P - 1

Examen Final - Quinto Grado de Secundaria

1. En una urna se tiene 12 esferas numeradas del 19 al 30. Si se extrae una esfera al azar, ¿cuál es el valor esperado de la cantidad de divisores del número de la esfera extraída?

A) 4,6 B) 4012

C) 5512

D) 5312

2. La cantidad de estudiantes de cuatro colegios que pasaron a la etapa final de CONAMAT son 23; 15; 21 y ab. Si la desviación estándar de dichas cantidades es 10 , calcule a+b.

A) 7 B) 8C) 9 D) 10

3. Si el siguiente sistema de ecuaciones

3 2 6 0

1 0

x y

ax by

y k

− + =+ + =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

es compatible determinado, halle el mayor valor

entero de ab

para que k sea máximo.

A) – 3 B) 2C) 1 D) – 2

4. Con respecto a la función f(x)=loge x+100 – |x| indique el valor de verdad de las siguientes

proposiciones. p: f(x)=0; posee dos soluciones reales. q: La función es inyectiva. r: La función posee inversa. s: La función es creciente en todo su dominio.

A) VFFF B) VVVVC) FVVV D) VFVF

5. Sea L i: ai x+bi y=ci la ecuación de las rectas que son frontera de la región admisible mostrada.

Además, f (x; y)=ak x+bk y+ck es la función que se quiere optimizar para algún k=1; 2; …; n. Determine el máximo valor de f (x; y).

A) 5Ck – 1 B) 3Ck+1C) 4C2k D) 2Ck

6. Resuelva la ecuación en Z logy –1 (2+(x – 3)2)=2 e indique el número de soluciones.

A) 0 B) 1C) 2 D) infinitas

7. Dado el gráfico

determine la razón entre A2 y A1. Considere que a, b, c y d están en progresión geométrica de razón a.

A) a2 B) a – 2

C) 4a2 D) 73

2a

PQuinto Grado de Secundaria

Examen Final - Quinto Grado de Secundaria

P - 2

8. Indique el valor de verdad respecto a la ecuación

x xx x

− ⋅ + =2 2 2.

p: Presenta 2 soluciones reales.

q: Presenta 3 soluciones reales.

r: No tiene soluciones reales.

s: Una solución se encuentra en el intervalo 2 2;⎡⎣ ⎤⎦.

A) VFFF B) FFVFC) FVFV D) FVFF

9. Resuelva la ecuación

e k e k n n ex

k

nx

k

nx+( ) − −( ) = +( ) ⋅

= =∑ ∑

4

1

4

1

2 23

si ex xx = + + +1

0 1 2

2

! ! !…

A) ln( )n n +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

B) ln( )n n +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

C) ln( )n n +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

14

D) ln( )n n −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

10. Si x e a a a a a a a0

7 7 7 7 7 7 70 1 2 3 4 5 6= + + + + + +

con {a0, a1, a2, …, a6} ⊂ Z+ es una solución de la

ecuación logarítmica

ln ln ln ln ln

ln ln

7 6 76 5 215 4 354 3 353

2 21 7 1

x x x x x

x x

− − − − −

− = +

además, enn

==

∞

∑ 1

0 !, entonces, calcule el valor de

aii=∑

0

6.

A) 129 B) 128C) 256 D) 127

11. Sean los números reales x, y, z, ninguno menor de uno, de modo que se cumple que A ≥ k2B

donde

A=ln2x+ln2y+ln2z+ 2ln ln lnx y z

+1

B=lnxlny+lnylnz+lnzlnx

Calcule el mayor valor entero de k.

A) 1 B) 3

C) 2 D) 4

12. Del gráfico, calcule ABMN

.

A) 1/4 B) 1/2C) 1 D) 2

13. Según el gráfico, A, B, …, H y I son puntos de tangencia y HI= 4 2 . Calcule x.

A) 4,65 B) 4,87C) 5,82 D) 5,65

14. De acuerdo al esquema, R=4 3. Calcule el área de la región sombreada.

A) 11π – 3 3 B) 9π – 3 3

C) 7π – 3 3 D) 5π – 3 3

15. Calcule la suma de coordenadas del punto simétrico de (10; 21) respecto a la recta de la siguiente ecuación.

2x+5y –38=0

A) –10 B) –11C) –12 D) –13

P - 3

16. Dada la función f cuya regla de correspondencia está dada por

f x x

x xx x

( ) cscsen cos

sen sen= −8

2 6 24 8

además, Domf=⟨A; B⟩ ∪ ⟨C; D⟩ – {E; F} en ⟨π; 2π⟩,

halle A B C DE F

+ + ++

.

