c4 amplificadores operacionales y aplicaciones e

Facultad de Ingeniería Mecánica

Edificio W Ciudad Universitaria

Morelia, Michoacán

Ignacio Franco Torres 2012-2013

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CAPITULO

4

AMPLIFICADORES OPERACIONALES Y APLICACIONES

(8 Hrs)

Objetivo: El alumno describirá el funcionamiento del AO y sus principales circuitos de aplicación, pudiendo utilizarlos para resolver problemas con él. 4.1 Historia de los AO……………………………………………………………………………………………………..(1 Hr) El concepto original del AO (amplificador operacional) procede del campo de los computadores analógicos, en los que comenzaron a usarse técnicas operacionales en una época tan temprana como en los años 40. El nombre de amplificador operacional deriva del concepto de un amplificador (amplificador acoplado en continua) con una entrada diferencial y ganancia extremadamente alta, cuyas características de operación estaban determinadas por los elementos de realimentación (feedback) utilizados. Cambiando los tipos y disposición de los elementos de realimentación, podían implementarse diferentes operaciones analógicas; en gran medida, las características globales del circuito estaban determinadas sólo por estos elementos de realimentación. De esta forma, el mismo amplificador era capaz de realizar diversas operaciones, y el desarrollo gradual de los amplificadores operacionales dio lugar al nacimiento de una nueva era en los conceptos de diseño de circuitos. Los primeros amplificadores operacionales usaban el componente básico de su tiempo: la válvula de vacío. En la figura de la derecha se muestra el Amplificador Operacional K2-W de propósito general a válvulas para usos en computación de George A. Philbrick Researches. Este AO fue introducido en 1952, una década antes de la primera versión transistorizada. Se muestra al AO con su empaque y sin su empaque de baquelita. El uso generalizado de los AO no comenzó realmente hasta los años 60, cuando empezaron a aplicarse las técnicas de estado sólido al diseño de circuitos amplificadores operacionales, fabricándose módulos que realizaban la circuitería interna del amplificador operacional mediante diseño discreto de estado sólido. En 1964 la compañía Fairchild Semiconductor introdujo el primer AO μA702 diseñado por Bob Widlar, en 1965 el uA709, el primer amplificador operacional monolítico ampliamente usado. Aunque disfrutó de un gran éxito, esta primera generación de amplificadores operacionales tenía muchas desventajas. Este hecho condujo a fabricar un amplificador operacional mejorado, el uA741.

Figura 4.1 Amplificador

Operacional K2-W de bulbos

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Debido a que es muy barato y sencillo de usar, el uA741 ha tenido un enorme éxito. Otros diseños del 741 han aparecido a partir de entonces en el mercado. Por ejemplo, Motorola produce el MC1741, National Semiconductor el LM741 y Texas Instruments el SN72741. Todos estos amplificadores operacionales son equivalentes al uA741, ya que tienen las mismas especificaciones en sus hojas de características. Para simplificar el nombre, la mayoría de la gente ha evitado los prefijos y a este amplificador operacional de gran uso se le llama simplemente 741. En unos pocos años los amplificadores operacionales integrados se convirtieron en una herramienta estándar de diseño, abarcando aplicaciones mucho más allá del ámbito original de los computadores analógicos. Con la posibilidad de producción en masa que las técnicas de fabricación de circuitos integrados proporcionan, los amplificadores operacionales integrados estuvieron disponibles en grandes cantidades, lo que, a su vez contribuyó a rebajar su coste. Hoy en día el precio de un amplificador operacional integrado de propósito general, con una ganancia de 100 dB, una tensión offset de entrada de 1 mV, una corriente de entrada de 100 nA y un ancho de banda de 1 MHz es inferior a 1 dólar. El amplificador, que era un sistema formado antiguamente por muchos componentes discretos, ha evolucionado para convertirse en un componente discreto él mismo, una realidad que ha cambiado por completo el panorama del diseño de circuitos lineales.

Figura 4.4 Diagrama interno de un AO 741

Con componentes de ganancia altamente sofisticados disponibles al precio de los componentes pasivos, el diseño mediante componentes activos discretos se ha convertido en una pérdida de tiempo y de dinero para la mayoría de las aplicaciones de baja frecuencia.

Figura 4.2 uA709C original en 2

empaques diferentes

Figura 4.3 uA741 metálicos (T0-5)



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Claramente, el amplificador operacional integrado ha redefinido las "reglas básicas" de los circuitos electrónicos acercando el diseño de circuitos al de sistemas. Lo que ahora debemos de hacer es conocer bien los AO, ¿Cómo funcionan?, ¿Cuáles son sus principios básicos? y estudiar sus aplicaciones. 4.2 Características Eléctricas Ideales de los Amplificadores Operacionales (1 Hr) El amplificador operacional ideal Los fundamentos básicos del amplificador operacional ideal son relativamente fáciles. Quizás, lo mejor para entender el amplificador operacional ideal es olvidar todos los pensamientos convencionales sobre los componentes de los amplificadores, transistores, tubos u otros cualesquiera. En lugar de pensar en ellos, piensa en términos generales y considere el amplificador como una caja con sus terminales de entrada y salida. Trataremos, entonces, el amplificador en ese sentido ideal, e ignoraremos qué hay dentro de la caja. En la Figura 4.5 se muestra un amplificador idealizado. Es un dispositivo de acoplo directo con entrada diferencial, y un único terminal de salida. El amplificador sólo responde a la diferencia de tensión entre los dos terminales de entrada, no a su potencial común. Una señal positiva en la entrada inversora (-) produce una señal negativa a la salida, mientras que la misma señal en la entrada no inversora (+) produce una señal positiva

en la salida. Con una tensión de entrada diferencial, dV la tensión de salida, OV será daV donde a es la ganancia del amplificador. Ambos terminales de entrada del amplificador se utilizarán siempre independientemente de la aplicación. La señal de salida es de un sólo terminal y está referida a masa, por consiguiente, se utilizan tensiones de alimentación bipolares (±VCC). Teniendo en mente estas funciones de la entrada y salida, podemos definir ahora las propiedades del amplificador ideal. Son las siguientes:

La ganancia de tensión es infinita. A

La resistencia de entrada es infinita. Ri

La resistencia de salida es cero. 0Ro

El ancho de banda es infinito. HzBW

La tensión offset de entrada es cero. VVdsíVVO 00

La salida es función de la ganancia. VdAVO

A partir de estas características del AO, podemos deducir otras dos importantes propiedades adicionales. Puesto que, la ganancia en tensión es infinita, cualquier señal de salida que se

Figura 4.5 Diagrama de un Amplificador

Operacional ideal



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desarrolle será el resultado de una señal de entrada infinitesimalmente pequeña. Luego, en resumen:

La tensión de entrada diferencial ( dV ) es nula (0 Volts).

