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FIUBA. Anlisis Matemtico II. 61. 03 Una resolucin del examen integrador del 13 de julio de 2010

[Fernando Acero ] p. 1 de 6

Ejercicio 1. Si C es la curva de la familia de soluciones y = y (x) de la ecuacin diferencial dada por x y2y = 3x que pasapor P1 = (1, 0), calcular la circulacin del campo vectorial : 2 2x, y = (y + 3x, x) a lo largo del trozo C*de la curva C desde P1 hasta P2 = (2, 6).

La ecuacin diferencial lineal de primer orden, con factor integrante (x) = x2, es equivalente en cualquier intervalo queno contenga a x = 0 a la ecuacin diferencial x2 y2 x1y = 3 x2, esto es [x2 y] = 3 x2 de donde x2 y = 3 x1 + k;con la condicin inicial y(1) = 0 resulta k = 3. Esto es que la (nica) solucin que pasa por P1 esila funcin y: tal quey(x) = 3x23x. Para el clculo de la circulacin, una parametrizacin inyectiva regularii del trozo orientado C* de la curvaC es la funcin vectorial: [1, 2] 2 tal que(t) = (t, 3t23t), con velocidad: [1, 2] 2 tal quet = 1, 6t 3).Finalmente, la circulacin pedida consiste en el siguiente clculo inmediatoiii.

2

1

= (32 , )2

1

1, 6 3 = 3 2 + = 52

2

1

Ilustracin 1. El grfico de la solucin que pasa por los puntos P1 y P2Ejercicio 2. Sea : 2 2, = 2, , + ( , , , ) , siendo p el polinomio de Taylor deorden 2 en el punto P0 = (1, 2) de un campo escalar fC32), cuya matriz hessiana en Po es (0) = 3 77 1. Calcular lacirculacin del campo vectorialgsobre la elipse C, de ecuacin 4x

2

+ y2

= 4y, recorrida en sentido negativo.

Observamos en primer lugar que las componentes del campo vectorialg son polinomios y por ello,g C2). Podemosescribir de un modo ms compacto que , = [2, ] + ( , , , ), lo que aligera el trabajo, puesto que lacirculacin del primer sumando es nulaiv, restando slo calcular la circulacin sobre C del segundo sumando , =( , , , ) , que es un campo vectorial C2). La elipse C de ecuacin 4x2 + y2 = 4y, o lo que es lo mismo, x2 + (y2)2/4 = 1, es la frontera de la regin {x, y2: x2 + (y2)2/41}, de modo que tenemos satisfechas las condicionesdel teorema de Green, si orientamos C positivamente. Llamando (, ) , , (, ) , , podemos escribir:

= [ , , ]

Pero como

,

=

,

,

,

=

,

, y sabemos que el polinomio

es de segundo grado, las funciones

anteriores son constantes, de manera que en cualquier punto (, ) toman el mismo valor que en, por ejemplo, P0, valores

iLa solucin est definida, a posteriori, para todo , incluyendo el punto x = 0, como es inmediato de verificar, reemplazando la funcin y(x) = 6x 3 en la

ecuacin diferencial, resultando que x: x y2y = x (6x 3) 2 (3x23x) = 6x26 x2 3x + 6x = 3x. Adems, observar que la solucin pasaefectivamente por el punto P1, puesto que y(2) = 6.ii

Es obvio que es Cen su dominio (sus componentes son polinomios), y adems si (t1) =(t2), esto es, si (t1, 3t123t1) = (t2, 3t2

23t2) es necesariamente que

t1 = t2, de modo que es inyectiva en su dominio; finalmente, es inmediato que para ningn valor de t el vector (t) = (1, 6t 3) es nulo. La orientacin esevidente, con(t1) = P1, (t2) = P2.iii

Operativamente, el ejercicio es una secuencia de dos clculos: la solucin del problema de valor inicial, el clculo de la integral. La carga conceptual descansa

sobre el reconocimiento del tipo de ecuacin diferencial, la cuidadosa determinacin del intervalo en el que se halla definida la (nica) solucin del problema de

valor inicial, la prolija parametrizacin regular inyectiva que orienta el trozo de curva pedido, y las justificaciones correspondientes.iv