A) 136

B) 137

C) 127

D) 2

17. A partir de la siguiente condición

− ≤ + ≤1 12

2cos cos

sen

θ θθ

determine el intervalo de variación de la secθ.

A) ⟨– ∞; – 2] ∪ [2; +∞⟩B) ⟨– ∞; –1] ∪ [1; +∞⟩C) ⟨– ∞; – 2] ∪ ⟨2; +∞⟩ D) ⟨– ∞; –1⟩ ∪ [2; +∞⟩

18. En un ABC se traza la ceviana interior BM. Si AB=3 y BM=2, además, el circunradio del ABC es R1 y del BMC es R2, calcule el seno del ángulo C.

A) 32 1 2R R

B) 5

4 1 2( )R R+

C) 52 1 2( )R R+

D) 54 1 2( )R R

19. Calcule el valor de

2 2+ − ++

tan tan tantan tan

b c dc d

a partir de las siguientes condiciones:

sen2c= 2 senb (I)

b+c – d=45º (II)

c+d=90º (III)

A) 1 B) 2C) 2 D) – 1

20. En un ABC se cumple lo siguiente: 3senA+4cosB=6 4senB+3cosA=1 Calcule la medida del ángulo C.

A) 15º B) 45ºC) 30º D) 60º

21. Se tiene un ABC equilátero inscrito en una

circunferencia. Si M es el punto medio del arco AC y

N el punto medio del lado BC, determine la tangente

del ángulo BMN.

A) 33

B) 1

C) 3

4 D)

35

22. Elimine θ a partir de las siguientes condiciones.

tan4/3θ – tan– 4/3θ=a (I)

tan2/3θ+tan– 2/3θ=b (II)

A) b2 – a2=4b B) (b2 – 2)2 – a2=4

C) (b2 – 2)2 – a2=2 D) b4 – a2 = 2b2

23. En el gráfico, HG=4u y EF=6u. Calcule el área

máxima de la región rectangular ABCD.

A

B C

D

H

G

F

E

30º

A) 18 u2 B) 6 3 2u

C) 12 u2 D) 8 3 2u

24. Dada la siguiente identidad

11

11

1

+ ++

− += +

sen cos sen cos(cos )

x x x xx n

halle n.

A) 0 B) – 1

C) – 2 D) 2

25. Determinar la diagonal BD de la cometa de forma

rombal ABCD si AB=50 cm y m ABC=72º.

Considere que cos72º ≈ 0,3.

A) 10 15 cm B) 10 65 cm

C) 10 35 cm D) 10 5 1+( ) cm

P - 4

26. En el gráfico se muestra la sección de un canal circular. Determine el área de la región sombreada de dicha sección en términos de R y θ.

A) θ θR R2 2

2 2− sen B) θR2 – R2senθ

C) θ θR R2 2

2 2+ sen D) θR2+R2senθ

27. ¿Para qué valores de α (α ∈ I C) la gráfica de la función

F interseca al eje x, si f (x)=x2 – (2cotα) x+1?

A) 02

;π

B) 04

;π

C) 03

;π⎤

⎦⎥ D) 0

4;

π⎤⎦⎥

28. En un ABC (B=90º) se traza las cevianas interiores BM y BN, de modo que AM=1, MN=2 y NC=3; luego, se traza CH ⊥ BM. Si m HCM=θ y m HCB=x, halle 5tanx – cotx.

A) – cotθ B) – 6tanθ

C) – tanθ D) – 6cotθ

29. Del gráfico se sabe que ABCD es un cuadrado.

Determine el valor de 4senα – 72

.

A) 7 210

B) 3 22

C) 2 2 7− D) 2

2

30. Determine el área de la región expresada por R si

R={(x; y) ∈ R2 / esen(x+y)+cos(x+y) ≥ 1 ∧ ecos(x–y) ≤ 1

∧ 0 < x < 32π

∧ –32π

< y < 34π}

A) π2

4 u2 B) π2

2 u2

C) π2

8 u2 D)

π2

16 u2