También, si la resistencia de entrada es infinita, no existe flujo de corriente en ninguno de los terminales de entrada Estas dos propiedades pueden considerarse como axiomas y se emplearán repetidamente en el análisis y diseño del circuito del AO. Una vez entendidas estas propiedades, se puede, lógicamente, deducir el funcionamiento de casi todos los circuitos amplificadores operacionales. 4.2.1 Ganancia de Voltaje (AV).

La ganancia de tensión es infinita. AV Esto representa que puede amplificar cualquier señal de entrada tan pequeña incluso casi cercana a cero. 4.2.2 Impedancia de Entrada (Zin ó Zent)

La Zin o Zent es infinita Zin

Esto representa que el AO presenta una carga nula a la fuente de señal que pretende amplificar con Zin la corriente que demanda el AO es nula y no produce caída de tensión en la

fuente de señal. 4.2.3 Impedancia de Salida (Zout ó Zsal)

La Zout o Zsal es infinita 0Zout

Esto representa que el AO puede proporcionar un voltaje de salida constante a cualquier carga que se le conecte (se comporta como una fuente ideal de Voltaje). 4.2.4 Ancho de Banda BW

Ancho de Banda o Band Width es infinita BW

Esto representa que el AO puede amplificar cualquier señal desde CD hasta cualquier frecuencia. 4.3 Características Eléctricas No Ideales (reales) de los AO (1 Hr) Aquí se describen los parámetros del AO Real que hacen la diferencia del AO Ideal. 4.3.1 Offset. Vimos que en un AO ideal, si la diferencia de voltaje entre sus entradas es cero, su salida es nula. En la práctica esto no es así. El voltaje presente a la salida de un AO ante una entrada diferencial nula se denomina voltaje offset de salida. Este voltaje, aunque pequeño, es una fuente de error en el desempeño de circuitos con AO.



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El valor del voltaje offset de salida no se indica en las hojas de datos porque depende de ciertos factores, pero se puede calcular. La fuente de este voltaje de desbalance se encuentra en el voltaje offset de entrada y en las corrientes de entrada al AO.

Para minimizar el efecto del voltaje offset de entrada, los pasos a seguir son:

Diseñar un circuito con una ganancia de lazo cerrado lo más pequeña posible (a la vez que cumple con las especificación de diseño).

Seleccionar un AO con un valor de Vio (Input Offset Voltage) pequeño. Para minimizar el efecto de las corrientes de entrada, los pasos a seguir son:

Seleccionar un AO con un valor de IB (Input Bias Current) pequeño como los que tienen etapa de entrada con transistores de efecto de campo (prefijo LF) en lugar de los bipolares comunes.

Colocar un resistor en serie con la entrada no inversora

Figura 4.10 Compensación de Input Bias Current.

Siguiendo los pasos anteriores no se logra anular el offset, se pueden emplear AO que incorporen en su diseño la posibilidad de conectar externamente un potenciómetro para lograr el ajuste a cero. Estos AO se caracterizan por poseer terminales denominadas offset null. En la hoja de datos del fabricante correspondiente se indica cómo efectuar las conexiones externas. Por ejemplo: Si el AO utilizado no cuenta con las terminales offset null, existe la posibilidad de agregar un circuito compensador externo.

Figura 4.12 Ajuste de offset externo para AI y ANI (método general).

Figura 4.11 Amplificador

con compensación de offset interno (método

particular)



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4.3.2 Slew Rate (velocidad de cambio). El Slew Rate (SR), es básicamente una medida

que nos indica la capacidad que tiene el amplificador para suministrar una tensión en respuesta a un "pico" rápido y de corta duración aplicada a la entrada de señal. Técnicamente, diremos que es la tensión que nos puede entregar un amplificador en un tiempo de Seg1 .

A nivel de usuario, diríamos que valora la velocidad de subida del amplificador. Para diferentes variaciones de nivel de señal, valora el tiempo de respuesta del amplificador a picos de señal. Se

mide en Seg

V

.

Definición: El Slew Rate (SR): Es la variación o rapidez del cambio de voltaje en la respuesta de salida. Cuanto mayor sea este valor, mejor es la respuesta del amplificador; se relaciona con la reproducción de altas frecuencias. Una etapa con un Slew Rate pobre sonará poco clara a altas frecuencias, mientras que una etapa con un valor alto, reproducirá más nítidamente las altas frecuencia.

El Slew Rate (SR) para el 741 es de Seg

V

5.0 y se puede expresar por la fórmula:

outVdt

dSR

Para una entrada senoidal:

twSenVV Pout )( ,

El Pout VwVdt

dSR

Donde:

w Es la frecuencia de la señal.

PV Es el voltaje pico de la senoidal.

Se puede también representar el Slew Rate, como: PVfSR 2

Ejemplo. Si f=1 MHz, y Seg

VSR

5.0 , encontrar el PV máximo de la señal a amplificar sin que

sufra distorsión.

mVMhz

Seg

V

f

SRVP 80

12

5.0

2

4.3.3 CMRR (Common-Mode Rejection Ratio) o RRMC (Relacion de Rechazo en Modo Comun). El amplificador será más ideal, respecto a la ganancia, cuanto más se acerque a la condición

AA vcvd (Ganancia de voltaje diferencial >> Ganancia de voltaje común). Para obtener una

indicación de la bondad del amplificador a ese respecto, se define la denominada razón de rechazo de modo común (RRMC) de la siguiente forma:

A

A = = RRMC

vc

vd

vdA Ganancia en modo diferencial

vcA Ganancia en modo común.



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RRMC Expresada en dB

vc

vd

A

A= =dBRRMC log20)(

Es evidente que cuanto mayor sea esta relación mejor será el amplificador en referencia a la ganancia diferencial.