Damos por conocido que la circulacin de un campo de gradientes, definido en un abierto simplemente conexo D, sobre un lazo incluido en D, es nula. Este es el

caso de nuestro ejercicio, en que el primer sumando es gradiente del campo escalar p2, definido en todo 2, que ciertamente es un abierto simplemente conexo.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

1

2

3

4

5

6

x(t)

y(t)

grfico de : [1,2] R2 tal que (t) = (t, 3t2-3t)

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que se conocen por la matriz Hessiana de f en ese puntov, de modo que , 2: , , = 3 1 = 2 .Ahora, como el integrando es constante, se tiene que la circulacin (sentido positivo) es el doble del rea del recinto , quepodemos dar por sabido que es por el producto de los semiejes, esto es que la circulacin es 4. Finalmente, como lacirculacin pedida es en sentido antihorariovi, su valor ser 4 vii.

Ilustracin 2. La elipse sobre la que se pide la circulacinEjercicio 3. T (x, y, z) = x2 + y2 + yz representa, en grados centgrados, la temperatura en cualquier punto (x, y, z) de lacurva C dada por las ecuaciones 2x2 + y2 + z2= 2, z = y, contenida en 3. Determinar los puntos ms fros y los puntos mscalientes de la curva, y la temperatura en cada uno de ellos.

La curva C, interseccin entre el elipsoide y el plano es C ={(x, y, z)3: x2 + y2 = 1, z = y}, que puede se parametrizadaregularmente por : [0, 2] 3 tal que(t) = (cos(t), sen(t), sen(t)), de modo que el problema consiste en hallar losextremos de la funcin escalar h en un compacto, esto es h: [0, 2] tal que ht T((t)) = 1 +sen2(t). Siendo tansencilla la funcin, basta decir que su valor mnimo es 1 (en t1 = 0, t2 =, t3 = 2) y su valor mximo es 2 (en t4 =/2, t3 =3/2), de modo que los puntos ms fros, a temperatura 1, son P f1 = h(t1) = h(t3) =(1, 0, 0) y Pf2 = h(t2) = (1, 0, 0),mientras que los ms calientes, a temperatura 2, son Pc1 = h(t4) = (0, 1, 1) y Pc2 = h(t5) = (0, 1, 1)viii.

Ilustracin 3. La funcin escalar h: [0, 2] tal que ht = 1 +sen2(t)v

Estamos aqu utilizando que las derivadas de orden n-simo de un campo escalar de clase Cn+1

valuadas en un punto P0 de su dominio coinciden con lascorrespondientes de su polinomio de Taylor de orden n desarrollado en ese punto. Tambin suponemos conocida la definicin de la matriz Hessiana en el punto P 0,

que nos permite recuperar la informacin de los valores las derivadas segundas en ese punto.vi Se acepta como conocido que la inversin de la orientacin cambia el signo de la circulacin. Si, por otra parte, se quiere calcular de manera autnoma el rea del

interior de la elipse puede verse dos modos de hacerlo en la gua de trabajos prcticos de la asignatura.vii

Desde el punto de vista operativo, este ejercicio es demasiado simple: slo hay que multiplicar por 2 el rea del interior de una elipse. La carga conceptual, en

cambio, no lo es: procede de reconocer el grado de regularidad de los campos que intervienen, el conocimiento del teorema de Green (esto es qu dice precisamentey si el caso del ejercicio cae dentro de su alcance), y sobre todo, el punto de observar que el integrando de la integral doble es una funcin constante.viii Alternativamente, el problema puede plantearse como el de extremar un campo escalar de tres variables sujeto a dos restricciones suaves, para lo que puede

emplearse el mtodo de Lagrange. Sin embargo, su resolucin es ms pastosa; en cierto sentido, podra decirse que es un desperdicio aplicar un mtodo tan

potente a un problema tan simple. Observacin, sugerida por la frecuencia del error constatada: al buscar extremos de una funcin escalar en un intervalocerrado, no debe descuidarse examinar la frontera del intervalo, pues all podra alcanzarse (como se alcanza aqu) algn extremo.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x(t)

y(t)

grfico de : [0,2] R2 tal que (t) = (cos( t), 2 + 2 sin(t))

0 1 2 3 4 5 6 71

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t, con 0 t 2

f(t)=1

+s

in2

(t))

grfico de f: [0,2] R tal que f(t) = 1+ sin2 (t)

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Podemos hacer un grfico que aumente nuestra percepcin de lo que sucede con la temperatura, una suerte de grfico 4D,asignando a cada punto un color de acuerdo a su temperatura. Por ejemplo, rojo es calor, azul fro, y luego interpolar. Elsiguiente es un grfico de ese tipo, en la que se puede observar la cinta negra (es la curva restriccin), los puntosdetectados (son de color blanco) y tambin se observa queestos puntos no son los ms fros o calientes de toda la esfera,sino slo los de esacurva restriccin.

