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Cálculo IIBioengenharia

César Silva

Departamento de MatemáticaUniversidade da Beira Interior

2009/2010

César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 1 / 460

Bibliografia

– Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993

– Azenha, A., Jerónimo, M. A., Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em R e

Rn, McGraw-Hill, 1995

– Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I, Escolar Editora, 1989

– Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill,1977

– Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 1 e 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989

– Lima, E. L., Análise Real, Vol. 1 e 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA,2004

– Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983

– Sarrico, C., Análise Matemática – Leituras e exercícios, Gradiva, 3a Ed., 1999

– Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Vol. 1 e 2, Brooks/ColePublishing Company, 2008

– Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2, McGrawHill,1983


Índice

1 Sucessões e séries de números reais

2 Funções de Rn em R

m: limites e continuidade

3 Cálculo diferencial em Rn

4 Cálculo integral em Rn

5 Integrais de linha

6 Integrais de superfície


Índice

1 Sucessões e séries de números reaisSucessões de números reaisSéries de números reaisSérie de potências e série de Taylor

2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade






Índice

1 Sucessões e séries de números reaisSucessões de números reais

Definição e exemplos

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Sucessões convergentes

Subsucessões

Infinitamente grandesSéries de números reaisSérie de potências e série de Taylor








Índice





Subsucessões









§1.1.1 Definição e exemplos

Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural nfaz corresponder um e um só número real.

Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja,uma sucessão é uma função

u : N→ R.

Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação

un em vez de u(n).



Aos valoresu1, u2, . . . , un, . . .

chamamos termos da sucessão e

ao valor u1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termoda sucessão;

ao valor u2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termoda sucessão;

ao valor u3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo dasucessão;

etc

À expressão un chamamos termo geral da sucessão.



Escreveremos(u1, u2, . . . , un, . . .),

ou(un)n∈N,

ou simplesmente(un)

para indicar a sucessão u.

O conjuntou(N) = {un : n ∈ N}

designa-se por conjunto dos termos da sucessão (un)n∈N.



Exemplos de sucessões

a) Façamosun = 1 para todo o n ∈ N,

isto é,(1, 1, . . . , 1, . . .)

é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c ∈ R efazendo

vn = c para qualquer n ∈ N,

temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso

v(N) = {c} .



Exemplos de sucessões (continuação)

b) Consideremos a sucessão de termo geral un = (−1)n.

O primeiro termo desta sucessão é u1 = (−1)1 = −1.

O segundo termo desta sucessão é u2 = (−1)2 = 1.

O terceiro termo desta sucessão é u3 = (−1)3 = −1.

O quarto termo desta sucessão é u4 = (−1)4 = 1.

E assim sucessivamente.

Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 eque os termos de ordem ímpar são todos iguais a −1. Assim, a listaque se segue dá-nos todos os termos da sucessão

−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .

e o conjunto dos termos desta sucessão é

u(N) = {−1, 1} .




c) Seja u a sucessão definida por

un = n.

Entãou(N) = N.




d) Seja

un =1n

para todo o n ∈ N.

Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas:(

1,12,13,14, . . . ,

1n, . . .

)

,

ou (1n

)

n∈N,

ou (1n

)

.

Neste exemplo temos u(N) ={

1n

: n ∈ N

}

.



Observação

O exemplo a) mostra que(un)n∈N

eu(N)

são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem serconfundidas. Neste exemplo tem-se

(un) = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .),

enquanto queu(N) = {1} .

Algo de semelhante acontece no exemplo b).


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Subsucessões









§1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Uma sucessão (un)n∈N diz-se limitada se existirem números reais a e btais que

a ≤ un ≤ b para todo o n ∈ N;

ou ainda, se existirem números reais a e b tais que

un ∈ [a, b] para todo o n ∈ N.

Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma[−c, c], para algum c ∈ R, uma sucessão (un) é limitada se existir umnúmero real c > 0 tal que

un ∈ [−c, c] para todo o n ∈ N,

o que é equivalente a existe c > 0 tal que

|un| ≤ c para todo o n ∈ N.

As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas.César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 16 / 460


Exemplos

a) A sucessão de termo geral

un = 4 + (−1)2 =

{

3 se n é ímpar;

5 se n é par;

é limitada pois

3 ≤ un ≤ 5 para qualquer número natural n.



Exemplos (continuação)

b) Consideremos a sucessão de termo geral

un =n+ 2n

.

Comon+ 2n

=n

n+

2n

= 1 +2n

podemos concluir que

1 ≤ un ≤ 3 para cada número natural n.

Assim, esta sucessão é limitada.




c) A sucessão un = n2 não é limitada. De facto,

u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16; . . .

pelo que a sucessão não é limitada superiormente.

d) A sucessão de termo geral vn = −n também não é limitada pois

v1 = −1; v2 = −2; v3 = −3; . . .

ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente.



Uma sucessão (un)n∈N diz-se crescente se

un+1 ≥ un para todo o n ∈ N

e diz-se decrescente se

un+1 ≤ un para todo o n ∈ N.

Equivalentemente, (un)n∈N é crescente se

un+1 − un ≥ 0 para todo o n ∈ N

e é decrescente se

un+1 − un ≤ 0 para todo o n ∈ N.

Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente.



Exemplos de sucessões monótonas

a) Consideremos a sucessão de termo geral un =2n− 1

n+ 1. Como

un+1 − un =2(n+ 1)− 1

(n+ 1) + 1−

2n− 1

n+ 1

=2n+ 1

n+ 2−

2n− 1

n+ 1

=(2n+ 1)(n+ 1) − (2n− 1)(n+ 2)

(n+ 1)(n+ 2)

=2n2 + 2n+ n+ 1− (2n2 + 4n− n− 2)

(n+ 1)(n+ 2)

=2n2 + 3n+ 1− 2n2 − 3n+ 2

(n+ 1)(n+ 2)

=3

(n+ 1)(n+ 2)≥ 0

para qualquer número natural n, a sucessão é crescente.



Exemplos de sucessões monótonas (continuação)

b) Para a sucessão de termo geral un =2n+ 1

n, temos

un+1 − un =2(n+ 1) + 1

n+ 1−

2n+ 1

n

=2n+ 3

n+ 1−

2n+ 1

n

=(2n+ 3)n− (2n+ 1)(n+ 1)

n(n+ 1)

=2n2 + 3n− (2n2 + 2n+ n+ 1)

n(n+ 1)

=2n2 + 3n− 2n2 − 3n− 1

n(n+ 1)

=−1

n(n+ 1)≤ 0

para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente.


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Subsucessões









§1.1.3 Sucessões convergentes

Dados uma sucessão (un)n∈N e um número real a, dizemos que (un)converge ou tende para a se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N talque

|un − a| < ε para todo o número natural n > N .

A condição|un − a| < ε

é equivalente às condições

−ε < un − a < ε, a− ε < un < a+ ε e un ∈ ]a− ε, a+ ε[.

Assim, uma sucessão (un) converge ou tende para um número real ase para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que

a− ε < un < a+ ε para cada número natural n > N ;

ou se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que

un ∈ ]a− ε, a + ε[ para cada número natural n > N .



Geometricamente, uma sucessão un tende para a se dado ε > 0 todosos termos da sucessão estão na “faixa” limitada pela rectas y = a− ε ey = a+ ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra essefacto.

1 2 3 4 N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4

a

a− ε

a+ ε

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Interpretação geométrica do limite de uma sucessão



Qualquer uma das notações

limn→∞

un = a,

limn→∞un = a,

limnun = a,

lim un = a,

un → a

é usada para exprimir o facto de que a sucessão (un) converge para a.

Uma sucessão (un)n∈N diz-se convergente se existe um número real atal que un → a.

As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes.



As sucessões constantes são convergentes. Se un = c para qualquernúmero natural n, temos |un − c|=0 para cada n ∈ N, pelo que, dadoε > 0, tomando N = 1 vem

|un − c| < ε para qualquer n > N .

Logo (un) converge para c.

A sucessão de termo geral un =1n

converge para zero. De facto, dado

ε > 0, basta escolher um número natural N tal que Nε > 1 e, porconseguinte, 1/N < ε. Assim, para n > N , temos

|un − 0| = 1/n < 1/N < ε,

o que prova que un → 0.



Unicidade do limite

Sejam (un) uma sucessão e a e b dois números reais. Se

un → a e un → b,

entãoa = b.



Dadas duas sucessões u = (un)n∈N e v = (vn)n∈N de números reais,define-se a soma de u e v, e designa-se por u+ v, a sucessão cujotermo de ordem n é un + vn, isto é,

(u+ v)n = un + vn.

De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente deu e v (este último apenas na hipótese de se ter vn 6= 0 para todo on ∈ N):

(u− v)n = un − vn, (uv)n = unvn

e, na hipótese de vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(u

v

)

n=unvn.



Assim, se u e v são as sucessões dadas por

(

1, 4, 9, . . . , n2, . . .)

e(

1,12,13, . . . ,

1n, . . .

)

,

respectivamente, então u+ v é a sucessão dada por

(

1 + 1, 4 +12, 9 +

13, . . . , n2 +

1n, . . .

)

=

(

2,92,283, . . . ,

n3 + 1n

, . . .

)

e a diferença de u e v, u− v, é a sucessão

(

1− 1, 4 − 12, 9− 1

3, . . . , n2 − 1

n, . . .

)

=

(

0,72,263, . . . ,

n3 − 1n

, . . .

)

.



Continuando a usar as sucessões u e v dadas por

(

1, 4, 9, . . . , n2, . . .)

e(

1,12,13, . . . ,

1n, . . .

)

,

o produto uv é a sucessão(

1.1, 4.12, 9.

13, . . . , n2.

1n, . . .

)

= (1, 2, 3, . . . , n, . . .)

e o quocienteu

vé a sucessão

(

11,

41/2

,9

1/3, . . . ,

n2

1/n, . . .

)

=(

1, 8, 27, . . . , n3, . . .)

.



As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos.

O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é uminfinitésimo.

Exemplo

Para todo o x ∈ R, temos limn→∞

sen(nx)n

= 0. De facto,

sen(nx)n

=1n

sen(nx)

é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto,converge para zero.



Álgebra dos limites

Sejam (un) e (vn) sucessões tais que lim un = a e lim vn = b. Então

a) (un + vn)n∈N é convergente e

lim(un + vn) = lim un + lim vn = a+ b;

b) (un − vn)n∈N é convergente e

lim(un − vn) = lim un − lim vn = a− b;

c) (un . vn)n∈N é convergente e

lim(un . vn) = limun . lim vn = a . b;

d) se b 6= 0 e vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(unvn

)

n∈N

é convergente e

lim(unvn

)

=lim unlim vn

=a

b.



Suponhamos queun → a

e que todos os termos un pertencem ao domínio de uma função f . Se fé contínua em a, então

f(un)→ f(a).

Como consequência imediata temos a seguinte propriedade.

Seja (un) uma sucessão convergente para a ∈ R e p > 0. Então

a) se un → a, então (un)p → ap;

b) se un ≥ 0 para todo o n ∈ N, então p√un → p

√a.



Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos númerosnaturais. Se

limx→+∞

f(x) = a,

entãolim

n→+∞f(n) = a.

Exemplo

Como

limx→+∞

(

1 +1x

)x

= e,

temos

limn→+∞

(

1 +1n

)n

= e .



Teorema da sucessão enquadrada

Sejam (un), (vn) e (wn) sucessões e suponha-se que existe uma ordemp ∈ N tal que

un ≤ vn ≤ wn para todo o número natural n > p.

Se un → a e wn → a, entãovn → a.



Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada

Vejamos que√

4 +1n2→ 2.

Como

2 ≤√

4 +1n2≤√

4 + 41n

+(

1n

)2

=

√(

2 +1n

)2

= 2 +1n

e2 +

1n→ 2,

pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter√

4 +1n2→ 2.



Toda a sucessão convergente é limitada.

Observação

O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral un = (−1)n élimitada, mas não é convergente.

Todas as sucessões ilimitadas são divergentes.

Exemplo

Já vimos que a sucessão de termo geral un = n2 não é limitada. Logonão é convergente.



As sucessões monótonas e limitadas são convergentes.


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Subsucessões









§1.1.4 Subsucessões

Se (un) é uma sucessão e (nk) é uma sucessão de números naturaisestritamente crescente, isto é,

n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,

a sucessão(unk) = (un1 , un2 , . . . , unk , . . .)

diz-se uma subsucessão de (un).



As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para omesmo limite da sucessão.

Exemplo

A sucessão de termo geral

un = (−1)n

é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valoresdiferentes.



Teorema de Bolzano-Weierstrass

Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes.


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Subsucessões









§1.1.5 Infinitamente grandes

Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam,merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamentegrandes.

Diz-se que uma sucessão (un) tende para mais infinito ou que é uminfinitamente grande positivo, e escreve-se

un → +∞, ou lim un = +∞,

se para cada L > 0, existe p ∈ N tal que

un > L para qualquer natural p > N .



Se −un → +∞ diz-se que (un) tende para menos infinito ou que asucessão (un) é um infinitamente grande negativo e escreve-se

un → −∞, ou lim un = −∞.

Diz-se ainda que (un) tende para infinito ou que (un) é uminfinitamente grande se |un| → +∞ e escreve-se

un →∞ ou lim un =∞.



Exemplos

A sucessão de termo geralun = n

tende para mais infinito, a sucessão de termo geral

vn = −n

tende para menos infinito e a sucessão de termo geral

wn = (−1)nn

tende para infinito. A sucessão (wn) é um exemplo de um infinitamentegrande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem uminfinitamente grande negativo.



Observações

a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandesnegativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral

wn = (−1)nn

mostra que o contrário nem sempre se verifica.

b) Resulta imediatamente da definição que se un → +∞, então (un) élimitada inferiormente.

c) Da definição resulta imediatamente que se (un) e (vn) são duassucessões tais que

un ≤ vn a partir de certa ordem e un → +∞,

entãovn → +∞.



Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.

a) Se un → +∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para +∞, então

(un + vn)→ +∞.

b) Se un → −∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para −∞, então

(un + vn)→ −∞.

c) Se un →∞ e (vn) tende para a ∈ R, então

(un + vn)→∞.



Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que seadoptem as convenções

(+∞) + a = +∞ = a+ (+∞)

(−∞) + a = −∞ = a+ (−∞)

∞+ a =∞ = a+∞(+∞) + (+∞) = +∞(−∞) + (−∞) = −∞

onde a é um número real qualquer.



Observação

Seun → +∞ e vn → −∞,

então nada se pode dizer sobre (un + vn) pois em alguns casos(un + vn) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemosnenhuma convenção para o símbolo

(+∞) + (−∞);

este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo desemelhante acontece com

∞−∞.



Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.

a) Se un → +∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então

un.vn → +∞.b) Se un → +∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então

un.vn → −∞.c) Se un → −∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então

un.vn → −∞.d) Se un → −∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então

un.vn → +∞.e) Se un →∞ e (vn) tende para a ∈ R \ {0} ou tende para ∞, então

un.vn →∞.César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 52 / 460


Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar aregra do limite do produto:

(+∞)× a = +∞ = a× (+∞) onde a ∈ R+

(−∞)× a = −∞ = a× (−∞) onde a ∈ R+

(+∞)× a = −∞ = a× (+∞) onde a ∈ R−

(−∞)× a = +∞ = a× (−∞) onde a ∈ R−

∞× a =∞ = a×∞ onde a ∈ R \ {0}(+∞)× (+∞) = +∞ = (−∞)× (−∞)

(+∞)× (−∞) = −∞ = (−∞)× (+∞)

∞×∞ =∞



Observação

Não se faz nenhuma convenção para os símbolos

0× (+∞),

0× (−∞)

e0×∞,

pois são símbolos de indeterminação.



Seja (un) uma sucessão de termos não nulos.

a) Se un →∞, então1un→ 0.

b) Se un → 0, então1un→∞.

c) Se un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem, então

1un→ +∞.

d) Se un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem, então

1un→ −∞.



A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem asseguintes convenções

1∞ = 0

10

=∞ 10+

= +∞ 10−

= −∞

onde 0+ significa que

un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem

e 0− significa que

un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem.



Observação

Os símbolos ∞∞

e00

são símbolos de indeterminação.



Exemplo

a) Dado a ∈ R, consideremos a sucessão de termo geral un = an.

Se a > 1, então temos an → +∞.

Quando a = 1, então un = 1n = 1 pelo que a sucessão tende para 1.

Se a < −1, então an →∞.

Para a = −1 obtemos a sucessão (−1)n que já vimos anteriormente.Esta sucessão é divergente.

Se −1 < a < 1, então an → 0.



Exemplo (continuação)

a) (continuação) Assim,

lim an =

+∞ se a > 1

1 se a = 1

0 se −1 < a < 1

não existe se a = −1

∞ se a < −1




b) Calculemos lim (3n − 2n). Como lim 3n = +∞ e lim 2n = +∞,temos uma indeterminação do tipo

∞−∞.No entanto, pondo em evidência 3n temos

lim (3n − 2n) = lim[

3n(

1− 2n

3n

)]

= lim[

3n(

1−(

23

)n)]

= +∞× (1− 0)

= +∞× 1

= +∞




c) Calculemos lim2n + 5n+1

2n+1 + 5n. Temos uma indeterminação pois

lim2n + 5n+1

2n+1 + 5n=

+∞+ (+∞)+∞+ (+∞)

=+∞+∞ .

Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma

lim2n + 5n+1

2n+1 + 5n= lim

2n + 5n × 52n × 2 + 5n

= lim

2n

5n+

5n × 55n

2n × 25n

+5n

5n

= lim

(25

)n

+ 5(

25

)n

× 2 + 1=

0 + 50× 2 + 1

= 5


Índice

1 Sucessões e séries de números reaisSucessões de números reaisSéries de números reais


Séries de termos não negativos

Critério de Leibniz; convergência absolutaSérie de potências e série de Taylor







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Paradoxo de Aquiles

Numa corrida entre um atleta velocista (Aquiles) e uma tartaruga édada uma vantagem inicial em termos de distância à tartaruga. Zenãodefende que Aquiles jamais alcançará a tartaruga porque quandochegar ao ponto onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido umanova distância; e quando Aquiles percorrer essa nova distância, atartaruga já terá percorrido uma nova distância e assim sucessivamente.Este famoso paradoxo foi proposto por Zenão da Elea no século V a.c..



200 m 40 m 8 m

Suponhamos que a vantagem inicial que Aquiles dá à tartaruga é200 m, que a velocidade de Aquiles é 5 m/s e que a velocidade da

tartaruga é 1 m/s. Aquiles demora2005

= 40 s para chegar ao ponto deonde a tartaruga partiu. Entretanto, a tartaruga percorreu

1× 40 = 40 m. Em seguida, Aquiles demorou405

= 8 s para chegar ondea tartaruga estava e a tartaruga andou 1× 8 = 8 m e assimsucessivamente...

Será que Aquiles consegue alcançar a tartaruga?



No primeiro ponto, o ponto inicial da tartaruga, Aquiles percorreu

200

metros; no ponto seguinte Aquiles percorreu (no total)

200 +2005

metros; no terceiro ponto Aquiles percorreu

200 +2005

+200/5

5= 200 +

2005

+20052

metros; no quarto ponto Aquiles percorreu

200 +2005

+20052

+20053

metros; e assim sucessivamente. O paradoxo de Aquiles tem por detrásaquela que, provavelmente, foi a primeira série da história!



Se (an) é uma sucessão de números reais, chamaremos série gerada por(an) à expressão

a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·obtida por adição (formal) dos termos da sucessão.

A cada série fica associada uma sucessão (sn), a que se chamasucessão das somas parciais de (an), definida por

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

...

sn = a1 + a2 + · · ·+ an...



A série diz-se convergente ou divergente conforme seja convergenteou divergente a sucessão das somas parciais (sn). Quando a série éconvergente, o limite da sucessão (sn) designa-se por soma ou valorda série.

Para representarmos a série (ou a sua soma, quando exista) usam-se ossímbolos

a1 + a2 + · · ·+ an + · · · ;∞∑

n=1

an;∑

an

e o contexto onde se usam estes símbolos indicará se estão arepresentar a série ou a sua soma.

Dizemos que duas séries são da mesma natureza se são ambasconvergentes ou ambas divergentes.



Observação

Em certos casos pode haver vantagem em que o primeiro valor que oíndice n toma seja um inteiro diferente de um, o que não traz nenhumadificuldade na teoria que irá ser exposta. Assim,

∞∑

n=2

1n− 1

e∞∑

n=0

1n+ 1

designam a mesma série, enquanto que

∞∑

n=6

1n

designa uma série diferente.



Exemplo

Para a série∞∑

n=1

2n(n+ 1)

, representamos abaixo os primeiros termos da

sucessão de termo geral an =2

n(n+ 1)e da sucessão (sn) das somas parciais

1

b

a1b s1

2

b

a2

b s2

3

b

a3

b s3

4

b

a4

b s4

5

b

a5

b s5

6

b

a6

b s6

7

b

a7

b s7

8

b

a8

b s8

9

b

a9

b s9

10

b

a10

b s102

Aparentemente a sucessão das somas parciais aproxima-se de 2...




De facto, atendendo a que2

k(k + 1)=

2k− 2k + 1

conclui-se que

sn =n∑

k=1

2k(k + 1)

=n∑

k=1

2k− 2k + 1

= 2− 22

+22− 2

3+

23− 2

4+ · · ·+ 2

n− 2n+ 1

= 2− 2n+ 1

e portanto

s = lim sn = lim(

2− 2n+ 1

)

= 2.

Conclui-se que a série converge e tem soma s = 2.



