado del tangram ¿cuál es el número de veces que debe duplicarse esta área para obtener el área del cuadrado más grande que se indica en el inciso anterior.• Si iniciamos con el cuadrado más pequeño, ¿cuál es el número de veces que cabe el mismo en el cuadrado más grande que se indica en el inciso anterior? • ¿A partir de dos cuadrados es posible construir siempre un cuadrado?
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Áreas y Pitágoras
Con los acetatos y las piezas adecuadas, construyan las figuras que se muestran a conti-nuación:
Pregunte al grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de me-dición (comparación) directa. Tome ahora el triángulo rectángulo utilizado para efectuar este ejercicio, muéstrelo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.
Pida a los alumnos que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cua-drado, poniendo los mismos sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido, solicite que retiren los triángulos del cuadrado y los coloquen en el otro cuadrado, utilizando las mismas indicaciones que para el primero. Finalmente, pídales que expresen sus comentarios sobre este procedimiento.
Ejercicio:
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El recíproco de Pitágoras
A continuación, realizaremos la prueba del recíproco del Teorema de Pitágoras10. Utilizare-mos para ello los cuadrados usados en la actividad 8. Solicite al alumno que utilice uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados, y a partir de ellos construya un triángulo. Use una escuadra y mencione que ésta forma la figura plana del menor número de lados rectos, siendo ésta la de un triángulo; pero con la particularidad de que este triángulo puede colocarse de tal forma que dos de sus lados pueden estar en contacto, a la vez, uno con el piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamar a este triángulo: triángulo rectángulo, es decir posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados que utilizamos en la actividad 9, forman un triángulo rectángulo.
En función de esto, puede decirse que los triángulos utilizados en la actividad 9 son todos triángulos rectángulos.
Previamente se obtuvo una demostración formal del Teorema de Pitágoras que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que es suficiente con realizar el corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se redu-ce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permite obte-ner dicho corte.
Ejercicio:
10 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de Pitágoras y todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágo-ras es un triángulo rectángulo.
Observación:
Actividad 11
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Corte para obtener Pitágoras
Indique al alumno que tome cuatro triángulos rectángulos, cuyos ángulos sean de 30° y 60°. Solicite que constru-ya con ellos una figura, de tal forma que sea posible obtener el cuadrado que se consigue a partir de los cuadriláteros de tamaño mediano. La figura que obtenga debe ser como la que se muestra a con-tinuación. El alumno observará que el corte resulta relativamente simple, a par-tir de dicha construcción.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿El cuadrilátero construido tiene dos lados del mismo tamaño?• ¿Qué medidas tienen los ángulos interiores del cuadrilátero?• ¿Cuántos ángulos rectos tiene el cuadrilátero?• ¿Los lados adyacentes a uno de los ángulos rectos son iguales?• ¿Por qué este cuadrilátero tiene un ángulo agudo y un obtuso? • ¿Qué medida tiene el ángulo agudo y qué medida el ángulo obtuso?• ¿El triángulo que se obtiene al hacer la bisección es un triángulo semejante al trián-gulo original? Determinen la proporcionalidad de ambos.• ¿Cuál es el tamaño de los lados de los triángulos rectángulos que permiten obtener el cuadrilátero pequeño y el cuadrilátero grande?. Pueden utilizar aquí la técnica de prolongar los lados adyacentes al ángulo recto y estimar los lados del triángulo rectán-gulo, o utilizar la proporcionalidad obtenida anteriormente.• ¿Es la proporcionalidad constante independiente del triángulo rectángulo que se utilice para efectuar el corte?
Actividad 12
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Teselas
Aquí se trabajará con formas de cuatro lados. La importancia de estas figuras la podemos observar a nuestro alrededor. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, nuestros libros y cuadernos, y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la forma de cuadriláteros. Esto se debe a que dichas figuras se hacen y se unen fácilmente.
Solicite a los alumnos que construyan o indiquen entre las piezas los siguientes cuadri-láteros: un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio, un rombo, tal como se muestran en las siguientes figuras.
