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Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 77

PPRROOYYEECCTTOO YY CCÁÁLLCCUULLOO DDEE EEJJEESS

YY EELLEEMMEENNTTOOSS AACCCCEESSOORRIIOOSS

División 2

Conceptos básicos de la Teoría de Lubricación y

de Tribología en general

Cojinetes Hidrodinámicos Radiales

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1. Introducción

En esta División 2 del Capítulo 7 se verán los sistemas de conexión de los ejes con los

bastidores de las máquinas, específicamente los cojinetes hidrodinámicos. Sin embargo antes

de enfocar el análisis y cálculo de los cojinetes hidrodinámicos, es necesario introducir

algunos tópicos en temas de lubricación y tribología.

2. Generalidades de Tribología y Lubricación

La tribología es la rama de la ciencia de la ingeniería que estudia los fenómenos asociados al

desgaste y a la fricción entre partes deslizantes. Es claro que las partes deslizantes son

comunes en toda aplicación, ingenio o máquina de manera que es necesario establecer y

ponderar apropiadamente los límites de desgaste que se pueden permitir en las piezas y la

manera de atenuarlos. En salvaguarda de esta última situación aparece la lubricación. Téngase

presente que, muy pocos elementos de máquinas están liberados de consideraciones de índole

tribológica.

Nociones de Lubricación

El objetivo de la lubricación es reducir el rozamiento, el desgaste y el recalentamiento de las

superficies de piezas en movimiento que se hallan en contacto directo. La aplicación típica es

el cojinete constituido por muñón o eje (Figura 7.11.a). Los ejemplos de aplicación típicos

son los cojinetes del cigüeñal y bielas en un motor, los cojinetes de las turbinas de centrales

termoeléctricas.

Entre los factores de diseño a considerar se hallan discriminados en factores de orden técnico

y factores de orden económico como:

- Los valores de las cargas aplicadas y las condiciones de servicio

- Las condiciones de instalación y el tipo de mantenimiento

- Las tolerancias de fabricación permitidas, la duración pretendida

- Los costos de instalación y de mantenimiento

Se pueden distinguir cuatro tipos de condiciones de lubricación

- Lubricación Hidrodinámica

- Lubricación Elastohidrodinámica

- Lubricación Marginal

- Lubricación Parcial

La Lubricación Hidrodinámica es la que se puede observar en los cojinetes con superficies

concordantes como en la Figura 7.11.a. La lubricación elastohidrodinámica es más común en

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superficies rodantes no concordantes como en el caso de los rodamientos, según se ve en la

Figura 7.11.b.

(a) (b)

Figura 7.11. (a) Superficie rodantes concordantes (b) superficies rodantes no concordantes

Lubricación Hidrodinámica

Como se mencionara anteriormente, este tipo de lubricación se caracteriza por poseer una

película fluida entre superficies concordantes. Se produce una presión de sustentación en el

muñón debido a que las superficies convergen y su movimiento relativo y la viscosidad del

fluido separan las superficies. Este aspecto se analizará más adelante en detalle. La presencia

de tal presión de sustentación permite soportar la carga del eje. La magnitud de la presión no

es suficiente como para producir alguna deformación elástica de importancia en la superficie

de los componentes. El espesor mínimo de película normalmente excede 1 micrón y es una

función proporcional de la carga y de la velocidad, pudiéndose escribir como:

W

uh bmin (7.47)

donde ub y W son respectivamente la velocidad y carga. A su vez, la altura de película

depende de otros factores como la viscosidad del fluido (que depende de la temperatura), de la

geometría, y de otras condiciones de funcionamiento como se verá en el análisis de cojinetes

hidrodinámicos. Para fijar algunos ponderadores numéricos, la presión que puede

desarrollarse en este tipo de lubricación no supera los 5 Mpa. (Ver Ref. [3]).

Lubricación Elastohidrodinámica.

Se trata de una forma límite o reducida de la lubricación hidrodinámica, donde la deformación

elástica de las superficies en contacto es sustancial. En esta circunstancia la necesidad de

lubricación es crucial. Existen dos formas denominadas:

- Lubricación elastohidrodinámica firme (llamada también dura). Sigla LEF

- Lubricación elastohidrodinámica suave. Sigla LES.