Série harmónica

A série∞∑

n=1

1n

designa-se por série harmónica. Consideremos ainda a respectiva sucessãodas somas parciais e tomemos a subsucessão dessa com termos com índice daforma 2k, ou seja, a subsucessão (s2k):

s2 = 1 +12>

12

s22 = s2 +13

+14>

12

+ 2× 14

= 2× 12

s23 = s22 +15

+16

+17

+18> 2× 1

2+ 4× 1

8= 3× 1

2

Em geral temos s2k >k

2. Como lim

k

2= +∞, concluímos que lim sn = +∞ e,

consequentemente, a série harmónica é divergente.



Série geométrica

Dado r ∈ R, consideremos a série∞∑

n=0rn que habitualmente se designa

por série geométrica. A sucessão (sn)n∈N0 das somas parciais será,neste exemplo, dada por

sn = 1 + r + · · · + rn =

1− rn+1

1− r se r 6= 1

n+ 1 se r = 1.

Isto permite-nos concluir que

a série geométrica é

{

convergente se |r| < 1,

divergente se |r| ≥ 1.

Além disso, quando |r| < 1 a sua soma é igual a1

1− r .



Sejam∑

an e∑

bn duas séries convergentes cujas somas são A e B,respectivamente. Então a série

∑

(an + bn)

é convergente e a sua soma é A+B.

Seja∑

an uma série convergente cuja soma é A e seja λ um númeroreal. Então a série

∑

(λan)

é convergente e a sua soma é λA.



Se∑

an é uma série convergente e∑

bn é uma série divergente, então

∑

(an + bn)

é uma série divergente.

Note-se no entanto que, se∑

an e∑

bn são duas séries divergentes, asérie

∑

(an + bn)

pode ser convergente ou divergente.



Exemplos

a) A série

+∞∑

n=1

(1

n(n+ 1)+

1

5n−1

)

é convergente porque as séries

+∞∑

n=1

1

n(n+ 1)e

+∞∑

n=1

1

5n−1

também são convergentes. Além disso, como+∞∑

n=1

1

n(n+ 1)=

+∞∑

n=1

1

2

2

n(n+ 1),

podemos concluir que a sua soma é 1 pois já sabemos que soma da série+∞∑

n=1

2

n(n+ 1)é 2. Quanto à série

+∞∑

n=1

1

5n−1=

+∞∑

n=0

1

5né uma série geométrica

de razão1

5e a sua soma é

1

1− 1/5=

5

4. Assim, a soma da série

+∞∑

n=1

(1

n(n+ 1)+

1

5n−1

)

é 1 +5

4=

9

4.




b) A série+∞∑

n=1

(7

3n−1+

1n

)

é divergente porque a série

+∞∑

n=1

73n−1

=+∞∑

n=1

7(

13

)n−1

é convergente e a série+∞∑

n=1

1n

é divergente.



Voltemos ao exemplo inicial de Aquiles e da tartaruga. A sérieenvolvida neste exemplo é

+∞∑

n=0

2005n

=+∞∑

n=0

[

200(

15

)n]

.

Como série geométrica de razão15

é convergente pois∣∣∣∣

15

∣∣∣∣ < 1 e a sua

soma é1

1− 1/5=

54

, o ponto onde Aquiles ultrapassa a tartaruga é

200× 54

= 250 m.



Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série convergente, não seconhecendo mesmo uma expressão para a soma de algumas sériesbastante simples. Assim, no que se segue, vamos estudar critérios quenos permitem saber se uma série é ou não convergente, sem estarmospreocupados com a soma no caso da série ser convergente.



Se∑

an é uma série convergente, então lim an = 0.

Assim, se (an) não converge para 0, a série∑an é divergente. Por

exemplo, a série∑ n

n+ 1

é divergente porque a sucessão(

n

n+ 1

)

n∈Nconverge para um.

No entanto, o recíproco deste teorema não é válido pois a sérieharmónica

∑ 1n

é divergente apesar da sucessão(

1n

)

n∈Nconvergir para zero.



Sejam∑

an e∑

bn duas séries. Suponhamos que existe N ∈ N tal que

an = bn para qualquer número natural n > N.

Então∑

an e∑

bn

são da mesma natureza.


Índice











§1.2.2 Séries de termos não negativos

Nesta secção vamos estudar séries de números reais não negativos, ouseja, séries

∑

an tais que

an ≥ 0 para cada n ∈ N.

Obviamente, pelo que já vimos anteriormente, a teoria que vamosapresentar mantém-se válida se

an ≥ 0 a partir de certa ordem.



Critério geral de comparação

Sejam∑

an e∑

bn séries de termos não negativos tais que

an ≤ bn a partir de certa ordem.

a) Se∑

bn é convergente, então∑

an também é convergente.

b) Se∑

an é divergente, então∑

bn também é divergente.



Exemplos de aplicação do critério geral de comparação

a) Consideremos a série∞∑

n=1

1n2

. Uma vez que

0 ≤ 1n2

=2

n(2n)≤ 2n(n+ 1)

para qualquer número natural n

e, como vimos anteriormente, a série

∞∑

n=1

2n(n+ 1)

é convergente, podemos afirmar que a série

∞∑

n=1

1n2

é convergente.



Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação)

b) Estudemos a série∞∑

n=1

1nα, α ≥ 2.

Como

0 ≤ 1nα≤ 1n2

para qualquer n ∈ N e qualquer α ≥ 2

e a série∑ 1

n2é convergente, a série

∑ 1nα

também é convergente quando α ⩾ 2.



Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação)

c) A série∞∑

n=1

1nα

é divergente para α ≤ 1

pois

0 ≤ 1n≤ 1nα

para cada n ∈ N e para cada α ≤ 1

e a série∑ 1

n

é divergente.



Séries de Dirichlet

As séries ∞∑

n=1

1nα,

com α ∈ R, designam-se por séries de Dirichlet. Nos exemplosanteriores já estudámos a natureza destas séries quando α ⩽ 1 e α ⩾ 2.Quando 1 < α < 2, a série é convergente. Assim,

+∞∑

n=1

1nα

é

{

convergente se α > 1,

divergente se α ⩽ 1.



Critério do limite

Sejam∑

an e∑

bn séries de termos não negativos com bn 6= 0 paracada n ∈ N.

a) Se limanbn

= ` com ` 6= 0 e ` 6= +∞, então as séries

∑

an e∑

bn são da mesma natureza.

b) Se limanbn

= 0 e a série∑

bn é convergente, então a série

∑


c) Se limanbn

= +∞ e a série∑

bn é divergente, então a série

∑

an também é divergente.



Exemplos de aplicação do critério do limite

a) A série∞∑

n=1

3n2 + 42n4 + 3n+ 1

é convergente porque

3n2 + 42n4 + 3n+ 1

≥ 0 e1n2≥ 0 para qualquer n ∈ N,

lim

3n2 + 42n4 + 3n+ 1

1n2

= lim3n4 + 4n2

2n4 + 3n+ 1=

32

e ∞∑

n=1

1n2

é convergente.



Exemplos de aplicação do critério do limite (continuação)

b) Consideremos a série∞∑

n=1

sen1n

. É óbvio que

sen1n≥ 0 e

1n≥ 0 para cada n ∈ N.

Como

limsen

1n

1n

= 1

e∞∑

n=1

1n

é divergente,∞∑

n=1

sen1n

também é divergente.



Critério de D’Alembert

Seja∑

an uma série de termos positivos tal que

liman+1

an= λ.

a) Se λ < 1, então∑

an é convergente.

b) Se λ > 1, então∑

an é divergente.



Exemplos de aplicação do critério de D’Alembert

a) Provemos que a série∑ 2nn!

nné convergente. É óbvio que

2nn!nn

> 0 qualquer que seja n ∈ N.

Como

lim

2n+1(n+ 1)!(n + 1)n+1

2nn!nn

= lim2nn

(n+ 1)n= lim

2(1 + 1/n)n

=2e< 1,

pelo critério de D’Alembert, a série∑ 2nn!

nné convergente.



Exemplos de aplicação do critério de D’Alembert (continuação)

b) A série∑

n3n

é divergente. Como

n3n > 0 para cada n ∈ N

e

lim(n+ 1) 3n+1

n 3n= lim 3

n+ 1n

= 3 > 1,

pelo critério de D’Alembert a série∑

n3n

é divergente.



Critério de Cauchy

Seja∑

an uma série de termos não negativos tal que

lim n√an = λ.

a) Se λ < 1, então∑

an é convergente.

b) Se λ > 1, então∑

an é divergente.



Exemplos de aplicação do critério de Cauchy

a) Vejamos que a série∑

(n+ 1n

)n2

é divergente. Como

(n+ 1n

)n2

≥ 0 qualquer que seja n ∈ N

e

limn

√(n+ 1n

)n2

= lim(n+ 1n

)n

= lim(

1 +1n

)n

= e > 1,

pelo critério de Cauchy, a série∑

(n+ 1n

)n2

é divergente.



Exemplos de aplicação do critério de Cauchy (continuação)

b) À série∑

n 3n

também podemos aplicar o critério de Cauchy. Como

n 3n ≥ 0 para cada n ∈ N

elim n√n 3n = lim 3 n

√n = 3,

o critério de Cauchy garante-nos que∑

n 3n

é divergente.


Índice











§1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta

Critério de Leibniz

Se (an) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a série

+∞∑

n=1

(−1)nan

é convergente.



Observações

a) Se (an) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então

an ≥ 0 para qualquer n ∈ N.

b) As séries da forma+∞∑

n=1

(−1)nan

designam-se por séries alternadas.

c) O critério de Leibniz também é válido para séries da forma

+∞∑

n=1

(−1)n+1an ou da forma+∞∑

n=k

(−1)nan.



Exemplos

a) A sucessão de termo geral an =1n

é decrescente pois

an+1 − an =1

n+ 1− 1n

=n− (n+ 1)n(n+ 1)

=−1

n(n+ 1)≤ 0

para qualquer n ∈ N. Além disso,

limn→+∞

an = limn→+∞

1n

=1

+∞ = 0.

Pelo critério de Leibniz, a série

+∞∑

n=1

(−1)n

n

é convergente.




b) Estudemos a natureza da série+∞∑

n=1

(−1)n

n2. Como

1(n+ 1)2

− 1n2

=n2 − (n+ 1)2

n2(n+ 1)2=n2 − (n2 + 2n+ 1)

n2(n+ 1)2=−2n− 1n2(n+ 1)2

≤ 0

para qualquer n ∈ N, ou seja, a sucessão de termo geral an =1n2

é

decrescente, e

limn→+∞

1n2

=1

(+∞)2=

1+∞ = 0,

o critério de Leibniz garante-nos que a série

+∞∑

n=1

(−1)n

n2

é convergente.




c) Estudemos a natureza da série+∞∑

n=1

(−1)nan com an =n+ 1n

. A

sucessão (an) é decrescente pois

an+1 − an =n+ 2n+ 1

− n+ 1n

=(n + 2)n − (n+ 1)2

n(n+ 1)

=n2 + 2n− (n2 + 2n+ 1)

n(n+ 1)

=−1

n(n+ 1)≤ 0

para qualquer n ∈ N.




c) (continuação) No entanto, como

limn→+∞

an = limn→+∞

n+ 1n

= limn→+∞

n

n+

1n

= limn→+∞

1 +1n

= 1,

não podemos aplicar o critério de Leibniz pois lim an 6= 0. Mas selim an = 1, a sucessão de termo geral (−1)nan é divergente pois asubsucessão dos termos de ordem par converge para 1 e asubsucessão dos termos de ordem ímpar converge para −1. Assim,a série

+∞∑

n=1

(−1)nan =+∞∑

n=1

(−1)nn+ 1n

é divergente.



Uma série+∞∑

n=1

an diz-se absolutamente convergente se a série do

módulos+∞∑

n=1

|an| é convergente.

As séries absolutamente convergentes são convergentes, ou seja, se

+∞∑

n=1

|an| é convergente,

então+∞∑

n=1




Observação

O recíproco do resultado anterior não se verifica. A série

+∞∑

n=1

(−1)n

n

é convergente, mas a sua série dos módulos

+∞∑

n=1

∣∣∣∣

(−1)n

n

∣∣∣∣ =

+∞∑

n=1

1n

é a série harmónica que já vimos ser divergente.

As séries convergentes cuja série dos módulos é divergente dizem-sesimplesmente convergentes, semi-convergentes oucondicionalmente convergentes.



Exemplos

a) Através do critério de Leibniz concluímos que a série+∞∑

n=1

(−1)n

n2é

convergente. Uma outra forma de vermos que é convergente é através dasérie do módulos:

+∞∑

n=1

∣∣∣∣

(−1)n

n2

∣∣∣∣

=+∞∑

n=1

1n2.

Ora a série+∞∑

n=1

1n2

é uma série de Dirichlet com α = 2 e, portanto, é

convergente. Logo

+∞∑

n=1

(−1)n

n2

é absolutamente convergente e, portanto, é convergente.




b) Estudemos a natureza da série+∞∑

n=1

cosnn2 + 2n+ 3

. Como, para qualquer

n ∈ N, se tem

0 ≤∣∣∣∣

cosnn2 + 2n+ 3

∣∣∣∣

=|cosn|

n2 + 2n+ 3=

1n2 + 2n+ 3

≤ 1n2

e a série+∞∑

n=1

1n2

é convergente, pelo critério geral de comparação, a série

+∞∑

n=1

∣∣∣∣

cosnn2 + 2n+ 3

∣∣∣∣

é convergente. Logo

+∞∑

n=1

cosnn2 + 2n+ 3

é absolutamente convergente e, por conseguinte, é convergente.




c) Consideremos a série

+∞∑

n=1

(−1)nn+ 1

n2 + 2. A sua série dos módulos é

+∞∑

n=1

∣∣∣(−1)n

n+ 1

n2 + 2

∣∣∣ =

+∞∑

n=1

n+ 1

n2 + 2

e, como

limn→+∞

n+ 1

n2 + 21

n

= limn→+∞

n2 + n

n2 + 2= limn→+∞

n2(1 + 1/n)

n2(1 + 2/n)= limn→+∞

1 + 1/n

1 + 2/n= 1,

pelo critério do limite, as série

+∞∑

n=1

n+ 1

n2 + 2e

+∞∑

n=1

1

n, por serem séries de termos

positivos, são da mesma natureza. Como a série harmónica é divergente, a série+∞∑

n=1

n+ 1

n2 + 2também é divergente.




c) (continuação) Acabámos de ver que a série dos módulos de

+∞∑

n=1

(−1)nn+ 1

n2 + 2é

divergente. Vejamos, usando o critério de Leibniz, que a série

+∞∑

n=1

(−1)nn+ 1

n2 + 2é

convergente. Como

limn→+∞

n+ 1

n2 + 2= limn→+∞

n(1 + 1/n)

n2(1 + 2/n2)= limn→+∞

1 + 1/n

n(1 + 2/n2)=

1 + 0

+∞(1 + 0)= 0

en+ 2

(n+ 1)2 + 2−

n+ 1

n2 + 2= · · · = −

n2 + 3n− 1

((n+ 1)2 + 2)(n2 + 1)≤ 0

para qualquer n ∈ N, pelo critério de Leibniz a série

+∞∑

n=1

(−1)nn+ 1

n2 + 2

é convergente. Assim, esta série é simplesmente convergente.


Índice

1 Sucessões e séries de números reaisSucessões de números reaisSéries de números reaisSérie de potências e série de Taylor







§1.3 Série de potências e série de Taylor

Sejam a0, a1, . . . , an, . . . os termos de uma sucessão e a um número real.A série

+∞∑

n=0

an(x− a)n

= a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · ·+ an(x− a)n + · · ·

designa-se por série de potências de x− a. Dizemos que a série estácentrada em a e que os números an são os coeficientes da série.

As séries

+∞∑

n=0

xn

n!,

+∞∑

n=0

n

n2 + 1(x− 2)n e

+∞∑

n=0

n(x− π)n

são séries de potências centradas, respectivamente, em 0, 2 e π.



Observações

a) Há séries de potências que não começam em zero. Por exemplo, a série+∞∑

n=1

1nxn =

+∞∑

n=1

xn

n

tem de começar em um. Obviamente, tudo o que vamos estudar nestasecção contínua válido para estas séries.

b) Quando x = a e n = 0 obtemos (x− a)n = 00 que, apesar de não estardefinido, no contexto das séries convencionamos ser igual a 1.

c) Uma série de potências pode convergir para determinados valores de x edivergir para outros.

d) Para x = a, tendo em conta a observação b), a série é sempre convergente.Aliás, se x = a temos

+∞∑

n=0

an(x− a)n = a0.



Exemplos de séries de potências

a) Estudemos a série de potências+∞∑

n=0

xn

n+ 1. Aplicando o critério de

D’Alembert à série dos módulos

+∞∑

n=0

∣∣∣∣

xn

n+ 1

∣∣∣∣

=+∞∑

n=0

|x|nn+ 1

(que é obviamente uma série de termos positivos) temos

limn→+∞

|x|n+1

n+ 2|x|nn+ 1

= limn→+∞

n+ 1n+ 2

|x| = limn→+∞

1 +1n

1 +2n

|x| = 1 . |x| = |x|

e, portanto, a série+∞∑

n=0

xn

n+ 1é absolutamente convergente para |x| < 1.



Exemplos de séries de potências (continuação)

a) (continuação) Se |x| > 1, temos

limn→+∞

|x|n+1

n+ 2|x|nn+ 1

= |x| > 1

e, portanto,|x|n+1

n+ 2≥ |x|

n

n+ 1

a partir de certa ordem. Daqui concluímos que para |x| > 1 a sucessão de

termo geralxn

n+ 1não converge para zero e, consequentemente, a série

+∞∑

n=0

xn

n+ 1é divergente quando |x| > 1.




a) (continuação) Falta ver o que acontece quando |x| = 1. Se x = 1, entãoobtemos a série

+∞∑

n=0

1n+ 1

=+∞∑

n=1

1n,

isto é, obtemos a série harmónica que já vimos ser divergente. Parax = −1, temos a série alternada

∞∑

n=0

(−1)n

n+ 1=∞∑

n=1

(−1)n+1

n

que é convergente (ver os exemplos do critério de Leibniz). Assim, estasérie é convergente para x ∈ [−1, 1[ e é divergente parax ∈ ]−∞,−1[∪ [1,+∞[.




b) Consideremos a série de potências+∞∑

n=0

xn

n!. Aplicando o critério de

D’Alembert à série dos módulos

+∞∑

n=0

∣∣∣∣

xn

n!

∣∣∣∣

=+∞∑

n=0

|x|nn!

(que é obviamente uma série de termos positivos) tem-se

limn→+∞

|x|n+1

(n+ 1)!|x|nn!

= limn→+∞

n!(n+ 1)!

|x| = limn→+∞

1n+ 1

|x| = 0 . |x| = 0,

o que permite concluir que a série+∞∑

n=0

xn

n!é absolutamente convergente

para todo o x ∈ R.




c) Estudemos a natureza da série+∞∑

n=0

nxn. Aplicando o critério de Cauchy à

série dos módulos+∞∑

n=0

|nxn| =+∞∑

n=0

n |x|n

temoslimn→+∞

n

√

n |x|n = limn→+∞

n√n |x| = 1 . |x| = |x| .

Assim, a série é absolutamente convergente para |x| < 1. Para |x| > 1 asérie é divergente. Para |x| = 1 a série também é divergente. Portanto, asérie

+∞∑

n=0

nnxn

converge se x ∈ ]− 1, 1[ e diverge se x ∈ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[.



Sejam a0, a1, . . . , an, . . . os termos de uma sucessão e a um númeroreal. Então

a) existe um número real r ≥ 0 tal que a série de potências

+∞∑

n=0

an(x− a)n

converge absolutamente quando |x− a| < r e diverge quando|x− a| > r; ou

b) a série de potências+∞∑

n=0

an(x− a)n

converge absolutamente para qualquer x ∈ R.



O número r do resultado anterior designa-se por raio de

convergência da série de potências+∞∑

n=0

an(x− a)n.

Se estivermos no caso da alínea b) costuma-se fazer r = +∞.

O conjunto dos x para os quais a série é convergente designa-se por

intervalo de convergência da série de potências+∞∑

n=0

an(x− a)n.

Note-se que o intervalo de convergência de uma série de potências é umdos quatro intervalos seguintes:

]a− r, a+ r[ , [a− r, a + r[ , ]a− r, a+ r] ou [a− r, a+ r] .



Observações

a) Do critério de D’Alembert resulta que,

se o limite existe, então r = limn→+∞

∣∣∣∣

anan+1

∣∣∣∣.

De facto, supondo x 6= a e an 6= 0 para qualquer n ∈ N, como

limn→+∞

∣∣∣∣

an+1(x − a)n+1

an(x − a)n

∣∣∣∣

= limn→+∞

|an+1||an|

|x− a| = λ |x− a| ,

pelo critério de D’Alembert, a série é absolutamente convergente seλ |x− a| < 1⇔ |x− a| < 1/λ.Além disso, se λ |x− a| > 1⇔ |x− a| 1/λ,asérie é divergente porque (an(x− a)n)n∈N não converge para zero.



Observações (continuação)

b) De forma análoga prova-se, usando o critério de Cauchy, que,

se o limite existe, então r =1

limn→+∞

n

√

|an|.