4.3.4 Respuesta en la Frecuencia. La respuesta e la frecuencia de un amplificador operacional es uno de sus aspectos más importantes. Se entiende por respuesta a la frecuencia el intervalo de frecuencias en las que la ganancia de tensión del amplificador operacional permanece constante. La respuesta en la frecuencia se describe mejor mediante un diagrama o gráfica de Bode como el de la figura 4.11. La gráfica describe la respuesta de un amplificador operacional con una ganancia de tensión en lazo abierto (Av en LA) de 105 (o sea, 100 dB) hasta 10 Hz y una ganancia unidad para frecuencias de 1 MHz Puede observarse que la ganancia de los amplificadores operacionales decrece para altas frecuencias con un valor uniforme de 20 dB por década a partir, en el caso de lazo abierto, de 10 Hz aproximadamente. Es obvio que este ancho de banda es muy pequeño y que debe sacrificarse la ganancia para obtener un intervalo de respuesta de frecuencia más grande. Los fabricantes especifican esta característica usando el concepto de Ancho de Banda de tal manera que el ancho de banda (BW) de la gráfica analizada es de 1 Mhz, pero con la especificación se debe revisar que a 1Mhz la Av=0dB ó una Av=1 4.5.6 Respuesta de la frecuencia en lazo cerrado (LC) (retroalimentación negativa) En la figura 4.12, puede verse el esquema de un amplificador con realimentación negativa cuya ganancia ha bajado de 105 (100 dB) en lazo abierto a 100 (40 dB) pero su respuesta de frecuencia se amplía hasta casi 100 KHz.

Figura 4.12 Respuesta de un Amplificador Operacional En Lazo Cerrado

Figura 4.11 Respuesta a la frecuencia del AO en Lazo

abierto (LA)



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Si la realimentación fuese tan fuerte como para reducir la ganancia a la unidad, el ancho de banda se prolongaría hasta el punto de cruce (0 dB) cuya frecuencia resulta ser 1 MHz. La respuesta en frecuencia o ancho de banda de un amplificador operacional se puede cambiar por medio de la realimentación a los valores deseados, con lo cual se extiende la operación de amplificación a frecuencias más altas, dependiendo el tipo exacto de realimentación del amplificador específico que se desee proyectar. Se puede concluir que el producto de la Ganancia de Voltaje (AV) por el Ancho de Banda (BW) se

mantiene constante. KBWAV

Ejemplo: Si un amplificador tiene un ancho de banda BW=1 Mhz y una AV de Lazo Abierto (LA) 105 =100 dB. Se quiere usar en Lazo Cerrado (LC) con una Av de 40 dB eso significa que la Av se reducirá pero la frecuencia se aumenta de 100 Hz a aproximadamente 100Khz, ya que en la gráfica se observa que la ganancia de 105=100 dB se da solo hasta 100 Hz 4.4 Circuitos Lineales básicos del Amplificador Operacional…………………………………………….(1 Hr) 4.4.1 Amplificador Inversor. La Figura 4.13 ilustra la primera configuración básica del AO. El amplificador inversor. En este circuito, la entrada (+) está a masa, y la señal se aplica a la entrada (-) a través de R1, con realimentación desde la salida a través de R2. Aplicando las propiedades anteriormente establecidas del AO ideal, las características distintivas de este circuito se pueden analizar como sigue.

Figura 4.13 Esquema del Amplificador Inversor (AI).

Puesto que el amplificador tiene ganancia infinita, desarrollará su tensión de salida OV , con

tensión de entrada nula. Ya que, la entrada diferencial de Amplificador es:

0 dd VVVV



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Y si VVd 0 , entonces toda la tensión de entrada inV deberá aparecer en R1, obteniendo una

corriente en R1 de 1R

VI i , por consiguiente

V está a un potencial cero, es un punto de “tierra

virtual”. Toda la corriente I que circula por R1 pasará por RF, puesto que no se derivará ninguna corriente hacia la entrada del operacional (Impedancia infinita), así pues el producto de I por R2 será igual a -V0

1R

VI i y también:

F

OUT

R

VI por lo que:

F

OUTi

R

V

R

V

1

y iF

OUT VR

RV

1

Luego la ganancia del amplificador inversor: 1R

R

V

VA F

i

OUTV

Deben observarse otras propiedades adicionales del amplificador inversor ideal.

La ganancia se puede variar ajustando R1 ó RF.

Si R2 varía desde cero hasta infinito, la ganancia variará también desde cero hasta infinito, puesto que es directamente proporcional a RF.

La impedancia de entrada es igual a R1, y Vi y R1 únicamente determinan la corriente I, por lo que la corriente que circula por RF es siempre I, para cualquier valor de dicha RF.

La entrada del amplificador, o el punto de conexión de la entrada y las señales de realimentación, es un nodo de tensión nula, independientemente de la corriente I. Luego, esta conexión es un punto de tierra virtual, un punto en el que siempre habrá el mismo potencial que en la entrada (+). Por tanto, este punto en el que se suman las señales de salida y entrada, se conoce también como nodo suma.

Esta última característica conduce al tercer axioma básico de los amplificadores operacionales, el cual se aplica a la operación en bucle (lazo) cerrado:

En lazo cerrado, la entrada (-) será regulada al potencial de entrada (+) o de referencia. Esta propiedad puede aún ser o no ser obvia, a partir de la teoría de tensión de entrada de diferencial nula. Es, sin embargo, muy útil para entender el circuito del AO, ver la entrada (+) como un terminal de referencia, el cual controlará el nivel que ambas entradas asumen. Luego esta tensión puede ser masa (como en la Figura 4.13), o cualquier potencial que se desee.

4.4.2 Amplificador No Inversor (ANI). La segunda configuración básica del AO ideal es el

amplificador no inversor, mostrado en la Figura 4.14. Este circuito ilustra claramente la validez del axioma 3.



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Figura 4.14 Amplificador No Inversor (ANI).

En este circuito, la tensión Vin se aplica a la entrada (+), y una fracción de la señal de salida, VOUT, se aplica a la entrada (-) a través del divisor de tensión R1 y RF. Puesto que, no fluye corriente de entrada en ningún terminal de entrada, y ya que Vd=0V, la tensión en R1 será igual a Vin.

Así pues: 1RIVin y como )( 1 Fout RRIV tendríamos que: )( 1

1

Fin

out RRR

VV si lo

expresamos en términos de ganancia: 11

1 1R

R

R

RR

V

V FF

in

out

que es la ecuación característica

de ganancia para el amplificador no inversor ideal. También se pueden deducir propiedades adicionales para esta configuración.

El límite inferior de ganancia se produce cuando RF=0, lo que da lugar a una ganancia unitaria.