La primera está relacionada con materiales con módulo de elasticidad alto como en el caso de

los metales (aceros, bronces, etc.). En la LEF, la deformación elástica y los efectos de presión

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y viscosidad son igualmente importantes. El espesor de capa fluida depende de diferentes

factores tales como:

- Viscosidad del lubricante

- Módulos de elasticidad de las partes en contacto

- Velocidad relativa entre las superficies

- Carga que se debe soportar

- Relación geométrica de radios de acuerdo de las superficies en contacto

- Coeficiente que relaciona la viscosidad del lubricante y la presión que soporta.

Generalmente la presión máxima que soportan las piezas se halla entre 0.5 y 4.0 Gpa,

mientras que el espesor de película puede superar 0.1 m.

Existen relaciones que se obtienen a partir de regresiones logarítmicas, donde el espesor de

película es proporcional a formas exponenciales de la carga (W) y de la velocidad (ub) como

por ejemplo las siguientes (ver referencia [2])

0730Wh .

min

, 680

buh.

min (7.48)

La LES está relacionada con superficies en contacto cuyos coeficientes de elasticidad son más

bajos como por ejemplo el caucho, la goma, los plásticos, etc. En estos casos las

deformaciones son muy grandes incluso con bajos estados de carga. La presión máxima de

este tipo de aplicaciones suele hallarse entre 0.5 y 4.0 Mpa. Nótese que los límites son 1000

veces más bajos que en el caso de LEF. Este tipo de lubricación en particular debe ser

considerado en los implantes plásticos para articulaciones del cuerpo humano, como también

donde exista contacto entre superficies metálicas y de goma (caucho, plástico, etc).

Lubricación Marginal

En este caso las superficies de los sólidos no están plenamente separadas por el lubricante y

comienza a existir contacto entre las superficies. Aquí es donde comienzan a jugar un papel

importante las propiedades moleculares del lubricante para mantener la película fluida y

dependiendo de estas propiedades moleculares el espesor de la película puede tener una

variación entre 1 nm y 10 nm.

Lubricación Parcial

Cuando las características de servicio de las superficies en contacto tienen cargas demasiado

altas o las velocidades muy bajas, la película de lubricante se pierde y existe un contacto entre

las asperezas o rugosidades de las superficies en contacto. El espesor de fluido es menor que

0.01 m a 1 m. En la Figura 7.12 se muestran las diferencias entre la lubricación por

película fluida, marginal y parcial, respectivamente.

En la Figura 7.13 se muestra el rango de variación de los coeficientes de fricción para las

diferentes condiciones de lubricación, mientras que en la Figura 7.14 se muestra la variación

del desgaste con el tipo de lubricación y la variación de carga.

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Figura 7.12. Caracterización de los tipos de lubricaciones (a) película fluida (b) marginal (c) Parcial

Figura 7.13. Variación del coeficiente de Fricción con el tipo de lubricación

Figura 7.14. Variación del desgaste con respecto a la carga.

Lubricantes y propiedades

Un lubricante es una sustancia que tiene por función reducir la fricción y consecuente

desgaste entre superficie en deslizamiento relativo. Generalmente los lubricantes son líquidos

pero también pueden ser sólidos y gases. A continuación se indican algunos ejemplos:

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- Líquidos

o Aceites minerales

o Esteres líquidos

o Fluidos silicónicos

- Sólidos

o politetrafluoruetileno

o grasas con aditivos (para los rodamientos)

o grasas de grafito

o polvos de molibdeno y grafito (Ejemplo molikote)

- Gases

o aire (por ejemplo para cojinetes de gas en turbinas)

Los lubricantes líquidos poseen además una serie de propiedades muy deseables que los

transforman en los lubricantes por antonomasia. Estas son las siguientes:

- Pueden evolucionar entre las superficies deslizantes conduciendo a una lubricación

hidrodinámica.

- Tienen una alta capacidad de disipación térmica del calor generado por el contacto.

- Se pueden mezclar con otros productos químicos (aditivos) para otorgarles mejoras al

lubricante, como por ejemplo incrementar la resistencia a la corrosión de las partes,

incrementar la vida útil del lubricante, incrementar la capacidad de carga, etc.

- Se pueden remover las partículas producidas por el desgaste.

Entre las propiedades más representativas de un lubricante se halla la viscosidad.

Conceptualmente es la capacidad que tiene un fluido en resistir deformaciones cortantes. La

viscosidad absoluta o viscosidad dinámica se define a partir de un modelo geométrico-

mecánico elemental como el que se muestra en la Figura 7.15. La viscosidad absoluta,

entonces se obtiene con la siguiente relación:

CorteporunitariandeformacióRazón

CortedeTensión

dzduhu

AF

b ____

__

//

/

(7.49)

donde F y A son fuerza de corte y área de la superficie (Figura 7.15), respectivamente y ub y h

son la velocidad de la superficie superior (Figura 7.15) y el espesor de película,

respectivamente. En la Tabla 7.3 se pueden encontrar unidades de viscosidad absoluta.