No es necesario siempre cortar
Efectuaremos la actividad anterior pero utilizando las piezas del tangram, es decir hare-mos uso de triángulos isósceles. Observaremos que en este caso, a diferencia del anterior, no se requiere hacer ningún tipo de corte. En otras palabras, no se construye ningún cua-drilátero, sino que, en el caso de triángulos isósceles, ellos mismos funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
Ejercicio:
Ejercicio:
a) b)
Actividad 13
Actividad 14
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Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejemplo, los azulejos es las casas son teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embonan sin im-portar su forma. Estos son ejemplos de teselas, constrúyanlas como se muestra:
Los triángulos y los hexágonos son otros ejemplos de teselas. Sin embargo, hay otros polígonos que no embonan.
Muestre, utilizando el acetato del círculo trigonométrico, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (utilizarán tres triángulos iguales) y de un cuadrilátero suman 360º (utilizarán cuatro piezas) tal como se ilustra a continuación.
d) e)c)
Los ángulos de las esquinas de los polígonos que embonan deben sumar 180º ó 360º, en caso contrario no embonan.
El maestro tiene la decisión de aplicar cada una de las actividades en el orden que considere pertinente, omitir alguna o realizar la implementación simultánea de ellas. Además, cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta 4 alumnos.
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Ejercicio libre 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
Colóquelos de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) o perímetro. Puede aplicarse lo mismo a los 24 cuadriláteros.
Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes en el ejercicio, así como en las preguntas.
Ejercicio libre 2
Utilizaremos los cuadrados del ejercicio anterior. Con una regla o escuadra no graduada, lápiz y compás, obtengan los ejes de simetría paralelos a los lados de cada uno de los cuadrados.
Luego, con la regla graduada y escuadras, obtengan los ejes de simetría anteriores. Para ello, utilicen los conceptos punto medio y ángulos rectos (Teorema de Pitágoras).
Solicite al alumno que trace las diagonales en los cuadrados. El observará que también es posible hallar otro eje de simetría. ¿Qué ángulo forman estos ejes de simetría con los previamente obtenidos? En este caso, el punto de intersección de los ejes de simetría coincide con su centro de gravedad. Solicite que lo comprueben.
Si consideramos ahora los otros cuadriláteros, es claro observar que éstos no tienen eje de simetría, pero sí poseen centro de gravedad. ¿Cuál será la dificultad de poder obtenerlo?
a) b) c)
Preguntas:
• Considerando sólo los cuadrados ¿qué otro criterio de comparación puede utilizar-se para obtener la misma colocación de piezas, según se haya indicado? Este criterio requiere de alguna restricción.• Considerando los 24 cuadriláteros ¿cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño pueden formarse?• Tome dos colecciones de la pregunta anterior. Coloque primero una, de menor a mayor y enseguida la otra, de mayor a menor. Solicite que dibujen el punto de sime-tría de la figura resultante (vertical y horizontalmente). ¿Cuál es el perímetro y área de cada uno de los cuadriláteros? ¿Cuál es la proporcionalidad entre las figuras? (Para hallar el área de los cuadriláteros puede hacer uso de una construcción auxiliar).
Actividad 15
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Ejercicio libre 3
Considere los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble, respectivamente.
Puede sugerir al alumno que construya un triángulo rectángulo isósceles. Más aún es posible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble del anterior, es decir, una serie geométrica.
Ejercicio libre 4
Construya los tres cuadrados de interior hueco. Complete cada uno de ellos y el co-rrespondiente triángulo rectángulo en cada caso.
Ejercicio libre 5
Obtenga el área de la figura, en términos de las áreas de los tres triángulos que lo forman.
Preguntas:
• ¿Qué puede concluir acerca de la longitud de cada uno de los lados de los cuadra-dos de esta serie geométrica?• ¿Éstos también determinan una serie geométrica?• ¿Es posible construir un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados sean todos en-teros? Justifique su respuesta.