Exemplos

a) Já estudamos a natureza da série de potências+∞∑

n=0

xn

n+ 1e

provámos que o raio de convergência desta série é r = 1 e que o seuintervalo de convergência é [−1, 1[.

b) Num exemplo anterior vimos o raio de convergência da série de

potências+∞∑

n=0

xn

n!é r = +∞ e, consequentemente, o seu intervalo de

convergência é ]−∞,+∞[= R.

c) Também já vimos que a série+∞∑

n=0

nxn tem como raio de

convergência r = 1 e o seu intervalo de convergência é ]− 1, 1[.




d) Estudemos a série de potências+∞∑

n=1

(x− 1)n

n2 2n. Como

limn→+∞

1n2 2n

1(n+ 1)2 2n+1

= limn→+∞

(n+ 1)2

n2

2n+1

2n= lim

n→+∞2(1+1/n)2 = 2,

concluimos que a série é absolutamente convergente quando

|x− 1| < 2⇔ x− 1 < 2 ∧ x− 1 > −2⇔ ⇔ x ∈ ]− 1, 3[

e é divergente quando x ∈ ]−∞,−1[∪ ]3,+∞[. Falta ver o queacontece quando x = −1 e x = 3.




d) (continuação) Quando x = 3 temos+∞∑

n=0

(3− 1)n

n22n=

+∞∑

n=0

2n

n22n=

+∞∑

n=0

1n2

que é uma série de Dirichlet convergente. Quando x = −1 vem+∞∑

n=0

(−1− 1)n

n22n=

+∞∑

n=0

(−2)n

n22n=

+∞∑

n=0

(−1)n 2n

n22n=

+∞∑

n=0

(−1)n

n2,

e esta série é convergente. Para vermos isso podemos usar o critério deLeibniz ou então ver que a sua série dos módulos

+∞∑

n=0

∣∣∣∣

(−1)n

n2

∣∣∣∣

=+∞∑

n=0

|(−1)n|n2

=+∞∑

n=0

1n2

é convergente. Assim, o raio de convergência da série+∞∑

n=1

(x− 1)n

n2 2né r = 2

e o seu intervalo de convergência é [−1, 3].




e) Consideremos a série de potências

+∞∑

n=1

n

n2 + 1(x− 2)n.

Como

lim

n

n2 + 1n+ 1

(n+ 1)2 + 1

= limn3 + 2n2 + 2nn3 + n2 + n+ 1

= 1

concluímos que, se |x− 2| < 1, isto é, se x ∈ ]1, 3[, a série é absolutamenteconverge. Se |x− 2| > 1 a série diverge.




e) (continuação) Se x = 3, obtemos a série

+∞∑

n=1

n

n2 + 1(3− 2)n =

+∞∑

n=1

n

n2 + 1,

que é uma série de termos positivos, pelo que estudaremos a sua naturezarecorrendo ao critério do limite, fazendo a comparação com a sérieharmónica. Como

limn/(n2 + 1)

1/n= lim

n2

n2 + 1= 1

concluímos que para x = 3 a série tem a mesma natureza da sérieharmónica e, portanto, diverge.




e) (continuação) Além disso, se x = 1 obtemos a série+∞∑

n=1

(−1)nn

n2 + 1. A

sucessão de termo geral an =n

n2 + 1é decrescente visto que

n+ 1(n+ 1)2 + 1

− n

n2 + 1=

−n2 − n+ 1(n2 + 2n+ 2)(n2 + 1)

< 0 para todo on ∈ N.

Por outro lado, uma vez que temos

limn→+∞

n

n2 + 1= limn→+∞

n

n2(1 + 1/n2)= limn→+∞

1n(1 + 1/n2)

=1

+∞ = 0

podemos concluir pelo critério de Leibniz que, para x = 1, a sérieconverge. Assim, a série converge para x ∈ [1, 3[ e diverge parax ∈ ]−∞, 1[∪ [3 +∞[.



No intervalo de convergência I de uma série de potências

+∞∑

n=0

an(x− a)n

fica bem definida a função f : I → R dada por

f(x) =+∞∑

n=0

an(x− a)n

= a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · · + an(x− a)n + · · · .



Propriedades da função f(x) =∑+∞n=0 an(x− a)n

Seja+∞∑

n=0

an(x− a)n

uma série de potências com raio de convergência r e com intervalo deconvergência I. Consideremos a função f : I → R definida por

f(x) =+∞∑

n=0

an(x− a)n.

Então

a) a função f é contínua em I;

b) a função f é de classe C∞ em ]a− r, a+ r[;



Propriedades da função f(x) =∑+∞n=0 an(x− a)n (continuação)

c) para cada x ∈ ]a− r, a + r[ tem-se

f ′(x) =+∞∑

n=0

[an(x− a)n]′ ,

ou seja,

f ′(x) =+∞∑

n=1

nan(x− a)n−1

=+∞∑

n=0

(n+ 1)an+1(x− a)n

= a1 + 2a2(x− a) + 3a3(x− a)2 + · · ·+ nan(x− a)n−1 + · · ·



Propriedades da função f(x) =∑+∞n=0 an(x− a)n (continuação)

d) para cada x ∈ ]a− r, a + r[ tem-se

∫

f(x) dx =

[+∞∑

n=0

an(x− a)n+1

n+ 1

]

+ C

= C + a0(x− a) +a1

2(x− a)2 +

a2

3(x− a)3 + · · ·+

+ann+ 1

(x− a)n+1 + · · ·

ou seja, a função g dada por

g(x) =+∞∑

n=0

an(x− a)n+1

n+ 1

é uma primitiva de f .



Exemplos

a) Seja f : R \ {1} → R a função dada por

f(x) =1

1− x.

Quando estudámos a série geométrica vimos que para cadax ∈ ]− 1, 1[ temos

+∞∑

n=0

xn =1

1− x = f(x).

Verificamos então que f admite um desenvolvimento em série depotências de x no intervalo ]− 1, 1[.




b) Como

(1

1− x

)′=

1′(1− x)− 1(1 − x)′

(1− x)2=

0(1 − x)− 1(−1)(1− x)2

=1

(1− x)2,

usando o exemplo anterior e uma das propriedades anteriores,temos, para x ∈]− 1, 1[,

1(1− x)2

=(

11− x

)′=

+∞∑

n=0

(xn)′

=+∞∑

n=1

nxn−1 =+∞∑

n=0

(n+ 1)xn




c) O estudo que fizemos da série geométrica permite-nos concluir,para cada x ∈ ]− 1, 1[, que

11 + x

=1

1− (−x)=

+∞∑

n=0

(−x)n =+∞∑

n=0

(−1)nxn.

Como ln(1 + x) é uma primitiva de1

1 + xtem-se

ln(1 + x) = C ++∞∑

n=0

(−1)nxn+1

n+ 1

para algum C ∈ R. Como ln(1 + 0) = 0, tem-se C = 0 e, porconseguinte,

ln(1 + x) =+∞∑

n=0

(−1)nxn+1

n+ 1para qualquer x ∈]− 1, 1[.




d) Usando novamente a série geométrica, para x ∈ ]− 1, 1[, temos

11 + x2

=1

1− (−x2)=

+∞∑

n=0

(−x2)n =+∞∑

n=0

(−1)nx2n

e, pelas propriedades estudadas, tem-se para x ∈ ]− 1, 1[

arc tg x = C ++∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1

para algum C ∈ R. Como arc tg 0 = 0, concluímos que C = 0 e,portanto,

arc tg x =+∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1para x ∈ ]− 1, 1[.



Seja f : D → R uma função de classe C∞. Se f puder ser escrita naforma

f(x) =+∞∑

n=0

an(x− a)n

= a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · ·+ an(x− a)n + · · ·

para x ∈ ]a− r, a+ r[⊆ D, com r > 0, dizemos que f admite umarepresentação em série de potências de x− a no intervalo]a− r, a+ r[. As funções que admitem uma representação em série depotências num intervalo não degenerado da forma ]a− r, a+ r[dizem-se funções analíticas no ponto a.

Dada uma função analítica num ponto a, como calcular os coeficientesan?



Se para cada x ∈ ]a− r, a+ r[ se tem

f(x) = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · ·+ an(x− a)n + · · ·então f(a) = a0. Derivando obtemos

f ′(x) = a1 + 2a2(x− a) + 3a3(x− a)2 + · · · + nan(x− a)n−1 + · · ·

e, portanto, f ′(a) = a1. Derivando novamente obtemos

f ′′(x) = 2 a2 + 3× 2 a3(x− a) + · · · + n× (n− 1) an(x− a)n−2 + · · ·

o que implica f ′′(a) = 2 a2. Iterando o processo obtemos

f (n)(a) = n! an ⇔ an =f (n)(a)n!

para cada n ∈ N0 (com f (0) = f). Assim,

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)n!

(x − a)n + · · ·



Fórmula de Taylor (com resto de Lagrange)

Sejam I um intervalo,f : I → R

uma função de classe Cn, n+ 1 vezes diferenciável em int I e a umponto de I. Para cada x ∈ I \ {a}, existe c estritamente entre a e x talque

f(x) = f(a) + f ′(a) (x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n +Rn(x)

onde

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x− a)n+1 .



Ao polinómio

pn(x) = f(a) + f ′(a) (x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n

chamamos polinómio de Taylor de grau n da função f em torno dex = a e a

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x− a)n+1

resto Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a.

Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de MacLaurine o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de MacLaurin.



Dada uma função f : D → R de classe C∞, designa-se por série deTaylor de f em a a série

+∞∑

n=0

f (n)(a)n!

(x− a)n

= f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x− a)n + · · ·

No caso particular em que a = 0 obtemos a série

+∞∑

n=0

f (n)(0)n!

xn = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n)(0)n!

xn + · · ·

que se designa por série de MacLaurin de f .



Pelo que foi visto anteriormente, uma função f de classe C∞ éanalítica num ponto a interior ao domínio se existe r > 0 tal que

f(x) =+∞∑

n=0

f (n)(a)n!

(x− a)n

para cada x ∈ ]a− r, a+ r[. Assim, da fórmula de Taylor resultaimediatamente o seguinte resultado.

Seja f : D → R uma função de classe C∞ e seja Rn(x) o resto deLagrange de ordem n da função f em torno de x = a ∈ D. Se existirr > 0 tal que para cada x ∈]a− r, a+ r[⊆ D se tem

limn→+∞

Rn(x) = 0,

então a função f é analítica em x = a.



Exemplos

a) A função exponencial, f(x) = ex, é de classe C∞ e

f (n)(x) = ex o que implica f (n)(0) = 1

para qualquer n ∈ N. A fórmula de Maclaurin com resto de Lagrange será

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+Rn(x), com Rn(x) =

ec xn+1

(n+ 1)!

e onde c é um número entre 0 e x. Como∣∣∣∣

ec xn+1

(n+ 1)!

∣∣∣∣≤ emax{0,x} |x|n+1

(n+ 1)!,

temoslimn→+∞

Rn(x) = limn→+∞

ec xn+1

(n+ 1)!= 0

e, por conseguinte, a função exponencial é analítica em torno da origem e

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · · =

+∞∑

n=0

xn

n!.




b) A função seno, f(x) = sen x, é de classe C∞ e

f (n)(x) =

cos x se n = 4k − 3, k ∈ N;

− senx se n = 4k − 2, k ∈ N;

− cos x se n = 4k − 1, k ∈ N;

sen x se n = 4k, k ∈ N;

pelo que

f (n)(0) =

{

0 se n = 2k, n ∈ N;

(−1)k+1 se n = 2k − 1, n ∈ N.




b) (continuação) Assim, a fórmula de Maclaurin, com resto deLagrange, da função seno é

sen x = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)n

x2n+1

(2n + 1)!+R2n+1(x),

com

R2n+1(x) =(−1)n sen c x2n+2

(2n + 2)!

e c um número entre 0 e x. Como limn→+∞

R2n+1(x) = 0, a função

seno é analítica em torno da origem e

senx = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ · · · =

+∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!.




c) De modo semelhante prova-se que a função coseno é analítica naorigem e que

cos x = 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)n

x2n

(2n)!+ · · ·

=+∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!.



Façamos uma lista das principais séries de Taylor deduzidas nestes capítulo.

ex =+∞∑

n=0

xn

n!, x ∈ R

senx =+∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!, x ∈ R

cosx =+∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!, x ∈ R

11− x =

+∞∑

n=0

xn, x ∈ ]− 1, 1[

ln(1 + x) =+∞∑

n=0

(−1)nxn+1

n+ 1, x ∈ ]− 1, 1[

arc tgx =+∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1, x ∈ ]− 1, 1[



Observação

Nem todas as funções de classe C∞ num dado intervalo aberto sãoanalíticas nesse intervalo. Por exemplo, se f : R→ R é a funçãodefinida por

f(x) =

{

e−1/x2se x 6= 0

0 se x = 0

pode-se provar que f é de classe C∞ e f (n)(0) = 0. Obviamente, a suasérie de MacLaurin

+∞∑

n=0

f (n)(0)n!

xn = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n)(0)n!

xn + · · ·

é identicamente nula e, portanto, é diferente de f em qualquerintervalo da forma ]− r, r[, r > 0. Logo f não é analítica em x = 0.


Índice



m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn

Funções de Rn em Rm

LimitesContinuidade






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2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn

Distâncias e normasBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados


LimitesContinuidade






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Os espaços Rn



LimitesContinuidade






§2.1.1 Os espaços Rn

Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com arecta

0 a


§2.1.1 Os espaços

Os elementos do conjunto

R2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R}

podem ser representados no plano da seguinte forma

x1

x2

b P (a, b)

a

b

Representação geométrica de um ponto de R2



Os elementos do conjunto

R3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R}

podem ser representados no espaço da seguinte forma

x2

x1

x3

bP (a, b, c)

a

b

c

Representação geométrica de um ponto de R3


§2.1.1 Os espaços

Podemos generalizar este género de conjuntos para qualquer númeronatural n. Assim, definimos o conjunto Rn utilizando o produtocartesiano, ou seja,

Rn = R×R× · · · ×R︸︷︷︸

n vezes

é o conjunto formado por todos os elementos da forma

x = (x1, . . . , xn)

onde xi é um número real para i = 1, . . . , n. A cada elemento xichamamos i-ésima coordenada de x.



Em Rn vamos considerar duas operações, a adição (entre elementos deRn) e a multiplicação de um número real por um elemento de Rn,definidas, para cada

x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)

em Rn e para cada λ ∈ R, da seguinte forma:

x+ y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

eλx = λ (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) .


§2.1.1 Os espaços

A adição e a multiplicação verificam, para cada

x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) e z = (z1, . . . , zn)

em Rn e para cada λ, µ em R, as seguintes propriedades:

a) x+ y = y + x;

b) x+ (y + z) = (x+ y) + z;

c) (0, . . . , 0) ∈ Rn é o elemento neutro da adição;

d) −x = (−x1, . . . ,−xn) é o simétrico de x = (x1, . . . , xn), já quex+ (−x) = (0, . . . , 0);

e) λ (µx) = (λµ)x;

f) λ (x+ y) = λx+ λy;

g) (λ+ µ)x = λx+ µx;

h) 1x = x.

Por se verificarem estas propriedades, é costume dizer que Rn é umespaço vectorial.



Associada a estas operações está uma outra operação, a subtracção,que é definida, para cada

x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)

em Rn, por

x− y = (x1, . . . , xn)− (y1, . . . , yn) = (x1 − y1, . . . , xn − yn).

Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elementogenérico de R2 por (x, y) em vez de (x1, x2). Da mesma forma, umelemento genérico de R3 será por vezes representado por (x, y, z) emvez de (x1, x2, x3).


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Os espaços Rn



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§2.1.2 Distâncias e normas

Em R, observando a figura que se segue

x y

|x− y|

Distância entre dois números reais x e y

verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por

d(x, y) = |x− y| .



Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R2. Paraisso consideremos dois pontos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) e façamos asua representação geométrica.

x1

x2 b

y1

y2 bb

b

d(x,y)

b

b

x1 − y1

b

b

b

b

x2 − y2

b

b

Distância entre dois pontos de R2

Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y édada por

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.



Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x1, x2, x3) ey = (y1, y2, y3) é dada por

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.

bx = (x1, x2, x3)

by = (y1, y2, y3)

b

b

b

b

b

b

Distância entre dois pontos de R3



De um modo geral, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, adistância entre x e y calcula-se usando a seguinte fórmula:

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2.



Associado à definição de distância temos o conceito de norma. Dadox = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, a norma de x é dada por

‖x‖ =√

x21 + x2

2 + · · ·+ x2n.

Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0, . . . , 0) temos

‖x‖ = ‖x− 0‖ = d(x, 0)

pelo que a norma de x = (x1, . . . , xn) é apenas o comprimento do vector x, talcomo ilustra a figura seguinte no caso particular de R2:

x1

x2x = (x1, x2)

Além disso, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, temos

d(x, y) = ‖x− y‖.



Para quaisquer x, y ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R, as seguintespropriedades são verdadeiras:

a) ‖x‖ ≥ 0

b) ‖x‖ = 0 se e só se x = 0;

c) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖;d) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. (desigualdade triangular)

As três primeiras propriedades apresentadas anteriormente são fáceisde verificar. Já a última propriedade é mais difícil de provar.


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§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Seja a = (a1, . . . , an) um ponto de Rn. Chama-se bola aberta decentro a e raio r > 0 ao conjunto

Br(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2 < r

}

={

x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2 < r2}

e bola fechada de centro a e raio r ≥ 0 ao conjunto

Br[a] = {x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ ≤ r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2 ≤ r}

={

x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2 ≤ r2}

.



O conjunto

Sr(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2 = r

}

={

x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2 = r2}

designa-se por esfera de centro a e raio r ≥ 0.



Em R a distância entre dois elementos é dada pelo módulo da diferençae, por conseguinte, as bolas são intervalos e as esferas conjuntos comdois pontos:

aa− r a+ r aa− r a+ r aa− r a+ r

Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a ∈ R e raio r



A figura seguinte ilustra, em R2, os três conjuntos definidosanteriormente:

b

a1

a2 b

rb

rb

a1

a2

rbb

rb

a1

a2

rb

Bola aberta, bola fechada e esfera de centro (a1, a2) e raio r



Em R3 a bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r pode ser representadapor

ba rba rb

Representação geométrica em R3 da bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r



Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido emalguma bola centrada na origem, isto é,

A ⊆ Br[0] para algum r > 0,

ou seja, se existir r > 0 tal que

‖x‖ ≤ r para cada x ∈ A.

Os subconjuntos de Rn que não são limitados dizem-se ilimitados


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§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Seja A um subconjunto não vazio de Rn. Um ponto a ∈ Rn diz-seinterior a A

se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.

O ponto a diz-se exterior a A

se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ Rn \ A.

Um ponto a ∈ Rn diz-se fronteiro a A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅ e Bε(a) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.



A figura que se segue ilustra estes três conceitos.

aa

bb

cc

Pontos interiores, pontos exteriores e pontos fronteiros

O ponto a é um ponto interior ao conjunto, o ponto b é um pontoexterior ao conjunto e o ponto c é um ponto fronteiro ao conjunto.



O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A erepresenta-se por intA ou A◦.

O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A erepresenta-se por extA.

O conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A erepresenta-se por frA.



Observações

a) Da definição resulta imediatamente que intA, extA e frA sãoconjuntos disjuntos dois a dois e que

Rn = intA ∪ extA ∪ frA.

b) Outra consequência imediata da definição é a seguinte

intA = ext (Rn \ A) e frA = fr (Rn \ A) .



Exemplos

a) Consideremos os conjuntos

A ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}

B ={

(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4 ∧ 1 ≤ y ≤ 2}

C ={

(x, y) ∈ R2 : 5 ≤ x ≤ 6 ∧ 1 < y < 2}

Estes conjuntos estão representados na figura seguinte

1

2

1 2 3 4 5 6x

y

A B C



Exemplos

a) (continuação) Então o interior destes três conjuntos é dado por

intA ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2

}

intB ={

(x, y) ∈ R2 : 3 < x < 4 ∧ 1 < y < 2

}

intC ={

(x, y) ∈ R2 : 5 < x < 6 ∧ 1 < y < 2

},

o exterior é dado por

extA ={

(x, y) ∈ R2 : x < 1 ∨ x > 2 ∨ y < 1 ∨ y > 2

}

extB ={

(x, y) ∈ R2 : x < 3 ∨ x > 4 ∨ y < 1 ∨ y > 2

}

extC ={

(x, y) ∈ R2 : x < 5 ∨ x > 6 ∨ y < 1 ∨ y > 2

},

e a fronteira é dada por

frA ={

(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 1 ≤ x ≤ 2) ∨ ((x = 1 ∨ x = 2) ∧ 1 ≤ y ≤ 2)

}

frB ={

(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 3 ≤ x ≤ 4) ∨ ((x = 3 ∨ x = 4) ∧ 1 ≤ y ≤ 2)

}

frC ={

(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 5 ≤ x ≤ 6) ∨ ((x = 5 ∨ x = 6) ∧ 1 ≤ y ≤ 2)

}.



Exemplos

b) Dada a bola aberta Br(a) de centro a e raio r > 0 tem-se

int (Br(a)) = Br(a)

ext (Br(a)) = Rn \Br[a]

fr (Br(a)) = Sr(a).

O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br[a] de centro ae raio r > 0 coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior ea fronteira de Br(a).

c) É óbvio que intRn = Rn, extRn = ∅ e frRn = ∅.

d) Também temos int∅ = ∅, ext∅ = Rn e fr∅ = ∅.



Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ Rn

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅.

O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se poraderência ou fecho de A e representa-se por A.



Exemplos

a) Considerando novamente os conjuntos

A ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}

B ={

(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4 ∧ 1 ≤ y ≤ 2}

C ={

(x, y) ∈ R2 : 5 ≤ x ≤ 6 ∧ 1 < y < 2}

temos

A ={

(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 1 ≤ y ≤ 2}

B ={

(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4 ∧ 1 ≤ y ≤ 2}

C ={

(x, y) ∈ R2 : 5 ≤ x ≤ 6 ∧ 1 ≤ y ≤ 2}




b) Seja Br(a) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Então

Br(a) = Br[a].

c) Também se tem Rn = Rn e ∅ = ∅.