Figura 7.15. Modelo geométrico elemental para interpretar la Viscosidad Absoluta.

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Sistema de Unidades Viscosidad Absoluta Viscosidad Cinemática

Internacional N-s/m² o Pa-s m²/s

CGS dyn-s/cm² o centiPoise cm²/s o Stoke

Inglés lbf-s/pul² o Reyn pul²/s

Tabla 7.3. Unidades de viscosidad

En ciertas circunstancias es más práctico considerar la viscosidad cinemática, que se define de

la siguiente manera:

Densidad

AbsolutaidadVisk

_cos

(7.50)

En un lubricante se puede establecer la siguiente relación entre la viscosidad y la presión de

loa fluidos:

pLn

o

.

p

oe . (7.51)

donde o es la viscosidad absoluta bajo la condición de la presión es nula, p es la presión y

es un coeficiente que depende del lubricante y de la temperatura. La ecuación (7.51) suele

denominarse ecuación de Barus. En la Figura 7.16 se puede ver la variación de la viscosidad

absoluta con respecto de la temperatura.

Figura 7.16. Variación de la Viscosidad Absoluta con la temperatura para aceites SAE a presión atmosférica

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Nociones de Fricción

La fricción es una fuerza que resiste el movimiento relativo entre dos superficies. Existen dos

formas características de fricción en cuanto al aspecto de la superficie: Fricción por Rodadura

y Fricción por deslizamiento según se aprecia en la Figura 7.17. Por otro lado la fricción se

puede distinguir en estática o dinámica según que corresponda a una situación libre de

movimiento o con movimiento, respectivamente. La expresión típica que relaciona las fuerzas

que intervienen (Según la denominada ley de fricción de COULOMB) es:

NFr . (7.52)

La ley (7.52) se denomina también ley de fricción seca y se caracteriza por estar definida

según las siguientes hipótesis:

- La fuerza de fricción Fr es independiente de la velocidad.

- La fuerza de fricción Fr es proporcional a la fuerza normal

- La fuerza de fricción Fr no depende del área aparente de las superficies en contacto.

Figura 7.17. Formas de fricción según las superficies involucradas. (a) por deslizamiento (b) rodadura

Por otro lado la (7.52) es representativa para los materiales metálicos, en tanto que para otros

materiales se han obtenido expresiones de proporcionalidad como las siguientes:

43

r NF /. para polímeros y otros plásticos (7.53)

32

r NF /. para cauchos y gomas en general

La fricción es una propiedad que puede tener utilidad ambivalente. Esto significa que en

determinadas aplicaciones se exige la menor influencia de la fricción como por ejemplo en las

turbinas donde se usan cojinetes hidrodinámicos, o en los giroscopios, etc. Por otro lado en

otras aplicaciones es fundamental que exista fricción, como por ejemplo en los frenos o

embragues, en la interacción de la cubierta de una rueda con el piso, etc.

Nociones de desgaste

El desgaste se entiende como la pérdida progresiva de la sustancia de una pieza que se desliza

con respecto a otra. El desgaste se clasifica según la naturaleza de física del proceso según:

- Desgaste por Adhesión

- Desgaste por Abrasión

- Desgaste por Fatiga

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En el desgaste por Adhesión, partículas de material se transfieren de una superficie a otra por

medio de la soldadura por presión. En el caso de desgaste por abrasión las superficies están

actuando en forma recíproca siendo una más dura que otra. En el caso de desgaste por Fatiga,

el daño se propaga en forma subsuperficial tal como se muestra en la secuencia de la Figura

7.18 (tomada de Referencia [2])

Figura 7.18. Evolución del Desgaste por Fatiga

Existen ciertas expresiones (obtenidas con correlaciones experimentales) para ponderar el

desgaste desde una medida volumétrica. Así pues, el volumen de material removido puede

obtenerse de la siguiente manera:

H3

LNkV d1 .. para adhesión

(7.54)

H

LNTank2V d1

.. para abrasión

Sin embargo, se ha notado que es más cómodo y práctico obtener los pesos de material

removido de forma tal que (7.54) se convierte en

H3

LNkP d1 ..

para adhesión

(7.55)

H

LNTank2P d1

.. para abrasión

siendo N, H, y Ld la carga aplicada, la dureza del material más blando y la longitud de

deslizamiento, respectivamente. V es el volumen removido, P es el peso removido y es el

peso específico. k1 es una constante de adhesión, y es un ángulo que puede variar según el

tipo de aspereza según se muestra en Figura 7.19 (que por lo general es de 5°). En la Tabla 7.4

se pueden ver los valores del coeficiente k1 para algunos materiales.