Ilustracin 4. Un grfico 4D, con los colores indicando la temperaturaEjercicio 4. Sea el macizo M = {(, x, y, z)3 tal que: 0x1, 0y1, 0zy}, S0 la cara de M contenida en el plano deecuacin x =1, S1 la unin de las restantes cuatro caras de la cua M. Sea g un campo 23), del quehes su rotor paraalgn k, siendoh(x, y, z) = (2, y2 + 2z, k y z). Determinar k y la circulacin degsobre el borde C de S1 indicando en ungrfico la orientacin adoptada.

Ilustracin 5. Las caras del macizo M, y las orientaciones de la curva C y la superficie S0

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Dado que un campo de rotores es necesariamente solenoidalix, podemos determinar k exigiendo que la divergencia dehsea idnticamente nula en 3, esto es: (x, y, z)3: 2y + ky = y (2+k) = 0. Puesto que debe valer para todo y, enparticular debe valer cuando y = 1, esto es debe ser k + 2 = 0, de modo que es k = 2. La circulacin degsobre el borde Cde S1 (un lazo simple regular a trozos) es igual al flujo de su rotorha travs de una superficie regular (no necesariamenteS1) que tenga ese borde, con las orientaciones concordadas segn Stokesx. Si adoptamos como S0 a tal superficie, es claro

que una parametrizacin regular de S0 esT: 3 tal queTu, v 1, u, v, con {u, v2: 0u1, 0vu}, concampo de normalesN(u, v) =Tu(u, v) Tv(u, v) = (1, 0, 0). Entonces, podemos escribir, segn el teorema de Stokes:

=

0

=

,

,

=

2,

2 + 2

,

2

(1, 0, 0)

= 2

= 1

De este modo, respondemos que la circulacin pedida, sobre C orientada como indica la figura, es 1 xi.

Ejercicio 5. Sea S = {(x, y, z)3: x2 + y2 + z2 = 4 a2, (xa)2 + y2 a2, z>0}. (a) Graficar y calcular el rea de S. (b) SiX =(x, y, z), y r = ||X ||, calcular el flujo del campo vectorial : 3 {0,0,0} 3 tal que h(X ) = (k/r3)X , con k, atravs de la superficie S orientada con el campo de normalesN tales queN(X) (0, 1, 0) > 0.

(a) La superficie, conocida como bveda de Viviani, se obtiene como la interseccin de la semiesfera esfera centrada en elorigen de radio 2a, con el cilindro excntrico macizo de radio a, tal como lo indica la figura. Dado que la superficie S est

contenida en el conjunto de nivel 0 del campo escalar : 33 tal que x, y, z x2 + y2 + z2 4 a2. Para todo punto (x,y, z) de la superficie S es ||(x, y, z)|| = ||(2x, 2y, 2z)|| =2 ||(x, y, z)|| = 2 (2a), de modo que se tiene que ||(x, y, z)|| /z(x,y, z) = 2(2a)/2z = 2a/z.

Ilustracin 6. La bveda de Viviani es la superficie esfrica rojaxii De lo anterior, llamando {x, y2: (xa)2 + y2 a2}, slo resta el clculo del rea, en la siguiente lnea.

= = 2 1

42 2 2 = 2(2 2

0

42 2 )2 cos

0

= 42( 2)El rea pedida es, entonces, rea (S) = 42( 2). Observar en la tercera igualdad el pasaje a coordenadas polares y laintegracin en slo la mitad del recinto, de all el factor 2.

