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FIUBA. Anlisis Matemtico II. 61. 03 Un esquema de resolucin del examen integrador del 27 de julio de 2010

[Fernando Acero, julio de 2010, ] p. 1 de 2

En este documento slo se presenta un esquema mnimo, un guin-esqueleto de la resolucin. El alumno encontrarprovechoso encarnarlo con todo lo que no tiene: justificaciones, grficos, explicaciones, detalles, observaciones y comentarios,

convirtindolo en una resolucin por derecho propio.

Ejercicio 1. Sea C la curva plana determinada por la lnea de campo de , = (2, 2) que pasa por Po = (0, 1). Calcular

la circulacin del campo vectorial sobre la curva C orientada positivamente.

Si () = (, ) es una parametrizacin regular de la curva C,() = , y eliminando el parmetro resulta la

ecuacin diferencial + 4 = 0, esto es 2 + 42 = , y de la condicin de pasar por P0 es 2

4 + 2 = 1, elipse desemiejes 1 y 2 (y por lo tanto rea 2). Aplicando el teorema de Green, es =

5

2 = 5.

Ejercicio 2. Calcular la masa del macizo {, , 3: 2 + 2 + 2 2, 2 + 2 } si su densidad en cada punto esel doble de la distancia de ese punto al plano .

La densidad es , , = 2, dado que 0 en todo punto de , de modo que la masa es = , y entonces,considerando que la proyeccin de sobre el plano es el crculo (sealado en amarillo en la figura) unitario, es

= 1

0 2

22

22

0=

7

6.

Ejercicio 3. Sea = , 1(3), con un campo vectorial tal que , , 0 = (, , ), y Skla superficie, para todok real positivo dada por = 4 2 2, 0, orientada con campo de normales tal que 0,0,1 < 0. Calcular elflujo de a travs de Sky probar, sin utilizar la expresin de , que es independiente de k.

El flujo de es independiente de k, pues todas las superficies Sk tienen el mismo borde, y por Stokes, iguala a la circulacinde sobre ese borde C, convenientemente orientado. Con = 2, 2cos, 0, [0,2) parametrizando esacurva, el flujo es

=

= 2

0= 8.

Ejercicio 4. Sean S el trozo de superficie cilndrica de ecuacin = 4 2 , en el primer octante, orientada con elcampo de normales tal que 1,0,0 > 0 y el campo , , = 6, 62, , constante real. Hallar el reade , la proyeccin de S sobre el plano yz, y determinar un valor de , siempre que exista, para que el flujo de a travs deS sea 8 veces el rea de dicha proyeccin.

La proyeccin de S (sealada en rojo) sobre el plano yz es un tringulo (sealado en amarillo) rectngulo de catetos igualesa 4, de modo que el rea de es 8. La segunda parte es un clculo directo (no muy directo) del que resulta = 1.

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Ejercicio 5. Hallar los extremos de , = 2 + 2 restringido al arco de curva dado en coordenadas polares por laecuacin = 2cos() , 0

4. Graficar el arco de curva e interpretar geomtricamente.

Es = 2cos() 2 = 2 cos(), esto es la circunferencia centrada en (1, 0) de radio 1, de ecuacin 2 + 2 = 2, y

considerando la variacin del argumento (cuidado, no se mide desde el centro de la circunferencia), resulta el cuarto decircunferencia en el que 1, 0. Como se est extremando el cuadrado de la distancia al origen de coordenadas, es inmediatoque el mximo es 4, que se alcanza en (2, 0) y el mnimo es 2, que se alcanza en (1, 1).