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Ejercicio libre 6
Considere la figura siguiente:
Observe que el cuadrado tiene longitud a + b, luego su área es claramente (a + b)². Solicite al alumno que obtenga el área de cada una de las figuras impresas en el cuadrado. Debe hacer énfasis en que, por la posición, tenemos dos diferentes triángulos escalenos (debe indicarles que la posición determina la naturaleza del triángulo, es decir, no es siempre lo mismo colocar un triángulo en posición vertical que horizontal, aún siendo el mismo triángulo, puede suceder que la longitud de altura y la base sean distintas ¿en qué tipo de triángulo rectángulo coinciden la altura y la base?). El alumno, al utilizar las fórmulas respectivas, debe obtener a2, b2, ab, ba, pero por comparación de área, concluye que ab = ba (comparación de valores numéricos). Finalmente, por comparación, el alumno debe concluir que:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Se trata del producto notable llamado bino-mio al cuadrado. Esto establece otra conexión indirecta con el Teorema de Pitágoras. A partir de lo anterior, determine si es válida la expresión (a+b)2 − a2 − b2, para la siguiente figura:
Ejercicio libre 7
Utilice el triángulo rectángulo como plantilla para dibujar el rectángulo en una hoja de papel. Considere los vértices de los ángulos no rectos y a una distancia menor a la mitad de cada uno de los lados. Corte luego los ángulos obtenidos y añádalos al ángulo recto. Esto nos permite mostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
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Ejercicio libre 8
Construya los siguientes triángulos rectángulos:
a) 1, √3 y 2 b) 1, 1 y √2
Calcule los ángulos de cada uno de ellos. Además, construya un triángulo equilátero de lados de longitud 2, y a partir de uno de los vértices del triángulo, trace la mediana (altura o bisectriz). Se subdivide en dos triángulos iguales. El triángulo que se obtiene correspon-de al triángulo de los incisos a) o b).
Ejercicio libre 9
Realice la construccion que se muestra a continuación y concluya el Teorema de Pitágoras. La demostración de este ejercicio se desarrolla en la guía de secundaria 3er. año.
Ejercicio libre 10 Para probar que las figuras de cuatro lados
siempre embonan, solicite que dibujen un cua-drilátero y apilen 12 hojas. La hoja superior debe tener dibujada la figura, para que la cor-ten, a fin de obtener 12 piezas iguales Usen los recortes para hacer el patrón y obtener las tese-las correspondientes.
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Melancolía, del pintor alemánAlbrecht Dürer.
El cuadrado
mágicoIntroducción
Una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de aprendizaje de los alumnos de secundaria, corresponde al ya conocido por ellos cuadrado mágico. El alumno podría considerar este pasatiempo como ya muy visto. Sin embargo, él mismo podrá concluir, después de desarrollar las actividades descritas a continuación, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solución, no sólo números naturales, sino tam-bién números enteros y números racionales; estos últimos expresados como cociente de números enteros o en forma decimal, ya sea finita o infinita periódica. De esta manera, reforzará las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como los conceptos de múltiplos, series numéricas, etcétera.
En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser sumados en renglones, columnas o diagonales dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mágico plasmado por el artista alemán.
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Este cuadrado satisface, además, que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34. Dürer logró, asimismo, introducir en las columnas centrales del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año de realización del cuadro). Grandes ma-temáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que dichos cuadrados eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por cierto, Euler construyó un cua-drado mágico para un caballo (ilustrado también más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite al alumno reforzar los métodos de conteo. Invo-lucra, además, aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos, de tal forma que se obtenga lo deseado.
Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma. Pero, a lo largo de la discusión, podremos concluir que pueden utilizarse también en su solución las operaciones de resta, multipli-cación y división. Uno puede encontrar en la literatura un sinfín de información acerca de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico.
Nivel
Las actividades implementadas para el primer año de secundaria, permiten reforzar signi-ficativamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con números na-turales, enteros y racionales. Además de la construcción de series numéricas, los alumnos pondrán en práctica métodos de razonamiento que implican combinaciones de operacio-nes y permiten obtener una solución.
Utilizaremos el cuadrado mágico para obtener la suma de cierto tipo de series de nú-meros. Abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3, el cual nos permitirá discutir un procedimiento aplicable (pero muy laborioso) para el caso del cuadrado má-gico de 4×4. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generalización de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo. A su vez, aplicando este método, podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de tamaño 2×2, cuya solución no sea la trivial. Podremos responder a preguntas como, por ejemplo: si utiliza-mos a los primeros nueve números naturales ¿por qué en el cuadrado mágico 3×3 de la suma debe ser 15? Justificaremos además ¿por qué en el de cuadrado mágico de tamaño 4×4, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución?, o ¿por qué en el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos a los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260? Más aún, podremos garantizar que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método algebraico elemental; aquí hacemos referencia a la conclusión y no al procedimiento, el cual es realmen-te laborioso).
La implementación del cuadrado mágico, en está forma, tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algu-nos temas durante el primer año de secundaria.
