CAIDA DE CUERPOS CONSIDERANDO LA RESISTENCIA DEL AIRE

Considerando la gráfica siguiente nos damos cuenta que al considerar a la Resistencia del aire como una fuerza que está en contra del movimiento (con signo diferente) encontraremos la siguiente ecuación que resume la suma de todas las fuerzas existentes en el sistema mostrado:

∑ F=m∗a

Como el desplazamiento es hacia abajo, el signo de la sumatoria de fuerzas es negativo.

−m∗a=−F . peso+F . resistencia

−m∗a=−m∗g+k∗v

Donde “k” representa a la constante de la resistencia del aire que depende directamente de su densidad, además su valor siempre es positivo (k > 0) y “v” representa a la velocidad instantánea del objeto.

m∗a=m∗g−k∗v

Teniendo en cuenta que la aceleración es una variable que depende de la variación de la velocidad

con respecto al tiempo. Por lo tanto: a=dvdt

.

m∗dvdt

=m∗g−k∗v

m∗dvdt

+k∗v=m∗g

Dividiendo por la masa (m) a toda la ecuación, obtenemos lo siguiente:

dvdt

+ km

∗v=g

Como se puede observar, esta ecuación tiene la forma de una EDL de primer orden y se resuelve haciendo uso del factor integrante como se hará a continuación:

e∫ km

∗dt=e

km

∗t

Donde, ekm

∗t,es el factor integrante y se debe multiplicar a la ecuación anterior.

ekm∗t∗dvdt

+ekm∗t∗km

∗v=g∗ekm

∗t

d (ekm

∗t∗v )

dt=g∗e

km

∗t

Aplicando integrales tenemos como resultado lo siguiente:

ekm

∗t∗v=∫ g∗e

km

∗tdt

ekm

∗t∗v=g∗m

k∗e

km

∗t+C

v=g∗mk

+C∗e−km

∗t…………….. (I)

Como el tema en cuestión es un objeto en caída libre, se toma como condición inicial que V(0)=V0 y reemplazando en la última ecuación se tiene lo siguiente:

v0=g∗mk

+C∗e0

C=v0−g∗mk

Ya con el valor de la constante “C” y con los datos de la condición inicial, se reemplaza todo en la ecuación (I) y se logra encontrar la ecuación general para solucionar los problemas de caída libre de cuerpos considerando a la resistencia como un variable más.

v t=g∗mk

+(v0− g∗mk )∗e−t∗km