É evidente que para qualquer subconjunto A de Rn se tem

A = intA ∪ frA

eintA ⊆ A ⊆ A.



Sejam A um subconjunto de Rn e a ∈ Rn. Diz-se que a é um pontode acumulação de A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.

O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-sepor A′ e designa-se por derivado.

Os pontos de A que não são pontos de acumulação de A designam-sepor pontos isolados.



Exemplos

a) Seja

A ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

∪ {(2, 2) , (−2, 2)} .

O conjunto A tem a seguinte representação geométrica

x

y

2

2

-2 1




a) (continuação) Então se

A ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}∪ {(2, 2) , (−2, 2)}

tem-se

intA ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1},

extA ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}\ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

frA ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

A ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

A′ ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.

Os pontos (2, 2) e (−2, 2) são pontos isolados de A. Além disso o conjuntoA é limitado porque

A ⊆ B3[0].

b) É óbvio que (Rn)′ = Rn e que (∅)′ = ∅.


Índice



Os espaços Rn



LimitesContinuidade






§2.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados

Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = intA e diz-se fechadose A = A.

aa

conjunto aberto

bb

conjunto fechado

Conjuntos abertos e conjuntos fechados


Índice




Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível

LimitesContinuidade






Índice





LimitesContinuidade







Seja D um subconjunto não vazio de Rn. Uma função

f : D ⊆ Rn → Rm

associa a cada elemento x = (x1, . . . , xn) de D um e um só elemento deRm que representaremos por f(x). Como f(x) ∈ Rm, tem-se

f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))

onde

f1 : D ⊆ Rn → R

f2 : D ⊆ Rn → R

...

fm : D ⊆ Rn → R.



Assim, cada função f : D ⊆ Rn → Rm pode ser definida por m funções

f1 : D ⊆ Rn → R

f2 : D ⊆ Rn → R

...

fm : D ⊆ Rn → R,

funções essas que se designam por funções coordenadas de f . Nestascondições escreve-se

f = (f1, f2, . . . , fm) .



As funçõesf : D ⊆ Rn → R

designam-se por funções escalares e as funções

f : D ⊆ Rn → Rm, m > 1,

designam-se por funções vectoriais.

O conjunto D no qual está definida a função designa-se por domíniode f e o conjunto de todas as imagens de uma função designa-se porcontradomínio de f , ou seja, o contradomínio de uma função

f : D ⊆ Rn → Rm

é o conjuntof(D) = {f(x) ∈ Rm : x ∈ D} .



Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → R

m

a) Seja f a função dada por

f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))

= (ln(y − x), sen x, 1) .

O domínio de f é o conjunto

D ={

(x, y) ∈ R2 : y − x > 0}

={

(x, y) ∈ R2 : y > x}

Obviamente, f : D ⊆ R2 → R3 e o seu contradomínio é o conjunto

f(D) ={

(a, b, c) ∈ R3 : − 1 ≤ b ≤ 1, c = 1}

.

Esta função é uma função vectorial pois o seu contradomínio é umsubconjunto de R3.




m (continuação)

a) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio

D ={

(x, y) ∈ R2 : y > x}

da função f :

x

y

1

1

y = x

D

1




m (continuação)

b) Consideremos a função escalar dada por

f(x, y) = x ln(

y2 − x)

.

O domínio de f é o conjunto

D ={

(x, y) ∈ R2 : y2 − x > 0}

={

(x, y) ∈ R2 : y2 > x}

Assim, f : D ⊆ R2 → R e o contradomínio de f é R.




m (continuação)

b) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio

D ={

(x, y) ∈ R2 : y2 > x}

da função f :

x

y

1 2

1

√2

x = y2D

1

√2


Índice





LimitesContinuidade






§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Dada uma função f : D ⊆ Rn → Rm designa-se por gráfico de f oconjunto

G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D} .



Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2

Seja f a função dada por

f(x, y) = x2 + y2.

O domínio desta função é R2 e o seu contradomínio é [0,+∞[. Ográfico desta função é o conjunto

G (f) ={(

(x, y), x2 + y2)

: (x, y) ∈ R2}

.

Costuma identificar-se o ponto((x, y), x2 + y2

)de R2 ×R com o ponto

(x, y, x2 + y2

)de R3. Assim,

G (f) ={(

x, y, x2 + y2)

: (x, y) ∈ R2}

.



Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)

Façamos a representação geométrica do gráfico de f :

x

y

f(x, y)

1

2

5b



Sejam f : D ⊆ Rn → R uma função e k ∈ R. O conjunto

Ck = {x ∈ D : f(x) = k}

designa-se por conjunto de nível k. Em R2 os conjuntos de níveldesignam-se por curvas de nível e em R3 designam-se porsuperfícies de nível.



Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2

Consideremos novamente a função f : R2 → R dada por

f(x, y) = x2 + y2.

As curvas de nível desta função são

Ck ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = k}

.

Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Se k = 0 temos C0 = {(0, 0)}.Finalmente, para k > 0 a curva de nível é uma circunferência centradaem (0, 0) e de raio

√k.



Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 +y2 (continuação)

As curvas de nível 1, 2 e 3 estão representadas na figura seguinte

x

y

1√

2√

3



Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 +y2 (continuação)

As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente ográfico da função:

x

y

f(x, y)

1

2

3


Índice




Limites

Definição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais

Continuidade






Índice




Limites


Continuidade






§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Comecemos por recordar a definição de limite para funções

f : D ⊆ R→ R,

ou seja, quando n = m = 1.

Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = b,

se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

|f(x)− b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x− a| < δ.

Simbolicamente, tem-se o seguinte

limx→a

f(x) = b⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− b| < ε)



A figura seguinte ilustra o conceito de limite de funções

f : D ⊆ R→ R.

x

y

bb

a

b

f(a)

b−ε

b+ε

b

b

a−δ a+δ

b

a−δ a a+δ

b

a−δ a a+δ

b

xa

b−ε

b+ε

b

b

a−δ a a+δ

b

a−δ a a+δ

b

a−δaa+δ

b

a−δ a a+δ

b−ε

b

b+ε

b

Interpretação geométrica do conceito de limite de uma função real de variável real



Para generalizarmos o conceito de limite para funções

f : D ⊆ Rn → Rm

temos de utilizar normas em vez de módulos.

Deste modo, sejam D um subconjunto de Rn,

f : D ⊆ Rn → Rm

uma função, a um ponto de acumulação de D e b ∈ Rm. Dizemos que bé o limite de f quando x tende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = b,

se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

‖f(x)− b‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < ‖x− a‖ < δ.

Simbolicamente, tem-se o seguinte:

limx→a

f(x) = b⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < ε) .



Para interpretar geometricamente a definição de limite basta observar que

‖f(x)− b‖ < ε é equivalente a f(x) ∈ Bε(b)

e que0 < ‖x− a‖ < δ é equivalente a x ∈ Bδ(a) \ {a} .

Rn

DRm

f(D)

f

a

f(a)

bbε

δ a

x f(x)

Interpretação geométrica do limite em a de uma função f : D ⊆ Rn → Rm



Se a for um ponto isolado do domínio D, então a definição dada atrásnão se pode aplicar porque, quando a é um ponto isolado de D, épossível escolher δ > 0 tal que

0 < ‖x− a‖ < δ

é falso para qualquer x ∈ D.



Propriedades

a) O limite de de uma função (quando existe) é único.

b) Sejam D um subconjunto de Rm tal que

a = (a1, . . . , an) ∈ Rn

um ponto de acumulação de D e seja

b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm.

Sef : D ⊆ Rn → Rm

uma função tal que

f = (f1, . . . , fm) ,

entãolimx→a

f(x) = b se e só se limx→a

fi(x) = bi, i = 1, . . . ,m.



Propriedades (continuação)

c) Sejam D ⊆ Rn, f, g : D → Rm, α : D → R e a um ponto de acumulaçãode D. Suponhamos que existem

limx→a

f(x), limx→a

g(x) e limx→a

α(x).

Então

i) existe limx→a

[f(x) + g(x)] e

limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x);

ii) existe limx→a

[α(x)f(x)] e

limx→a

[α(x)f(x)] =[

limx→a

α(x)]

.[

limx→a

f(x)]

;

iii) se limx→a

α(x) 6= 0, existe limx→a

1α(x)

e

limx→a

1α(x)

=1

limx→a

α(x).




d) Sejam D um subconjunto de Rn, a um ponto de acumulação de D e

f, g : D ⊆ Rn → R.

Suponhamos quelimx→a

f(x) = 0

e g é uma função limitada numa bola centrada em a. Então

limx→a

[f(x).g(x)] = 0.




e) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm

eg : Dg ⊆ Rm → Rk

duas funções tais quef(Df ) ⊆ Dg.

Suponhamos que a ∈ Rn é um ponto de acumulação de Df e queb ∈ Dg é um ponto de acumulação de Dg. Se

limx→a

f(x) = b e limx→b

g(x) = g(b),

entãolimx→a

(g ◦ f)(x) = limx→a

g(f(x)) = g(b).



Rn Rm

Df

f

f(Df)

a b = f(a)b b

Rk

b

b = f(a)

f(Df) Dg

g

g (Dg)

g ◦ f

b

g(b) = g(f(a))

Composição de funções



Exemplos

a) Seja f : R2 → R3 a função definida por

f(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cos x) .

Entãof = (f1, f2, f3)

ondef1, f2, f3 : R2 → R

são as funções definidas por

f1(x, y) = x+ y, f2(x, y) = sen(x+ 2y) e f3(x, y) = cos x.




a) (continuação) Como

lim(x,y)→(π/2,0)

f1(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

x+ y = π/2 + 0 = π/2

lim(x,y)→(π/2,0)

f2(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

sen(x+ 2y)

= sen(π/2 + 2.0) = sen(π/2) = 1

lim(x,y)→(π/2,0)

f3(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

cosx = cos(π/2) = 0,

temos

lim(x,y)→(π/2,0)

f(x, y)

=(

lim(x,y)→(π/2,0)

f1(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)

f2(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)

f3(x, y))

= (π/2, 1, 0) .




b) Seja f : R2 → R a função dada por

f(x, y) =

xy2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Esta função pode ser escrita, quando (x, y) 6= (0, 0), da seguinteforma

xy2

x2 + y2.




b) (continuação) Como lim(x,y)→(0,0)

x = 0 ey2

x2 + y2é limitada, pois

0 ≤ y2

x2 + y2≤ 1 para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} ,

podemos concluir que

lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0.

e, consequentemente,

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0.


Índice




Limites


Continuidade






§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Seja A um subconjunto de D ⊆ Rn e a um ponto de acumulação de A.Chama-se limite relativo a A da função

f : D ⊆ Rn → Rm

no ponto a (ou limite quando x tende para a no conjunto A) aolimite em a (quando exista) da restrição de f a A e usa-se a notação

limx→ax∈A

f(x).



É evidente para qualquer função

f : D ⊆ Rn → R

se existelimx→a

f(x),

então também existelimx→ax∈A

f(x)

para qualquer subconjunto A de D tal que a é ponto de acumulação deA e

limx→ax∈A

f(x) = limx→a

f(x).

Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite não existe.



Além disso, dada uma função

f : D ⊆ Rn → R,

se A1 e A2 são dois subconjuntos de Rn tais que a é ponto deacumulação de A1 e de A2,

D = A1 ∪A2

e existem e são iguais os limites

limx→ax∈A1

f(x) e limx→ax∈A2

f(x),

então também existelimx→a

f(x)

elimx→a f(x) = lim

x→ax∈A1

f(x) = limx→ax∈A2

f(x).



Exemplo

Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a função definida por

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2.

Considerando os conjuntos

A = {(x, 0) : x ∈ R \ {0}} e B = {(0, y) : y ∈ R \ {0}}

temos

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈A

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2

x2= lim

x→01 = 1

e

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈B

f(x, y) = limy→0

f(0, y) = limy→0

−y2

y2= lim

y→0−1 = −1.




Comolim

(x,y)→(0,0)(x,y)∈A

f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈B

f(x, y),

não existelim

(x,y)→(0,0)f(x, y).



Para funções reais de variável real, f : D ⊆ R→ R, considerando osconjuntos

D+a = {x ∈ D : x > a} = D∩ ]a,+∞[

eD−a = {x ∈ D : x < a} = D∩ ]−∞, a[,

obtemos os limites laterais à direita e à esquerda da seguinteforma

limx→a+

f(x) = limx→ax∈D+

a

f(x)

elimx→a−

f(x) = limx→ax∈D−a

f(x),

desde que a seja ponto de acumulação de D+a e de D−a , respectivamente.



A generalização natural dos limites laterais a funções

f : D ⊆ Rn → Rm

é dada pelos limites direccionais. Se a e v são elementos de Rn, com v 6= 0,então

{x ∈ Rn : x = a+ tv, t ∈ R+

}

é a semi-recta de origem a e com a direcção e o sentido de v. Dada uma função

f : D ⊆ Rn → Rm,

fazendoA =

{x ∈ D : x = a+ tv, t ∈ R+

},

e supondo que a é ponto de acumulação de A, chama-se a

limx→ax∈A

f(x)

limite (direccional) de f no ponto a segundo v. Este limite obtém-secalculando

limt→0+

f(a+ tv).



Observações

a) Sejam D um subconjunto de Rn,

f : D ⊆ Rn → R

uma função e a, v ∈ Rn. Se existe

limt→0+

f(a+ tv),

então, fazendo u = λv, λ ∈ R+, também existe

limt→0+

f(a+ tu)

e

limt→0+

f(a+ tv) = limt→0+

f(a+ tu).

b) Tendo em conta a observação anterior, para calcular os limitesdireccionais basta considerar vectores de norma um. Assim, para funções

f : D ⊆ R2 → R,

basta considerar vectoresv = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[.



Exemplo

Consideremos novamente a função f : R2 \ {(0, 0)} → R definida por

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2.

Fazendov = (cosα, sen α) ,

com α ∈ [0, 2π[, temos

limt→0+

f(0 + t cosα, 0 + t senα) = limt→0+

t2 cos2 α− t2 sen2 α

t2 cos2 α+ t2 sen2 α

= cos2 α− sen2 α

e, como os limites direccionais dependem do vector v, podemos concluirque não existe

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).



Para funções f : D ⊆ R→ R é fácil provar que se existem

limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x)

elimx→a+

f(x) = limx→a−

f(x),

então também existelimx→a

f(x)

elimx→a

f(x) = limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x).

No entanto, para funções

f : D ⊆ Rn → Rm, n > 1,

é possível existirem e serem iguais todos os limites direccionais, sem queo limite da função exista. Vejamos um exemplo em que isso acontece.



Exemplo

No ponto (0, 0) todos os limites direccionais da função

f : R2 \ {(0, 0)} → R

definida por

f(x, y) =x2y

x4 + y2

são iguais a zero. De facto, fazendo

v = (cosα, sen α) ,

com α ∈ [0, 2π[, temos, para α ∈]0, π[∪]π, 2π[,

limt→0+

f((0, 0) + tv) = limt→0+

f(t cosα, t sen α) = limt→0+

t3 cos2 α senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α

= limt→0+

t cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α

=0

0 + sen2 α= 0.




Se α = 0 vem

limt→0+

f(t, 0) = limt→0+

t20t4 + 02

= limt→0+

0 = 0.

e se α = π temos

limt→0+

f(−t, 0) = limt→0+

(−t)20(−t)4 + 02

= limt→0+

0 = 0.

Assim, todos os limites direccionais são iguais a zero.




No entanto, considerando o conjunto

A ={

(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x2}

temos

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) = limt→0

f(t, t2) = limt→0

t2.t2

t4 + (t2)2= lim

t→0

t4

2t4= lim

t→0

12

=12

que é diferente dos limites direccionais. Logo não existe

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2.


Índice




LimitesContinuidade

Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass






Índice




LimitesContinuidade








Sejam D um subconjunto de Rn,

f : D ⊆ Rn → Rm

uma função e a ∈ D. Diz-se que f é contínua no ponto a se paracada ε > 0, existir δ > 0 tal que

‖f(x)− f(a)‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que ‖x− a‖ < δ.

Simbolicamente,

f é contínua em a

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε) .



Assim temos a seguinte interpretação geométrica de continuidade numponto.

Rn

DRm

f(D)

f

a

f(a)f(a)ε

δ a

x f(x)

Função de Rn em R

m contínua no ponto a



Dizemos que a ∈ D é um ponto de descontinuidade de

f : D ⊆ Rn → Rm

se f não é contínua em a.

Uma funçãof : D ⊆ Rn → Rm

é contínua se for contínua em todos os pontos de D.



Observações

a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.

b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → Rm é contínua ema. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que

Bδ(a) ∩D = {a} .Assim, a condição

x ∈ D ∧ ‖x− a‖ < δ é equivalente a x = a

e, por conseguinte,

‖f(x)− f(a)‖ = 0 < ε.

Em particular, se D só tem pontos isolados, então qualquer funçãof : D → Rm é contínua.

c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → Rm é contínuaem a se e só se

limx→a

f(x) = f(a).



Exemplos

a) Num exemplo anterior estudamos a função

f : R2 → R3

dada porf(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cos x)

e vimos quelim

(x,y)→(π/2,0)f(x, y) = (π/2, 1, 0) .

Comof(π/2, 0) = (π/2, 1, 0) ,

a função é contínua no ponto (π/2, 0).




b) Seja f : R2 → R a função é definida por

f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).Fazendo

A ={

(x, y) ∈ R2 : x = 0}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : y = 0},

temos

lim(x,y)→(0,0)x∈A

f(x, y) = limy→0

f(0, y) = limy→0

02 − y2

02 + y2= limy→0

−y2

y2= limy→0−1 = −1

e

lim(x,y)→(0,0)x∈B

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2 − 02

x2 + 02= limx→0

x2

x2= limx→0

1 = 1.




b) (continuação) Como

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y),

não existe

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2.

Logo a função não é contínua em (0, 0).

No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque

lim(x,y)→(a,b)

x2 − y2

x2 + y2=a2 − b2

a2 + b2= f(a, b).



Propriedades

a) Sejamf : D ⊆ Rn → Rm

uma função tal quef = (f1, . . . , fm)

e a um elemento de D. Então

f é contínua em a

se e só se todas as suas funções coordenadas

fi são contínuas em a.




b) Sejamf, g : D ⊆ Rn → Rm

duas funções contínuas em a ∈ D e

α : D → R

uma função contínua em a. Então

f + g e αf são contínuas em a

e, se α(a) 6= 0, então

1α

é contínua em a.




c) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm

eg : Dg ⊆ Rm → Rk

duas funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Se

f é contínua em a ∈ Df

eg é contínua em f(a),

entãog ◦ f é contínua em a.



Exemplo

Seja f : R2 → R a função dada por

f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Já vimos num exemplo anterior que fazendo

A ={

(x, y) ∈ R2 : y = 0}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : y = x2},

temos

lim(x,y)→(0,0)x∈A

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

f(0, y) = limx→0

x2 0x4 + 02

= limx→0

0x4

= limx→0

0 = 0

e


f(x, y) = limx→0

f(x, x2) = limx→0

x2 x2

x4 + (x2)2= limx→0

x4

2x4= limx→0

12

=12.




Comolim

(x,y)→(0,0)x∈A

f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y),

não existe

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

e, portanto, a função não é contínua em (0, 0).

No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque pode ser escrita como a composição de funções contínuas.

Outra forma de provarmos que f é contínua em qualquer pontos(a, b) 6= (0, 0) é observarmos que

lim(x,y)→(a,b)

x2y

x4 + y2=

a2b

a4 + b2= f(a, b).


Índice




LimitesContinuidade







§2.4.2 Teorema de Weierstrass

Seja f : D ⊆ Rn → R uma função escalar e A um subconjunto nãovazio de D. Dizemos que f tem um máximo (absoluto) no pontoa ∈ A ou que f(a) é um máximo (absoluto) de f em A se

f(x) ≤ f(a) para todo o x ∈ A.

Quandof(x) ≥ f(a) para todo o x ∈ A,

dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A. Os máximos e mínimos(absolutos) de f em a dizem-se extremos absolutos de f em A.



Teorema de Weierstrass

Sejaf : D ⊆ Rn → R

uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem máximo e mínimo em A.



Exemplo

SejamA =

{

(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}

e f a função dada por

f(x, y) = x+ y sen x.

A função f é contínua em R2 e, portanto, é contínua em A. Como A éfechado e limitado, f tem máximo e mínimo no conjunto A.


Índice





Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Derivada da função compostaDerivadas de ordem superior. Teorema de SchwarzTeorema da função implícitaExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange





Índice











§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Comecemos por recordar como se define derivada de funções reais devariável real. Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R ea ∈ D um ponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:

limx→a

f(x)− f(a)x− a .

Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e

representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf

dx(a). Fazendo a

mudança de variável x = a+ h, temos

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)h

.

Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a+ h ∈ D.



Diz-se que a função f : D → R é derivável ou diferenciável em D sefor derivável em todo o ponto de D e à nova função

f ′ : D → R,

que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada de

f e representa-se também por Df oudf

dx.



O quocientef(a+ h)− f(a)

hrepresenta o declive da recta que passa pelos pontos

(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) .

Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos

(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) ,

vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no pontos(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação

y = f(a) + f ′(a)(x − a).



b

a

f(a)

b

a+ h

f(a + h)

b

b

a

f(a)

b

b

bb

a+ h

f(a + h)

b

b

a

f(a) b

bb

b

a+ h

f(a + h)

b

b

a

f(a) b

bb

b

b

a+ h

f(a + h)

b

b

b

y = f(a) + f ′(a)(x − a)

α

f ′(a) = tgα

Interpretação geométrica do conceito de derivada



Pretendemos generalizar o conceito de derivada a funções

f : D ⊆ Rn → Rm.