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Cuadrado mágico, el juego clásico
Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la siguiente situación: considere los números del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de tamaño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que, al realizar la suma en las direcciones horizontal (renglones), perpendicular (columnas) y en ambas diagonales sea 15. Se puede verificar que una solución es:
La pregunta natural que surge es ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de con-siderar que los valores utilizados sean números reales, la respuesta es: una infinidad. El siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.
A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maes-tro, con la intención de que pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método que utilizaremos hace uso de la aplicación de sistemas de ecuaciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas; ade-más se abordan algunos métodos de solución) y del método de eliminación aplicado en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incóg-nitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Es, sin duda, el más poderoso método para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además su implementación com-putacional es la más eficiente.
Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero supongamos que deseamos encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la condición estipulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n, tenemos la siguiente situación:
Más adelante, podemos garantizar que esta solución es única, salvo rotaciones y reflexiones.
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• Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecuacio-nes lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría referida a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluimos entonces que hay una infinidad de cuadrados mágicos, aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución del mismo esta descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
Sistema de ecuaciones 1
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Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i. Asignando a n el valor de 15 y tomando h=7 y e=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico, que se muestra al inicio de la dis-cusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras so-luciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema 1 de ecuaciones. Ob-tenemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n
Sistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutativa) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimiento (que pode-mos aplicar en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma ascendente, es decir
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Subdivida los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque sea 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la se-gunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y pode-mos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presentada al inicio de esta sección.
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Podemos concluir además que si consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes solucio-nes para cada pareja de números que se den. Por ejemplo, si h=11 e i=4 puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mágico no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el nú-mero 0 (el cero, la identidad aditiva) y al -1 (el inverso aditivo del 1).
Aplicaciones
A continuación, analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números naturales, enteros y racionales. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejemplos es infinito.
Un sencillo planteamiento, basado en el análisis anterior, nos permite concluir por qué no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estu-diarlo; por ejemplo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n = 15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Los ejemplos enlistados a continuación se exponen en forma gradual, con la intención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
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Ejercicio 1
En este caso, el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales del cuadro. Una vez realizado esto, pídale que los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto, aprenderá a diferenciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura.
Pídale que obtenga, de ser posible, la suma de los números; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque de éstos la suma sea 15 (aplicación de cálculo mental). Después, indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Luego, solicítele que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debe-mos indicarle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le indica). Debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente y tomando en cuenta todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto, aplique cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
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Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso de ser posible, que obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Obtenido el número, solicite que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, y así sucesivamente).
Ahora, separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica. Más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
El alumno de primer grado observa el uso del orden en una serie numérica, los con-ceptos de antecesor y sucesor, el valor posicional y la construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números ter-minados en ceros.
Puede considerarse la siguiente modificación: los dígitos asociados describen de-cenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar, lo cual permite obtener un cuadrado mágico para decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar. En el primer caso, obtendríamos un cuadrado mágico cuya suma debe ser igual a 15 decenas, equivalentemente 150 unidades; para el caso de centenas, obtendríamos 15 centenas, equivalentemente 1500 unidades; en el caso de uni-dades de millar, tenemos 15 unidades de millar o 15 000 unidades, y finalmente, para decenas de millar se tienen 15 decenas de millar, o 150 unidades de millar o 150 000 unidades.
Puede aplicarse la implementación discutida en la actividad anterior utilizando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los números naturales obte-nidos. En este caso, estaremos aplicando el concepto de serie aritmética (que se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso). Se involucra además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000, y equiva-lentemente, la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
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Puede considerar como ejercicio adicional lo siguiente: utilizando las fichas del 1 al 17. Pregunte a los alumnos por qué bajo la condición de ser el número solicitado múltiplo de tres y tomando en cuenta las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permite obtener 9 cuadrados mágicos diferentes que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Por ejemplo, para n=27 obtenemos el valor de 9, luego las fichas requeridas son:
El cuadrado mágico correspondiente es:
Ejercicio 3
Obtenga el cuadrado mágico cuya suma es 27 unidades (decenas, centenas o unidades de millar), pero sin la restricción de que los números sean nueve enteros consecutivos. Por ejemplo, proporcione los números considerados en el cuadrado mágico. Solicite a los alumnos que construyan el cuadrado mágico correspondiente. Puede verificar que, si en el sistema de ecuaciones 2 reemplazamos h e i, para 5 y 7, respectivamente, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
Para los casos siguientes, analicemos los valores asignados a h e i. Obtene-mos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
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De nuevo, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
Para el primer cuadrado mágico, la serie aritmética es 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, mientras que para el segundo cuadrado es 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33.
Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico para considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Claramente observamos que este es, de nuevo, un cuadrado mágico. Esto, a su vez, nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir sumas, restas, mul-tiplicaciones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (recuerde que un cua-drado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
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Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. En el caso de este material didáctico se incluyen fichas con denomina-dores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos denominadores, según convenga, para presentar algún tema en particular. Recordemos que estamos intro-duciendo una restricción en la construcción de los cuadros. Y es que entre los elementos de la sucesión numérica la diferencia (o distancia) entre dos números consecutivos es 1 (serie aritmética). Sin embargo, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restric-ciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fraccionarias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo. Por esa razón, este ejemplo puede aplicarse a los alumnos de los distintos grados de secundaria, considerando obviamente las respectivas restricciones en la aplicación para el nivel correspondiente.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones. Pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Así por ejemplo, la disposición ascendente es:
Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y último término, entre términos consecutivos. Posteriormente solicite que realicen la suma de todos estos términos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma, el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, obteniendo así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en la expresión anterior estamos obteniendo la suma de los primeros nueve números impares (tenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la diferencia entre dos términos consecutivos es 2). Solicite que escriban el término general de la serie numérica. Indí-queles que obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2, y pida que justifiquen esto.
Compare este cuadrado mágico con el cuadrado mágico que se muestra al inicio del ejercicio 3 de esta actividad. Para ello, considere la tabla del dos. ¿Existe alguna similitud en-tre los cuadrados mágicos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Podemos aplicar ahora el procedimiento anterior para las fichas con denominador 3. Solicite las fichas
Una de las cuestiones a considerar es la multifuncionalidad de las fichas para los alum-nos de secundaria, ya que una de las actividades para implementar es agrupar todas las fichas, separando cantidades enteras (denominador 1) y fraccionarias. Estas últimas debe-rán separarlas en bloques con denominador común, ordenándolas de forma ascendente y descendente. Posteriormente, deberán tomar dos grupos de fichas y colocarlas en orden; aplicar lo anterior a tres, y finalmente, a los cuatro grupos, o también separar, por ejemplo, en fracciones propias o impropias, o bien combinar algunas fichas de tal forma que en suma o resta obtengan otra del grupo de ellas. En este punto, solicite una operación entre fichas que incluyan suma o resta (multiplicación o división) de tal forma que el resultado no se encuentre en ninguna de las fichas del juego.
Regresando al ejercicio, solicite que obtengan el correspondiente cuadrado mágico, el cual debe ser:
Podemos relacionar la serie numérica 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, con el cuadrado
mágico anterior. Justifique su respuesta.
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Ejercicio 6
• Indique las actividades a desarrollar para obtener el siguiente cuadrado mágico:
• Consideremos las siguientes observaciones para los tres últimos ejercicios y que po-demos aplicar en general a todos. Con respecto al ejercicio 4, un somero análisis nos permite concluir que para resolver dicho cuadrado mágico era suficiente con estudiar el numerador, y con esto obtener un cuadrado mágico cuya suma es 27. Así obtenemos un cuadrado mágico que es distinto al que puede obtenerse utilizando las técnicas de nueve números consecutivos. Sin embargo, si sustituimos en h e i los valores 5 y 7, respectiva-mente, en el sistema estudiado al principio, obtendríamos los restantes valores que invo-lucran la solución que mostramos a continuación:
• Para el caso de la fracción con denominador 3 y 4, obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
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Si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sis-tema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente. Además, estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico para considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Ahora, en vez de sumar, pídale que reste el número 12 al cuadrado mágico clásico. El alumno debe concluir que el conjunto de números enteros utilizado es suficiente para re-solver este problema. La solución a lo anterior la describe el siguiente cuadrado mágico:
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Claramente, observamos que estos son de nuevo cuadrados mágicos. Esto, a su vez, nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y divisiones, como lo muestra este cuadrado mágico:
• Aplique lo siguiente: divida cada ficha entre 4, reemplace la ficha por la correspon-diente solución de esta operación, respetando como siempre la disposición de las mismas en el cuadrado. Así, con las correspondientes simplificaciones y sin dificultad, obtenemos como resultado el siguiente cuadrado mágico:
• Hasta este punto, hemos observado algunas operaciones básicas sobre cuadrados mágicos que se aplican a cualquiera de éstos y hemos abordado algunos casos particula-res. Los ejercicios que incluye esta guía incorporan combinaciones de números naturales y racionales positivos. Veamos ahora uno que involucre números decimales. Para este último, considere el cuadrado mágico clásico, dividiendo entre 10 cada uno de los núme-ros que aparecen en el mismo. Obtenemos así un ejemplo de un cuadrado mágico con números decimales:
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• Considerando nuevamente el cuadrado mágico clásico, sume entrada a entrada el cuadrado mágico, pero considere la siguiente modificación: un cuadrado mágico repre-senta unidades y el otro, decenas. El cuadrado mágico que se obtiene es el siguiente:
Ahora sume al mismo 5 centenas en cada entrada. Describa cuál es el cuadrado mágico que se obtiene.