(b) Se trata tambin de un ejercicio clsico y de suma importancia, del clculo del flujo de un campo newtoniano Lasolucin es inmediata, por la sencillez del campo que es puramente radial:

ixAdmitimos conocida la identidad div(rot(g)) = 0, en todo punto del dominio del campo vectorial con matriz hessiana continua g, dominio que se nos

enuncia como 3. De hecho, el campo vectorialges C3), dado que se es el carcter de su campo de rotoresh. Recomendamos ver (Santal 1993,177).x Es importante notar que, si bien el borde de S 1 es la curva C, no estamos obligados a utilizar esa superficie polidrica, cuando tenemos a mano una mucho ms

simple, que tiene el mismo borde, esto es So, que una porcin de un plano. Observamos que las condiciones del Teorema de Stokes se cumplen en este ejercicio, ya

que los campos involucrados son (ambos) C (3), la superficie S1 admite una parametrizacin regular, y su borde es una curva que admite unaparametrizacin regular a trozos, con las orientaciones indicadas en la figura. xi La parte operativa de este ejercicio se reduce a multiplicar por 2 el rea del tringulo , mientras que su carga conceptual se asienta en el teorema de Stokes(esto es qu dice, y si lo que dice cae al caso), y el reconocimiento del carcter solenoidal de los campos de rotor suficientemente suaves.xii

El problema de la determinacin del rea de la bveda de Viviani es muy clsico, se le conoce como problema florentino, por Vincenzo Viviani (un discpulo de

Galileo, que vivi en Florencia entre 1622 y 1703) que traz sobre la superficie esfrica una ventana cuadrable. Se halla tratado en prcticamente todos los libros detexto, por ejemplo, en (Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo 1968, 84.4, Ejemplo 2, 432). La bveda tambin puede definirse en coordenadas esfricas en el primer octante

como los puntos para las cuales es = 2a, con 0/2. Utilizando esta descripcin, el problema es trivial y su solucin es media lnea: hacerla!

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= 3 =

24 =

42 =

42 = ( 2)

Es importante observar en especial la tercera de las igualdades anteriores, donde se reemplaza r por 2a, puesto que sobre S,r es, efectivamente, constante e igual al radio de la esfera xiii. El flujo es, entonces, ( 2).

Ilustracin 7. La bveda de Viviani (roja), la esfera (amarilla) y el cilindro (negro)El grfico anterior puede resultar ms expresivo de lo que estamos calculando, si le aadimos una pequea flecha en cadapunto de la bveda, que represente el campo vectorial que fluye. Observamos que la norma del campo newtoniano semantien constante sobre toda la bveda (su valor es k/a 2), de modo que veremos todas las flechas de igual longitudfluyendo normales a la superficie esfrica. Eso muestra la figura siguiente, con un campo azulado. Cambiamos ligeramenteel punto de mira para apreciar mejor el prefil de campo fluyente.

Ilustracin 8. El campo que fluye a travs de la bvedaFin de una resolucin de la evaluacin integradora del 13 de julio de 2010

xiii Este es un ejercicio puro de clculo: clculo de rea y clculo de flujo. Sin embargo, requiere slidos conocimientos conceptuales acerca de los recintos de

integracin, sistemas de coordenadas, transformacin de coordenadas. Los dos apartados son muy clsicos, se encuentran en la mayora de los textos de clculo; enparticular, la forma del campo tratado en (b) es de importancia capital.

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En el primer ejercicio, pueden ayudarse con matlab as:

Para resolver el pvi, basta que escriban la instruccin:

y =dsolve('Dy-(2/x)*y=3','y(1)=0','x')

y Matlab responde con la solucin

y =

-3*x+3*x^2

Para resolver la integral basta escribir:

int('-3*t^2+3*t',1,2)

La respuesta(answer)de Matlab es:

ans =

-5/2

Tambin matlab puede ayudarles a obtener grficos que les d ms

oportunidades de iluminar la comprensin de los problemas, como lo hace

la ilustracin 4, por ejemplo.

Hemos hecho, en esta resolucin, referencia a dos muy buenos textosRey Pastor, Julio, Pedro Pi Calleja, y Csar Trejo. Anlisis Matemtico II. Clculo infinitesimal de varias variables.

Aplicaciones. Sptima edicin. Vol. II. III vols. Buenos Aires: Kapelusz, 1968.

Santal, Luis. Vectores y tensores con sus aplicaciones. Dcimocuarta edicin. Buenos Aires: Eudeba, 1993.

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