Por uma questão de economia de escrita, consideraremos, inicialmente,funções

f : D ⊆ R2 → R.

Como habitualmente, escreveremos (x, y) em vez de (x1, x2) pararepresentar os elementos de R2.



Sejam D um subconjunto não vazio de R2 e f : D ⊆ R2 → R uma função.

A derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) é a função∂f

∂xque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em relação a x,

tratando y como se fosse uma constante. Por exemplo, se f : R2 → R é afunção definida por

f(x, y) = 2x3y − 4x sen(πy),

temos∂f

∂x(x, y) = 6x2y − 4 sen(πy).

De igual modo, a derivada parcial de f em relação a y (ou em ordem a

y) é a função∂f

∂yque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em

relação a y, tratando x como se fosse uma constante. Assim, no exemplo dadotemos

∂f

∂y(x, y) = 2x3 − 4πx cos(πy).



Vejamos como definir de modo mais formal as derivadas parciais.Sejam D um subconjunto de R2, f : D ⊆ R2 → R uma função e(a, b) ∈ D. Suponhamos que (a, b) é um ponto de acumulação de

{(x, y) ∈ D : y = b} .

Representa-se por

∂f

∂x(a, b), f ′x(a, b) ou Dxf(a, b),

a derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) noponto (a, b) e define-se da seguinte forma

∂f

∂x(a, b) = lim

h→0

f(a+ h, b) − f(a, b)h

quando este limite exista (e seja finito).



Analogamente, se (a, b) ∈ D é ponto de acumulação de

{(x, y) ∈ D : x = a} ,

representa-se por

∂f

∂y(a, b), f ′y(a, b) ou Dyf(a, b),

a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (a, b) e define-seda seguinte forma

∂f

∂y(a, b) = lim

k→0

f(a, b+ k)− f(a, b)k

,

quando este limite existe.



x

y

z

b

a

b

f(a, b)

bb

α

∂f

∂x(a, b) = tgα

b

β

∂f

∂y(a, b) = tg β

Interpretação geométrica das derivadas parciais



Seja f : D ⊆ R2 → R uma função. A função que a cada (x, y) associa∂f

∂x(x, y) designa-se por (função) derivada parcial de f em ordem

a x e representa-se por

∂f

∂x, f ′x ou Dxf.

Obviamente, o seu domínio é o conjunto{

(x, y) ∈ D : existe∂f

∂x(x, y)

}

.

Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a y que se representa por

∂f

∂y, f ′y ou Dyf.



Exemplos de derivadas parciais

a) Considerando a função f : R2 → R definida por

f(x, y) = x2 + y2 + sen(xy)

temos∂f

∂x(x, y) = 2x+ y cos(xy)

e∂f

∂y(x, y) = 2y + x cos(xy).



Exemplos de derivadas parciais (continuação)

b) A função f : R2 → R definida por

f(x, y) = sen(

x2 + y3)

+ ex−cos(xy)

tem as seguintes derivadas parciais

∂f

∂x(x, y) = 2x cos

(

x2 + y3)

+ (1 + y sen (xy)) ex−cos(xy)

e∂f

∂y(x, y) = 3y2 cos

(

x2 + y3)

+ x sen (xy) ex−cos(xy) .




c) Seja f : R2 → R a função definida por

f(x, y) =

(x− 1)y2

(x− 1)2 + y2se (x, y) 6= (1, 0),

0 se (x, y) = (1, 0).

Então

∂f

∂x(1, 0) = lim

h→0

f(1 + h, 0)− f(1, 0)h

= limh→0

(1+h−1)02

(1+h−1)2+02 − 0

h

= limh→0

0h2

h= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0

e

∂f

∂y(1, 0) = lim

k→0

f(1, 0 + k)− f(1, 0)k

= limk→0

(1−1)k2

(1−1)2+k2 − 0

k

= limk→0

0k2

k= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.




d) Seja f : R2 → R a função dada por

f(x, y) =

x2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Então

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(0 + h, 0)− f(0, 0)h

= limh→0

h2

h2+02 − 0

h= limh→0

h2

h2

h= limh→0

1h

e este limite não existe. Logo f não tem derivada parcial em ordem a x noponto (0, 0). Por outro lado,

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, 0 + k)− f(0, 0)k

= limk→0

02

02+k2 − 0

k

= limk→0

0k2

k= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.



Nas definições de derivadas parciais, dadas atrás, consideramosacréscimos da função quando o ponto do domínio percorre segmentosparalelos aos eixos. Este facto sugere que generalizemos a definição dederivadas parcial segundo qualquer direcção.

Dados um subconjunto D de R2, uma função

f : D ⊆ R2 → R,

a = (a1, a2) ∈ D e u = (u1, u2) um vector de R2, chama-se derivadade f no ponto a segundo o vector u ao limite, quando existe,

limt→0

f(a+ tu)− f(a)t

= limt→0

f(a1 + tu1, a2 + tu2)− f(a1, a2)t

e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).



Quando‖u‖ = 1

as derivadas segundo vectores costumam designar-se por derivadasdireccionais, se bem que será mais correcto falar em derivada dirigidaou derivada radial segundo u pois a derivada, para além de dependerda direcção, também depende do sentido de u.



x

y

z

b

a

b

f(a, b)

b

uu

b

α

f ′u(a, b) = tgα

Interpretação geométrica da derivada segundo um vector



Exemplo

Consideremos a função f : R2 → R definida por

f(x, y) =

xy2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Fazendo u = (cosα, sen α), α ∈ [0, 2π[, temos

f ′u(0, 0) = limt→0

f(0 + t cosα, 0 + t senα)− f(0, 0)t

= limt→0

t cosα t2 sen2 α

t2 cos2 α+ t2 sen2 αt

= limt→0

t3 cosα sen2 α

t3 (cos2 α+ sen2 α)

= sen2 α cosα.



Dada uma função f : D ⊆ R2 → R e considerando os vectorese1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), temos

f ′e1(a) = lim

t→0

f(a+ te1)− f(a)t

= limt→0

f(a1 + t, a2)− f(a1, a2)t

=∂f

∂x(a)

e

f ′e2(a) = lim

t→0

f(a+ te2)− f(a)t

= limt→0

f(a1, a2 + t)− f(a1, a2)t

=∂f

∂y(a).



No caso geral em que temos uma função

f : D ⊆ Rn → Rm

definimos, para a = (a1, . . . , an), as seguintes derivadas parciais:

∂f

∂x1(a) =

∂f

∂x1(a1, . . . , an) = lim

h→0

f(a1 + h, a2, . . . , an)− f(a1, . . . , an)h

∂f

∂x2(a) =

∂f

∂x2(a1, . . . , an) = lim

h→0

f(a1, a2 + h, a3, . . . , an)− f(a1, . . . , an)h

...

∂f

∂xn(a) =

∂f

∂xn(a1, . . . , an) = lim

h→0

f(a1, . . . , an−1, an + h)− f(a1, . . . , an)h



A função que a cada x = (x1, . . . , xn) associa∂f

∂x1(x) designa-se por

(função) derivada parcial de f em ordem a x1 e representa-se por

∂f

∂x1, f ′x1

ou Dx1f.

Obviamente, o seu domínio é o conjunto{

x ∈ D : existe∂f

∂x1(x)}

.

Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a xi, i = 2, . . . , n, que se representa por

∂f

∂xi, f ′xi ou Dxif.



Também podemos definir derivadas segundo vectores para funções

f : D ⊆ Rn → Rm.

Assim, sef : D ⊆ Rn → Rm

e a = (a1, . . . , an) ∈ D chama-se derivada de f no ponto a segundo ovector u = (u1, . . . , un) ∈ Rn ao limite, caso este exista,

limt→0

f(a+ tu)− f(a)

t= limt→0

f(a1 + tu1, a2 + tu2, . . . , an + tun)− f(a1, a2, . . . , an)

t

e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).



Quando‖u‖ = 1,

as derivadasf ′u(a)

designam-se por derivadas direccionais, se bem que o mais correctoseria falar em derivada dirigida ou derivada radial segundo u, pois estaderivada para além de depender da direcção também depende dosentido de u.



Se considerarmos em Rn os vectores e1 = (1, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) temos

f ′e1(a) =

∂f

∂x1(a)

f ′e2(a) =

∂f

∂x2(a)

...

f ′en(a) =∂f

∂xn(a).



Das propriedades dos limites resulta imediatamente que se

f : D ⊆ Rn → Rm e f = (f1, . . . , fm) , m > 1

temos∂f

∂x1(a) =

(∂f1

∂x1(a),

∂f2

∂x1(a), . . . ,

∂fm∂x1

(a))

∂f

∂x2(a) =

(∂f1

∂x2(a),

∂f2

∂x2(a), . . . ,

∂fm∂x2

(a))

...

∂f

∂xn(a) =

(∂f1

∂xn(a),

∂f2

∂xn(a), . . . ,

∂fm∂xn

(a))

e para cada vector u ∈ Rn,

f ′u(a) =(

(f1)′u (a), (f2)′u (a), . . . , (fm)′u (a))

.


Índice











§3.2 Diferenciabilidade de funções de em

Uma das primeiras propriedades do cálculo diferencial de funções reaisde variável real diz que se uma função tem derivada num ponto, entãoa função é contínua nesse ponto. Para funções com mais do que umavariável isso não acontece. É possível existirem todas as derivadasdireccionais, sem que a função seja contínua nesse ponto. Vejamos umexemplo em que isso acontece.


§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplo

Consideremos a função f : R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Comecemos por calcular as derivadas parciais

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0) − f(0, 0)h

= limh→0

0− 0h

= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0

e

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k)− f(0, 0)k

= limk→0

0− 0k

= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.




Por outro lado, fazendou = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[,

temos

f ′u(0, 0) = limt→0

f(0 + t cosα, 0 + t senα)− f(0, 0)t

= limt→0

t2 cos2 α t senαt4 cos4 α+ t2 cos2 α

t

= limt→0

cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α

=

cos2 α

senαse α ∈ [0, 2π[\ {0, π},

0 se α ∈ {0, π}.




Vejamos que a função f não é contínua em (0, 0). Fazendo

A ={

(x, y) ∈ R2 : y = 0}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : y = x2}

,

temos

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2 0x4 + 02

= limx→0

0x4

= limx→0

0 = 0

e


f(x, y) = limx→0

f(x, x2) = limx→0

x2 x2

x4 + (x2)2= limx→0

x4

2x4= limx→0

12

=12,

o que mostra que não existe limite no ponto (0, 0) e, portanto, a funçãonão é contínua nesse ponto.



Este exemplo mostra que uma função ter derivadas parciais ouderivadas direccionais não é uma condição suficiente para que umafunção seja contínua num ponto. É, portanto, necessário um conceitomais forte.



Pode-se provar que

Uma função f : D ⊆ R→ R tem derivada no ponto a ∈ D de

acumulação de D se e só se existem um número real c e uma

função r : D∗ → R tais que

f(a+ h) = f(a) + ch+ r(h) para cada h ∈ D∗

e

limh→0

r(h)h

= 0,

onde

D∗ = {h ∈ R : a+ h ∈ D} .Além disso, nas condições anteriores tem-se c = f ′(a).



Assim, dados uma função f : D ⊆ R2 → R e um ponto (a, b) interior aD, dizemos que f é diferenciável em (a, b) se existirem as derivadasparciais de f no ponto (a, b) e existir uma função r : D∗ → R, onde

D∗ ={

(h, k) ∈ R2 : (a+ h, b+ k) ∈ D}

,

tal que

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)‖(h, k)‖ = 0

e

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k + r(h, k)

para quaisquer (h, k) ∈ D∗.



Fazendo (h, k)→ (0, 0) em

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k + r(h, k)

temos

lim(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)

= lim(h,k)→(0,0)

[

f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h +

∂f

∂y(a, b)k + r(h, k)

]

= f(a, b)

o que mostra que uma função é contínua nos pontos onde édiferenciável!



Exemplos

a) Seja f : R2 → R a função definida por

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

e estudemos a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para f serdiferenciável em (0, 0) tem de existir r : R2 → R tal que

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= 0

e

f(h, k) = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)h +

∂f

∂y(0, 0) k + r(h, k)

para qualquer (h, k) ∈ R2.




a) (continuação) Assim, calculemos as derivadas parciais de f noponto (0, 0):

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)h

= limh→0

h2.02

h2 + 02− 0

h= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0,

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k)− f(0, 0)k

= limk→0

02.k2

02 + k2− 0

k= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.

De

f(h, k) = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)h +

∂f

∂y(0, 0) k + r(h, k)

resulta queh2k2

h2 + k2= r(h, k).




a) (continuação) Como

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2k2

h2+k2√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2k2

(h2 + k2)√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

kh2

h2 + k2

k√h2 + k2

= 0

pois as funçõesh2

h2 + k2e

k√h2 + k2

são limitadas, podemos

concluir que a função é diferenciável em (0, 0).




b) Estudemos no ponto (0, 0) a diferenciabilidade da funçãof : R2 → R dada por

f(x, y) =

x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Comecemos por calcular as derivadas parciais de f no ponto (0, 0):

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)h

= limh→0

h2.0h2 + 02

− 0

h= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0

e

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k)− f(0, 0)k

= limk→0

02.k

02 + k2− 0

k= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.




b) (continuação) Para f ser diferenciável no ponto (0, 0) tem de existir

r : R2 → R tal que lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= 0 e

f(h, k) = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)h +

∂f

∂y(0, 0) k + r(h, k).

Desta última igualdade vem

r(h, k) =h2k

h2 + k2.

Vejamos que não existe

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2k

(h2 + k2)√h2 + k2

.




b) (continuação) Fazendo A ={

(h, k) ∈ R2 : h = k}

temos

lim(h,k)→(0,0)

(h,k)∈A

r(h, k)√h2 + k2

= limh→0

r(h, h)√h2 + h2

= limh→0

h3

2h2√

2h2= lim

h→0

h

2√

2|h|

e este último limite não existe porque

limh→0+

h

2√

2|h|=

1

2√

2e lim

h→0−

h

2√

2|h|= − 1

2√

2.

Logo não existe

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

e, portanto, f não é diferenciável em (0, 0).



Dada uma função f : D ⊆ R2 → R diferenciável num ponto (a, b)interior a D, chama-se plano tangente ao gráfico de f no ponto(a, b, f(a, b)) ao plano definido pela equação

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b).

Por exemplo, para a função f : R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

que já vimos ser diferenciável em (0, 0), o plano tangente ao gráfico def no ponto (0, 0, f(0, 0)) é dado pela equação

z = 0.



Se f : D ⊆ R2 → R diferenciável num ponto (a, b) interior a D, a

L(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

chamamos aproximação linear de f no ponto (a, b) e costumaescrever-se

f(x, y) ≈ f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b).



Exemplo

Seja f : R2 → R a função dada por f(x, y) = x ey + sen y. Esta função édiferenciável no ponto (0, 0). Como

∂f

∂x(x, y) = ey e

∂f

∂y(x, y) = x ey + cos y

temos∂f

∂x(0, 0) = 1 e

∂f

∂y(0, 0) = 1.

Tendo em conta que f(0, 0) = 0, uma equação do plano tangente aográfico de f no ponto (0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 0) é

z = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)(x − 0) +

∂f

∂y(0, 0)(y − 0)

= x+ y.




A aproximação linear de f no ponto (0, 0) é dada por

f(x, y) ≈ f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)(x − 0) +

∂f

∂y(0, 0)(y − 0)

≈ x+ y.

Usando a aproximação linear temos

f(0.1, 0.2) ≈ 0.1 + 0.2 = 0.3 e f(1, 1) ≈ 1 + 1 = 2.

De facto,

f(0.1, 0.2) = 0.3208096066... e f(1, 1) = 3.559752813...

ou seja, a primeira aproximação é bastante melhor do que a segunda.Tal deve-se ao facto de a distância de (0.1, 0.2) a (0, 0) ser menor doque a distância de (1, 1) a (0, 0).



Uma função f : D ⊆ Rn → R diz-se diferenciável num ponto interiora = (a1, . . . , an) de D se existirem todas as derivadas parciais de f noponto a e uma função r : D∗ → R, onde

D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D} ,tal que

lim‖h‖→0

r(h)‖h‖ = 0

e

f(a+ h) = f(a) +∂f

∂x1(a)h1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)hn + r(h),

isto é,f(a1 + h1, . . . , an + hn)

= f(a1, . . . , an) +∂f

∂x1(a1, . . . , an)h1 + · · ·+

∂f

∂xn(a1, . . . , an)hn + r(h1, . . . , hn),

para cada vector h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗.



Tal como acontecia para funções de R2 para R, se f é diferenciável ema ∈ D, então f é contínua em a.



Uma função f : D ⊆ Rn → Rm, com f = (f1, . . . , fm), diz-sediferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D se todas asfunções f1, . . . , fm são diferenciáveis em a.Assim, f é diferenciável em a se as funções f1, . . . , fm admitem, noponto a, derivadas parciais em relação a todas as variáveis e existemfunções r1, . . . , rm : D∗ → R tais que

f1(a+ h) = f1(a) +∂f1

∂x1(a)h1 + · · · + ∂f1

∂xn(a)hn + r1(h)

...

fm(a+ h) = fm(a) +∂fm∂x1

(a)h1 + · · · + ∂fm∂xn

(a)hn + rm(h)

para cada h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D}e

lim‖h‖→0

r1(h)‖h‖ = · · · = lim

‖h‖→0

rm(h)‖h‖ = 0.



Usando matrizes temos que f é diferenciável em a = (a1, . . . , an) se e sóse as funções f1, . . . , fm admitem, no ponto a, derivadas parciais emrelação a todas as variáveis e existem funções r1, . . . , rm : D∗ → R taisque

f1(a+ h)

...

fm(a+ h)

=

f1(a)

...

fm(a)

+

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

.

h1

...

hn

+

r1(h)

...

rm(h)

para cada h ∈ D∗ e

lim‖h‖→0

r1(h)‖h‖ = · · · = lim

‖h‖→0

rm(h)‖h‖ = 0.



A matriz

Ja(f) =

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

diz-se a matriz jacobiana de f no ponto a.

Quando f é diferenciável em a a matriz jacobiana de f em a designa-sepor derivada de f no ponto a e representa-se por

f ′(a) ou Df(a).

Quando n = m, o determinante de J diz-se o jacobiano da função f erepresenta-se por

∂ (f1, . . . , fn)∂ (x1, . . . , xn)

.



Propriedades

a) Se f, g : D ⊆ Rn → Rm são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f + g é diferenciável em a e

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);

ii) para qualquer λ ∈ R, λf é diferenciável em a e

(λf)′(a) = λf ′(a).



Propriedades

b) Se f, g : D ⊆ Rn → R são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f.g é diferenciável em a e

(f.g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a);

ii) se g(a) 6= 0,f

gé diferenciável em a e

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)

[g(a)]2.



Propriedades

c) Se f : D ⊆ Rn → Rm é diferenciável em a e u = (u1, . . . , un) ∈ Rn,então existe f ′u(a) e

f ′u(a) =[

f ′(a)]

.u =

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

.

u1

...

un

d) Sejam D um subconjunto de Rn e f : D ⊆ Rn → R uma funçãopara a qual existem todas as derivadas parciais. Então f édiferenciável em todos os pontos em que n− 1 dessas derivadasparciais são contínuas. Em particular, se todas as derivadas parciaissão contínuas num ponto, a função é diferenciável nesse ponto.



Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → R,

chama-se gradiente de f no ponto a ∈ D, e representa-se por

(∇f) (a) ou (grad f) (a),

ao vector

(∇f) (a) =(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a))

,

desde que existam todas as derivadas parciais (de primeira ordem) de fno ponto a.



É de notar que se f : D ⊆ Rn → R é uma função diferenciável numponto a interior a D, a propriedade c) que vimos anteriormente fica

f ′u(a) =[∂f

∂x1(a) · · · ∂f

∂xn(a)]

·

u1

...

un

=∂f

∂x1(a)u1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)un.

Recordando que dados b = (b1, . . . , bn) e c = (c1, . . . , cn) em Rn, oproduto escalar ou interno entre b e c é dado por

〈b, c〉 = b1c1 + b2c2 + · · · + bncn,

tem-se

f ′u(a) =∂f

∂x1(a)u1 + · · ·+ ∂f

∂xn(a)un = 〈(∇f)(a), u〉 .


Índice











§3.3 Derivada da função composta

Derivada da função composta

Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm e g : Dg ⊆ Rm → Rk

funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Suponhamos que a é um ponto interiorde Df . Se

f é diferenciável em a e g é diferenciável em f(a),

entãog ◦ f é diferenciável em a

e(g ◦ f)′ (a) = g′ (f(a)) · f ′(a).



Fazendo

x = (x1, . . . , xn) , f(x) = y = (y1, . . . , ym) e g(y) = z = (z1, . . . , zk)

resulta que a matriz jacobiana de f no ponto a é

Ja(f) =

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

e a matriz jacobiana de g no ponto b = f(a) é a matriz

Jb(g) =

∂g1

∂y1(b) · · · ∂g1

∂ym(b)

.... . .

...∂gk∂y1

(b) · · · ∂gk∂ym

(b)

.



Pondo h = g ◦ f , como

h′(a) = (g ◦ f)′ (a) = g′ (f(a)) · f ′(a) = g′(b) · f ′(a),

tem-seJa(h) = Jb(g) · Ja(f).

Assim,

∂h1

∂x1(a) · · · ∂h1

∂xn(a)

.... . .

...∂hk∂x1

(a) · · · ∂hk∂xn

(a)

=

∂g1

∂y1(b) · · · ∂g1

∂ym(b)

.... . .