Figura 7.19. Forma de entender el ángulo de abrasión.

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Materiales en rozamiento Coeficiente de

rozamiento

Constante de

desgaste k1

Bronce sobre acero 0.3 0.001

Carburo de Tg contra

carburo de Tg 0.35 10

-6

Polietileno sobre acero 0.5 10-7

acero inoxidable sobre

acero duro 0.5 2 10

-5

Tabla 7.4. Constantes de rozamiento y desgaste

3. Cojinetes Hidrodinámicos Radiales

Nociones generales

Los cojinetes hidrodinámicos radiales tienen por función servir de apoyos a ejes o bien a

árboles (como el cigüeñal) entre otros usos. La característica principal de este tipo de

dispositivos reside en que el tipo de lubricación que se utiliza es la hidrodinámica y pueden

soportar una carga sustancial con poco rozamiento y en consecuencia desgaste y pérdida de

potencia mínimos. Las superficies del cojinete son paralelas al eje de rotación del eje que

están conteniendo.

Existen diferentes tipos de cojinetes, según sus formas, materiales y aplicaciones. En la Figura

7.20 se pueden apreciar diferentes tipos de cojinetes construidos en bronce.

Figura 7.20. Diferentes tipos de cojinetes.

Figura 7.21. Descripción Geométrica de componentes y partes esenciales de un cojinete.

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En la Figura 7.21 se puede apreciar las vistas de un conjunto eje-cojinete, mientras que en la

Figura 7.22 se describen las partes geométricas más representativas. Los cojinetes pueden ser

completos o parciales en tanto que cubran al muñón unos 360° o no.

Figura 7.22. Descripción de entidades de un cojinete.

- c es el huelgo radial

- ho es la altura mínima de película

- O y O’ son los centros de las circunferencias del muñón del eje y del cojinete.

Los cojinetes hidrodinámicos radiales deben su funcionamiento al efecto de bombeo ejercido

por el movimiento relativo de rotación del muñón con respecto a la superficie estacionaria (o

fija). Así pues en el caso que no haya lubricante, el muñón, además de girar respecto de su

eje, también rodará sobre la superficie del cojinete, como se muestra en la Figura 7.22.a. En

cambio, cuando se introduce el lubricante, se produce una acción de bombeo de manera que la

viscosidad del fluido genera una película de separación entre el eje y el cojinete. De esta

forma la presión que se genera en el fluido, debido a efectos dinámicos, es la que sustenta al

eje, como se ve la Figura 7.22.b.

Figura 7.23. (a) Eje sin lubricación con giro y rodadura (b) eje con lubricación

En la Figura 7.24 se indica la influencia de las características típicas de los cojinetes

(parámetros operativos) en la forma de lubricación y en el coeficiente de rozamiento y en

consecuencia en las condiciones de desgaste.

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Figura 7.24. Influencia de parámetros operativos

En la Figura 7.24, es la viscosidad absoluta, N es la velocidad de rotación medida en

rev/seg y p es la presión del fluido proyectada (es decir p = Wr/(2.rb.wt), siendo Wr la carga

que soporta el cojinete, rb y wt son el radio del cojinete y el ancho respectivamente). Nótese

que se puede apreciar una zona estable donde el rozamiento y el desgaste son más bien bajos.

Así pues estando en la zona de estabilidad, si se baja continuamente la velocidad de rotación,

es claro que se obtendrá una condición inestable con gran desgaste, al igual que el incremento

de presión. Por otro lado si baja la presión y aumenta la velocidad, desde la zona estable se

puede obtener una condición de mayor desgaste, aunque no es tan severa como en el otro

sentido.

Ley de Petrov

La ley de Petrov se utiliza para determinar el par debido a la fricción fluida. Para hallar una

expresión del par de fricción es necesario establecer una serie de hipótesis, las cuales se

exponen a continuación:

- Se cumple la ley de Newton de la Viscosidad (Figura 7.15)

- Se considera que el muñón del eje opera en forma concéntrica (Figura 7.21). Esto se

cumple si la velocidad de rotación del eje es infinita, la viscosidad es infinita y la

carga sobre el cojinete es nula.