• Consideremos nuevamente el cuadrado mágico clásico y sumemos tres veces el mismo. Obtenemos entonces el siguiente cuadrado mágico cuya suma es 45:
Observe qué obtiene si al cuadrado inicial lo multiplicamos por tres, indicando que se debe multiplicar cada ficha por ese valor. ¿El cuadrado final es igual al obtenido por me-dio de la suma de tres veces el cuadrado mágico?
Las operaciones realizadas con los cuadrados mágicos, es decir, sumas, restas multiplicaciones y divisiones, son aplicables a un ente matemático llamado ma-triz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
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El cuadrado mágico de 4 x 4
Al inicio de la sección se menciona un cuadrado mágico plasmado por el pintor alemán Dürer. Trabajaremos sobre él para obtener algunos ejemplos de cuadrados mágicos, apli-cando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadra-do mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
Sistema de ecuaciones 4
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Consideremos además que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta discusión satisface las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico construido por Dürer adiciona, al menos, las siguientes condiciones: los cuatro términos del interior del cuadra-do mágico suman 34, los cuatro términos de las esquinas suman 34; además, la suma de los términos 3, 2, 15, y 14, así como los términos 5, 9, 8 y 12 suman, respectivamente 34, lo cual adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial y aún con éstas el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Lo anterior implica que el sistema sería ahora un sistema de 14 ecuaciones en 16 incóg-nitas (aún así, el sistema admite soluciones no triviales). Es fácil observar que al aplicar el método de eliminación gaussiana, aun aplicando notación matricial, se requiere un número considerable de operaciones elementales para llevar a la matriz del sistema a su forma esca-lonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas es de tamaño 10×17) y requerimos para el mismo la utilización de un programa numérico, aunque el maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal para estudiar el método con mayor detalle y tener mucha paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, retomamos la mención de lo dificultoso que es resolver un cuadrado mágico de tamaño m×m, con m como un número natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione qué importancia puede llegar a significar una generalización de esta naturaleza. Debemos indicarle que el interés reside en la implementación y estudio de diversos métodos de solución utilizados para resolver un problema de esta naturaleza, y que tiene aplicación en diversos campos.
Sin embargo, tenemos posibilidad de dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mágico. Por ejemplo ¿por qué al utilizar los 16 primeros números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma deba ser 34? Para ello, basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 números naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales. Luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadrado de 5×5, si consideramos a los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado mágico es 65; para un cuadrado de 6×6, la suma es 111, si se consideran los 36 primeros números naturales) y así sucesivamente.
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Los ejercicios de la siguiente sección tienen como objetivo aplicar las operacio-nes de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer; para obtener otros se sugieren ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
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Ejercicios:
Ejercicio 1
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n=-9, -6, - 3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su cons-trucción nueve enteros consecutivos.
Divida los cuadrados mágicos entre 3, 5 y 6, y obtenga las soluciones correspondientes utilizando números fraccionarios. Distinga las fracciones propias e impropias. Considere otros ejemplos, con diferente denominador, utilizando los sistemas de ecuaciones.
Ejercicio 2
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n=-9, -6, - 3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2.
Ejercicio 3
Obtenga dos cuadrados mágicos distintos para cada valor de n = 21, 39.