...∂gk∂y1

(b) · · · ∂gk∂ym

(b)

.

∂f1

∂x1(a) · · · ∂f1

∂xn(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

e, portanto,

∂hi∂xj

(a) =∂gi∂y1

(b)∂f1

∂xj(a) +

∂gi∂y2

(b)∂f2

∂xj(a) + · · ·+ ∂gi

∂ym(b)

∂fm∂xj

(a).

para i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , n.César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 314 / 460


Omitindo os pontos onde estamos a calcular as derivadas parciais esubstituindo as notações

∂hi∂xj

,∂gi∂y`

e∂f`∂xj

por∂zi∂xj

,∂zi∂y`

e∂y`∂xj

,

respectivamente, a última igualdade do slide anterior fica

∂zi∂xj

=∂zi∂y1

∂y1

∂xj+∂zi∂y2

∂y2

∂xj+ · · ·+ ∂zi

∂ym

∂ym∂xj

.



Exemplo

Sejam f : R2 → R3 e g : R3 → R2 as funções dadas por

f(x, y) =(

x2, 3xy, sen(x+ y))

e g(u, v,w) = (u+ v − w, 2uv) .

Estas duas funções são diferenciáveis em todo o seu domínio. Então∂f1

∂x(x, y) = 2x,

∂f1

∂y(x, y) = 0,

∂f2

∂x(x, y) = 3y,

∂f2

∂y(x, y) = 3x,

∂f3

∂x(x, y) = cos(x+ y),

∂f3

∂y(x, y) = cos(x+ y),

pelo que

J(x,y)(f) =

2x 03y 3x

cos(x+ y) cos(x+ y)

.




Quanto à função g, atendendo que g(u, v,w) = (u+ v − w, 2uv), temos

∂g1

∂u(u, v,w) = 1,

∂g1

∂v(u, v,w) = 1,

∂g1

∂w(u, v,w) = −1,

e∂g2

∂u(u, v,w) = 2v,

∂g2

∂v(u, v,w) = 2u

∂g2

∂w(u, v,w) = 0


J(u,v,w)(g) =

[

1 1 −12v 2u 0

]

.




Fazendo h = g ◦ f , temos

J(x,y)(h) = Jf(x,y)(g) · J(x,y)(f)

e, portanto, vem

J(x,y)(h) =

[

1 1 −16xy 2x2 0

]

.

2x 03y 3x

cos(x+ y) cos(x+ y)

=

[

2x+ 3y − cos(x+ y) 3x− cos(x+ y)18x2y 6x3

]




Este resultado pode ser confirmado directamente pois, mantendoh = g ◦ f , temos

h(x, y) = (g ◦ f)(x, y)

= g(f(x, y))

= g(x2, 3xy, sen(x+ y))

= (x2 + 3xy − sen(x+ y), 6x3y)

pelo que

J(x,y)(h) =

[

2x+ 3y − cos(x+ y) 3x− cos(x+ y)18x2y 6x3

]


Índice











§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Sejam D um subconjunto de R2 e

f : D ⊆ R2 → R

uma função. Suponhamos existe a derivada parcial (de primeiraordem) de f em relação a x. Designaremos por

f ′′x2, f ′′xx,∂2f

∂x2, D2

x2f ou D2xxf

a derivada (f ′x)′x ≡∂

∂x

(∂f

∂x

)

, caso exista, e chamar-lhe-emos derivada

parcial de segunda ordem da função f duas vezes em ordem a x.



Do mesmo modo se definem a derivada de segunda ordem de f duasvezes em relação a y:

f ′′y2 ≡ f ′′yy ≡∂2f

∂y2≡ D2

y2f ≡ D2yyf =

(

f ′y)′

y=

∂

∂y

(∂f

∂y

)

;

a derivada de segunda ordem de f em relação a x e depois em relação ay:

f ′′xy ≡∂2f

∂y∂x≡ D2

xyf =(

f ′x)′y =

∂

∂y

(∂f

∂x

)

;

a derivada de segunda ordem de f em relação a y e depois em relação ax:

f ′′yx ≡∂2f

∂x∂y≡ D2

yxf =(

f ′y)′

x=

∂

∂x

(∂f

∂y

)

.



A partir das derivadas de segunda ordem podemos definir as derivadas deterceira ordem, e assim sucessivamente como é ilustrado no esquema seguinte.

f

f ′x ≡∂f

∂x

f ′y ≡∂f

∂y

f ′′x2 ≡∂2f

∂x2

f ′′xy ≡∂2f

∂y∂x

f ′′yx ≡∂2f

∂x∂y

f ′′y2 ≡∂2f

∂y2

f ′′′x3 ≡∂3f

∂x3

f ′′′x2y ≡∂3f

∂y∂x2

f ′′′xyx ≡∂3f

∂x∂y∂x

f ′′′xy2 ≡∂3f

∂y2∂x

f ′′′yx2 ≡∂3f

∂x2∂y

f ′′′yxy ≡∂3f

∂y∂x∂y

f ′′′y2x ≡∂3f

∂x∂y2

f ′′′y3 ≡∂3f

∂y3



Sejam D um subconjunto de Rn, n > 1, e

f : D ⊆ Rn → Rm

uma função. Dados dois inteiros positivos i e j inferiores ou iguais a n,

supondo que existe∂f

∂xi, representaremos por

∂2f

∂xj∂xiou f ′′xixj

a derivada parcial de∂f

∂xiem ordem a xj , caso exista, e

chamar-lhe-emos derivada parcial de segunda ordem de fprimeiro em relação a xi e depois em relação a xj .

De forma semelhante podemos definir as derivadas de ordem três, deordem quatro, etc.



Exemplos

a) Seja f : R2 → R a função dada por f(x, y) = x4 + 3xy2 + 4y3. Então

∂f

∂x(x, y) = 4x3 + 3y2 e

∂f

∂y(x, y) = 6xy + 12y2.

Assim,

∂2f

∂x2(x, y) = 12x2 e

∂2f

∂y∂x(x, y) = 6y,

enquanto que

∂2f

∂x∂y(x, y) = 6y e

∂2f

∂y2(x, y) = 6x+ 24y.

Este exemplo parece sugerir que as derivadas cruzadas (ou mistas)∂2f

∂y∂xe∂2f

∂x∂ysão iguais.




b) Seja f : R2 → R a função definida por

f(x, y) =

x3y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Vamos calcular f ′′xy(0, 0) e f ′′yx(0, 0). Como

f ′′xy(0, 0) = limk→0

f ′x(0, k) − f ′x(0, 0)k

e

f ′′yx(0, 0) = limh→0

f ′y(h, 0) − f ′y(0, 0)

h,

temos de calcular f ′x(0, y) e f ′y(x, 0).




b) (continuação) Atendendo a que, para y 6= 0,

f ′x(0, y) = limh→0

f(h, y)−f(0, y)h

= limh→0

h3y

h2+y2−0

h= limh→0

h2y

h2+y2=

0y2

= 0

e

f ′x(0, 0) = limh→0

f(h, 0)− f(0, 0)h

= limh→0

h3.0h2 + 02

− 0

h= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0

temosf ′x(0, y) = 0.




b) (continuação) Por outro lado, para x 6= 0, tem-se

f ′y(x, 0) = limk→0

f(x, k)−f(x, 0)k

= limk→0

x3k

x2+k2−0

k= limk→0

x3

x2+k2=x3

x2= x

e

f ′y(0, 0) = limk→0

f(0, k)− f(0, 0)k

= limk→0

03.k

02 + k2− 0

k= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0

temosf ′y(x, 0) = x.




b) (continuação) Usando o facto de

f ′x(0, y) = 0 e f ′y(x, 0) = x,

tem-se

f ′′xy(0, 0) = limk→0

f ′x(0, k)− f ′x(0, 0)k

= limk→0

0− 0k

= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0

e

f ′′yx(0, 0) = limh→0

f ′y(h, 0)− f ′y(0, 0)

h= limh→0

h− 0h

= limh→0

h

h= limh→0

1 = 1,

o que prova que as derivadas mistas (ou cruzadas) f ′′xy e f ′′yx podemser diferentes!




b) (continuação) Para esta função f : R2 → R que, recorde-se, é dadapor

f(x, y) =

x3y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

se tem

f ′x(x, y) =

x4y + 2x2y3

(x2 + y2)2 se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

e

f ′y(x, y) =

x5 − x3y2

(x2 + y2)2 se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).




b) (continuação) Além disso,

f ′′xx(x, y) =

6xy5 − 2x3y3

(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

f ′′xy(x, y) =

x6 + 6x4y2 − 3x2y4

(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

f ′′yx(x, y) =

x6 + 6x4y2 − 3x2y4

(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),

1 se (x, y) = (0, 0),

f ′′yy(x, y) =

2x3y3 − 6x5y

(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).



Acabámos de ver que as derivadas mistas podem não ser iguais. Noentanto, há casos em que é possível garantir à partida que as derivadasmistas são iguais. O próximo teorema, conhecido como teorema deSchwarz ou de Clairaut, dá-nos condições em que tal facto acontece.

Teorema de Schwarz

Sejam D um subconjunto aberto de Rn, n > 1, e f : D ⊆ Rn → R umafunção. As derivadas

f ′′xixj e f ′′xjxi

são iguais em todos os pontos em que f ′xi e f ′xj sejam diferenciáveis.



Seja D um subconjunto aberto de Rn. Uma função f : D ⊆ Rn → R

diz-se de classe Ck, k ∈ N, se existem todas as derivadas parciais de faté à ordem k e todas essas derivadas são contínuas.

Corolário do Teorema de Schwarz

Seja D um subconjunto aberto de Rn. Se f : D ⊆ Rn → R é umafunção de classe C2, então

f ′′xixj (x) = f ′′xjxi(x)

para qualquer x ∈ D.

Corolário do Teorema de Schwarz

Sejam D um subconjunto aberto de Rn e f : D ⊆ Rn → R uma funçãode classe Ck. Então é indiferente a ordem de derivação até à ordem k.


Índice











§3.5 Teorema da função implícita

Existem funções que não são definidas explicitamente, são apenasdefinidas implicitamente. Por exemplo, a equação

(1 + x2)y + sen x = 0

define implicitamente y como função de x, aliás podemos inclusivedefinir explicitamente y como função de x pois a equação dada éequivalente a

y = − senx1 + x2

.

Será que a equação(1 + x2)y + sen(xy) = 0

também define y como função de x? Neste segundo caso nãoconseguimos resolver a equação em ordem a y e, por conseguinte, nãopodemos fazer o que fizemos no caso anterior.

O teorema da função implícita permite-nos responder a este tipo dequestões. Além disso, permite-nos também calcular a derivada dafunção.



Teorema da função implícita (n = 2)

Sejam D um subconjunto aberto de R2 e

F : D ⊆ R2 → R

uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas.Suponhamos que existe (a, b) ∈ D tal que

F (a, b) = 0 e∂F

∂y(a, b) 6= 0.

Então existem um aberto O ⊆ R que contém a e uma e uma só função

f : O ⊆ R→ R

com derivada contínua tal que

f(a) = b

e

F (x, f(x)) = 0 para qualquer x ∈ O.



Nas condições do teorema anterior diz-se que

F (x, y) = 0

define implicitamente y como função de x e usa-se a notação

y(x),dy

dxou y′

em vez de

f(x),df

dxou f ′,

respectivamente.



Além disso, comoF (x, y(x)) = 0

temos pela derivada da função composta

∂F

∂x(x, y) +

∂F

∂y(x, y)

dy

dx= 0

pelo que

dy

dx(x) = −

∂F

∂x(x, y(x))

∂F

∂y(x, y(x))

.



Exemplo

Consideremos a função F : R2 → R definida por

F (x, y) = x3 + 2xy + y4 − 4.

As derivadas parciais de F são

∂F

∂x(x, y) = 3x2 + 2y e

∂F

∂y= 2x+ 4y3

Como as derivadas parciais de F são funções contínuas,

F (1, 1) = 0 e∂F

∂y(1, 1) = 2 · 1 + 4 · 13 = 6 6= 0,

pelo teorema da função implícita F (x, y) = 0 define implicitamente y comofunção de x num aberto O ⊆ Rn ao qual 1 pertence e y(1) = 1. Além disso,

dy

dx(1) = −

∂F

∂x(1, y(1))

∂F

∂y(1, y(1))

= −∂F

∂x(1, 1)

∂F

∂y(1, 1)

= −56.



Vamos agora generalizar o teorema da função implícita para funções

F : D ⊆ Rn+1 → R, n > 1.

Por uma questão de simplicidade de escrita vamos escrever

F (a1, . . . , an, b) e F (x1, . . . , xn, y)

em vez de

F (a1, . . . , an, an+1) e F (x1, . . . , xn, xn+1),

respectivamente.



Teorema da função implícita

Sejam D um subconjunto aberto de Rn+1 e

F : D ⊆ Rn+1 → R

uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas.Suponhamos que existe (a1, . . . , an, b) ∈ D tal que

F (a1, . . . , an, b) = 0 e∂F

∂y(a1, . . . , an, b) 6= 0.

Então existem um aberto O ⊆ Rn que contém (a1, . . . , an) e uma euma só função

f : O ⊆ Rn → R

com derivadas parciais contínuas tal que

f(a1, . . . , an) = b

e

F (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) = 0 para qualquer (x1, . . . , xn) ∈ O.César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 341 / 460


Tal como no caso n+ 1 = 2 dizemos que

F (x1, . . . , xn, y) = 0

define implicitamente y como função de (x1, . . . , xn) e usamos a notação

y(x1, . . . , xn) e∂y

∂xi,

em vez de

f(x1, . . . , xn) e∂f

∂xi,

respectivamente.



Da equaçãoF (x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn)) = 0,

pela derivada da função composta tem-se

∂F

∂xi(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn)) +

∂F

∂y(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn))

∂y

∂xi(x1, . . . , xn) = 0

e, portanto,

∂y

∂xi(x1, . . . , xn) = −

∂F

∂xi(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn))

∂F

∂y(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn))

.



Exemplo

Vejamos que a equação

xyz sen(x+ 2y − z) = π

define implicitamente z como função de x e de y numa vizinhança do ponto(π/2, 1, 2). Para isso consideremos a função

F (x, y, z) = xyz sen(x+ 2y − z)− π.

Calculemos as derivadas parciais de F :

∂F

∂x(x, y, z) = yz sen(x+ 2y − z) + xyz cos(x+ 2y − z),

∂F

∂y(x, y, z) = xz sen(x+ 2y − z) + 2xyz cos(x+ 2y − z),

∂F

∂z(x, y, z) = xy sen(x+ 2y − z)− xyz cos(x+ 2y − z).




Como as derivadas parciais de F são contínuas,

F(π

2, 1, 2

)

= π sen(π

2+ 2 · 1− 2

)

− π = π − π = 0

e∂F

∂z

(π

2, 1, 2

)

= π/2 sen(π

2+ 2 · 1− 2

)

− π cos(π

2+ 2 · 1− 2

)

= π/2,

pelo teorema da função implícita, a equação F (x, y, z) = 0 defineimplicitamente z como função de x e de y. Além disso,

∂z

∂x

(π

2, 1)

= −∂F

∂x

(π

2, 1, 2

)

∂F

∂z

(π

2, 1, 2

) = − 2π/2

= − 4π

e

∂z

∂y

(π

2, 1)

= −

∂F

∂y

(π

2, 1, 2

)

∂F

∂z

(π

2, 1, 2

) = − π

π/2= −2.


Índice











§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Recordemos os conceitos de máximo e de mínimo absoluto.


uma função escalar e A um subconjunto não vazio de D. Dizemos quef tem um máximo (absoluto) no ponto a ∈ A ou que f(a) é ummáximo (absoluto) de f em A se

f(x) ≤ f(a) para todo o x ∈ A.

Quandof(x) ≥ f(a) para todo o x ∈ A,

dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A.



Recordemos também o Teorema de Weierstrass.

Teorema de Weierstrass


uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem máximo e mínimo em A.



Sejam D um subconjunto não vazio de Rn e

f : D ⊆ Rn → R

uma função escalar. Dizemos que f tem um máximo local no pontoa ∈ D se existir ε > 0 tal que

f(x) ≤ f(a) para qualquer x ∈ D ∩Bε(a)

e que f tem um mínimo local no ponto a ∈ D se existir ε > 0 tal que

f(x) ≥ f(a) para qualquer x ∈ D ∩Bε(a).



Um ponto do domínio de uma função em que é atingido um valor demáximo designa-se por ponto de máximo ou ponto maximizante.

Do mesmo modo, um ponto do domínio de uma função em que éatingido o valor de mínimo designa-se por ponto de mínimo ouponto minimizante.

Os máximos e os mínimos de uma função dizem-se extremos dafunção e os pontos onde a função atinge os extremos designam-se porpontos de extremo ou extremantes.



Teorema de Fermat


uma função diferenciável num ponto a interior a D. Se f(a) é umextremo local de f , então

∂f

∂x1(a) =

∂f

∂x2(a) = · · · = ∂f

∂xn(a) = 0.



Os pontos a ∈ D tais que

∂f

∂x1(a) =

∂f

∂x2(a) = · · · = ∂f

∂xn(a) = 0

designam-se por pontos de estacionaridade ou por pontos críticos.

Os pontos de estacionaridade que não são extremantes designam-se porpontos de sela.



Assim, a primeira coisa que temos de fazer para determinar osextremos locais de uma função

f : D ⊆ Rn → R

diferenciável é resolver o sistema

∂f

∂x1(a) = 0,

∂f

∂x2(a) = 0,

...

∂f

∂xn(a) = 0.



Exemplo

Seja f : R2 → R a função definida por

f(x, y) = x3 + 3x2 − y2.

Esta função é diferenciável em todo o seu domínio. Atendendo a que

∂f

∂x(x, y) = 3x2 + 6x e

∂f

∂y(x, y) = −2y,

calculemos os seus pontos de estacionaridade:

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

⇔

3x2 + 6x = 0

−2y = 0⇔

3x(x + 2) = 0

y = 0⇔

x = 0

y = 0∨

x = −2

y = 0

Assim, os pontos de estacionaridade de f são (0, 0) e (−2, 0). Será quealgum deles é extremante?




Fazendo y =√

3x em

f(x, y) = x3 + 3x2 − y2.

temosf(x,√

3x) = x3 + 3x2 − 3x2 = x3

e, comof(x,√

3x) > 0 se x > 0

ef(x,√

3x) < 0 se x < 0,

tendo em conta que f(0, 0) = 0, concluímos que (0, 0) não éextremante, ou seja, é um ponto de sela.




Por outro lado,

f(x, y)− f(−2, 0) = x3 + 3x2 − y2 − 4

= x3 + 2x2 + x2 − 4− y2

= x2(x+ 2) + (x− 2)(x+ 2)− y2

= (x2 + x− 2)(x+ 2)− y2

= (x− 1)(x+ 2)(x + 2) − y2

= (x− 1)(x+ 2)2 − y2

e, como

(x− 1)(x+ 2)2 − y2 ≤ 0 para qualquer x ∈ B1((−2, 0)),

o ponto (−2, 0) é um ponto de máximo.



A forma como no exemplo anterior verificámos que (0, 0) não eraextremante e que (−2, 0) era um maximizante não é muito prática.

Vejamos uma forma mais prática de o fazer. Para isso precisamos damatriz hessiana. Dada uma função f : D ⊆ Rn → R de classe C2

chama-se matriz hessiana de f num ponto a ∈ D à matriz

Hf (a) =

∂2f

∂x1∂x1(a)

∂2f

∂x1∂x2(a) · · · ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f

∂x2∂x1(a)

∂2f

∂x2∂x2(a) · · · ∂2f

∂x1∂xn(a)

......

. . ....

∂2f

∂xn∂x1(a)

∂2f

∂xn∂x2(a) · · · ∂2f

∂xn∂xn(a)

.



Suponhamos que a é um ponto de estacionaridade de f e por facilidadede escrita representemos a matriz hessiana de f no ponto a por

Hf (a) =

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

an,1 an,2 · · · an,n



Façamos

∆0 = 1

∆1 = a1,1

∆2 = det[a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

]

=∣∣∣∣

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

∣∣∣∣

∆3 = det

a1,1 a1,2 a1,3

a2,1 a2,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3

=

∣∣∣∣∣∣

a1,1 a1,2 a1,3

a2,1 a2,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3

∣∣∣∣∣∣

...

∆n = det

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

an,1 an,2 · · · an,n

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,1 a2,2 · · · a2,n

......

. . ....

an,1 an,2 · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= detHf (a).

Os ∆i, i = 1, . . . , n, chamam-se menores principais da matriz Hf (a).



Então

a) se em∆0 = 1, ∆1, ∆2, . . . , ∆n

só houver permanências de sinal, ou seja, todos os ∆i, i = 1, . . . , n,são positivos, então f(a) é um mínimo local de f ;

b) se em∆0 = 1, ∆1, ∆2, . . . , ∆n

só houver variações de sinal, ou seja, (−1)i∆i > 0, i = 1, . . . , n,então f(a) é um máximo local de f ;

c) se em∆0 = 1, ∆1, ∆2, . . . , ∆n

houver permanências de sinal e variações de sinal, então a é umponto de sela.



Exemplos

a) Voltando ao exemplo inicial da função definida por

f(x, y) = x3 + 3x2 − y2

já vimos que∂f

∂x(x, y) = 3x2 + 6x e

∂f

∂y(x, y) = −2y

e que os pontos de estacionaridade são (0, 0) e (−2, 0) pois

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

⇔

3x2 + 6x = 0

−2y = 0⇔

3x(x+ 2) = 0

y = 0⇔

x = 0

y = 0∨

x = −2

y = 0.

