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7/30/2019 Cadenas de Markov_BLOG_Yoratzi_Jesus

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En un pueblo, al 90% de los das soleados le siguen das soleados, y al 80% de los das nublados lesiguen das nublados. Con esta informacin modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov.

Solucin

Se trata de una cadena de Markov con dos estados {Soleado, Nublado} que para abreviar

representaremos por {S, N}.

Ya que la probabilidad de un evento no puede ser mayor a 1 (es decir el 100%) podemos calcular laprobabilidad de tener clima N partiendo de un dia S, a patir de una simple resta:

P= 1-0,9=0,1.

Con el mismo razonamiento, encontramos la probabilidad de tener un dia S partiendo de un dia N.

P= 1-0,8=0,2

EJERCICIO 1: Clima de un pueblo


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Con esta matriz de transicion podemos averiguar el clima decualquier dia, simplemente la matriz del estado n-esimo vienedada por la multiplicacion de la matriz de transicin por ella

misma n veces:

Pn(S,N)= P(S,N)^n

EJERCICIO 1: Clima de un pueblo

S N

N

S


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El ascensor de un edificio con PB y dos pisos realiza viajes de unoa otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-simo del ascensorsigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajesque parten de PB se dirigen a cada uno de los otros dos pisos,mientras que si un viaje comienza en el primer piso, slo el 25%

de las veces finaliza en el segundo. Por ltimo, si un trayectocomienza en el segundo piso, siempre finaliza en la PB. Se pide:

1) Calcular la matriz de probabilidades de transicin de la cadena

2) Dibujar el grafo asociado3) Cul es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor seencuentre en cada uno de los tres pisos?

Ejercicio 2: El ascensor


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Solucion:1) Los estados de la cadena los denotaremos por { 0, 1 , 2} haciendo corresponder el cero a la PB y 1 y 2 alprimer y segundo piso respectivamente.

Primero necesitamos encontrar las probabilidades de transicin de cada elemento de la matriz detransicin (la cual viene dada por un tamao de 3x3) , estas son

p00 = P(Rn=0 / Rn-1=0): esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta baja si en laetapa anterior estaba en la planta baja. P00 = 0, porque se supone que entre piso y piso el ascensor semueve.

p01 = P(Rn=1 / Rn-1=0): esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en la planta primera si enla etapa anterior estaba en la planta baja. Del enunciado podemos definir que p01= 1/2.

Y as sucesivamente vamos obteniendo las distintas probabilidades de transicin cuya matriz es:



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2) El diagrama de transicion o grafo asociado viene dado por losdiferentes eventos que pueden darse es decir, desde PB(0) ir alP1(1) o al P2(2); desde el P1(1) ir a PB(0) o al P2(2); y desde el P2(2)

ir al P1(1)


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3) La probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentreen cada uno de los tres pisos, viene dado por el estado

q. P = q

siendo q = (x,y,z), los valores de las probabilidades pedidas

Esto resulta en aadir la ecuacin x+y+z = 1



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Aadiendo x+y+z = 1,

produce el siguiente sistema

Cuyas soluciones son:

x=8/17y = 4/17

z= 5/17

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