Ejercicio 4
Si desea obtener un cuadrado mágico cuya suma sea 1, podrán ser enteros todos los nú-meros involucrados para su construcción.
Ejercicio 5
Proporcione 5 ejemplos de cuadrados mágicos de tamaño 3×3, de tal formaque sólo estén constituidos por números decimales.
Pregunta:
• ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n=12 y que cumpla con las restricciones?
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Ejercicio 6
Construya un cuadrado mágico de tamaño 3×3, con los siguientes valores para n = - 3/2 y los valores de h = 1/3 e i = 5/4.
Ejercicio 7
Obtenga a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los valo-res de t siguientes:
{17, 10, -34, 1, 14, -6, .34, .17, 102, 340}
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 3×3, es decir puede sumar, restar, multiplicar o dividir, según sea el caso. Más aún, puede aplicar combinaciones de operación al cuadrado mágico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
Ejercicio 8
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, cuál es el valor de n.
Ejercicio 9
Halle la suma de los primeros 100 números naturales.
Ejercicio 10
Halle la suma de los primeros 100 números pares y calcule la suma de los 100 primeros números impares.
Ejercicio 11
Construya dos cuadrados mágicos distintos, coloque uno seguido del otro, considerando poner uno sobre otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas).
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Ejercicio 12
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obviamente del mismo tamaño).
Ejercicio 13
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos está en función del nivel de enseñanza.
Ejercicio 14
Considere algún cuadrado mágico de los previamente obtenidos. Omita alguna de la fi-chas del mismo y solicite al alumno que lo resuelva aplicando una ecuación lineal.
Ejercicio 15
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2×2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio 16
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico, donde un valor se repita al menos 2veces en el mismo.
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Ejercicio 17
Obtenga una fórmula para hallar la suma de los primeros n números naturales consecu-tivos, otra para obtener la suma de los primeros n números impares consecutivos y una más para la suma de los primeros n números pares consecutivos.
Ejercicio 18
Si la suma del cuadrado mágico es 369, utilizando los primeros m números naturales con-secutivos, ¿cuál es el valor de m?
Ejercicio 19
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que deban satisfacer la con-dición de determinar un cuadrado mágico. Colóquelos en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos líneas respe-tando el orden indicado en los números (ascendente), reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico por el número localizado por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la posición de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta comple-tar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido después de realizar este proceso es mágico?
Ejercicio 20
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadra-do correspondiente es mágico.
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Benjamín Franklin11 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila suma 260; deteniéndose a la mitad de cada una da 130 y trazando una línea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
11 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de América, junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
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El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. El construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra arriba y que utiliza los primeros 64 números naturales. Con base en lo previamente discutido, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es de 260.
Este cuadrado mágico tiene además la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empieza sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en orden numérico.
Puede utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
Observación:
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El octágono mágico
En el siguiente octágono se utilizan nuevamente los primeros nueve números naturales. Debe satisfacerse que la suma de los tres números contenidos en cada diámetro sea 15. ¿Cuál es el valor de cada letra?
La observación anterior permite entonces aplicar a este octágono má-gico lo discutido para el cuadrado mágico. Queda a criterio del maestro la implementación de las actividades en este caso.
Al girar un ángulo de 22.5°, la figura anterior, manteniendo el centro fijo, nos permite obtener el cuadrado mágico clásico.
Observación:
a) ___5___ b) ___2___ c) ___ 9 ___ d) ___3___
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El triángulo mágico
En el siguiente triángulo mágico utilizamos nuevamente los primeros nueve números naturales. Aquí debe satisfacerse que la suma de los lados es 20. ¿Cuál es el valor de cada letra?
Aquí podemos aplicar procedimientos similares a los aplicados al cuadrado má-gico clásico. Nuevamente, el maestro puede implementar las modificaciones que considere adecuadas para este caso.
Observación:
x) ___6___ y) ___4___ z) ___ 1 ___
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La estrella mágica
Tenemos ahora la estrella mágica. Aquí utilizamos los primeros doce números naturales. En este caso, la suma de los cuatro números que aparece en cada lado de la estrella debe ser 26. Halle el valor de cada letra.
Puede aplicar, en este caso, modificaciones como las implementadas para el cua-drado mágico. Realice las modificaciones correspondientes para jugar.
Observación:
a) ___4___ b) ___7___ c) ___ 5 ___ d) ___11___ e) ___12___
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