En el amplificador inversor, la corriente a través de R1 siempre determina la corriente a través de RF, independientemente del valor de RF, esto también es cierto en el amplificador no inversor. Luego RF puede utilizarse como un control de ganancia lineal, capaz de incrementar la ganancia desde el mínimo unidad hasta un máximo de infinito.

La impedancia de entrada es infinita, puesto que se trata de un amplificador ideal. 4.4.3 Amplificador Seguidor o Buffer. Una modificación especial del amplificador no inversor es la configuración con ganancia unitaria mostrada en la Figura 4.8.

Figura 4.8 Amplificador Seguidor de Tensión.



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En este circuito, la resistencia de entrada R1 se ha incrementado hasta infinito ( ) y R2 es cero, y la realimentación es del 100%. Vout es entonces exactamente igual a Vin, debido a que la

ganancia de la configuración no inversora está dada por 1

1R

R

V

V F

in

out y con los valore de R1= y

RF=0 entonces: 10

111

R

R

V

V F

in

out es decir inout VV . El circuito se conoce como "seguidor

de tensión" puesto que la salida outV es una réplica en fase con ganancia unitaria de la tensión

de entrada inV .

La impedancia de entrada de esta etapa es también infinita.

4.5 Circuitos Lineales de aplicación del Amplificador Operacional………………….(1 Hr) 4.5.1 Sumador Inversor. Utilizando la característica de tierra virtual en el nodo suma (-) del amplificador inversor, se obtiene una útil modificación, el sumador inversor, figura 4.9. En este circuito, como en el amplificador inversor,

la tensión )(V está conectada a masa, por lo que

la tensión )(V estará a una masa virtual, y como

la impedancia de entrada es infinita toda las

corriente 1I , 2I ,… nI circularan a través de FR y

la llamaremos FI . Lo que ocurre en este caso es

que la corriente FI . es la suma algebraica de las corrientes proporcionadas por 1V , 2V , y Vn ,

es decir: n

nF

R

V

R

V

R

VI

2

2

1

1 y también F

OF

R

VI

Del circuito concluiremos que:

n

Fn

FFO

R

RV

R

RV

R

RVV

2

2

1

1 que establece que la tensión

de salida es la suma algebraica invertida de las tensiones de entrada multiplicadas por un factor corrector. El alumno puede observar que si: RF = R1 = R 2 = R n VO = - (V1 + V2 + Vn) La ganancia global del circuito la establece RF, la cual, en este sentido, se comporta como en el amplificador inversor básico. A las ganancias de los canales individuales se les aplica independientemente los factores de escala R1, R2, Rn. Del mismo modo, R1, R2 y Rn son las impedancias de entrada de los respectivos canales.

Figura 4.9 Amplificador sumador inversor.



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Otra característica interesante de esta configuración es el hecho de que mezcla las señales lineales, en el nodo suma, no produce interacción entre las entradas, puesto que todas las fuentes de señal alimentan el punto de tierra virtual. El circuito puede acomodar cualquier número de entradas añadiendo resistencias de entrada adicionales en el nodo suma. Ejemplos Interesantes del Amplificado Sumador Inversor son el Convertidor Digital Analógico de Resistencias Ponderadas y el de R-2R.

Figura 4.10 Convertidor Digital-Analógico

Resistencias Ponderadas

Figura 4.11 Convertidor Digital-Analógico R-2R

de 6 Bits

4.5.2 Sumador no Inversor. En la figura 4.12 se observa el circuito de un sumador de dos entradas

Figura 4.12 Amplificador Sumador no Inversor

43;21 IIII

2

22;

1

11;

33;

4

04

R

VVEI

R

VEVI

R

VEVoI

R

VEI

)2(1)1(22

2

1

1VVERVEVR

R

VVE

R

VEV

211221121221 RVERVERVRVRVRVERVERV

)21(1221211221 RRVERVRVRVERVERVRV

)21(

1221

RR

RVRVVE

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VERVERVoRVERVEVoRR

VE

R

VEVo

3443)(4

43

43

4)43(4434

RR

VoRVERRVEVoRVERVERVoR

Si igualamos las dos expresiones de VE:

4

43

21

)1221(

21

1221

43

4

R

RR

RR

RVRVVo

RR

RVRV

RR

VoR

La expresión final de Vo se puede simplificar para el supuesto de que el valor en paralelo de R1 y R2 sea igual al valor en paralelo de R3 y R4.

)21(21

4343

43

43

21

21RR

RR

RRRR

RR

RR

RR

RR

4

21

43

)1221(4

)21(21

43

21

)1221(

R

RR

RR

RVRVVoR

RRRR

RR

RR

RVRVVo

21

3)1221(

RR

RRVRVVo

2

1

31

1

3V

R

RV

R

RVo

4.5.3 Restador. Es una combinación de las dos configuraciones anteriores. Aunque está basado en los otros dos circuitos, el amplificador diferencial tiene características únicas. Este circuito, mostrado en la figura 4.13, tiene aplicadas señales en ambos terminales de entrada, y utiliza la amplificación diferencial natural del amplificador operacional. Para comprender el circuito, primero se estudiarán las dos señales de entrada por separado, y después combinadas. Como siempre Vd=0 y la corriente de entrada en los terminales es cero. Recordar que Vd=V(+)-V(-)V(-)=V(+). Denominaremos la tensión a la salida debida a V1 la llamaremos V01

El voltaje en la entrada no inversora: 2

21

1)( RRR

VV

y V(+)=V(-)

La tensión de salida debida a V1 (suponiendo V2 = 0) valdrá:3

43

21

211R

RR

RR

RVVo

Y la salida debida a V2 (suponiendo V1 = 0) será, usando la ecuación de la ganancia para el

circuito inversor, 3

422

R

RVVo

Figura 4.13 Amplificador Restador.