- La hipótesis anterior se mantendría válida (eje concéntrico), aún si la carga es ligera,

la velocidad del eje es muy alta y la viscosidad también es importante

Aun cuando según la última hipótesis se pueda presentar una excentricidad, ésta debe

considerarse muy pequeña. De tal forma que si se analiza un cojinete completo (de 360°) se

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obtendrá la Figura 7.25. Luego teniendo en cuenta la definición de la viscosidad según la

expresión (7.49) se puede obtener la fuerza de fricción de un cojinete concéntrico como:

c

Nwr

c

Nrwr

c

uAF atoa

too

.4...2...2

22 (7.56)

Donde

- o es la viscosidad a p=0 y temperatura constante.

- Na es la velocidad de rotación en rev/seg

- c es la holgura radial

- wc es el ancho del cojinete

- r es el radio del eje

Luego el coeficiente de rozamiento viene dado por:

r

ato

r Wc

Nwr

W

F

.

.4 22 (7.57)

Siendo Wr la carga radial que soporta el cojinete. Luego el momento o par debido a la fricción

tiene la siguiente forma:

c

wr2

c

Nwr4rFT bto

3

ato

32

r

.... (7.58)

Siendo b la velocidad angular medida en rad/seg.

Finalmente la pérdida de potencia debida a la fricción se obtiene por:

c

wr2Th

2

bto

3

rp

.. (7.59)

Figura 7.25. Desarrollo de la superficie de un cojinete

Ecuación de Reynolds y sus soluciones

En esta división no se pretende dar la deducción completa de la ecuación de Reynolds (que

puede hallarse en las referencias [2] y [4]), sino plantear directamente la metodología de

selección y calculo de cojinetes, no sin antes efectuar un análisis de las ecuaciones que

gobiernan el funcionamiento de los cojinetes. En la Figura 7.26 se muestra un cojinete típico

con su eje y un esquema para efectuar el análisis.

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Ahora bien, para poder desarrollar una teoría es necesario establecer una serie de hipótesis

con las cuales reducir dentro de lo razonable las ecuaciones de mecánica de los fluidos. Las

hipótesis que se efectúan para hallar la ecuación de Reynolds son:

1. El lubricante es un fluido newtoniano

2. Las fuerzas inerciales del lubricante son despreciables

3. El fluido es incompresible

4. La viscosidad es constante

5. Se supone gradiente de presión nulo a lo largo del cojinete

6. El radio del eje es grande respecto al espesor de película

Figura 7.26. Esquema de análisis para los cojinetes

La ecuación de Reynolds simplificada para un cojinete radial viene dada por la siguiente

forma (referencias [2] y [4]):

x

hu6

y

ph

yx

ph

xbo

33

(7.60)

donde ub es la velocidad tangencial del eje. Ahora teniendo presente de la Figura 7.26 se

puede escribir

Cos1ch . , con c

e

x = rb

ub = rb b (7.61)

siendo e la excentricidad y la denominada excentricidad adimensional. Ahora bien,

reemplazando (7.61) en (7.60) se logra:

eSenr6y

phr

ph 2

bbo2

232

b

3

(7.62)

Esta es la ecuación que se debe resolver. Normalmente para esta ecuación no existen

soluciones analíticas, pero si existen soluciones numéricas.

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Para poder emplear las soluciones numéricas en forma práctica, se han confeccionado gráficos

o ábacos con los parámetros más salientes. Estos estudios se deben originalmente a Raimondi

y Boyd (fechado en 1958 según referencias [1-3]). Entre estos se distinguen dos grupos:

- Parámetros de Operación

- Parámetros de Funcionamiento

Los Parámetros de Operación son:

- El número de Cojinete o Número de Sommerfeld

2

b

r

tbbo

jc

r

W

wrB

.