Além disso, a matriz hessiana de f é

Hf (x, y) =

[6x+ 6 0

0 −2

]

.




a) (continuação) Assim,

Hf (0, 0) =

[6 0

0 −2

]

e, como∆0 = 1, ∆1 = 6 e ∆2 = −12,

o ponto (0, 0) é um ponto de sela. Por outro lado

Hf (−2, 0) =

[−6 0

0 −2

]

e atendendo a que

∆0 = 1, ∆1 = −6 e ∆2 = 12

o ponto (−2, 0) é um ponto de máximo local.




b) Seja f : R3 → R a função dada por

f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy.Os pontos de estacionaridade de f são dados por

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

∂f

∂z= 0

⇔

2x+ 2z − y = 0

2y + z − x = 0

6z + y + 2x = 0

⇔

2x− y + 2z = 0

−x+ 2y + z = 0

2x+ y + 6z = 0

⇔

x = 0

y = 0

z = 0

e a matriz hessiana é

Hf (x, y, z) =

2 −1 2− 1 2 12 1 6

.




b) (continuação) Para esta matriz hessiana

Hf (0, 0, 0) =

2 −1 2−1 2 12 1 6

,

temos

∆0 = 1, ∆1 = 2, ∆2 =∣∣∣∣

2 −1−1 2

∣∣∣∣

= 3, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣

2 −1 2−1 2 12 1 6

∣∣∣∣∣∣

= 4,

pelo que f tem um mínimo local no ponto (0, 0, 0).



Observações

a) Se f(a) é um mínimo local de f , então

∆1 ≥ 0, ∆2 ≥ 0, . . . , ∆n ≥ 0.

b) Se f(a) é um máximo local de f , então

∆1 ≤ 0, ∆2 ≥ 0, . . . , (−1)n∆n ≥ 0.

c) O recíproco das duas alíneas anteriores é falso.

d) Outro processo de determinar se um ponto de estacionaridade éextremante utiliza os valores próprios da matriz hessiana.

i) Se os valores próprios da matriz hessiana são todos positivos, entãotemos um ponto de mínimo.

ii) Se os valores próprios da matriz hessiana são todos negativos, entãotemos um ponto de máximo.

iii) Se a matriz hessiana tiver valores próprios positivos e valores própriosnegativos, então temos um ponto de sela.

iv) Se a matriz hessiana tiver valores próprios nulos, e os valores própriosnão nulos tiverem todos o mesmo sinal nada se pode concluir.



Exemplo

Calculemos os pontos de estacionaridade da função dada por

f(x, y) = x2y − y.

Para isso temos de resolver o sistema

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

⇔

2xy = 0

x2 − 1 = 0⇔

y = 0

x = 1∨

y = 0

x = −1.

Assim, os pontos de estacionaridade de f são (1, 0) e (−1, 0). A matrizhessiana de f é

Hf (x, y) =[

2y 2x2x 0

]

.




Assim,

Hf (1, 0) =[

0 22 0

]

e, portanto,∆0 = 1, ∆1 = 0 e ∆2 = −4.

Pelas alíneas a) e b) das observações concluímos que (1, 0) é um ponto de sela.Por outro lado,

Hf (−1, 0) =[

0 −2−2 0

]

e para este caso também temos

∆0 = 1, ∆1 = 0 e ∆2 = −4

o que permite concluir do mesmo modo que (−1, 0) é um ponto de sela.Podíamos ter chegado à mesma conclusão verificando que os valores própriosde ambas as matrizes são −2 e 2.


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§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Suponhamos que pretendemos determinar quais as dimensões dorectângulo de perímetro igual a 2 que tem a área máxima. Designemoscomprimentos dos lados do rectângulo por x e y,

x

y

O que pretendemos é determinar o valor máximo da função

A(x, y) = xy

no conjunto dos pontos (x, y) (ambos não negativos) que verificam

2x+ 2y = 2,ou seja

x+ y = 1.



Como x+ y = 1 é equivalente a y = 1− x, obtemos para os pontos queverificam esta condição A(x, y) = A(x, 1 − x) = x(1− x). Bastaportanto determinar o valor de x ∈ [0, 2] que maximiza a funçãoA(x, 1− x). Como

A′(x, 1− x) = 0 ⇔ [x(1− x)]′ = 0 ⇔ 1− 2x = 0 ⇔ x =12,

podemos construir o seguinte quadro

0 1/2 2A′(x, 1− x) + + 0 − −A(x, 1 − x) ↗ max ↘

Concluímos que x = 1/2 corresponde a um ponto de máximo da funçãocuja segunda coordenada é y = 1− 1/2 = 1/2. O tal rectângulo é umquadrado de lado 1/2.



Na resolução anterior foi fundamental conseguirmos resolver a equação

x+ y = 1

em ordem a y. Como fazer se tal não for possível? A resposta é dadapelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vejamos umexemplo.



Exemplo

Pretendemos determinar os extremos absolutos da função

f(x, y) = x2 + ysujeita à condição

x2 + y2 = 1.

Para isso consideramos uma nova função

L(x, y, λ) = x2 + y + λ(x2 + y2 − 1),

e calculamos os seus pontos de estacionaridade:

∂L∂x (x, y, λ) = 0∂L∂y (x, y, λ) = 0∂L∂λ (x, y, λ) = 0

⇔

2x+ 2xλ = 01 + 2yλ = 0x2 + y2 − 1 = 0

⇔

2x(1 + λ) = 0——–——–

⇔

x = 0——–y2 = 1

∨

λ = −1y = 1/2x2 = 3/4

⇔

x = 0λ = −1/2y = ±1

∨

λ = −1y = 1/2x = ±

√3/2




Os candidatos a extremo absoluto são

(0, 1), (0,−1), (√

3/2, 1/2) e (−√

3/2, 1/2).

Como sabemos que o conjunto

C ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

é compacto e a funçãof(x, y) = x2 + y

é contínua, o Teorema de Weierstrass garante-nos que temos um máximo eum mínimo absoluto de f em C. Como

f(0, 1) = 1, f(0,−1) = −1 e f(−√

3/2, 1/2) = f(√

3/2, 1/2) = 5/4,

concluímos que o máximo absoluto é 5/4 e o mínimo absoluto é −1.



Vamos agora descrever o método geral para determinar os pontoscandidatos a extremo. Dada uma função de classe C1,

f : D ⊆ Rn → R,

para determinar os extremos desta função sujeita às m ≤ n condições

φ1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , φm(x1, . . . , xn) = 0,

com φ1, . . . , φm funções de classe C1, consideramos a função

L(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λn)

= f(x1, . . . , xn) + λ1φ1(x1, . . . , xn) + · · · + λmφm(x1, . . . , xn).

Determinamos os pontos de estacionaridade desta nova função. Entreestes pontos encontram-se pontos tais que as primeiras n coordenadascorrespondem às coordenadas dos pontos de extremo da função f .Os λi que surgem na função L designam-se por multiplicadores deLagrange.



Exemplos

a) Pretendemos determinar, utilizando os multiplicadores deLagrange, os extremos absolutos da função

f(x, y, z) = x+ 2ysujeita às restrições

x+ y + z = 1 e y2 + z2 = 4.Como o conjunto

{

(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 1 ∧ y2 + z2 = 4}

é um conjunto limitado e fechado e a função f é contínua, peloTeorema de Weierstrass, f tem máximo e mínimo absolutos nesteconjunto.Vamos determiná-los usando o método dos multiplicadores deLagrange. Escrevemos a nova função

L(x, y, z, λ, µ) = x+ 2y + λ(x+ y + z − 1) + µ(y2 + z2 − 4).




a) (continuação) Temos

∂L∂x (x, y, z, λ, µ) = 0∂L∂y (x, y, z, λ, µ) = 0∂L∂z (x, y, z, λ, µ) = 0∂L∂λ (x, y, z, λ, µ) = 0∂L∂µ (x, y, z, λ, µ) = 0

⇔

1 + λ = 0

2 + λ+ 2µy = 0

λ+ 2µz = 0

x+ y + z = 1

y2 + z2 = 4

⇔

λ = −1

2µy = −1

2µz = 1

⇔

λ = −1

µ = −√

2/4

z = −√

2

x = 1

y =√

2

∨

λ = 1

µ =√

2/4

z =√

2

x = 1

y = −√

2




a) (continuação) Obtivemos dois candidatos a ponto de extremo:

(1,√

2,−√

2) e (1,−√

2,√

2).

Uma vez quef(1,√

2,−√

2) = 1 + 2√

2

ef(1,−

√2,√

2) = 1− 2√

2,

concluímos que 1 + 2√

2 é máximo absoluto e que 1 + 2√

2 é mínimoabsoluto.




b) Pretendemos determinar os extremos absolutos da função

f(x, y, z) = x2 + 2xy − 4x+ 8yno conjunto

C = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2} .Como o conjunto C é um conjunto limitado e fechado e a função f écontínua, pelo Teorema de Weierstrass f tem máximo e mínimo absolutosneste conjunto. Os extremos absolutos podem estar no interior ou nafronteira de C.Começamos por determinar todos os extremos locais de f no interior doconjunto C. Para tal começamos por determinar os pontos deestacionaridade de f que estão em C:

{∂f∂x (x, y) = 0∂f∂y (x, y) = 0

⇔{

2x+ 2y − 4 = 02x+ 8 = 0

⇔{

y = 6x = −4

.

Como o ponto (−4, 6) não está no interior de C concluímos que não háextremos no interior de C.




b) (continuação) Vamos agora determinar os pontos de estacionaridade nafronteira recorrendo ao método dos multiplicadores de Lagrange.

Para o segmento de recta

S1 = {(x, y) : y = 0 ∧ 0 ≤ x ≤ 1}escrevemos a função

L1(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λy.

Temos

∂L1

∂x (x, y, λ) = 0∂L1

∂y (x, y, λ) = 0∂L1

∂λ (x, y, λ) = 0

⇔

2x+ 2y − 4 = 02x+ 8 + λ = 0y = 0

⇔

x = 2y = 0λ = −12

.

Obtivemos o ponto (2, 0) no entanto (2, 0) /∈ S1 pelo que não o devemosconsiderar.




b) (continuação) Para o segmento de recta

S2 = {(x, y) : y = 2 ∧ 0 ≤ x ≤ 1}

escrevemos a função

L2(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λ(y − 2).

Temos

∂L2∂x (x, y, λ) = 0∂L2∂y (x, y, λ) = 0∂L2∂λ (x, y, λ) = 0

⇔

2x+ 2y − 4 = 0

2x+ 8 + λ = 0

y − 2 = 0

⇔

x = 0

λ = −8

y = 2

.

Obtivemos o ponto (0, 2) no entanto (0, 2) /∈ S2 pelo que não odevemos considerar.





S3 = {(x, y) : x = 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}


L3(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λx.

Temos


⇔

2x+ 2y − 4 + λ = 0

2x+ 8 = 0

x = 0

⇔

x = −4

x = 0

λ = −12

.

O sistema é impossível pelo que não obtemos candidatos a extremoneste caso.





S4 = {(x, y) : x = 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}


L4(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λ(x− 1).

Temos


⇔

2x+ 2y − 4 + λ = 0

2x+ 8 = 0

x− 1 = 0

⇔

x = −4

x = 1

λ = −12

.

O sistema é impossível pelo que não obtemos candidatos a extremoneste caso.




b) (continuação) Assim, temos apenas como candidatos as extremo ospontos de intersecção de cada par de segmentos, isto é os vérticesdo rectângulo C:

(0, 2), (0, 0), (1, 0) e (1, 2).

Como referimos, de acordo com o Teorema de Weierstrass, entre asimagens destes quatro pontos estão os extremos absolutos de f emC.Atendendo a que

f(0, 2) = 16, f(0, 0) = 0, f(1, 0) = −3 e f(1, 2) = 17,

concluímos que o máximo absoluto é 17 e o mínimo absoluto é −3.


Índice






Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegração em regiões mais geraisMudança de coordenadasAplicação ao cálculo de áreas e volumes




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§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Para definirmos o conceito de integral é necessário explorar primeiro oconceito de partição de um intervalo fechado e limitado de Rn.

Dados a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn, com ai < bi, i = 1, . . . , n,designamos os conjuntos da forma

[a, b] = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, . . . , n}= [a1, b1]× · · · × [an, bn]

por intervalo fechado e limitado de Rn.

É fácil de verificar que quando n = 1, os intervalos fechados e limitadoscoincidem com os habituais intervalos fechados e limitados de R;quando n = 2 os intervalos fechados e limitados são rectângulos equando n = 3 os intervalos fechados e limitados são paralelepípedosrectângulos.



Dado um intervalo (fechado e limitado) I = [a, b] de Rn, coma = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn), definimos o volume elementar deI, que denotamos por vol(I), por

vol(I) =n∏

i=1

(bi − ai).

Verifica-se imediatamente que quando n = 1 o volume elementar é ocomprimento do intervalo, para n = 2 o volume elementar é a área dorectângulo e que quando n = 3 o volume elementar é o volume usual doparalelepípedo.



Dado um intervalo fechado e limitado I de Rn, designa-se porpartição ou subdivisão de I qualquer colecção

P = {I1, . . . , Ik} ,

onde os Ij são intervalos fechados e limitados de Rn não sobrepostos(i.e. sem pontos interiores comuns) e cuja reunião é I, ou seja,

int Ii ∩ int Ij = ∅ para i, j = 1, . . . , n e i 6= j

e

I =k⋃

i=1

Ii.

É evidente que nestas condições se tem

vol(I) =k∑

i=1

vol(Ii).



Exemplo

O conjuntoP = {I1, I2, I3, I4, I5}

onde I1 =[

0, 14

]

×[

0, 13

]

, I2 =[

0, 14

]

×[

13 ,

23

]

, I3 =[

0, 14

]

×[

23 , 1]

,

I4 =[

14 , 1]

×[

0, 13

]

e I5 =[

14 , 1]

×[

13 , 1]

constitui uma partição dointervalo [0, 1] × [0, 1].

I1

I2

I3

I4

I5

0 1

1



Sejam I um intervalo (fechado e limitado) de Rn, P = {I1, . . . , Ik} umapartição de I e f : I ⊆ Rn → R uma função limitada. Chama-se somasuperior de Darboux relativa à partição P ao número real

S(f, P ) =k∑

i=1

M(f, Ii) vol(Ii),

ondeM(f, Ii) = sup {f(x) : x ∈ Ii} = sup

x∈Iif(x).

Analogamente, chama-se soma inferior de Darboux relativa àpartição P ao número real

s(f, P ) =k∑

i=1

m(f, Ii) vol(Ii),

ondem(f, Ii) = inf {f(x) : x ∈ Ii} = inf

x∈Iif(x).



x

y

a b

b

b

∥x0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7∥x8

m1

m2=m4=m8

m3

m5

m6

m7

b

b

Interpretação geométrica das somas inferiores de Darboux para funçõesf : I ⊆ R→ R



x

y

a b

b

b

∥x0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7∥x8

b

b

Interpretação geométrica das somas superiores de Darboux parafunções f : I ⊆ R→ R



M(f, B)

m(f, B)

B

M(f, B)

m(f, B)

B

Interpretação geométrica das somas inferiores e das somas superioresde Darboux para funções f : I ⊆ R2 → R



Exemplos de somas superiores e de somas inferiores

a) Seja I um intervalo de Rn e consideremos a funçãof : I ⊆ Rn → R

definida por

f(x) = c.

Dada uma partição P = {I1, . . . , Ik} de I temos

m(f, Ii) = c e M(f, Ii) = c


s(f, P ) =k∑

i=1

m(f, Ii) vol(Ii) =k∑

i=1

c vol(Ii) = c

k∑

i=1

vol(Ii) = c vol(I)

e

S(f, P ) =k∑

i=1

M(f, Ii) vol(Ii) =k∑

i=1

c vol(Ii) = c

k∑

i=1

vol(Ii) = c vol(I).



Exemplos de somas superiores e de somas inferiores (continuação)

b) Sejam I um intervalo de Rn e

f : I ⊆ Rn → Ra função definida por

f(x) =

{

0 se x ∈ I ∩Qn,

1 se x 6∈ I ∩Qn.

Para qualquer partição P = {I1, . . . Ik} de I temos

m(f, Ii) = 0 e M(f, Ii) = 1,

pelo que

s(f, P ) =k∑

i=1

m(f, Ii) vol(Ii) =k∑

i=1

0 vol(Ii) = 0

e

S(f, P ) =k∑

i=1

M(f, Ii) vol(Ii) =k∑

i=1

1 vol(Ii) = vol(I).



Seja I um intervalo fechado e limitado de Rn. Uma função

f : I ⊆ Rn → R

diz-se integrável à Riemann em I se existir um e um só número Atal que

s(f, P ) ≤ A ≤ S(f, P ) para qualquer partição P de I.

O único número A que verifica a desigualdade anterior designa-se porintegral de Riemann de f em I e representa-se por

∫

If(x) dx.



Exemplos do integral de Riemann

a) Consideremos novamente a função f : I ⊆ Rn → R definida por

f(x) = c.

Já vimos que para qualquer partição P de I tem-se

s(f, P ) = c vol(I) = S(f, P ).

Assim,s(f, P ) ≤ c vol(I) ≤ S(f, P ) para qualquer partição P de I

ec vol(I)

é o único número real que verifica as estas desigualdades. Logo f éintegrável à Riemann em I e

∫

If(x) dx = c vol(I).



Exemplos do integral de Riemann (continuação)

b) Já vimos que para a função f : I ⊆ Rn → R, definida por

f(x) =

{

0 se x ∈ I ∩Qn,

1 se x 6∈ I ∩Qn

se tems(f, P ) = 0 e S(f, P ) = vol(I)

qualquer que seja a partição P de I. Portanto, se A ∈ [0, vol(I)]tem-se

0 = s(f, P ) ≤ A ≤ S(f, P ) = vol(I)

para qualquer partição P de I, o que mostra que f não é integrávelà Riemann em [0, 1].



É também comum escrever∫

If(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn

para designar o integral de Riemann de f no intervalo fechado I. Éainda usual escrever

∫ bn

an· · ·∫ b1

a1

f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn

para designar∫

[a1,b1]×···×[an,bn]f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.



Em dimensão dois é usual escrever f(x, y) em vez de f(x1, x2) edenota-se assim o integral de Riemann em I por

∫∫

If(x, y) dx dy.

Analogamente em dimensão três usa-se frequentemente a notação∫∫∫

If(x, y, z) dx dy dz.

Facilmente se verifica que, no caso n = 1, o conceito de integral aquiapresentado coincide com o conceito de integral de Riemann definidoem Cálculo I.



Propriedades dos integrais

Seja I um intervalo fechado e limitado de Rn.

a) Sef, g : I ⊆ Rn → R

são funções integráveis em I, então f + g é integrável em I e∫

I[f(x) + g(x)] dx =

∫

If(x) dx+

∫

Ig(x) dx.

b) Se λ é um número real e

f : I ⊆ Rn → R

é uma função integrável em I, então λ f é integrável em I e∫

Iλ f(x) dx = λ

∫

If(x) dx.



Propriedades dos integrais (continuação)

c) Sejam I1 e I2 dois intervalos (fechados e limitados) de Rn nãosobrepostos e tais que

I = I1 ∪ I2

e sejaf : I ⊆ Rn → R.

Entãof é integrável em I

se e só seé integrável em I1 e em I2.

Além disso, nas condições anteriores, temos∫

If(x) dx =

∫

I1

f(x) dx+∫

I2

f(x) dx.




d) Sef, g : I ⊆ Rn → R

são duas funções integráveis em I tais que

f(x) ≤ g(x) para cada x ∈ I,

então ∫

If(x) dx ≤

∫

Ig(x) dx.




e) Sejaf : I ⊆ Rn → R

uma função integrável. Então |f | é integrável em I e∣∣∣∣

∫

If(x) dx

∣∣∣∣ ≤

∫

I|f(x)| dx.

f) Sef : I ⊆ Rn → R

é uma função contínua, excepto num número finito de pontos, entãof é integrável. Em particular, as funções contínuas são integráveis.


Índice










§4.2 Teorema de Fubini

Teorema de Fubini

Sejam I um intervalo fechado e limitado de Rn, J um intervalo fechadoe limitado de Rm e

f : I × J ⊆ Rn ×Rm → R

uma função limitada e integrável. Se f é integrável (como função de x)em I para qualquer y ∈ J , então

∫

I×Jf(x, y) dx dy =

∫

J

[∫

If(x, y) dx

]

dy.



Teorema de Fubini para funções contínuas

Sejam I um intervalo fechado e limitado de Rn, J um intervalo fechadoe limitado de Rm e

f : I × J ⊆ Rn ×Rm → R

uma função contínua e, consequentemente, integrável à Riemann emI × J . Então

a) f é integrável (como função de x) em I para qualquer y ∈ J ;

b) a função

g(y) =∫

If(x, y) dx

é integrável em I e∫

I×Jf(x, y) dx dy =

∫

J

[∫

If(x, y) dx

]

dy.