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Y dado que, aplicando el teorema de la superposición la tensión de salida V0 = V01 + V02 y por

lo que la salida será:

3

42

3

43

21

2121R

RV

R

RR

RR

RVVoVoVO

Si hacemos que R1 =R3 y = R2 =R4 tendremos que: 3

411R

RVVo

y 2

3

42 VR

RVo

por lo cual concluiremos: 3

421 )(

R

RVVVO

que expresando en términos de ganancia: 3

4

21 R

R

VV

VO

Que es la ganancia de la etapa para señales en modo diferencial. Esta configuración es única porque puede rechazar una señal común a ambas entradas. Esto se debe a la propiedad de tensión de entrada diferencial nula, que se explica a continuación. En el caso de que las señales V1 y V2 sean idénticas, el análisis es sencillo. V1 se dividirá entre R1 y R2, apareciendo una menor tensión V(+) en R2. Debido a la ganancia infinita del amplificador, y a la tensión de entrada diferencial cero, una tensión igual V(-) debe aparecer en el nodo suma (-). Puesto que la red de resistencias R3 y R4 es igual a la red R1 y R2, y se aplica la misma tensión a ambos terminales de entrada, se concluye que VOUT debe estar a potencial nulo para que V(-) se mantenga igual a V(+); VOUT estará al mismo potencial que R2, el cual, de hecho está a masa. Esta muy útil propiedad del amplificador diferencial, puede utilizarse para discriminar componentes de ruido en modo común no deseables, mientras que se amplifican las señales que aparecen de forma diferencial.

Si se cumple la relación1

2

3

4

R

R

R

R , La ganancia para señales en modo común es cero, puesto que,

por definición, el amplificador no tiene ganancia cuando se aplican señales iguales a ambas entradas. Las dos impedancias de entrada de la etapa son distintas. Para la entrada (+), la impedancia de entrada es R1+R2. La impedancia para la entrada (-) es R3. La impedancia de entrada diferencial (para una fuente flotante) es la impedancia entre las entradas, es decir, R1+R3. 4.5.4 Integrador (inversor). Se ha visto que ambas configuraciones básicas del AO actúan para mantener constantemente la corriente de realimentación, IF igual a IIN.



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Figura 4.14 Integrador Inversor (a) Teórico y (b) Practico.

Una modificación del amplificador inversor, el integrador, mostrado en la figura 4.14, se

aprovecha de esta característica. Se aplica una tensión de entrada iV , a GR , lo que da lugar a

una corriente INI como ocurría en el amplificador inversor, 0)( V , puesto que 0)( V , y por

tener impedancia infinita toda la corriente de entrada INI pasa hacia el condensador FC ,

llamaremos a esta corriente FI .

Conocemos que:

Faradios=Voltaje

aC

V

QC

arg (1) y Q

CV

1 (2)

Como la carga Q en el capacitor C es la acumulación de corriente en el capacitor multiplicado por el tiempo de la forma que:

idtQ (3) y idtC

v1

(4)

Donde v = valor instantáneo de voltaje en el capacitor. Aplicando estas ecuaciones al circuito de la figura 4.14

La corriente en la ING IR y G

iIN

R

vI (5) y CFO Vv dtI

Cv IN

F

O

1 (6) reemplazando 5

en 6 y como FIN II , tenemos que: dtIC

v F

F

O

1 dt

R

v

Cv

G

i

F

O

1 ó

dtvRC

v i

GF

O

1 (7)

El elemento de realimentación en el integrador es el condensador FC . Por consiguiente, la

corriente constante FI , en FC da lugar a una rampa lineal de tensión (fuente de corriente

constante). La tensión de salida es, por tanto, la integral de la corriente de entrada, que es

forzada a cargar FC por el lazo de realimentación.



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Como en otras configuraciones del amplificador inversor, la impedancia de entrada es

simplemente GR

Obsérvese el siguiente diagrama de señales para este circuito integrador inversor Por supuesto la rampa dependerá de los valores de la señal de entrada, de la resistencia y del condensador. 4.5.5 Derivador. Una segunda modificación del amplificador inversor, que también aprovecha la corriente en un condensador es el diferenciador mostrado en la figura 4.16.

Figura 4.16 Amplificador Derivador.

En este circuito, la posición de R y C están al revés que en el integrador, estando el elemento capacitivo en la red de entrada. Luego la corriente de entrada obtenida es proporcional a la tasa de variación de la tensión de entrada:

El voltaje de entrada será: dtIC

v INi

1 (8) y el voltaje de salida será: fFO RIv (9)

reemplazando 9 en 8 y como fIN II

tenemos que: dtR

v

Cv

f

Oi

1 ó

dtv

RCv O

f

i

1, (10)

Derivando ambos términos queda la ecuación (10)

O

f

i vRCdt

dv

1 Por lo que

dt

dvCRv i

fO (11)

Obsérvese el siguiente diagrama de señales para este circuito

Figura 4.15 entrada y salida del Integrador



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Figura 4.17 Entrada y salida de un derivador inversor

4.6 Aplicaciones No lineales del AO…………………………………………………………………………………(1 Hr) 4.6.1 Comparadores Comparadores Inversores: Son aquellos en que la entrada se realiza sobre la terminal inversora, siendo la terminal no inversora a la que se aplica la tensión de referencia, la Figura 4.18 a) muestra el esquema de dicho comparador. Dicho comparador responde al siguiente comportamiento

refisato

VVVV si

refisato

VVVV si

Comparadores No inversores: Las funciones de las terminales de entrada están cambiadas con respecto del anterior, siendo el circuito mostrado en la Figura 4.18 b) el esquema típico de este tipo de comparadores. Este comparador responde al siguiente comportamiento.

refisato

VVVV si

refisato

VVVV si

Figura 4.18 Esquemas básicos de los Comparadores y sus salidas

Cuando se alimenta al AO en forma asimétrica, esto es, VVcc

12 y Vcc

V 0 ; los valores de

saturación positiva y negativa serán aproximados a estos, esto es:



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VVsat

12

VVsat

0

Comparadores tipo ventana. Estos comparadores están formados básicamente por un comparador inversor y un comparador no-inversor, y pueden ser usados para monitorear cuando un voltaje está por encima o por debajo de ciertos límites prescritos.

Figura 4.19 Comparador de ventana

RESUMEN: Comparadores: Comparan una señal de entrada con una referencia. Su salida son pulsos discretos y tiene 2 tipos de salida, o bien alto (Vsat positivo) y bajo (Vsat negativo). Se clasifica en inversor y no inversor. Si Vi > 0 entonces Vo es +Vsat, si Vi < 0 entonces Vo es -Vsat.

Figura 4.20 Curva de transferencia y señales entrada salida de un comparador con Vref=0 V

Si el voltaje en la entrada inversora es diferente de cero la forma de la onda de salida en función del voltaje nos queda:

Figura 4.21 Curva de transferencia y señales entrada/salida de un comparador con Vref <0V



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Figura 4.22 Curva de transferencia y señales entrada/salida de un comparador con Vref >0V

No siempre es conveniente trabajar con ±Vsat, entonces podemos colocar limitantes de tensión de salida.