(7.63)

- La razón de ancho a diámetro del cojinete

t

b

jw

r2 (7.64)

- La extensión angular del cojinete (parcial o completo)

Los Parámetros de Funcionamiento son

- La excentricidad e

- La ubicación del mínimo espesor de película, con el ángulo

- El coeficiente de rozamiento

- Las razones de flujo volumétrico total (q) y de fuga lateral (qs)

- El ángulo de presión máxima (max)

- El ángulo de presión terminal (o)

- Aumento de temperatura debido a la fricción del fluido (tm)

En la Figura 7.16 se puede ver que la viscosidad disminuye con la temperatura. La

temperatura del lubricante aumenta por efecto de la fricción fluida. Ahora bien, debido a que

la viscosidad se supone constante por hipótesis, se debe considerar la viscosidad a una

temperatura efectiva equivalente que viene dada por la siguiente expresión:

2

~ m

mim

ttt

(7.65)

Es decir, la temperatura efectiva es igual a la suma de la temperatura de entrada del lubricante

(tmi) más el valor medio entre la temperatura de salida y la de entrada (tm).

Esquema de diseño

Para efectuar el diseño de un cojinete se debe seguir un proceso básico, en el cual es necesario

contar con la siguiente información:

- La viscosidad del lubricante o.

- La velocidad angular del eje b.

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- La carga radial Wr.

- La holgura radial c.

- Las dimensiones del muñón, rb y wr.

Nótese que con los parámetros mencionados se puede obtener el número de Sommerfeld o

número de cojinete según (7.63) y la razón diámetro a ancho según la expresión (7.64). Luego

empleando este valor, se puede ingresar en la gráfica de la Figura 7.27 con lo cual se obtienen

las siguientes formas adimensionales:

1min

c

h espesor de película adimensional (7.66)

c

e razón de excentricidad (7.67)

Para emplear la Figura 7.27, es necesario calcular el número de Sommerfeld (Bj), la razón

diámetro a ancho (j) y seleccionar alguna de las condiciones de funcionamiento que

enmarcan la zona gris de operación:

- Zona de Fricción y/o desgaste Mínima (es decir Coeficiente de rozamiento mínimo)

- Zona de Máxima Carga

Luego se obtiene la altura mínima de película y la excentricidad con los datos de la gráfica y

empleando las expresiones (7.66) y (7.67).

Figura 7.27. Variación del espesor de película y excentricidad con el número de cojinete (o de Sommerfeld)

En la Figura 7.28 se muestra la relación entre el número de Sommerfeld y el coeficiente de

rozamiento adimensionalizado que se calcula como:

c

rb (7.68)

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En la Figura 7.29 se muestra la variación del ángulo de posición con el número de

Sommerfeld. En la Figura 7.30 se muestra la variación del flujo volumétrico adimensional

dado por (7.69) y se despeja q.

btb wcr

qQ

...

..2 (7.69)

Figura 7.28. Variación del coeficiente de rozamiento adimensional con el número de Sommerfeld

Figura 7.29. Variación del ángulo de posición con el número de Sommerfeld

En la Figura 7.31 se muestra la relación entre el flujo principal y el flujo de fuga lateral, que

viene dado por la siguiente expresión (7.70) y se despeja qs.

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q

qq s (7.70)

Figura 7.30. Variación del flujo volumétrico adimensional con el número de Sommerfeld

Figura 7.31. Variación de la razón de flujo lateral a principal con el número de Sommerfeld

En la Figura 7.32 se muestra la variación con respecto al número de Sommerfeld de la

máxima presión de película, dada en forma adimensional por la siguiente expresión:

max

max..2 pwr

WP

tb

r (7.71)

De la Cual se despeja pmax. En la Figura 7.33 se indican los ángulos de localización de la

presión máxima y de la presión terminal.

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Figura 7.32. Variación de la de la máxima presión de película (adimensional) con el número de Sommerfeld

Figura 7.33. Ubicación de la máxima presión de película y presión terminal con el número de Sommerfeld

El incremento de temperatura se puede obtener según la expresión (7.72) en función de los

parámetros de funcionamiento que se hallan con las graficas anteriores. En la Figura 7.34 se

analiza la variación con respecto a la holgura radial del espesor de película mínimo, de la

pérdida de potencia (ley de Petrov), de la temperatura y del flujo principal de lubricante. Este

gráfico se emplea para considerar diferentes situaciones con miras a efectuar la optimización

del diseño de cojinetes.

q

qQ

c

rW

ts

b

r

m

2

11

3.8 *

en grados Celsius (7.72)

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q

qQ

c

rW

ts

b

r

m

2

11

103.0 *

en grados Farenheit

siendo

tb

rr

wr

WW

..2

* (7.73)

Figura 7.34. Variación de diferentes parámetros de cojinetes con la holgura radial.

Aquellos que estén particularmente interesados en detalles adicionales de configuraciones

más complejas pueden recurrir a las referencias [1] y [2].