Exemplos

a) Calculemos o integral∫

[0,1]×[2,3]xy2 dx dy. Então

∫

[0,1]×[2,3]xy2 dx dy =

∫ 3

2

∫ 1

0xy2 dx dy

=∫ 3

2

[

x2y2

2

]x=1

x=0

dy

=∫ 3

2

y2

2− 0 dy

=

[

y3

6

]y=3

y=2

=276− 8

6=

196.




a) (continuação) Este integral também pode ser calculado da seguinteforma:

∫

[0,1]×[2,3]

xy2 dx dy =∫ 1

0

∫ 3

2

xy2 dy dx

=∫ 1

0

[xy3

3

]y=3

y=2

dx

=∫ 1

0

27x3− 8x

3dx

=∫ 1

0

19x3

dx

=[

19x2

6

]x=1

x=0

=196− 0 =

196.




b) Calculemos∫

[0,1]×[0,2]×[1,3]xy2z dx dy dz:

∫

[0,1]×[0,2]×[1,3]xy2z dx dy dz =

∫ 3

1

∫ 2

0

∫ 1

0xy2z dx dy dz

=∫ 3

1

∫ 2

0

[

x2y2z

2

]x=1

x=0

dy dz

=∫ 3

1

∫ 2

0

y2z

2dy dz =

∫ 3

1

[

y3z

6

]y=2

y=0

dz

=∫ 3

1

8z6dz =

[

8z2

12

]z=3

z=1

=7212− 8

12=

163




b) (continuação) Outro processo seria

∫

[0,1]×[0,2]×[1,3]xy2z dx dy dz =

∫ 3

1

∫ 2

0

∫ 1

0xy2z dx dy dz

=∫ 3

1z dz

∫ 2

0y2 dy

∫ 1

0x dx

=

[

z2

2

]z=3

z=1

[

y3

3

]y=2

y=0

[

x2

2

]x=1

x=0

=(

92− 1

2

)83

12

=163


Índice










§4.3 Integração em regiões mais gerais


uma função limitada definida num subconjunto limitado D ⊆ Rn.Sejam I um intervalo de Rn fechado e limitado tal que D está contidono interior de I e

f̃ : I ⊆ Rn → R

a função dada por

f̃(x) =

{

f(x) se x ∈ D0 se x ∈ I \D

Dizemos que f é integrável em D se f̃ for integrável em I e definimos ointegral de f em D por

∫

Df(x) dx =

∫

If̃(x) dx.



Verifica-se facilmente que a escolha do intervalo I não influencia adefinição anterior, nem o valor

∫

Df(x) dx.

As propriedades que vimos para integrais de funções definidas emintervalos também se verificam para este tipo de integrais. Veremos emseguida essas propriedades.



Propriedades dos integrais

Seja D um subconjunto limitado de Rn.

a) Sef, g : D ⊆ Rn → R

são funções integráveis em D, então f + g é integrável em D e∫

D[f(x) + g(x)] dx =

∫

Df(x) dx+

∫

Dg(x) dx.

b) Se λ é um número real e

f : D ⊆ Rn → R

é uma função integrável em D, então λ f é integrável em D e∫

Dλ f(x) dx = λ

∫

Df(x) dx.




c) Sejam D1 e D2 dois subconjuntos limitados de Rn tais que

int (D1 ∩D2) = ∅ e D = D1 ∪D2

e sejaf : D ⊆ Rn → R.

Sef é integrável em D1, em D2 e em D,

então ∫

Df(x) dx =

∫

D1

f(x) dx+∫

D2

f(x) dx.




d) Sef, g : D ⊆ Rn → R

são duas funções integráveis em D tais que

f(x) ≤ g(x) para cada x ∈ D,

então ∫

Df(x) dx ≤

∫

Dg(x) dx.




e) Sejaf : D ⊆ Rn → R

uma função integrável. Então

|f | é integrável em D

e ∣∣∣∣

∫

Df(x) dx

∣∣∣∣ ≤

∫

D|f(x)| dx.



Seja D um subconjunto limitado de R2 da forma

D ={

(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)},

ondeϕ1, ϕ2 : [a, b] ⊆ R→ R

são funções limitadas em [a, b].

x

y

a b

y = ϕ2(x)

y = ϕ1(x)

D



Sef : D ⊆ R2 → R

é uma função limitada e integrável em

D ={

(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}

,

recorrendo ao teorema de Fubini, temos

∫∫

Df(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f(x, y) dy

)

dx,

desde que a função f(x, y) seja (como função de y) integrável em[ϕ1(x), ϕ2(x)] para qualquer x ∈ [a, b]. Este integral também secostuma representar por

∫∫

Df(x, y) dA.

É de referir que se as funções ϕ1, ϕ2 e f são contínuas, excepto numnúmero finito de pontos, então f é integrável em D.



Analogamente, se D é um subconjunto limitado de Rn da forma

D ={

(x, y) ∈ R2 : ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) ∧ c ≤ y ≤ d}

,

ondeψ1, ψ2 : [c, d] ⊆ R→ R,

tem-se∫∫

Df(x, y) dx dy =

∫ d

c

(∫ ψ2(y)

ψ1(y)f(x, y) dx

)

dy.



Exemplos

a) Seja D ⊆ R2 o conjunto dos pontos de [0, 1] × [0, 1] que estão entrea parábola de equação y = x2 e a recta de equação y = x.

x

y

b

1

1 by = x

b

y = x2

b

Calculemos ∫∫

Dxy2 dA.




a) (continuação) Então

∫∫

Dxy2 dA =

∫ 1

0

∫ x

x2xy2 dy dx =

∫ 1

0

[

xy3

3

]y=x

y=x2

dx

=∫ 1

0

x · x3

3− x(x2)3

3dx =

∫ 1

0

x4

3− x7

3dx

=

[

x5

15− x8

24

]x=1

x=0

=115− 1

24− (0− 0)

=24− 1515 · 24

=9

15 · 24

=1

5 · 8 =140.




a) (continuação) Este integral também podia ter sido calculado daseguinte forma:

∫∫

Dxy2 dA =

∫ 1

0

∫ √y

yxy2 dx dy =

∫ 1

0

[

x2y2

2

]x=√y

x=y

dy

=∫ 1

0

(√y)2y2

2− y2y2

2dy =

∫ 1

0

y3

2− y4

2dy

=

[

y4

8− y5

10

]y=1

y=0

=18− 1

10− (0− 0)

=540− 4

40=

140.




b) A função f : R2 → R dada por

f(x, y) = xy3

é contínua em R2 e o conjunto

D ={

(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≤ −4y2 + 3}

também pode ser também definido por

D =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤√

32∧ 0 ≤ x ≤ −4y2 + 3

}

.

Logo f é integrável em D.




b) (continuação) Assim,∫∫

Df(x, y) dx dy =

∫√

32

0

∫ 3−4y2

0xy3 dx dy

=∫√

32

0

[12x2y3

]x=3−4y2

x=0dy

=∫√

32

0

(92− 12y2 + 8y4

)

y3 dy

=∫√

32

0

92y3 − 12y5 + 8y7 dy

=[

98y4 − 2y6 + y8

]√

32

0

=27256

.




b) (continuação) Também podíamos ter definido D da seguinte forma

D =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤√

3− x4

}

e, portanto,

∫∫

Df(x, y) dy dx =

∫ 3

0

∫√

3−x4

0xy3 dy dx =

∫ 3

0

[

xy4

4

]y=√

3−x4

y=0

dx

=∫ 3

0

x

4

(3− x

4

)2

dx =∫ 3

0

9x64− 3x2

32+x3

64dx

=

[

9x2

128− x3

32+

x4

256

]x=3

x=0

=27256

.



Situações semelhantes às anteriores ocorrem noutras dimensões. Emparticular, em R3, por exemplo numa região da forma

D ={

(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b ∧ ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) ∧ ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)

},

ondeϕ1, ϕ2 : [a, b]→ R

eψ1, ψ2 : {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ∧ ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)} → R

são funções limitadas. Temos nesse caso

∫∫∫

Df(x, y, z) dx dy dz =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

(∫ ψ2(x,y)

ψ1(x,y)f(x, y, z) dz

)

dy

)

dx

desde que os integrais interiores existam.

Podemos estabelecer resultados semelhantes para regiões como a acimaonde os papeis das variáveis “estejam trocados”.



Exemplo

A função f : R3 → R dada por f(x, y, z) = xy é contínua em R3 e, portanto, éintegrável na região

D ={

(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ y ∧ 0 ≤ z ≤ x+ 2y}.

Além disso,

∫∫∫

D

f(x, y, z) dx dy dz =∫ 1

0

∫ y

0

∫ x+2y

0

xy dz dx dy

=∫ 1

0

∫ y

0

[xyz

]z=x+2y

z=0dx dy =

∫ 1

0

∫ y

0

xy(x+ 2y) dx dy

=∫ 1

0

∫ y

0

x2y + 2xy2 dx dy =∫ 1

0

[

x3y

3+ x2y2

]x=y

x=0

dy

=∫ 1

0

y4

3+ y4 dy =

[

y5

15+y5

5

]y=1

y=0

=415



Situações semelhantes podem ser resolvidas de forma correspondenteem Rn, n ≥ 4.

Muitas vezes queremos calcular integrais em regiões que se podemdecompor-se em regiões mais simples. Naturalmente, se em cada umadestas regiões mais simples conseguirmos calcular o integral, apelandoà linearidade do integral relativamente à região de integração, podemoscalcular integral original. O próximo exemplo ilustra esta forma deproceder.



Exemplo

A função f : R2 → R dada por

f(x, y) = 2x2y

é contínua em R2 e, portanto, é integrável no conjunto

D ={

(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ 2− x2}

pois as funções |x| e 2− x2 são contínuas. Para calcularmos o integralde f em D vamos dividir D em duas regiões:

D1 ={

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x ≤ y ≤ 2− x2}

e

D2 ={

(x, y) ∈ R2 : − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ −x ≤ y ≤ 2− x2}

Como D = D1 ∪D2 e int (D1 ∩D2) = ∅, podemos calcular o integralde f em D à custa dos integrais de f em D1 e D2.




Assim, porque∫∫

D1

f(x, y) dx dy =∫ 1

0

∫ 2−x2

x

2x2y dy dx =∫ 1

0

[x2y2

]y=2−x2

y=xdx

=∫ 1

0

4x2 − 5x4 + x6 dx =[

4x3

3− x5 +

x7

7

]x=1

x=0

=1021

e∫∫

D2

f(x, y) dx dy =∫ 0

−1

∫ 2−x2

−x

2x2y dy dx =∫ 0

−1

[x2y2

]y=2−x2

y=−xdx

=∫ 1

0

4x2 − 5x4 + x6 dx =[

4x3

3− x5 +

x7

7

]x=0

x=−1

=1021

concluímos que∫∫

D

f(x, y) dx dy =∫∫

D1

f(x, y) dx dy +∫∫

D2

f(x, y) dx dy =2021.


Índice










§4.4 Mudança de coordenadas

Muitas vezes é necessário recorrer a outros sistemas de coordenadaspara calcular determinados integrais pois a geometria da região deintegração ou determinadas simetrias da função que queremos integrartornam o cálculo consideravelmente mais fácil em determinadascoordenadas e não noutras.



Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto. Dizemos que uma função

g : U ⊆ Rn → Rn

é uma mudança de coordenadas em U se verificar as seguintescondições:

a) g é de classe C1;

b) g é injectiva;

c) det g′(x) 6= 0 para todo o x ∈ U .



Teorema de mudança de coordenadas

Sejam U ⊆ Rn um conjunto aberto,

f : D ⊆ Rn → R

uma função integrável em D e

g : U ⊆ Rn → Rn

uma mudança de coordenadas tal que

g(U) = D.

Então

f ◦ g : U ⊆ Rn → R

é integrável em U e∫

Df(y) dy =

∫

Uf(g(x))

∣∣det g′(x)

∣∣ dx.



No caso particular n = 1 recuperamos a fórmula de integração porsubstituição, que vimos no Cálculo I. De facto, sejam

f : [a, b]→ R

uma função integrável em [a, b] (com a < b) e

g : [c, d] → R

uma mudança de coordenadas com

g([c, d]) = [a, b], g(c) = a e g(d) = b.



Como g é uma mudança de coordenadas, temos que

det g′(x) = g′(x) 6= 0 para todo x ∈ D.

Porque g′ é continua (uma vez que g é de classe C1 em U) concluímosque g não muda de sinal em [c, d].

Atendendo a queg(c) = a < b = g(d)

temos g′(x) > 0 para todo o x ∈ [c, d]. Assim, |g′(x)| = g′(x) e portanto

∫ b

af(x) dx =

∫ d

cf(g(t))|g′(t)| dt =

∫ d

cf(g(t))g′(t) dt.



Em seguida vamos ver as três mudanças de coordenadas mais usadas:

• as coordenadas polares;

• as coordenadas cilíndricas;

• e as coordenadas esféricas.



bb

x

y

r

θ

As coordenadas polares sãocoordenadas em R2 definidas por

{

x = r cos θ

y = r sen θ

com r ∈ ]0,+∞[ e θ ∈ ]0, 2π[. As variáveisr e θ correspondem, respectivamente, à distância à origem e ao ânguloformado pelo vector (x, y) e o semi-eixo positivo dos xx.



SejaU =

{

(r, θ) ∈ R2 : r > 0 e θ ∈ ]0, 2π[}

e g : U ⊆ R2 → R2 dada por

g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y).

Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cadar0 > 0 fixo, a função

h(θ) = (r0 cos θ, r0 sen θ)

é injectiva (descreve a circunferência de raio r0 com excepção do ponto(x, y) = (r0, 0)). Note-se que quando r = 0 perdemos a injectividade.



Temos ainda

det g′(r, θ) = det

[

cos θ −r sen θsen θ r cos θ

]

= r(cos2 θ + sen2 θ) = r

pelo que podemos concluir que g é de classe C1 em U e que

det g′(r, θ) 6= 0 para todo o (r, θ) ∈ U.

Obtemos o seguinte caso particular do teorema de mudança decoordenadas para o caso das coordenadas polares

∫∫

Df(x, y) dx dy =

∫∫

D1

f(r cos θ, r sen θ)r dr dθ

com D1 tal queg(D1) = D.



Exemplo de mudança para coordenadas polares

Consideremos a região

D ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 e x ≥ y e y ≥ 0}

,

cuja representação geométrica é

x

y

x2 + y2 = 4

2

2 y = x



Exemplo de mudança para coordenadas polares (continuação)

Temos que∫∫

Dex

2+y2dx dy =

∫ 2

0

∫ π/4

0er

2r dθ dr =

∫ 2

0er

2r[

θ]θ=π/4

θ=0dr

=π

4

∫ 2

0er

2r dr =

π

4

[

er2

2

]r=2

r=0

=π

8(e4 − 1).

É de notar que a mudança de coordenadas que fizemos não está nascondições do Teorema de mudança de coordenadas. No entanto, paraestarmos nas condições do Teorema de mudança de coordenadasbastaria considerar um conjunto “ligeiramente” mais pequeno e, porisso, o valor do integral não se altera.



b

x

y

z

b

rθ

As coordenadas cilíndricas sãocoordenadas em R3 definidas por

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

com z ∈ R, r ∈ ]0,+∞[ e θ ∈ ]0, 2π[ eque correspondem de alguma formaa considerar coordenadas polares emcada plano z = z0. As variáveis r, θcorrespondem, respectivamente, à distância do ponto (x, y, 0) à origeme ao ângulo que vector (x, y, 0) faz com o semi-eixo positivo dos xx. Avariável z continua a corresponder à coordenada cartesiana z.



SejaU =

{

(r, θ, z) ∈ R3 : r > 0, θ ∈ ]0, 2π[ e z ∈ R}

e g : U ⊆ R3 → R3 dada por

g(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) = (x, y, z).

Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cada r0 > 0e z0 fixos, a função h(θ) = (r0 cos θ, r0 sen θ, z0) é injectiva (descreve noplano z = z0 a circunferência de raio r0 centrada em (0, 0, z0) comexcepção do ponto = (r0, 0, z0)). Note-se que se r = 0 perdemos ainjectividade. Além disso, que não poderíamos por exemplo considerarθ ∈ [0, 2π[ uma vez que deixaríamos de ter um conjunto aberto.



Atendendo a que

det g′(r, θ, z) = det

cos θ −r sen θ 0sen θ r cos θ 0

0 0 1

= r(cos2 θ + sen2 θ) = r

concluímos que g é de classe C1 em U e que

det g′(r, θ, z) 6= 0 para todo o (r, θ, z) ∈ U.

Obtemos assim o seguinte caso particular do teorema de mudança decoordenadas para coordenadas cilíndricas:

∫∫∫

Df(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫

D1

f(r cos θ, r sen θ, z)r dr dθ dz

onde D1 é tal queg(D1) = D.



Exemplo de mudança para coordenadas cilíndricas

Consideremos a região

D ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4 ∧ 1 ≤ z ≤ 2}

.

Temos que a função f : R3 → R dada por

f(x, y, z) = cos(x2 + y2 + z)

é integrável em D e usando coordenadas cilíndricas temos∫∫∫

Dcos(x2 + y2 + z) dx dy dz

=∫ 2

1

∫ 2π

0

∫ 2

0cos(r2 + z)r dr dθ dz =

∫ 2

1

∫ 2π

0

12

[

sen(r2 + z)]r=2

r=0dθ dz

=∫ 2

1

∫ 2π

0

12

(sen(4 + z)− sen z) dθ dz =∫ 2

1π(sen(4 + z)− sen z) dz

= π[

− cos(4 + z) + cos z]z=2

z=1= π(− cos 6 + cos 2 + cos 5− cos 1).



Tal como aconteceu com o exemplo da mudança para coordenadaspolares, é de notar que a mudança de coordenadas que fizemos noexemplo anterior não está nas condições do Teorema de mudança decoordenadas. No entanto, para estarmos nas condições do Teorema demudança de coordenadas bastaria considerar um conjunto“ligeiramente” mais pequeno e, por isso, o valor do integral não sealtera.



x

y

z

b

r

θ

ϕ

As coordenadas esféricas sãocoordenadas em R3 definidas por

x = r cos θ senϕ

y = r sen θ senϕ

z = r cosϕ

com r ∈ ]0,+∞[, θ ∈ ]0, 2π[e ϕ ∈ ]0, π[. As variáveis r, θ eϕ correspondem, respectivamente, àdistância do ponto (x, y, z) à origem,ao ângulo que o vector (x, y, 0) faz com semi-eixo positivo dos xx e aoângulo que o vector (x, y, z) faz com o semi-eixo positivo dos zz.



SejaU =

{

(r, θ, ϕ) ∈ R3 : r > 0, θ ∈ ]0, 2π[ e ϕ ∈ ]0, π[}

eg : U ⊆ R3 → R3

dada por

g(r, θ, ϕ) = (r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ) = (x, y, z).

Em U a aplicação g é injectiva. De facto, para cada r0 > 0 fixo, asvariáveis θ ∈ ]0, 2π[ e ϕ ∈ ]0, π[ geram uma esfera de raio r0 comexcepção do meridiano que passa pelo ponto (x, y, z) = (r0, 0, 0).



Atendendo a que

det g′(r, θ, ϕ) = det

cos θ senϕ −r sen θ senϕ r cos θ cosϕsen θ senϕ r cos θ senϕ r cosϕ sen θ

cosϕ 0 −r senϕ

= −r2 senϕ

concluímos que g é de classe C1 em U e que

det g′(r, θ, ϕ) 6= 0 para todo o (r, θ, ϕ) ∈ U.Obtemos portanto o seguinte caso particular do teorema de mudançade coordenadas para o caso das coordenadas esféricas:

∫∫∫

Df(x, y, z) dx dy dz

=∫∫∫

D1

f(r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ)r2 senϕdr dθ dϕ

com D1 tal queg(D1) = D.



Exemplo de mudança para coordenadas esféricas

Se D ={(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4

}, então usando

coordenadas esféricas temos∫∫∫

D

(x2 + y2 + z2)2 dx dy dz =∫ 2

1

∫ 2π

0

∫ π

0

r4r2 senϕdϕdθ dr

=∫ 2

1

∫ 2π

0

r6[− cosϕ

]ϕ=π

ϕ=0dθ dr

=∫ 2

1

2r6[θ]θ=2π

θ=0dr = 4π

[

r7

7

]r=2

r=1

=5087π.

Também neste exemplo se verifica algo de semelhante ao que aconteceunos exemplos de coordenadas polares e de coordenadas cilíndricas, ouseja, não estamos nas condições do Teorema de mudança decoordenadas, mas isso não causa problemas pelas mesmas razões quetambém não causava nas duas outras mudanças de coordenadas.


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§4.5 Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

Como se deduz da construção feita na primeira secção deste capítulo, ointegral de uma função f não negativa com n variáveis, x1, . . . , xn,integrável numa dada região limitada R é numericamente igual aovolume ((n + 1)-dimensional) da região (n+ 1)-dimensionalcompreendida entre o seu gráfico e o plano n-dimensional de equação

xn+1 = 0.

Assim concluímos que o volume VR de uma região R ⊆ Rn limitada édado por

VR =∫

R1 dx1 · · · dxn,

caso o integral exista.



Em particular, se C ⊆ R2 é uma região limitada, a sua área AC é dadapor

AC =∫∫

C1 dx dy

e se D ⊆ R3 é um sólido limitado, o seu volume VD é dado por

VD =∫∫∫

D1 dx dy dz,

desde que os integrais considerados existam.



Exemplos

a) SejaC =

{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 e y ≥ |x|}

.

A área da região C é dada por

AC =∫∫

C1 dx dy

=∫ 1

0

∫ 3π4

π4

r dθ dr

=∫ 1

0r[

θ]θ= 3π

4

θ=π4

dr

=π

2

[

r2

2

]r=1

r=0

=π

4.




b) Seja D a região compreendida entre as esferas de raio 1 e de raio 2.O volume da região D é dado por

VD =∫∫∫

D1 dx dy dz

=∫ 2

1

∫ 2π

0

∫ π

0r2 senϕdϕdθ dr

=∫ 2

1

∫ 2π

0r2[

− cosϕ]ϕ=π

ϕ=0dθ dr

=∫ 2

12r2

[

θ]θ=2π

θ=0dr

= 4π

[

r3

3

]r=2

r=1

=28π3.


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