Figura 4.22 Comparador con limitación en su salida usando diodos Zener

Nota: El diodo Zener fija el valor del voltaje de salida a su valor Zener. Comparador inversor con histéresis o comparador regenerativo.

Figura 4.23 Comparador inversor con histéresis o comparador regenerativo (retroalimentación

positiva) En este comparador la señal de entrada Ve puede oscilar entre una gama de valores antes que la salida cambie de estado. En principio si Ve<0 V, la salida Vo satura a positivo. Si queremos cambiar de estado la salida deberemos aplicar una Ve mayor que el voltaje en R2. Esta tensión deberá ser:

221

RRR

Vsat

pV



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Una vez superada Vp, el operacional saturara a negativo por lo cual para volver a cambiar su estado deberemos aplicar una tensión más negativa que la VR2. Es decir:

221

RRR

Vsat

vV

El resultado es que mientras la señal de entrada esté entre los valores de Vv y Vp la salida no cambiará de estado. Comparador no inversor con histéresis.

Figura 4.24 Comparador no inversor con histéresis o comparador regenerativo

(Retroalimentación positiva) y su curva de transferencia Supongamos: Vsal=+Vsat

21

2)(22

2122

RR

VeRVsatRVeVaR

RR

VeVsatVRVRVeVa

21

2

21

1

21

2

21

2

21

2

21

1

RR

RVsat

RR

RVe

RR

RVe

RR

RVsat

RR

RVe

RR

RVeVa

VsatVsalVa 0

21021021

2

21

1RVsatRVeRVsatRVe

RR

RVsat

RR

RVe

VsatR

RVsatVe

1

2

Se tiene que:

1

2'

1

2

R

RVsatVa

R

RVsatVa

Histéresis: Es el retraso que sufre la señal de salida al cambiar. Existe en algunos circuitos electrónicos y válvulas que se utilizan en el control de procesos industriales. Vh=Vds-Vdi, en donde Vds es el voltaje de disparo superior y Vdi es el voltaje de disparo inferior. 4.6.2 Osciladores y Temporizadores.



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Oscilador=Circuito que produce una señal de salida sin que le apliquemos una de entrada.

Temporizador=Circuito que puede medir o contar el tiempo Es de todos conocido que la variable tiempo (t) es muy importante dentro de la vida de los humanos, esto lo ha llevado a medirla de diferentes formas desde el reloj de sol de la antigüedad hasta los modernos relojes electrónicos, sin embargo en cada uno de los diferentes métodos usados para medir dicha variable física el hombre ha usado dos principios básicos:

Comparar el tiempo a medir (t) con un fenómeno físico que se conoce el tiempo que dura en que suceda. (reloj de sol, de agua, de arena, de vela, etc.)

Contar repetidamente un tiempo conocido de un fenómeno físico que se repite cíclicamente de manera natural (péndulo, longitud de onda, oscilador electrónico)

En este tema usaremos coma base de la medición del tiempo la primera forma de medirlo y para ello analizaremos un fenómeno físico eléctrico que nos permita por comparaciones obtener tiempos deseados y ondas o señales que se repitan a un tiempo predeterminado. Dicho circuito eléctrico de interés y utilidad en este tema es el Circuito RC y analizaremos la carga del capacitor a través del voltaje Vc que se genera en el mismo con el transcurso del tiempo. ECUACIÓN DE TEMPORIZACIÓN GENERALIZADA El circuito usado para obtener una ecuación que relacione el tiempo t con el voltaje en el capacitor Vc en un circuito serie RC como se muestra en figura 4.24 a) y de la forma del Vc que se da en capacitor como se muestra en la figura 4.24 b)

Figura 4.24 a) Circuito RC básico

Figura 4.24 b) Vc en el capacitor C

La ecuación diferencial que corresponde al circuito RC dado tiene la forma:

VC

q

dt

dqRVVV CR

Resolviendo para Vc tendríamos que: RC

t

VeVVc



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Si evaluamos esta ecuación para T1 RC

T

VeVV1

1

y para T2 RC

T

VeVV2

2

Para un intervalo de tiempo T=T2-T1 hacemos que:

V

VVLnRCTVeLnVLnVLn RC

T

111

1

V

VVLnRCTVeLnVLnVLn RC

T

222

2

V

VV

V

LnRCT

V

VVV

VV

LnRCTTT2

1

2

1

12

1

1

De esta última ecuación se observa que T depende de R y C y de los Voltajes V1 y V2 Para que T este en segundos R esta en ohms, C en faradios, V1 y V2 en volts. MULTIVIBRADOR ASTABLE O GENERADOR DE ONDA CUADRADA. APLICACIÓN NO LINEAL. Utilizando realimentación positiva y negativa a la vez en un operacional, es posible diseñar un oscilador de onda cuadrada, también denominado multivibrador astable. En esencia el funcionamiento es el siguiente: por las propias asimetrías del circuito o del operacional, una de las entradas del operacional tendrá más tensión que la otra, lo que hará que en cuanto se conecte la alimentación entre en saturación. Si el A.O. está saturado positivamente es decir Vo=+Vcc, C1 se cargará a través de R3. Esta tensión de C1 se compara con la tensión en R2 (que es una fracción de Vo) de forma que cuando el voltaje en el capacitor (Vc) llegue a igualar a la tensión en R2 el A.O. (comparador) se equilibrara y en ese momento Vo=0V y como en la entrada inversora hay una tensión VC positiva el operacional satura inmediatamente a negativo (-Vcc), estableciéndose una proceso primero de descarga y luego de carga en sentido contrario del condensador, hasta que VC llega de nuevo a igualar la tensión en R1, momento en que el comparador se equilibra de nuevo Vo=0V, y como consecuencia se comparan los 0V en la entrada no inversora con la tensión negativa de C1 en la inversora, lo que hace que el A.O. sature a positivo (+Vcc). Se inicia así un nuevo ciclo en el que

Figura 4.25 Multivibrador Aestable con AO



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se vuelve a repetir el proceso anterior y sucesivamente la Vo pasará de la saturación positiva a la negativa, con lo que la onda resultante será una onda cuadrada. A la hora de realizar los cálculos del circuito nos encontramos con un problema, ¿cuánto tiempo pasa en un condensador de tener una tensión a tener otra?. Esta pregunta la contestaremos con la expresión matemática de la ecuación general de temporización:

V

VV

V

LnRCT

V

VVV

VV

LnRCTTT2

1

2

1

12

1

1

Para este caso tenemos que adaptarla:

R=R3, C=C1, 221

1 RRR

VccV

, 2

212 R

RR

VccV

y V=Vcc.