Algunas investigaciones experimentales han permitido establecer valores recomendables de

los espesores mínimos recomendados de película de lubricante, en tanto que se conozca el

tipo de terminación y calidad de la superficie donde debe actuar.

Acabado Superficial

Rugosidad [Ra] Descripción de la superficie

(tipo de acabado) Forma de fabricación

Espesor de película

mínimo aceptable hmin

m pulg m pul

0.1 a 0.2 4 a 8 Al espejo sin marcas Rectificado y supe acabado 2.5 100

0.2 a 0.4 8 a 16 Lisa sin raspaduras Rectificado y pulido 6.2 250

0.4 a 0.8 16 a 32 Lisa con ligeras raspaduras Rectificado. Limado y

pulido 12.5 500

0.8 a 1.6 32 a 63 Lisa con marcas de

herramienta suaves

Rectificado. Fresado de

precisión 25 1000

1.6 a 3.2 63 a 125 Lisa con marcas de

herramienta

Perfilado y fresado,

esmerilado y/o torneado 50 2000

Tabla 7.5. Espesor de película mínimo aceptable [2]

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Por ejemplo, en la Tabla 7.5 se muestra un extracto de los valores, adaptados de la referencia

[2], para el espesor mínimo de película fluida de lubricante. En tal tabla se supone que la

misma calidad para ambas superficies en deslizamiento relativo, es decir tanto para el cojinete

como para el muñón.

4. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.

[4] H. Potter, “Mecánica de los Fluidos”, McGraw Hill 2002.

5. Problemas Resueltos

Problema Resuelto 1

El rotor de una turbina de vapor para una planta de energía de una fábrica de papel tiene dos

apoyos que soportan cada uno la mitad del peso del rotor de 20000 N. La velocidad de

régimen del rotor es de 3000 RPM, los diámetros de los cojinetes son de 120 mm y tienen un

ancho de 120 mm. Diseñar el cojinete con una rugosidad de la superficie de Ra = 0.6 m y

con la condición de pérdida de potencia mínima. Calcular el coeficiente de fricción, el ángulo

de posición, la razón de flujo de aceite y la razón de pérdida de flujo lateral. Elija una razón

de excentricidad de 0.82 para evitar inestabilidad dinámica.

Solución

Observe que la velocidad de rotación b = 3000 RPM = 314 rad/seg

Ahora de Tabla 7.5 para rugosidad Ra=0.6 m se tiene el mínimo espesor de película

hmin=12.5 m (siempre que el incremento de temperatura no sea excesivo) es decir:

La excentricidad es = 0.82.

Luego el espesor de película adimensional es

Ahora bien con hmin/c=0.18 y =1 se obtiene Bj=0.04

Versión 2014


Entonces para seleccionar la viscosidad del aceite empleamos el valor de Bj = 0.04. de

manera que

Es decir que la viscosidad valdrá

Ahora de la siguiente figura con Bj=0.04 y =1 se obtiene el coeficiente de fricción

adimensional 1.6

De donde surge el coeficiente de fricción = 0.00185.

Ahora de la siguiente figura con Bj=0.04 y =1 se obtiene el ángulo de posicionamiento

=36°

Versión 2014


Luego de la siguiente figura obtenemos el flujo adimensional Q = 4.8

En consecuencia el flujo de aceite es

Finalmente de la siguiente figura obtenemos la razón de pérdida lateral qs/q = 0.86.

En consecuencia la pérdida lateral es:

Problema Resuelto 2

Un apoyo se usa en un compresor de aire para soportar una carga radial de 5200 N a una

velocidad de 2300 RPM. La razón de diámetro a ancho es de 2 y se usa aceite SAE 50 con

una temperatura de entrada de 100°C. Determinar las dimensiones mínimas de un cojinete y

la holgura radial para dos condiciones posibles de trabajo: (1) máxima carga y (2) mínima

fricción.

Solución

Este es un problema que puede resolverse arrastrando el valor de la carga por unidad de área

proyectada en el cojinete, y refiriendo todo parámetro a ella.

Versión 2014


Para simplificar la exposición se asumirá un valor de W*=1.5 MPa para la carga por unidad

de área proyectada. De esta forma se puede obtener el valor del ancho de cojinete como:

m04160W2

Ww

wr2

WW

r

rt

tb

rr .

*

*

Se recordará que 2rb/wt = 2.

