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Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Departamento de Matematica
Matematica I (MAT021), 1er Semestre 2013
Pauta Certamen 1: 16 de Abril
1.- (25 puntos) Resuelva en R la inecuacion
(3x2 + x + 1)|x 3|2x 1(x2 1)(x 2) 0
y determine (si es que existen), el conjunto de las Cotas Superiores, el conjunto de las cotas Inferiores, Supre-
mo e Infimo del conjunto solucion.
Desarrollo:
1) Restricciones:
x2 1= 0 , x 2= 0 y 2x 10
x= 1 , x=1 , x= 2 y x12
por lo tanto
x [ 12
, [ {1, 2}
2) Observemos que:
i) 3x2 + x + 1 > 0x R ya que = 1 4 3 1< 0 y a= 3> 0
ii)|x 3| 0x R
iii)
2x 10x[ 12
, [
Por lo tanto
3x2 + x + 1
|x 3|2x 1(x2 1)(x 2) 0 (x
2 1)(x 2)< 0 x 3 = 0 2x 1 = 0
(x + 1)(x 1)(x 2)< 0 x= 3 x= 12
x] , 1[ ]1 , 2[ {1
2 , 3}
Pero x[ 12
, [ {1, 2} por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es:( ] , 1[ ]1 , 2[ ) ( [ 1
2, [ {1, 2}) =]1, 2[ { 1
2, 3}
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3)
Conjunto de cotas superiores : [3, [Conjunto Cotas inferiores :] ,1
2]
Supremo : 3
infimo :1
2
2.- (25 puntos) Considere la funcion f(x) =
2 sin(2x) 2 cos(2x).
i.- Escriba f(x) en la forma A sin(wx + ) senalando la amplitud, periodo y angulo de fase.
ii.- Grafique la funcionfen el dominio [0, 2], indicando los puntos de interseccion con los ejes coordenados.
Desarrollo:
i) f(x) =
2 sin(2x)
2 cos(2x)
f(x) =
2
2
2 sin(2x)
2 cos(2x)
f(x) = 2
12
sin(2x) 12
cos(2x)
f(x) = 2
cos
4
sin(2x) sin
4
cos(2x)
f(x) = 2sin
2x 4
Por lo tanto se tiene que:
Amplitud =|A|= 2Periodo =
2
|B| =
Angulo de Fase =C
B =
8
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3.- Un observador se encuentra en la parte superior de un edificio de A metros de altura; la parte superior
de otro edificio que esta en el mismo plano horizontal que el edificio anterior, se observa con un angulo de
elevacion de , ademas el angulo de elevacion desde la base del segundo edificio a la cuspide del primero mide
. Determine la altura del edificio mas alto en funcion de ,, y A
Desarrollo:
De acuerdo a la grafica se tiene que:
tan() = A
x x= A
tan() Ec(1)
tan() = y
x y= x tan() Ec(2)
Por lo tanto :
H=A + y H= A + x tan() H= A + A
tan() tan() (Ec1)
H= A
1 +tan()
tan()
(Ec2)
H= A
tan() + tan()
tan()
La altura del edificio mas alto en funcion de ,, y A es A
tan() + tan()
tan()
metros.
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4. (25 puntos) Un rectangulo tiene un vertice en el primer cuadrante sobre
la grafica de y = 1 2x , el otro en el origen de coordenadas,un tercer vertice en el eje xy el cuarto vertice en el lado positivo del eje y .
i.- Defina la funcion A de la superficie del rectangulo en funcion de su base x indicando claramente su
dominio.
ii.- Es A estrictamente creciente? Fundamente.
iii.- Grafique la funcion A.
Puede usted concluir que existe un rectangulo con superficie maxima?
Justifique claramente su respuesta.
Desarrollo:
i)
A = base
altura
= x y , pero y = 1 2x= x (1 2x)
Por lo tanto la funcion pedida es A(x) = x (1 2x) con x[0 , 12
]
ii) La funcion definida anteriormente no es creciente.
Para justificar esta afirmacion damos un contraejemplo:
3
8 > 1
8, A( 3
8) = A( 1
8)
iii)
A(x) = x (1 2x) A(x) =2x2 + x A(x) =2(x 1
4)2 +
1
8
A(x) 18
=2(x 14
)2
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Corresponde a una parabola de vertice (1
4, A(
1
4)) = (
1
4,1
8)
Por lo tanto, si existe un rectangulo de area maxima de dimensiones 1
4 por
1
8
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