1

22113

21

21

21

21

13

221

221

13R

RRLnCR

RR

RRR

R

LnCR

Vcc

RRR

VccVcc

Vcc

RRR

VccVcc

LnCRT

Por lo que la frecuencia del oscilador quedaría:

1

221132

11

R

RRLnCR

TTF

Obtención de frecuencias variables

Figura 4.26 Obtención de Frecuencias Variables en el Multivibrador Aestable con AO

Obtención de t1 y t2 distintos y variables: se muestra en la figura 4.27 donde se observa que mediante diodos se puede aislar el tiempo de carga y el de descarga y de esta manera controlar los tiempos t1 y t2 de manera independiente.



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4.7 Timer 555………………………………………………………(2 Hrs) EL circuito integrado 555 se le denomina Timer o Temporizador, está fabricado con tecnología BJT y comercialmente lo fabrican varias compañías con diferentes matriculas como: LM555, RC555, UA555, etc. En la actualidad por su popularidad se ha desarrollado una versión en CMOS cuya matrícula es TLC555. En la Fig. 4.28 se muestra un diagrama de asignación de terminales para el empaquetado DIP de 8 terminales así como un diagrama a bloques de sus principales partes.

Figura 4.28 Distribución de terminales del 555 y Diagrama a bloques

Terminal Nombre Descripción o función del terminal

1 Gnd (Tierra) Tierra del Circuito Integrado

2 Trigger (Disparo) Hace la salida (3 Output) = Vcc si el Voltaje en esta patita es < 1/3 Vcc (Voltaje en el terminal 8)

3 Output (Salida) El voltaje en esta terminal solo puede ser Vcc ó Gnd

4 _____ Reset (Reiniciar)

Hace la salida (3 Output) = Gnd si se aterriza esta terminal. Se conecta a Vcc (8) para desactivarla

5 Vcon (Voltaje de Control)

El voltaje normal es de 2/3 del terminal 8, Pero se puede alterar cambiando el funcionamiento del circuito integrado(sino se usa conecte un C=0.1 uF entre este terminal (5) y el de tierra (1)

6 Threshold (Umbral) Cuando el voltaje aplicado a este terminal es 2/3 Vcc ó Mayor Obliga a que la Salida ( 3 Output ) se haga Gnd

7 Discharge (Descarga) Esta terminal esta conectado al colector de un transistor lo cual permite descargar al capacitor externo cuando la salida (3 Output) es Gnd.

8 Vcc (+Vcc) Fuente de alimentación del CI que puede ir de 5 a 18 Volts aproximadamente.

Figura 4.27 Obtención de TL y TH

variables en el Multivibrador Aestable con AO



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Este CI ha generado una “familia” de CI donde hay dos 555 se le llama 556, y el circuito con cuatro 555 y se le denomina 558. 4.7.1 Modos de Operación: Oscilador (Aestable) y temporizador (Monoestable) MODO OSCILADOR (AESTABLE) Cuando al circuito se le aplica Vcc, el circuito empieza a trabajar siguiendo las siguientes condiciones:

El terminal #3 que es la salida se hace igual a Vcc cuando el voltaje en el terminal #2 se

hace menor a Vcc3

1 ( Vcc

3

1 )

El terminal #3 de salida cambia a 0 Volts cuando el voltaje en el terminal #6 es mayor

a Vcc3

2 ( Vcc

3

1 )

Si existe una situación donde se cumplan las dos anteriores simultáneamente, la salida (terminal #3) no se puede predecir si será Vcc o 0 Volts. Es una condición no permitida de operar al CI. Por las experiencias en la forma de funcionamiento de varios CI de diferentes marcas si se opera como la condición 3 la salida oscilara rápidamente entre Vcc y 0 Volts. En la mayoría de los Casos

NOTA: El capacitor se cargará desde Vcc3

1 hasta Vcc

3

2 (a excepción del primer ciclo donde se

empieza a cargar desde 0 Volts) y se descargara desde Vcc3

1 hasta Vcc

3

2.

La carga se lleva a cabo en el tiempo: V

VV

V

LnCRbRaTT2

1

11

12 )(

y mientras se esté cargando

la salida (terminal #3) será Vcc.

Para este caso: V1= Vcc3

1, V2= Vcc

3

2 y V=Vcc

Vcc

Vcc

Vcc

Vcc

LnCRbRaTT3

2

1

3

1

1

12 )(

Figura 4.29 Oscilador con 555



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)2()(12 LnCRbRaTT , Denominado TH (Tiempo en al alto) debido a que la salida

del 555 es Vcc.

La descarga se lleva a cabo en el tiempo

Vcc

Vcc

Vcc

Vcc

LnCRbTT3

2

1

3

1

1

12 y mientras se está

descargando la salida (terminal # 3) será 0 Volts.

)2(12 LnCRbTT , Denominado TL (Tiempo en Bajo) debido a que la salida del 555

esta en 0Volts. Resumiendo: Como Ln(2)=0.693

A) TH = Tiempo el alto (Salida=Vcc) CRbRaTH )(693.0 ,

B) TL = Tiempo en Bajo (Salida=0 Volts) CRaTL 693.0

Para la ecuaciones A y B se considera que Ra, Rb=ohms, C=Faradios y TH, TL en segundos. La frecuencia de la señal está dada por el inverso del tiempo de un ciclo completo de la señal:

LH TT

F

1

CRbRa )2(693.0

1

CRbRa )2(

44.1

Se observa que TH > TL MODO MONOESTABLE

Circuito 5

El circuito opera cuando el voltaje en el terminal #2 es menor de Vcc3

1, en ese instante en la

salida su voltaje es de aproximadamente Vcc



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El tiempo el alto (Salida permanece en Vcc) TH=1.1RaCa, este tiempo es el que transcurre para

que el capacitor se cargue desde o Volts hasta Vcc3

2, en el momento que se sobrepasa ese

voltaje la Salida del circuito regresa a 0 Volts Circuito 6 Este circuito es un monoestable que se dispara al encender el circuito, en este caso el C1 al estar

descargado su voltaje en terminales es de 0 Volts y cumple con que es menor a Vcc3