La velocidad de rotación en el cojinete es de b = 2300 rpm = 241 rad/seg

Para la Condición de Fricción Mínima

Con un valor de =2, en los gráficos de las Figuras 12.28, 12.30, 12.31 y 12.32 se obtienen

los siguientes valores:

- Bj = 0.036

- .rb/c = 2

- Q = 5.75

- qs/q = 0.95

El incremento de temperatura se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión:

C258

qq1Q

crW38T

s21

br

m

./

)/ (. *

La temperatura media se obtiene de

C1251042

Ttt m

mim .

Con este valor de temperatura se obtiene de una Grafica de viscosidades para el aceite SAE

50 el valor de la viscosidad: o = 0.0115 Pa-s. Luego se puede obtener el huelgo empleando:

m119WB

wrc

c

r

W

wrB

rj

t

3

bbo

2

b

r

tbbo

j

Para la Condición de Carga Máxima

Con un valor de =2, en los gráficos de las Figuras 12.28, 12.30, 12.31 y 12.32 se obtienen

los siguientes valores:

- Bj = 0.35

- .rb/c = 8.7

- Q = 4.8

- qs/q = 0.72

El incremento de temperatura se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión:

C35

qq1Q

crW38T

s21

br

m

/

)/ (. *

La temperatura media se obtiene de

C51172

Ttt m

mim .

Con este valor de temperatura se obtiene de una Grafica de viscosidades para el aceite SAE

50 el valor de la viscosidad: o = 0.0083 Pa-s. Luego se puede obtener el huelgo empleando:

m432WB

wrc

c

r

W

wrB

rj

t

3

bbo

2

b

r

tbbo

j

.

Versión 2014


Observar la reducción del huelgo cuando se pasa de una configuración de mínima fricción a

máxima carga.

NOTA: Este es un problema simple de comparación entre condiciones de funcionamiento.

6. Problemas Propuestos

Problema 1. Tribología

Tres bloques iguales de Plástico soportan el peso de una guía de deslizamiento de acero. Al

principio cada bloque soporta un tercio del peso, pero el bloque central es de

politetrafluoretileno (PTFE) y los otros dos bloques exteriores son de polietileno,

consecuentemente se tienen diferentes constantes de desgaste: PTFE, k1 = 2 10-5; polietileno

k1 = 2 10-8. Calcule cómo se redistribuye la carga entre los bloques, si se supone que las

durezas de los plásticos son iguales.

Clave: la carga (que no importa el valor que tenga) se redistribuye en tanto que la tasa de

desgaste sea la misma para los dos materiales

Problema 2. Cojinetes

Un cojinete simple tiene un diámetro de 2 pulgadas y un ancho de una pulgada. El cojinete

completo opera a una velocidad de 2000 rpm y soporta una carga de 750 libras. Si se usa un

aceite SAE 20 con una temperatura de entrada de 110 °F, determinar:

a) La holgura radial para una capacidad de soporte de carga óptima, el incremento de la

temperatura y la temperatura media

b) Los parámetros de funcionamiento: el coeficiente de fricción, razón de flujo lateral y

ángulo de posición.

c) La viscosidad cinemática del aceite a la temperatura media si la densidad del aceite es de

0.89 g/cm3


Un cojinete completo se usa en una planta generadora de energía en Córdoba. El generador

tiene cuatro polos y suministra electricidad con una frecuencia de 50 Hz. El rotor pesa 30 ton.

y está apoyado equitativamente en dos cojinetes deslizantes. El diámetro del eje es de 300 mm

y cada cojinete tiene un ancho de 380 mm. Las superficies de los cojinetes y del eje están

rectificadas con un acabado superficial de Ra = 1 m. Calcule el cojinete para una pérdida de

potencia mínima, y el coeficiente de fricción, la razón de fuga del canal de alimentación de

aceite. Para asegurarse que los cojinetes son estables dinámicamente adoptar una relación de

excentricidad de 0.85 a 0.90 y calcular las pérdidas de potencia en el eje.


Una carga radial de 3.2 kN se aplica a un eje de 50 mm de diámetro que gira a 1500 rpm. Se

utiliza un cojinete como apoyo de la carga radial. El mismo tiene una razón de diámetro a

ancho de 1 (uno) y se lubrica con aceite SAE 20 con una temperatura de entrada de 35°C.

Calcule:

a) La temperatura media y el incremento de la temperatura en el cojinete

b) El espesor de película mínimo y su localización

c) La presión máxima y su localización

d) Los flujos volumétricos total y la fuga lateral.

Versión 2014


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