1 Esto hace

que al encender el circuito la salida del mismo se eleva a Vcc durante el tiempo dado por TH=1.1RaCa. NOTAS: En esta ecuación y todas las anteriores las R deben estar en Ohms, los C en Faradios y los Tiempos serán en Segundos. La terminal 5 del 555 denominada Vcon sirve para alterar el voltaje de comparación de THRESHOLD, este Vcon no altera el TL sino solo el TH, la ecuación que nos expresa como depende TH de Vcon es:

Vcc

VconLnCRbRaTH

1

11693.0

De aquí se observa que en el modo aestable este terminal Vcon sirve para cambiar la frecuencia de salida con solo cambiar el voltaje en ese terminal. ____ El terminal # 4 (RESET) acepta entradas lógicas "1"=Vcc y "0"=Gnd. Cuando tiene un "1" como en los circuitos mostrados el circuito funciona normalmente Cuando tiene un "0" el circuito pone su salida a 0 Volts, Este terminal al activarse o no en un aestable permite tener un oscilador que se apague o se encienda con solo activar ese terminal. En el caso del monoestable se coloca un "0" en ese terminal en cualquier instante durante el TH la salida ira a 0 Volts. ES IMPORTANTE NOTAR QUE TH y TL no dependen del Vcc, esto significa que aun y cuando Vcc cambiara en el tiempo (Voltaje no regulado) los Tiempos TH y TL no son afectados por esos cambios.



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Concluyendo este CI no es afectado por cambios en el Vcc al estar funcionado en cualquiera de los 2 modos mencionados. 4.7.2 Ciclo de Trabajo y PWM Pulse Width Modulation= Modelación de Ancho de Pulso=Control de motores de CC La Regulación por Ancho de Pulso de un motor de CC está basada en el hecho de que si se recorta la CC de alimentación en forma de una onda cuadrada, la energía que recibe el motor disminuirá de manera proporcional a la relación entre la parte alta (habilita corriente) y la parte baja (cero corriente) del ciclo de la onda cuadrada. Controlando esta relación se logra variar la velocidad del motor de una manera bastante aceptable.

El circuito que se ve a continuación es un ejemplo de un control de Regulación de Ancho de Pulso (PWM, Pulse-Width-Modulated en inglés), que se podría adaptar al circuito del Puente H. (Circuito para controlar motores de corriente continua. El nombre se refiere a la posición en que quedan los transistores en el diagrama del circuito para controlar la velocidad y sentido de marcha de motores de CC.) El primer circuito —con el MOSFET de potencia BUZ11— permite controlar motores medianos y grandes, hasta 10 A de corriente. El segundo circuito —con el transistor 2N2222A— es para motores pequeños, que produzcan una carga de hasta 800 mA.



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El ciclo de trabajo (Duty Cycle) se define como D:

Ciclo de Trabajo D (%) =LH

H

TT

T

X 100, para el 555 del circuito de la Figura 4.29.

Ciclo de Trabajo D (%) =RbCCRbRa

CRbRa

693.0)(693.0

)(693.0

Ciclo de trabajo D (%) = 100)2(

)(x

RbRa

RbRa

Para que el ciclo de trabajo sea de 50 % (TH=TL) de la ecuación anterior se observa para el circuito que Ra debería ser CERO ohms, sin embargo esto no puede ser posible porque se dañaría el transistor de descarga (conectado entre el terminal 7 y Gnd.), otra posibilidad sería que Rb >> Ra sin embargo nunca sería del 50 %. Por lo que para hacer TH=TL se proponen los siguientes Circuitos:

Circuito 1: Si Ra=Rb TH=0.693RaC y TL=0.693RbC



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Por consiguiente la frecuencia estaría dada por: F=cRbRa )(

44.1

NOTA Si Ra=Rb el ciclo de trabajo sería de 50% Sin embargo el diodo D1 participa en la carga del capacitor y las ecuaciones anteriores son aproximadas especialmente la del Tiempo en alto TH, para resolver o minimizar ese problema se propone el Circuito 2 en el cual a la carga y descarga de C se le agrega un Diodo (D2 para la carga y D1 para la descarga), por lo que ambos diodos deberían ser iguales. Las ecuaciones para el circuito 1 son válidas para el circuito 2. Enseguida se propone dos circuitos originales por su forma de conexión, para obtener ciclos de trabajo diferentes:

Circuito 3: se observa que la carga de C se lleva a cabo por medio de Ra solamente y la descarga de C por Rb solamente, por lo que: TH=0.693RaC y TL=0.693RbC, Hay que hacer notar que Ra debe ser mayor que Rb por lo que el ciclo de trabajo es mayor del 50%, de hecho el circuito solo oscila si Ra>2Rb.

La frecuencia para este circuito será F =cRbRa )(

44.1

NOTA De las ecuaciones antes mencionadas se observa que si se altera el ciclo de trabajo, es decir cambia TH ó TL se altera la Frecuencia de la señal de salida también. Circuito 4 la carga y descarga se lleva a cabo por medio de Ra, debe recordarse el funcionamiento del 555 para comprender el funcionamiento. Debe recordarse que el terminal #3 tiene un voltaje igual a Vcc cuando el voltaje en el terminal

#2 cae abajo de Vcc3

1 mientras que el voltaje en la misma terminal #3 es de 0 volts cuando el

voltaje en el terminal #6 es mayor a Vcc3

2.



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De esta manera al energizar el circuito el voltaje en el capacitor (Vc) es cero porque C está descargado y como está conectado en el terminal # 2 se cumple que el voltaje es menor que

Vcc3

1 y como consecuencia de ello el voltaje en el terminal # 3 de salida sube a Vcc y el

Capacitor C se empieza a cargar terminando su carga hasta que se alcanza un voltaje VccVc3

2

en ese momento la salida en el terminal # 3 baja a 0 volts y el capacitor se empieza a descargar

hasta que su voltaje alcanza un voltaje VccVc3

1 .

Este circuito permite ajustar la frecuencia de la señal ajustando el valor de Ra solamente y el ciclo de trabajo es fijo, no se puede ajustar y es del 50%, por lo que este circuito permite generar señales de frecuencia variable y ciclo de trabajo fijo del 50%, A este tipo de señal se le denomina señal simétrica en el tiempo.

La frecuencia de salida estará dada por: cRaRa )(

44.1

=

RaC

72.0

c4 amplificadores operacionales y aplicaciones e

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